מבחן לדוגמא 5

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבחן לדוגמא 5 — סוף השנה. 3 שאלות עם סעיפים, שאלה אחת מכל פרק של השאלון: הסתברות (פרק א), גאומטריה אנליטית עם מעגל (פרק ב), ובעיית ערך קיצון (פרק ג). 15 סעיפים בסך הכול, 90 דקות.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו. בהסתברות: עץ לפני כל חישוב, ובהסתברות מותנית שאלו «מה ידוע?». בבעיית קיצון: הביעו את הגודל בעזרת משתנה אחד, ואחרי הנגזרת — טבלת סימנים.

Exercices

שאלה 1 — הסתברות מותנית

Exercice 1

איך מגיעים לבית הספר, ומי מאחר

בתיכון בחיפה $40\%$ מהתלמידים מגיעים לבית הספר באוטובוס, והשאר ברגל או באופניים. מבין הנוסעים באוטובוס, $30\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע; מבין שאר התלמידים, $10\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע. א. בוחרים תלמיד באקראי. מה ההסתברות שהוא מאחר לפחות פעם בשבוע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.18

Corrigé :

0.4 \cdot 0.3 = 0.12

המסלול «אוטובוס ומאחר»: כופלים לאורך הענף

0.6 \cdot 0.1 = 0.06

המסלול «לא באוטובוס ומאחר»

\begin{aligned}P(L) &= 0.12 + 0.06 \\ &= 0.18\end{aligned}

נוסחת ההסתברות השלמה: מחברים את המסלולים

$0.18$ . המלכודת: לחבר $0.18$ בלי לכפול בהסתברות של כל קבוצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

איך מגיעים לבית הספר, ומי מאחר

בתיכון בחיפה $40\%$ מהתלמידים מגיעים לבית הספר באוטובוס, והשאר ברגל או באופניים. מבין הנוסעים באוטובוס, $30\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע; מבין שאר התלמידים, $10\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע. ההסתברות שתלמיד מקרי מאחר לפחות פעם בשבוע היא $0.18$ . ב. נבחר תלמיד שמאחר לפחות פעם בשבוע. מה ההסתברות שהוא נוסע באוטובוס? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.67

Corrigé :

P(B \mid L) = \frac{P(B \cap L)}{P(L)}

הסתברות מותנית

= \frac{0.12}{0.18} = \frac{2}{3} \approx 0.67

המונה: המסלול «אוטובוס ומאחר» מסעיף א

$\frac{2}{3} \approx 0.67$ . המלכודת: לענות $0.3$ — זו $0.3$ , ההסתברות לאחר בהינתן אוטובוס; כאן התנאי הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בתיכון בחיפה $40\%$ מהתלמידים מגיעים לבית הספר באוטובוס, והשאר ברגל או באופניים. מבין הנוסעים באוטובוס, $30\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע; מבין שאר התלמידים, $10\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע. ההסתברות שתלמיד מקרי מאחר לפחות פעם בשבוע היא $0.18$ . ג. בוחרים באקראי שני תלמידים מבית הספר (הבחירות בלתי תלויות). מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם מאחר לפחות פעם בשבוע? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3

Corrigé :

0.18 \cdot 0.82 = 0.1476

המסלול «הראשון מאחר, השני לא»

0.82 \cdot 0.18 = 0.1476

המסלול «הראשון לא, השני מאחר»

0.1476 + 0.1476 = 0.2952 \approx 0.30

שני מסלולים זרים: מחברים

$0.2952 \approx 0.30$ . המלכודת: לחשב רק מסלול אחד ולקבל $0.15$ — «בדיוק אחד» יכול להיות הראשון או השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

איך מגיעים לבית הספר, ומי מאחר

בתיכון בחיפה $40\%$ מהתלמידים מגיעים לבית הספר באוטובוס, והשאר ברגל או באופניים. מבין הנוסעים באוטובוס, $30\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע; מבין שאר התלמידים, $10\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע. ההסתברות שתלמיד מקרי מאחר לפחות פעם בשבוע היא $0.18$ . ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «התלמיד נוסע באוטובוס» ו«התלמיד מאחר לפחות פעם בשבוע» בלתי תלויים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

P(L \mid B) = 0.3

נתון: מבין הנוסעים באוטובוס

P(L) = 0.18

סעיף א

0.3 \ne 0.18

בלתי תלויים אם ורק אם $P(L \mid B) = P(L)$

הטענה שגויה: הנסיעה באוטובוס משנה את ההסתברות לאחר, ולכן המאורעות תלויים. בדיקה נוספת: $P(B \cap L) = 0.12 \ne 0.4 \cdot 0.18 = 0.072$ . המלכודת: לבלבל «בלתי תלויים» עם «זרים».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

(המשך לשאלה 1.) בכיתה אחת בבית הספר $20$ תלמידים, ו- $n$ מהם נוסעים באוטובוס. בוחרים באקראי שני תלמידים שונים מהכיתה, בזה אחר זה. ההסתברות ששניהם נוסעים באוטובוס היא $n$ . ה. מצאו את $n$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

\frac{n}{20} \cdot \frac{n - 1}{19} = \frac{33}{95}

בלי החזרה: בבחירה השנייה נשארו $n - 1$ מתוך $19$

\begin{aligned}n(n - 1) &= 380 \cdot \frac{33}{95} \\ &= 132\end{aligned}

כופלים ב- $380$

\begin{aligned}n^2 - n - 132 &= 0 \Rightarrow n \\ &= 12\end{aligned}

משוואה ריבועית; $n = -11$ נפסל

$n = 12$ . המלכודת: לכתוב $\left(\frac{n}{20}\right)^2$ , כאילו התלמיד הראשון חוזר לכיתה — אותו תלמיד אינו יכול להיבחר פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — משולש ומרובע חסומים במעגל, במערכת צירים

Exercice 6

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1, 6)$ , $B(5, -2)$ , $C(6, 5)$ . א. הוכיחו או הפריכו: $\angle ACB = 90^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{5 - 6}{6 - (-1)} \\ &= -\frac{1}{7}\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

\begin{aligned}m_{CB} &= \frac{-2 - 5}{5 - 6} \\ &= 7\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

m_{AC} \cdot m_{CB} = -1

מכפלת שיפועים $-1$ : הישרים מאונכים

הטענה נכונה. המלכודת: להשוות את השיפועים עצמם ( $-\frac{1}{7}$ ו- $7$ ) ולומר «לא מאונכים כי השיפועים שונים» — בודקים את המכפלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1, 6)$ , $B(5, -2)$ , $C(6, 5)$ . הוכח ש- $\angle ACB = 90^\circ$ . ב. מצאו את מרכז המעגל $M$ החוסם את המשולש $M$ .

$x_M =$ ____ , $y_M =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x_M =$ 2 , $y_M =$ 2

Corrigé :

\begin{aligned}\angle ACB &= 90^\circ \Rightarrow AB \\ &= 2R\end{aligned}

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר: $AB$ קוטר

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-1 + 5}{2}, \frac{6 - 2}{2}\right) \\ &= (2, 2)\end{aligned}

המרכז הוא אמצע הקוטר

$M(2, 2)$ . המלכודת: לחפש חיתוך של שני אנכים אמצעיים — אפשר, אבל במשולש ישר זווית המרכז הוא פשוט אמצע היתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1, 6)$ , $B(5, -2)$ , $C(6, 5)$ . $\angle ACB = 90^\circ$ , ומרכז המעגל החוסם את המשולש הוא $M(2, 2)$ . ג. כתבו את משוואת המעגל החוסם.

$(x -$ ____ $)^2 + (y -$ ____ $)^2 =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $(x -$ 2 $)^2 + (y -$ 2 $)^2 =$ 25

Corrigé :

\begin{aligned}R^2 &= MA^2 \\ &= (-1 - 2)^2 + (6 - 2)^2 \\ &= 25\end{aligned}

נוסחת המרחק בריבוע

(x-2)^2 + (y-2)^2 = 25

משוואת מעגל

C:\ 4^2 + 3^2 = 25

בדיקה: $C$ על המעגל ✓

$(x-2)^2 + (y-2)^2 = 25$ . המלכודת: לכתוב $(x+2)^2$ — הסימן בסוגריים הפוך לשיעור המרכז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1, 6)$ , $B(5, -2)$ , $C(6, 5)$ . $\angle ACB = 90^\circ$ , ומרכז המעגל החוסם את המשולש הוא $M(2, 2)$ . משוואת המעגל: $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 25$ . $D$ היא הנקודה שבעבורה $ACBD$ מקבילית. ד. מצאו את שיעורי $D$ .

$D$ ____ , $y_D =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x_D =$ -2 , $y_D =$ -1

Corrigé :

\begin{aligned}M_{AB} &= M_{CD} \\ &= (2, 2)\end{aligned}

במקבילית $ACBD$ האלכסונים $AB$ ו- $CD$ חוצים זה את זה

\begin{aligned}D &= (2 \cdot 2 - 6,\ 2 \cdot 2 - 5) \\ &= (-2, -1)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע, הפוכה

(-4)^2 + (-3)^2 = 25

בדיקה: גם $D$ על המעגל

$D(-2, -1)$ . המלכודת: לקרוא את המרובע $ACBD$ בסדר אחר — הקודקוד $D$ מול $D$ , ולכן $C$ הוא אלכסון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1, 6)$ , $B(5, -2)$ , $C(6, 5)$ . $\angle ACB = 90^\circ$ , ומרכז המעגל החוסם את המשולש הוא $M(2, 2)$ . משוואת המעגל: $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 25$ . $D(-2, -1)$ , ו- $ACBD$ מקבילית. ה. מה סוג המרובע $ACBD$ ?

ריבוע
מקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין
מלבן שאינו ריבוע
מעוין שאינו ריבוע

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A ריבוע

Corrigé :

\angle ACB = 90^\circ

מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן

\begin{aligned}AC &= \sqrt{7^2 + 1^2} \\ &= \sqrt{50} \\ \quad CB &= \sqrt{1^2 + 7^2} \\ &= \sqrt{50}\end{aligned}

נוסחת המרחק: שתי צלעות סמוכות שוות

\begin{aligned}AC &= CB \\ \quad \angle ACB &= 90^\circ\end{aligned}

מלבן שיש בו שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע

ריבוע. המלכודת: לעצור ב«מלבן» — צריך לבדוק גם אורכים. בדיקה: האלכסונים $AB$ ו- $CD$ שווים ( $10$ ) ומאונכים ( $-\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} = -1$ ).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1, 6)$ , $B(5, -2)$ , $C(6, 5)$ . $\angle ACB = 90^\circ$ , ומרכז המעגל החוסם את המשולש הוא $M(2, 2)$ . משוואת המעגל: $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 25$ . $D(-2, -1)$ , ו- $ACBD$ ריבוע. ו. חשבו את שטח הריבוע $ACBD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50

Corrigé :

\begin{aligned}S &= AC^2 \\ &= (\sqrt{50})^2 \\ &= 50\end{aligned}

שטח ריבוע: צלע בריבוע

\begin{aligned}S &= \frac{AB \cdot CD}{2} \\ &= \frac{10 \cdot 10}{2} \\ &= 50\end{aligned}

בדיקה: מחצית מכפלת האלכסונים המאונכים

השטח $50$ . המלכודת: לקחת את הקוטר $50$ כצלע ולקבל $100$ — הקוטר הוא האלכסון של הריבוע החסום.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — בעיית ערך קיצון

Exercice 12

הגרף של

f

והמלבן

OAPB

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x) = \frac{4}{x^2}$ ברביע הראשון, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $t$ ( $t$ ). מ- $P$ מורידים אנכים לצירים: $A$ על ציר ה- $x$ ו- $B$ על ציר ה- $B$ . $y$ ראשית הצירים, ו- $OAPB$ מלבן. א. הביעו את היקף המלבן $OAPB$ בעזרת $t$ .

$L(t) = 2t + \frac{8}{t}$
$L(t) = \frac{4}{t}$
$L(t) = t + \frac{4}{t^2}$
$L(t) = 2t + \frac{8}{t^2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $L(t) = 2t + \frac{8}{t^2}$

Corrigé :

\begin{aligned}OA &= t \\ \quad AP &= f(t) \\ &= \frac{4}{t^2}\end{aligned}

אורך המלבן: ה- $x$ של $x$ ; רוחבו: ה- $P$ של $P$

\begin{aligned}L(t) &= 2\left(t + \frac{4}{t^2}\right) \\ &= 2t + \frac{8}{t^2}\end{aligned}

היקף מלבן: פעמיים סכום שתי צלעות סמוכות

$L(t) = 2t + \frac{8}{t^2}$ . המלכודת: $\frac{4}{t}$ הוא השטח ( $t \cdot \frac{4}{t^2}$ ), ו- $t + \frac{4}{t^2}$ הוא רק חצי היקף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

הגרף של

f

והמלבן

OAPB

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x) = \frac{4}{x^2}$ ברביע הראשון, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $t$ ( $t$ ). מ- $P$ מורידים אנכים לצירים: $A$ על ציר ה- $x$ ו- $B$ על ציר ה- $B$ . $y$ ראשית הצירים, ו- $OAPB$ מלבן. היקף המלבן: $L(t) = 2t + \frac{8}{t^2}$ . ב. מצאו את $t$ שבעבורו היקף המלבן מינימלי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

L'(t) = 2 - \frac{16}{t^3}

גוזרים: $\left(\frac{8}{t^2}\right)' = -\frac{16}{t^3}$

\begin{aligned}2 - \frac{16}{t^3} &= 0 \Rightarrow t^3 \\ &= 8 \Rightarrow t \\ &= 2\end{aligned}

משווים לאפס

\begin{aligned}L'(1) &= -14 < 0 \\ \quad L'(4) &= 1.75 > 0\end{aligned}

טבלת סימנים: יורדת ואחר כך עולה — מינימום

$t = 2$ . המלכודת: לא להוכיח שזה מינימום — בלי טבלת סימנים (או בדיקה בשני הצדדים) נקודה עם $L' = 0$ יכולה להיות גם מקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

הגרף של

f

והמלבן

OAPB

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x) = \frac{4}{x^2}$ ברביע הראשון, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $t$ ( $t$ ). מ- $P$ מורידים אנכים לצירים: $A$ על ציר ה- $x$ ו- $B$ על ציר ה- $B$ . $y$ ראשית הצירים, ו- $OAPB$ מלבן. היקף המלבן: $L(t) = 2t + \frac{8}{t^2}$ . ההיקף מינימלי כש- $t = 2$ . ג. מהו ההיקף המינימלי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\begin{aligned}L(2) &= 2 \cdot 2 + \frac{8}{4} \\ &= 4 + 2 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים $t = 2$ בפונקציית ההיקף

ההיקף המינימלי $6$ ; המלבן: $6$ על $2$ , ו- $P(2, 1)$ . המלכודת: להציב בנגזרת, או לענות $2$ — זה ה- $2$ , לא ההיקף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

הגרף של

f

והמלבן

OAPB

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x) = \frac{4}{x^2}$ ברביע הראשון, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $t$ ( $t$ ). מ- $P$ מורידים אנכים לצירים: $A$ על ציר ה- $x$ ו- $B$ על ציר ה- $B$ . $y$ ראשית הצירים, ו- $OAPB$ מלבן. היקף המלבן: $L(t) = 2t + \frac{8}{t^2}$ . ההיקף המינימלי הוא $6$ , והוא מתקבל כש- $t = 2$ . ד. הוכיחו או הפריכו: יש נקודה $P$ על הגרף שבעבורה היקף המלבן $OAPB$ הוא $5$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

L(t) \ge L(2) = 6

$L$ יורדת עד $t = 2$ ועולה אחריו: $6$ הוא הערך הקטן ביותר

5 < 6

ההיקף הרצוי קטן מהמינימום

הטענה שגויה: כל היקף הוא לפחות $6$ . המלכודת: לחשוב שכל מספר חיובי אפשרי — המינימום הוא הגבול התחתון של ההיקפים.

Vérifier la réponse sur elev

Les mots de la leçon

שנה: shana an, année
סעיף: se’if question (a, b, c…)
הסתברות: histabrut probabilité
מעגל: ma’agal cercle
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
סך הכול: sakh ha-kol au total
דקה: daka minute
הסתברות מותנית: histabrut mutnit probabilité conditionnelle
בעיית קיצון: ba’ayat kitson problème d’optimisation
הביעו: habi’u exprimez
נגזרת: nigzeret dérivée
טבלת סימנים: tavlat simanim tableau de signes (de variations)
תיכון: tikhon médiane
לפחות: lefaḥot au moins
שבוע: shavu’a semaine
אקראי: akra’i au hasard, aléatoire
נוסחת ההסתברות השלמה: nusḥat ha-histabrut ha-shlema formule des probabilités totales
מלכודת: malkodet piège
עגלו: agelu arrondissez
ספרות אחרי הנקודה: sfarot aḥarei ha-nekuda chiffres après la virgule (décimales)
מונה: moneh numérateur
תנאי: tnai condition
בלתי תלויים: bilti tluyim indépendants
חשבו: ḥishvu calculez
הוכיחו: hokhiḥu démontrez
הפריכו: hafrikhu réfutez
מאורע: me’ora événement
נתון: natun on donne ; donnée (hypothèse)
אם ורק אם: im ve-rak im si et seulement si
טענה: ta’ana affirmation
שגוי: shagui erroné, faux
נסיעה: nesi’a trajet
מאורעות תלויים: me’orot tluyim événements dépendants
מצאו: mits’u trouvez, déterminez
בלי החזרה: bli ḥazara sans remise
מתוך: mitokh sur (3 sur 5) ; à partir de
משוואה ריבועית: mishva’a ribu’it équation du second degré
נפסל: nifsal rejeté (à éliminer)
משולש: meshulash triangle
שיפוע: shipua pente
נקודה: nekuda point
מכפלה: makhpela produit
מאונכים: me’unakhim perpendiculaires
נכון: nakhon vrai, juste
מרכז: merkaz centre
חוסם: ḥosem circonscrit
זווית היקפית: zavit hekefit angle inscrit
נשענת על: nish’enet al intercepte (un arc, une corde)
קוטר: koter diamètre
אמצע קטע: emtsa keta milieu (d’un segment)
אנך אמצעי: anakh emtsa’i médiatrice
משולש ישר זווית: meshulash yeshar zavit triangle rectangle
כתבו: kitvu écrivez
משוואת מעגל: mishva’at ma’agal équation de cercle
נוסחת המרחק: nusḥat ha-merḥak formule de la distance
סוגריים: sograyim parenthèses
מקבילית: makbilit parallélogramme
שיעורים (של נקודה): shiurim coordonnées
אלכסון: alakhson diagonale
חוצה: ḥotse coupe en deux parts égales
קטע: keta segment
מרובע: meruba quadrilatère
קודקוד: kodkod sommet
זווית ישרה: zavit yeshara angle droit
מלבן: malben rectangle
סמוכות: smukhot consécutifs (côtés, angles)
ריבוע: ribua carré
בדקו: bidku vérifiez
שטח: shetaḥ aire
צלע: tsela côté
חסום: ḥasum inscrit
גרף: graf graphe, courbe représentative
רביע: revi’a quadrant
אנך: anakh perpendiculaire (abaissée)
ציר: tsir axe
ראשית הצירים: reshit ha-tsirim origine (du repère)
היקף: hekef périmètre
אורך: orekh longueur
רוחב: roḥav largeur
סכום: skhum somme
חצי: ḥetsi demi, moitié
גזירה: gzira dérivation (dériver)
פונקציה יורדת: funktsia yoredet fonction (ou suite) décroissante
מינימום: minimum minimum
מקסימום: maksimum maximum
להציב: lehatsiv substituer / remplacer
פונקציה: funktsia fonction
חיובי: ḥiyuvi positif

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elev Découvrir elev pour cette classe