Série 3 — vers le bagrout · Problèmes d'extremum · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח שאלת הקיצון של הבגרות, מחולקות לסעיפים א, ב, ג ו-ד. לכל סעיף תרגיל משלו, עם אותו נוסח פתיחה: מלבן בין גרף לאסימפטוטות, משיק עם פרמטר, וטרפז עם אלכסון קצר ביותר.

בבחינה כל סעיף נשען על הקודם. כתבו את הפונקציה פעם אחת, בדקו את סוג הקיצון, ורק אז ענו על «האם ייתכן».

Exercices

Exercice 1

f(x) = 1 + 16/(x + 2) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=1+\frac{16}{x+2}$ בתחום $x>-2$ . $P$ נקודה על הגרף. מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות של $f$ , ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות, כמו בשרטוט. א. מהן האסימפטוטות של $f$ ?

$x=-2$ ו- $y=1$
$x=-2$ ו- $y=0$
$x=2$ ו- $y=1$
$x=-2$ ו- $y=16$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $x=-2$ ו- $y=1$

Corrigé :

\begin{aligned}x+2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס

\frac{16}{x+2} \to 0 \ \Rightarrow \ y=1

אסימפטוטה אופקית

הנכונה: $x=-2$ ו- $y=1$ . $y=0$ שוכח את התוספת $1$ , ו- $x=2$ טועה בסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

f(x) = 1 + 16/(x + 2) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=1+\frac{16}{x+2}$ בתחום $x>-2$ . $P$ נקודה על הגרף. מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות של $f$ , ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות, כמו בשרטוט. ב. מצאו את שיעור ה- $x$ של $P$ שעבורו היקף המלבן הקטן ביותר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

L(x)=2(x+2)+\frac{32}{x+2}

הצלעות $x+2$ ו- $\frac{16}{x+2}$

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{32}{(x+2)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (x+2)^2 \\ &= 16\end{aligned}

$x+2>0$

\begin{aligned}x+2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

מי שעונה $4$ נתן את $x+2$ , כלומר את אורך הצלע, ולא את שיעור ה- $x$ של $P$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

f(x) = 1 + 16/(x + 2) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=1+\frac{16}{x+2}$ בתחום $x>-2$ . $P$ נקודה על הגרף. מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות של $f$ , ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות, כמו בשרטוט. ג. מהו ההיקף הקטן ביותר של המלבן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

\begin{aligned}x &= 2 \ \Rightarrow \ x+2 \\ &= 4 \\ \quad \frac{16}{4} &= 4\end{aligned}

המלבן ריבוע

\begin{aligned}L(2) &= 8+8 \\ &= 16\end{aligned}

ההיקף

$P=(2,\,5)$ . השטח קבוע ( $16$ ), וההיקף הקטן ביותר מתקבל בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

f(x) = 1 + 16/(x + 2) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=1+\frac{16}{x+2}$ בתחום $x>-2$ . $P$ נקודה על הגרף. מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות של $f$ , ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות, כמו בשרטוט. ד. הוכיחו או הפריכו: יש מלבן כזה שהיקפו $15$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

L_{\min}=16

מסעיף ג

15<16

קטן מהמינימום

הטענה לא נכונה. כל היקף מעל $16$ מתקבל פעמיים, משני הצדדים של $x=2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

המשיק לגרף f(x) = a − 3x² והצירים

P = (t, f(t)) ברביע הראשון.

נתונה $f(x)=a-3x^2$ , כאשר $a$ פרמטר חיובי. המשיק לגרף בנקודה שבה $x=1$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,\,39)$ . הנקודה $P=(t,\,f(t))$ נמצאת על הגרף ברביע הראשון, והמשיק ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. א. מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

\begin{aligned}f(1) &= a-3 \\ \qquad f'(x) &= -6x \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= -6\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

\begin{aligned}y &= -6(x-1)+a-3 \\ &= -6x+a+3\end{aligned}

המשיק

\begin{aligned}a+3 &= 39 \ \Rightarrow \ a \\ &= 36\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה- $y$

מי שמציב את $(0,\,39)$ ב- $f$ עצמה מקבל $a=39$ . הנקודה נמצאת על המשיק, לא על הגרף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

המשיק לגרף f(x) = a − 3x² והצירים

P = (t, f(t)) ברביע הראשון.

$S(t)=\frac{(3t^2+36)^2}{12t}$
$S(t)=\frac{(3t^2+36)^2}{6t}$
$S(t)=\frac{(3t^2+36)^2}{12}$
$S(t)=\frac{(36-3t^2)^2}{12t}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $S(t)=\frac{(3t^2+36)^2}{12t}$

Corrigé :

\begin{aligned}y &= -6t(x-t)+36-3t^2 \\ &= -6tx+3t^2+36\end{aligned}

המשיק ב- $P$

\begin{aligned}y_0 &= 3t^2+36 \\ \qquad x_0 &= \frac{3t^2+36}{6t}\end{aligned}

החיתוכים

\begin{aligned}S(t) &= \frac{1}{2}\cdot\frac{3t^2+36}{6t}\cdot(3t^2+36) \\ &= \frac{(3t^2+36)^2}{12t}\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים

הנכונה: $\frac{(3t^2+36)^2}{12t}$ . $6t$ במכנה שוכח את החצי. $36-3t^2$ הוא $f(t)$ , לא החיתוך של המשיק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

המשיק לגרף f(x) = a − 3x² והצירים

P = (t, f(t)) ברביע הראשון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

S'(t)=\frac{2(3t^2+36)\cdot 6t\cdot 12t-12(3t^2+36)^2}{144t^2}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

S'(t)=\frac{(3t^2+36)(9t^2-36)}{12t^2}

מוציאים גורם משותף

\begin{aligned}9t^2 &= 36 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום, ובתוך התחום $0<t<\sqrt{12}$

רק הגורם $9t^2-36$ משנה סימן. $t=-2$ נפסל: $P$ ברביע הראשון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

המשיק לגרף f(x) = a − 3x² והצירים

P = (t, f(t)) ברביע הראשון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 96

Corrigé :

\begin{aligned}3t^2+36 &= 12+36 \\ &= 48\end{aligned}

מציבים $t=2$

\begin{aligned}S(2) &= \frac{48^2}{24} \\ &= 96\end{aligned}

השטח

המשיק ב- $(2,\,24)$ הוא $y=-12x+48$ , והחיתוכים $(4,\,0)$ ו- $(0,\,48)$ : $\frac{4\cdot 48}{2}=96$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

AD ∥ BC, הזווית B ישרה, BC = 3AD, ושטח הטרפז 32 סמ״ר. AD = x.

בטרפז $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) הזווית $B$ ישרה, $BC=3AD$ , ושטח הטרפז $32$ סמ״ר. $AD=x$ , כמו בשרטוט. א. הביעו את $AB$ באמצעות $x$ .

$AB=\frac{64}{x}$
$AB=\frac{16}{x}$
$AB=\frac{32}{x}$
$AB=\frac{8}{x}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $AB=\frac{16}{x}$

Corrigé :

\frac{(x+3x)\cdot AB}{2}=32

שטח טרפז

\begin{aligned}2x\cdot AB &= 32 \ \Rightarrow \ AB \\ &= \frac{16}{x}\end{aligned}

$AB$ הוא הגובה

הנכונה: $\frac{16}{x}$ . $\frac{32}{x}$ שוכח שסכום הבסיסים $4x$ ולא $x$ , ו- $\frac{8}{x}$ שוכח את החלוקה ב- $2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

AD ∥ BC, הזווית B ישרה, BC = 3AD, ושטח הטרפז 32 סמ״ר. AD = x.

בטרפז $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) הזווית $B$ ישרה, $BC=3AD$ , ושטח הטרפז $32$ סמ״ר. $AD=x$ , כמו בשרטוט. ב. מהו האורך הקטן ביותר של האלכסון $BD$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.66

Corrigé :

\begin{aligned}BD^2 &= AB^2+AD^2 \\ &= \frac{256}{x^2}+x^2\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABD$ : הזווית $A$ ישרה, כי $AD \parallel BC$ ו- $AB \perp BC$

\begin{aligned}D'(x) &= 2x-\frac{512}{x^3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^4 \\ &= 256 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}BD^2 &= 16+16 \\ &= 32 \ \Rightarrow \ BD \\ &= \sqrt{32}\approx 5.66\end{aligned}

האורך

האלכסון $BD$ יוצא מ- $B$ אל $D$ , ולכן הניצבים שלו הם $AB$ ו- $AD$ , לא $BC$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev