אם… אז, אלא אם, כל ואף אחד

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

משפט "אם… אז" הוא כלל: "אם יורד גשם, דנה לוקחת מטרייה".

הכלל מדבר רק על מה שקורה כשיורד גשם. ביום בלי גשם הוא לא אומר כלום — דנה יכולה לקחת מטרייה, ויכולה לא לקחת.

"אם יורד גשם, דנה לוקחת מטרייה"
מזג האווירהמטרייהדנה הפרה את הכלל?
יורד גשםלוקחתלא
יורד גשםלא לוקחתכן — הפרה
לא יורד גשםלוקחתלא
לא יורד גשםלא לוקחתלא

ראינו את דנה עם מטרייה. האם בוודאות ירד גשם?

Voir la réponse et le corrigé

לא. הכלל לא אוסר לקחת מטרייה ביום יבש. רק צירוף אחד שובר אותו: גשם בלי מטרייה.

ההפוך המסוכן, וההפוך-השלילי שתמיד נכון

אם A אז B\text{אם } A \text{ אז } B

הכלל: "אם גשם, אז מטרייה"

אם B אז A\text{אם } B \text{ אז } A

ההפוך — "אם מטרייה, אז גשם". לא נובע מהכלל

אם לא A אז לא B\text{אם לא } A \text{ אז לא } B

"אם אין גשם, אין מטרייה". גם זה לא נובע

אם לא B אז לא A\text{אם לא } B \text{ אז לא } A

"אם אין מטרייה, אז אין גשם". זה תמיד נובע — אילו ירד גשם, הייתה מטרייה

הכלל: "אם בצד אחד יש מספר זוגי, אז בצד השני אדום". מאחורי קלף אדום — חייב להיות מספר זוגי?

Voir la réponse et le corrigé

לא. זה ההפוך של הכלל, והוא לא נובע ממנו. מאחורי אדום מותר גם 7.

רוב האנשים בוחרים "4 ואדום". זו בדיוק מלכודת ההפוך.

"אלא אם"

"דני הולך לים בשבת, אלא אם יורד גשם." בשבת בלי גשם — דני בים. בשבת עם גשם — הכלל הרגיל לא חל.

לפעמים השאלה אומרת מה כן קורה אז. במבחן יש בדרך כלל שני כללים כאלה, ושואלים מה ייתכן: מה לא סותר אף כלל.

כל, חלק, אף אחד

"אף דג אינו מטפס על עצים. חלק מחיות המחמד הן דגים." האם בוודאות חלק מחיות המחמד אינן מטפסות על עצים?

Voir la réponse et le corrigé

כן. חיות המחמד שהן דגים — ויש כאלה — אינן מטפסות. שימו לב: לא נובע שאף חיית מחמד לא מטפסת; חתול הבית מטפס יפה.

חידות משפחה

שלוש מלכודות.

אם A אז B  ⇒  אם B אז A\text{אם } A \text{ אז } B \;\Rightarrow\; \text{אם } B \text{ אז } A
אם לא B אז לא A\text{אם לא } B \text{ אז לא } A

ההפוך לא נובע מהכלל. ההפוך-השלילי — כן.

השלילה של "אם גשם אז בית":"אם גשם אז לא בית"\text{השלילה של "אם גשם אז בית"}: \text{"אם גשם אז לא בית"}
"יורד גשם ולא נשארים בבית"\text{"יורד גשם ולא נשארים בבית"}

הכלל נשבר רק במקרה אחד — כשיש גשם ואין בית. זו השלילה שלו.

"חלק" = "לא כולם"\text{"חלק" = "לא כולם"}
"חלק" = "לפחות אחד"\text{"חלק" = "לפחות אחד"}

במתמטיקה, "חלק מהדובים ישנים" נשאר נכון גם אם כל הדובים ישנים.

בשאלת "מה ייתכן" — חפשו את האפשרות שלא סותרת אף כלל. בשאלת "מה בוודאות" — חפשו את המשפט שנכון בכל מצב שמתאים לכללים. אלה שתי שאלות שונות מאוד.

Exercices

Exercice 1

ידוע: "אם שחר בבית, אז האור בחדר שלו דולק". איזה משפט נכון בוודאות?

  1. אם האור בחדר של שחר כבוי, אז שחר לא בבית
  2. האור בחדר של שחר דולק
  3. אם שחר לא בבית, אז האור בחדר שלו כבוי
  4. אם האור בחדר של שחר דולק, אז שחר בבית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A אם האור בחדר של שחר כבוי, אז שחר לא בבית

Corrigé :

בית⇒אור\text{בית} \Rightarrow \text{אור}

הכלל

אין אור⇒אין בית\text{אין אור} \Rightarrow \text{אין בית}

אילו שחר היה בבית, האור היה דולק — ההפוך-השלילי

אור⇏בית\text{אור} \nRightarrow \text{בית}

ייתכן שאחותו השאירה את האור דולק

התשובה היא "אם האור כבוי, שחר לא בבית". "אם האור דולק, שחר בבית" הוא ההפוך — ייתכן שאחותו שכחה לכבות את האור כשיצאה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במסעדה של עמוס, כל מנה עיקרית מוגשת עם צ'יפס ולא עם שום תוספת אחרת, אלא אם הלקוח הזמין גם סלט — ואז מגישים לו לחם, ולא מגישים צ'יפס. איזה מהבאים ייתכן?

  1. לקוח שלא הזמין סלט קיבל לחם
  2. לקוח שהזמין סלט קיבל צ'יפס
  3. לקוח שלא הזמין סלט לא קיבל שום תוספת
  4. לקוח קיבל לחם ולא קיבל צ'יפס
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D לקוח קיבל לחם ולא קיבל צ'יפס

Corrigé :

בלי סלט⇒צ’יפס בלבד\text{בלי סלט} \Rightarrow \text{צ'יפס בלבד}

הכלל הרגיל

עם סלט⇒לחם, בלי צ’יפס\text{עם סלט} \Rightarrow \text{לחם, בלי צ'יפס}

ה"אלא אם"

לחם בלי צ’יפס\text{לחם בלי צ'יפס}

זה בדיוק מה שקורה ללקוח שהזמין סלט

התשובה היא לקוח שקיבל לחם ולא צ'יפס — כך קורה לכל מי שהזמין סלט. שלוש האפשרויות האחרות שוברות את אחד משני הכללים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

"כל הציפורים בכלוב צהובות. חלק מהציפורים בכלוב הן תוכים." לכן בוודאות: יש תוכים צהובים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

תוכי בכלוב\text{תוכי בכלוב}

יש לפחות תוכי אחד בכלוב

בכלוב⇒צהוב\text{בכלוב} \Rightarrow \text{צהוב}

וכל מי שבכלוב — צהוב

נכון. התוכים שבכלוב — ויש כאלה — צהובים. מה שלא נובע: "כל התוכים צהובים". מחוץ לכלוב יכולים להיות תוכים ירוקים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לנגה יש שלושה אחים ושתי אחיות. כמה אחיות יש לכל אחד מהאחים של נגה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

2+1=32 + 1 = 3

שתי האחיות של נגה — ונגה עצמה

33

בשביל האח, נגה היא אחות

לכל אח יש 3 אחיות. התשובה 2 שוכחת את נגה עצמה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הכלל: "אם אורי מקבל 100 במבחן, אמא קונה לו גלידה". מיינו: מה נובע מהכלל, ומה לא?

  • נובע מהכלל
  • לא נובע
  • אורי לא קיבל 100 — לכן הוא לא קיבל גלידה
  • אורי לא קיבל גלידה — לכן הוא לא קיבל 100
  • אורי קיבל 100 — לכן הוא קיבל גלידה
  • אורי קיבל גלידה — לכן הוא קיבל 100
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אורי קיבל 100 — לכן הוא קיבל גלידה — נובע מהכלל · אורי קיבל גלידה — לכן הוא קיבל 100 — לא נובע · אורי לא קיבל 100 — לכן הוא לא קיבל גלידה — לא נובע · אורי לא קיבל גלידה — לכן הוא לא קיבל 100 — נובע מהכלל

Corrigé :

100⇒גלידה100 \Rightarrow \text{גלידה}

הכלל עצמו

אין גלידה⇒אין 100\text{אין גלידה} \Rightarrow \text{אין } 100

ההפוך-השלילי — תמיד נובע

גלידה⇏100\text{גלידה} \nRightarrow 100

אמא יכולה לקנות גלידה גם סתם

נובעים: הכלל עצמו וההפוך-השלילי שלו. ההפוך ("גלידה, לכן 100") והשלילי ("לא 100, לכן אין גלידה") לא נובעים: הכלל לא אוסר גלידה ביום רגיל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

על כל כרטיס נוסע כתוב בצד אחד הגיל, ובצד השני איפה ישב במכונית. הכלל: "אם הנוסע בן פחות מ-12, הוא יושב מאחור". על השולחן: גיל 8, גיל 15, מקדימה, מאחור. אילו כרטיסים חייבים להפוך כדי לבדוק את הכלל?

  1. גיל 8 ומקדימה
  2. גיל 8 ומאחור
  3. גיל 8 וגיל 15
  4. רק גיל 8
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גיל 8 ומקדימה

Corrigé :

גיל 8→ ?\text{גיל } 8 \to\ ?

אם כתוב מאחוריו "מקדימה" — הכלל נשבר

מקדימה→ ?\text{מקדימה} \to\ ?

אם מאחוריו גיל קטן מ-12 — הכלל נשבר

גיל 15, מאחור\text{גיל } 15,\ \text{מאחור}

הם לא יכולים לשבור את הכלל

גיל 8 ומקדימה. "מאחור" הוא המלכודת: גם מבוגר מותר לו לשבת מאחור. הכלל לא אומר דבר על מי שבן 12 ומעלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בספרייה: ספר מושאל לשבועיים, אלא אם הוא ספר חדש — ואז הוא מושאל לשבוע אחד בלבד. ייתכן שספר שהושאל לשבועיים הוא ספר חדש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

חדש⇒שבוע\text{חדש} \Rightarrow \text{שבוע}

ה"אלא אם"

שבועיים⇒לא חדש\text{שבועיים} \Rightarrow \text{לא חדש}

ההפוך-השלילי — תמיד נובע

לא נכון. ספר חדש מושאל רק לשבוע. אם הספר הושאל לשבועיים — בוודאות הוא לא חדש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשפחה בנים ובנות. לכל בת יש אותו מספר של אחים ושל אחיות. לכל בן יש פי שלושה אחיות מאחים. כמה ילדים במשפחה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

b=g−1b = g - 1

לבת: g−1g - 1 אחיות ו-bb אחים

g=3(b−1)g = 3(b - 1)

לבן: b−1b - 1 אחים ו-gg אחיות

g=3(g−2)⇒g=3 b=2\begin{aligned}g &= 3(g - 2) \Rightarrow g \\ &= 3 \\ \ b &= 2\end{aligned}

מציבים

3+2=53 + 2 = 5

בדיקה: לבת 2 אחיות ו-2 אחים ✓. לבן אח אחד ו-3 אחיות ✓

במשפחה 5 ילדים. הטעות: לשכוח שבת לא נספרת כאחות של עצמה, ובן לא נספר כאח של עצמו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

השלימו.

בכיתה 30 תלמידים, ו-18 מהם שרים במקהלה. כל מי שמנגן בכינור — שר במקהלה. לכן לכל היותר ____ תלמידים מנגנים בכינור, ולפחות ____ תלמידים לא מנגנים בכינור.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : בכיתה 30 תלמידים, ו-18 מהם שרים במקהלה. כל מי שמנגן בכינור — שר במקהלה. לכן לכל היותר 18 תלמידים מנגנים בכינור, ולפחות 12 תלמידים לא מנגנים בכינור.

Corrigé :

כינור⊆מקהלה\text{כינור} \subseteq \text{מקהלה}

כל הכנרים בתוך המקהלה

כינור≤18\text{כינור} \leq 18

אי אפשר שיהיו יותר כנרים מזמרים

30−18=1230 - 18 = 12

12 התלמידים שלא במקהלה — בוודאות לא מנגנים

18 ו-12. הפיתוי: לחשוב שכל 18 הזמרים מנגנים. הכלל אומר "כל כנר שר", לא "כל זמר מנגן" — זה ההפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

התאימו לכל משפט את השלילה שלו.

  • אם יורד גשם, נשארים בבית
  • כל הדובים ישנים בחורף
  • חלק מהדגים צבעוניים
  • אף ציפור אינה שוחה
  • אף דג אינו צבעוני
  • יורד גשם ולא נשארים בבית
  • יש דוב שלא ישן בחורף
  • יש ציפור ששוחה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אם יורד גשם, נשארים בבית — יורד גשם ולא נשארים בבית · כל הדובים ישנים בחורף — יש דוב שלא ישן בחורף · חלק מהדגים צבעוניים — אף דג אינו צבעוני · אף ציפור אינה שוחה — יש ציפור ששוחה

Corrigé :

אם A אז B\text{אם } A \text{ אז } B

נשבר רק כש-AA קורה ו-BB לא

כל↔יש אחד שלא\text{כל} \leftrightarrow \text{יש אחד שלא}
חלק↔אף אחד\text{חלק} \leftrightarrow \text{אף אחד}

השלילה של "כל" היא "יש אחד שלא" — לא "אף אחד". והשלילה של כלל "אם… אז" היא מקרה אחד שבו התנאי קורה והתוצאה לא.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe