Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: סכומי מלבנים, הפונקציה הצוברת והמשפט היסודי, קדומות טריגונומטריות ורמז של כלל השרשרת, ערך ממוצע, דרך ושטחים. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

חשבו את ∫0π2sin⁡x dx\int_0^{\pi} 2\sin x\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

[−2cos⁡x]0π=2+2=4\begin{aligned}\big[-2\cos x\big]_0^{\pi} &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

קדומה ומציבים

−2cos⁡π=2-2\cos\pi=2 ו-−(−2cos⁡0)=2-(-2\cos 0)=2. מי שקיבל 00 איבד מינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה F(x)=∫0xcos⁡(t2) dtF(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt. מהי F ′(x)F\,'(x)?

  1. sin⁡(x2)\sin(x^2)
  2. 2xcos⁡(x2)2x\cos(x^2)
  3. −2xsin⁡(x2)-2x\sin(x^2)
  4. cos⁡(x2)\cos(x^2)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D cos⁡(x2)\cos(x^2)

Corrigé :

F ′(x)=f(x)=cos⁡(x2)\begin{aligned}F\,'(x) &= f(x) \\ &= \cos(x^2)\end{aligned}

המשפט היסודי

הנכונה: cos⁡(x2)\cos(x^2). ל-cos⁡(t2)\cos(t^2) אין קדומה שאפשר לכתוב, ובכל זאת הנגזרת של FF ידועה מיד. −2xsin⁡(x2)-2x\sin(x^2) היא הנגזרת של ff, לא של FF.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x2f(x)=x^2 בקטע [1, 3][1,\,3]. מחלקים את הקטע ל-22 חלקים שווים. חשבו את הסכום התחתון s2s_2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

Δx=1;s2=f(1)+f(2)=1+4=5\begin{aligned}\Delta x &= 1 ;\quad s_2 \\ &= f(1)+f(2) \\ &= 1+4 \\ &= 5\end{aligned}

ff עולה בקטע

S2=4+9=13S_2=4+9=13, והאינטגרל 263≈8.67\frac{26}{3} \approx 8.67 ביניהם.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

חשבו את ∫0π/4(sin⁡x+cos⁡x) dx\int_0^{\pi/4} (\sin x+\cos x)\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

[−cos⁡x+sin⁡x]0π/4\big[-\cos x+\sin x\big]_0^{\pi/4}

קדומה

(−22+22)−(−1+0)=1\Big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)-(-1+0)=1

On remplace (מציבים)

בגבול π4\frac{\pi}{4} שני האיברים מתקזזים; ב-00 נשאר −cos⁡0=−1-\cos 0=-1, ומחסירים אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו הערך הממוצע של f(x)=6x−x2f(x)=6x-x^2 בקטע [0, 6][0,\,6]?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

∫06(6x−x2) dx=108−72=36\begin{aligned}\int_0^6 (6x-x^2)\,dx &= 108-72 \\ &= 36\end{aligned}

האינטגרל

fˉ=366=6\begin{aligned}\bar{f} &= \tfrac{36}{6} \\ &= 6\end{aligned}

מחלקים באורך הקטע

ממוצע הקצוות כאן הוא 00, כי f(0)=f(6)=0f(0)=f(6)=0. זה מראה כמה ממוצע קצוות רחוק מערך ממוצע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

גזרו את (x2+1)4(x^2+1)^4, והיעזרו בתוצאה כדי לחשב את ∫01x (x2+1)3 dx\int_0^1 x\,(x^2+1)^3\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.875

Corrigé :

((x2+1)4)′=8x(x2+1)3\big((x^2+1)^4\big)'=8x(x^2+1)^3

הרמז

∫x(x2+1)3 dx=(x2+1)48\int x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{8}

מחלקים ב-88

168−18=158=1.875\begin{aligned}\frac{16}{8}-\frac{1}{8} &= \frac{15}{8} \\ &= 1.875\end{aligned}

On remplace (מציבים)

בגבול התחתון (0+1)4=1(0+1)^4=1, לא 00. מי שקיבל 22 שכח אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

גוף נע על ישר במהירות v(t)=12−4tv(t)=12-4t (מ׳/ש׳). איזו דרך הוא עובר בין t=0t=0 ל-t=5t=5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 26

Corrigé :

v(t)=0 ⇒ t=3\begin{aligned}v(t) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3\end{aligned}

הגוף מסתובב

∫03(12−4t) dt=36−18=18\begin{aligned}\int_0^3 (12-4t)\,dt &= 36-18 \\ &= 18\end{aligned}

קדימה

∫35(12−4t) dt=(60−50)−(36−18)=−8\begin{aligned}\int_3^5 (12-4t)\,dt &= (60-50)-(36-18) \\ &= -8\end{aligned}

אחורה

18+8=2618+8=26

הדרך

ההעתק הוא 18−8=1018-8=10. מי שענה 1010 לא חילק את הקטע ב-t=3t=3.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

נתונה F(x)=∫1x(2t−a) dtF(x)=\int_1^x (2t-a)\,dt, כאשר aa פרמטר. ל-FF יש נקודת מינימום ב-x=3x=3. מצאו את ערך המינימום.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

F ′(3)=6−a=0 ⇒ a=6\begin{aligned}F\,'(3) &= 6-a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

המשפט היסודי

F(3)=[t2−6t]13=(9−18)−(1−6)=−4\begin{aligned}F(3) &= \big[t^2-6t\big]_1^3 \\ &= (9-18)-(1-6) \\ &= -4\end{aligned}

קדומה ושני גבולות

מי שקיבל −9-9 שכח את הגבול התחתון 11: F(1)F(1) חייב להיות 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון 0<k<π0<k<\pi. השטח המוגבל על ידי הגרף של y=sin⁡xy=\sin x, ציר ה-xx והישר x=kx=k (בקטע 0≤x≤k0 \leq x \leq k) הוא 1.51.5. מצאו את kk. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.09

Corrigé :

∫0ksin⁡x dx=1−cos⁡k\int_0^k \sin x\,dx=1-\cos k

sin⁡x≥0\sin x \geq 0 בקטע

1−cos⁡k=1.5 ⇒ cos⁡k=−12\begin{aligned}1-\cos k &= 1.5 \ \Rightarrow \ \cos k \\ &= -\tfrac{1}{2}\end{aligned}

משוואה

k=2π3≈2.09k=\tfrac{2\pi}{3} \approx 2.09

הפתרון היחיד ב-(0,π)(0,\pi)

השטח המקסימלי האפשרי הוא 22 (ב-k=πk=\pi), ולכן 1.51.5 אפשרי. k=π3k=\frac{\pi}{3} נותן cos⁡k=+12\cos k=+\frac{1}{2}: טעות סימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של y=sin⁡2xy=\sin 2x ו-y=sin⁡xy=\sin x בקטע [0, π3]\left[0,\,\frac{\pi}{3}\right].

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

sin⁡2x=sin⁡x ⇒ sin⁡x(2cos⁡x−1)=0 ⇒ x=0 π3\begin{aligned}\sin 2x &= \sin x \ \Rightarrow \ \sin x(2\cos x-1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ \tfrac{\pi}{3}\end{aligned}

חיתוכים

x=π6: sin⁡2x=32>sin⁡x=12\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{6}: \ \sin 2x \\ &= \tfrac{\sqrt{3}}{2}>\sin x \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

העליון: sin⁡2x\sin 2x

[−12cos⁡2x+cos⁡x]0π/3=(14+12)−(−12+1)=14\begin{aligned}\Big[-\tfrac{1}{2}\cos 2x+\cos x\Big]_0^{\pi/3} &= \Big(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}\Big)-\Big(-\tfrac{1}{2}+1\Big) \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

עליון פחות תחתון

cos⁡2π3=−12\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}, ולכן −12cos⁡2π3=+14-\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{3}=+\frac{1}{4}. זה המקום שבו הסימן הולך לאיבוד.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe