מבחן לדוגמא 4

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבחן לדוגמא 4 — סוף מחצית. 3 שאלות עם סעיפים, 13 סעיפים בסך הכול, 60 דקות. שאלה מכל אחד משלושת האשכולות: הסתברות (חברה ומדע), טריגונומטריה בזווית עומק (התמצאות במישור), וחיסכון מעריכי מול חיסכון קווי (פיננסי־כלכלי). מחשבון מותר.

בהסתברות כתבו מה המאורע לפני החישוב, ובדקו אם יש שני סדרים אפשריים. זווית עומק נמדדת מהקו האופקי שבראש המצוק — והיא שווה לזווית ההגבהה מהסירה.

Exercices

שאלה 1 — הסתברות: גלגל מזל

Exercice 1

בדוכן ביריד יש גלגל מזל עם 88 גזרות שוות: 44 גזרות אדומות (פרס של 1010 ש״ח), 33 גזרות כחולות (פרס של 2020 ש״ח) וגזרה אחת זהובה (פרס של 100100 ש״ח). כל משתתף מסובב את הגלגל פעמיים, והסיבובים בלתי תלויים. א. מה ההסתברות שבסיבוב אחד הגלגל עוצר בגזרה כחולה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.375

Corrigé :

P(B)=38=0.375\begin{aligned}P(\text{B}) &= \frac{3}{8} \\ &= 0.375\end{aligned}

מספר הגזרות הכחולות חלקי מספר הגזרות — כולן שוות

0.3750.375. המלכודת: 13\frac{1}{3}, «שלושה צבעים» — הצבעים אינם שווי הסתברות, הגזרות כן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בדוכן ביריד יש גלגל מזל עם 88 גזרות שוות: 44 גזרות אדומות (פרס של 1010 ש״ח), 33 גזרות כחולות (פרס של 2020 ש״ח) וגזרה אחת זהובה (פרס של 100100 ש״ח). כל משתתף מסובב את הגלגל פעמיים, והסיבובים בלתי תלויים. ב. מה ההסתברות שבשני הסיבובים הגלגל עוצר בגזרה אדומה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

P(R)=48=0.5\begin{aligned}P(\text{R}) &= \frac{4}{8} \\ &= 0.5\end{aligned}

בכל סיבוב

0.5⋅0.5=0.250.5 \cdot 0.5 = 0.25

שני סיבובים בלתי תלויים: כופלים

0.250.25. המלכודת: 0.5+0.5=10.5 + 0.5 = 1 — «וגם» בין סיבובים בלתי תלויים הוא כפל, לא חיבור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בדוכן ביריד יש גלגל מזל עם 88 גזרות שוות: 44 גזרות אדומות (פרס של 1010 ש״ח), 33 גזרות כחולות (פרס של 2020 ש״ח) וגזרה אחת זהובה (פרס של 100100 ש״ח). כל משתתף מסובב את הגלגל פעמיים, והסיבובים בלתי תלויים. מסעיף ב: ההסתברות לאדום־אדום היא 0.250.25. ג. מה ההסתברות שבשני הסיבובים הגלגל עוצר באותו צבע? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.406

Corrigé :

0.52+0.3752+0.12520.5^2 + 0.375^2 + 0.125^2

אדום־אדום, כחול־כחול או זהוב־זהוב: שלושה מאורעות זרים

0.25+0.140625+0.015625=0.40625≈0.4060.25 + 0.140625 + 0.015625 = 0.40625 \approx 0.406

מחברים

≈0.406\approx 0.406. המלכודת: לשכוח את הזהוב־זהוב — גם גזרה אחת יכולה לצאת פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בדוכן ביריד יש גלגל מזל עם 88 גזרות שוות: 44 גזרות אדומות (פרס של 1010 ש״ח), 33 גזרות כחולות (פרס של 2020 ש״ח) וגזרה אחת זהובה (פרס של 100100 ש״ח). כל משתתף מסובב את הגלגל פעמיים, והסיבובים בלתי תלויים. P(R)=0.5P(\text{R}) = 0.5 ו-P(B)=0.375P(\text{B}) = 0.375. ד. מה ההסתברות שהמשתתף זוכה בסך הכול ב-3030 ש״ח בדיוק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.375

Corrigé :

10+20=3010 + 20 = 30

רק אדום וכחול נותנים 3030 ש״ח

0.5⋅0.375+0.375⋅0.5=0.3750.5 \cdot 0.375 + 0.375 \cdot 0.5 = 0.375

אדום ואז כחול, או כחול ואז אדום

0.3750.375. המלכודת: לחשב סדר אחד, 0.18750.1875 — «אדום וכחול» קורה בשני סדרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בדוכן ביריד יש גלגל מזל עם 88 גזרות שוות: 44 גזרות אדומות (פרס של 1010 ש״ח), 33 גזרות כחולות (פרס של 2020 ש״ח) וגזרה אחת זהובה (פרס של 100100 ש״ח). כל משתתף מסובב את הגלגל פעמיים, והסיבובים בלתי תלויים. ה. מה ההסתברות שהגלגל עוצר בגזרה הזהובה לפחות פעם אחת בשני הסיבובים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.234

Corrigé :

P(G‾)=(78)2=4964\begin{aligned}P(\overline{G}) &= \left(\frac{7}{8}\right)^2 \\ &= \frac{49}{64}\end{aligned}

המשלים: אף פעם לא זהוב

1−4964=1564≈0.2341 - \frac{49}{64} = \frac{15}{64} \approx 0.234

לפחות פעם אחת = 11 פחות «אף פעם»

≈0.234\approx 0.234. המלכודת: 18+18=0.25\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = 0.25 — כך סופרים פעמיים את זהוב־זהוב.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — טריגונומטריה: זווית עומק

Exercice 6

STNFK

מצוק STST מתנשא לגובה 5050 מטר מעל פני הים: TT בראש המצוק ו-SS בבסיסו. מראש המצוק רואים שתי סירות, NN ו-FF, על קו ישר אחד עם SS. זווית העומק לסירה NN היא 30∘30^\circ, וזווית העומק לסירה FF היא 18∘18^\circ. TKTK הוא הקו האופקי שבראש המצוק. א. מה המרחק SNSN בין בסיס המצוק לבין הסירה NN? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 86.6

Corrigé :

∠TNS=∠KTN=30∘\begin{aligned}\angle TNS &= \angle KTN \\ &= 30^\circ\end{aligned}

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים: TK∥SNTK \parallel SN

tan⁡30∘=TSSN\tan 30^\circ = \frac{TS}{SN}

במשולש ישר הזווית TSNTSN: מול חלקי ליד

SN=50tan⁡30∘≈86.60SN = \frac{50}{\tan 30^\circ} \approx 86.60

מבודדים את SNSN

SN≈86.60SN \approx 86.60 מטר. המלכודת: לשים את 30∘30^\circ בראש המצוק בתוך המשולש — זווית העומק היא מהקו האופקי, והזווית שבתוך המשולש ב-TT היא 60∘60^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

STNFK

מצוק STST מתנשא לגובה 5050 מטר מעל פני הים: TT בראש המצוק ו-SS בבסיסו. מראש המצוק רואים שתי סירות, NN ו-FF, על קו ישר אחד עם SS. זווית העומק לסירה NN היא 30∘30^\circ, וזווית העומק לסירה FF היא 18∘18^\circ. TKTK הוא הקו האופקי שבראש המצוק. SN≈86.60SN \approx 86.60 מטר. ב. מה המרחק SFSF בין בסיס המצוק לבין הסירה FF? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 153.88

Corrigé :

∠TFS=18∘\angle TFS = 18^\circ

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים

SF=50tan⁡18∘≈153.88SF = \frac{50}{\tan 18^\circ} \approx 153.88

במשולש ישר הזווית TSFTSF: tan⁡18∘=TSSF\tan 18^\circ = \frac{TS}{SF}

SF≈153.88SF \approx 153.88 מטר. זווית עומק קטנה יותר — הסירה רחוקה יותר. המלכודת: 50⋅tan⁡18∘≈1650 \cdot \tan 18^\circ \approx 16 מטר, סירה רחוקה שיוצאת קרובה מ-NN.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

STNFK

מצוק STST מתנשא לגובה 5050 מטר מעל פני הים: TT בראש המצוק ו-SS בבסיסו. מראש המצוק רואים שתי סירות, NN ו-FF, על קו ישר אחד עם SS. זווית העומק לסירה NN היא 30∘30^\circ, וזווית העומק לסירה FF היא 18∘18^\circ. TKTK הוא הקו האופקי שבראש המצוק. SN≈86.60SN \approx 86.60 מטר ו-SF≈153.88SF \approx 153.88 מטר. ג. מה המרחק בין שתי הסירות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 67.28

Corrigé :

NF=SF−SNNF = SF - SN

שתי הסירות על אותו קו עם SS, באותו צד

NF≈153.88−86.60=67.28NF \approx 153.88 - 86.60 = 67.28

On remplace (מציבים)

NF≈67.28NF \approx 67.28 מטר. המלכודת: לחשב 50tan⁡12∘\frac{50}{\tan 12^\circ} מהפרש הזוויות — אין משולש ישר זווית שבו 12∘12^\circ היא זווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

STNFK

מצוק STST מתנשא לגובה 5050 מטר מעל פני הים: TT בראש המצוק ו-SS בבסיסו. מראש המצוק רואים שתי סירות, NN ו-FF, על קו ישר אחד עם SS. זווית העומק לסירה NN היא 30∘30^\circ, וזווית העומק לסירה FF היא 18∘18^\circ. TKTK הוא הקו האופקי שבראש המצוק. המרחק בין הסירות ≈67.28\approx 67.28 מטר. ד. הסירה FF שטה ישר אל הסירה NN במהירות של 22 מטר לשנייה. כמה שניות תימשך ההפלגה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 33.64

Corrigé :

t=svt = \frac{s}{v}

זמן = דרך חלקי מהירות

t=67.282≈33.64t = \frac{67.28}{2} \approx 33.64

הדרך היא המרחק בין הסירות

≈33.64\approx 33.64 שניות. המלכודת: לחלק את SFSF, 153.88153.88 — הסירה עוצרת ב-NN, לא בבסיס המצוק.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — פיננסי: חיסכון מעריכי וחיסכון קווי

Exercice 10

מאיה קיבלה 10,00010{,}000 ש״ח ובוחרת בין שתי תוכניות חיסכון. בתוכנית א הסכום גדל ב-5%5\% בכל שנה (ריבית דריבית). בתוכנית ב הסכום גדל ב-600600 ש״ח בכל שנה. א. כמה כסף יהיה בתוכנית א אחרי 44 שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12155.06

Corrigé :

At=10000⋅1.05tA_t = 10000 \cdot 1.05^t

גדילה של 5%5\%: מכפיל 1.051.05

10000⋅1.054≈12155.0610000 \cdot 1.05^4 \approx 12155.06

מציבים t=4t = 4

≈12155.06\approx 12155.06 ש״ח. המלכודת: 10000+4⋅500=1200010000 + 4 \cdot 500 = 12000 — זו ריבית פשוטה; בריבית דריבית הריבית נצברת גם על הריבית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

מאיה קיבלה 10,00010{,}000 ש״ח ובוחרת בין שתי תוכניות חיסכון. בתוכנית א הסכום גדל ב-5%5\% בכל שנה (ריבית דריבית). בתוכנית ב הסכום גדל ב-600600 ש״ח בכל שנה. בתוכנית א אחרי 44 שנים יש 12155.0612155.06 ש״ח. ב. אחרי כמה שנים שלמות, לראשונה, יהיה בתוכנית א יותר כסף מאשר בתוכנית ב?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

A:10000⋅1.05t,B:10000+600tA: 10000 \cdot 1.05^t, \quad B: 10000 + 600t

מודל מעריכי מול מודל קווי

t=8: 14774.55<14800t = 8: \ 14774.55 < 14800

תוכנית ב עדיין מובילה

t=9: 15513.28>15400t = 9: \ 15513.28 > 15400

לראשונה תוכנית א מובילה

אחרי 99 שנים. המלכודת: להשוות רק בתחילה — בשנה הראשונה א נותנת 500500 וב נותנת 600600, אבל הגדילה של א גדלה משנה לשנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מאיה קיבלה 10,00010{,}000 ש״ח ובוחרת בין שתי תוכניות חיסכון. בתוכנית א הסכום גדל ב-5%5\% בכל שנה (ריבית דריבית). בתוכנית ב הסכום גדל ב-600600 ש״ח בכל שנה. ג. בנק אחר מציע תוכנית ג: מפקידים 10,00010{,}000 ש״ח, ואחרי שנתיים יש בחשבון 12,10012{,}100 ש״ח, בריבית דריבית קבועה. מהו אחוז הריבית השנתי בתוכנית ג?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

10000⋅q2=1210010000 \cdot q^2 = 12100

נוסחת הגדילה אחרי שנתיים

q2=1.21⇒q=1.21=1.1\begin{aligned}q^2 &= 1.21 \Rightarrow q \\ &= \sqrt{1.21} \\ &= 1.1\end{aligned}

מחלקים ומוציאים שורש

1.1−1=0.1=10%\begin{aligned}1.1 - 1 &= 0.1 \\ &= 10\%\end{aligned}

המכפיל 1.11.1 הוא עלייה של 10%10\%

10%10\% לשנה. המלכודת: 21%2=10.5%\frac{21\%}{2} = 10.5\% — בגדילה מעריכית לא מחלקים את האחוז הכולל במספר השנים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

מאיה קיבלה 10,00010{,}000 ש״ח ובוחרת בין שתי תוכניות חיסכון. בתוכנית א הסכום גדל ב-5%5\% בכל שנה (ריבית דריבית). בתוכנית ב הסכום גדל ב-600600 ש״ח בכל שנה. מהשנה ה-99 תוכנית א מובילה. ד. מה יהיה ההפרש בין הסכום בתוכנית א לבין הסכום בתוכנית ב אחרי 1212 שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 758.56

Corrigé :

A12=10000⋅1.0512≈17958.56A_{12} = 10000 \cdot 1.05^{12} \approx 17958.56

תוכנית א

B12=10000+600⋅12=17200\begin{aligned}B_{12} &= 10000 + 600 \cdot 12 \\ &= 17200\end{aligned}

תוכנית ב

17958.56−17200=758.5617958.56 - 17200 = 758.56

ההפרש

≈758.56\approx 758.56 ש״ח לטובת תוכנית א. המלכודת: לכפול ב-1.05⋅121.05 \cdot 12 במקום להעלות בחזקת 1212.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe