מבדק פתיחה 3

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבדק פתיחה 3 — תחילת י״א. המבדק שבית הספר עורך בשבועיים הראשונים של השנה, ברוח עבודת הקיץ: חזרה על החומר של כיתה י. 5 שאלות עם סעיפים, 20 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה אחת לכל נושא של עבודת הקיץ: הסתברות, סטטיסטיקה, גאומטריה אנליטית משולבת, חקירת פונקציה עם שורש ובעיית קיצון.

כמו בבגרות, כל סעיף מזכיר את התוצאות שלפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. אחרי העלאה בריבוע בודקים כל פתרון במשוואה המקורית, ובבעיית קיצון מוודאים בטבלת סימנים שהנקודה היא באמת מקסימום או מינימום.

Exercices

שאלה 1 — הסתברות: טבלה דו-ממדית

Exercice 1

	5 ק״מ	10 ק״מ	סה״כ
בפעם הראשונה	80	?	130
ותיקים	?	?	?
סה״כ	200	?	400

במרוץ עירוני השתתפו $400$ רצים. כל רץ רץ באחד משני המסלולים, $5$ ק״מ או $10$ ק״מ, וכל רץ משתתף במרוץ בפעם הראשונה או שהוא ותיק. הטבלה מתארת את מספרי הרצים, וחלק מהמשבצות חסרות. א. השלימו את המשבצות החסרות.

בפעם הראשונה, $10$ ק״מ: ____ ; ותיקים, $5$ ק״מ: ____ ; ותיקים, $10$ ק״מ: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : בפעם הראשונה, $10$ ק״מ: 50 ; ותיקים, $5$ ק״מ: 120 ; ותיקים, $10$ ק״מ: 150

Corrigé :

130 - 80 = 50

שורת «בפעם הראשונה»

200 - 80 = 120

עמודת $5$ ק״מ

\begin{aligned}400 - 130 &= 270 \\ \quad 270 - 120 &= 150\end{aligned}

שורת הוותיקים, ואחר כך המשבצת האחרונה

\begin{aligned}50 + 150 &= 200 \\ &= 400 - 200 \ ✓\end{aligned}

בדיקה בעמודת $10$ ק״מ

$50$ , $120$ , $150$ . בכל שורה ובכל עמודה, סכום המשבצות שווה ל-«סה״כ» — זו הבדיקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

	5 ק״מ	10 ק״מ	סה״כ
בפעם הראשונה	80	?	130
ותיקים	?	?	?
סה״כ	200	?	400

במרוץ עירוני השתתפו $400$ רצים. כל רץ רץ באחד משני המסלולים, $5$ ק״מ או $10$ ק״מ, וכל רץ משתתף במרוץ בפעם הראשונה או שהוא ותיק. הטבלה מתארת את מספרי הרצים, וחלק מהמשבצות חסרות. לאחר ההשלמה: $150$ ותיקים רצו $10$ ק״מ. ב. בוחרים באקראי רץ. מהי ההסתברות שהוא ותיק שרץ $10$ ק״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.375

Corrigé :

\begin{aligned}P &= \frac{150}{400} \\ &= 0.375\end{aligned}

חיתוך: משבצת אחת מתוך כל הרצים

$0.375$ . המלכודת: לחלק ב- $0.375$ או ב- $200$ — אין כאן תנאי, ולכן המכנה הוא כל $400$ הרצים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

	5 ק״מ	10 ק״מ	סה״כ
בפעם הראשונה	80	?	130
ותיקים	?	?	?
סה״כ	200	?	400

במרוץ עירוני השתתפו $400$ רצים. כל רץ רץ באחד משני המסלולים, $5$ ק״מ או $10$ ק״מ, וכל רץ משתתף במרוץ בפעם הראשונה או שהוא ותיק. הטבלה מתארת את מספרי הרצים, וחלק מהמשבצות חסרות. ג. בוחרים באקראי רץ, וידוע שהוא רץ $5$ ק״מ. מהי ההסתברות שהוא משתתף בפעם הראשונה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.4

Corrigé :

\begin{aligned}P(\text{F} \mid 5) &= \frac{80}{200} \\ &= 0.4\end{aligned}

המכנה: עמודת $5$ ק״מ, מה שידוע

$0.4$ . המלכודת: $0.4$ — זו ההסתברות ההפוכה, שרץ בפעם הראשונה בחר $5$ ק״מ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

	5 ק״מ	10 ק״מ	סה״כ
בפעם הראשונה	80	?	130
ותיקים	?	?	?
סה״כ	200	?	400

במרוץ עירוני השתתפו $400$ רצים. כל רץ רץ באחד משני המסלולים, $5$ ק״מ או $10$ ק״מ, וכל רץ משתתף במרוץ בפעם הראשונה או שהוא ותיק. הטבלה מתארת את מספרי הרצים, וחלק מהמשבצות חסרות. לאחר ההשלמה: $130$ רצים בפעם הראשונה, מהם $80$ ב- $5$ ק״מ, ו- $200$ רצים ב- $5$ ק״מ. ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «הרץ משתתף בפעם הראשונה» ו«הרץ בחר $5$ ק״מ» בלתי תלויים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}P(\text{F}) &= \frac{130}{400} \\ &= 0.325\end{aligned}

ההסתברות בלי תנאי

\begin{aligned}P(\text{F} \mid 5) &= \frac{80}{200} \\ &= 0.4 \ne 0.325\end{aligned}

הידיעה ש« $5$ ק״מ» משנה את ההסתברות

הטענה שגויה: המאורעות תלויים. בקרב רצי $5$ ק״מ החלק של הרצים בפעם הראשונה גדול יותר מבכלל הרצים.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — סטטיסטיקה: הזמנות בפיצרייה

Exercice 5

מספר ההזמנות בערב	20	25	30	35	40
מספר הערבים	3	5	10	7	5

פיצרייה רשמה במשך $30$ ערבים כמה הזמנות למשלוח התקבלו בכל ערב. הטבלה מתארת את התוצאות. א. חשבו את הממוצע של מספר ההזמנות בערב.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 31

Corrigé :

20 \cdot 3 + 25 \cdot 5 + 30 \cdot 10 + 35 \cdot 7 + 40 \cdot 5 = 930

סכום כל ההזמנות בחודש

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{930}{30} \\ &= 31\end{aligned}

מחלקים במספר הערבים

$\bar{x} = 31$ הזמנות בערב. המלכודת: לחשב את ממוצע הערכים $20, 25, \dots, 40$ בלי השכיחויות ולקבל $30$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מספר ההזמנות בערב	20	25	30	35	40
מספר הערבים	3	5	10	7	5

פיצרייה רשמה במשך $30$ ערבים כמה הזמנות למשלוח התקבלו בכל ערב. הטבלה מתארת את התוצאות. ב. מהו השכיח, ומהו החציון של מספר ההזמנות בערב?

השכיח: ____ ; החציון: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : השכיח: 30 ; החציון: 30

Corrigé :

f(30) = 10

השכיחות הגדולה ביותר: השכיח $30$

3 ,\ 8 ,\ 18

שכיחות מצטברת של $20$ , $25$ , $30$ : המקומות $30$ עד $18$ הם $30$

\begin{aligned}\text{Me} &= \frac{x_{15} + x_{16}}{2} \\ &= \frac{30 + 30}{2} \\ &= 30\end{aligned}

החציון

השכיח $30$ והחציון $30$ , והממוצע $30$ גדול מהם: הערבים העמוסים ( $35$ ו- $35$ ) מושכים את הממוצע למעלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מספר ההזמנות בערב	20	25	30	35	40
מספר הערבים	3	5	10	7	5

פיצרייה רשמה במשך $30$ ערבים כמה הזמנות למשלוח התקבלו בכל ערב. הטבלה מתארת את התוצאות. ג. באיזה אחוז מהערבים התקבלו לפחות $35$ הזמנות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

7 + 5 = 12

ערבים עם $35$ או $40$ הזמנות

\frac{12}{30} \cdot 100 = 40\%

אחוז מתוך כל הערבים

$40\%$ . «לפחות $35$ » כולל את $35$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מספר ההזמנות בערב	20	25	30	35	40
מספר הערבים	3	5	10	7	5

פיצרייה רשמה במשך $30$ ערבים כמה הזמנות למשלוח התקבלו בכל ערב. הטבלה מתארת את התוצאות. הממוצע $31$ והחציון $31$ . בחודש הבא, בכל ערב התקבלו בדיוק $30$ הזמנות יותר מבערב המקביל בחודש הזה. ד. מהם הממוצע והחציון בחודש הבא?

הממוצע: ____ ; החציון: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הממוצע: 33 ; החציון: 32

Corrigé :

\begin{aligned}\bar{x}_{\text{new}} &= \frac{930 + 30 \cdot 2}{30} \\ &= 31 + 2 \\ &= 33\end{aligned}

כל נתון גדל ב- $2$ , ולכן הסכום גדל ב- $2$

\begin{aligned}\text{Me}_{\text{new}} &= 30 + 2 \\ &= 32\end{aligned}

הסדר לא השתנה: הנתונים האמצעיים גדלו גם הם ב- $2$

הממוצע $33$ והחציון $33$ . הוספת קבוע לכל הנתונים מזיזה את הממוצע, את החציון ואת השכיח באותו קבוע.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — גאומטריה משולבת: טרפז ואלכסוניו

Exercice 9

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-3, -3)$ , $B(5, -1)$ , $C(3, 3)$ , $D(-1, 2)$ . א. מהו סוג המרובע $ABCD$ ?

דלתון — $AC \perp BD$
מרובע שאין לו צלעות מקבילות
מקבילית — $AB \parallel DC$
טרפז — $AB \parallel DC$ , ו- $AD$ אינה מקבילה ל- $BC$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D טרפז — $AB \parallel DC$ , ו- $AD$ אינה מקבילה ל- $BC$

Corrigé :

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{-1 + 3}{5 + 3} \\ &= \frac{1}{4} \\ \quad m_{DC} &= \frac{3 - 2}{3 + 1} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

שיפועים שווים: $AB \parallel DC$

\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{2 + 3}{-1 + 3} \\ &= \frac{5}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{3 + 1}{3 - 5} \\ &= -2\end{aligned}

הזוג השני אינו מקביל

טרפז: זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות. המלכודת: לעצור אחרי $AB \parallel DC$ ולקבוע «מקבילית» — במקבילית גם $AD \parallel BC$ . והאלכסונים אינם מאונכים: $m_{AC} \cdot m_{BD} = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) \ne -1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-3, -3)$ , $B(5, -1)$ , $C(3, 3)$ , $D(-1, 2)$ . המרובע הוא טרפז, $AB \parallel DC$ . ב. האלכסונים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $M$ . מצאו את שיעורי $M$ .

$M$ ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $M =$ ( 1 , 1 )

Corrigé :

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{3 + 3}{3 + 3} \\ &= 1 \Rightarrow AC:\ y \\ &= x\end{aligned}

האלכסון $AC$ עובר בראשית

\begin{aligned}m_{BD} &= \frac{2 + 1}{-1 - 5} \\ &= -\frac{1}{2} \Rightarrow BD:\ y \\ &= -0.5x + 1.5\end{aligned}

ישר דרך $B$ : $B$

\begin{aligned}x &= -0.5x + 1.5 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ y &= 1\end{aligned}

משווים את המשוואות

$M(1, 1)$ . המלכודת: לקחת את אמצע $AC$ , $(0, 0)$ — בטרפז האלכסונים אינם חוצים זה את זה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-3, -3)$ , $B(5, -1)$ , $C(3, 3)$ , $D(-1, 2)$ . $AB \parallel DC$ , והאלכסונים נחתכים ב- $M(1, 1)$ . ג. הסבירו מדוע $\triangle ABM \sim \triangle CDM$ , ומצאו את יחס השטחים $\frac{S_{ABM}}{S_{CDM}}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}\angle BAM &= \angle DCM \\ \ \angle AMB &= \angle CMD\end{aligned}

זוויות מתחלפות בין המקבילים $AB$ ו- $DC$ , וזוויות קודקודיות: ז.ז

\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{68} \\ \quad DC &= \sqrt{4^2 + 1^2} \\ &= \sqrt{17}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}k &= \frac{AB}{CD} \\ &= \sqrt{\frac{68}{17}} \\ &= 2\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{S_{ABM}}{S_{CDM}} &= k^2 \\ &= 4\end{aligned}

יחס השטחים: ריבוע יחס הדמיון

יחס השטחים $4$ . בדיקה: $4$ ו- $MC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ — שוב יחס $2$ ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-3, -3)$ , $B(5, -1)$ , $C(3, 3)$ , $D(-1, 2)$ . האלכסונים: $AC:\ y = x$ ו- $BD:\ y = -0.5x + 1.5$ . ד. חשבו את הזווית החדה שבין האלכסונים (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 71.57

Corrigé :

\begin{aligned}\tan\alpha &= 1 \Rightarrow \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

זווית השיפוע של $AC$

\begin{aligned}\tan\beta &= -0.5 \Rightarrow \beta \approx 180^\circ - 26.57^\circ \\ &= 153.43^\circ\end{aligned}

זווית השיפוע של $BD$ קהה, כי השיפוע שלילי

\beta - \alpha \approx 108.43^\circ \Rightarrow 180^\circ - 108.43^\circ = 71.57^\circ

הזווית החדה בין הישרים היא המשלימה

$\approx 71.57^\circ$ . המלכודת: $45^\circ - 26.57^\circ = 18.43^\circ$ — זה מתעלם מכך ש- $BD$ יורד; זוויות השיפוע נמדדות מהכיוון החיובי של ציר ה- $x$ .

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה עם שורש

Exercice 13

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sqrt{x + 3} - x$ . א. מצאו את תחום ההגדרה של $f$ ואת נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $f$ .

תחום ההגדרה: $x \ge$ ____ ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום ההגדרה: $x \ge$ -3 ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x$ 6

Corrigé :

x + 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3

ביטוי בתוך שורש אי-שלילי

\begin{aligned}2\sqrt{x + 3} &= x \Rightarrow 4(x + 3) \\ &= x^2\end{aligned}

משווים לאפס, מבודדים את השורש ומעלים בריבוע

\begin{aligned}x^2 - 4x - 12 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 6 \\ \quad x &= -2\end{aligned}

On résout

\begin{aligned}f(-2) &= 2 + 2 \\ &= 4 \ne 0 \\ \quad f(6) &= 6 - 6 \\ &= 0\end{aligned}

בודקים: $x = -2$ נפסל

$x \ge -3$ , וחיתוך אחד עם ציר ה- $x$ : $(6, 0)$ . המלכודת: להשאיר את $x = -2$ — שם $x < 0$ , ושורש אינו שווה למספר שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sqrt{x + 3} - x$ . ב. מהי הנגזרת $f'(x)$ , בתחום $x > -3$ ?

$\dfrac{1}{2\sqrt{x + 3}} - 1$
$\dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1$
$\dfrac{2}{\sqrt{x + 3}} - 1$
$\dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} - x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1$

Corrigé :

(\sqrt{x + 3})' = \frac{1}{2\sqrt{x + 3}}

נגזרת השורש; נגזרת הפנים $1$

\begin{aligned}f'(x) &= 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 3}} - 1 \\ &= \frac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1\end{aligned}

המקדם $2$ מצטמצם עם ה- $2$ שבמכנה

$\frac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1$ . המלכודת: לשכוח לצמצם, או לשכוח את ה- $2$ של נגזרת השורש ולקבל $2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sqrt{x + 3} - x$ . הנגזרת: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1$ . ג. מהם תחומי העלייה והירידה של $f$ , ומהי נקודת הקיצון הפנימית שלה?

עולה ב- $-3 < x < -2$ , יורדת ב- $x > -2$ ; מקסימום $(-2, 2)$
עולה ב- $x < -2$ , יורדת ב- $x > -2$ ; מקסימום $(-2, 4)$
עולה ב- $-3 < x < -2$ , יורדת ב- $x > -2$ ; מקסימום $(-2, 4)$
יורדת ב- $-3 < x < -2$ , עולה ב- $x > -2$ ; מינימום $(-2, 4)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C עולה ב- $-3 < x < -2$ , יורדת ב- $x > -2$ ; מקסימום $(-2, 4)$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{x + 3}} &= 1 \Rightarrow x + 3 \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

משווים את הנגזרת לאפס

\begin{aligned}f'(-2.75) &= 2 - 1 > 0 \\ \quad f'(1) &= 0.5 - 1 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עלייה ואחריה ירידה

\begin{aligned}f(-2) &= 2\sqrt{1} + 2 \\ &= 4\end{aligned}

ערך הפונקציה

עולה ב- $-3 < x < -2$ , יורדת ב- $x > -2$ , ומקסימום $(-2, 4)$ ; בקצה $(-3, 3)$ מינימום קצה. המלכודת: «עולה ב- $x < -2$ » — משמאל ל- $-3$ הפונקציה לא מוגדרת. ו- $(-2, 2)$ שוכח את $-x = +2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sqrt{x + 3} - x$ . הנגזרת: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1$ . ד. המשיק לגרף $f$ בנקודה $A$ מקביל לישר $A$ . מצאו את שיעורי $A$ ואת משוואת המשיק.

$A =$ ( ____ , ____ ) ; המשיק: $y =$ ____ $x +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $A =$ ( 13 , -5 ) ; המשיק: $y =$ -0.75 $x +$ 4.75

Corrigé :

\begin{aligned}4y &= -3x + 8 \Rightarrow m \\ &= -\frac{3}{4}\end{aligned}

שיפוע הישר הנתון: מבודדים את $y$

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1 &= -\frac{3}{4} \Rightarrow \sqrt{x + 3} \\ &= 4 \Rightarrow x \\ &= 13\end{aligned}

ישרים מקבילים: השיפוע של המשיק שווה

\begin{aligned}f(13) &= 2 \cdot 4 - 13 \\ &= -5\end{aligned}

נקודת ההשקה $A(13, -5)$

\begin{aligned}y + 5 &= -0.75(x - 13) \Rightarrow y \\ &= -0.75x + 4.75\end{aligned}

משוואת המשיק

$A(13, -5)$ והמשיק $y = -0.75x + 4.75$ (או $3x + 4y = 19$ ). המלכודת: לקחת את השיפוע $3$ או $-3$ ישר מהמשוואה — קודם מבודדים את $y$ .

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — בעיית קיצון: הנקודה הקרובה ביותר

Exercice 17

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{2x}$ והנקודה $P(5, 0)$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $x$ ( $x$ ). א. הביעו בעזרת $x$ את ריבוע המרחק $x$ .

$AP^2 = (x - 5)^2 + \sqrt{2x}$
$AP^2 = x^2 - 8x + 5$
$AP^2 = x^2 - 8x + 25$
$AP^2 = x^2 - 10x + 25$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $AP^2 = x^2 - 8x + 25$

Corrigé :

A(x, \sqrt{2x}) ,\quad P(5, 0)

שיעורי הנקודות

AP^2 = (x - 5)^2 + (\sqrt{2x} - 0)^2

נוסחת המרחק בריבוע

= x^2 - 10x + 25 + 2x = x^2 - 8x + 25

השורש בריבוע נותן $2x$

$AP^2 = x^2 - 8x + 25$ . המלכודת: לשכוח להעלות את $\sqrt{2x}$ בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{2x}$ והנקודה $P(5, 0)$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $x$ ( $x$ ). ריבוע המרחק הוא $AP^2 = x^2 - 8x + 25$ . ב. לאיזה ערך של $x$ המרחק $AP$ מינימלי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{x^2 - 8x + 25} \\ \quad d'(x) &= \frac{2x - 8}{2\sqrt{x^2 - 8x + 25}}\end{aligned}

נגזרת של שורש של פונקציה

\begin{aligned}2x - 8 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

המכנה חיובי: הנגזרת מתאפסת כשהמונה מתאפס

d'(3) < 0 ,\quad d'(5) > 0

ירידה ואחריה עלייה: מינימום

$x = 4$ , כלומר $A(4, \sqrt{8})$ . אפשר גם בקיצור: המרחק מינימלי בדיוק כשריבועו מינימלי, והפרבולה $x^2 - 8x + 25$ מינימלית בקודקוד $x = 4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{2x}$ והנקודה $P(5, 0)$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $x$ ( $x$ ). ריבוע המרחק הוא $AP^2 = x^2 - 8x + 25$ , והמרחק מינימלי כאשר $x = 4$ . ג. מהו המרחק המינימלי $AP$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}AP^2 &= 16 - 32 + 25 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים $x = 4$

\begin{aligned}AP &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

מוציאים שורש

$AP = 3$ . המלכודת: לעצור ב- $9$ — זה ריבוע המרחק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{2x}$ והנקודה $P(5, 0)$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $x$ ( $x$ ). המרחק $AP$ מינימלי כאשר $A(4, \sqrt{8})$ . ד. הוכיחו או הפריכו: בנקודה זו הקטע $AP$ מאונך למשיק לגרף $f$ בנקודה $f$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2}{2\sqrt{2x}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2x}} \Rightarrow f'(4) \\ &= \frac{1}{\sqrt{8}}\end{aligned}

שיפוע המשיק ב- $A$

\begin{aligned}m_{AP} &= \frac{\sqrt{8} - 0}{4 - 5} \\ &= -\sqrt{8}\end{aligned}

שיפוע הקטע $AP$

\frac{1}{\sqrt{8}} \cdot (-\sqrt{8}) = -1

מכפלת השיפועים $-1$ : מאונכים

הטענה נכונה. זה לא מקרה: הקטע הקצר ביותר מנקודה לעקומה מאונך למשיק בנקודה הקרובה ביותר.

Vérifier la réponse sur elev

Les mots de la leçon

שנה: shana an, année
סעיף: se’if question (a, b, c…)
סך הכול: sakh ha-kol au total
דקה: daka minute
הסתברות: histabrut probabilité
חקירת פונקציה: ḥakirat funktsia étude de fonction
שורש: shoresh racine carrée
בעיית קיצון: ba’ayat kitson problème d’optimisation
פתרון: pitaron solution
משוואה: mishva’a équation
טבלת סימנים: tavlat simanim tableau de signes (de variations)
נקודה: nekuda point
מקסימום: maksimum maximum
מינימום: minimum minimum
ק״מ (קילומטר): kilometer kilomètre (km)
טבלה: tavla tableau
השלימו: hashlimu complétez
עמודה: amuda colonne ; barre (d’un diagramme)
סכום: skhum somme
אקראי: akra’i au hasard, aléatoire
מתוך: mitokh sur (3 sur 5) ; à partir de
מלכודת: malkodet piège
תנאי: tnai condition
מכנה: mekhane dénominateur
הוכיחו: hokhiḥu démontrez
הפריכו: hafrikhu réfutez
מאורע: me’ora événement
בלתי תלויים: bilti tluyim indépendants
טענה: ta’ana affirmation
שגוי: shagui erroné, faux
מאורעות תלויים: me’orot tluyim événements dépendants
משך: meshekh durée
חשבו: ḥishvu calculez
ממוצע: memutsa moyenne
חודש: ḥodesh mois
שכיחות: shkhiḥut effectif
שכיח: shakhiaḥ mode
חציון: ḥetsyon médiane
שכיחות מצטברת: shkhiḥut mitstaberet effectif cumulé
אחוז: aḥuz pour cent
לפחות: lefaḥot au moins
מקבילים: makbilim parallèles
נתון: natun on donne ; donnée (hypothèse)
נתונים: netunim données
קבוע: kavua constante
מרובע: meruba quadrilatère
שיפוע: shipua pente
טרפז: trapez trapèze
צלע: tsela côté
מקבילית: makbilit parallélogramme
אלכסון: alakhson diagonale
מאונכים: me’unakhim perpendiculaires
נחתכים: neḥtakhim se coupent
מצאו: mits’u trouvez, déterminez
שיעורים (של נקודה): shiurim coordonnées
ראשית הצירים: reshit ha-tsirim origine (du repère)
ישר: yashar droite
חוצה: ḥotse coupe en deux parts égales
הסבירו: hasbiru expliquez
יחס השטחים: yaḥas ha-shetaḥim rapport des aires
זוויות מתחלפות: zaviyot mitḥalfot angles alternes-internes
זוויות קודקודיות: zaviyot kodkodiyot angles opposés par le sommet
נוסחת המרחק: nusḥat ha-merḥak formule de la distance
יחס הדמיון: yaḥas ha-dimyon rapport de similitude
ריבוע: ribua carré
יחס: yaḥas rapport
זווית חדה: zavit ḥada angle aigu
מעלה: ma’ala degré
עגלו: agelu arrondissez
ספרות אחרי הנקודה: sfarot aḥarei ha-nekuda chiffres après la virgule (décimales)
זווית: zavit angle
שלילי: shlili négatif
חיובי: ḥiyuvi positif
ציר: tsir axe
פונקציה: funktsia fonction
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domaine de définition
נקודת חיתוך: nekudat khitukh point d’intersection
גרף: graf graphe, courbe représentative
ביטוי אלגברי: bitui algebri expression algébrique
נפסל: nifsal rejeté (à éliminer)
נגזרת: nigzeret dérivée
מקדם: mekadem coefficient
תחום עלייה: tḥum aliya intervalle où la fonction est croissante
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
פונקציה יורדת: funktsia yoredet fonction (ou suite) décroissante
מוגדרת: mugderet définie
משיק: mashik tangente
משוואת המשיק: mishva’at ha-mashik équation de la tangente
נקודת השקה: nekudat hashaka point de tangence (de contact)
הביעו: habi’u exprimez
מרחק: merḥak distance
מתאפס: mitapes s’annule
מונה: moneh numérateur
פרבולה: parabola parabole
קודקוד: kodkod sommet
להציב: lehatsiv substituer / remplacer
קטע: keta segment
שיפוע המשיק: shipua ha-mashik pente de la tangente
מכפלה: makhpela produit
נכון: nakhon vrai, juste

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elev Découvrir elev pour cette classe