סימולציית בגרות 2

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סימולציית בגרות 2 — שאלון 35471 (4 יחידות לימוד). 8 שאלות בשלושה פרקים, 34 סעיפים בסך הכול. עליכם לענות על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק. לכל שאלה 20 נקודות. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי (210 דקות). מותר להשתמש בנוסחאון, בטבלת ההתפלגות הנורמלית ובמחשבון לא גרפי. כל השאלות כתובות כאן, ואתם בוחרים. פרק ראשון — סטטיסטיקה והסתברות: שאלה 1 (התפלגות נורמלית: מכונת מילוי), שאלה 2 (רגרסיה ממדדים נתונים: שעות אימון וציון), שאלה 3 (הסתברות בלי החזרה: שקית סוכריות). פרק שני — גאומטריה: שאלה 4 (משולש ישר זווית ומלבן במערכת צירים), שאלה 5 (מעגל שמשיק לציר). פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלה 6 (פונקציה רציונלית המוגדרת לכל x), שאלה 7 (פונקציית שורש: משיק אופקי), שאלה 8 (בעיית ערך קיצון: מלבן וגרף רציונלי).

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בשאלות ההסתברות בלי החזרה, המונה והמכנה קטנים ב-11 בשלב השני; בשאלת הרגרסיה, זכרו מה הזזה משנה ומה כפל משנה; ובחקירה, פרמטר שנתון דרך משיק מציבים בנגזרת.

Exercices

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: מכונת מילוי

Exercice 1

מכונה ממלאת שקיות קמח. משקל השקיות מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם, ו-2.28%2.28\% מהשקיות שוקלות פחות מ-980980 גרם. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. א. מצאו את סטיית התקן של משקל השקיות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

Φ(z)=0.0228⇒Φ(−z)=0.9772⇒z=−2\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.0228 \Rightarrow \Phi(-z) \\ &= 0.9772 \Rightarrow z \\ &= -2\end{aligned}

השטח משמאל ל-980980 קטן מחצי: zz שלילי

980−1000σ=−2\frac{980-1000}{\sigma}=-2

ציון התקן

σ=10\sigma=10

סטיית התקן 1010 גרם. המלכודת: לקחת z=2z=2 ולקבל σ=−10\sigma=-10 — סטיית תקן תמיד חיובית, וזה סימן שהסימן של zz שגוי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מכונה ממלאת שקיות קמח. משקל השקיות מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם, ו-2.28%2.28\% מהשקיות שוקלות פחות מ-980980 גרם. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. נמצא: סטיית התקן 1010 גרם. ב. איזה אחוז מהשקיות שוקלות יותר מ-10151015 גרם? ענו באחוזים, עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.68

Corrigé :

z=1015−100010=1.5\begin{aligned}z &= \frac{1015-1000}{10} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציון התקן

P(X>1015)=1−0.9332=0.0668\begin{aligned}P(X>1015) &= 1-0.9332 \\ &= 0.0668\end{aligned}

זנב ימני: משלימים ל-11

6.68%6.68\%. המלכודת: לענות 93.32%93.32\% — זה האחוז של השקיות הקלות מ-10151015 גרם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מכונה ממלאת שקיות קמח. משקל השקיות מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם, ו-2.28%2.28\% מהשקיות שוקלות פחות מ-980980 גרם. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. נמצא: סטיית התקן 1010 גרם. ג. ביום אחד מילאה המכונה 40004000 שקיות. בכמה שקיות, בקירוב, המשקל בין 990990 ל-10151015 גרם?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3098

Corrigé :

z1=990−100010=−1z2=1.5\begin{aligned}z_1 &= \frac{990-1000}{10} \\ &= -1 \\ \qquad z_2 &= 1.5\end{aligned}

ציוני התקן של שני הגבולות

0.9332−(1−0.8413)=0.77450.9332-(1-0.8413)=0.7745

השטח בין הגבולות

4000⋅0.7745=30984000 \cdot 0.7745=3098

מאחוז למספר שקיות

כ-30983098 שקיות. המלכודת: Φ(−1)=0.8413\Phi(-1)=0.8413 — השטח משמאל לציון תקן שלילי קטן מחצי, 0.15870.1587.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מכונה ממלאת שקיות קמח. משקל השקיות מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם, ו-2.28%2.28\% מהשקיות שוקלות פחות מ-980980 גרם. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. במכונה הראשונה: ממוצע 10001000 גרם, סטיית תקן 1010 גרם. ד. במכונה שנייה המשקל מתפלג נורמלית עם ממוצע 10051005 גרם וסטיית תקן 88 גרם. לשקית שמשקלה ww גרם יש אותו ציון תקן בשתי המכונות. מצאו את ww.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1025

Corrigé :

w−100010=w−10058\frac{w-1000}{10}=\frac{w-1005}{8}

אותו ציון תקן

8w−8000=10w−100508w-8000=10w-10050

כופלים במכנים

2w=2050⇒w=1025\begin{aligned}2w &= 2050 \Rightarrow w \\ &= 1025\end{aligned}

w=1025w=1025: בשתי המכונות z=2.5z=2.5. המלכודת: להשוות את המשקלים עצמם או את ההפרשים מהממוצע — ציון תקן מחלק גם בסטיית התקן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מכונה ממלאת שקיות קמח. משקל השקיות מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם, ו-2.28%2.28\% מהשקיות שוקלות פחות מ-980980 גרם. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. מכונה ראשונה: ממוצע 10001000, סטיית תקן 1010. מכונה שנייה: ממוצע 10051005, סטיית תקן 88. ה. שקית שמשקלה 10161016 גרם — באיזו מכונה היא כבדה יחסית לשאר השקיות של אותה מכונה?

  1. במכונה הראשונה
  2. אי אפשר לדעת בלי מספר השקיות
  3. במכונה השנייה
  4. באותה מידה בשתי המכונות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A במכונה הראשונה

Corrigé :

z1=1016−100010=1.6\begin{aligned}z_1 &= \frac{1016-1000}{10} \\ &= 1.6\end{aligned}

המכונה הראשונה

z2=1016−10058=1.375\begin{aligned}z_2 &= \frac{1016-1005}{8} \\ &= 1.375\end{aligned}

המכונה השנייה

1.6>1.3751.6>1.375

ציון תקן גבוה יותר: יחסית כבדה יותר

הנכונה: במכונה הראשונה. המלכודת: «בשנייה, כי שם סטיית התקן קטנה» — צריך לחשב את שני ציוני התקן; הממוצע הנמוך של הראשונה מכריע.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — רגרסיה ממדדים נתונים: שעות אימון וציון

Exercice 6

בבית ספר למוזיקה בדקו את הקשר בין מספר שעות האימון בשבוע (xx) לבין הציון בבחינת נגינה (yy). נתון: xˉ=6\bar{x}=6, Sx=2S_x=2, yˉ=70\bar{y}=70, Sy=10S_y=10, ושיפוע קו הרגרסיה של yy על xx הוא 44. א. מצאו את מקדם המתאם rr.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.8

Corrigé :

m=r⋅SySxm=r \cdot \frac{S_y}{S_x}

שיפוע קו הרגרסיה, מהנוסחאון

4=r⋅102⇒r=0.8\begin{aligned}4 &= r \cdot \frac{10}{2} \Rightarrow r \\ &= 0.8\end{aligned}

r=0.8r=0.8. המלכודת: לחשוב שהשיפוע הוא rr — השיפוע תלוי גם ביחידות, ורק rr נמצא תמיד בין −1-1 ל-11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בבית ספר למוזיקה בדקו את הקשר בין מספר שעות האימון בשבוע (xx) לבין הציון בבחינת נגינה (yy). נתון: xˉ=6\bar{x}=6, Sx=2S_x=2, yˉ=70\bar{y}=70, Sy=10S_y=10, ושיפוע קו הרגרסיה של yy על xx הוא 44. נמצא: r=0.8r=0.8. ב. מצאו את משוואת קו הרגרסיה.

y=y= ____ x+x+ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y= 4 x+x+ 46

Corrigé :

y−70=4(x−6)y-70=4(x-6)

הקו עובר דרך נקודת הממוצעים (xˉ,yˉ)(\bar{x},\bar{y})

y=4x+46y=4x+46

הקו y=4x+46y=4x+46. המלכודת: להעביר את הקו דרך הראשית, y=4xy=4x — קו הרגרסיה עובר דרך (6,70)(6,70), לא דרך (0,0)(0,0).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בבית ספר למוזיקה בדקו את הקשר בין מספר שעות האימון בשבוע (xx) לבין הציון בבחינת נגינה (yy). נתון: xˉ=6\bar{x}=6, Sx=2S_x=2, yˉ=70\bar{y}=70, Sy=10S_y=10, ושיפוע קו הרגרסיה של yy על xx הוא 44. קו הרגרסיה: y=4x+46y=4x+46. ג. לפי קו הרגרסיה, מה הציון הצפוי לתלמיד שמתאמן 99 שעות בשבוע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 82

Corrigé :

y=4⋅9+46=82\begin{aligned}y &= 4 \cdot 9+46 \\ &= 82\end{aligned}

מציבים x=9x=9

ציון צפוי 8282. זה ניבוי — ציון ממוצע של תלמידים כאלה, לא הבטחה לתלמיד מסוים. המלכודת: להציב 99 במקום yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בבית ספר למוזיקה בדקו את הקשר בין מספר שעות האימון בשבוע (xx) לבין הציון בבחינת נגינה (yy). נתון: xˉ=6\bar{x}=6, Sx=2S_x=2, yˉ=70\bar{y}=70, Sy=10S_y=10, ושיפוע קו הרגרסיה של yy על xx הוא 44. נמצא: r=0.8r=0.8, קו הרגרסיה y=4x+46y=4x+46. ד. המורים החליטו להעלות את כל הציונים ב-10%10\% (כל ציון כפול 1.11.1). מהו השיפוע של קו הרגרסיה החדש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.4

Corrigé :

y→1.1y: Sy=11 r=0.8\begin{aligned}y \to 1.1y: \ S_y &= 11 \\ \ r &= 0.8\end{aligned}

כפל ב-1.11.1 מגדיל את הפיזור, אבל לא משנה את המתאם

m=0.8⋅112=4.4\begin{aligned}m &= 0.8 \cdot \frac{11}{2} \\ &= 4.4\end{aligned}

השיפוע החדש

השיפוע 4.44.4, ו-rr נשאר 0.80.8. המלכודת: לחשוב שהשיפוע לא משתנה, כמו בהזזה — כפל של yy כופל גם את השיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — הסתברות בלי החזרה: שקית סוכריות

Exercice 10

בשקית 55 סוכריות בטעם תות ו-xx סוכריות בטעם לימון. מוציאים מהשקית באקראי סוכרייה אחת, ואחריה, בלי להחזיר, סוכרייה שנייה. נסמן ב-T1T_1 את המאורע «הראשונה בטעם תות», ב-L2L_2 את המאורע «השנייה בטעם לימון», וכן הלאה. א. ההסתברות ששתי הסוכריות בטעם תות היא 29\frac{2}{9}. מצאו את xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

55+x⋅44+x=29\frac{5}{5+x} \cdot \frac{4}{4+x}=\frac{2}{9}

כלל הכפל: בסוכרייה השנייה נשארו 44 בטעם תות מתוך 4+x4+x

(5+x)(4+x)=90⇒x2+9x−70=0\begin{aligned}(5+x)(4+x) &= 90 \Rightarrow x^2+9x-70 \\ &= 0\end{aligned}
(x+14)(x−5)=0⇒x=5\begin{aligned}(x+14)(x-5) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

xx מספר סוכריות, חיובי

x=5x=5. המלכודת: לכתוב (55+x)2\left(\frac{5}{5+x}\right)^2 כאילו מחזירים — בלי החזרה גם המונה וגם המכנה קטנים ב-11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

בשקית 55 סוכריות בטעם תות ו-xx סוכריות בטעם לימון. מוציאים מהשקית באקראי סוכרייה אחת, ואחריה, בלי להחזיר, סוכרייה שנייה. נסמן ב-T1T_1 את המאורע «הראשונה בטעם תות», ב-L2L_2 את המאורע «השנייה בטעם לימון», וכן הלאה. נמצא: x=5x=5, כלומר 1010 סוכריות בשקית. ב. מה ההסתברות ששתי הסוכריות באותו טעם? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.44

Corrigé :

P(T1∩T2)=510⋅49=29\begin{aligned}P(T_1 \cap T_2) &= \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \\ &= \frac{2}{9}\end{aligned}

שתיים בטעם תות

P(L1∩L2)=510⋅49=29\begin{aligned}P(L_1 \cap L_2) &= \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \\ &= \frac{2}{9}\end{aligned}

שתיים בטעם לימון

29+29=49≈0.44\frac{2}{9}+\frac{2}{9}=\frac{4}{9} \approx 0.44

שני מאורעות זרים: מחברים

49≈0.44\frac{4}{9} \approx 0.44. המלכודת: 12\frac{1}{2} — הסיכוי ש«השנייה תתאים לראשונה» הוא 49\frac{4}{9}, כי אחת כבר יצאה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

בשקית 55 סוכריות בטעם תות ו-xx סוכריות בטעם לימון. מוציאים מהשקית באקראי סוכרייה אחת, ואחריה, בלי להחזיר, סוכרייה שנייה. נסמן ב-T1T_1 את המאורע «הראשונה בטעם תות», ב-L2L_2 את המאורע «השנייה בטעם לימון», וכן הלאה. נמצא: x=5x=5, כלומר 1010 סוכריות בשקית. ג. ידוע שהסוכרייה השנייה בטעם לימון. מה ההסתברות שהראשונה בטעם תות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.56

Corrigé :

P(L2)=510⋅59+510⋅49=4590=12\begin{aligned}P(L_2) &= \frac{5}{10} \cdot \frac{5}{9}+\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \\ &= \frac{45}{90} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הסתברות שלמה: שני ענפים

P(T1∩L2)=2590P(T_1 \cap L_2)=\frac{25}{90}

ענף אחד

25/901/2=59≈0.56\frac{25/90}{1/2}=\frac{5}{9} \approx 0.56

הסתברות מותנית

59≈0.56\frac{5}{9} \approx 0.56. המלכודת: לענות 510\frac{5}{10} «כי הראשונה נבחרה לפני» — המידע על השנייה משנה את ההסתברות של הראשונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

בשקית 55 סוכריות בטעם תות ו-xx סוכריות בטעם לימון. מוציאים מהשקית באקראי סוכרייה אחת, ואחריה, בלי להחזיר, סוכרייה שנייה. נסמן ב-T1T_1 את המאורע «הראשונה בטעם תות», ב-L2L_2 את המאורע «השנייה בטעם לימון», וכן הלאה. נמצא: x=5x=5, וההסתברות ששתיהן בטעם תות 29\frac{2}{9}. ד. מה ההסתברות שלפחות אחת מהסוכריות בטעם לימון? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.78

Corrigé :

1−P(T1∩T2)1-P(T_1 \cap T_2)

המאורע המשלים: שתיהן בטעם תות

=1−29=79≈0.78=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9} \approx 0.78

79≈0.78\frac{7}{9} \approx 0.78. המלכודת: לחשב רק «בדיוק אחת» (59\frac{5}{9}) ולשכוח את המקרה ששתיהן בטעם לימון.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — משולש ישר זווית ומלבן במערכת צירים

Exercice 14

שרטוט לשאלה 4
ABCD-4-2024681012-5-4-3-2-112345678xy

במשולש ABCABC נתון A(−2,1)A(-2,1) ו-B(8,6)B(8,6). הזווית ∠BAC\angle BAC ישרה, והקודקוד CC נמצא על ציר ה-yy. א. מצאו את משוואת הישר ACAC ואת הקודקוד CC.

y=y= ____ x+x+ ____ ; C(0,C(0, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y= -2 x+x+ -3 ; C(0,C(0, -3 ))

Corrigé :

mAB=6−18+2=12\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{6-1}{8+2} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע

mAC=−2m_{AC}=-2

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1

y−1=−2(x+2)⇒y=−2x−3\begin{aligned}y-1 &= -2(x+2) \Rightarrow y \\ &= -2x-3\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע

x=0⇒C(0,−3)x=0 \Rightarrow C(0,-3)

CC על ציר ה-yy

ACAC: y=−2x−3y=-2x-3, ו-C(0,−3)C(0,-3). המלכודת: להעביר את הישר המאונך דרך BB — הזווית הישרה היא ב-AA, ולכן ACAC יוצא מ-AA.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

שרטוט לשאלה 4
ABCD-4-2024681012-5-4-3-2-112345678xy

במשולש ABCABC נתון A(−2,1)A(-2,1) ו-B(8,6)B(8,6). הזווית ∠BAC\angle BAC ישרה, והקודקוד CC נמצא על ציר ה-yy. נמצא: C(0,−3)C(0,-3). ב. חשבו את שטח המשולש ABCABC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

AB=102+52=125\begin{aligned}AB &= \sqrt{10^2+5^2} \\ &= \sqrt{125}\end{aligned}

נוסחת המרחק

AC=22+42=20\begin{aligned}AC &= \sqrt{2^2+4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק

S=125⋅202=25002=25\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{125} \cdot \sqrt{20}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2500}}{2} \\ &= 25\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים

השטח 2525. המלכודת: לקחת את BCBC כאחד הניצבים — BCBC מול הזווית הישרה, והוא היתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

שרטוט לשאלה 4
ABCD-4-2024681012-5-4-3-2-112345678xy

במשולש ABCABC נתון A(−2,1)A(-2,1) ו-B(8,6)B(8,6). הזווית ∠BAC\angle BAC ישרה, והקודקוד CC נמצא על ציר ה-yy. נמצא: C(0,−3)C(0,-3), ו-∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ. ג. הנקודה DD נבחרה כך שהמרובע ABDCABDC הוא מלבן. מצאו את DD.

D(D( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D(D( 10 ,, 2 ))

Corrigé :

AB⃗=(10,5)\vec{AB}=(10,5)

במלבן CDCD שווה ומקביל ל-ABAB

D=C+(10,5)=(10,2)\begin{aligned}D &= C+(10,5) \\ &= (10,2)\end{aligned}
(−2+102,1+22)=(8+02,6−32)=(3,1.5)\begin{aligned}\left(\frac{-2+10}{2},\frac{1+2}{2}\right) &= \left(\frac{8+0}{2},\frac{6-3}{2}\right) \\ &= (3,1.5)\end{aligned}

בדיקה: האלכסונים ADAD ו-BCBC חוצים זה את זה

D(10,2)D(10,2). המלכודת: לחשב A+B−CA+B-C — זה הקודקוד שמול CC, והוא נותן מקבילית אחרת. בסדר ABDCABDC הקודקוד DD מול AA.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

שרטוט לשאלה 4
ABCD-4-2024681012-5-4-3-2-112345678xy

במשולש ABCABC נתון A(−2,1)A(-2,1) ו-B(8,6)B(8,6). הזווית ∠BAC\angle BAC ישרה, והקודקוד CC נמצא על ציר ה-yy. נמצא: C(0,−3)C(0,-3), ושטח המשולש ABCABC הוא 2525. ד. הנקודה KK נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xx, ושטח המשולש ABKABK שווה לשטח המשולש ABCABC. מצאו את שיעור ה-xx של KK.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

K∈ℓ∥AB, C∈ℓK \in \ell \parallel AB, \ C \in \ell

לשני משולשים עם בסיס משותף ABAB שטח שווה כשהגבהים שווים

ℓ: y=12x−3\ell: \ y=\frac{1}{2}x-3

ישר מקביל ל-ABAB דרך CC

0=12x−3⇒x=6\begin{aligned}0 &= \frac{1}{2}x-3 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx

K(6,0)K(6,0). המלכודת: לחפש KK כך ש-AK=ACAK=AC — שטח שווה דורש גובה שווה לבסיס המשותף, לא צלע שווה. (הישר המקביל בצד השני חותך את ציר ה-xx ב-x=−14x=-14, בחלק השלילי.)

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — מעגל שמשיק לציר

Exercice 18

שרטוט לשאלה 5
TDPM-202468101214-4-224681012xy

נתון המעגל x2+y2−10x−4y+4=0x^2+y^2-10x-4y+4=0, שמרכזו MM. א. מצאו את MM ואת רדיוס המעגל.

M(M( ____ ,, ____ )) ; R=R= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : M(M( 5 ,, 2 )) ; R=R= 5

Corrigé :

(x2−10x+25)+(y2−4y+4)=−4+25+4(x^2-10x+25)+(y^2-4y+4)=-4+25+4

השלמה לריבוע

(x−5)2+(y−2)2=25(x-5)^2+(y-2)^2=25

משוואת מעגל קנונית

M(5,2) R=5\begin{aligned}M(5,2) \\ \ R &= 5\end{aligned}

M(5,2)M(5,2) ו-R=5R=5. המלכודת: סימנים — מ-−10x-10x מקבלים x−5x-5, כלומר שיעור חיובי 55.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

שרטוט לשאלה 5
TDPM-202468101214-4-224681012xy

נתון המעגל x2+y2−10x−4y+4=0x^2+y^2-10x-4y+4=0, שמרכזו MM. נמצא: M(5,2)M(5,2), R=5R=5. ב. המעגל משיק לאחד הצירים. לאיזה ציר, ובאיזו נקודה?

  1. לשני הצירים
  2. לציר ה-yy, בנקודה (0,5)(0,5)
  3. לציר ה-yy, בנקודה (0,2)(0,2)
  4. לציר ה-xx, בנקודה (5,0)(5,0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לציר ה-yy, בנקודה (0,2)(0,2)

Corrigé :

∣xM∣=5=R\begin{aligned}|x_M| &= 5 \\ &= R\end{aligned}

המרחק מהמרכז לציר ה-yy שווה לרדיוס: הציר משיק

∣yM∣=2<R|y_M|=2<R

ציר ה-xx חותך את המעגל

T(0,2)T(0,2)

נקודת ההשקה: הרדיוס המאונך לציר

הנכונה: לציר ה-yy, ב-(0,2)(0,2). המלכודת: (0,5)(0,5) — נקודת ההשקה נמצאת בגובה המרכז, y=2y=2, והרדיוס 55 הוא המרחק האופקי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

שרטוט לשאלה 5
TDPM-202468101214-4-224681012xy

נתון המעגל x2+y2−10x−4y+4=0x^2+y^2-10x-4y+4=0, שמרכזו MM. נמצא: M(5,2)M(5,2), R=5R=5, והמעגל משיק לציר ה-yy ב-T(0,2)T(0,2). ג. נסמן T(0,2)T(0,2) ו-D(10,2)D(10,2). הנקודה P(8,6)P(8,6) נמצאת על המעגל. הוכיחו כי ∠TPD=90∘\angle TPD=90^\circ.

  • M(5,2)M(5,2) מרכז המעגל
  • T(0,2)T(0,2), D(10,2)D(10,2) ו-P(8,6)P(8,6) על המעגל

∠TPD=90∘\angle TPD=90^\circ

Voir la réponse et le corrigé
  1. MM אמצע TDTD — נוסחת אמצע קטע: (0+102,2+22)=(5,2)\left(\frac{0+10}{2},\frac{2+2}{2}\right)=(5,2)
  2. TDTD קוטר — מיתר שעובר דרך מרכז המעגל הוא קוטר
  3. ∠TPD=90∘\angle TPD=90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

Corrigé :

MאמצעTDM אמצע TD

נוסחת אמצע קטע: (0+102,2+22)=(5,2)\left(\frac{0+10}{2},\frac{2+2}{2}\right)=(5,2)

TDקוטרTD קוטר

מיתר שעובר דרך מרכז המעגל הוא קוטר

∠TPD=90∘\angle TPD=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

הקוטר הוא המפתח: MM באמצע TDTD, ולכן כל זווית היקפית עליו ישרה. המלכודת: להוכיח בשיפועים ולשכוח שהמשפט על הקוטר עושה את זה בשורה אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

שרטוט לשאלה 5
TDPM-202468101214-4-224681012xy

נתון המעגל x2+y2−10x−4y+4=0x^2+y^2-10x-4y+4=0, שמרכזו MM. נמצא: M(5,2)M(5,2), R=5R=5. ד. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה P(8,6)P(8,6).

y=y= ____ x+x+ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y= -0.75 x+x+ 12

Corrigé :

mMP=6−28−5=43\begin{aligned}m_{MP} &= \frac{6-2}{8-5} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה

m=−34m=-\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−6=−34(x−8)⇒y=−0.75x+12\begin{aligned}y-6 &= -\frac{3}{4}(x-8) \Rightarrow y \\ &= -0.75x+12\end{aligned}

המשיק y=−0.75x+12y=-0.75x+12. המלכודת: שיפוע −43-\frac{4}{3} — מחליפים סימן וגם הופכים את השבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

שרטוט לשאלה 5
TDPM-202468101214-4-224681012xy

נתון המעגל x2+y2−10x−4y+4=0x^2+y^2-10x-4y+4=0, שמרכזו MM. T(0,2)T(0,2), D(10,2)D(10,2), P(8,6)P(8,6), ו-∠TPD=90∘\angle TPD=90^\circ. ה. חשבו את שטח המשולש TPDTPD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

TP=82+42=80PD=22+42=20\begin{aligned}TP &= \sqrt{8^2+4^2} \\ &= \sqrt{80} \\ \quad PD &= \sqrt{2^2+4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק

∠TPD=90∘\angle TPD=90^\circ

הוכח בסעיף ג

S=80⋅202=402=20\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{80} \cdot \sqrt{20}}{2} \\ &= \frac{40}{2} \\ &= 20\end{aligned}

מחצית מכפלת הניצבים

השטח 2020. בדיקה: בסיס TD=10TD=10 וגובה 44 (המרחק של PP מהישר y=2y=2). המלכודת: לקחת את TDTD כניצב — TDTD הוא היתר.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 6 — פונקציה רציונלית המוגדרת לכל x

Exercice 23

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+4f(x)=\dfrac{ax}{x^2+4}, ו-aa פרמטר חיובי. שיפוע המשיק לגרף של ff בראשית הצירים הוא 22. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f′(x)=a(x2+4)−ax⋅2x(x2+4)2=a(4−x2)(x2+4)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x^2+4)-ax \cdot 2x}{(x^2+4)^2} \\ &= \frac{a(4-x^2)}{(x^2+4)^2}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

f′(0)=4a16=a4=2\begin{aligned}f'(0) &= \frac{4a}{16} \\ &= \frac{a}{4} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע המשיק בראשית

a=8a=8

a=8a=8. המלכודת: להציב f(0)=2f(0)=2 — הנתון הוא על השיפוע, ולכן מציבים בנגזרת. (f(0)=0f(0)=0 לכל aa.)

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+4f(x)=\dfrac{ax}{x^2+4}, ו-aa פרמטר חיובי. שיפוע המשיק לגרף של ff בראשית הצירים הוא 22. הציבו a=8a=8: f(x)=8xx2+4f(x)=\dfrac{8x}{x^2+4}. ב. מצאו את נקודות הקיצון של ff וקבעו את סוגן.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )) ; מינימום: (( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: (( 2 ,, 2 )) ; מינימום: (( -2 ,, -2 ))

Corrigé :

f′(x)=8(4−x2)(x2+4)2=0⇒x=±2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{8(4-x^2)}{(x^2+4)^2} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד: ff מוגדרת לכל xx

f′(−3)<0, f′(0)>0, f′(3)<0f'(-3)<0, \ f'(0)>0, \ f'(3)<0

טבלת סימנים

f(2)=168=2f(−2)=−2\begin{aligned}f(2) &= \frac{16}{8} \\ &= 2 \\ \quad f(-2) &= -2\end{aligned}

מקסימום (2,2)(2,2), מינימום (−2,−2)(-2,-2). המלכודת: לחפש אסימפטוטה אנכית — x2+4>0x^2+4>0 תמיד, ולכן אין כזאת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+4f(x)=\dfrac{ax}{x^2+4}, ו-aa פרמטר חיובי. שיפוע המשיק לגרף של ff בראשית הצירים הוא 22. f(x)=8xx2+4f(x)=\dfrac{8x}{x^2+4}; מקסימום (2,2)(2,2), מינימום (−2,−2)(-2,-2). ג. נגדיר g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)|. כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=1g(x)=1?

  1. 22
  2. 33
  3. 00
  4. 44
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 44

Corrigé :

y=0y=0

אסימפטוטה אופקית: מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה

g(x)=∣f(x)∣: 0≤g≤2g(x)=|f(x)|: \ 0 \le g \le 2

החלק שמתחת לציר מתהפך למעלה; שני מקסימומים בגובה 22

f(x)=1: x2−8x+4=0f(x)=−1: x2+8x+4=0\begin{aligned}f(x) &= 1: \ x^2-8x+4 \\ &= 0 \\ \quad f(x) &= -1: \ x^2+8x+4 \\ &= 0\end{aligned}

כל משוואה נותנת שני פתרונות

הנכונה: 44 — הישר y=1y=1 חותך כל אחת משתי ה«גבעות» של gg פעמיים. המלכודת: 22 — לספור רק את החלק החיובי של ff ולשכוח שהערך המוחלט מעלה גם את החלק השלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+4f(x)=\dfrac{ax}{x^2+4}, ו-aa פרמטר חיובי. שיפוע המשיק לגרף של ff בראשית הצירים הוא 22. f(x)=8xx2+4f(x)=\dfrac{8x}{x^2+4}; מקסימום (2,2)(2,2). ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f'(x), ציר ה-xx וציר ה-yy, ברביע הראשון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)≥0,0≤x≤2f'(x) \ge 0, \quad 0 \le x \le 2

הגרף של f′f' מעל הציר עד x=2x=2, שם הוא מתאפס

∫02f′(x) dx=f(2)−f(0)\int_0^2 f'(x)\,dx=f(2)-f(0)

ff פונקציה קדומה של f′f'

=2−0=2=2-0=2

השטח 22. המלכודת: לנסות למצוא פונקציה קדומה «חדשה» ל-f′f' — היא כבר ידועה: ff עצמה.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 7 — פונקציית שורש: משיק אופקי

Exercice 27

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)10−xf(x)=(x-a)\sqrt{10-x}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף של ff בנקודה שבה x=6x=6 מקביל לציר ה-xx. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

f′(x)=10−x−x−a210−x=20−3x+a210−x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{10-x}-\frac{x-a}{2\sqrt{10-x}} \\ &= \frac{20-3x+a}{2\sqrt{10-x}}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה; הנגזרת הפנימית של 10−x10-x היא −1-1

f′(6)=2+a4=0\begin{aligned}f'(6) &= \frac{2+a}{4} \\ &= 0\end{aligned}

משיק מקביל לציר ה-xx: שיפוע 00

a=−2a=-2

a=−2a=-2. המלכודת: לשכוח את הנגזרת הפנימית −1-1 ולקבל 20−x−a210−x\frac{20-x-a}{2\sqrt{10-x}}, ומכאן a=14a=14.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 28

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)10−xf(x)=(x-a)\sqrt{10-x}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף של ff בנקודה שבה x=6x=6 מקביל לציר ה-xx. הציבו a=−2a=-2: f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}. ב. מצאו את תחום ההגדרה של ff, ואת נקודת המקסימום שלה.

תחום: x≤x \le ____ ; מקסימום: (( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום: x≤x \le 10 ; מקסימום: (( 6 ,, 16 ))

Corrigé :

10−x≥0⇒x≤1010-x \ge 0 \Rightarrow x \le 10

מתחת לשורש אי-שלילי

f′(x)=18−3x210−x; f′(5)>0 f′(7)<0\begin{aligned}f'(x) &= \frac{18-3x}{2\sqrt{10-x}}; \ f'(5)>0 \\ \ f'(7)<0\end{aligned}

עלייה ואז ירידה

f(6)=8⋅4=16\begin{aligned}f(6) &= 8 \cdot \sqrt{4} \\ &= 16\end{aligned}

התחום x≤10x \le 10, והמקסימום (6,16)(6,16). המלכודת: תחום x≥10x \ge 10 — כשה-xx מופיע עם מינוס מתחת לשורש, אי-השוויון מתהפך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 29

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)10−xf(x)=(x-a)\sqrt{10-x}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף של ff בנקודה שבה x=6x=6 מקביל לציר ה-xx. f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}; המקסימום (6,16)(6,16). ג. נגדיר g(x)=f(x)+cg(x)=f(x)+c. הישר y=20y=20 משיק לגרף של gg. מצאו את cc.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

gmax⁡=16+cg_{\max}=16+c

הזזה אנכית מזיזה את המקסימום למעלה ב-cc

16+c=20⇒c=4\begin{aligned}16+c &= 20 \Rightarrow c \\ &= 4\end{aligned}

משיק אופקי לגרף נוגע בנקודת הקיצון

c=4c=4. המלכודת: c=20c=20 — הישר נוגע במקסימום, שגובהו כבר 1616, ולכן מוסיפים רק את ההפרש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 30

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)10−xf(x)=(x-a)\sqrt{10-x}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף של ff בנקודה שבה x=6x=6 מקביל לציר ה-xx. f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}; המקסימום (6,16)(6,16). ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=6x=6.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

1≤x≤6: f′(x)≥01 \le x \le 6: \ f'(x) \ge 0

הגרף של f′f' מעל הציר בקטע

∫16f′(x) dx=f(6)−f(1)\int_1^6 f'(x)\,dx=f(6)-f(1)

ff פונקציה קדומה של f′f'

=16−3⋅3=7=16-3 \cdot 3=7

f(1)=39=9f(1)=3\sqrt{9}=9

השטח 77. המלכודת: לחשב f(6)f(6) לבד — השטח הוא הפרש הערכים של ff בין שני הגבולות.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 8 — בעיית ערך קיצון: מלבן וגרף רציונלי

Exercice 31

שרטוט לשאלה 8
OAPB01234567890123456789xy
P על הגרף, A על ציר ה-x ו-B על ציר ה-y.

הנקודה PP נמצאת על הגרף של f(x)=32x2f(x)=\dfrac{32}{x^2}, ברביע הראשון. OAPBOAPB מלבן: OO ראשית הצירים, AA על ציר ה-xx, BB על ציר ה-yy. שיעור ה-xx של PP הוא tt (t>0t>0). א. איזה ביטוי מתאר את היקף המלבן OAPBOAPB?

  1. L(t)=32tL(t)=\dfrac{32}{t}
  2. L(t)=2t+64tL(t)=2t+\dfrac{64}{t}
  3. L(t)=2t+64t2L(t)=2t+\dfrac{64}{t^2}
  4. L(t)=t+32t2L(t)=t+\dfrac{32}{t^2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C L(t)=2t+64t2L(t)=2t+\dfrac{64}{t^2}

Corrigé :

OA=tAP=32t2\begin{aligned}OA &= t \\ \quad AP &= \frac{32}{t^2}\end{aligned}

צלעות המלבן: שיעורי PP

L=2t+2⋅32t2=2t+64t2\begin{aligned}L &= 2t+2 \cdot \frac{32}{t^2} \\ &= 2t+\frac{64}{t^2}\end{aligned}

היקף מלבן

הנכונה: 2t+64t22t+\frac{64}{t^2}. המלכודות: 32t\frac{32}{t} הוא השטח; t+32t2t+\frac{32}{t^2} הוא חצי היקף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 32

שרטוט לשאלה 8
OAPB01234567890123456789xy
P על הגרף, A על ציר ה-x ו-B על ציר ה-y.

הנקודה PP נמצאת על הגרף של f(x)=32x2f(x)=\dfrac{32}{x^2}, ברביע הראשון. OAPBOAPB מלבן: OO ראשית הצירים, AA על ציר ה-xx, BB על ציר ה-yy. שיעור ה-xx של PP הוא tt (t>0t>0). L(t)=2t+64t2L(t)=2t+\dfrac{64}{t^2}. ב. מצאו את tt שעבורו היקף המלבן הקטן ביותר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

L′(t)=2−128t3L'(t)=2-\frac{128}{t^3}

גזירה: (64t2)′=−128t3\left(\frac{64}{t^2}\right)'=-\frac{128}{t^3}

2−128t3=0⇒t3=64⇒t=4\begin{aligned}2-\frac{128}{t^3} &= 0 \Rightarrow t^3 \\ &= 64 \Rightarrow t \\ &= 4\end{aligned}
L′(2)<0, L′(5)>0L'(2)<0, \ L'(5)>0

ירידה ואז עלייה: מינימום

t=4t=4. המלכודת: לגזור את 64t2\frac{64}{t^2} ל-−64t-\frac{64}{t} — הנגזרת של t−2t^{-2} היא −2t−3-2t^{-3}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 33

שרטוט לשאלה 8
OAPB01234567890123456789xy
P על הגרף, A על ציר ה-x ו-B על ציר ה-y.

הנקודה PP נמצאת על הגרף של f(x)=32x2f(x)=\dfrac{32}{x^2}, ברביע הראשון. OAPBOAPB מלבן: OO ראשית הצירים, AA על ציר ה-xx, BB על ציר ה-yy. שיעור ה-xx של PP הוא tt (t>0t>0). L(t)=2t+64t2L(t)=2t+\dfrac{64}{t^2}, והמינימום ב-t=4t=4. ג. מהו ההיקף הקטן ביותר של המלבן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

L(4)=8+6416=8+4=12\begin{aligned}L(4) &= 8+\frac{64}{16} \\ &= 8+4 \\ &= 12\end{aligned}

מציבים t=4t=4

P(4,2)P(4,2)

המלבן: 44 על 22

ההיקף הקטן ביותר 1212. המלכודת: לענות 44 — זה ה-tt שבו מתקבל המינימום, לא ההיקף עצמו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 34

שרטוט לשאלה 8
OAPB01234567890123456789xy
P על הגרף, A על ציר ה-x ו-B על ציר ה-y.

הנקודה PP נמצאת על הגרף של f(x)=32x2f(x)=\dfrac{32}{x^2}, ברביע הראשון. OAPBOAPB מלבן: OO ראשית הצירים, AA על ציר ה-xx, BB על ציר ה-yy. שיעור ה-xx של PP הוא tt (t>0t>0). ההיקף הקטן ביותר של המלבן הוא 1212. ד. הוכיחו או הפריכו: אפשר לבחור את PP כך שהיקף המלבן יהיה 1111.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

Lmin⁡=12L_{\min}=12

המינימום היחיד בתחום t>0t>0

11<1211<12

ההיקף לא יורד מתחת ל-1212

לא נכון. המלכודת: לחשוב ש«מלבן קטן יותר» נותן היקף קטן יותר — כש-tt קטן, הצלע 32t2\frac{32}{t^2} גדלה מאוד.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe