סימולציית בגרות 1

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סימולציית בגרות 1 — שאלון 35471 (4 יחידות לימוד). 8 שאלות בשלושה פרקים, 35 סעיפים בסך הכול. עליכם לענות על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק. לכל שאלה 20 נקודות. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי (210 דקות). מותר להשתמש בנוסחאון, בטבלת ההתפלגות הנורמלית ובמחשבון לא גרפי. כל השאלות כתובות כאן, ואתם בוחרים. פרק ראשון — סטטיסטיקה והסתברות: שאלה 1 (התפלגות נורמלית: חיי הסוללה), שאלה 2 (מתאם ורגרסיה: דוכן מיצים), שאלה 3 (הסתברות מותנית: איחורים לבית הספר). פרק שני — גאומטריה: שאלה 4 (מעוין במערכת צירים), שאלה 5 (מעגל ומשיק במערכת צירים). פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלה 6 (חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר), שאלה 7 (פונקציית שורש), שאלה 8 (בעיית ערך קיצון: מלבן מתחת לפרבולה).

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בכל שאלת חקירה, תחום ההגדרה קודם לכול; בשאלות ההתפלגות הנורמלית, הטבלה נותנת את השטח משמאל; ובכל סעיף שטח עם f′f', השטח הוא f(b)−f(a)f(b)-f(a).

Exercices

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: חיי הסוללה

Exercice 1

חיי הסוללה של דגם טלפון מסוים (בשעות שימוש) מתפלגים נורמלית עם ממוצע 1818 שעות. ל-15.87%15.87\% מהטלפונים הסוללה מחזיקה יותר מ-2121 שעות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. א. מצאו את סטיית התקן של חיי הסוללה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

P(X>21)=0.1587⇒Φ(z)=1−0.1587=0.8413\begin{aligned}P(X>21) &= 0.1587 \Rightarrow \Phi(z) \\ &= 1-0.1587 \\ &= 0.8413\end{aligned}

השטח משמאל ל-2121

z=1⇒21−18σ=1\begin{aligned}z &= 1 \Rightarrow \frac{21-18}{\sigma} \\ &= 1\end{aligned}

ציון התקן מהטבלה

σ=3\sigma=3

סטיית התקן 33 שעות. המלכודת: לחפש בטבלה את 0.15870.1587 — הטבלה נותנת את השטח משמאל, ולכן מחפשים את 0.84130.8413.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חיי הסוללה של דגם טלפון מסוים (בשעות שימוש) מתפלגים נורמלית עם ממוצע 1818 שעות. ל-15.87%15.87\% מהטלפונים הסוללה מחזיקה יותר מ-2121 שעות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. נמצא: סטיית התקן 33 שעות. ב. איזה אחוז מהטלפונים מחזיקים בין 1515 ל-22.522.5 שעות? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 77.45

Corrigé :

z1=15−183=−1z2=22.5−183=1.5\begin{aligned}z_1 &= \frac{15-18}{3} \\ &= -1 \qquad z_2 \\ &= \frac{22.5-18}{3} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציוני התקן של שני הגבולות

Φ(−1)=1−0.8413=0.1587\begin{aligned}\Phi(-1) &= 1-0.8413 \\ &= 0.1587\end{aligned}

סימטריה של העקומה

Φ(1.5)−Φ(−1)=0.9332−0.1587=0.7745\begin{aligned}\Phi(1.5)-\Phi(-1) &= 0.9332-0.1587 \\ &= 0.7745\end{aligned}

השטח בין שני הגבולות

77.45%77.45\%. המלכודת: לקחת Φ(−1)=0.8413\Phi(-1)=0.8413 — ציון תקן שלילי נותן שטח קטן מחצי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חיי הסוללה של דגם טלפון מסוים (בשעות שימוש) מתפלגים נורמלית עם ממוצע 1818 שעות. ל-15.87%15.87\% מהטלפונים הסוללה מחזיקה יותר מ-2121 שעות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. נמצא: סטיית התקן 33 שעות. ג. היצרן מחליף את הסוללה ל-10%10\% מהטלפונים, אלה שהסוללה שלהם מחזיקה הכי מעט. מצאו את מספר השעות tt שמתחתיו מחליפים את הסוללה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14.16

Corrigé :

P(X<t)=0.10⇒Φ(−z)=0.90\begin{aligned}P(X<t) &= 0.10 \Rightarrow \Phi(-z) \\ &= 0.90\end{aligned}

זנב שמאלי: ציון התקן שלילי

Φ(1.28)=0.8997≈0.90⇒z=−1.28\begin{aligned}\Phi(1.28) &= 0.8997 \approx 0.90 \Rightarrow z \\ &= -1.28\end{aligned}

קריאה הפוכה של הטבלה

t=18−1.28⋅3=14.16\begin{aligned}t &= 18-1.28 \cdot 3 \\ &= 14.16\end{aligned}

x=μ+zσx=\mu+z\sigma

t≈14.16t \approx 14.16 שעות. המלכודת: 21.8421.84 — זה הסף של 10%10\% הטלפונים הטובים ביותר, מימין לממוצע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חיי הסוללה של דגם טלפון מסוים (בשעות שימוש) מתפלגים נורמלית עם ממוצע 1818 שעות. ל-15.87%15.87\% מהטלפונים הסוללה מחזיקה יותר מ-2121 שעות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. ד. בדגם חדש סטיית התקן נשארה 33 שעות, אבל רק ל-6.68%6.68\% מהטלפונים הסוללה מחזיקה פחות מ-1616 שעות. מצאו את הממוצע של חיי הסוללה בדגם החדש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20.5

Corrigé :

Φ(z)=0.0668⇒Φ(−z)=0.9332⇒z=−1.5\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.0668 \Rightarrow \Phi(-z) \\ &= 0.9332 \Rightarrow z \\ &= -1.5\end{aligned}

השטח משמאל ל-1616 קטן מחצי

16−μ3=−1.5\frac{16-\mu}{3}=-1.5

ציון התקן של 1616

μ=16+4.5=20.5\begin{aligned}\mu &= 16+4.5 \\ &= 20.5\end{aligned}

הממוצע 20.520.5 שעות. המלכודת: לקחת z=+1.5z=+1.5 ולקבל 11.511.5 — הממוצע חייב להיות מעל 1616, כי פחות מחצי מהטלפונים מתחת ל-1616.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: דוכן מיצים

Exercice 5

מחיר כוס (x, ש"ח)24568
כוסות שנמכרו (y, עשרות)2620221814

בדוכן מיצים בשוק שינו את מחיר כוס המיץ (xx, בשקלים) בחמישה ימים שונים, ורשמו כמה כוסות נמכרו באותו יום (yy, בעשרות כוסות). הנתונים בטבלה. ידוע: xˉ=5\bar{x}=5 ו-Sx=2S_x=2. א. חשבו את הממוצע yˉ\bar{y} ואת סטיית התקן SyS_y.

yˉ=\bar{y}= ____ , Sy=S_y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : yˉ=\bar{y}= 20 , Sy=S_y= 4

Corrigé :

yˉ=26+20+22+18+145=1005=20\begin{aligned}\bar{y} &= \frac{26+20+22+18+14}{5} \\ &= \frac{100}{5} \\ &= 20\end{aligned}

ממוצע

y−yˉ: 6, 0, 2, −2, −6y-\bar{y}:\ 6,\ 0,\ 2,\ -2,\ -6

הסטיות מהממוצע

Sy=36+0+4+4+365=16=4\begin{aligned}S_y &= \sqrt{\frac{36+0+4+4+36}{5}} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

מחלקים במספר הנתונים, 55

yˉ=20\bar{y}=20 ו-Sy=4S_y=4. המלכודת: לחלק ב-44 במקום ב-55 ולקבל 20\sqrt{20} — בנוסחאון מחלקים במספר הנתונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מחיר כוס (x, ש"ח)24568
כוסות שנמכרו (y, עשרות)2620221814

בדוכן מיצים בשוק שינו את מחיר כוס המיץ (xx, בשקלים) בחמישה ימים שונים, ורשמו כמה כוסות נמכרו באותו יום (yy, בעשרות כוסות). הנתונים בטבלה. ידוע: xˉ=5\bar{x}=5 ו-Sx=2S_x=2. נמצא: yˉ=20\bar{y}=20, Sy=4S_y=4. ב. חשבו את מקדם המתאם של פירסון rr. ענו עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.95

Corrigé :

x−xˉ: −3, −1, 0, 1, 3x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3

הסטיות של xx

∑(x−xˉ)(y−yˉ)=−18+0+0−2−18=−38\begin{aligned}\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) &= -18+0+0-2-18 \\ &= -38\end{aligned}

סכום המכפלות

r=−385⋅2⋅4=−0.95\begin{aligned}r &= \frac{-38}{5 \cdot 2 \cdot 4} \\ &= -0.95\end{aligned}

הנוסחה מהנוסחאון

r=−0.95r=-0.95: מתאם שלילי חזק — כשהמחיר עולה, נמכרות פחות כוסות. המלכודת: לשכוח את הסימן. מתאם «חזק» יכול להיות שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מחיר כוס (x, ש"ח)24568
כוסות שנמכרו (y, עשרות)2620221814

בדוכן מיצים בשוק שינו את מחיר כוס המיץ (xx, בשקלים) בחמישה ימים שונים, ורשמו כמה כוסות נמכרו באותו יום (yy, בעשרות כוסות). הנתונים בטבלה. ידוע: xˉ=5\bar{x}=5 ו-Sx=2S_x=2. נמצא: yˉ=20\bar{y}=20, Sy=4S_y=4, r=−0.95r=-0.95. ג. מצאו את משוואת קו הרגרסיה של yy על xx.

y=y= ____ x+x+ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y= -1.9 x+x+ 29.5

Corrigé :

m=r⋅SySx=−0.95⋅42=−1.9\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= -0.95 \cdot \frac{4}{2} \\ &= -1.9\end{aligned}

שיפוע קו הרגרסיה

y−20=−1.9(x−5)y-20=-1.9(x-5)

הקו עובר דרך (xˉ,yˉ)(\bar{x},\bar{y})

y=−1.9x+29.5y=-1.9x+29.5

הקו: y=−1.9x+29.5y=-1.9x+29.5. המלכודת: להפוך את היחס, SxSy\frac{S_x}{S_y}, ולקבל שיפוע −0.475-0.475.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מחיר כוס (x, ש"ח)24568
כוסות שנמכרו (y, עשרות)2620221814

בדוכן מיצים בשוק שינו את מחיר כוס המיץ (xx, בשקלים) בחמישה ימים שונים, ורשמו כמה כוסות נמכרו באותו יום (yy, בעשרות כוסות). הנתונים בטבלה. ידוע: xˉ=5\bar{x}=5 ו-Sx=2S_x=2. קו הרגרסיה: y=−1.9x+29.5y=-1.9x+29.5. ד. לפי קו הרגרסיה, כמה כוסות צפויות להימכר ביום שבו המחיר 77 ש"ח? ענו בעשרות כוסות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16.2

Corrigé :

y=−1.9⋅7+29.5=16.2\begin{aligned}y &= -1.9 \cdot 7+29.5 \\ &= 16.2\end{aligned}

מציבים x=7x=7

2≤7≤82 \le 7 \le 8

המחיר בתוך תחום הנתונים, ולכן הניבוי סביר

בערך 16.216.2 עשרות, כלומר כ-162162 כוסות. המלכודת: להציב את 77 במקום yy. הניבוי תקף רק בתוך תחום המחירים שנמדדו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מחיר כוס (x, ש"ח)24568
כוסות שנמכרו (y, עשרות)2620221814

בדוכן מיצים בשוק שינו את מחיר כוס המיץ (xx, בשקלים) בחמישה ימים שונים, ורשמו כמה כוסות נמכרו באותו יום (yy, בעשרות כוסות). הנתונים בטבלה. ידוע: xˉ=5\bar{x}=5 ו-Sx=2S_x=2. קו הרגרסיה: y=−1.9x+29.5y=-1.9x+29.5, ו-r=−0.95r=-0.95. ה. בקיץ הבא נמכרו בכל אחד מהימים האלה בדיוק 33 עשרות כוסות פחות (המחירים לא השתנו). איזו טענה נכונה לגבי הנתונים החדשים?

  1. rr משתנה ל-−0.8-0.8, והשיפוע לא משתנה
  2. השיפוע משתנה ל-−4.9-4.9, ו-rr לא משתנה
  3. SyS_y קטנה ל-11, והשיפוע משתנה
  4. rr ושיפוע הקו לא משתנים, והקו החדש y=−1.9x+26.5y=-1.9x+26.5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D rr ושיפוע הקו לא משתנים, והקו החדש y=−1.9x+26.5y=-1.9x+26.5

Corrigé :

y→y−3: yˉ=17 Sy=4\begin{aligned}y \to y-3: \ \bar{y} &= 17 \\ \ S_y &= 4\end{aligned}

הזזה משנה את הממוצע, לא את הפיזור

r=−0.95 m=−1.9\begin{aligned}r &= -0.95 \\ \ m &= -1.9\end{aligned}

המתאם והשיפוע תלויים רק בסטיות

y−17=−1.9(x−5)⇒y=−1.9x+26.5\begin{aligned}y-17 &= -1.9(x-5) \Rightarrow y \\ &= -1.9x+26.5\end{aligned}

רק החותך יורד ב-33

הנכונה: rr והשיפוע לא משתנים, והקו יורד ב-33. המלכודת: לחסר 33 גם מסטיית התקן או מהשיפוע — הזזה של כל הנתונים לא משנה את הפיזור.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — הסתברות מותנית: איחורים לבית הספר

Exercice 10

בבית ספר גדול 40%40\% מהתלמידים מגיעים באופניים, והשאר באוטובוס. 15%15\% מהמגיעים באופניים מאחרים, ו-25%25\% מהמגיעים באוטובוס מאחרים. בוחרים תלמיד באקראי. נסמן ב-BB את המאורע «התלמיד מגיע באופניים», וב-LL את המאורע «התלמיד מאחר». א. מה ההסתברות שהתלמיד מאחר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.21

Corrigé :

P(L)=0.4⋅0.15+0.6⋅0.25P(L)=0.4 \cdot 0.15+0.6 \cdot 0.25

Formule des probabilités totales (נוסחת ההסתברות השלמה) : deux branches dans l'arbre

=0.06+0.15=0.21=0.06+0.15=0.21

P=0.21P=0.21. המלכודת: לחבר 0.15+0.250.15+0.25 או לחשב את הממוצע שלהם, 0.20.2 — כל אחוז צריך לכפול במשקל של הקבוצה שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

בבית ספר גדול 40%40\% מהתלמידים מגיעים באופניים, והשאר באוטובוס. 15%15\% מהמגיעים באופניים מאחרים, ו-25%25\% מהמגיעים באוטובוס מאחרים. בוחרים תלמיד באקראי. נסמן ב-BB את המאורע «התלמיד מגיע באופניים», וב-LL את המאורע «התלמיד מאחר». נמצא: P(L)=0.21P(L)=0.21. ב. ידוע שהתלמיד שנבחר איחר. מה ההסתברות שהוא הגיע באופניים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.29

Corrigé :

P(B∣L)=P(B∩L)P(L)P(B \mid L)=\frac{P(B \cap L)}{P(L)}

הסתברות מותנית

=0.060.21=27≈0.29=\frac{0.06}{0.21}=\frac{2}{7} \approx 0.29

P≈0.29P \approx 0.29. המלכודת: לענות 0.150.15 — זו P(L∣B)P(L \mid B), ההסתברות לאחר בהינתן אופניים, והשאלה הפוכה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

בבית ספר גדול 40%40\% מהתלמידים מגיעים באופניים, והשאר באוטובוס. 15%15\% מהמגיעים באופניים מאחרים, ו-25%25\% מהמגיעים באוטובוס מאחרים. בוחרים תלמיד באקראי. נסמן ב-BB את המאורע «התלמיד מגיע באופניים», וב-LL את המאורע «התלמיד מאחר». ג. אחרי שנסללו שבילי אופניים, חלק גדול יותר מהתלמידים מגיעים באופניים. אחוזי האיחור בכל קבוצה לא השתנו, ועכשיו ההסתברות שתלמיד מאחר היא 0.190.19. איזה אחוז מהתלמידים מגיעים עכשיו באופניים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

0.15p+0.25(1−p)=0.190.15p+0.25(1-p)=0.19

pp — החלק של המגיעים באופניים

0.25−0.1p=0.19⇒p=0.6\begin{aligned}0.25-0.1p &= 0.19 \Rightarrow p \\ &= 0.6\end{aligned}
p=60%p=60\%

60%60\%. המלכודת: לכתוב 0.15p+0.25p=0.190.15p+0.25p=0.19 — מי שלא מגיע באופניים מגיע באוטובוס, ולכן המשקל השני הוא 1−p1-p.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

בבית ספר גדול 40%40\% מהתלמידים מגיעים באופניים, והשאר באוטובוס. 15%15\% מהמגיעים באופניים מאחרים, ו-25%25\% מהמגיעים באוטובוס מאחרים. בוחרים תלמיד באקראי. נסמן ב-BB את המאורע «התלמיד מגיע באופניים», וב-LL את המאורע «התלמיד מאחר». במצב ההתחלתי נמצא: P(L)=0.21P(L)=0.21. ד. עיתון מקומי כתב (על המצב ההתחלתי): «רוב התלמידים שמאחרים מגיעים באוטובוס». הוכיחו או הפריכו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

P(Bˉ∣L)=0.6⋅0.250.21=0.150.21=57\begin{aligned}P(\bar{B} \mid L) &= \frac{0.6 \cdot 0.25}{0.21} \\ &= \frac{0.15}{0.21} \\ &= \frac{5}{7}\end{aligned}

הסתברות מותנית

57≈0.71>0.5\frac{5}{7} \approx 0.71>0.5

יותר ממחצית המאחרים

נכון: כ-71%71\% מהמאחרים מגיעים באוטובוס. המלכודת: להשוות רק את 25%25\% ל-15%15\% — צריך לחשב את ההסתברות בהינתן איחור.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — מעוין במערכת צירים

Exercice 14

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-3-1135791113-2246810xy

במרובע ABCDABCD נתונים הקודקודים A(−1,1)A(-1,1) ו-C(11,7)C(11,7). האלכסון BDBD מאונך לאלכסון ACAC ועובר דרך MM, אמצע ACAC. הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. א. מצאו את MM ואת משוואת הישר שעליו מונח האלכסון BDBD.

M(M( ____ ,, ____ )) ; y=y= ____ x+x+ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : M(M( 5 ,, 4 )) ; y=y= -2 x+x+ 14

Corrigé :

M=(−1+112,1+72)=(5,4)\begin{aligned}M &= \left(\frac{-1+11}{2},\frac{1+7}{2}\right) \\ &= (5,4)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע

mAC=7−111+1=12⇒mBD=−2\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{7-1}{11+1} \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow m_{BD} \\ &= -2\end{aligned}

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1

y−4=−2(x−5)⇒y=−2x+14\begin{aligned}y-4 &= -2(x-5) \Rightarrow y \\ &= -2x+14\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע

הישר y=−2x+14y=-2x+14. המלכודת: לקחת את השיפוע ההפוך בלי להחליף סימן, 22 — הישר המאונך צריך את ההופכי הנגדי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-3-1135791113-2246810xy

במרובע ABCDABCD נתונים הקודקודים A(−1,1)A(-1,1) ו-C(11,7)C(11,7). האלכסון BDBD מאונך לאלכסון ACAC ועובר דרך MM, אמצע ACAC. הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. נמצא: M(5,4)M(5,4), והאלכסון BDBD על הישר y=−2x+14y=-2x+14. ב. מצאו את BB ואת DD, כאשר MM הוא גם אמצע BDBD.

B(B( ____ ,0),0) ; D(D( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B(B( 7 ,0),0) ; D(D( 3 ,, 8 ))

Corrigé :

0=−2x+14⇒B(7,0)0=-2x+14 \Rightarrow B(7,0)

BB על ציר ה-xx: מציבים y=0y=0

D=2M−B=(10−7, 8−0)=(3,8)\begin{aligned}D &= 2M-B \\ &= (10-7,\ 8-0) \\ &= (3,8)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע, הפוכה

8=−2⋅3+148=-2 \cdot 3+14

בדיקה: DD על הישר

B(7,0)B(7,0) ו-D(3,8)D(3,8). המלכודת: לחשב DD כממוצע של MM ו-BB — MM הוא האמצע, ולכן D=2M−BD=2M-B.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-3-1135791113-2246810xy

במרובע ABCDABCD נתונים הקודקודים A(−1,1)A(-1,1) ו-C(11,7)C(11,7). האלכסון BDBD מאונך לאלכסון ACAC ועובר דרך MM, אמצע ACAC. הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. נמצא: B(7,0)B(7,0), D(3,8)D(3,8), ו-M(5,4)M(5,4) הוא אמצע ACAC וגם אמצע BDBD. ג. הוכיחו כי המרובע ABCDABCD הוא מעוין.

  • A(−1,1)A(-1,1), B(7,0)B(7,0), C(11,7)C(11,7), D(3,8)D(3,8)
  • M(5,4)M(5,4) אמצע ACAC ואמצע BDBD
  • mAC=12m_{AC}=\frac{1}{2}, mBD=−2m_{BD}=-2

ABCDABCD מעוין

Voir la réponse et le corrigé
  1. ABCDABCD מקבילית — מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית
  2. AC⊥BDAC \perp BD — מכפלת השיפועים 12⋅(−2)=−1\frac{1}{2} \cdot (-2)=-1
  3. ABCDABCD מעוין — מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין

Corrigé :

ABCDמקביליתABCD מקבילית

מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית

AC⊥BDAC \perp BD

מכפלת השיפועים 12⋅(−2)=−1\frac{1}{2} \cdot (-2)=-1

ABCDמעויןABCD מעוין

מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין

המעוין מוכח בשני שלבים: מקבילית (האלכסונים חוצים זה את זה), ואז אלכסונים מאונכים. המלכודת: לומר «אלכסונים מאונכים — לכן מעוין» בלי המקבילית; גם בדלתון האלכסונים מאונכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-3-1135791113-2246810xy

במרובע ABCDABCD נתונים הקודקודים A(−1,1)A(-1,1) ו-C(11,7)C(11,7). האלכסון BDBD מאונך לאלכסון ACAC ועובר דרך MM, אמצע ACAC. הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. ABCDABCD מעוין, B(7,0)B(7,0), D(3,8)D(3,8). ד. חשבו את שטח המעוין ABCDABCD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

AC=122+62=180=65\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2+6^2} \\ &= \sqrt{180} \\ &= 6\sqrt{5}\end{aligned}

נוסחת המרחק

BD=42+82=80=45\begin{aligned}BD &= \sqrt{4^2+8^2} \\ &= \sqrt{80} \\ &= 4\sqrt{5}\end{aligned}

נוסחת המרחק

S=AC⋅BD2=65⋅452=60\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{6\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5}}{2} \\ &= 60\end{aligned}

שטח מעוין: מחצית מכפלת האלכסונים

השטח 6060. המלכודת: לשכוח לחלק ב-22 ולקבל 120120 — מכפלת האלכסונים היא שטח של מלבן שחוסם את המעוין.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-3-1135791113-2246810xy

במרובע ABCDABCD נתונים הקודקודים A(−1,1)A(-1,1) ו-C(11,7)C(11,7). האלכסון BDBD מאונך לאלכסון ACAC ועובר דרך MM, אמצע ACAC. הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. ABCDABCD מעוין, M(5,4)M(5,4), B(7,0)B(7,0), D(3,8)D(3,8). ה. חשבו את הזווית ∠DAB\angle DAB של המעוין. ענו במעלות, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 67.38

Corrigé :

MA=45MB=20\begin{aligned}MA &= \sqrt{45} \\ \quad MB &= \sqrt{20}\end{aligned}

חצאי האלכסונים

tan⁡∠MAB=MBMA=2045=23\begin{aligned}\tan \angle MAB &= \frac{MB}{MA} \\ &= \sqrt{\frac{20}{45}} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

במשולש ישר הזווית AMBAMB: AC⊥BDAC \perp BD

∠MAB≈33.69∘⇒∠DAB≈67.38∘\angle MAB \approx 33.69^\circ \Rightarrow \angle DAB \approx 67.38^\circ

במעוין האלכסון חוצה את הזווית

∠DAB≈67.38∘\angle DAB \approx 67.38^\circ. המלכודת: לעצור ב-33.69∘33.69^\circ — זו רק מחצית הזווית, כי האלכסון ACAC חוצה אותה.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — מעגל ומשיק במערכת צירים

Exercice 19

שרטוט לשאלה 5
ABCMD-8-6-4-20246-22468101214xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-yy, והמעגל עובר דרך הנקודות A(−4,9)A(-4,9) ו-B(4,1)B(4,1). א. מצאו את MM ואת רדיוס המעגל. כתבו את R2R^2.

M(0,M(0, ____ )) ; R2=R^2= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : M(0,M(0, 5 )) ; R2=R^2= 32

Corrigé :

(−4−0)2+(9−b)2=(4−0)2+(1−b)2(-4-0)^2+(9-b)^2=(4-0)^2+(1-b)^2

MA=MBMA=MB: שני רדיוסים

81−18b=1−2b⇒b=5\begin{aligned}81-18b &= 1-2b \Rightarrow b \\ &= 5\end{aligned}
R2=16+16=32\begin{aligned}R^2 &= 16+16 \\ &= 32\end{aligned}

נוסחת המרחק

x2+(y−5)2=32x^2+(y-5)^2=32

משוואת המעגל

M(0,5)M(0,5) ו-R2=32R^2=32. המלכודת: לכתוב R=32R=32 — במשוואת המעגל מופיע ריבוע הרדיוס, R=32R=\sqrt{32}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

שרטוט לשאלה 5
ABCMD-8-6-4-20246-22468101214xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-yy, והמעגל עובר דרך הנקודות A(−4,9)A(-4,9) ו-B(4,1)B(4,1). נמצא: M(0,5)M(0,5) ו-R2=32R^2=32. ב. הנקודה C(4,9)C(4,9) נמצאת על המעגל. מהו גודל הזווית ∠ACB\angle ACB?

  1. 60∘60^\circ
  2. 45∘45^\circ
  3. 90∘90^\circ
  4. 180∘180^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 90∘90^\circ

Corrigé :

(−4+42,9+12)=(0,5)=M\begin{aligned}\left(\frac{-4+4}{2},\frac{9+1}{2}\right) &= (0,5) \\ &= M\end{aligned}

אמצע ABAB הוא המרכז

AB=128=232=2R\begin{aligned}AB &= \sqrt{128} \\ &= 2\sqrt{32} \\ &= 2R\end{aligned}

מיתר שעובר דרך המרכז הוא קוטר

∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

הנכונה: 90∘90^\circ. המלכודת: 180∘180^\circ — זו הזווית המרכזית ∠AMB\angle AMB; ההיקפית שווה למחציתה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

שרטוט לשאלה 5
ABCMD-8-6-4-20246-22468101214xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-yy, והמעגל עובר דרך הנקודות A(−4,9)A(-4,9) ו-B(4,1)B(4,1). נמצא: M(0,5)M(0,5) ו-R2=32R^2=32. ג. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

y=y= ____ x+x+ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y= 1 x+x+ 13

Corrigé :

mMA=9−5−4−0=−1\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{9-5}{-4-0} \\ &= -1\end{aligned}

שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה

m=1m=1

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−9=1(x+4)⇒y=x+13\begin{aligned}y-9 &= 1(x+4) \Rightarrow y \\ &= x+13\end{aligned}

המשיק y=x+13y=x+13. המלכודת: להעביר ישר בשיפוע −1-1 — זה הישר MAMA עצמו, שעובר דרך המרכז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

שרטוט לשאלה 5
ABCMD-8-6-4-20246-22468101214xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-yy, והמעגל עובר דרך הנקודות A(−4,9)A(-4,9) ו-B(4,1)B(4,1). המשיק ב-AA הוא y=x+13y=x+13, ו-M(0,5)M(0,5). ד. המשיק מסעיף ג חותך את ציר ה-yy בנקודה DD. חשבו את שטח המשולש ADMADM.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

D(0,13)D(0,13)

מציבים x=0x=0 במשוואת המשיק

∠MAD=90∘\angle MAD=90^\circ

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

AD=16+16=32AM=32\begin{aligned}AD &= \sqrt{16+16} \\ &= \sqrt{32} \\ \quad AM &= \sqrt{32}\end{aligned}

נוסחת המרחק

S=32⋅322=16\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{32} \cdot \sqrt{32}}{2} \\ &= 16\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים

השטח 1616. המלכודת: לקחת את MD=8MD=8 כניצב — MDMD הוא היתר, כי הזווית הישרה ב-AA. בדיקה: 8⋅42=16\frac{8 \cdot 4}{2}=16 עם הגובה מ-AA לציר ה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 6 — חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר

Exercice 23

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (2,7)(2,7). א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

4+a2−1=7\frac{4+a}{2-1}=7

מציבים את הנקודה

a=3a=3

a=3a=3. המלכודת: להציב x=7x=7, y=2y=2 — בנקודה (2,7)(2,7) השיעור הראשון הוא xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (2,7)(2,7). הציבו a=3a=3: f(x)=x2+3x−1f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}. ב. מצאו את נקודות הקיצון של ff וקבעו את סוגן.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )) ; מינימום: (( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: (( -1 ,, -2 )) ; מינימום: (( 3 ,, 6 ))

Corrigé :

f′(x)=2x(x−1)−(x2+3)(x−1)2=x2−2x−3(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-1)-(x^2+3)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

x2−2x−3=0⇒x=−1 x=3\begin{aligned}x^2-2x-3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

המונה מתאפס; x=1x=1 מחוץ לתחום

f′(−2)>0, f′(0)<0, f′(2)<0, f′(4)>0f'(-2)>0, \ f'(0)<0, \ f'(2)<0, \ f'(4)>0

טבלת סימנים

f(−1)=4−2=−2f(3)=122=6\begin{aligned}f(-1) &= \frac{4}{-2} \\ &= -2 \\ \quad f(3) &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

מקסימום (−1,−2)(-1,-2) ומינימום (3,6)(3,6). המלכודת: «המקסימום גבוה מהמינימום» — כאן ערך המקסימום נמוך מערך המינימום, כי הם בשני ענפים משני צדי האסימפטוטה x=1x=1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

שלושה גרפים — איזה מהם של f'?
-5-4-3-2-101234567-4-3-2-1123xy
  • גרף I
  • גרף II
  • גרף III

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (2,7)(2,7). f(x)=x2+3x−1f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}; מקסימום (−1,−2)(-1,-2), מינימום (3,6)(3,6). ג. בשרטוט שלושה גרפים. איזה מהם הוא הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)?

  1. גרף III
  2. גרף I
  3. גרף II
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף I

Corrigé :

f′(x)=0⇔x=−1 x=3\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Leftrightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

אפסי הנגזרת הם שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון

x→±∞: f′(x)→1x \to \pm\infty: \ f'(x) \to 1

f′(x)=1−4(x−1)2f'(x)=1-\frac{4}{(x-1)^2}: אסימפטוטה אופקית y=1y=1

x=1: f′→−∞x=1: \ f' \to -\infty

אסימפטוטה אנכית באותו מקום כמו של ff

הנכונה: גרף I — מתאפס ב-−1-1 וב-33, שלילי בין הקיצונים, וחיובי מחוצה להם. המלכודות: גרף II הוא −f′-f' (הסימנים הפוכים), וגרף III מוזז — האסימפטוטה שלו ב-x=−1x=-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (2,7)(2,7). f(x)=x2+3x−1f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}; מקסימום (−1,−2)(-1,-2), מינימום (3,6)(3,6). ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישרים x=3x=3 ו-x=5x=5.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

x≥3: f′(x)≥0x \ge 3: \ f'(x) \ge 0

הגרף של f′f' מעל ציר ה-xx בקטע

∫35f′(x) dx=f(5)−f(3)\int_3^5 f'(x)\,dx=f(5)-f(3)

ff est une primitive (פונקציה קדומה) de f′f'

284−6=7−6=1\begin{aligned}\frac{28}{4}-6 &= 7-6 \\ &= 1\end{aligned}

השטח 11. המלכודת: לחשב f′(5)−f′(3)f'(5)-f'(3) — הפונקציה הקדומה של f′f' היא ff, ולכן מציבים ב-ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 27

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (2,7)(2,7). f(x)=x2+3x−1f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}; מקסימום (−1,−2)(-1,-2), מינימום (3,6)(3,6), אסימפטוטה אנכית x=1x=1. ה. לאילו ערכים של kk אין למשוואה f(x)=kf(x)=k אף פתרון?

  1. k<−2k<-2 או k>6k>6
  2. −2<k<6-2<k<6
  3. k=1k=1 בלבד
  4. −1<k<3-1<k<3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −2<k<6-2<k<6

Corrigé :

x<1: f(x)≤−2x<1: \ f(x) \le -2

בענף השמאלי המקסימום −2-2

x>1: f(x)≥6x>1: \ f(x) \ge 6

בענף הימני המינימום 66

−2<k<6-2<k<6

ערכים שאף ענף לא מגיע אליהם

הנכונה: −2<k<6-2<k<6. המלכודות: −1<k<3-1<k<3 — אלה שיעורי xx של הקיצונים; ו-k=1k=1 — המקום של האסימפטוטה האנכית, שהיא על ציר ה-xx, לא על ציר ה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 7 — פונקציית שורש

Exercice 28

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)xf(x)=(x-a)\sqrt{x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (9,9)(9,9). א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

(9−a)9=9(9-a)\sqrt{9}=9

מציבים את הנקודה

3(9−a)=9⇒a=6\begin{aligned}3(9-a) &= 9 \Rightarrow a \\ &= 6\end{aligned}

a=6a=6. המלכודת: לכתוב 9=9\sqrt{9}=9 ולקבל a=8a=8.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 29

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)xf(x)=(x-a)\sqrt{x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (9,9)(9,9). הציבו a=6a=6: f(x)=(x−6)xf(x)=(x-6)\sqrt{x}. ב. מהן נקודות הקיצון של ff (כולל נקודות קצה)?

  1. מקסימום (2,42)(2,4\sqrt{2}), ומינימום קצה (0,0)(0,0)
  2. מינימום (4,−4)(4,-4), ומקסימום קצה (0,0)(0,0)
  3. מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt{2}) בלבד
  4. מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt{2}), ומקסימום קצה (0,0)(0,0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt{2}), ומקסימום קצה (0,0)(0,0)

Corrigé :

x≥0x \ge 0

תחום ההגדרה: מתחת לשורש אי-שלילי

f′(x)=x+x−62x=3x−62x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x}+\frac{x-6}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{3x-6}{2\sqrt{x}}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(x)=0⇒x=2;f′(1)<0 f′(4)>0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2; \quad f'(1)<0 \\ \ f'(4)>0\end{aligned}

ירידה ואז עלייה: מינימום

f(2)=−42f(0)=0\begin{aligned}f(2) &= -4\sqrt{2} \\ \quad f(0) &= 0\end{aligned}

בקצה x=0x=0 הפונקציה יורדת מיד: מקסימום קצה

הנכונה: מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt{2}) ומקסימום קצה (0,0)(0,0). המלכודות: לשכוח את נקודת הקצה; ו-(4,−4)(4,-4) — שכחה של המכנה 22 בנגזרת של x\sqrt{x}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 30

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)xf(x)=(x-a)\sqrt{x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (9,9)(9,9). f(x)=(x−6)xf(x)=(x-6)\sqrt{x}; מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt{2}), והתחום x≥0x \ge 0. ג. נגדיר g(x)=f(x+3)g(x)=f(x+3). מצאו את תחום ההגדרה של gg ואת נקודת המינימום הפנימית שלה (את שיעור ה-yy עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

תחום: x≥x \ge ____ ; מינימום: (( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום: x≥x \ge -3 ; מינימום: (( -1 ,, -5.66 ))

Corrigé :

x+3≥0⇒x≥−3x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3

ההזזה f(x+3)f(x+3) מזיזה את הגרף 33 יחידות שמאלה

x+3=2⇒x=−1\begin{aligned}x+3 &= 2 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

המינימום זז שמאלה

g(−1)=f(2)=−42≈−5.66\begin{aligned}g(-1) &= f(2) \\ &= -4\sqrt{2} \approx -5.66\end{aligned}

הגובה לא משתנה

תחום x≥−3x \ge -3, מינימום (−1,−5.66)(-1,-5.66). המלכודת: להזיז ימינה, ל-(5,−5.66)(5,-5.66) — פלוס בתוך הסוגריים מזיז שמאלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 31

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)xf(x)=(x-a)\sqrt{x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (9,9)(9,9). f(x)=(x−6)xf(x)=(x-6)\sqrt{x}; f′(x)=3x−62xf'(x)=\dfrac{3x-6}{2\sqrt{x}}. ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישר x=9x=9. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14.66

Corrigé :

f′(x)=0⇔x=2;x>2: f′>0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Leftrightarrow x \\ &= 2; \quad x>2: \ f'>0\end{aligned}

השטח בין x=2x=2 ל-x=9x=9, מעל הציר

∫29f′(x) dx=f(9)−f(2)\int_2^9 f'(x)\,dx=f(9)-f(2)

ff פונקציה קדומה של f′f'

=9−(−42)=9+42≈14.66=9-(-4\sqrt{2})=9+4\sqrt{2} \approx 14.66

השטח 9+42≈14.669+4\sqrt{2} \approx 14.66. המלכודת: להתחיל ב-x=0x=0 — בקטע 0<x<20<x<2 הגרף של f′f' מתחת לציר, והתחום נסגר בנקודת החיתוך x=2x=2.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 8 — בעיית ערך קיצון: מלבן מתחת לפרבולה

Exercice 32

שרטוט לשאלה 8
ABCD-4-3-2-10123424681012xy
הקודקודים C ו-D על הפרבולה, A ו-B על ציר ה-x.

המלבן ABCDABCD חסום בין הפרבולה y=12−x2y=12-x^2 לבין ציר ה-xx: הקודקודים AA ו-BB על ציר ה-xx, הקודקודים CC ו-DD על הפרבולה, והמלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy. שיעור ה-xx של BB הוא tt, כאשר 0<t<120<t<\sqrt{12}. א. איזה ביטוי מתאר את שטח המלבן כפונקציה של tt?

  1. S(t)=t(12−t2)S(t)=t(12-t^2)
  2. S(t)=2t(12−t2)S(t)=2t(12-t^2)
  3. S(t)=2t+2(12−t2)S(t)=2t+2(12-t^2)
  4. S(t)=2t⋅12S(t)=2t \cdot 12
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B S(t)=2t(12−t2)S(t)=2t(12-t^2)

Corrigé :

AB=2tAB=2t

המלבן סימטרי: A(−t,0)A(-t,0), B(t,0)B(t,0)

BC=12−t2BC=12-t^2

הגובה: שיעור ה-yy של C(t,12−t2)C(t,12-t^2)

S(t)=2t(12−t2)=24t−2t3\begin{aligned}S(t) &= 2t(12-t^2) \\ &= 24t-2t^3\end{aligned}

שטח מלבן

הנכונה: 2t(12−t2)2t(12-t^2). המלכודת: t(12−t2)t(12-t^2) — שיעור ה-xx של BB הוא רק חצי מהצלע ABAB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 33

שרטוט לשאלה 8
ABCD-4-3-2-10123424681012xy
הקודקודים C ו-D על הפרבולה, A ו-B על ציר ה-x.

המלבן ABCDABCD חסום בין הפרבולה y=12−x2y=12-x^2 לבין ציר ה-xx: הקודקודים AA ו-BB על ציר ה-xx, הקודקודים CC ו-DD על הפרבולה, והמלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy. שיעור ה-xx של BB הוא tt, כאשר 0<t<120<t<\sqrt{12}. S(t)=2t(12−t2)S(t)=2t(12-t^2). ב. מצאו את tt שעבורו שטח המלבן הוא הגדול ביותר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

S′(t)=24−6t2S'(t)=24-6t^2

גוזרים את S(t)=24t−2t3S(t)=24t-2t^3

24−6t2=0⇒t2=4⇒t=2\begin{aligned}24-6t^2 &= 0 \Rightarrow t^2 \\ &= 4 \Rightarrow t \\ &= 2\end{aligned}

רק t>0t>0 בתחום

S′(1)=18>0 S′(3)=−30<0\begin{aligned}S'(1) &= 18>0 \\ \ S'(3) &= -30<0\end{aligned}

עלייה ואז ירידה: מקסימום

t=2t=2. המלכודת: לעצור ב-S′(t)=0S'(t)=0 בלי לבדוק שזה מקסימום ולא מינימום — טבלת סימנים או ערכי קצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 34

שרטוט לשאלה 8
ABCD-4-3-2-10123424681012xy
הקודקודים C ו-D על הפרבולה, A ו-B על ציר ה-x.

המלבן ABCDABCD חסום בין הפרבולה y=12−x2y=12-x^2 לבין ציר ה-xx: הקודקודים AA ו-BB על ציר ה-xx, הקודקודים CC ו-DD על הפרבולה, והמלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy. שיעור ה-xx של BB הוא tt, כאשר 0<t<120<t<\sqrt{12}. S(t)=2t(12−t2)S(t)=2t(12-t^2), והמקסימום ב-t=2t=2. ג. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 32

Corrigé :

S(2)=2⋅2⋅(12−4)=32\begin{aligned}S(2) &= 2 \cdot 2 \cdot (12-4) \\ &= 32\end{aligned}

מציבים t=2t=2

השטח הגדול ביותר 3232: הצלעות 44 ו-88. המלכודת: להציב בגובה בלבד, 12−4=812-4=8, ולשכוח את הרוחב 2t=42t=4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 35

שרטוט לשאלה 8
ABCD-4-3-2-10123424681012xy
הקודקודים C ו-D על הפרבולה, A ו-B על ציר ה-x.

המלבן ABCDABCD חסום בין הפרבולה y=12−x2y=12-x^2 לבין ציר ה-xx: הקודקודים AA ו-BB על ציר ה-xx, הקודקודים CC ו-DD על הפרבולה, והמלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy. שיעור ה-xx של BB הוא tt, כאשר 0<t<120<t<\sqrt{12}. השטח הגדול ביותר של המלבן הוא 3232. ד. הוכיחו או הפריכו: אפשר לבנות מלבן כזה ששטחו 3535.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

Smax⁡=32S_{\max}=32

המקסימום בתחום

35>3235>32

אין tt שנותן שטח כזה

לא נכון: כל שטח גדול מ-3232 אינו אפשרי. המלכודת: לפתור 24t−2t3=3524t-2t^3=35 «באוטומט» — קודם משווים לערך הקיצון.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe