מבדק פתיחה 2

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבדק פתיחה 2 — תחילת י״א. המבדק שבית הספר עורך בשבועיים הראשונים של השנה, ברוח עבודת הקיץ: חזרה על החומר של כיתה י. 5 שאלות עם סעיפים, 22 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה אחת לכל נושא של עבודת הקיץ: הסתברות, סטטיסטיקה, גאומטריה אנליטית משולבת, חקירת פונקציה עם שורש ובעיית קיצון.

כמו בבגרות, כל סעיף מזכיר את התוצאות שלפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בהסתברות מותנית כתבו קודם מה ידוע — הוא המכנה. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה: «ז.ז», «יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון».

Exercices

שאלה 1 — הסתברות: בית קפה

Exercice 1

בבית קפה נמצא שההסתברות שלקוח מזמין קפה גדולה פי 33 מההסתברות שהוא אינו מזמין קפה. 40%40\% מהלקוחות שמזמינים קפה מזמינים גם עוגה, ו-10%10\% מכלל הלקוחות מזמינים עוגה בלי קפה. בוחרים באקראי לקוח אחד. א. מהי ההסתברות שהלקוח מזמין קפה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

P(C)=pP(C‾)=1−p\begin{aligned}P(\text{C}) &= p \\ \quad P(\overline{\text{C}}) &= 1 - p\end{aligned}

מאורע ומשלימו

p=3(1−p)⇒4p=3⇒p=0.75\begin{aligned}p &= 3(1 - p) \Rightarrow 4p \\ &= 3 \Rightarrow p \\ &= 0.75\end{aligned}

«גדולה פי 33»: הגדולה שווה לשלוש פעמים הקטנה

0.750.75. המלכודת: p=13p = \frac{1}{3} — היחס 3:13 : 1 מחלק את השלם לארבעה חלקים, לא לשלושה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בבית קפה נמצא שההסתברות שלקוח מזמין קפה גדולה פי 33 מההסתברות שהוא אינו מזמין קפה. 40%40\% מהלקוחות שמזמינים קפה מזמינים גם עוגה, ו-10%10\% מכלל הלקוחות מזמינים עוגה בלי קפה. בוחרים באקראי לקוח אחד. ההסתברות שלקוח מזמין קפה היא 0.750.75. ב. מהי ההסתברות שהלקוח מזמין עוגה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.4

Corrigé :

P(C∩K)=0.75⋅0.4=0.3\begin{aligned}P(\text{C} \cap \text{K}) &= 0.75 \cdot 0.4 \\ &= 0.3\end{aligned}

קפה ועוגה: כלל הכפל

P(C‾∩K)=0.1P(\overline{\text{C}} \cap \text{K}) = 0.1

עוגה בלי קפה: נתון מתוך כלל הלקוחות

P(K)=0.3+0.1=0.4\begin{aligned}P(\text{K}) &= 0.3 + 0.1 \\ &= 0.4\end{aligned}

עמודת העוגה בטבלה הדו-ממדית

0.40.4. המלכודת: לכפול גם את ה-10%10\% ב-0.250.25 — הוא כבר חלק מכל הלקוחות, לא מבין מי שאינו מזמין קפה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בבית קפה נמצא שההסתברות שלקוח מזמין קפה גדולה פי 33 מההסתברות שהוא אינו מזמין קפה. 40%40\% מהלקוחות שמזמינים קפה מזמינים גם עוגה, ו-10%10\% מכלל הלקוחות מזמינים עוגה בלי קפה. בוחרים באקראי לקוח אחד. נמצא: ההסתברות לקפה 0.750.75, לקפה ועוגה 0.30.3, ולעוגה 0.40.4. ג. ידוע שהלקוח הזמין עוגה. מהי ההסתברות שהזמין גם קפה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

P(C∣K)=P(C∩K)P(K)P(\text{C} \mid \text{K}) = \frac{P(\text{C} \cap \text{K})}{P(\text{K})}

הסתברות מותנית: מחלקים במה שידוע

=0.30.4=0.75= \frac{0.3}{0.4} = 0.75

On remplace (מציבים)

0.750.75. המלכודת: לענות 0.40.4 — זו P(K∣C)P(\text{K} \mid \text{C}), הכיוון ההפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בבית קפה נמצא שההסתברות שלקוח מזמין קפה גדולה פי 33 מההסתברות שהוא אינו מזמין קפה. 40%40\% מהלקוחות שמזמינים קפה מזמינים גם עוגה, ו-10%10\% מכלל הלקוחות מזמינים עוגה בלי קפה. בוחרים באקראי לקוח אחד. נמצא: ההסתברות שלקוח מזמין קפה היא 0.750.75, וגם ההסתברות שלקוח שהזמין עוגה הזמין קפה היא 0.750.75. ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «הלקוח מזמין קפה» ו«הלקוח מזמין עוגה» בלתי תלויים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

P(C∣K)=0.75=P(C)\begin{aligned}P(\text{C} \mid \text{K}) &= 0.75 \\ &= P(\text{C})\end{aligned}

הידיעה שהוזמנה עוגה לא שינתה את ההסתברות לקפה

P(C)⋅P(K)=0.75⋅0.4=0.3=P(C∩K)\begin{aligned}P(\text{C}) \cdot P(\text{K}) &= 0.75 \cdot 0.4 \\ &= 0.3 \\ &= P(\text{C} \cap \text{K})\end{aligned}

בדיקה בכלל הכפל של מאורעות בלתי תלויים ✓

הטענה נכונה. המלכודת: להסיק «תלויים» כי «הרבה לקוחות מזמינים את שניהם» — אי-תלות נבדקת במספרים, לא בתחושה.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — סטטיסטיקה: דירות שנמכרו

Exercice 5

0123456723456מספר החדריםמספר הדירות
העמודה של הדירות בנות 4 חדרים נמחקה

הדיאגרמה מתארת את הדירות שנמכרו בשכונה בשנה האחרונה, לפי מספר החדרים בדירה. העמודה של הדירות בנות 44 חדרים נמחקה. ידוע שהממוצע של מספר החדרים בדירות שנמכרו הוא 4.14.1. א. כמה דירות בנות 44 חדרים נמכרו?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

2⋅3+3⋅6+5⋅7+6⋅4=833+6+7+4=20\begin{aligned}2 \cdot 3 + 3 \cdot 6 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 4 &= 83 \\ \quad 3 + 6 + 7 + 4 &= 20\end{aligned}

מה שידוע: סכום החדרים ומספר הדירות, בלי הדירות בנות 44

83+4f20+f=4.1\frac{83 + 4f}{20 + f} = 4.1

נוסחת הממוצע, עם ff דירות בנות 44 חדרים

83+4f=82+4.1f⇒0.1f=1⇒f=10\begin{aligned}83 + 4f &= 82 + 4.1f \Rightarrow 0.1f \\ &= 1 \Rightarrow f \\ &= 10\end{aligned}

On résout

1010 דירות. המלכודת: לשכוח להוסיף את ff גם למכנה — הדירות החסרות משנות גם את מספר הנתונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

01234567891023456מספר החדריםמספר הדירות
הדירות שנמכרו בשכונה, לפי מספר החדרים

הדיאגרמה מתארת את הדירות שנמכרו בשכונה בשנה האחרונה, לפי מספר החדרים בדירה. נמכרו 3030 דירות. ב. מהו השכיח, ומהו החציון של מספר החדרים?

השכיח: ____ ; החציון: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : השכיח: 4 ; החציון: 4

Corrigé :

f(4)=10f(4) = 10

העמודה הגבוהה ביותר: השכיח 44

n=30⇒x15+x162n = 30 \Rightarrow \frac{x_{15} + x_{16}}{2}

מספר זוגי של נתונים

3, 9, 193 ,\ 9 ,\ 19

שכיחות מצטברת של 22, 33, 44 חדרים: המקומות 1010 עד 1919 הם 44 חדרים

Me=4+42=4\begin{aligned}\text{Me} &= \frac{4 + 4}{2} \\ &= 4\end{aligned}

החציון

השכיח 44 והחציון 44. שני מדדים שונים, שבמקרה יצאו שווים: השכיח נקבע לפי הגובה, החציון לפי המקום האמצעי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

01234567891023456מספר החדריםמספר הדירות
הדירות שנמכרו בשכונה, לפי מספר החדרים

הדיאגרמה מתארת את הדירות שנמכרו בשכונה בשנה האחרונה, לפי מספר החדרים בדירה. נמכרו 3030 דירות. ג. איזה אחוז מהדירות שנמכרו הן בנות פחות מ-44 חדרים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

3+6=93 + 6 = 9

דירות בנות 22 או 33 חדרים

930⋅100=30%\frac{9}{30} \cdot 100 = 30\%

אחוז מתוך כל הדירות

30%30\%. המלכודת: לכלול את הדירות בנות 44 חדרים — «פחות מ-44» לא כולל את 44.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

01234567891023456מספר החדריםמספר הדירות
הדירות שנמכרו בשכונה, לפי מספר החדרים

הדיאגרמה מתארת את הדירות שנמכרו בשכונה בשנה האחרונה, לפי מספר החדרים בדירה. נמכרו 3030 דירות, הממוצע 4.14.1 חדרים, החציון 44 והשכיח 44. אחר כך נמכרה עוד דירה אחת, בת 44 חדרים. ד. מה נכון לגבי 3131 הדירות?

  1. הממוצע קטן, והחציון משתנה ל-4.54.5
  2. הממוצע קטן, והחציון והשכיח לא משתנים
  3. הממוצע גדל, והחציון והשכיח לא משתנים
  4. הממוצע לא משתנה, כי 44 קרוב לממוצע
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B הממוצע קטן, והחציון והשכיח לא משתנים

Corrigé :

xˉ=123+431≈4.097<4.1\bar{x} = \frac{123 + 4}{31} \approx 4.097 < 4.1

נתון קטן מהממוצע מקטין אותו

n=31⇒x16=4\begin{aligned}n &= 31 \Rightarrow x_{16} \\ &= 4\end{aligned}

מספר אי-זוגי: החציון הוא הנתון במקום 1616, עדיין בין 1010 ל-2020

f(4)=11f(4) = 11

השכיח נשאר 44, ואף גדל בשכיחותו

הממוצע קטן מעט, והחציון והשכיח נשארים 44. המלכודת: «קרוב לממוצע» אינו «שווה לממוצע» — רק נתון השווה בדיוק ל-4.14.1 היה משאיר אותו.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — גאומטריה משולבת: הגובה ליתר

Exercice 9

נתונה הנקודה B(2,4)B(2, 4), ו-OO ראשית הצירים. הישר שעובר דרך BB ומאונך ל-OBOB חותך את ציר ה-xx בנקודה AA. HH היא עקב האנך מ-BB לציר ה-xx. א. מצאו את משוואת הישר ABAB.

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = -0.5 x+x + 5

Corrigé :

mOB=42=2\begin{aligned}m_{OB} &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע דרך הראשית ו-BB

mAB=−12m_{AB} = -\frac{1}{2}

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1

y−4=−12(x−2)⇒y=−0.5x+5\begin{aligned}y - 4 &= -\frac{1}{2}(x - 2) \Rightarrow y \\ &= -0.5x + 5\end{aligned}

ישר דרך BB

y=−0.5x+5y = -0.5x + 5. המלכודת: להפוך רק את הסימן (−2-2) או רק את השבר (12\frac{1}{2}) — השיפוע המאונך הוא ההופכי הנגדי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה הנקודה B(2,4)B(2, 4), ו-OO ראשית הצירים. הישר שעובר דרך BB ומאונך ל-OBOB חותך את ציר ה-xx בנקודה AA. HH היא עקב האנך מ-BB לציר ה-xx. משוואת ABAB היא y=−0.5x+5y = -0.5x + 5. ב. מצאו את שיעורי הנקודה AA.

A=A = ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A=A = ( 10 , 0 )

Corrigé :

0=−0.5x+50 = -0.5x + 5

AA על ציר ה-xx: מציבים y=0y = 0

x=10⇒A(10,0)x = 10 \Rightarrow A(10, 0)

On résout

A(10,0)A(10, 0). בדיקה: mOB⋅mAB=2⋅(−0.5)=−1m_{OB} \cdot m_{AB} = 2 \cdot (-0.5) = -1 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה הנקודה B(2,4)B(2, 4), ו-OO ראשית הצירים. הישר שעובר דרך BB ומאונך ל-OBOB חותך את ציר ה-xx בנקודה AA. HH היא עקב האנך מ-BB לציר ה-xx. נמצא: A(10,0)A(10, 0), H(2,0)H(2, 0), ו-∠OBA=90∘\angle OBA = 90^\circ. ג. מדוע △OHB∼△BHA\triangle OHB \sim \triangle BHA?

  1. ז.ז — ∠BHO=∠AHB=90∘\angle BHO = \angle AHB = 90^\circ, ו-∠BOH=∠ABH\angle BOH = \angle ABH, כי שתיהן משלימות את ∠BAO\angle BAO ל-90∘90^\circ
  2. המשולשים חופפים, כי BHBH משותפת והזוויות ב-HH ישרות
  3. ז.ז — ∠BOH=∠BAH\angle BOH = \angle BAH, כי OB=ABOB = AB
  4. צ.ז.צ — BHBH צלע משותפת, ו-∠BHO=∠BHA\angle BHO = \angle BHA
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A ז.ז — ∠BHO=∠AHB=90∘\angle BHO = \angle AHB = 90^\circ, ו-∠BOH=∠ABH\angle BOH = \angle ABH, כי שתיהן משלימות את ∠BAO\angle BAO ל-90∘90^\circ

Corrigé :

∠BHO=∠AHB=90∘\begin{aligned}\angle BHO &= \angle AHB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

BHBH אנך לציר ה-xx

∠BOA+∠BAO=90∘\angle BOA + \angle BAO = 90^\circ

במשולש OBAOBA הזווית BB ישרה

∠ABH+∠BAH=90∘\angle ABH + \angle BAH = 90^\circ

במשולש BHABHA הזווית HH ישרה

∠BOH=∠ABH⇒△OHB∼△BHA\angle BOH = \angle ABH \Rightarrow \triangle OHB \sim \triangle BHA

שתי זוויות שוות: דמיון לפי ז.ז

ז.ז. המלכודת: OB=ABOB = AB אינו נכון (20≠80\sqrt{20} \ne \sqrt{80}), ו-BHBH משותפת לא מספיקה לחפיפה — OH=2OH = 2 ו-HA=8HA = 8.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתונה הנקודה B(2,4)B(2, 4), ו-OO ראשית הצירים. הישר שעובר דרך BB ומאונך ל-OBOB חותך את ציר ה-xx בנקודה AA. HH היא עקב האנך מ-BB לציר ה-xx. נמצא: A(10,0)A(10, 0), H(2,0)H(2, 0), ו-△OHB∼△BHA\triangle OHB \sim \triangle BHA. ד. מהו יחס השטחים SOHBSBHA\frac{S_{OHB}}{S_{BHA}}? כתבו כמספר עשרוני.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

OH=2 HB=4 HA=8\begin{aligned}OH &= 2 \\ \ HB &= 4 \\ \ HA &= 8\end{aligned}

קטעים על הצירים: הפרשי שיעורים

k=OHBH=HBHA=12\begin{aligned}k &= \frac{OH}{BH} \\ &= \frac{HB}{HA} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון: OHOH מתאימה ל-BHBH, ו-HBHB ל-HAHA

SOHBSBHA=k2=14=0.25\begin{aligned}\frac{S_{OHB}}{S_{BHA}} &= k^2 \\ &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

0.250.25. בדיקה ישירה: SOHB=2⋅42=4S_{OHB} = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4 ו-SBHA=8⋅42=16S_{BHA} = \frac{8 \cdot 4}{2} = 16 ✓. המלכודת: לענות 12\frac{1}{2} — זה יחס הדמיון, לא יחס השטחים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

נתונה הנקודה B(2,4)B(2, 4), ו-OO ראשית הצירים. הישר שעובר דרך BB ומאונך ל-OBOB חותך את ציר ה-xx בנקודה AA. HH היא עקב האנך מ-BB לציר ה-xx. נמצא: A(10,0)A(10, 0) ו-H(2,0)H(2, 0). ה. חשבו את גודל הזווית ∠BAO\angle BAO (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 26.57

Corrigé :

tan⁡∠BAH=BHHA=48=0.5\begin{aligned}\tan\angle BAH &= \frac{BH}{HA} \\ &= \frac{4}{8} \\ &= 0.5\end{aligned}

במשולש ישר הזווית BHABHA: ניצב מול חלקי ניצב ליד

∠BAO≈26.57∘\angle BAO \approx 26.57^\circ

פונקציה הפוכה במחשבון

∠BAO≈26.57∘\angle BAO \approx 26.57^\circ. בדיקה: ∠BOA=arctan⁡2≈63.43∘\angle BOA = \arctan 2 \approx 63.43^\circ, והשתיים משלימות ל-90∘90^\circ ✓.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה עם שורש

Exercice 14

נתונה הפונקציה f(x)=3x−xf(x) = 3\sqrt{x} - x. א. מצאו את תחום ההגדרה של ff ואת נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

תחום ההגדרה: x≥x \ge ____ ; חיתוך עם ציר ה-xx: x=x = ____ ו-x=x = ____ (מהקטן לגדול)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום ההגדרה: x≥x \ge 0 ; חיתוך עם ציר ה-xx: x=x = 0 ו-x=x = 9 (מהקטן לגדול)

Corrigé :

x≥0x \ge 0

שורש ריבועי מוגדר למספר אי-שלילי

3x=x⇒9x=x2\begin{aligned}3\sqrt{x} &= x \Rightarrow 9x \\ &= x^2\end{aligned}

משווים לאפס ומעלים בריבוע

x(x−9)=0⇒x=0 x=9\begin{aligned}x(x - 9) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 9\end{aligned}

On résout

f(9)=3⋅3−9=0 ✓\begin{aligned}f(9) &= 3 \cdot 3 - 9 \\ &= 0 \ ✓\end{aligned}

בודקים במשוואה המקורית

x≥0x \ge 0, והגרף חותך את ציר ה-xx ב-(0,0)(0, 0) וב-(9,0)(9, 0). המלכודת: לחלק ב-xx ולאבד את הפתרון x=0x = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

נתונה הפונקציה f(x)=3x−xf(x) = 3\sqrt{x} - x. ב. מהי הנגזרת f′(x)f'(x), בתחום x>0x > 0?

  1. 32x−1\dfrac{3}{2\sqrt{x}} - 1
  2. 123x−1\dfrac{1}{2\sqrt{3x}} - 1
  3. 3x−1\dfrac{3}{\sqrt{x}} - 1
  4. 3x−13\sqrt{x} - 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 32x−1\dfrac{3}{2\sqrt{x}} - 1

Corrigé :

(x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

נגזרת השורש

f′(x)=3⋅12x−1=32x−1\begin{aligned}f'(x) &= 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 \\ &= \frac{3}{2\sqrt{x}} - 1\end{aligned}

מקדם נשאר, ונגזרת xx היא 11

32x−1\frac{3}{2\sqrt{x}} - 1. המלכודת: לשכוח את ה-22 במכנה של נגזרת השורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

נתונה הפונקציה f(x)=3x−xf(x) = 3\sqrt{x} - x. הנגזרת: f′(x)=32x−1f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 1. ג. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של ff.

( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ( 2.25 , 2.25 )

Corrigé :

32x=1⇒x=1.5⇒x=2.25\begin{aligned}\frac{3}{2\sqrt{x}} &= 1 \Rightarrow \sqrt{x} \\ &= 1.5 \Rightarrow x \\ &= 2.25\end{aligned}

משווים את הנגזרת לאפס

f′(1)=0.5>0f′(4)=−0.25<0\begin{aligned}f'(1) &= 0.5 > 0 \\ \quad f'(4) &= -0.25 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עלייה ואחריה ירידה — מקסימום

f(2.25)=3⋅1.5−2.25=2.25\begin{aligned}f(2.25) &= 3 \cdot 1.5 - 2.25 \\ &= 2.25\end{aligned}

ערך הפונקציה

מקסימום (2.25,2.25)(2.25, 2.25): ff עולה ב-0<x<2.250 < x < 2.25 ויורדת ב-x>2.25x > 2.25. בקצה (0,0)(0, 0) מינימום קצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

נתונה הפונקציה f(x)=3x−xf(x) = 3\sqrt{x} - x. הנגזרת: f′(x)=32x−1f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 1. ד. מצאו את משוואת המשיק לגרף ff בנקודה שבה x=4x = 4.

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = -0.25 x+x + 3

Corrigé :

f(4)=3⋅2−4=2\begin{aligned}f(4) &= 3 \cdot 2 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

נקודת ההשקה (4,2)(4, 2)

f′(4)=34−1=−0.25\begin{aligned}f'(4) &= \frac{3}{4} - 1 \\ &= -0.25\end{aligned}

שיפוע המשיק

y−2=−0.25(x−4)⇒y=−0.25x+3\begin{aligned}y - 2 &= -0.25(x - 4) \Rightarrow y \\ &= -0.25x + 3\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

y=−0.25x+3y = -0.25x + 3. השיפוע שלילי: מימין למקסימום x=2.25x = 2.25 הפונקציה יורדת ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

נתונה הפונקציה f(x)=3x−xf(x) = 3\sqrt{x} - x. ff מוגדרת ב-x≥0x \ge 0, f(0)=0f(0) = 0, יש לה מקסימום (2.25,2.25)(2.25, 2.25), והיא יורדת ב-x>2.25x > 2.25 בלי חסם. ה. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x) = k שני פתרונות בדיוק?

  1. 0≤k<2.250 \le k < 2.25
  2. 0<k<2.250 < k < 2.25
  3. k>0k > 0
  4. k<2.25k < 2.25
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 0≤k<2.250 \le k < 2.25

Corrigé :

0≤x≤2.25: 0≤f≤2.250 \le x \le 2.25:\ 0 \le f \le 2.25

בענף העולה ff מקבלת כל ערך מ-00 עד 2.252.25 פעם אחת

x≥2.25: f≤2.25x \ge 2.25:\ f \le 2.25

בענף היורד ff מקבלת כל ערך עד 2.252.25 פעם אחת

0≤k<2.250 \le k < 2.25

שני פתרונות: הישר y=ky = k פוגש את שני הענפים. ב-k=2.25k = 2.25 פתרון אחד, וב-k<0k < 0 רק הענף היורד

0≤k<2.250 \le k < 2.25. המלכודת: לפסול את k=0k = 0 — דווקא שם יש שני פתרונות, x=0x = 0 ו-x=9x = 9.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — בעיית קיצון: משולש מתחת לגרף

Exercice 19

הגרף של ff
OAB03691215182124270123456xy

נתונה הפונקציה f(x)=27−xf(x) = \sqrt{27 - x}. הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיעור ה-xx שלה הוא tt (0<t<270 < t < 27). מ-AA מורידים אנך לציר ה-xx, ועקבו הוא BB. OO ראשית הצירים. א. הביעו בעזרת tt את שטח המשולש OBAOBA.

  1. S(t)=t27−tS(t) = t\sqrt{27 - t}
  2. S(t)=t(27−t)2S(t) = \dfrac{t(27 - t)}{2}
  3. S(t)=27−t2S(t) = \dfrac{\sqrt{27 - t}}{2}
  4. S(t)=t27−t2S(t) = \dfrac{t\sqrt{27 - t}}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D S(t)=t27−t2S(t) = \dfrac{t\sqrt{27 - t}}{2}

Corrigé :

OB=tAB=27−t\begin{aligned}OB &= t \\ \quad AB &= \sqrt{27 - t}\end{aligned}

הניצבים: שיעור ה-xx של AA ושיעור ה-yy שלה

S(t)=OB⋅AB2=t27−t2\begin{aligned}S(t) &= \frac{OB \cdot AB}{2} \\ &= \frac{t\sqrt{27 - t}}{2}\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: חצי מכפלת הניצבים

S(t)=t27−t2S(t) = \frac{t\sqrt{27 - t}}{2}. המלכודת: t(27−t)2\frac{t(27 - t)}{2} שוכח את השורש — הגובה הוא f(t)f(t), לא 27−t27 - t.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

הגרף של ff
OAB03691215182124270123456xy

נתונה הפונקציה f(x)=27−xf(x) = \sqrt{27 - x}. הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיעור ה-xx שלה הוא tt (0<t<270 < t < 27). מ-AA מורידים אנך לציר ה-xx, ועקבו הוא BB. OO ראשית הצירים. שטח המשולש הוא S(t)=t27−t2S(t) = \frac{t\sqrt{27 - t}}{2}. ב. מהי הנגזרת S′(t)S'(t)?

  1. 54−3t427−t\dfrac{54 - 3t}{4\sqrt{27 - t}}
  2. 54−t427−t\dfrac{54 - t}{4\sqrt{27 - t}}
  3. 27−3t227−t\dfrac{27 - 3t}{2\sqrt{27 - t}}
  4. 1427−t\dfrac{1}{4\sqrt{27 - t}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 54−3t427−t\dfrac{54 - 3t}{4\sqrt{27 - t}}

Corrigé :

S′(t)=12(27−t+t⋅−1227−t)S'(t) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{27 - t} + t \cdot \frac{-1}{2\sqrt{27 - t}}\right)

נגזרת של מכפלה; נגזרת הפנים −1-1

=12⋅2(27−t)−t227−t=54−3t427−t= \frac{1}{2} \cdot \frac{2(27 - t) - t}{2\sqrt{27 - t}} = \frac{54 - 3t}{4\sqrt{27 - t}}

מכנה משותף

S′(t)=54−3t427−tS'(t) = \frac{54 - 3t}{4\sqrt{27 - t}}. המלכודת: לגזור את tt ואת השורש בנפרד ולכפול את הנגזרות — מכפלה נגזרת לפי הכלל u′v+uv′u'v + uv'.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

הגרף של ff
OAB03691215182124270123456xy

נתונה הפונקציה f(x)=27−xf(x) = \sqrt{27 - x}. הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיעור ה-xx שלה הוא tt (0<t<270 < t < 27). מ-AA מורידים אנך לציר ה-xx, ועקבו הוא BB. OO ראשית הצירים. הנגזרת: S′(t)=54−3t427−tS'(t) = \frac{54 - 3t}{4\sqrt{27 - t}}. ג. לאיזה ערך של tt שטח המשולש מקסימלי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

54−3t=0⇒t=18\begin{aligned}54 - 3t &= 0 \Rightarrow t \\ &= 18\end{aligned}

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס

S′(10)>0,S′(20)<0S'(10) > 0 ,\quad S'(20) < 0

המכנה חיובי, והמונה עובר מחיובי לשלילי: מקסימום

t=18t = 18, כלומר A(18,3)A(18, 3).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

הגרף של ff
OAB03691215182124270123456xy

נתונה הפונקציה f(x)=27−xf(x) = \sqrt{27 - x}. הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיעור ה-xx שלה הוא tt (0<t<270 < t < 27). מ-AA מורידים אנך לציר ה-xx, ועקבו הוא BB. OO ראשית הצירים. שטח המשולש S(t)=t27−t2S(t) = \frac{t\sqrt{27 - t}}{2} מקסימלי כאשר t=18t = 18. ד. מהו השטח המקסימלי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 27

Corrigé :

f(18)=9=3\begin{aligned}f(18) &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

הגובה ABAB

S(18)=18⋅32=27\begin{aligned}S(18) &= \frac{18 \cdot 3}{2} \\ &= 27\end{aligned}

השטח המקסימלי

השטח המקסימלי 2727 יחידות שטח. בדיקה: ב-t=11t = 11 (השרטוט) השטח 11⋅42=22<27\frac{11 \cdot 4}{2} = 22 < 27 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe