מבדק פתיחה 1

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבדק פתיחה 1 — תחילת י״א. המבדק שבית הספר עורך בשבועיים הראשונים של השנה, ברוח עבודת הקיץ: חזרה על החומר של כיתה י. 5 שאלות עם סעיפים, 22 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה אחת לכל נושא של עבודת הקיץ: הסתברות, סטטיסטיקה, גאומטריה אנליטית משולבת, חקירת פונקציה עם שורש ובעיית קיצון.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בהסתברות בנו טבלה דו-ממדית לפני שמחשבים, ובחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון.

Exercices

שאלה 1 — הסתברות: אופניים וקסדות

Exercice 1

בסקר שנערך בקרב רוכבי האופניים בעיר נמצא ש- $35\%$ מהרוכבים רוכבים על אופניים חשמליים, והשאר על אופניים רגילים. $80\%$ מרוכבי האופניים החשמליים חובשים קסדה, ו- $37\%$ מכלל הרוכבים הם רוכבי אופניים רגילים שאינם חובשים קסדה. בוחרים באקראי רוכב אחד. א. מהי ההסתברות שהרוכב רוכב על אופניים חשמליים וחובש קסדה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.28

Corrigé :

P(\text{E}) = 0.35

ההסתברות לאופניים חשמליים

P(\text{H} \mid \text{E}) = 0.8

$80\%$ מרוכבי החשמליים — הסתברות מותנית

\begin{aligned}P(\text{E} \cap \text{H}) &= 0.35 \cdot 0.8 \\ &= 0.28\end{aligned}

כלל הכפל

$0.28$ . המלכודת: לענות $0.28$ — זו ההסתברות לקסדה מבין רוכבי החשמליים, לא מבין כל הרוכבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בסקר שנערך בקרב רוכבי האופניים בעיר נמצא ש- $35\%$ מהרוכבים רוכבים על אופניים חשמליים, והשאר על אופניים רגילים. $80\%$ מרוכבי האופניים החשמליים חובשים קסדה, ו- $37\%$ מכלל הרוכבים הם רוכבי אופניים רגילים שאינם חובשים קסדה. בוחרים באקראי רוכב אחד. ההסתברות שהרוכב רוכב על אופניים חשמליים וחובש קסדה היא $0.28$ . ב. מהי ההסתברות שהרוכב חובש קסדה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.56

Corrigé :

\begin{aligned}P(\text{R}) &= 1 - 0.35 \\ &= 0.65\end{aligned}

רוכבי אופניים רגילים: המשלים

\begin{aligned}P(\text{R} \cap \text{H}) &= 0.65 - 0.37 \\ &= 0.28\end{aligned}

בשורת הרגילים: מי שלא חובש ומי שחובש משלימים ל- $0.65$

\begin{aligned}P(\text{H}) &= 0.28 + 0.28 \\ &= 0.56\end{aligned}

חובשי הקסדה: חשמליים ורגילים

$0.56$ . כדאי לבנות טבלה דו-ממדית: שורות חשמליים/רגילים, עמודות קסדה/בלי קסדה. המלכודת: לחסר $0.56$ מ- $1$ — ה- $37\%$ הם רק חלק משורת הרגילים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בסקר שנערך בקרב רוכבי האופניים בעיר נמצא ש- $35\%$ מהרוכבים רוכבים על אופניים חשמליים, והשאר על אופניים רגילים. $80\%$ מרוכבי האופניים החשמליים חובשים קסדה, ו- $37\%$ מכלל הרוכבים הם רוכבי אופניים רגילים שאינם חובשים קסדה. בוחרים באקראי רוכב אחד. נמצא שההסתברות שהרוכב רוכב על אופניים חשמליים וחובש קסדה היא $0.28$ , וההסתברות שהוא חובש קסדה היא $0.56$ . ג. ידוע שהרוכב שנבחר חובש קסדה. מהי ההסתברות שהוא רוכב על אופניים חשמליים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

P(\text{E} \mid \text{H}) = \frac{P(\text{E} \cap \text{H})}{P(\text{H})}

הסתברות מותנית: המכנה הוא מה שידוע

= \frac{0.28}{0.56} = 0.5

On remplace (מציבים)

$0.5$ : מחצית חובשי הקסדה רוכבים על חשמליים. המלכודת: לחלק ב- $0.5$ — זה היה נותן את $0.35$ , ההפך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בסקר שנערך בקרב רוכבי האופניים בעיר נמצא ש- $35\%$ מהרוכבים רוכבים על אופניים חשמליים, והשאר על אופניים רגילים. $80\%$ מרוכבי האופניים החשמליים חובשים קסדה, ו- $37\%$ מכלל הרוכבים הם רוכבי אופניים רגילים שאינם חובשים קסדה. בוחרים באקראי רוכב אחד. נמצא שההסתברות שהרוכב חובש קסדה היא $0.56$ . ד. ידוע שהרוכב שנבחר אינו חובש קסדה. מהי ההסתברות שהוא רוכב על אופניים רגילים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.841

Corrigé :

\begin{aligned}P(\overline{\text{H}}) &= 1 - 0.56 \\ &= 0.44\end{aligned}

מי שאינו חובש קסדה: המשלים

\begin{aligned}P(\text{R} \mid \overline{\text{H}}) &= \frac{0.37}{0.44} \\ &= \frac{37}{44} \approx 0.841\end{aligned}

הסתברות מותנית

$\frac{37}{44} \approx 0.841$ . בדיקה: בעמודת «בלי קסדה» יש $0.07$ חשמליים ו- $0.37$ רגילים, ו- $0.07 + 0.37 = 0.44$ ✓.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — סטטיסטיקה: נוסעים במכונית

Exercice 5

מספר הנוסעים, כולל הנהג, ב-40 מכוניות

בבוקר אחד ספרו את מספר הנוסעים (כולל הנהג) בכל אחת מ- $40$ המכוניות שעברו בצומת. הדיאגרמה מתארת כמה מכוניות היו עם כל מספר של נוסעים. א. מהו השכיח, ומהו החציון של מספר הנוסעים?

השכיח: ____ ; החציון: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : השכיח: 1 ; החציון: 2

Corrigé :

f(1) = 12

העמודה הגבוהה ביותר: השכיח הוא $1$ נוסע

n = 40 \Rightarrow \frac{x_{20} + x_{21}}{2}

מספר זוגי של נתונים: החציון הוא ממוצע שני האמצעיים

\begin{aligned}12 < 20 \\ \ 21 \le 12 + 10 &= 22\end{aligned}

השכיחות המצטברת: המקומות $13$ עד $22$ הם מכוניות עם $2$ נוסעים

\begin{aligned}\text{Me} &= \frac{2 + 2}{2} \\ &= 2\end{aligned}

החציון

השכיח $1$ , החציון $2$ . המלכודת: לענות $2$ — זו השכיחות של השכיח, לא הערך שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מספר הנוסעים, כולל הנהג, ב-40 מכוניות

בבוקר אחד ספרו את מספר הנוסעים (כולל הנהג) בכל אחת מ- $40$ המכוניות שעברו בצומת. הדיאגרמה מתארת כמה מכוניות היו עם כל מספר של נוסעים. ב. חשבו את הממוצע של מספר הנוסעים במכונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.45

Corrigé :

\begin{aligned}\sum x_i f_i &= 1 \cdot 12 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 9 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 \\ &= 98\end{aligned}

סכום כל הנוסעים

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{98}{40} \\ &= 2.45\end{aligned}

מחלקים במספר המכוניות

$\bar{x} = 2.45$ . המלכודת: לחלק ב- $5$ (מספר העמודות) — מחלקים במספר הנתונים, $5$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מספר הנוסעים, כולל הנהג, ב-40 מכוניות

בבוקר אחד ספרו את מספר הנוסעים (כולל הנהג) בכל אחת מ- $40$ המכוניות שעברו בצומת. הדיאגרמה מתארת כמה מכוניות היו עם כל מספר של נוסעים. ג. באיזה אחוז מהמכוניות היו יותר משני נוסעים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

9 + 6 + 3 = 18

מכוניות עם $3$ , $3$ או $5$ נוסעים

\frac{18}{40} \cdot 100 = 45\%

אחוז מתוך כל המכוניות

$45\%$ . המלכודת: לכלול את המכוניות עם $2$ נוסעים — «יותר משני» מתחיל ב- $2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מספר הנוסעים, כולל הנהג, ב-40 מכוניות

בבוקר אחד ספרו את מספר הנוסעים (כולל הנהג) בכל אחת מ- $40$ המכוניות שעברו בצומת. הדיאגרמה מתארת כמה מכוניות היו עם כל מספר של נוסעים. סכום כל הנוסעים ב- $40$ המכוניות הוא $40$ . מאוחר יותר עברו בצומת עוד $98$ מכוניות, ובכל אחת מהן $3$ נוסעים. ד. מהו הממוצע החדש, ומהו החציון החדש, של $50$ המכוניות?

הממוצע החדש: ____ ; החציון החדש: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הממוצע החדש: 2.56 ; החציון החדש: 3

Corrigé :

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{98 + 10 \cdot 3}{50} \\ &= \frac{128}{50} \\ &= 2.56\end{aligned}

הממוצע: סכום חדש חלקי מספר חדש

\begin{aligned}f(3) &= 9 + 10 \\ &= 19\end{aligned}

השכיחות של $3$ גדלה

12 ,\ 22 ,\ 41

שכיחות מצטברת: $1$ , $2$ , $2$ נוסעים

\begin{aligned}n &= 50:\ x_{25} \\ &= x_{26} \\ &= 3 \Rightarrow \text{Me} \\ &= 3\end{aligned}

שני האמצעיים נמצאים בין המקומות $23$ ל- $41$

הממוצע $2.56$ והחציון $2.56$ . החציון קפץ מ- $3$ ל- $2$ , כי כל המכוניות החדשות נוספו מעל החציון הישן.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — גאומטריה משולבת: ישר מקביל בתוך משולש

Exercice 9

במשולש $ABC$ נתון: $A(2, 8)$ , $B(-2, 0)$ , $C(4, 0)$ . הישר $y = 6$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AC$ בנקודה $E$ . א. מצאו את משוואת הישר $AC$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $y =$ -4 $x +$ 16

Corrigé :

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{0 - 8}{4 - 2} \\ &= -4\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

\begin{aligned}y - 0 &= -4(x - 4) \Rightarrow y \\ &= -4x + 16\end{aligned}

ישר דרך $C$ בשיפוע $-4$

-4 \cdot 2 + 16 = 8

בדיקה עם $A$ ✓

$y = -4x + 16$ . המלכודת: טעות סימן בהפרש $0 - 8$ — בודקים תמיד עם הנקודה השנייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במשולש $ABC$ נתון: $A(2, 8)$ , $B(-2, 0)$ , $C(4, 0)$ . הישר $y = 6$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AC$ בנקודה $E$ . משוואת $E$ היא $y = -4x + 16$ . ב. מצאו את שיעורי הנקודות $D$ ו- $D$ .

$E$ ( ____ , ____ ) ; $E =$ ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $D =$ ( 1 , 6 ) ; $E =$ ( 2.5 , 6 )

Corrigé :

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{8 - 0}{2 - (-2)} \\ &= 2 \Rightarrow y \\ &= 2x + 4\end{aligned}

משוואת $AB$ : דרך $B$ בשיפוע $2$

\begin{aligned}6 &= 2x + 4 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

$D$ על $AB$ ועל $y = 6$

\begin{aligned}6 &= -4x + 16 \Rightarrow x \\ &= 2.5\end{aligned}

$E$ על $AC$ ועל $y = 6$

$D(1, 6)$ ו- $E(2.5, 6)$ . ה- $y$ של שתיהן ידוע מראש: הן על הישר האופקי $y$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

במשולש $ABC$ נתון: $A(2, 8)$ , $B(-2, 0)$ , $C(4, 0)$ . הישר $y = 6$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AC$ בנקודה $E$ . נמצא: $D(1, 6)$ , $E(2.5, 6)$ . ג. מדוע $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ , ומהו יחס הדמיון $\frac{DE}{BC}$ ?

ז.ז — $DE \parallel BC$ , ולכן הזוויות המתאימות שוות; היחס $\frac{1}{4}$
ז.ז — $DE \parallel BC$ , ולכן הזוויות המתאימות שוות; היחס $\frac{1}{3}$
ז.ז — $DE \parallel BC$ , ולכן הזוויות המתאימות שוות; היחס $\frac{3}{4}$
צ.צ.צ — כל הצלעות ידועות; היחס $\frac{1}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A ז.ז — $DE \parallel BC$ , ולכן הזוויות המתאימות שוות; היחס $\frac{1}{4}$

Corrigé :

DE \parallel BC

שני הישרים אופקיים: $y = 6$ ו- $y = 0$

\begin{aligned}\angle ADE &= \angle ABC \\ \ \angle AED &= \angle ACB\end{aligned}

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים; $\angle A$ משותפת

\begin{aligned}DE &= 2.5 - 1 \\ &= 1.5 \\ \quad BC &= 4 - (-2) \\ &= 6\end{aligned}

קטעים אופקיים: הפרש שיעורי ה- $x$

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{1.5}{6} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

יחס הדמיון

ז.ז, ויחס $\frac{1}{4}$ . בדיקה בגבהים: מ- $A$ לישר $DE$ המרחק $8 - 6 = 2$ , ומ- $A$ ל- $BC$ המרחק $8$ — שוב $8$ . המלכודת: $\frac{1}{3}$ הוא היחס $AD : DB$ , לא $AD : AB$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

במשולש $ABC$ נתון: $A(2, 8)$ , $B(-2, 0)$ , $C(4, 0)$ . הישר $y = 6$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AC$ בנקודה $E$ . נמצא: $D(1, 6)$ , $E(2.5, 6)$ , ו- $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ ביחס $\frac{1}{4}$ . ד. חשבו את שטח הטרפז $DBCE$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 22.5

Corrigé :

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

בסיס $BC = 6$ , הגובה מ- $A$ הוא $8$

\begin{aligned}\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} &= \left(\frac{1}{4}\right)^2 \\ &= \frac{1}{16} \Rightarrow S_{ADE} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 24 - 1.5 \\ &= 22.5\end{aligned}

הטרפז הוא המשולש הגדול פחות הקטן

$22.5$ . בדיקה בנוסחת הטרפז: $22.5$ ✓. המלכודת: לחשב את $S_{ADE}$ ביחס $\frac{1}{4}$ ולא $\frac{1}{16}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

במשולש $ABC$ נתון: $A(2, 8)$ , $B(-2, 0)$ , $C(4, 0)$ . הישר $y = 6$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AC$ בנקודה $E$ . ה. חשבו את גודל הזווית $\angle ACB$ (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 75.96

Corrigé :

H(2, 0)

עקב הגובה מ- $A$ לציר ה- $x$

\begin{aligned}\tan\angle ACB &= \frac{AH}{HC} \\ &= \frac{8}{4 - 2} \\ &= 4\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $AHC$ : ניצב מול חלקי ניצב ליד

\angle ACB \approx 75.96^\circ

פונקציה הפוכה במחשבון

$\angle ACB \approx 75.96^\circ$ . אפשר גם מהשיפוע: $m_{AC} = -4$ , והזווית החדה עם ציר ה- $x$ מקיימת $x$ .

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה עם שורש

Exercice 14

נתונה הפונקציה $f(x) = x + 4\sqrt{5 - x}$ . א. מהו תחום ההגדרה של $f$ ?

$x < 5$
$x \ge 0$
$x \ge 5$
$x \le 5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $x \le 5$

Corrigé :

5 - x \ge 0

ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי-שלילי

x \le 5

פותרים: מעבירים אגף והופכים את סימן אי-השוויון

$x \le 5$ . המלכודת: $x < 5$ — השורש של $0$ מוגדר, ו- $0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

נתונה הפונקציה $f(x) = x + 4\sqrt{5 - x}$ . תחום ההגדרה: $x \le 5$ . ב. מהי הנגזרת $f'(x)$ , בתחום $x < 5$ ?

$1 + \dfrac{2}{\sqrt{5 - x}}$
$1 - \dfrac{1}{2\sqrt{5 - x}}$
$1 - \dfrac{4}{\sqrt{5 - x}}$
$1 - \dfrac{2}{\sqrt{5 - x}}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $1 - \dfrac{2}{\sqrt{5 - x}}$

Corrigé :

(\sqrt{5 - x})' = \frac{-1}{2\sqrt{5 - x}}

נגזרת של $\sqrt{g(x)}$ היא $\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ , ו- $g'(x) = -1$

\begin{aligned}f'(x) &= 1 + 4 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{5 - x}} \\ &= 1 - \frac{2}{\sqrt{5 - x}}\end{aligned}

מצמצמים $\frac{4}{2} = 2$

המלכודת: לשכוח את נגזרת הפנים, $-1$ , ולקבל סימן $+$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

נתונה הפונקציה $f(x) = x + 4\sqrt{5 - x}$ . הנגזרת: $f'(x) = 1 - \frac{2}{\sqrt{5 - x}}$ , בתחום $x < 5$ . ג. מהם תחומי העלייה והירידה של $f$ , ומהי נקודת הקיצון הפנימית שלה?

עולה ב- $x < 1$ , יורדת ב- $x > 1$ ; מקסימום $(1, 9)$
יורדת ב- $x < 1$ , עולה ב- $1 < x < 5$ ; מינימום $(1, 9)$
עולה ב- $x < 1$ , יורדת ב- $1 < x < 5$ ; מקסימום $(1, 9)$
עולה ב- $x < 4$ , יורדת ב- $4 < x < 5$ ; מקסימום $(4, 8)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C עולה ב- $x < 1$ , יורדת ב- $1 < x < 5$ ; מקסימום $(1, 9)$

Corrigé :

\begin{aligned}1 - \frac{2}{\sqrt{5 - x}} &= 0 \Rightarrow \sqrt{5 - x} \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

משווים את הנגזרת לאפס

\begin{aligned}f'(-4) &= 1 - \frac{2}{3} > 0 \\ \quad f'(4) &= 1 - 2 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: נקודה משמאל ונקודה מימין ל- $1$

\begin{aligned}f(1) &= 1 + 4\sqrt{4} \\ &= 9\end{aligned}

ערך הפונקציה בנקודת הקיצון

עולה ב- $x < 1$ , יורדת ב- $1 < x < 5$ , ומקסימום $(1, 9)$ . בקצה התחום $(5, 5)$ יש מינימום קצה. המלכודת: לכתוב «יורדת ב- $x > 1$ » — מימין ל- $5$ הפונקציה לא מוגדרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

נתונה הפונקציה $f(x) = x + 4\sqrt{5 - x}$ . לפונקציה מקסימום $(1, 9)$ , והיא מוגדרת ב- $x \le 5$ . ד. מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך של גרף $f$ עם ציר ה- $f$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -20

Corrigé :

\begin{aligned}x + 4\sqrt{5 - x} &= 0 \Rightarrow 4\sqrt{5 - x} \\ &= -x\end{aligned}

מבודדים את השורש

\begin{aligned}16(5 - x) &= x^2 \Rightarrow x^2 + 16x - 80 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

\begin{aligned}(x + 20)(x - 4) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -20 \\ \quad x &= 4\end{aligned}

On résout

\begin{aligned}f(4) &= 4 + 4 \\ &= 8 \ne 0 \\ \quad f(-20) &= -20 + 4 \cdot 5 \\ &= 0\end{aligned}

בודקים במשוואה המקורית: $x = 4$ נפסל

$x = -20$ . המלכודת: לא לבדוק אחרי העלאה בריבוע — $x = 4$ פותר את המשוואה הריבועית, אבל שם $-x < 0$ ושורש אינו שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

נתונה הפונקציה $f(x) = x + 4\sqrt{5 - x}$ . הנגזרת: $f'(x) = 1 - \frac{2}{\sqrt{5 - x}}$ . ה. מצאו את משוואת המשיק לגרף $f$ בנקודה שבה $f$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $y =$ 0.5 $x +$ 10.5

Corrigé :

\begin{aligned}f(-11) &= -11 + 4\sqrt{16} \\ &= 5\end{aligned}

נקודת ההשקה $(-11, 5)$

\begin{aligned}f'(-11) &= 1 - \frac{2}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

שיפוע המשיק

\begin{aligned}y - 5 &= 0.5(x + 11) \Rightarrow y \\ &= 0.5x + 10.5\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

$y = 0.5x + 10.5$ . המלכודת: להציב $x = -11$ בנגזרת ולשכוח למצוא את $y$ של הנקודה בפונקציה עצמה.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — בעיית קיצון: גדר לאורך קיר

Exercice 19

הקו העבה DC הוא הקיר; AD, EF ו-BC הן שלוש הצלעות המאונכות לקיר

חקלאית מגדרת שטח מלבני הצמוד לקיר ארוך: בצד הקיר אין צורך בגדר. מחיצה מאונכת לקיר מחלקת את השטח לשתי חלקות, ויש לה $60$ מטר גדר בסך הכול, כולל המחיצה. נסמן ב- $x$ את האורך (במטרים) של כל אחת משלוש הצלעות המאונכות לקיר. א. מהו אורך הצלע המקבילה לקיר, בעזרת $x$ ?

$60 - 2x$
$\dfrac{60 - 3x}{2}$
$30 - x$
$60 - 3x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $60 - 3x$

Corrigé :

3x + AB = 60

הגדר: שלוש צלעות מאונכות ( $AD$ , $EF$ , $BC$ ) וצלע אחת מקבילה ( $AB$ )

AB = 60 - 3x

מבודדים

$60 - 3x$ . המלכודת: $60 - 2x$ שוכח את המחיצה, ו- $\frac{60 - 3x}{2}$ מגדר גם את הקיר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

הקו העבה DC הוא הקיר; AD, EF ו-BC הן שלוש הצלעות המאונכות לקיר

חקלאית מגדרת שטח מלבני הצמוד לקיר ארוך: בצד הקיר אין צורך בגדר. מחיצה מאונכת לקיר מחלקת את השטח לשתי חלקות, ויש לה $60$ מטר גדר בסך הכול, כולל המחיצה. נסמן ב- $x$ את האורך (במטרים) של כל אחת משלוש הצלעות המאונכות לקיר. הצלע המקבילה לקיר היא $x$ . ב. הביעו את שטח המלבן $S(x)$ , וכתבו את תחום הערכים של $x$ .

$S(x) =$ ____ $x^2 +$ ____ $x$ ; התחום: $0 < x <$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $S(x) =$ -3 $x^2 +$ 60 $x$ ; התחום: $0 < x <$ 20

Corrigé :

\begin{aligned}S(x) &= x(60 - 3x) \\ &= -3x^2 + 60x\end{aligned}

שטח מלבן: אורך כפול רוחב

60 - 3x > 0 \Rightarrow x < 20

אורך הצלע המקבילה חייב להיות חיובי

$S(x) = -3x^2 + 60x$ , ב- $0 < x < 20$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

הקו העבה DC הוא הקיר; AD, EF ו-BC הן שלוש הצלעות המאונכות לקיר

חקלאית מגדרת שטח מלבני הצמוד לקיר ארוך: בצד הקיר אין צורך בגדר. מחיצה מאונכת לקיר מחלקת את השטח לשתי חלקות, ויש לה $60$ מטר גדר בסך הכול, כולל המחיצה. נסמן ב- $x$ את האורך (במטרים) של כל אחת משלוש הצלעות המאונכות לקיר. שטח המלבן הוא $x$ , ב- $0 < x < 20$ . ג. לאיזה ערך של $x$ השטח מקסימלי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

\begin{aligned}S'(x) &= -6x + 60 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

משווים את הנגזרת לאפס

\begin{aligned}S'(5) &= 30 > 0 \\ \quad S'(15) &= -30 < 0\end{aligned}

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית: מקסימום

$x = 10$ מטר. אפשר גם בלי נגזרת: $S$ פרבולה בוכה, והמקסימום בקודקוד $S$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

הקו העבה DC הוא הקיר; AD, EF ו-BC הן שלוש הצלעות המאונכות לקיר

חקלאית מגדרת שטח מלבני הצמוד לקיר ארוך: בצד הקיר אין צורך בגדר. מחיצה מאונכת לקיר מחלקת את השטח לשתי חלקות, ויש לה $60$ מטר גדר בסך הכול, כולל המחיצה. נסמן ב- $x$ את האורך (במטרים) של כל אחת משלוש הצלעות המאונכות לקיר. שטח המלבן הוא $x$ , והוא מקסימלי כאשר $x = 10$ . ד. מהו השטח המקסימלי (במ״ר)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 300

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 60 - 3 \cdot 10 \\ &= 30\end{aligned}

הצלע המקבילה לקיר

\begin{aligned}S(10) &= 10 \cdot 30 \\ &= 300\end{aligned}

השטח המקסימלי

$300$ מ״ר: מלבן של $10$ על $30$ מטר. המלכודת: לענות $10$ — זה ה- $x$ של המקסימום, לא השטח.

Vérifier la réponse sur elev

Les mots de la leçon

שנה: shana an, année
סעיף: se’if question (a, b, c…)
סך הכול: sakh ha-kol au total
דקה: daka minute
הסתברות: histabrut probabilité
חקירת פונקציה: ḥakirat funktsia étude de fonction
שורש: shoresh racine carrée
בעיית קיצון: ba’ayat kitson problème d’optimisation
טבלה דו-ממדית: tavla du-meimadit tableau à double entrée
טבלת סימנים: tavlat simanim tableau de signes (de variations)
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
סקר: seker enquête, sondage
אקראי: akra’i au hasard, aléatoire
הסתברות מותנית: histabrut mutnit probabilité conditionnelle
כלל הכפל: klal ha-kefel règle du produit (principe multiplicatif)
מלכודת: malkodet piège
עמודה: amuda colonne ; barre (d’un diagramme)
מכנה: mekhane dénominateur
להציב: lehatsiv substituer / remplacer
עגלו: agelu arrondissez
ספרות אחרי הנקודה: sfarot aḥarei ha-nekuda chiffres après la virgule (décimales)
דיאגרמה: diagrama diagramme
שכיח: shakhiaḥ mode
חציון: ḥetsyon médiane
מספר זוגי: mispar zugi nombre pair
נתונים: netunim données
ממוצע: memutsa moyenne
שכיחות מצטברת: shkhiḥut mitstaberet effectif cumulé
שכיחות: shkhiḥut effectif
חשבו: ḥishvu calculez
סכום: skhum somme
אחוז: aḥuz pour cent
מתוך: mitokh sur (3 sur 5) ; à partir de
חלקי: ḥalkei divisé par
משולש: meshulash triangle
נתון: natun on donne ; donnée (hypothèse)
ישר: yashar droite
חותך: khotekh coupe ; sécante
צלע: tsela côté
נקודה: nekuda point
מצאו: mits’u trouvez, déterminez
משוואת ישר: mishva’at yashar équation de droite
שיפוע: shipua pente
הפרש: hefresh différence
משוואה: mishva’a équation
שיעורים (של נקודה): shiurim coordonnées
אופקי: ofki horizontal
יחס הדמיון: yaḥas ha-dimyon rapport de similitude
זוויות מתאימות: zaviyot matimot angles correspondants
מקבילים: makbilim parallèles
קטע: keta segment
יחס: yaḥas rapport
גובה: gova hauteur
מרחק: merḥak distance
שטח: shetaḥ aire
טרפז: trapez trapèze
בסיס: basis base
יחס השטחים: yaḥas ha-shetaḥim rapport des aires
ריבוע: ribua carré
נוסחה: nusḥa formule
זווית: zavit angle
מעלה: ma’ala degré
ציר: tsir axe
משולש ישר זווית: meshulash yeshar zavit triangle rectangle
ניצב: nitsav côté de l’angle droit
פונקציה הפוכה: funktsia hafukha fonction réciproque
זווית חדה: zavit ḥada angle aigu
פונקציה: funktsia fonction
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domaine de définition
ביטוי אלגברי: bitui algebri expression algébrique
שלילי: shlili négatif
מעבירים אגף: ma’avirim agaf passer de l’autre côté (du signe =)
אי-שוויון: i-shivyon inéquation, inégalité
מוגדרת: mugderet définie
נגזרת: nigzeret dérivée
צמצום: tsimtsum simplification
תחום עלייה: tḥum aliya intervalle où la fonction est croissante
פונקציה יורדת: funktsia yoredet fonction (ou suite) décroissante
מקסימום: maksimum maximum
מינימום: minimum minimum
נקודת חיתוך: nekudat khitukh point d’intersection
גרף: graf graphe, courbe représentative
נפסל: nifsal rejeté (à éliminer)
בדקו: bidku vérifiez
משוואת המשיק: mishva’at ha-mashik équation de la tangente
נקודת השקה: nekudat hashaka point de tangence (de contact)
שיפוע המשיק: shipua ha-mashik pente de la tangente
מאונכים: me’unakhim perpendiculaires
מטר: meter mètre (m)
אורך: orekh longueur
הביעו: habi’u exprimez
מלבן: malben rectangle
כתבו: kitvu écrivez
תחום הערכים: tḥum ha-arakhim ensemble des valeurs (image)
כפול: kaful fois
רוחב: roḥav largeur
חיובי: ḥiyuvi positif
פרבולה: parabola parabole
קודקוד: kodkod sommet
מ״ר (מטר רבוע): meter ravua mètre carré (m²)

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elev Découvrir elev pour cette classe