סימולציית בגרות 3

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סימולציית בגרות 3 — שאלון 35471 (4 יחידות לימוד). 8 שאלות בשלושה פרקים, 35 סעיפים בסך הכול. עליכם לענות על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק. לכל שאלה 20 נקודות. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי (210 דקות). מותר להשתמש בנוסחאון, בטבלת ההתפלגות הנורמלית ובמחשבון לא גרפי. כל השאלות כתובות כאן, ואתם בוחרים. פרק ראשון — סטטיסטיקה והסתברות: שאלה 1 (התפלגות נורמלית: זמני משלוח), שאלה 2 (מתאם ורגרסיה עם נתון חסר: עצים בפארק), שאלה 3 (הסתברות מותנית: מכונת מיון). פרק שני — גאומטריה: שאלה 4 (דלתון במערכת צירים), שאלה 5 (מעגל, זווית היקפית ומשפט הסינוסים). פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלה 6 (פונקציה רציונלית זוגית והזזה), שאלה 7 (פונקציית שורש וגרף הנגזרת), שאלה 8 (קריאת הגרף של הנגזרת).

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. כשנתון הגרף של f′f', קראו ממנו את סימן הנגזרת ולא את הגובה של ff; שטח מתחת לציר נותן אינטגרל שלילי; ובמשפט הסינוסים היחס שווה לקוטר, 2R2R.

Exercices

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: זמני משלוח

Exercice 1

זמן המשלוח של הזמנות מחנות מקוונת (בדקות) מתפלג נורמלית. 15.87%15.87\% מהמשלוחים מגיעים תוך פחות מ-3030 דקות, ו-6.68%6.68\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-4545 דקות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. א. מצאו את הממוצע μ\mu ואת סטיית התקן σ\sigma של זמן המשלוח.

μ=\mu= ____ , σ=\sigma= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : μ=\mu= 36 , σ=\sigma= 6

Corrigé :

Φ(z1)=0.1587⇒z1=−1⇒μ−σ=30\begin{aligned}\Phi(z_1) &= 0.1587 \Rightarrow z_1 \\ &= -1 \Rightarrow \mu-\sigma \\ &= 30\end{aligned}

השטח משמאל ל-3030

Φ(z2)=1−0.0668=0.9332⇒z2=1.5⇒μ+1.5σ=45\begin{aligned}\Phi(z_2) &= 1-0.0668 \\ &= 0.9332 \Rightarrow z_2 \\ &= 1.5 \Rightarrow \mu+1.5\sigma \\ &= 45\end{aligned}

השטח משמאל ל-4545

2.5σ=15⇒σ=6 μ=36\begin{aligned}2.5\sigma &= 15 \Rightarrow \sigma \\ &= 6 \\ \ \mu &= 36\end{aligned}

מערכת של שתי משוואות

μ=36\mu=36, σ=6\sigma=6. המלכודת: לחפש בטבלה את 0.06680.0668 עבור 4545 — הטבלה נותנת את השטח משמאל, 0.93320.9332.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

זמן המשלוח של הזמנות מחנות מקוונת (בדקות) מתפלג נורמלית. 15.87%15.87\% מהמשלוחים מגיעים תוך פחות מ-3030 דקות, ו-6.68%6.68\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-4545 דקות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. נמצא: μ=36\mu=36, σ=6\sigma=6. ב. איזה אחוז מהמשלוחים נמשכים בין 3333 ל-4545 דקות? ענו באחוזים, עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 62.47

Corrigé :

z1=33−366=−0.5z2=45−366=1.5\begin{aligned}z_1 &= \frac{33-36}{6} \\ &= -0.5 \\ \quad z_2 &= \frac{45-36}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציוני התקן

Φ(−0.5)=1−0.6915=0.3085\begin{aligned}\Phi(-0.5) &= 1-0.6915 \\ &= 0.3085\end{aligned}

סימטריה

0.9332−0.3085=0.62470.9332-0.3085=0.6247

השטח בין הגבולות

62.47%62.47\%. המלכודת: לחבר את שני ערכי הטבלה במקום לחסר — השטח בין שני ערכים הוא הפרש של שטחים משמאל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

זמן המשלוח של הזמנות מחנות מקוונת (בדקות) מתפלג נורמלית. 15.87%15.87\% מהמשלוחים מגיעים תוך פחות מ-3030 דקות, ו-6.68%6.68\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-4545 דקות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. נמצא: μ=36\mu=36, σ=6\sigma=6. ג. החנות נותנת שובר פיצוי ל-2.28%2.28\% מהמשלוחים, אלה שנמשכים הכי הרבה זמן. מצאו את הזמן TT (בדקות) שמעליו מקבלים שובר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 48

Corrigé :

P(X>T)=0.0228⇒Φ(z)=0.9772⇒z=2\begin{aligned}P(X>T) &= 0.0228 \Rightarrow \Phi(z) \\ &= 0.9772 \Rightarrow z \\ &= 2\end{aligned}

זנב ימני: קריאה הפוכה של הטבלה

T=36+2⋅6=48\begin{aligned}T &= 36+2 \cdot 6 \\ &= 48\end{aligned}

x=μ+zσx=\mu+z\sigma

T=48T=48 דקות. המלכודת: z=−2z=-2 ו-T=24T=24 — זה הסף של 2.28%2.28\% המשלוחים המהירים ביותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

זמן המשלוח של הזמנות מחנות מקוונת (בדקות) מתפלג נורמלית. 15.87%15.87\% מהמשלוחים מגיעים תוך פחות מ-3030 דקות, ו-6.68%6.68\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-4545 דקות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. נמצא: μ=36\mu=36, σ=6\sigma=6. ד. בזכות מסלולי נסיעה חדשים, כל זמן משלוח התקצר ב-10%10\% (כל זמן כפול 0.90.9). מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן החדשים.

μ=\mu= ____ , σ=\sigma= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : μ=\mu= 32.4 , σ=\sigma= 5.4

Corrigé :

X→0.9X: μ=0.9⋅36=32.4\begin{aligned}X \to 0.9X: \ \mu &= 0.9 \cdot 36 \\ &= 32.4\end{aligned}

כפל כופל את הממוצע

σ=0.9⋅6=5.4\begin{aligned}\sigma &= 0.9 \cdot 6 \\ &= 5.4\end{aligned}

כפל כופל גם את סטיית התקן

μ=32.4\mu=32.4, σ=5.4\sigma=5.4. המלכודת: להשאיר את סטיית התקן 66 — רק הזזה משאירה את הפיזור; כפל מכווץ אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

זמן המשלוח של הזמנות מחנות מקוונת (בדקות) מתפלג נורמלית. 15.87%15.87\% מהמשלוחים מגיעים תוך פחות מ-3030 דקות, ו-6.68%6.68\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-4545 דקות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. אחרי השינוי: μ=32.4\mu=32.4, σ=5.4\sigma=5.4. ה. הוכיחו או הפריכו: אחרי השינוי, 2.28%2.28\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-43.243.2 דקות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

z=43.2−32.45.4=2\begin{aligned}z &= \frac{43.2-32.4}{5.4} \\ &= 2\end{aligned}

ציון התקן החדש

1−Φ(2)=0.02281-\Phi(2)=0.0228

זנב ימני

43.2=0.9⋅4843.2=0.9 \cdot 48

הסף הישן עבר את אותו כפל

נכון: ציון התקן לא משתנה כשכל הנתונים וגם הסף מוכפלים באותו מספר. המלכודת: להציב את הממוצע הישן, 3636.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה עם נתון חסר: עצים בפארק

Exercice 6

גיל העץ (x, שנים)39111215
גובה העץ (y, מטרים)7111310?

בפארק עירוני מדדו את הגיל (xx, בשנים) ואת הגובה (yy, במטרים) של חמישה עצים. הגובה של העץ החמישי נמחק מהטבלה. ידוע: xˉ=10\bar{x}=10, Sx=4S_x=4, והגובה הממוצע של חמשת העצים yˉ=12\bar{y}=12 מטרים. א. מצאו את הגובה של העץ החמישי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 19

Corrigé :

∑y=5⋅12=60\begin{aligned}\sum y &= 5 \cdot 12 \\ &= 60\end{aligned}

סכום = ממוצע כפול מספר הנתונים

7+11+13+10+y5=60⇒y5=19\begin{aligned}7+11+13+10+y_5 &= 60 \Rightarrow y_5 \\ &= 19\end{aligned}

העץ החמישי בגובה 1919 מטרים. המלכודת: לחלק ב-44, מספר הערכים הידועים — הממוצע 1212 הוא של חמשת העצים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

גיל העץ (x, שנים)39111215
גובה העץ (y, מטרים)7111310?

בפארק עירוני מדדו את הגיל (xx, בשנים) ואת הגובה (yy, במטרים) של חמישה עצים. הגובה של העץ החמישי נמחק מהטבלה. ידוע: xˉ=10\bar{x}=10, Sx=4S_x=4, והגובה הממוצע של חמשת העצים yˉ=12\bar{y}=12 מטרים. נמצא: הגובה של העץ החמישי 1919 מטרים. ב. חשבו את SyS_y.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

y−yˉ: −5, −1, 1, −2, 7y-\bar{y}:\ -5,\ -1,\ 1,\ -2,\ 7

הסטיות מהממוצע

Sy=25+1+1+4+495=16=4\begin{aligned}S_y &= \sqrt{\frac{25+1+1+4+49}{5}} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

מחלקים במספר הנתונים

Sy=4S_y=4. המלכודת: לחשב בלי העץ החמישי, שהגובה שלו נמצא בסעיף א.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

גיל העץ (x, שנים)39111215
גובה העץ (y, מטרים)7111310?

בפארק עירוני מדדו את הגיל (xx, בשנים) ואת הגובה (yy, במטרים) של חמישה עצים. הגובה של העץ החמישי נמחק מהטבלה. ידוע: xˉ=10\bar{x}=10, Sx=4S_x=4, והגובה הממוצע של חמשת העצים yˉ=12\bar{y}=12 מטרים. נמצא: הגובה של העץ החמישי 1919 מטרים, ו-Sy=4S_y=4. ג. איזה מהערכים הבאים הוא מקדם המתאם rr? בדקו בחישוב.

  1. 0.990.99
  2. −0.85-0.85
  3. 0.850.85
  4. 0.350.35
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 0.850.85

Corrigé :

x−xˉ: −7, −1, 1, 2, 5x-\bar{x}:\ -7,\ -1,\ 1,\ 2,\ 5

הסטיות של xx

∑(x−xˉ)(y−yˉ)=35+1+1−4+35=68\begin{aligned}\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) &= 35+1+1-4+35 \\ &= 68\end{aligned}

סכום המכפלות

r=685⋅4⋅4=0.85\begin{aligned}r &= \frac{68}{5 \cdot 4 \cdot 4} \\ &= 0.85\end{aligned}

הנוסחה מהנוסחאון

הנכונה: 0.850.85 — מתאם חיובי חזק: עצים מבוגרים גבוהים יותר. המלכודות: −0.85-0.85 הוא סימן שגוי; 0.990.99 מתאים לנקודות כמעט על קו ישר, וכאן העץ בן 1212 נמוך מהעץ בן 1111.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

גיל העץ (x, שנים)39111215
גובה העץ (y, מטרים)7111310?

בפארק עירוני מדדו את הגיל (xx, בשנים) ואת הגובה (yy, במטרים) של חמישה עצים. הגובה של העץ החמישי נמחק מהטבלה. ידוע: xˉ=10\bar{x}=10, Sx=4S_x=4, והגובה הממוצע של חמשת העצים yˉ=12\bar{y}=12 מטרים. נמצא: yˉ=12\bar{y}=12, Sy=4S_y=4, r=0.85r=0.85. ד. מצאו את משוואת קו הרגרסיה של yy על xx.

y=y= ____ x+x+ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y= 0.85 x+x+ 3.5

Corrigé :

m=r⋅SySx=0.85⋅44=0.85\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= 0.85 \cdot \frac{4}{4} \\ &= 0.85\end{aligned}

שיפוע קו הרגרסיה

y−12=0.85(x−10)⇒y=0.85x+3.5\begin{aligned}y-12 &= 0.85(x-10) \Rightarrow y \\ &= 0.85x+3.5\end{aligned}

דרך (xˉ,yˉ)(\bar{x},\bar{y})

הקו y=0.85x+3.5y=0.85x+3.5. כאן השיפוע שווה ל-rr רק כי Sx=SyS_x=S_y. המלכודת: להסיק שתמיד m=rm=r.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

גיל העץ (x, שנים)39111215
גובה העץ (y, מטרים)7111310?

בפארק עירוני מדדו את הגיל (xx, בשנים) ואת הגובה (yy, במטרים) של חמישה עצים. הגובה של העץ החמישי נמחק מהטבלה. ידוע: xˉ=10\bar{x}=10, Sx=4S_x=4, והגובה הממוצע של חמשת העצים yˉ=12\bar{y}=12 מטרים. קו הרגרסיה: y=0.85x+3.5y=0.85x+3.5, ו-r=0.85r=0.85. ה. חוקרת אחרת רשמה את הגיל של אותם עצים בחודשים במקום בשנים (כל xx כפול 1212). מה משתנה?

  1. השיפוע הופך ל-0.85⋅120.85 \cdot 12, ו-rr לא משתנה
  2. השיפוע הופך ל-0.8512\frac{0.85}{12}, ו-rr לא משתנה
  3. rr הופך ל-0.8512\frac{0.85}{12}, והשיפוע לא משתנה
  4. גם השיפוע וגם rr לא משתנים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B השיפוע הופך ל-0.8512\frac{0.85}{12}, ו-rr לא משתנה

Corrigé :

x→12x: Sx=48x \to 12x: \ S_x=48

כפל מגדיל את הפיזור של xx

r=0.85r=0.85

המתאם לא תלוי ביחידות

m=0.85⋅448=0.8512≈0.071\begin{aligned}m &= 0.85 \cdot \frac{4}{48} \\ &= \frac{0.85}{12} \approx 0.071\end{aligned}

גידול בחודש אחד קטן פי 1212

הנכונה: השיפוע מתחלק ב-1212, ו-rr לא משתנה. המלכודת: לכפול את השיפוע ב-1212 — השיפוע הוא גידול לכל יחידת xx, ויחידה של חודש קטנה פי 1212 משנה.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — הסתברות מותנית: מכונת מיון

Exercice 11

במפעל לאריזת פירות 10%10\% מהתפוחים פגומים. מכונת מיון פוסלת 90%90\% מהתפוחים הפגומים, אבל פוסלת בטעות גם 5%5\% מהתפוחים התקינים. בוחרים תפוח באקראי. נסמן ב-DD את המאורע «התפוח פגום», וב-RR את המאורע «המכונה פסלה את התפוח». א. מה ההסתברות שהמכונה תפסול את התפוח? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.135

Corrigé :

P(R)=0.1⋅0.9+0.9⋅0.05P(R)=0.1 \cdot 0.9+0.9 \cdot 0.05

נוסחת ההסתברות השלמה

=0.09+0.045=0.135=0.09+0.045=0.135

P(R)=0.135P(R)=0.135. המלכודת: לשכוח את הענף של התקינים שנפסלו בטעות, ולענות 0.090.09.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

במפעל לאריזת פירות 10%10\% מהתפוחים פגומים. מכונת מיון פוסלת 90%90\% מהתפוחים הפגומים, אבל פוסלת בטעות גם 5%5\% מהתפוחים התקינים. בוחרים תפוח באקראי. נסמן ב-DD את המאורע «התפוח פגום», וב-RR את המאורע «המכונה פסלה את התפוח». נמצא: P(R)=0.135P(R)=0.135. ב. ידוע שהמכונה פסלה את התפוח. מה ההסתברות שהוא באמת פגום? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.67

Corrigé :

P(D∣R)=P(D∩R)P(R)P(D \mid R)=\frac{P(D \cap R)}{P(R)}

הסתברות מותנית

=0.090.135=23≈0.67=\frac{0.09}{0.135}=\frac{2}{3} \approx 0.67

23≈0.67\frac{2}{3} \approx 0.67: שליש מהתפוחים הנפסלים תקינים! המלכודת: לענות 0.90.9 — זו P(R∣D)P(R \mid D), בכיוון ההפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

במפעל לאריזת פירות 10%10\% מהתפוחים פגומים. מכונת מיון פוסלת 90%90\% מהתפוחים הפגומים, אבל פוסלת בטעות גם 5%5\% מהתפוחים התקינים. בוחרים תפוח באקראי. נסמן ב-DD את המאורע «התפוח פגום», וב-RR את המאורע «המכונה פסלה את התפוח». נמצא: P(R)=0.135P(R)=0.135. ג. ביום אחד עברו במכונה 20002000 תפוחים. בכמה תפוחים תקינים, בקירוב, צפוי שהמכונה תפסול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90

Corrigé :

P(Dˉ∩R)=0.9⋅0.05=0.045\begin{aligned}P(\bar{D} \cap R) &= 0.9 \cdot 0.05 \\ &= 0.045\end{aligned}

ענף אחד: תקין ונפסל

2000⋅0.045=902000 \cdot 0.045=90

מהסתברות למספר תפוחים

כ-9090 תפוחים. המלכודת: 2000⋅0.05=1002000 \cdot 0.05=100 — ה-5%5\% הם מתוך התקינים בלבד, שהם 90%90\% מהתפוחים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

במפעל לאריזת פירות 10%10\% מהתפוחים פגומים. מכונת מיון פוסלת 90%90\% מהתפוחים הפגומים, אבל פוסלת בטעות גם 5%5\% מהתפוחים התקינים. בוחרים תפוח באקראי. נסמן ב-DD את המאורע «התפוח פגום», וב-RR את המאורע «המכונה פסלה את התפוח». במכונה הראשונה: P(D∣R)=23P(D \mid R)=\frac{2}{3}. ד. מכונה משופרת פוסלת גם היא 90%90\% מהתפוחים הפגומים, ובה P(D∣R)=0.8P(D \mid R)=0.8. איזה אחוז מהתפוחים התקינים המכונה המשופרת פוסלת בטעות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.5

Corrigé :

0.090.09+0.9q=0.8\frac{0.09}{0.09+0.9q}=0.8

qq — ההסתברות לפסול תפוח תקין

0.09=0.072+0.72q⇒q=0.025\begin{aligned}0.09 &= 0.072+0.72q \Rightarrow q \\ &= 0.025\end{aligned}
q=2.5%q=2.5\%

2.5%2.5\%. המלכודת: לכתוב 0.1q0.1q במכנה במקום 0.9q0.9q — הטעות נעשית על התפוחים התקינים, 90%90\% מהכלל.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — דלתון במערכת צירים

Exercice 15

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-2-10123456789-112345678910xy

נתונות הנקודות B(1,1)B(1,1) ו-D(7,5)D(7,5). הקודקודים AA ו-CC של המרובע ABCDABCD נמצאים על האנך האמצעי לקטע BDBD: AA על ציר ה-yy ו-CC על ציר ה-xx. א. מצאו את משוואת האנך האמצעי לקטע BDBD.

y=y= ____ x+x+ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y= -1.5 x+x+ 9

Corrigé :

M=(1+72,1+52)=(4,3)\begin{aligned}M &= \left(\frac{1+7}{2},\frac{1+5}{2}\right) \\ &= (4,3)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע

mBD=5−17−1=23⇒m=−32\begin{aligned}m_{BD} &= \frac{5-1}{7-1} \\ &= \frac{2}{3} \Rightarrow m \\ &= -\frac{3}{2}\end{aligned}

אנך: מכפלת השיפועים −1-1

y−3=−32(x−4)⇒y=−1.5x+9\begin{aligned}y-3 &= -\frac{3}{2}(x-4) \Rightarrow y \\ &= -1.5x+9\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע

האנך האמצעי y=−1.5x+9y=-1.5x+9. המלכודת: להעביר את האנך דרך BB או דרך DD — אנך אמצעי עובר דרך אמצע הקטע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-2-10123456789-112345678910xy

נתונות הנקודות B(1,1)B(1,1) ו-D(7,5)D(7,5). הקודקודים AA ו-CC של המרובע ABCDABCD נמצאים על האנך האמצעי לקטע BDBD: AA על ציר ה-yy ו-CC על ציר ה-xx. נמצא: האנך האמצעי לקטע BDBD הוא y=−1.5x+9y=-1.5x+9. ב. מצאו את AA ואת CC.

A(0,A(0, ____ )) ; C(C( ____ ,0),0)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A(0,A(0, 9 )) ; C(C( 6 ,0),0)

Corrigé :

x=0⇒A(0,9)x=0 \Rightarrow A(0,9)

AA על ציר ה-yy

0=−1.5x+9⇒C(6,0)0=-1.5x+9 \Rightarrow C(6,0)

CC על ציר ה-xx

A(0,9)A(0,9) ו-C(6,0)C(6,0). המלכודת: להחליף בין הצירים — על ציר ה-yy מציבים x=0x=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-2-10123456789-112345678910xy

נתונות הנקודות B(1,1)B(1,1) ו-D(7,5)D(7,5). הקודקודים AA ו-CC של המרובע ABCDABCD נמצאים על האנך האמצעי לקטע BDBD: AA על ציר ה-yy ו-CC על ציר ה-xx. נמצא: A(0,9)A(0,9) ו-C(6,0)C(6,0). ג. הוכיחו כי המרובע ABCDABCD הוא דלתון.

  • A(0,9)A(0,9), B(1,1)B(1,1), C(6,0)C(6,0), D(7,5)D(7,5)
  • AA ו-CC על האנך האמצעי לקטע BDBD

ABCDABCD דלתון

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ADAB=AD — כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו (בדיקה: 65=65\sqrt{65}=\sqrt{65})
  2. CB=CDCB=CD — כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו (בדיקה: 26=26\sqrt{26}=\sqrt{26})
  3. ABCDABCD דלתון — מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות הוא דלתון

Corrigé :

AB=ADAB=AD

כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו (בדיקה: 65=65\sqrt{65}=\sqrt{65})

CB=CDCB=CD

כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו (בדיקה: 26=26\sqrt{26}=\sqrt{26})

ABCDדלתוןABCD דלתון

מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות הוא דלתון

דלתון: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, AB=ADAB=AD ו-CB=CDCB=CD. המלכודת: לחפש צלעות נגדיות שוות — זו תכונה של מקבילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-2-10123456789-112345678910xy

נתונות הנקודות B(1,1)B(1,1) ו-D(7,5)D(7,5). הקודקודים AA ו-CC של המרובע ABCDABCD נמצאים על האנך האמצעי לקטע BDBD: AA על ציר ה-yy ו-CC על ציר ה-xx. ABCDABCD דלתון: A(0,9)A(0,9), B(1,1)B(1,1), C(6,0)C(6,0), D(7,5)D(7,5). ד. חשבו את שטח הדלתון ABCDABCD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 39

Corrigé :

AC=62+92=117BD=62+42=52\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2+9^2} \\ &= \sqrt{117} \\ \quad BD &= \sqrt{6^2+4^2} \\ &= \sqrt{52}\end{aligned}

נוסחת המרחק

S=AC⋅BD2=60842=782=39\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6084}}{2} \\ &= \frac{78}{2} \\ &= 39\end{aligned}

שטח דלתון: מחצית מכפלת האלכסונים המאונכים

השטח 3939. המלכודת: לכפול את שתי הצלעות השונות, 65⋅26\sqrt{65} \cdot \sqrt{26} — זה נכון רק אם הזווית ביניהן ישרה, וכאן היא לא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-2-10123456789-112345678910xy

נתונות הנקודות B(1,1)B(1,1) ו-D(7,5)D(7,5). הקודקודים AA ו-CC של המרובע ABCDABCD נמצאים על האנך האמצעי לקטע BDBD: AA על ציר ה-yy ו-CC על ציר ה-xx. ABCDABCD דלתון: A(0,9)A(0,9), B(1,1)B(1,1), C(6,0)C(6,0), D(7,5)D(7,5). ה. הוכיחו או הפריכו: אפשר לחסום את הדלתון ABCDABCD במעגל.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

∠ABC=∠ADC\angle ABC=\angle ADC

בדלתון הזוויות שבין הצלעות השונות שוות

∠ABC+∠ADC=180∘⇒∠ABC=90∘\begin{aligned}\angle ABC+\angle ADC &= 180^\circ \Rightarrow \angle ABC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

מרובע חסום: סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ, ולכן כל אחת מהן ישרה

mBA=9−10−1=−8mBC=0−16−1=−15\begin{aligned}m_{BA} &= \frac{9-1}{0-1} \\ &= -8 \\ \quad m_{BC} &= \frac{0-1}{6-1} \\ &= -\frac{1}{5}\end{aligned}

שיפועי הצלעות ב-BB

(−8)⋅(−15)=85≠−1(-8) \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{8}{5} \neq -1

הזווית ב-BB אינה ישרה

לא נכון: ∠ABC\angle ABC אינה ישרה, ולכן סכום הזוויות הנגדיות BB ו-DD אינו 180∘180^\circ. המלכודת: «כל דלתון חסום במעגל» — רק דלתון שהזוויות שבין הצלעות השונות בו ישרות.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — מעגל, זווית היקפית ומשפט הסינוסים

Exercice 20

שרטוט לשאלה 5
ABCM-9-7-5-3-113579111315-12-10-8-6-4-224681012xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-xx, והמעגל עובר דרך הנקודות A(9,8)A(9,8) ו-B(−5,6)B(-5,6). א. מצאו את MM ואת רדיוס המעגל.

M(M( ____ ,0),0) ; R=R= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : M(M( 3 ,0),0) ; R=R= 10

Corrigé :

(9−a)2+82=(−5−a)2+62(9-a)^2+8^2=(-5-a)^2+6^2

MA=MBMA=MB: שני רדיוסים

145−18a=61+10a⇒a=3\begin{aligned}145-18a &= 61+10a \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}
R2=62+82=100⇒R=10\begin{aligned}R^2 &= 6^2+8^2 \\ &= 100 \Rightarrow R \\ &= 10\end{aligned}

נוסחת המרחק

M(3,0)M(3,0), R=10R=10: המעגל (x−3)2+y2=100(x-3)^2+y^2=100. המלכודת: לקחת את אמצע ABAB, (2,7)(2,7), כמרכז — הוא לא על ציר ה-xx, ו-ABAB אינו קוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

שרטוט לשאלה 5
ABCM-9-7-5-3-113579111315-12-10-8-6-4-224681012xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-xx, והמעגל עובר דרך הנקודות A(9,8)A(9,8) ו-B(−5,6)B(-5,6). נמצא: M(3,0)M(3,0), R=10R=10. ב. הנקודה C(3,−10)C(3,-10) נמצאת על המעגל. מהו גודל הזווית ∠ACB\angle ACB?

  1. 90∘90^\circ
  2. 135∘135^\circ
  3. 22.5∘22.5^\circ
  4. 45∘45^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 45∘45^\circ

Corrigé :

mMA=86=43mMB=6−8=−34\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3} \\ \quad m_{MB} &= \frac{6}{-8} \\ &= -\frac{3}{4}\end{aligned}

שיפועי הרדיוסים

43⋅(−34)=−1⇒∠AMB=90∘\begin{aligned}\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) &= -1 \Rightarrow \angle AMB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

הזווית המרכזית ישרה

∠ACB=90∘2=45∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{90^\circ}{2} \\ &= 45^\circ\end{aligned}

Un angle inscrit (זווית היקפית) est égal à la moitié de l'angle au centre (זווית המרכזית) qui intercepte (נשענת) le même arc (קשת).

הנכונה: 45∘45^\circ. המלכודות: 90∘90^\circ — זו הזווית המרכזית; 135∘135^\circ — זווית היקפית שנשענת על הקשת הגדולה, כש-CC על הקשת הקטנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

שרטוט לשאלה 5
ABCM-9-7-5-3-113579111315-12-10-8-6-4-224681012xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-xx, והמעגל עובר דרך הנקודות A(9,8)A(9,8) ו-B(−5,6)B(-5,6). נמצא: M(3,0)M(3,0), R=10R=10, ו-∠ACB=45∘\angle ACB=45^\circ. ג. חשבו את אורך BCBC, ובעזרת משפט הסינוסים מצאו את הזווית החדה ∠BAC\angle BAC. ענו במעלות, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 63.43

Corrigé :

BC=82+162=320\begin{aligned}BC &= \sqrt{8^2+16^2} \\ &= \sqrt{320}\end{aligned}

נוסחת המרחק

BCsin⁡∠BAC=2R=20\begin{aligned}\frac{BC}{\sin \angle BAC} &= 2R \\ &= 20\end{aligned}

משפט הסינוסים: המשולש ABCABC חסום במעגל

sin⁡∠BAC=32020≈0.8944⇒∠BAC≈63.43∘\sin \angle BAC=\frac{\sqrt{320}}{20} \approx 0.8944 \Rightarrow \angle BAC \approx 63.43^\circ

∠BAC≈63.43∘\angle BAC \approx 63.43^\circ. המלכודת: לכתוב BCsin⁡A=R\frac{BC}{\sin A}=R ולקבל סינוס גדול מ-11 — היחס שווה לקוטר, 2R=202R=20.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

שרטוט לשאלה 5
ABCM-9-7-5-3-113579111315-12-10-8-6-4-224681012xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-xx, והמעגל עובר דרך הנקודות A(9,8)A(9,8) ו-B(−5,6)B(-5,6). נמצא: M(3,0)M(3,0), R=10R=10. ד. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

y=y= ____ x+x+ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y= -0.75 x+x+ 14.75

Corrigé :

mMA=43m_{MA}=\frac{4}{3}

שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה

m=−34m=-\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−8=−34(x−9)⇒y=−0.75x+14.75\begin{aligned}y-8 &= -\frac{3}{4}(x-9) \Rightarrow y \\ &= -0.75x+14.75\end{aligned}

המשיק y=−0.75x+14.75y=-0.75x+14.75. המלכודת: להשתמש בשיפוע של ABAB — המשיק מאונך לרדיוס MAMA, לא למיתר.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 6 — פונקציה רציונלית זוגית והזזה

Exercice 24

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+ax2−1f(x)=\dfrac{2x^2+a}{x^2-1}, ו-aa פרמטר. x=2x=2 הוא אפס של הפונקציה. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -8

Corrigé :

f(2)=8+a3=0\begin{aligned}f(2) &= \frac{8+a}{3} \\ &= 0\end{aligned}

אפס של מנה: המונה מתאפס

a=−8a=-8

a=−8a=-8. המלכודת: לאפס את המכנה — שם הפונקציה לא מוגדרת, ואין לה אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+ax2−1f(x)=\dfrac{2x^2+a}{x^2-1}, ו-aa פרמטר. x=2x=2 הוא אפס של הפונקציה. הציבו a=−8a=-8: f(x)=2x2−8x2−1f(x)=\dfrac{2x^2-8}{x^2-1}. ב. הוכיחו או הפריכו: ff היא פונקציה זוגית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(−x)=2(−x)2−8(−x)2−1=2x2−8x2−1=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= \frac{2(-x)^2-8}{(-x)^2-1} \\ &= \frac{2x^2-8}{x^2-1} \\ &= f(x)\end{aligned}

בודקים את f(−x)f(-x)

x≠±1x \neq \pm 1

גם התחום סימטרי

נכון: f(−x)=f(x)f(-x)=f(x), והגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy. המלכודת: לבדוק נקודה אחת, כמו f(2)=f(−2)f(2)=f(-2) — הוכחה דורשת את כל ה-xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+ax2−1f(x)=\dfrac{2x^2+a}{x^2-1}, ו-aa פרמטר. x=2x=2 הוא אפס של הפונקציה. f(x)=2x2−8x2−1f(x)=\dfrac{2x^2-8}{x^2-1}, והיא זוגית. ג. מהי נקודת הקיצון של ff, ומה סוגה?

  1. (0,8)(0,8) — מינימום
  2. (0,−8)(0,-8) — מינימום
  3. (2,0)(2,0) — מינימום
  4. (0,8)(0,8) — מקסימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A (0,8)(0,8) — מינימום

Corrigé :

f′(x)=4x(x2−1)−2x(2x2−8)(x2−1)2=12x(x2−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4x(x^2-1)-2x(2x^2-8)}{(x^2-1)^2} \\ &= \frac{12x}{(x^2-1)^2}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

f′(x)=0⇒x=0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

המכנה חיובי בכל התחום

f′(−0.5)<0, f′(0.5)>0f'(-0.5)<0, \ f'(0.5)>0

ירידה ואז עלייה: מינימום

f(0)=−8−1=8\begin{aligned}f(0) &= \frac{-8}{-1} \\ &= 8\end{aligned}

הנכונה: (0,8)(0,8) — מינימום. המלכודות: «ערך 88 גבוה, אז זה מקסימום» — סוג הקיצון נקבע לפי סימן הנגזרת; (0,−8)(0,-8) — לשכוח שגם המכנה שלילי ב-x=0x=0; (2,0)(2,0) — אפס של ff, לא קיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 27

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+ax2−1f(x)=\dfrac{2x^2+a}{x^2-1}, ו-aa פרמטר. x=2x=2 הוא אפס של הפונקציה. f(x)=2x2−8x2−1f(x)=\dfrac{2x^2-8}{x^2-1}; מינימום (0,8)(0,8). ד. נגדיר g(x)=f(x−3)g(x)=f(x-3). מצאו את האסימפטוטות של gg המקבילות לצירים.

אנכיות: x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטנה לגדולה) ; אופקית: y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אנכיות: x=x= 2 ו-x=x= 4 (מהקטנה לגדולה) ; אופקית: y=y= 2

Corrigé :

f: x=±1 y=2\begin{aligned}f: \ x &= \pm 1 \\ \ y &= 2\end{aligned}

המכנה מתאפס ב-±1\pm 1; יחס המקדמים המובילים 21\frac{2}{1}

g(x)=f(x−3): x=−1+3=2 x=1+3=4\begin{aligned}g(x) &= f(x-3): \ x \\ &= -1+3 \\ &= 2 \\ \ x &= 1+3 \\ &= 4\end{aligned}

ההזזה מזיזה ימינה ב-33

y=2y=2

הזזה אופקית לא משנה אסימפטוטה אופקית

אנכיות x=2x=2 ו-x=4x=4, אופקית y=2y=2. המלכודת: להזיז שמאלה, ל-x=−4x=-4 ו-x=−2x=-2 — מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה. ו-gg אינה זוגית: ציר הסימטריה שלה x=3x=3.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 7 — פונקציית שורש וגרף הנגזרת

Exercice 28

נתונה הפונקציה f(x)=(6−x)x+af(x)=(6-x)\sqrt{x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (1,10)(1,10). א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

(6−1)1+a=10(6-1)\sqrt{1+a}=10

מציבים את הנקודה

1+a=2⇒1+a=4⇒a=3\begin{aligned}\sqrt{1+a} &= 2 \Rightarrow 1+a \\ &= 4 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

מעלים בריבוע

a=3a=3. המלכודת: 1+a=2⇒1+a=2\sqrt{1+a}=2 \Rightarrow 1+a=2 — שוכחים להעלות בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 29

נתונה הפונקציה f(x)=(6−x)x+af(x)=(6-x)\sqrt{x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (1,10)(1,10). הציבו a=3a=3: f(x)=(6−x)x+3f(x)=(6-x)\sqrt{x+3}. ב. מצאו את נקודת המקסימום של ff (את שיעור ה-yy עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

(( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 0 ,, 10.39 ))

Corrigé :

x≥−3x \ge -3

תחום ההגדרה

f′(x)=−x+3+6−x2x+3=−3x2x+3\begin{aligned}f'(x) &= -\sqrt{x+3}+\frac{6-x}{2\sqrt{x+3}} \\ &= \frac{-3x}{2\sqrt{x+3}}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(−1)>0, f′(1)<0f'(-1)>0, \ f'(1)<0

עלייה ואז ירידה: מקסימום ב-x=0x=0

f(0)=63≈10.39f(0)=6\sqrt{3} \approx 10.39

מקסימום (0,63)≈(0,10.39)(0,6\sqrt{3}) \approx (0,10.39). המלכודת: לשכוח את המינוס בנגזרת של 6−x6-x ולקבל f′(x)=x+122x+3f'(x)=\frac{x+12}{2\sqrt{x+3}}, בלי קיצון פנימי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 30

שלושה גרפים — איזה מהם של f'?
-3-2-10123456-5-4-3-2-112345xy
  • גרף I
  • גרף II
  • גרף III

נתונה הפונקציה f(x)=(6−x)x+af(x)=(6-x)\sqrt{x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (1,10)(1,10). f(x)=(6−x)x+3f(x)=(6-x)\sqrt{x+3}; מקסימום (0,63)(0,6\sqrt{3}). ג. בשרטוט שלושה גרפים. איזה מהם הוא הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)?

  1. גרף II
  2. גרף I
  3. גרף III
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף I

Corrigé :

f′(0)=0f'(0)=0

הנגזרת מתאפסת בשיעור ה-xx של המקסימום

−3<x<0: f′>0;x>0: f′<0-3<x<0: \ f'>0; \quad x>0: \ f'<0

עלייה לפני המקסימום, ירידה אחריו

x→−3+: f′→+∞x \to -3^+: \ f' \to +\infty

המכנה 2x+32\sqrt{x+3} שואף ל-00

הנכונה: גרף I. המלכודות: גרף II הוא −f′-f' — חיובי אחרי המקסימום, כאילו ff עולה שם; גרף III מתאפס ב-x=1x=1, לא בנקודת המקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 31

נתונה הפונקציה f(x)=(6−x)x+af(x)=(6-x)\sqrt{x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (1,10)(1,10). f(x)=(6−x)x+3f(x)=(6-x)\sqrt{x+3}; מקסימום (0,63)(0,6\sqrt{3}), ו-f(6)=0f(6)=0. ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישר x=6x=6, בקטע 0≤x≤60 \le x \le 6. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.39

Corrigé :

0<x≤6: f′(x)<00<x \le 6: \ f'(x)<0

הגרף של f′f' מתחת לציר ה-xx

∫06f′(x) dx=f(6)−f(0)=0−63\begin{aligned}\int_0^6 f'(x)\,dx &= f(6)-f(0) \\ &= 0-6\sqrt{3}\end{aligned}

ff פונקציה קדומה של f′f'

S=∣−63∣=63≈10.39\begin{aligned}S &= \left|-6\sqrt{3}\right| \\ &= 6\sqrt{3} \approx 10.39\end{aligned}

שטח הוא תמיד חיובי

השטח 63≈10.396\sqrt{3} \approx 10.39. המלכודת: לענות −10.39-10.39 — האינטגרל שלילי כי הגרף מתחת לציר, והשטח הוא הערך המוחלט שלו.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 8 — קריאת הגרף של הנגזרת

Exercice 32

הגרף של f'(x)
-13-3-2-1012345-14-12-10-8-6-4-2246810121416xy
הגרף של פונקציית הנגזרת, לא של f.

בשרטוט הגרף של f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9, הנגזרת של פולינום f(x)f(x). הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3. א. מה אפשר ללמוד מהגרף על נקודות הקיצון של ff?

  1. ב-x=−1x=-1 מינימום, וב-x=3x=3 מקסימום
  2. שתיהן נקודות מינימום
  3. ב-x=1x=1 מינימום בלבד
  4. ב-x=−1x=-1 מקסימום, וב-x=3x=3 מינימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D ב-x=−1x=-1 מקסימום, וב-x=3x=3 מינימום

Corrigé :

x<−1: f′>0;−1<x<3: f′<0x<-1: \ f'>0; \quad -1<x<3: \ f'<0

בנקודה −1-1 הנגזרת עוברת מחיובי לשלילי: מקסימום

x>3: f′>0x>3: \ f'>0

בנקודה 33 הנגזרת עוברת משלילי לחיובי: מינימום

הנכונה: מקסימום ב-−1-1, מינימום ב-33. המלכודת: x=1x=1 — זה המינימום של f′f', הקודקוד של הפרבולה, ולא נקודת קיצון של ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 33

הגרף של f'(x)
-13-3-2-1012345-14-12-10-8-6-4-2246810121416xy
הגרף של פונקציית הנגזרת, לא של f.

בשרטוט הגרף של f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9, הנגזרת של פולינום f(x)f(x). הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3. נמצא: מקסימום ב-x=−1x=-1, מינימום ב-x=3x=3. ב. ערך המקסימום של ff הוא 1212. השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f' וציר ה-xx הוא 3232. מצאו את ערך המינימום של ff.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -20

Corrigé :

∫−13f′(x) dx=f(3)−f(−1)\int_{-1}^{3} f'(x)\,dx=f(3)-f(-1)

ff פונקציה קדומה של f′f'

−1<x<3: f′<0⇒∫−13f′(x) dx=−32-1<x<3: \ f'<0 \Rightarrow \int_{-1}^{3} f'(x)\,dx=-32

השטח מתחת לציר: האינטגרל שלילי

f(3)=12−32=−20\begin{aligned}f(3) &= 12-32 \\ &= -20\end{aligned}

f(−1)=12f(-1)=12

המינימום f(3)=−20f(3)=-20. המלכודת: 12+32=4412+32=44 — הפונקציה יורדת בין המקסימום למינימום, ולכן מחסרים את השטח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 34

הגרף של f'(x)
-13-3-2-1012345-14-12-10-8-6-4-2246810121416xy
הגרף של פונקציית הנגזרת, לא של f.

בשרטוט הגרף של f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9, הנגזרת של פולינום f(x)f(x). הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3. מקסימום (−1,12)(-1,12), מינימום (3,−20)(3,-20). ג. לאילו ערכים של kk הישר y=ky=k חותך את הגרף של ff בשלוש נקודות בדיוק?

  1. k<−20k<-20 או k>12k>12
  2. −20<k<12-20<k<12
  3. −9<k<0-9<k<0
  4. −1<k<3-1<k<3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −20<k<12-20<k<12

Corrigé :

f→−∞ (x→−∞),f→+∞ (x→+∞)f \to -\infty \ (x \to -\infty), \quad f \to +\infty \ (x \to +\infty)

פולינום ממעלה שלישית עם מקדם מוביל חיובי

f(−1)=12 f(3)=−20\begin{aligned}f(-1) &= 12 \\ \ f(3) &= -20\end{aligned}

ערכי הקיצון

−20<k<12-20<k<12

בין ערכי הקיצון הישר פוגש את שלושת הקטעים של הגרף

הנכונה: −20<k<12-20<k<12. המלכודות: −1<k<3-1<k<3 — שיעורי ה-xx של הקיצונים; מחוץ לתחום [−20,12][-20,12] יש נקודת חיתוך אחת בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 35

הגרף של f'(x)
-13-3-2-1012345-14-12-10-8-6-4-2246810121416xy
הגרף של פונקציית הנגזרת, לא של f.

בשרטוט הגרף של f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9, הנגזרת של פולינום f(x)f(x). הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3. מקסימום של ff: (−1,12)(-1,12); מינימום: (3,−20)(3,-20). ד. נגדיר g(x)=f(x−2)g(x)=f(x-2). מצאו את נקודת המקסימום של gg.

(( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 1 ,, 12 ))

Corrigé :

x−2=−1⇒x=1\begin{aligned}x-2 &= -1 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

ההזזה מזיזה את הגרף 22 יחידות ימינה

g(1)=f(−1)=12\begin{aligned}g(1) &= f(-1) \\ &= 12\end{aligned}

הגובה לא משתנה

המקסימום של gg: (1,12)(1,12). המלכודת: (−3,12)(-3,12) — מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe