Suite arithmétique

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בסדרה חשבונית מוסיפים בכל צעד אותו מספר — ההפרש dd. כל השאר נובע מזה.

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d

שימו לב ל-(n−1)(n-1): מ-a1a_1 אל a10a_{10} יש תשע קפיצות, לא עשר. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק, והיא עולה סעיף שלם.

הסכום

Sn=n(a1+an)2S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

הרעיון של גאוס: מזווגים את הראשון עם האחרון, את השני עם הלפני-אחרון, וכל זוג נותן אותו סכום. יש n2\frac{n}{2} זוגות.

סכום בשתי שורות

בסדרה a1=5a_1 = 5, d=3d = 3. חשבו את S10S_{10}.

a10=5+9⋅3=32\begin{aligned}a_{10} &= 5 + 9 \cdot 3 \\ &= 32\end{aligned}

קודם האיבר האחרון

S10=10(5+32)2S_{10} = \frac{10(5+32)}{2}

ואז הסכום

=185= 185

הסכום נשען על האיבר האחרון. מי שמנסה לחשב SnS_n בלי ana_n נתקע — חשבו אותו קודם, תמיד.

בסדרה a1=100a_1 = 100 ו-d=−4d = -4. באיזה מקום מופיע האיבר 00?

Voir la réponse et le corrigé

100−4(n−1)=0100 - 4(n-1) = 0, כלומר 4(n−1)=1004(n-1) = 100 ו-n=26n = 26. הפרש שלילי הוא סדרה יורדת — הנוסחה זהה, רק הסימן משתנה.

שלושה איברים עוקבים

2b=a+c2b = a + c

האיבר האמצעי הוא הממוצע של שכניו. זהו גם התנאי שבודקים כשמבקשים להוכיח שסדרה חשבונית.

האיברים 44, bb, 1010 הם שלושה עוקבים בסדרה חשבונית. מהו bb?

Voir la réponse et le corrigé

2b=142b = 14, ולכן b=7b = 7 — בדיוק הממוצע. ההפרש הוא 33, ואפשר לבדוק: 4,7,104, 7, 10.

שתי הטעויות של הסדרה החשבונית.

an=a1+nda_n = a_1 + nd
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d

(n−1)(n-1) קפיצות, לא nn. עם nn מקבלים תמיד איבר אחד קדימה.

Sn=n⋅an2S_n = \frac{n \cdot a_n}{2}
Sn=n(a1+an)2S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

הסכום מזווג את הראשון עם האחרון. שכחת a1a_1 נותנת בערך חצי מהתשובה.

Exercices

Exercice 1

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 ו-d=3d = 3. מהו a10a_{10}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 32

Corrigé :

5+9⋅35 + 9 \cdot 3

תשע קפיצות

=32= 32

(n−1)(n-1), לא nn.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 ו-d=3d = 3. מהו S10S_{10}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 185

Corrigé :

a10=32a_{10} = 32

קודם האחרון

10(5+32)2=185\frac{10(5+32)}{2} = 185

בלי a10a_{10} אי אפשר להתחיל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 ו-d=3d = 3. מהו S20S_{20}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 670

Corrigé :

a20=5+19⋅3=62\begin{aligned}a_{20} &= 5 + 19 \cdot 3 \\ &= 62\end{aligned}
20(5+62)2=670\frac{20(5+62)}{2} = 670

אותה דרך בדיוק, מספרים גדולים יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בסדרה a1=100a_1 = 100, d=−4d = -4. באיזה מקום nn מתקבל האיבר 00?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 26

Corrigé :

100−4(n−1)=0100 - 4(n-1) = 0
n−1=25⇒n=26\begin{aligned}n - 1 &= 25 \Rightarrow n \\ &= 26\end{aligned}

הפרש שלילי — סדרה יורדת. הנוסחה לא משתנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

האיברים 44, bb, 1010 עוקבים בסדרה חשבונית. מהו bb?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

2b=4+102b = 4 + 10

האמצעי הוא הממוצע

b=7b = 7

וההפרש יוצא 33: 4,7,104, 7, 10.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו סכום 50 המספרים האי-זוגיים הראשונים (1,3,5,…1, 3, 5, \ldots)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2500

Corrigé :

a1=1  d=2\begin{aligned}a_1 &= 1 \ \\ \ d &= 2\end{aligned}
a50=1+49⋅2=99\begin{aligned}a_{50} &= 1 + 49 \cdot 2 \\ &= 99\end{aligned}
50(1+99)2=2500\frac{50(1+99)}{2} = 2500

2500=5022500 = 50^2 — סכום nn האי-זוגיים הראשונים הוא תמיד n2n^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בסדרה חשבונית, כמה קפיצות יש מ-a1a_1 ל-a12a_{12}?

  1. 10
  2. 12
  3. 11
  4. 13
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 11

Corrigé :

12−1=1112 - 1 = 11

בדיוק ה-(n−1)(n-1) של הנוסחה. ספרו קפיצות, לא איברים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בסדרה חשבונית a3=11a_3 = 11 ו-a7=27a_7 = 27. מהו ההפרש dd?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

a7−a3=4da_7 - a_3 = 4d

ארבע קפיצות ביניהם

27−11=16⇒d=4\begin{aligned}27 - 11 &= 16 \Rightarrow d \\ &= 4\end{aligned}

לא צריך את a1a_1. ההפרש בין שני איברים מגלה את dd ישירות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בסדרה חשבונית a3=11a_3 = 11 ו-d=4d = 4. מהו a1a_1?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

a3=a1+2da_3 = a_1 + 2d

שתי קפיצות

11=a1+8⇒a1=3\begin{aligned}11 &= a_1 + 8 \Rightarrow a_1 \\ &= 3\end{aligned}

הדרך אחורה: מחסרים את הקפיצות במקום להוסיף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

סדרה שבה כל איבר גדול מקודמו ב-77. מה נכון?

  1. היא חשבונית עם d=7d = 7
  2. תלוי ב-a1a_1
  3. היא הנדסית עם q=7q = 7
  4. היא לא סדרה מוכרת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A היא חשבונית עם d=7d = 7

Corrigé :

an+1−an=7a_{n+1} - a_n = 7

הפרש קבוע

חיבור קבוע ⇐ חשבונית. כפל קבוע ⇐ הנדסית. זו ההבחנה היחידה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה סדרה חשבונית עם איבר ראשון a1a_1 והפרש dd. הוכיחו: an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d.

  • בסדרה חשבונית: ak+1=ak+da_{k+1} = a_k + d לכל kk
  • האיבר הראשון הוא a1a_1

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d

Voir la réponse et le corrigé
  1. a2=a1+da_2 = a_1 + d — הגדרת הסדרה, צעד אחד
  2. a3=a2+d=a1+2da_3 = a_2 + d = a_1 + 2d — עוד צעד, בהצבת השורה הקודמת
  3. מ-a1a_1 אל ana_n יש n−1n-1 צעדים — ספירת המעברים בין nn איברים
  4. כל צעד מוסיף dd בדיוק — ההפרש קבוע בכל הסדרה
  5. an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d — n−1n-1 צעדים, כל אחד מוסיף dd
Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe