מבחן לדוגמא 4

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבחן לדוגמא 4 — סוף המחצית. 3 שאלות עם סעיפים, 16 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: פונקציה קדומה ואינטגרל מסוים, שטחים עם פרמטר, משוואת המעגל ומשיק, ומתאם ורגרסיה ליניארית.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו. בשטח: קודם בודקים איפה הפונקציה מעל הציר ואיפה מתחתיו, ורק אחר כך מחשבים. ברגרסיה: הקו עובר תמיד דרך (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}), ובנוסחאון מחלקים במספר הנתונים.

Exercices

שאלה 1 — פונקציה קדומה ושטחים

Exercice 1

הנגזרת של הפונקציה ff היא f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x, והגרף של ff עובר בנקודה (1,2)(1, 2). א. מצאו את f(x)f(x).

f(x)=f(x) = ____ x3+x^3 + ( ____ ) x2+x^2 + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(x)=f(x) = 1 x3+x^3 + ( -3 ) x2+x^2 + 4

Corrigé :

f(x)=∫(3x2−6x) dx=x3−3x2+c\begin{aligned}f(x) &= \int (3x^2 - 6x)\,dx \\ &= x^3 - 3x^2 + c\end{aligned}

פונקציה קדומה: מעלים את החזקה ומחלקים בחזקה החדשה

f(1)=1−3+c=2\begin{aligned}f(1) &= 1 - 3 + c \\ &= 2\end{aligned}

מציבים את הנקודה (1,2)(1, 2)

c=4c = 4

On résout

f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. המלכודת: לשכוח את הקבוע cc — יש אינסוף פונקציות קדומות, והנקודה בוחרת אחת מהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הנגזרת של הפונקציה ff היא f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x, והגרף של ff עובר בנקודה (1,2)(1, 2). נמצא ש-f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. ב. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של ff עם ציר ה-xx. (רמז: x=−1x = -1 היא אחת מהן.)

x=x = ____ ו-x=x = ____ (מהקטנה לגדולה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = -1 ו-x=x = 2 (מהקטנה לגדולה)

Corrigé :

f(−1)=−1−3+4=0\begin{aligned}f(-1) &= -1 - 3 + 4 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקת הרמז

x3−3x2+4=(x+1)(x2−4x+4)x^3 - 3x^2 + 4 = (x + 1)(x^2 - 4x + 4)

מוציאים את הגורם (x+1)(x + 1)

(x+1)(x−2)2=0⇒x=−1 x=2\begin{aligned}(x + 1)(x - 2)^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

הגורם השני ריבוע שלם

x=−1x = -1 ו-x=2x = 2. ב-x=2x = 2 הגרף רק נוגע בציר (שורש כפול), ולכן בין −1-1 ל-22 הפונקציה אינה מחליפה סימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

xy-12

הנגזרת של הפונקציה ff היא f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x, והגרף של ff עובר בנקודה (1,2)(1, 2). נמצא ש-f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=−1x = -1 ונוגע בו ב-x=2x = 2. ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff וציר ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.75

Corrigé :

−1≤x≤2: f(x)=(x+1)(x−2)2≥0-1 \le x \le 2:\ f(x) = (x+1)(x-2)^2 \ge 0

הפונקציה מעל הציר בכל התחום

∫−12(x3−3x2+4) dx=[x44−x3+4x]−12\int_{-1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 4)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - x^3 + 4x\right]_{-1}^{2}

אינטגרל מסוים

(4−8+8)−(14+1−4)=4+2.75=6.75\begin{aligned}(4 - 8 + 8) - \left(\frac{1}{4} + 1 - 4\right) &= 4 + 2.75 \\ &= 6.75\end{aligned}

מציבים את הגבולות

השטח 6.756.75. המלכודת: טעות סימן בהצבת x=−1x = -1: (−1)3=−1(-1)^3 = -1, ולכן −x3-x^3 נותן +1+1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

xy3

(המשך לשאלה 1.) נתונה הפונקציה g(x)=a(x+1)2g(x) = \frac{a}{(x+1)^2}, ו-aa פרמטר חיובי. השטח המוגבל על ידי הגרף של gg, הצירים והישר x=3x = 3 שווה ל-66. ד. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

∫a(x+1)2 dx=−ax+1+c\int \frac{a}{(x+1)^2}\,dx = -\frac{a}{x+1} + c

אינטגרל של a(mx+b)2\frac{a}{(mx+b)^2} מהנוסחאון

[−ax+1]03=−a4+a=3a4\begin{aligned}\left[-\frac{a}{x+1}\right]_0^3 &= -\frac{a}{4} + a \\ &= \frac{3a}{4}\end{aligned}

גבולות: ציר ה-yy (x=0x = 0) והישר x=3x = 3

3a4=6⇒a=8\begin{aligned}\frac{3a}{4} &= 6 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

משווים לשטח הנתון

a=8a = 8. המלכודת: לכתוב פונקציה קדומה ax+1\frac{a}{x+1} בלי המינוס — אז השטח יוצא שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

(המשך לשאלה 1.) נתונה הפונקציה g(x)=a(x+1)2g(x) = \frac{a}{(x+1)^2}, ו-aa פרמטר חיובי. השטח המוגבל על ידי הגרף של gg, הצירים והישר x=3x = 3 שווה ל-66. נמצא ש-a=8a = 8, כלומר g(x)=8(x+1)2g(x) = \frac{8}{(x+1)^2}. ה. מצאו את k>0k > 0 שבעבורו השטח המוגבל על ידי הגרף של gg, הצירים והישר x=kx = k שווה ל-44.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

[−8x+1]0k=8−8k+1\left[-\frac{8}{x+1}\right]_0^k = 8 - \frac{8}{k+1}

אותה פונקציה קדומה, עם גבול עליון kk

8−8k+1=4⇒8k+1=4\begin{aligned}8 - \frac{8}{k+1} &= 4 \Rightarrow \frac{8}{k+1} \\ &= 4\end{aligned}

משווים ל-44

k+1=2⇒k=1\begin{aligned}k + 1 &= 2 \Rightarrow k \\ &= 1\end{aligned}

k=1k = 1. המלכודת: לחשוב ששטח חצי מ-66 דורש חצי מהרוחב, k=1.5k = 1.5 — הגרף גבוה ליד ציר ה-yy, ושם מצטבר רוב השטח.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — משוואת המעגל ומשיק

Exercice 6

המעגל שמרכזו MM עובר בנקודות A(5,5)A(5, 5) ו-B(−1,5)B(-1, 5). המרכז MM נמצא על הישר y=x−1y = x - 1. א. מצאו את שיעורי המרכז MM.

xM=x_M = ____ , yM=y_M = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : xM=x_M = 2 , yM=y_M = 1

Corrigé :

MA=MBMA = MB

מרכז המעגל נמצא על האנך האמצעי של המיתר ABAB

yA=yB=5⇒x=5+(−1)2=2\begin{aligned}y_A &= y_B \\ &= 5 \Rightarrow x \\ &= \frac{5 + (-1)}{2} \\ &= 2\end{aligned}

המיתר אופקי, ולכן האנך האמצעי הוא הישר x=2x = 2

y=2−1=1\begin{aligned}y &= 2 - 1 \\ &= 1\end{aligned}

מציבים בישר y=x−1y = x - 1

M(2,1)M(2, 1). המלכודת: לקחת את אמצע ABAB, (2,5)(2, 5), כמרכז — ABAB מיתר, לא קוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

המעגל שמרכזו MM עובר בנקודות A(5,5)A(5, 5) ו-B(−1,5)B(-1, 5). המרכז MM נמצא על הישר y=x−1y = x - 1. נמצא ש-M(2,1)M(2, 1). ב. כתבו את משוואת המעגל.

(x−(x - ____ )2+(y−)^2 + (y - ____ )2=)^2 = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (x−(x - 2 )2+(y−)^2 + (y - 1 )2=)^2 = 25

Corrigé :

R2=MA2=(5−2)2+(5−1)2=25\begin{aligned}R^2 &= MA^2 \\ &= (5-2)^2 + (5-1)^2 \\ &= 25\end{aligned}

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לנקודה על המעגל

(x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25

משוואת מעגל שמרכזו (a,b)(a, b): (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

(x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25. המלכודת: לכתוב 55 באגף ימין — שם R2R^2, לא RR.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

המעגל שמרכזו MM עובר בנקודות A(5,5)A(5, 5) ו-B(−1,5)B(-1, 5). המרכז MM נמצא על הישר y=x−1y = x - 1. נמצא ש-M(2,1)M(2, 1) והמשוואה היא (x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25. ג. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = -0.75 x+x + 8.75

Corrigé :

mMA=5−15−2=43\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{5 - 1}{5 - 2} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה

m=−34m = -\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−5=−34(x−5)⇒y=−0.75x+8.75\begin{aligned}y - 5 &= -\frac{3}{4}(x - 5) \Rightarrow y \\ &= -0.75x + 8.75\end{aligned}

ישר דרך AA

y=−0.75x+8.75y = -0.75x + 8.75. המלכודת: לקחת את שיפוע הרדיוס, 43\frac{4}{3}, כשיפוע המשיק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

המעגל שמרכזו MM עובר בנקודות A(5,5)A(5, 5) ו-B(−1,5)B(-1, 5). המרכז MM נמצא על הישר y=x−1y = x - 1. נמצא ש-M(2,1)M(2, 1) והמשוואה היא (x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25. ד. היכן נמצאת הנקודה P(7,3)P(7, 3) ביחס למעגל?

  1. בתוך המעגל
  2. מחוץ למעגל
  3. על המעגל
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מחוץ למעגל

Corrigé :

MP2=(7−2)2+(3−1)2=29\begin{aligned}MP^2 &= (7-2)^2 + (3-1)^2 \\ &= 29\end{aligned}

מציבים את PP באגף שמאל של המשוואה

29>25=R229 > 25 = R^2

המרחק מהמרכז גדול מהרדיוס

מחוץ למעגל. המלכודת: להשוות 2929 ל-R=5R = 5 — משווים ריבוע לריבוע: MP2MP^2 ל-R2R^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

המעגל שמרכזו MM עובר בנקודות A(5,5)A(5, 5) ו-B(−1,5)B(-1, 5). המרכז MM נמצא על הישר y=x−1y = x - 1. נמצא ש-M(2,1)M(2, 1) והמשוואה היא (x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25. ACAC הוא קוטר של המעגל. ה. מצאו את שיעורי CC.

xC=x_C = ____ , yC=y_C = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : xC=x_C = -1 , yC=y_C = -3

Corrigé :

M=(xA+xC2,yA+yC2)M = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)

המרכז הוא אמצע כל קוטר

C=(2⋅2−5, 2⋅1−5)=(−1,−3)\begin{aligned}C &= (2 \cdot 2 - 5,\ 2 \cdot 1 - 5) \\ &= (-1, -3)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע, הפוכה

C(−1,−3)C(-1, -3). בדיקה: (−3)2+(−4)2=25(-3)^2 + (-4)^2 = 25 ✓. המלכודת: לחסר בכיוון ההפוך ולקבל את AA שוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

המעגל שמרכזו MM עובר בנקודות A(5,5)A(5, 5) ו-B(−1,5)B(-1, 5). המרכז MM נמצא על הישר y=x−1y = x - 1. נמצא ש-M(2,1)M(2, 1) והמשוואה היא (x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25. ACAC קוטר, ו-C(−1,−3)C(-1, -3). ו. חשבו את שטח המשולש ABCABC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

AB=5−(−1)=6BC=5−(−3)=8\begin{aligned}AB &= 5 - (-1) \\ &= 6 \\ \quad BC &= 5 - (-3) \\ &= 8\end{aligned}

ABAB אופקי ו-BCBC אנכי: המרחק הוא הפרש שיעורים

S=6⋅82=24\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: חצי מכפלת הניצבים

השטח 2424. המלכודת: לחשב עם הקוטר AC=10AC = 10 כאילו היה ניצב — הוא היתר.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — מתאם ורגרסיה ליניארית

Exercice 12

טמפרטורה במעלות (x)2325262729
ארטיקים, בעשרות (y)1418222026

בקיוסק בחוף בתל אביב רשמו בחמישה ימים את הטמפרטורה בצהריים (xx, במעלות) ואת מספר הארטיקים שנמכרו (yy, בעשרות). הנתונים בטבלה. א. חשבו את הממוצע xˉ\bar{x} ואת סטיית התקן SxS_x.

xˉ=\bar{x} = ____ , Sx=S_x = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : xˉ=\bar{x} = 26 , Sx=S_x = 2

Corrigé :

xˉ=23+25+26+27+295=1305=26\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{23 + 25 + 26 + 27 + 29}{5} \\ &= \frac{130}{5} \\ &= 26\end{aligned}

ממוצע

x−xˉ: −3, −1, 0, 1, 3x - \bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3

הסטיות מהממוצע

Sx=9+1+0+1+95=4=2\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{9 + 1 + 0 + 1 + 9}{5}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

סטיית תקן: מחלקים במספר הנתונים

xˉ=26\bar{x} = 26, Sx=2S_x = 2. המלכודת: לשכוח את השורש ולענות 44 — זו השונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

טמפרטורה במעלות (x)2325262729
ארטיקים, בעשרות (y)1418222026

בקיוסק בחוף בתל אביב רשמו בחמישה ימים את הטמפרטורה בצהריים (xx, במעלות) ואת מספר הארטיקים שנמכרו (yy, בעשרות). הנתונים בטבלה. xˉ=26\bar{x} = 26 ו-Sx=2S_x = 2; ידוע גם yˉ=20\bar{y} = 20 ו-Sy=4S_y = 4. ב. איזה מהערכים הוא מקדם המתאם rr? בדקו בחישוב.

  1. 0.950.95
  2. 0.750.75
  3. −0.95-0.95
  4. 0.50.5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 0.950.95

Corrigé :

y−yˉ: −6, −2, 2, 0, 6y - \bar{y}:\ -6,\ -2,\ 2,\ 0,\ 6

הסטיות של yy

∑(x−xˉ)(y−yˉ)=18+2+0+0+18=38\begin{aligned}\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) &= 18 + 2 + 0 + 0 + 18 \\ &= 38\end{aligned}

סכום המכפלות

r=385⋅2⋅4=0.95\begin{aligned}r &= \frac{38}{5 \cdot 2 \cdot 4} \\ &= 0.95\end{aligned}

נוסחת מקדם המתאם מהנוסחאון

r=0.95r = 0.95: מתאם חיובי חזק. המלכודת: לחלק ב-SxSyS_x S_y בלי n=5n = 5 ולקבל 4.754.75 — ערך מחוץ לתחום −1≤r≤1-1 \le r \le 1 הוא סימן לטעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

טמפרטורה במעלות (x)2325262729
ארטיקים, בעשרות (y)1418222026

בקיוסק בחוף בתל אביב רשמו בחמישה ימים את הטמפרטורה בצהריים (xx, במעלות) ואת מספר הארטיקים שנמכרו (yy, בעשרות). הנתונים בטבלה. xˉ=26\bar{x} = 26, Sx=2S_x = 2, yˉ=20\bar{y} = 20, Sy=4S_y = 4. מקדם המתאם r=0.95r = 0.95. ג. מצאו את קו הרגרסיה של yy לפי xx.

y=y = ____ x+x + ( ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = 1.9 x+x + ( -29.4 )

Corrigé :

m=r⋅SySx=0.95⋅42=1.9\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= 0.95 \cdot \frac{4}{2} \\ &= 1.9\end{aligned}

שיפוע קו הרגרסיה

y−20=1.9(x−26)y - 20 = 1.9(x - 26)

הקו עובר דרך (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y})

y=1.9x−29.4y = 1.9x - 29.4

y=1.9x−29.4y = 1.9x - 29.4. המלכודת: להפוך את השבר (SxSy\frac{S_x}{S_y}) ולקבל שיפוע 0.4750.475.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

טמפרטורה במעלות (x)2325262729
ארטיקים, בעשרות (y)1418222026

בקיוסק בחוף בתל אביב רשמו בחמישה ימים את הטמפרטורה בצהריים (xx, במעלות) ואת מספר הארטיקים שנמכרו (yy, בעשרות). הנתונים בטבלה. xˉ=26\bar{x} = 26, Sx=2S_x = 2, yˉ=20\bar{y} = 20, Sy=4S_y = 4. קו הרגרסיה: y=1.9x−29.4y = 1.9x - 29.4. ד. לפי קו הרגרסיה, כמה ארטיקים (בעשרות) צפויים להימכר ביום של 2828 מעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 23.8

Corrigé :

y=1.9⋅28−29.4=53.2−29.4=23.8\begin{aligned}y &= 1.9 \cdot 28 - 29.4 \\ &= 53.2 - 29.4 \\ &= 23.8\end{aligned}

מציבים x=28x = 28 בקו הרגרסיה

23.823.8 עשרות, כלומר כ-238238 ארטיקים. 2828 בתוך תחום הנתונים (2323 עד 2929), ולכן החיזוי סביר. המלכודת: לחזות ליום של 4040 מעלות — אקסטרפולציה רחוק מהנתונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

טמפרטורה במעלות (x)2325262729
ארטיקים, בעשרות (y)1418222026

בקיוסק בחוף בתל אביב רשמו בחמישה ימים את הטמפרטורה בצהריים (xx, במעלות) ואת מספר הארטיקים שנמכרו (yy, בעשרות). הנתונים בטבלה. xˉ=26\bar{x} = 26, Sx=2S_x = 2, yˉ=20\bar{y} = 20, Sy=4S_y = 4. קו הרגרסיה: y=1.9x−29.4y = 1.9x - 29.4, ו-r=0.95r = 0.95. בכל אחד מחמשת הימים נמכרו גם 33 עשרות ארטיקים בהזמנה קבועה של מחנה קיץ, ולכן כל ערך של yy גדל ב-33. ה. מה משתנה?

  1. השיפוע גדל ב-33
  2. SyS_y גדלה ב-33
  3. rr גדל, והשיפוע לא משתנה
  4. rr והשיפוע לא משתנים; המספר החופשי גדל ב-33
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D rr והשיפוע לא משתנים; המספר החופשי גדל ב-33

Corrigé :

yˉ′=23Sy′=4\begin{aligned}\bar{y}' &= 23 \\ \quad S_y' &= 4\end{aligned}

הזזה מזיזה את הממוצע ולא את הפיזור

r′=0.95m′=1.9\begin{aligned}r' &= 0.95 \\ \quad m' &= 1.9\end{aligned}

הסטיות מהממוצע לא השתנו

y=1.9x−26.4y = 1.9x - 26.4

הקו כולו עולה ב-33

רק המספר החופשי משתנה: −29.4+3=−26.4-29.4 + 3 = -26.4. המלכודת: לחשוב שתוספת «משפרת» את המתאם — rr מודד את הצורה של הענן, והזזה לא משנה אותה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe