מבחן לדוגמא 2

Exercice 1

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{a(x-3)}{(x-2)^2}$, ו-$a$ פרמטר חיובי. א. מצאו את האסימפטוטות של $f$ המקבילות לצירים ואת נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-$x$.

אנכית: $x =$ ____ ; אופקית: $y =$ ____ ; חיתוך עם ציר ה-$x$: $x =$ ____

Exercice 2

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{a(x-3)}{(x-2)^2}$, ו-$a$ פרמטר חיובי. האסימפטוטות: $x = 2$ ו-$y = 0$. הנגזרת היא $f'(x) = \frac{a(4-x)}{(x-2)^3}$. ב. הישר $y = 2$ משיק לגרף של $f$ בנקודת הקיצון שלה. מצאו את $a$.

Exercice 3

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{a(x-3)}{(x-2)^2}$, ונמצא ש-$a = 8$: $f(x) = \frac{8(x-3)}{(x-2)^2}$ ו-$f'(x) = \frac{8(4-x)}{(x-2)^3}$. ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f$.

1. Aעולה ב-$2 < x < 4$; יורדת ב-$x < 2$ וב-$x > 4$
2. Bעולה ב-$x < 2$ וב-$x > 4$; יורדת ב-$2 < x < 4$
3. Cעולה ב-$x < 4$ ($x \ne 2$); יורדת ב-$x > 4$
4. Dעולה ב-$x > 4$; יורדת ב-$2 < x < 4$

Exercice 4

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{a(x-3)}{(x-2)^2}$, ונמצא ש-$a = 8$: $f(x) = \frac{8(x-3)}{(x-2)^2}$ ו-$f'(x) = \frac{8(4-x)}{(x-2)^3}$. $f$ עולה ב-$2 < x < 4$ ויורדת ב-$x < 2$ וב-$x > 4$. ד. בשרטוט שני גרפים, I ו-II. אחד מהם הוא הגרף של $f'$. איזה?

1. Aאף אחד מהם
2. Bגרף I
3. Cגרף II

Exercice 5

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{a(x-3)}{(x-2)^2}$, ונמצא ש-$a = 8$: $f(x) = \frac{8(x-3)}{(x-2)^2}$ ו-$f'(x) = \frac{8(4-x)}{(x-2)^3}$. הגרף של $f'$ חותך את ציר ה-$x$ ב-$x = 4$. ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$, ציר ה-$x$ והישר $x = 6$.

Exercice 6

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$, ו-$C$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך המיתר $AC$ בנקודה $D$. א. מדוע $\angle ACB = 90^\circ$?

1. Aסכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$
2. BDes angles inscrits qui interceptent le même arc (קשת) sont égaux
3. Cזווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
4. Dמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

Exercice 7

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$, ו-$C$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך המיתר $AC$ בנקודה $D$. נמצא ש-$\angle ACB = 90^\circ$. ב. מדוע $\angle ABD = 90^\circ$?

1. Aזווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
2. Bהמשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
3. Cזוויות קודקודיות שוות
4. Dהמשולש $ABD$ שווה שוקיים

Exercice 8

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$, ו-$C$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך המיתר $AC$ בנקודה $D$. $\angle ACB = 90^\circ$ ו-$\angle ABD = 90^\circ$. ג. הוכיחו: $\triangle ACB \sim \triangle ABD$.

• $AB$ קוטר
• $BD$ משיק למעגל ב-$B$
• $C$ על המעגל ועל $AD$

$\triangle ACB \sim \triangle ABD$

Exercice 9

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$, ו-$C$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך המיתר $AC$ בנקודה $D$. $\triangle ACB \sim \triangle ABD$, ונתון: $AB = 10$ ס״מ ו-$AC = 6$ ס״מ. ד. חשבו את $AD$. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Exercice 10

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$, ו-$C$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך המיתר $AC$ בנקודה $D$. $\triangle ACB \sim \triangle ABD$, ונתון: $AB = 10$ ס״מ ו-$AC = 6$ ס״מ. נמצא ש-$AD = \frac{50}{3}$ ס״מ. ה. חשבו את אורך המשיק $BD$. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Exercice 11

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$, ו-$C$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך המיתר $AC$ בנקודה $D$. $\triangle ACB \sim \triangle ABD$, ונתון: $AB = 10$ ס״מ ו-$AC = 6$ ס״מ. ו. חשבו את הזווית המרכזית $\angle BOC$ (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Exercice 12

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 3}$. א. $f$ מוגדרת לכל $x$. מצאו את האסימפטוטה האופקית שלה: $y = ?$

Exercice 13

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 3}$. האסימפטוטה האופקית של $f$ היא $y = 2$. ב. הוכיחו או הפריכו: $f$ זוגית.

Exercice 14

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 3}$. $f$ זוגית, ו-$f'(x) = \frac{12x}{(x^2+3)^2}$. בשרטוט הגרף של $f'$. ג. מצאו את נקודת הקיצון של $f$ וקבעו את סוגה.

1. Aמקסימום $(1, 0.5)$
2. Bמינימום $(0, 0)$
3. Cמקסימום $(0, 0)$
4. Dאין ל-$f$ נקודת קיצון

Exercice 15

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 3}$. ל-$f$ אסימפטוטה אופקית $y = 2$ ומינימום $(0, 0)$; $f$ יורדת ב-$x < 0$ ועולה ב-$x > 0$. ד. לאילו ערכים של $k$ הישר $y = k$ חותך את הגרף של $f$ בשתי נקודות בדיוק?

1. A$0 < k < 2$
2. B$0 \le k \le 2$
3. C$k > 0$
4. D$k < 2$

Exercice 16

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 3}$. $f'(x) = \frac{12x}{(x^2+3)^2}$, ו-$f'(x) > 0$ לכל $x > 0$. ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$, ציר ה-$x$ והישר $x = 3$.