L’ordre d’écriture

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ראינו שבשני משולשים חופפים יש לכל צלע בת־זוג ולכל זווית בת־זוג. עכשיו השאלה היא איך כותבים מי בת־הזוג של מי. והתשובה נמצאת כולה בסדר האותיות.

הסימן, וסדר האותיות

חפיפה נכתבת בסימן ≅\cong. אבל הדבר החשוב באמת אינו הסימן — אלא סדר האותיות.

△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF

הכתיבה הזאת אומרת הרבה יותר מ«שני המשולשים זהים». היא אומרת בדיוק מי מתאים למי: האות הראשונה לאות הראשונה, השנייה לשנייה, השלישית לשלישית.

A↔DA \leftrightarrow D

הקודקוד הראשון

B↔EB \leftrightarrow E

הקודקוד השני

C↔FC \leftrightarrow F

הקודקוד השלישי

סדר הכתיבה קובע. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF ו-△ABC≅△EDF\triangle ABC \cong \triangle EDF הן שתי טענות שונות. הראשונה אומרת ש-AA מתאים ל-DD, והשנייה אומרת ש-AA מתאים ל-EE. בשרטוט מסוים, בדרך כלל רק אחת מהן נכונה.

זו מוסכמת כתיבה, לא חוק מתמטי — ומורים כמעט אף פעם לא עוצרים להסביר אותה, כי תלמיד שגדל בארץ פשוט קלט אותה. מי שלא קלט אותה יקרא כל תרגיל חפיפה לא נכון, גם אם הוא מבין גאומטריה מצוין.

איך מוצאים את הסדר הנכון

כשהמשולשים מסובבים או הפוכים בשרטוט, אל תסמכו על «איפה זה נמצא». עובדים לפי הסימנים, בשלושה צעדים:

11

בוחרים קודקוד במשולש הראשון, ומוצאים במשולש השני את הקודקוד עם אותו סימן זווית (אותו מספר קשתות).

22

עושים אותו דבר לקודקוד השני ולשלישי.

33

כותבים את שני השמות באותו סדר: הקודקוד הראשון מול בן־הזוג שלו, וכך הלאה.

ואם מסומנות רק צלעות? אז כל קודקוד מזוהה לפי שתי הצלעות שיוצאות ממנו: הקודקוד שבין הצלע עם קו אחד לצלע עם שני קווים מתאים לקודקוד שבין אותן שתי צלעות במשולש השני.

ששת השוויונות שנובעים מחפיפה אחת

מתוך שורה אחת של חפיפה אפשר לשלוף מיד שישה שוויונות — שלוש צלעות ושלוש זוויות. מרכיבים כל צלע משתי אותיות, לפי אותם מיקומים:

AB=DEAB = DE

הצלע שבין הקודקוד הראשון לשני

BC=EFBC = EF

בין השני לשלישי

AC=DFAC = DF

בין הראשון לשלישי

∠A=∠D\angle A = \angle D

זווית מול זווית

∠B=∠E\angle B = \angle E

לפי אותו סדר

∠C=∠F\angle C = \angle F

ותמיד לפי המיקום, לא לפי הצורה בשרטוט

הטעות שמפילה את כל התרגיל, ואינה קשורה לגאומטריה בכלל.

△MOS≅△BAR⇒MO=AR\triangle MOS \cong \triangle BAR \quad \Rightarrow\quad MO = AR
△MOS≅△BAR⇒MO=BA\triangle MOS \cong \triangle BAR \quad \Rightarrow\quad MO = BA

סופרים לפי המיקום באותיות: MM ראשון ו-BB ראשון, OO שני ו-AA שני. אסור להתאים לפי דמיון בין האותיות או לפי איך שהמשולש נראה בציור.

מה מותר לשנות בכתיבה

מותר לסדר את האותיות מחדש — בתנאי שעושים אותו שינוי בשני הצדדים. שלוש השורות האלה אומרות בדיוק אותו דבר, כי בכולן A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E ו-C↔FC \leftrightarrow F:

△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF
△BCA≅△EFD\triangle BCA \cong \triangle EFD
△DEF≅△ABC\triangle DEF \cong \triangle ABC

מה שאסור הוא לשנות את הסדר רק בצד אחד: △ABC≅△EFD\triangle ABC \cong \triangle EFD כבר אומרת ש-AA מתאים ל-EE — וזו טענה אחרת.

נתון △KLM≅△XYZ\triangle KLM \cong \triangle XYZ. איזו זווית שווה ל-∠L\angle L?

Voir la réponse et le corrigé

∠Y\angle Y. האות LL היא השנייה בשם הראשון, ו-YY היא השנייה בשם השני.

האם △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF ו-△CAB≅△FDE\triangle CAB \cong \triangle FDE אומרות אותו דבר?

Voir la réponse et le corrigé

כן. בשתיהן A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F — הסדר הוזז באותו אופן בשני הצדדים.

Exercices

Exercice 1

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע MOMO?

△MOS≅△BAR\triangle MOS \cong \triangle BAR
  1. BRBR
  2. RBRB
  3. ARAR
  4. BABA
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D BABA

Corrigé :

M↔B,O↔AM \leftrightarrow B \quad ,\quad O \leftrightarrow A

מתאימים כל אות לפי מיקומה

MO=BAMO = BA

ולכן הצלעות שוות

M הוא הקודקוד הראשון ו-O הקודקוד השני — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠O\angle O?

△MOS≅△BAR\triangle MOS \cong \triangle BAR
  1. ∠A\angle A
  2. ∠O\angle O
  3. ∠B\angle B
  4. ∠R\angle R
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A ∠A\angle A

Corrigé :

O↔AO \leftrightarrow A

שניהם הקודקוד השני

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע MGMG?

△PMG≅△SKR\triangle PMG \cong \triangle SKR
  1. KSKS
  2. KRKR
  3. RSRS
  4. SKSK
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B KRKR

Corrigé :

M↔K,G↔RM \leftrightarrow K \quad ,\quad G \leftrightarrow R

מתאימים כל אות לפי מיקומה

MG=KRMG = KR

ולכן הצלעות שוות

M הוא הקודקוד השני ו-G הקודקוד השלישי — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠G\angle G?

△PMG≅△SKR\triangle PMG \cong \triangle SKR
  1. ∠K\angle K
  2. ∠R\angle R
  3. ∠G\angle G
  4. ∠S\angle S
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ∠R\angle R

Corrigé :

G↔RG \leftrightarrow R

שניהם הקודקוד השלישי

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע BABA?

△ACB≅△FDE\triangle ACB \cong \triangle FDE
  1. FDFD
  2. EDED
  3. EFEF
  4. DEDE
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C EFEF

Corrigé :

B↔E,A↔FB \leftrightarrow E \quad ,\quad A \leftrightarrow F

מתאימים כל אות לפי מיקומה

BA=EFBA = EF

ולכן הצלעות שוות

B הוא הקודקוד השלישי ו-A הקודקוד הראשון — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠A\angle A?

△ACB≅△FDE\triangle ACB \cong \triangle FDE
  1. ∠F\angle F
  2. ∠D\angle D
  3. ∠A\angle A
  4. ∠E\angle E
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A ∠F\angle F

Corrigé :

A↔FA \leftrightarrow F

שניהם הקודקוד הראשון

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע CDCD?

△CDE≅△MKG\triangle CDE \cong \triangle MKG
  1. MGMG
  2. GMGM
  3. MKMK
  4. KGKG
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C MKMK

Corrigé :

C↔M,D↔KC \leftrightarrow M \quad ,\quad D \leftrightarrow K

מתאימים כל אות לפי מיקומה

CD=MKCD = MK

ולכן הצלעות שוות

C הוא הקודקוד הראשון ו-D הקודקוד השני — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠D\angle D?

△CDE≅△MKG\triangle CDE \cong \triangle MKG
  1. ∠D\angle D
  2. ∠K\angle K
  3. ∠M\angle M
  4. ∠G\angle G
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ∠K\angle K

Corrigé :

D↔KD \leftrightarrow K

שניהם הקודקוד השני

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע SASA?

△MSA≅△BRG\triangle MSA \cong \triangle BRG
  1. RBRB
  2. RGRG
  3. BRBR
  4. GBGB
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B RGRG

Corrigé :

S↔R,A↔GS \leftrightarrow R \quad ,\quad A \leftrightarrow G

מתאימים כל אות לפי מיקומה

SA=RGSA = RG

ולכן הצלעות שוות

S הוא הקודקוד השני ו-A הקודקוד השלישי — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠A\angle A?

△MSA≅△BRG\triangle MSA \cong \triangle BRG
  1. ∠B\angle B
  2. ∠G\angle G
  3. ∠R\angle R
  4. ∠A\angle A
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ∠G\angle G

Corrigé :

A↔GA \leftrightarrow G

שניהם הקודקוד השלישי

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע EDED?

△DFE≅△BCD\triangle DFE \cong \triangle BCD
  1. CDCD
  2. DCDC
  3. BCBC
  4. DBDB
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D DBDB

Corrigé :

E↔D,D↔BE \leftrightarrow D \quad ,\quad D \leftrightarrow B

מתאימים כל אות לפי מיקומה

ED=DBED = DB

ולכן הצלעות שוות

E הוא הקודקוד השלישי ו-D הקודקוד הראשון — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠D\angle D?

△DFE≅△BCD\triangle DFE \cong \triangle BCD
  1. ∠F\angle F
  2. ∠B\angle B
  3. ∠D\angle D
  4. ∠C\angle C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ∠B\angle B

Corrigé :

D↔BD \leftrightarrow B

שניהם הקודקוד הראשון

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

כמה שוויונות אפשר לרשום מתוך שורת חפיפה אחת של שני משולשים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

3 צלעות3 \text{ צלעות}

שלוש צלעות שוות בהתאמה

3 זוויות3 \text{ זוויות}

ושלוש זוויות שוות בהתאמה

שש בסך הכול. שורה אחת של חפיפה שווה שש שורות של נתונים — זה מה שהופך אותה לכל כך שימושית בהוכחות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

נתון △MOS≅△BAR\triangle MOS \cong \triangle BAR. תלמיד רשם MO=ARMO = AR. איפה הטעות?

  1. הוא הפך את סדר המשולשים
  2. הצלע MOMO לא קיימת
  3. אין טעות
  4. הוא התאים לפי דמיון בין האותיות ולא לפי מיקומן
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D הוא התאים לפי דמיון בין האותיות ולא לפי מיקומן

Corrigé :

M↔B,O↔AM \leftrightarrow B \quad ,\quad O \leftrightarrow A

לפי המיקום בשורת החפיפה

MO=BAMO = BA

זו התשובה הנכונה

המיקום באותיות הוא הדבר היחיד שקובע. לא הדמיון בין האותיות, ולא איך שהמשולש מצויר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

ABCQRP
הקשתות מראות אילו זוויות מתאימות.

המשולשים בשרטוט חופפים. איזו כתיבה נכונה?

  1. △ABC≅△QRP\triangle ABC \cong \triangle QRP
  2. △ABC≅△QPR\triangle ABC \cong \triangle QPR
  3. △ABC≅△RQP\triangle ABC \cong \triangle RQP
  4. △ABC≅△PQR\triangle ABC \cong \triangle PQR
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A △ABC≅△QRP\triangle ABC \cong \triangle QRP

Corrigé :

A↔QA \leftrightarrow Q

קשת אחת

B↔RB \leftrightarrow R

שתי קשתות

C↔PC \leftrightarrow P

שלוש קשתות

עוברים קודקוד אחר קודקוד לפי הקשתות, ולא לפי הסדר האלפביתי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

נתון △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF. איזו מהכתיבות הבאות אומרת בדיוק אותו דבר?

  1. △ABC≅△EDF\triangle ABC \cong \triangle EDF
  2. △BCA≅△EFD\triangle BCA \cong \triangle EFD
  3. △CBA≅△DEF\triangle CBA \cong \triangle DEF
  4. △BAC≅△DEF\triangle BAC \cong \triangle DEF
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B △BCA≅△EFD\triangle BCA \cong \triangle EFD

Corrigé :

B↔E, C↔F, A↔DB \leftrightarrow E ,\ C \leftrightarrow F ,\ A \leftrightarrow D

אותה התאמה

מותר לסדר מחדש רק אם עושים אותו שינוי בשני הצדדים. ב-△BCA≅△EFD\triangle BCA \cong \triangle EFD עדיין B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F, A↔DA \leftrightarrow D.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

נתון △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ. איזו טענה אינה נובעת מהחפיפה?

  1. PQ=XYPQ = XY
  2. QR=YZQR = YZ
  3. PR=YZPR = YZ
  4. ∠R=∠Z\angle R = \angle Z
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C PR=YZPR = YZ

Corrigé :

P↔X, R↔ZP \leftrightarrow X ,\ R \leftrightarrow Z

הראשון והשלישי

PR=XZPR = XZ

ולא YZYZ

PRPR מחברת את הקודקוד הראשון לשלישי, ולכן היא שווה ל-XZXZ — לא ל-YZYZ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

נתון △ABC≅△KLM\triangle ABC \cong \triangle KLM, ו-∠A=40∘\angle A = 40^\circ, ∠B=75∘\angle B = 75^\circ. מה גודל ∠M\angle M (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 65

Corrigé :

∠C=180∘−40∘−75∘=65∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 40^\circ - 75^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

∠M=∠C=65∘\begin{aligned}\angle M &= \angle C \\ &= 65^\circ\end{aligned}

השלישית מול השלישית

MM היא האות השלישית, ולכן ∠M\angle M מתאימה ל-∠C\angle C — שאותה מחשבים מסכום הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

נתון △DEF≅△RST\triangle DEF \cong \triangle RST, ו-DE=8DE = 8, EF=5EF = 5, DF=10DF = 10 ס״מ. מה אורך STST (בס״מ)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

S↔E, T↔FS \leftrightarrow E ,\ T \leftrightarrow F

השני והשלישי

ST=EF=5\begin{aligned}ST &= EF \\ &= 5\end{aligned}

STST מחברת את הקודקוד השני לשלישי, ולכן היא מתאימה ל-EFEF.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

ABCMKL
הקווים מראים אילו צלעות מתאימות. המשולש השני הפוך.

המשולשים בשרטוט חופפים. איזו כתיבה נכונה?

  1. △ABC≅△MLK\triangle ABC \cong \triangle MLK
  2. △ABC≅△LKM\triangle ABC \cong \triangle LKM
  3. △ABC≅△KLM\triangle ABC \cong \triangle KLM
  4. △ABC≅△MKL\triangle ABC \cong \triangle MKL
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D △ABC≅△MKL\triangle ABC \cong \triangle MKL

Corrigé :

A↔MA \leftrightarrow M

בין קו אחד לשלושה קווים

B↔KB \leftrightarrow K

בין קו אחד לשני קווים

C↔LC \leftrightarrow L

בין שני קווים לשלושה

כל קודקוד מזוהה לפי שתי הצלעות שיוצאות ממנו. AA נמצא בין הצלע עם קו אחד לצלע עם שלושה קווים — וכך גם MM.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

אם △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF, אז גם △ACB≅△DFE\triangle ACB \cong \triangle DFE.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

△ACB≅△DFE\triangle ACB \cong \triangle DFE

אותו שינוי בשני הצדדים

A↔D, C↔F, B↔EA \leftrightarrow D ,\ C \leftrightarrow F ,\ B \leftrightarrow E

אותה התאמה

בשני הצדדים החליפו את האות השנייה עם השלישית — אותו שינוי. ההתאמה נשארת: A↔DA \leftrightarrow D, C↔FC \leftrightarrow F, B↔EB \leftrightarrow E.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

אם △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF, אז בהכרח גם △ABC≅△DFE\triangle ABC \cong \triangle DFE.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

△ABC≅△DFE  ⇒  B↔F\triangle ABC \cong \triangle DFE \;\Rightarrow\; B \leftrightarrow F

השינוי רק בצד אחד

∠B=∠E≠∠F\angle B = \angle E \neq \angle F

בדרך כלל

כאן שינו את הסדר רק בצד אחד. השורה החדשה אומרת B↔FB \leftrightarrow F — כלומר ∠B=∠F\angle B = \angle F, וזה לא נובע מהחפיפה הנתונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

Associez, reliez (התאימו) chaque cas à ce qu'il indique

  • A↔DA \leftrightarrow D
  • B↔EB \leftrightarrow E
  • C↔FC \leftrightarrow F
  • הקודקוד הראשון
  • הקודקוד השלישי
  • הקודקוד השני
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A↔DA \leftrightarrow D — הקודקוד הראשון · B↔EB \leftrightarrow E — הקודקוד השני · C↔FC \leftrightarrow F — הקודקוד השלישי

Corrigé :

Chaque paire ici est apparue dans la leçon — l'association correspond exactement à ce que le tableau (טבלה) montrait.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe