Examen de fin du 2e trimestre

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבחן סוף שליש ב׳ — כיתה ח׳. המבחן מצטבר: הוא בודק את החומר של השליש השני — פיתגורס, אחוזים, מערכות משוואות, בעיות תנועה, משולש שווה שוקיים והוכחות חפיפה — וחוזר גם על חומר מהשליש הראשון. 7 שאלות, 90 דקות, ומותר להשתמש במחשבון.

1616

נקודות — מערכות משוואות, ושתי שאלות הוכחה (שאלות 3, 6, 7)

1414

נקודות — אחוזים, ובעיית תנועה (שאלות 2, 4)

1212

נקודות — פיתגורס, ומשולש שווה שוקיים (שאלות 1, 5)

בהוכחה כותבים טענה ונימוק בכל שורה. נימוק הוא משפט שלמדנו או נתון — לא «רואים בשרטוט». ולפני שכותבים את משפט החפיפה, בודקים שהזווית באמת בין שתי הצלעות.

Exercices

שאלה 1 (12 נקודות) — משפט פיתגורס

Exercice 1

ABCD
מלבן ABCDABCD והאלכסון ACAC.

במלבן ABCDABCD נתון: AB=24AB = 24 ס״מ, והאלכסון AC=25AC = 25 ס״מ. א. מה אורך הצלע BCBC, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

AB2+BC2=AC2AB^2 + BC^2 = AC^2

פיתגורס במשולש ABCABC — הזווית BB ישרה

BC2=625−576=49\begin{aligned}BC^2 &= 625 - 576 \\ &= 49\end{aligned}
BC=7BC = 7

כשמחפשים ניצב — מחסרים: ריבוע היתר פחות ריבוע הניצב הידוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABCD
מלבן ABCDABCD והאלכסון ACAC.

במלבן ABCDABCD נתון: AB=24AB = 24 ס״מ, והאלכסון AC=25AC = 25 ס״מ. ב. מהו היקף המלבן, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 62

Corrigé :

P=2(24+7)=62\begin{aligned}P &= 2(24 + 7) \\ &= 62\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ג. שטחו של משולש ישר זווית ושווה שוקיים הוא 32 סמ״ר. מה אורך היתר שלו, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11.31

Corrigé :

a⋅a2=32 ⇒ a=8\begin{aligned}\frac{a \cdot a}{2} &= 32 \ \Rightarrow \ a \\ &= 8\end{aligned}

הניצבים שווים, והם הבסיס והגובה

c2=82+82=128\begin{aligned}c^2 &= 8^2 + 8^2 \\ &= 128\end{aligned}

פיתגורס

c=128≈11.31c = \sqrt{128} \approx 11.31

במשולש ישר זווית ושווה שוקיים היתר הוא a2a\sqrt{2}.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 (14 נקודות) — אחוזים

Exercice 4

מחיר מוצר היה 80 ₪. א. המחיר עלה ב-15%. מה המחיר החדש, ב-₪?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 92

Corrigé :

80⋅1.15=9280 \cdot 1.15 = 92

עלייה של 15% — כופלים ב-1.15

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מחיר מוצר היה 80 ₪, ועלה ב-15%. ב. אחר כך המחיר החדש ירד ב-15%. מה המחיר עכשיו, ב-₪?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 78.2

Corrigé :

92⋅0.85=78.292 \cdot 0.85 = 78.2

הירידה מחושבת מ-92, לא מ-80

המחיר לא חזר ל-80: ה-15% של הירידה נלקחו מסכום גדול יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ג. נכון או לא נכון: מחיר שעלה ב-10%, ואחר כך עלה שוב ב-10%, עלה בסך הכול ב-20%.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

1.1⋅1.1=1.211.1 \cdot 1.1 = 1.21

שתי עליות רצופות — כופלים

לא נכון: העלייה הכוללת היא 21%. העלייה השנייה מחושבת מהמחיר שכבר עלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ד. בגביע יוגורט של 250 גרם יש 3% שומן. כמה גרם שומן יש בגביע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.5

Corrigé :

250⋅0.03=7.5250 \cdot 0.03 = 7.5
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ה. ערבבו שני גביעים כאלה (3% שומן) עם גביע אחד של 250 גרם ובו 6% שומן. מה אחוז השומן בתערובת?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

7.5+7.5+15=307.5 + 7.5 + 15 = 30

גרם שומן בשלושת הגביעים

3⋅250=7503 \cdot 250 = 750

גרם תערובת

30750⋅100=4%\frac{30}{750} \cdot 100 = 4\%

לא מחברים אחוזים (3+3+6=123 + 3 + 6 = 12): מחברים כמויות ומחלקים במשקל הכולל.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 (16 נקודות) — מערכות משוואות

Exercice 9

פתרו את המערכת {3x+2y=16x−2y=0\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x - 2y = 0 \end{cases}. א. מהו xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

4x=164x = 16

מחברים את המשוואות — ה-yy מתבטל

x=4x = 4

המקדמים של yy הם 22 ו-−2-2: שיטת השוואת המקדמים מוכנה מראש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

פתרו את המערכת {3x+2y=16x−2y=0\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x - 2y = 0 \end{cases}. ב. מהו yy?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

4−2y=0 ⇒ y=2\begin{aligned}4 - 2y &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 2\end{aligned}

מציבים במשוואה השנייה

בדיקה: 3⋅4+2⋅2=163 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 16.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

פתרו את המערכת {y=2x−34x−3y=1\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 4x - 3y = 1 \end{cases}. ג. מהו xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

4x−3(2x−3)=14x - 3(2x - 3) = 1

מציבים את yy מהמשוואה הראשונה

4x−6x+9=14x - 6x + 9 = 1
−2x=−8 ⇒ x=4\begin{aligned}-2x &= -8 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

פתרו את המערכת {y=2x−34x−3y=1\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 4x - 3y = 1 \end{cases}. ד. מהו yy?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

y=2⋅4−3=5\begin{aligned}y &= 2 \cdot 4 - 3 \\ &= 5\end{aligned}

בדיקה: 4⋅4−3⋅5=14 \cdot 4 - 3 \cdot 5 = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

ה. מהו הפתרון של המערכת {5x+3y=12x−4y=16\begin{cases} 5x + 3y = 1 \\ 2x - 4y = 16 \end{cases}?

  1. x=2, y=3x = 2, \ y = 3
  2. x=2, y=−3x = 2, \ y = -3
  3. x=1, y=−43x = 1, \ y = -\frac{4}{3}
  4. x=−3, y=2x = -3, \ y = 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x=2, y=−3x = 2, \ y = -3

Corrigé :

20x+12y=420x + 12y = 4

הראשונה כפול 4

6x−12y=486x - 12y = 48

השנייה כפול 3

26x=52 ⇒ x=2\begin{aligned}26x &= 52 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מחברים

5⋅2+3y=1 ⇒ y=−3\begin{aligned}5 \cdot 2 + 3y &= 1 \ \Rightarrow \ y \\ &= -3\end{aligned}

אפשר גם לבדוק כל תשובה בשתי המשוואות — רק (2, −3)(2,\, -3) מקיים את שתיהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

ו. כמה פתרונות יש למערכת {y=3x+26x−2y=5\begin{cases} y = 3x + 2 \\ 6x - 2y = 5 \end{cases}?

  1. פתרון אחד
  2. אין פתרון
  3. אינסוף פתרונות
  4. שני פתרונות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B אין פתרון

Corrigé :

6x−2y=5 ⇒ y=3x−2.5\begin{aligned}6x - 2y &= 5 \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x - 2.5\end{aligned}

מבודדים את yy במשוואה השנייה

m1=m2=32≠−2.5\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ &= 3 \\ \quad 2 \neq -2.5\end{aligned}

אותו שיפוע, נקודת חיתוך שונה עם ציר ה-yy

שני ישרים מקבילים שאינם מתלכדים — אין להם נקודה משותפת, ולכן למערכת אין פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 (14 נקודות) — בעיית תנועה עם שני נעלמים

Exercice 15

ביום הראשון של טיול רכב דני 2 שעות על אופניים והלך 3 שעות ברגל, ועבר בסך הכול 42 ק״מ. ביום השני רכב 3 שעות והלך שעה אחת, ועבר 49 ק״מ. מהירות הרכיבה ומהירות ההליכה קבועות. א. מהי מהירות הרכיבה, בקמ״ש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

{2v+3w=423v+w=49\begin{cases} 2v + 3w = 42 \\ 3v + w = 49 \end{cases}

vv — רכיבה, ww — הליכה; דרך = מהירות × זמן

w=49−3vw = 49 - 3v

מהמשוואה השנייה

2v+3(49−3v)=422v + 3(49 - 3v) = 42
−7v=−105 ⇒ v=15\begin{aligned}-7v &= -105 \ \Rightarrow \ v \\ &= 15\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

ביום הראשון של טיול רכב דני 2 שעות על אופניים והלך 3 שעות ברגל, ועבר בסך הכול 42 ק״מ. ביום השני רכב 3 שעות והלך שעה אחת, ועבר 49 ק״מ. מהירות הרכיבה ומהירות ההליכה קבועות. ב. מהי מהירות ההליכה, בקמ״ש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

w=49−3⋅15=4\begin{aligned}w &= 49 - 3 \cdot 15 \\ &= 4\end{aligned}

בדיקה ביום הראשון: 2⋅15+3⋅4=422 \cdot 15 + 3 \cdot 4 = 42.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

ביום הראשון של טיול רכב דני 2 שעות על אופניים והלך 3 שעות ברגל, ועבר בסך הכול 42 ק״מ. ביום השני רכב 3 שעות והלך שעה אחת, ועבר 49 ק״מ. מהירות הרכיבה ומהירות ההליכה קבועות. ג. ביום השלישי רכב דני 4 שעות. כמה שעות עליו ללכת כדי שבסך הכול יעבור 70 ק״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.5

Corrigé :

4⋅15=604 \cdot 15 = 60

ק״מ ברכיבה

70−60=1070 - 60 = 10

נשאר ללכת

10:4=2.510 : 4 = 2.5

שעות

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 (12 נקודות) — משולש שווה שוקיים

Exercice 18

ABCD
AB=ACAB = AC, ו-BDBD חוצה את הזווית BB.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) זווית הראש היא ∠A=36∘\angle A = 36^\circ. BDBD חוצה את הזווית BB, והנקודה DD על השוק ACAC. א. מהו גודל הזווית ∠ABC\angle ABC (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 72

Corrigé :

∠B=∠C\angle B = \angle C

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים

∠B=180∘−36∘2=72∘\begin{aligned}\angle B &= \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} \\ &= 72^\circ\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

ABCD
AB=ACAB = AC, ו-BDBD חוצה את הזווית BB.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) זווית הראש היא ∠A=36∘\angle A = 36^\circ. BDBD חוצה את הזווית BB, והנקודה DD על השוק ACAC. ב. מהו גודל הזווית ∠BDC\angle BDC (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 72

Corrigé :

∠DBC=72∘:2=36∘\begin{aligned}\angle DBC &= 72^\circ : 2 \\ &= 36^\circ\end{aligned}

BDBD חוצה זווית

∠BDC=180∘−36∘−72∘=72∘\begin{aligned}\angle BDC &= 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ \\ &= 72^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש BDCBDC

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

ABCD
AB=ACAB = AC, ו-BDBD חוצה את הזווית BB.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) זווית הראש היא ∠A=36∘\angle A = 36^\circ. BDBD חוצה את הזווית BB, והנקודה DD על השוק ACAC. ג. אילו מהמשולשים שבשרטוט הם שווי שוקיים?

  1. ABCABC, ABDABD וגם BDCBDC
  2. ABCABC ו-ABDABD בלבד
  3. ABCABC בלבד
  4. ABCABC ו-BDCBDC בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A ABCABC, ABDABD וגם BDCBDC

Corrigé :

∠A=∠ABD=36∘ ⇒ AD=BD\begin{aligned}\angle A &= \angle ABD \\ &= 36^\circ \ \Rightarrow \ AD \\ &= BD\end{aligned}

במשולש ABDABD שתי זוויות שוות

∠BDC=∠C=72∘ ⇒ BD=BC\begin{aligned}\angle BDC &= \angle C \\ &= 72^\circ \ \Rightarrow \ BD \\ &= BC\end{aligned}

במשולש BDCBDC שתי זוויות שוות

משפט הזיהוי: משולש שיש בו שתי זוויות שוות הוא שווה שוקיים, והצלעות השוות נמצאות מול הזוויות השוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

ABCD
AB=ACAB = AC, ו-BDBD חוצה את הזווית BB.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) זווית הראש היא ∠A=36∘\angle A = 36^\circ. BDBD חוצה את הזווית BB, והנקודה DD על השוק ACAC. ד. נתון BC=5BC = 5 ס״מ. מה אורך הקטע ADAD, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

BD=BC=5\begin{aligned}BD &= BC \\ &= 5\end{aligned}

משולש BDCBDC שווה שוקיים

AD=BD=5\begin{aligned}AD &= BD \\ &= 5\end{aligned}

משולש ABDABD שווה שוקיים

שרשרת של שני משולשים שווי שוקיים מעבירה את האורך מ-BCBC עד ADAD.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 6 (16 נקודות) — הוכחת חפיפה במשולש שווה שוקיים

Exercice 22

ABCDE
AB=ACAB = AC, והנקודות DD ו-EE על הבסיס BCBC כך ש-BD=CEBD = CE.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) הנקודות DD ו-EE נמצאות על הבסיס BCBC כך ש-BD=CEBD = CE. א. הוכיחו: AD=AEAD = AE.

  • AB=ACAB = AC
  • BD=CEBD = CE

AD=AEAD = AE

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. ∠B=∠C\angle B = \angle C — במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
  3. BD=CEBD = CE — נתון
  4. △ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE — חפיפה לפי צ.ז.צ
  5. AD=AEAD = AE — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

ABCDE
AB=ACAB = AC, והנקודות DD ו-EE על הבסיס BCBC כך ש-BD=CEBD = CE.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) הנקודות DD ו-EE נמצאות על הבסיס BCBC כך ש-BD=CEBD = CE. ב. הוכיחו בדרך נוספת: △ABE≅△ACD\triangle ABE \cong \triangle ACD.

  • AB=ACAB = AC
  • BD=CEBD = CE

△ABE≅△ACD\triangle ABE \cong \triangle ACD

Voir la réponse et le corrigé
  1. BD=CEBD = CE — נתון
  2. DE=DEDE = DE — קטע משותף
  3. BE=CDBE = CD — הוספת קטע משותף לשני קטעים שווים
  4. AB=ACAB = AC — נתון
  5. ∠B=∠C\angle B = \angle C — במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
  6. △ABE≅△ACD\triangle ABE \cong \triangle ACD — חפיפה לפי צ.ז.צ
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

ABCDE
AB=ACAB = AC, והנקודות DD ו-EE על הבסיס BCBC כך ש-BD=CEBD = CE.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) הנקודות DD ו-EE נמצאות על הבסיס BCBC כך ש-BD=CEBD = CE. נתון גם: ∠BAC=100∘\angle BAC = 100^\circ ו-∠BAD=20∘\angle BAD = 20^\circ. ג. מהו גודל הזווית ∠ADE\angle ADE (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

∠CAE=∠BAD=20∘\begin{aligned}\angle CAE &= \angle BAD \\ &= 20^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות במשולשים החופפים

∠DAE=100∘−20∘−20∘=60∘\begin{aligned}\angle DAE &= 100^\circ - 20^\circ - 20^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}
∠ADE=180∘−60∘2=60∘\begin{aligned}\angle ADE &= \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות הבסיס במשולש ADEADE שוות

כל זוויות המשולש ADEADE שוות ל-60∘60^\circ: הוא אפילו שווה צלעות.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 7 (16 נקודות) — הוכחת חפיפה בריבוע

Exercice 25

ABCDEF
ABCDABCD ריבוע. EE על BCBC ו-FF על CDCD, כך ש-BE=CFBE = CF.

ABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה EE על הצלע BCBC והנקודה FF על הצלע CDCD, כך ש-BE=CFBE = CF. א. הוכיחו: △ABE≅△BCF\triangle ABE \cong \triangle BCF.

  • ABCDABCD ריבוע
  • BE=CFBE = CF

△ABE≅△BCF\triangle ABE \cong \triangle BCF

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=BCAB = BC — בריבוע כל הצלעות שוות
  2. ∠ABE=∠BCF=90∘\angle ABE = \angle BCF = 90^\circ — בריבוע כל הזוויות ישרות
  3. BE=CFBE = CF — נתון
  4. △ABE≅△BCF\triangle ABE \cong \triangle BCF — חפיפה לפי צ.ז.צ
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

ABCDEF
ABCDABCD ריבוע. EE על BCBC ו-FF על CDCD, כך ש-BE=CFBE = CF.

ABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה EE על הצלע BCBC והנקודה FF על הצלע CDCD, כך ש-BE=CFBE = CF. נתון: AB=8AB = 8 ס״מ ו-BE=6BE = 6 ס״מ. ב. מה אורך הקטע BFBF, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

AE2=82+62=100 ⇒ AE=10\begin{aligned}AE^2 &= 8^2 + 6^2 \\ &= 100 \ \Rightarrow \ AE \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס במשולש ABEABE

BF=AE=10\begin{aligned}BF &= AE \\ &= 10\end{aligned}

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

אין צורך בפיתגורס שני: החפיפה מעבירה את האורך מ-AEAE ל-BFBF.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe