La question complète : le cerf-volant

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

במבחן, גאומטריה לא מגיעה כתרגיל בודד. מגיעים שרטוט, נתון, ושלושה או ארבעה סעיפים.

הסעיפים נבנים זה על זה: הראשון מוכיח משהו קטן, השני משתמש בו, והאחרון מחשב מספר. מי שמדלג על סעיף א׳ נתקע בסעיף ג׳.

שלושת הכללים של תשובה מתקבלת

11

כל טענה — ונימוק לצידה. ״כי כך נראה בשרטוט״ אינו נימוק. הנימוק הוא נתון, הגדרה, או משפט שלמדתם.

22

מה שהוכחתם — מותר להשתמש בו. סעיף ב׳ נשען על סעיף א׳, וזה בדיוק הרעיון של השאלה המדורגת.

33

חפשו את המשולשים החופפים. ברוב ההוכחות, השוויון שמבקשים ממכם הוא ״צלעות מתאימות במשולשים חופפים״ — צריך רק למצוא איזה שני משולשים.

ובדלתון יש קיצור דרך שחוזר כמעט תמיד: האלכסון הראשי הוא ציר סימטריה.

הוא חוצה את שתי הזוויות שדרכן הוא עובר. הוא מאונך לאלכסון השני, וחוצה אותו.

שטח דלתון: S=d1⋅d22S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} — מכפלת האלכסונים חלקי שתיים. הנוסחה עובדת מפני שהאלכסונים מאונכים, ולכן היא נכונה גם במעוין ובריבוע.

בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) האלכסונים נחתכים ב-MM, ונתון MB=12MB = 12, AM=5AM = 5. מהו אורך ABAB?

Voir la réponse et le corrigé

13. האלכסונים מאונכים, ולכן המשולש AMBAMB ישר-זווית: AB2=52+122=169AB^2 = 5^2 + 12^2 = 169.

ולמה בכלל מותר להפעיל שם את משפט פיתגורס?

Voir la réponse et le corrigé

מפני שהוכחנו קודם ש-AC⊥BDAC \perp BD. פיתגורס אינו נתון — הוא תוצאה של ההוכחה, וזו בדיוק הסיבה שסעיף א׳ מגיע לפני סעיף ב׳.

שתי טעויות שמורידות נקודות גם כשהתשובה נכונה.

AB=ADAB = AD
AB=AD (נתון)AB = AD \ (\text{נתון})

טענה בלי נימוק אינה שורה בהוכחה. גם ״נתון״ הוא נימוק — צריך רק לכתוב אותו.

S=d1⋅d2S = d_1 \cdot d_2
S=d1⋅d22S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

מכפלת האלכסונים היא שטח המלבן החוסם — הדלתון הוא בדיוק חציו.

Exercices

Exercice 1

ABDCEF
האלכסונים מסומנים במקווקו. EE ו-FF מרוחקות במידה שווה מ-BB ומ-DD.

בשרטוט 1 נתון דלתון ABCDABCD שבו AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. הנקודה EE נמצאת על הצלע ABAB, הנקודה FF על הצלע ADAD, ונתון BE=DFBE = DF. א. הוכיחו: AE=AFAE = AF.

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD
  • EE על ABAB ו-FF על ADAD
  • BE=DFBE = DF

AE=AFAE = AF

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. BE=DFBE = DF — נתון
  3. AE=AB−BEAE = AB - BE — EE נמצאת על הצלע ABAB
  4. AF=AD−DFAF = AD - DF — FF נמצאת על הצלע ADAD
  5. AE=AFAE = AF — הפרש של גדלים שווים

Corrigé :

AE=AB−BE  AF=AD−DF\begin{aligned}AE &= AB - BE \ \\ \ AF &= AD - DF\end{aligned}

EE על ABAB ו-FF על ADAD

AE=AB−BE=AD−DF=AF\begin{aligned}AE &= AB - BE \\ &= AD - DF \\ &= AF\end{aligned}

מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים

אין כאן חפיפה בכלל — רק חיסור. AB=ADAB = AD נתון, BE=DFBE = DF נתון, ומה שנשאר שווה גם הוא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABDCEF
האלכסונים מסומנים במקווקו. EE ו-FF מרוחקות במידה שווה מ-BB ומ-DD.

בשרטוט 1 נתון דלתון ABCDABCD שבו AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. הנקודה EE נמצאת על הצלע ABAB, הנקודה FF על הצלע ADAD, ונתון BE=DFBE = DF. ב. הוכיחו: △CBE≅△CDF\triangle CBE \cong \triangle CDF.

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD
  • EE על ABAB ו-FF על ADAD
  • BE=DFBE = DF

△CBE≅△CDF\triangle CBE \cong \triangle CDF

Voir la réponse et le corrigé
  1. CB=CDCB = CD — נתון
  2. BE=DFBE = DF — נתון
  3. ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC — בדלתון הזוויות שבין הצלעות הלא-שוות שוות זו לזו
  4. ∠CBE=∠ABC\angle CBE = \angle ABC — EE על הצלע ABAB, ולכן זו אותה זווית
  5. ∠CDF=∠ADC\angle CDF = \angle ADC — FF על הצלע ADAD, ולכן זו אותה זווית
  6. ∠CBE=∠CDF\angle CBE = \angle CDF — שוויון עובר
  7. △CBE≅△CDF\triangle CBE \cong \triangle CDF — משפט חפיפה צ.ז.צ

Corrigé :

∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC

בדלתון הזוויות שבין הצלעות הלא-שוות שוות

∠CBE=∠CDF\angle CBE = \angle CDF

אותן זוויות, כי EE על ABAB ו-FF על ADAD

CB=CD  ∠CBE=∠CDF  BE=DF\begin{aligned}CB &= CD \ \\ \ \angle CBE &= \angle CDF \ \\ \ BE &= DF\end{aligned}

שתי צלעות והזווית שביניהן

△CBE≅△CDF\triangle CBE \cong \triangle CDF

משפט חפיפה צ.ז.צ

הזווית שבין BEBE ל-BCBC היא בדיוק ∠ABC\angle ABC, כי EE נמצאת על ABAB. זו הזווית שהופכת את שני הנתונים לצ.ז.צ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABDCEF
האלכסונים מסומנים במקווקו. EE ו-FF מרוחקות במידה שווה מ-BB ומ-DD.

בשרטוט 1 נתון דלתון ABCDABCD שבו AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. הנקודה EE נמצאת על הצלע ABAB, הנקודה FF על הצלע ADAD, ונתון BE=DFBE = DF. ג. הוכיחו: EF∥BDEF \parallel BD.

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD
  • EE על ABAB ו-FF על ADAD
  • BE=DFBE = DF

EF∥BDEF \parallel BD

Voir la réponse et le corrigé
  1. AE=AFAE = AF — הוכח בסעיף א
  2. △AEF\triangle AEF שווה-שוקיים — משולש שיש בו שתי צלעות שוות הוא שווה-שוקיים
  3. ∠AEF=180°−∠A2\angle AEF = \frac{180° - \angle A}{2} — זוויות הבסיס במשולש AEFAEF
  4. AB=ADAB = AD — נתון
  5. △ABD\triangle ABD שווה-שוקיים — משולש שיש בו שתי צלעות שוות הוא שווה-שוקיים
  6. ∠ABD=180°−∠A2\angle ABD = \frac{180° - \angle A}{2} — זוויות הבסיס במשולש ABDABD
  7. ∠AEF=∠ABD\angle AEF = \angle ABD — שני הגדלים שווים לאותו ביטוי
  8. EF∥BDEF \parallel BD — זוויות מתאימות שוות ⇐ הישרים מקבילים

Corrigé :

AE=AF  AB=AD\begin{aligned}AE &= AF \ \\ \ AB &= AD\end{aligned}

סעיף א, ונתון

∠AEF=180∘−∠A2=∠ABD\begin{aligned}\angle AEF &= \frac{180^\circ - \angle A}{2} \\ &= \angle ABD\end{aligned}

זוויות הבסיס בשני משולשים שווי-שוקיים עם אותה זווית ראש

EF∥BDEF \parallel BD

זוויות מתאימות שוות

שני המשולשים AEFAEF ו-ABDABD שווי-שוקיים, ויש להם אותה זווית ראש ∠A\angle A. לכן גם זוויות הבסיס שלהם שוות, והן זוויות מתאימות על הישרים EFEF ו-BDBD.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABDCEF
האלכסונים מסומנים במקווקו. EE ו-FF מרוחקות במידה שווה מ-BB ומ-DD.

בשרטוט 1 נתון דלתון ABCDABCD שבו AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. הנקודה EE נמצאת על הצלע ABAB, הנקודה FF על הצלע ADAD, ונתון BE=DFBE = DF. ד. נתון בנוסף ∠BAD=50°\angle BAD = 50°. חשבו את ∠AEF\angle AEF (בדרגות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 65

Corrigé :

AE=AFAE = AF

מסעיף א — המשולש שווה-שוקיים

∠AEF=180°−50°2=65°\begin{aligned}\angle AEF &= \frac{180° - 50°}{2} \\ &= 65°\end{aligned}

זוויות הבסיס

שימו לב ש-∠ABD\angle ABD שווה גם הוא ל-65°65° — וזה בדיוק מה שהוכיח את המקבילות בסעיף ג.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCMD
AMDAMD הוא ישר אחד: התיכון AMAM ממשיך אל DD.

בשרטוט 2 נתון משולש שווה-שוקיים ABCABC שבו AB=ACAB = AC, ו-AMAM הוא התיכון לבסיס BCBC. הנקודה DD נמצאת על המשך AMAM מעבר ל-MM. א. הוכיחו: DB=DCDB = DC.

  • AB=ACAB = AC
  • AMAM תיכון לבסיס BCBC
  • DD על המשך AMAM מעבר ל-MM

DB=DCDB = DC

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. BM=MCBM = MC — נתון: AMAM תיכון, ולכן MM אמצע BCBC
  3. AM=AMAM = AM — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABM≅△ACM\triangle ABM \cong \triangle ACM — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠AMB=∠AMC\angle AMB = \angle AMC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  6. ∠AMB+∠AMC=180°\angle AMB + \angle AMC = 180° — זוויות צמודות על הישר BCBC
  7. ∠AMB=90°\angle AMB = 90° — שתי זוויות שוות שסכומן 180°180°
  8. ∠DMB=∠DMC=90°\angle DMB = \angle DMC = 90° — זוויות צמודות לזוויות ישרות — ישרות
  9. DM=DMDM = DM — צלע משותפת לשני המשולשים
  10. △DBM≅△DCM\triangle DBM \cong \triangle DCM — משפט חפיפה צ.ז.צ
  11. DB=DCDB = DC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

△ABM≅△ACM\triangle ABM \cong \triangle ACM

משפט חפיפה צ.צ.צ

∠AMB=∠AMC=90∘\begin{aligned}\angle AMB &= \angle AMC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שוות וצמודות

∠DMB=∠DMC=90∘\begin{aligned}\angle DMB &= \angle DMC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

צמודות לזוויות ישרות

△DBM≅△DCM⇒DB=DC\triangle DBM \cong \triangle DCM \Rightarrow DB = DC

משפט חפיפה צ.ז.צ, ואז צלעות מתאימות

החפיפה הראשונה אינה נותנת את המבוקש — היא נותנת את הזווית הישרה ב-MM, שבלעדיה החפיפה השנייה בלתי אפשרית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCMD
AMDAMD הוא ישר אחד: התיכון AMAM ממשיך אל DD.

בשרטוט 2 נתון משולש שווה-שוקיים ABCABC שבו AB=ACAB = AC, ו-AMAM הוא התיכון לבסיס BCBC. הנקודה DD נמצאת על המשך AMAM מעבר ל-MM. ב. הוכיחו: מרובע ABDCABDC הוא דלתון.

  • AB=ACAB = AC
  • AMAM תיכון לבסיס BCBC
  • DD על המשך AMAM מעבר ל-MM

מרובע ABDCABDC הוא דלתון

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. DB=DCDB = DC — הוכח בסעיף א
  3. מרובע ABDCABDC הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

Corrigé :

AB=ACAB = AC

נתון — שתי הצלעות נפגשות ב-AA

DB=DCDB = DC

סעיף א — שתי הצלעות נפגשות ב-DD

שני הזוגות הם של צלעות סמוכות: כל זוג נפגש בקודקוד אחד. לכן ABDCABDC דלתון, ו-ADAD הוא האלכסון הראשי שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCMD
AMDAMD הוא ישר אחד: התיכון AMAM ממשיך אל DD.

בשרטוט 2 נתון משולש שווה-שוקיים ABCABC שבו AB=ACAB = AC, ו-AMAM הוא התיכון לבסיס BCBC. הנקודה DD נמצאת על המשך AMAM מעבר ל-MM. ג. נתון בנוסף ∠BAC=40°\angle BAC = 40° ו-∠BDC=100°\angle BDC = 100°. חשבו את ∠ABD\angle ABD (בדרגות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 110

Corrigé :

∠ABD=∠ACD\angle ABD = \angle ACD

בדלתון — הזוויות שבין הצלעות הלא-שוות

40°+100°+2x=360°40° + 100° + 2x = 360°

סכום זוויות במרובע

x=110°x = 110°

סכום הזוויות בכל מרובע הוא 360°360°, ושתי הזוויות הנותרות שוות זו לזו — לכן מספיק לחלק את השארית לשניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCMD
AMDAMD הוא ישר אחד: התיכון AMAM ממשיך אל DD.

בשרטוט 2 נתון משולש שווה-שוקיים ABCABC שבו AB=ACAB = AC, ו-AMAM הוא התיכון לבסיס BCBC. הנקודה DD נמצאת על המשך AMAM מעבר ל-MM. ד. נתון ∠BAC=40°\angle BAC = 40°. חשבו את ∠BAM\angle BAM (בדרגות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

△ABM≅△ACM\triangle ABM \cong \triangle ACM

צ.צ.צ, כמו בסעיף א

∠BAM=40°2=20°\begin{aligned}\angle BAM &= \frac{40°}{2} \\ &= 20°\end{aligned}

התיכון לבסיס חוצה גם את זווית הראש

במשולש שווה-שוקיים התיכון לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש וגם גובה — שלוש תכונות בקטע אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABDCM
ACAC הוא האלכסון הראשי — הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות.

בשרטוט 3 נתון דלתון ABCDABCD שבו AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. האלכסונים נחתכים בנקודה MM. א. הוכיחו: AC⊥BDAC \perp BD.

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD

AC⊥BDAC \perp BD

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. CB=CDCB = CD — נתון
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  6. AM=AMAM = AM — צלע משותפת לשני המשולשים
  7. △ABM≅△ADM\triangle ABM \cong \triangle ADM — משפט חפיפה צ.ז.צ
  8. ∠AMB=∠AMD\angle AMB = \angle AMD — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  9. ∠AMB+∠AMD=180°\angle AMB + \angle AMD = 180° — זוויות צמודות על הישר BDBD
  10. ∠AMB=90°\angle AMB = 90° — שתי זוויות שוות שסכומן 180°180°
  11. AC⊥BDAC \perp BD — זווית ישרה בין שני ישרים היא בדיוק מאונכות

Corrigé :

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

משפט חפיפה צ.צ.צ — ומכאן ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

△ABM≅△ADM\triangle ABM \cong \triangle ADM

משפט חפיפה צ.ז.צ

∠AMB=∠AMD  ∠AMB+∠AMD=180∘\begin{aligned}\angle AMB &= \angle AMD \ \\ \ \angle AMB + \angle AMD &= 180^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות, וזוויות צמודות

∠AMB=90∘\angle AMB = 90^\circ

ולכן AC⊥BDAC \perp BD

«שוות וצמודות ⇐ ישרות» היא התבנית שמוכיחה מאונכות. בזכותה מותר בסעיפים הבאים להפעיל את משפט פיתגורס במשולשים AMBAMB ו-CMBCMB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABDCM
ACAC הוא האלכסון הראשי — הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות.

בשרטוט 3 נתון דלתון ABCDABCD שבו AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. האלכסונים נחתכים בנקודה MM. ב. נתון בנוסף AB=13AB = 13 ס״מ ו-MB=12MB = 12 ס״מ. חשבו את AMAM (בס״מ).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

∠AMB=90°\angle AMB = 90°

מסעיף א

AM2=132−122=25\begin{aligned}AM^2 &= 13^2 - 12^2 \\ &= 25\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש AMBAMB

AM=5AM = 5

ההוכחה של סעיף א היא שמאפשרת את החישוב הזה: בלי הזווית הישרה, פיתגורס לא חל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ABDCM
ACAC הוא האלכסון הראשי — הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות.

בשרטוט 3 נתון דלתון ABCDABCD שבו AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. האלכסונים נחתכים בנקודה MM. ג. נתון MB=12MB = 12 ס״מ, AM=5AM = 5 ס״מ ו-MC=9MC = 9 ס״מ. חשבו את שטח הדלתון (בסמ״ר).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 168

Corrigé :

BD=2⋅12=24\begin{aligned}BD &= 2 \cdot 12 \\ &= 24\end{aligned}

האלכסון הראשי חוצה את המשני

AC=5+9=14\begin{aligned}AC &= 5 + 9 \\ &= 14\end{aligned}
S=24⋅142=168\begin{aligned}S &= \frac{24 \cdot 14}{2} \\ &= 168\end{aligned}

מכפלת האלכסונים חלקי 2

הנוסחה S=d1⋅d22S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} תקפה בכל מרובע שאלכסוניו מאונכים — ולכן גם בדלתון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

ABDCM
ACAC הוא האלכסון הראשי — הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות.

בשרטוט 3 נתון דלתון ABCDABCD שבו AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. האלכסונים נחתכים בנקודה MM. ד. נתון MC=9MC = 9 ס״מ ו-MB=12MB = 12 ס״מ. חשבו את היקף הדלתון (בס״מ), בהינתן AB=13AB = 13 ס״מ.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 56

Corrigé :

CB2=92+122=225\begin{aligned}CB^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}

פיתגורס במשולש CMBCMB

CB=15CB = 15
P=2(13+15)=56\begin{aligned}P &= 2(13 + 15) \\ &= 56\end{aligned}

שתי צלעות מכל אורך

בדלתון יש בדיוק שני אורכי צלעות, כל אחד פעמיים — לכן ההיקף הוא 2(a+b)2(a+b).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

Une ligne est fausse (שגויה) — trouvez-la (מצאו)

S=d1⋅d22S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}
AB=ADAB = AD
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AB=ADAB = AD → AB=AD (נתון)AB = AD \ (\text{נתון})

Corrigé :

טענה בלי נימוק אינה שורה בהוכחה. גם ״נתון״ הוא נימוק — צריך רק לכתוב אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

בדלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD) האלכסונים נחתכים בנקודה MM. נתון AM=5AM = 5 ס״מ, MB=12MB = 12 ס״מ ו-MC=16MC = 16 ס״מ. סדרו את הקטעים מהקצר לארוך.

  • ABAB
  • ACAC
  • AMAM
  • BDBD
  • CBCB
  • MBMB
  • MCMC
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AMAM · MBMB · ABAB · MCMC · CBCB · ACAC · BDBD

Corrigé :

AB=52+122=13\begin{aligned}AB &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= 13\end{aligned}

פיתגורס ב-△AMB\triangle AMB

CB=162+122=20\begin{aligned}CB &= \sqrt{16^2 + 12^2} \\ &= 20\end{aligned}

פיתגורס ב-△CMB\triangle CMB

AC=5+16=21\begin{aligned}AC &= 5 + 16 \\ &= 21\end{aligned}
BD=2⋅12=24\begin{aligned}BD &= 2 \cdot 12 \\ &= 24\end{aligned}
5<12<13<16<20<21<245 < 12 < 13 < 16 < 20 < 21 < 24

האלכסונים מאונכים, ולכן המשולשים AMBAMB ו-CMBCMB ישרי-זווית ומותר להפעיל בהם את משפט פיתגורס. BDBD כפול MBMB, כי הראשי חוצה את המשני.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe