מבחן לדוגמא 3

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבחן לדוגמא 3 — אמצע השנה. 3 שאלות עם סעיפים, 15 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: חקירת פונקציה עם שורש ופרמטר, משפט הסינוסים ושטח משולש, והתפלגות נורמלית. טבלת ההתפלגות הנורמלית: הערכים הדרושים נתונים בכל שאלה.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו. בשורש: תחום הגדרה ובדיקת הקצה; במשפט הסינוסים: כל צלע מול הזווית שלה, והיחס שווה ל-2R2R; בהתפלגות נורמלית: מציירים פעמון לפני שפותחים את הטבלה. עגלו רק בתוצאה הסופית.

Exercices

שאלה 1 — חקירת פונקציה עם שורש

Exercice 1

נתונה הפונקציה f(x)=xa−xf(x) = x\sqrt{a - x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−1,−2)(-1, -2). א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(−1)=−1⋅a+1=−2\begin{aligned}f(-1) &= -1 \cdot \sqrt{a + 1} \\ &= -2\end{aligned}

מציבים את הנקודה בפונקציה

a+1=2\sqrt{a + 1} = 2

מחלקים ב-−1-1

a+1=4⇒a=3\begin{aligned}a + 1 &= 4 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

מעלים בריבוע; השורש חיובי, ולכן אין פתרון זר

a=3a = 3. המלכודת: לשכוח את הגורם x=−1x = -1 שלפני השורש ולקבל a+1=−2\sqrt{a + 1} = -2, משוואה בלי פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=x3−xf(x) = x\sqrt{3 - x} (בסעיף א נמצא ש-a=3a = 3). ב. מהו תחום ההגדרה של ff?

  1. 0≤x≤30 \le x \le 3
  2. x≤3x \le 3
  3. x<3x < 3
  4. x≥3x \ge 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x≤3x \le 3

Corrigé :

3−x≥03 - x \ge 0

ביטוי בתוך שורש ריבועי אינו שלילי

x≤3x \le 3

On résout

f(3)=3⋅0=0\begin{aligned}f(3) &= 3 \cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

הקצה בתחום: שורש של 00 מוגדר

x≤3x \le 3. המלכודת: 0≤x≤30 \le x \le 3 — הגורם xx שלפני השורש יכול להיות שלילי; רק מה שבתוך השורש מוגבל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=x3−xf(x) = x\sqrt{3 - x} (בסעיף א נמצא ש-a=3a = 3). תחום ההגדרה: x≤3x \le 3. הנגזרת: f′(x)=6−3x23−xf'(x) = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}}. ג. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של ff. (בקצה התחום, (3,0)(3, 0), יש קיצון נוסף.)

מקסימום: x=x = ____ , y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: x=x = 2 , y=y = 2

Corrigé :

6−3x=0⇒x=2\begin{aligned}6 - 3x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

f′(x)=0f'(x) = 0: המונה מתאפס

f′(0)>0,f′(2.75)<0f'(0) > 0 ,\quad f'(2.75) < 0

טבלת סימנים: המכנה חיובי, והסימן הוא סימן המונה

f(2)=21=2\begin{aligned}f(2) &= 2\sqrt{1} \\ &= 2\end{aligned}

מציבים ב-ff

מקסימום (2,2)(2, 2). בקצה (3,0)(3, 0) יש מינימום מקומי, כי ff יורדת אליו. המלכודת: להציב x=2x = 2 בנגזרת במקום בפונקציה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה f(x)=x3−xf(x) = x\sqrt{3 - x} (בסעיף א נמצא ש-a=3a = 3). תחום ההגדרה: x≤3x \le 3. הנגזרת: f′(x)=6−3x23−xf'(x) = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}}. ל-ff מקסימום (2,2)(2, 2), והיא עולה ב-x<2x < 2 ויורדת ב-2<x<32 < x < 3. ד. נגדיר g(x)=f(x)+cg(x) = f(x) + c. הישר y=5y = 5 משיק לגרף של gg. מצאו את cc.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

g′(x)=f′(x)g'(x) = f'(x)

הזזה אנכית אינה משנה את הנגזרת: אותה נקודת קיצון x=2x = 2

g(2)=f(2)+c=2+c\begin{aligned}g(2) &= f(2) + c \\ &= 2 + c\end{aligned}

המשיק האופקי עובר במקסימום של gg

2+c=5⇒c=3\begin{aligned}2 + c &= 5 \Rightarrow c \\ &= 3\end{aligned}

c=3c = 3. המלכודת: c=5c = 5 — הישר y=5y = 5 הוא גובה המקסימום של gg, ולא גודל ההזזה; ההזזה היא 5−25 - 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה f(x)=x3−xf(x) = x\sqrt{3 - x} (בסעיף א נמצא ש-a=3a = 3). תחום ההגדרה: x≤3x \le 3. הנגזרת: f′(x)=6−3x23−xf'(x) = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}}. ל-ff מקסימום (2,2)(2, 2), והיא עולה ב-x<2x < 2 ויורדת ב-2<x<32 < x < 3. ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישר x=−1x = -1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

−1<x<2: f′(x)>0f′(2)=0\begin{aligned}-1 < x < 2:\ f'(x) > 0 \\ \quad f'(2) &= 0\end{aligned}

הגרף של f′f' מעל הציר, וחותך אותו ב-x=2x = 2

∫−12f′(x) dx=f(2)−f(−1)\int_{-1}^{2} f'(x)\,dx = f(2) - f(-1)

המשפט היסודי: ff פונקציה קדומה של f′f'

2−(−2)=42 - (-2) = 4

הנקודה (−1,−2)(-1, -2) נתונה

השטח 44. המלכודת: לחשב f(2)−f(−1)=2−2f(2) - f(-1) = 2 - 2 — הערך f(−1)f(-1) שלילי, −2-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הגרף של ff
-2-101234-5-4-3-2-1123xy

נתונה הפונקציה f(x)=x3−xf(x) = x\sqrt{3 - x} (בסעיף א נמצא ש-a=3a = 3). תחום ההגדרה: x≤3x \le 3. הנגזרת: f′(x)=6−3x23−xf'(x) = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}}. ל-ff מקסימום (2,2)(2, 2), והיא עולה ב-x<2x < 2 ויורדת ב-2<x<32 < x < 3. בשרטוט הגרף של ff. ו. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x) = k בדיוק שני פתרונות?

  1. 0≤k≤20 \le k \le 2
  2. k<2k < 2
  3. 0<k<20 < k < 2
  4. 0≤k<20 \le k < 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 0≤k<20 \le k < 2

Corrigé :

x≤2: f(x)≤2, f↗x \le 2:\ f(x) \le 2 ,\ f \nearrow

בענף העולה ff מקבלת כל ערך קטן מ-22 פעם אחת

2≤x≤3: 0≤f≤22 \le x \le 3:\ 0 \le f \le 2

בענף היורד היא יורדת מ-22 עד 00 בקצה

k=0: x=0 x=3\begin{aligned}k &= 0:\ x \\ &= 0 \\ \ x &= 3\end{aligned}

גם ל-k=0k = 0 שני פתרונות, כי הקצה (3,0)(3, 0) שייך לגרף

0≤k<20 \le k < 2. המלכודת: לשכוח את k=0k = 0 — הקצה (3,0)(3, 0) בתחום. ול-k=2k = 2 יש רק פתרון אחד, המקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — משפט הסינוסים ושטח משולש

Exercice 7

ABC

במשולש ABCABC נתון: AB=12AB = 12 ס״מ, ∠BAC=75∘\angle BAC = 75^\circ ו-∠ACB=40∘\angle ACB = 40^\circ. א. חשבו את BCBC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18.03

Corrigé :

BCsin⁡75∘=ABsin⁡40∘\frac{BC}{\sin 75^\circ} = \frac{AB}{\sin 40^\circ}

משפט הסינוסים: כל צלע מול הזווית שלה

BC=12sin⁡75∘sin⁡40∘≈18.03BC = \frac{12 \sin 75^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 18.03

מבודדים

BC≈18.03BC \approx 18.03 ס״מ. המלכודת: להציב את ABAB מול ∠A\angle A — הצלע שמול ∠A\angle A היא BCBC, ומול ∠C\angle C עומדת ABAB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABC

במשולש ABCABC נתון: AB=12AB = 12 ס״מ, ∠BAC=75∘\angle BAC = 75^\circ ו-∠ACB=40∘\angle ACB = 40^\circ. נמצא ש-BC≈18.03BC \approx 18.03 ס״מ. ב. חשבו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABCABC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9.33

Corrigé :

ABsin⁡40∘=2R\frac{AB}{\sin 40^\circ} = 2R

משפט הסינוסים המורחב

R=122sin⁡40∘≈9.33R = \frac{12}{2 \sin 40^\circ} \approx 9.33

מבודדים

R≈9.33R \approx 9.33 ס״מ. המלכודת: לשכוח את ה-22 ולקבל 18.6718.67 — היחס שווה לקוטר, לא לרדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABC

במשולש ABCABC נתון: AB=12AB = 12 ס״מ, ∠BAC=75∘\angle BAC = 75^\circ ו-∠ACB=40∘\angle ACB = 40^\circ. נמצא ש-BC≈18.03BC \approx 18.03 ס״מ. ג. חשבו את שטח המשולש ABCABC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 98.06

Corrigé :

∠ABC=180∘−75∘−40∘=65∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 75^\circ - 40^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

S=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡∠ABCS = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\angle ABC

Aire (שטח) d'un triangle (משולש) : la moitié (חצי) du produit (מכפלת) de deux côtés (צלעות) par le sinus (סינוס) de l'angle compris (זווית שביניהן)

S=12⋅12⋅18.03⋅sin⁡65∘≈98.06S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 18.03 \cdot \sin 65^\circ \approx 98.06

S≈98.06S \approx 98.06 סמ״ר. המלכודת: להכניס את sin⁡75∘\sin 75^\circ או sin⁡40∘\sin 40^\circ — הזווית חייבת להיות הכלואה בין ABAB ל-BCBC, כלומר ∠B\angle B.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABCD

במשולש ABCABC נתון: AB=12AB = 12 ס״מ, ∠BAC=75∘\angle BAC = 75^\circ ו-∠ACB=40∘\angle ACB = 40^\circ. ∠ABC=65∘\angle ABC = 65^\circ. הנקודה DD נמצאת על הצלע BCBC, ו-∠BAD=30∘\angle BAD = 30^\circ. ד. חשבו את ADAD. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.92

Corrigé :

∠ADB=180∘−30∘−65∘=85∘\begin{aligned}\angle ADB &= 180^\circ - 30^\circ - 65^\circ \\ &= 85^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ABDABD

ADsin⁡65∘=ABsin⁡85∘\frac{AD}{\sin 65^\circ} = \frac{AB}{\sin 85^\circ}

משפט הסינוסים במשולש ABDABD

AD=12sin⁡65∘sin⁡85∘≈10.92AD = \frac{12 \sin 65^\circ}{\sin 85^\circ} \approx 10.92

מבודדים

AD≈10.92AD \approx 10.92 ס״מ. המלכודת: לעבוד במשולש ABCABC — ADAD היא צלע של ABDABD, ובו צריך קודם את הזווית ∠ADB\angle ADB שמול ABAB.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — התפלגות נורמלית

Exercice 11

משקל כיכר לחם (גרם)
4805004404604805005205405600גרם

משקל כיכרות הלחם במאפייה בבאר שבע מתפלג נורמלית, עם ממוצע 500500 גרם. ידוע ש-15.87%15.87\% מהכיכרות שוקלות פחות מ-480480 גרם. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1) = 0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28) = 0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5) = 0.9332. א. מצאו את סטיית התקן של משקל הכיכרות (בגרם).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

Φ(z)=0.1587⇒Φ(−z)=0.8413⇒z=−1\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.1587 \Rightarrow \Phi(-z) \\ &= 0.8413 \Rightarrow z \\ &= -1\end{aligned}

זנב שמאלי: משלימים ל-11 ומחפשים בטבלה

−1=480−500σ-1 = \frac{480 - 500}{\sigma}

ציון תקן: z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

σ=20\sigma = 20

On résout

σ=20\sigma = 20 גרם. המלכודת: z=1z = 1 בלי סימן — 480480 מתחת לממוצע, ולכן zz שלילי; עם z=1z = 1 יוצאת סטיית תקן שלילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

משקל כיכר לחם (גרם)
5005304404604805005205405600גרם

משקל כיכרות הלחם במאפייה בבאר שבע מתפלג נורמלית, עם ממוצע 500500 גרם. ידוע ש-15.87%15.87\% מהכיכרות שוקלות פחות מ-480480 גרם. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1) = 0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28) = 0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5) = 0.9332. סטיית התקן היא 2020 גרם. ב. איזה אחוז מהכיכרות שוקלות יותר מ-530530 גרם? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.68

Corrigé :

z=530−50020=1.5\begin{aligned}z &= \frac{530 - 500}{20} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציון תקן

P(X>530)=1−Φ(1.5)=0.0668\begin{aligned}P(X > 530) &= 1 - \Phi(1.5) \\ &= 0.0668\end{aligned}

הטבלה נותנת שטח משמאל; «יותר מ-» הוא הזנב הימני

6.68%6.68\%. המלכודת: לענות 93.32%93.32\% — זה אחוז הכיכרות שמשקלן פחות מ-530530 גרם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

משקל כיכר לחם (גרם)
4805304404604805005205405600גרם

משקל כיכרות הלחם במאפייה בבאר שבע מתפלג נורמלית, עם ממוצע 500500 גרם. ידוע ש-15.87%15.87\% מהכיכרות שוקלות פחות מ-480480 גרם. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1) = 0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28) = 0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5) = 0.9332. סטיית התקן היא 2020 גרם. במאפייה נאפו ביום אחד 12001200 כיכרות. ג. כמה מהן, בקירוב, שוקלות בין 480480 ל-530530 גרם? עגלו למספר שלם.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 929

Corrigé :

z1=−1z2=1.5\begin{aligned}z_1 &= -1 \\ \quad z_2 &= 1.5\end{aligned}

ציוני התקן של שני הגבולות

Φ(1.5)−Φ(−1)=0.9332−0.1587=0.7745\begin{aligned}\Phi(1.5) - \Phi(-1) &= 0.9332 - 0.1587 \\ &= 0.7745\end{aligned}

השטח שבין הגבולות: Φ(−1)=1−0.8413\Phi(-1) = 1 - 0.8413

1200⋅0.7745=929.4≈9291200 \cdot 0.7745 = 929.4 \approx 929

מהסתברות לכמות

בערך 929929 כיכרות. המלכודת: לחסר 0.9332−0.84130.9332 - 0.8413 — Φ(1)\Phi(1) הוא השטח משמאל ל-520520 גרם, לא ל-480480.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

משקל כיכר לחם (גרם)
5004404604805005205405600גרם

משקל כיכרות הלחם במאפייה בבאר שבע מתפלג נורמלית, עם ממוצע 500500 גרם. ידוע ש-15.87%15.87\% מהכיכרות שוקלות פחות מ-480480 גרם. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1) = 0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28) = 0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5) = 0.9332. סטיית התקן היא 2020 גרם. המאפייה מסמנת ב«פרימיום» את 10%10\% הכיכרות הכבדות ביותר. ד. מהו המשקל המינימלי של כיכר פרימיום (בגרם)? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 525.6

Corrigé :

P(X>t)=0.10⇒Φ(z)=0.90\begin{aligned}P(X > t) &= 0.10 \Rightarrow \Phi(z) \\ &= 0.90\end{aligned}

משמאל ל-tt נמצאות 90%90\% מהכיכרות

z≈1.28z \approx 1.28

חיפוש הפוך בטבלה: Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28) = 0.8997

t=500+1.28⋅20=525.6\begin{aligned}t &= 500 + 1.28 \cdot 20 \\ &= 525.6\end{aligned}

x=μ+zσx = \mu + z\sigma

t≈525.6t \approx 525.6 גרם. המלכודת: לחפש בטבלה את 0.100.10 — הטבלה מצטברת משמאל, ולכן הכבדים ביותר מתאימים ל-0.900.90.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

משקל כיכר לחם (גרם)
5005204404604805005205405600גרם

משקל כיכרות הלחם במאפייה בבאר שבע מתפלג נורמלית, עם ממוצע 500500 גרם. ידוע ש-15.87%15.87\% מהכיכרות שוקלות פחות מ-480480 גרם. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1) = 0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28) = 0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5) = 0.9332. סטיית התקן היא 2020 גרם. המאפייה מוסיפה 1010 גרם בצק לכל כיכר, וסטיית התקן נשארת 2020 גרם. ה. הוכיחו או הפריכו: אחוז הכיכרות שמשקלן בין הממוצע לבין הממוצע ועוד סטיית תקן אחת אינו משתנה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

μ′=510σ′=20\begin{aligned}\mu' &= 510 \\ \quad \sigma' &= 20\end{aligned}

תוספת קבועה מזיזה את הממוצע ומשאירה את הפיזור

P(μ′<X<μ′+σ′)=Φ(1)−Φ(0)P(\mu' < X < \mu' + \sigma') = \Phi(1) - \Phi(0)

בציוני תקן: בין z=0z = 0 ל-z=1z = 1

0.8413−0.5=0.34130.8413 - 0.5 = 0.3413

אותו שטח בכל התפלגות נורמלית

הטענה נכונה: בכל התפלגות נורמלית 34.13%34.13\% מהערכים בין μ\mu ל-μ+σ\mu + \sigma. המלכודת: לחשוב שהאחוז משתנה כי הגבולות זזו — הם זזו יחד עם הפעמון.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe