סימולציית בגרות 1

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סימולציית בגרות 1 — שאלון 35571, 5 יח״ל. המבנה של תשפ״ז: ארבעה פרקים, 8 שאלות, 3 שעות ו-45 דקות. עליכם לענות על 5 שאלות: לפחות שאלה אחת מהפרק הראשון או מהפרק השני, ולפחות שאלה אחת מכל אחד מהפרקים השלישי והרביעי. לכל שאלה 20 נקודות. פרק ראשון — שאלות קצרות: שאלה 1, ובה ארבעה סעיפים; מי שבוחר בה עונה על 2 סעיפים מתוך 4. פרק שני — אינדוקציה, סדרות והסתברות: שאלות 2 ו-3. פרק שלישי — גאומטריה וטריגונומטריה במישור: שאלות 4 ו-5. פרק רביעי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלות 6, 7 ו-8. מותר להשתמש בנוסחאון ל-5 יח״ל ובמחשבון שאינו גרפי. שאלה 1: אינדוקציה, פונקציית צבירה, משיקים ומרובע חסום, אסימפטוטות. שאלה 2: סדרה הנדסית אינסופית. שאלה 3: הסתברות מותנית, ברנולי ו«עד ההצלחה הראשונה». שאלה 4: משיק וחותך. שאלה 5: משפט הסינוסים ומעגל חסום. שאלה 6: פונקציה רציונלית עם פרמטר. שאלה 7: פונקציה טריגונומטרית. שאלה 8: בעיית קיצון בחצי מעגל.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, כדי שתוכלו להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. לפני שמתחילים לכתוב, הקדישו חמש דקות לבחירה: עברו על כל השאלות וסמנו את חמש השאלות שאתם בטוחים בהן. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה; בחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון; והציבו את הזוויות במחשבון במצב הנכון — מעלות או רדיאנים.

Exercices

Question 1 — questions courtes (question (סעיף) a : récurrence)

Exercice 1

On donne (נתונה) l'affirmation (טענה) : 1⋅3+2⋅4+3⋅5+⋯+n(n+2)=n(n+1)(2n+a)61 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+a)}{6} pour tout nn entier naturel (טבעי), et aa est une constante (מספר קבוע). Question (סעיף) a (1). Déterminez (מצאו) aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

n=1: 1⋅3=1⋅2⋅(2+a)6\begin{aligned}n &= 1: \ 1 \cdot 3 \\ &= \frac{1 \cdot 2 \cdot (2 + a)}{6}\end{aligned}

On remplace (מציבים) n=1n = 1 : dans le membre (אגף שמאל) de gauche, il n'y a qu'un seul terme (מחובר)

3=2+a3⇒a=7\begin{aligned}3 &= \frac{2 + a}{3} \Rightarrow a \\ &= 7\end{aligned}

On résout

n=2: 3+8=11=2⋅3⋅116\begin{aligned}n &= 2: \ 3 + 8 \\ &= 11 \\ &= \frac{2 \cdot 3 \cdot 11}{6}\end{aligned}

Vérification avec n=2n = 2

a=7a = 7. Le piège (מלכודת) : écrire dans le membre (אגף שמאל) de gauche 1+3=41 + 3 = 4 — le premier terme (מחובר) est un produit (מכפלה), 1⋅31 \cdot 3, et non pas deux termes (מחובר).

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Exercice 2

On donne (נתונה) l'affirmation (טענה) : 1⋅3+2⋅4+3⋅5+⋯+n(n+2)=n(n+1)(2n+a)61 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+a)}{6} pour tout nn entier naturel (טבעי), et aa est une constante (מספר קבוע). On a trouvé a=7a = 7. Question (סעיף) a (2). À l'étape de l'hérédité, on suppose que l'affirmation (טענה) est vraie (נכונה) pour n=kn = k, et on ajoute aux deux membres (אגף שמאל) le terme (מחובר) (k+1)(k+3)(k+1)(k+3). Après factorisation par le facteur commun (גורם המשותף) k+16\frac{k+1}{6}, il reste entre parenthèses (סוגריים) l'expression algébrique (ביטוי) k(2k+7)+6(k+3)k(2k+7) + 6(k+3). Complétez (השלימו) :

k(2k+7)+6(k+3)=2k2+k(2k+7) + 6(k+3) = 2k^2 + ____ k+18=(k+2)(2k+k + 18 = (k+2)(2k + ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : k(2k+7)+6(k+3)=2k2+k(2k+7) + 6(k+3) = 2k^2 + 13 k+18=(k+2)(2k+k + 18 = (k+2)(2k + 9 ))

Corrigé :

k(2k+7)+6(k+3)=2k2+7k+6k+18=2k2+13k+18\begin{aligned}k(2k+7) + 6(k+3) &= 2k^2 + 7k + 6k + 18 \\ &= 2k^2 + 13k + 18\end{aligned}

פותחים סוגריים

2k2+13k+18=(k+2)(2k+9)2k^2 + 13k + 18 = (k+2)(2k+9)

Factorisation du trinôme du second degré (טרינום)

(k+1)(k+2)(2k+9)6=(k+1)(k+2)(2(k+1)+7)6\frac{(k+1)(k+2)(2k+9)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+7)}{6}

C'est exactement l'affirmation (טענה) pour n=k+1n = k+1

Le but est (k+1)(k+2)(2k+9)6\frac{(k+1)(k+2)(2k+9)}{6} : chaque nn est remplacé par k+1k+1, donc 2n+72n + 7 devient 2k+92k + 9. Le piège (מלכודת) : ajouter le terme (d’une somme) (מחובר) k(k+2)k(k+2) — le nouveau terme (d’une somme) (מחובר) est le (k+1)(k+1), (k+1)(k+3)(k+1)(k+3).

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Question 1 — questions courtes (question (a, b, c…) (סעיף) b : fonction (פונקציה) d'accumulation)

Exercice 3

הגרף של f
01234-2-11234xy

Sur la figure (שרטוט), voici le graphe, courbe représentative (גרף) de la fonction (פונקציה) ff sur l'intervalle 0≤x≤40 \le x \le 4. Le graphe, courbe représentative (גרף) coupe (חותך) l'axe (ציר) des xx aux point (נקודות) x=1x = 1 et x=3x = 3. L'aire délimitée (sous la courbe) (שטח הכלוא) entre le graphe, courbe représentative (גרף) ff et l'axe (ציר) des xx sur l'intervalle 0≤x≤10 \le x \le 1 est 43\frac{4}{3}, et également sur l'intervalle 1≤x≤31 \le x \le 3 l'aire (שטח) est 43\frac{4}{3}. On définit g(x)=∫0xf(t) dtg(x) = \int_0^x f(t)\,dt. Question (a, b, c…) (סעיף) b (1). Pour quel xx la fonction (פונקציה) gg admet-elle un maximum (נקודת מקסימום) local, sur l'intervalle 0<x<40 < x < 4 ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

g′(x)=f(x)g'(x) = f(x)

Le théorème (משפט) fondamental : la dérivée (נגזרת) de la fonction intégrale (cumul) (פונקציית הצבירה) est la fonction (פונקציה) située sous l'intégrale (אינטגרל)

0<x<1: g′>0,1<x<3: g′<00<x<1: \ g'>0, \quad 1<x<3: \ g'<0

D'après le graphe, courbe représentative (גרף) : ff est positif (חיובית) puis négatif (שלילית)

x=1x = 1

gg croît puis est une fonction (ou suite) décroissante (יורדת) — maximum (מקסימום)

Le maximum (מקסימום) de gg est en x=1x = 1, où ff passe de positif (חיובית) à négatif (שלילית). Le piège (מלכודת) : répondre x=2x = 2, le minimum (מינימום) de ff — c'est là que la dérivée (נגזרת) de gg est minimale, et c'est un point d’inflexion (נקודת פיתול) de gg, pas un extremum (קיצון).

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Exercice 4

הגרף של f
01234-2-11234xy

Sur la figure (שרטוט), voici le graphe (גרף) de la fonction (פונקציה) ff sur l'intervalle 0≤x≤40 \le x \le 4. Le graphe coupe (חותך) l'axe (ציר) des xx aux points (נקודות) x=1x = 1 et x=3x = 3. L'aire délimitée (sous la courbe) (שטח הכלוא) entre le graphe ff et l'axe des xx sur l'intervalle 0≤x≤10 \le x \le 1 est 43\frac{4}{3}, et également sur l'intervalle 1≤x≤31 \le x \le 3 l'aire (שטח) est 43\frac{4}{3}. On définit g(x)=∫0xf(t) dtg(x) = \int_0^x f(t)\,dt. Question (a, b, c…) (סעיף) b (2). Calculez (חשבו) g(3)g(3).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

∫01f(t) dt=43\int_0^1 f(t)\,dt = \frac{4}{3}

Sur cet intervalle, le graphe est au-dessus de l'axe : l'intégrale (אינטגרל) est égale à l'aire

∫13f(t) dt=−43\int_1^3 f(t)\,dt = -\frac{4}{3}

Ici, le graphe est en dessous de l'axe : l'intégrale (אינטגרל) est égale à l'opposé de l'aire

g(3)=43−43=0\begin{aligned}g(3) &= \frac{4}{3} - \frac{4}{3} \\ &= 0\end{aligned}

Additivité de l'intégrale (אינטגרל)

g(3)=0g(3) = 0. Le piège (מלכודת) : additionner les deux aires et obtenir 83\frac{8}{3} — l'intégrale (אינטגרל) sur un segment (קטע) où le graphe est en dessous de l'axe (ציר) des xx est négatif (שלילי).

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Question 1 — Questions courtes (question (a, b, c…) (סעיף) c : géométrie)

Exercice 5

50°OABPC

D'un point (נקודה) PP situé à l'extérieur d'un cercle (מעגל) dont le centre (מרכזו) est OO partent deux tangente (משיקים) au cercle (מעגל), PAPA et PBPB (AA et BB sont les point de tangence (de contact) (נקודות ההשקה)). Le point (נקודה) CC se trouve sur le grand arc (קשת) ABAB. On donne (נתון) ∠APB=50∘\angle APB = 50^\circ. Question (a, b, c…) (סעיף) c (1). Quel théorème (משפט) garantit que l'on peut inscrit (חסום) le quadrilatère (מרובע) PAOBPAOB dans un cercle (מעגל) ?

  1. Des angles inscrits qui interceptent le même arc (קשת) sont égaux
  2. Deux tangente (משיקים) à un cercle (מעגל) issues d'un même point (נקודה) sont égales entre elles
  3. Un quadrilatère (מרובע) dans lequel la somme d'une paire d'angles opposés (côtés, angles) (זוויות נגדיות) vaut 180∘180^\circ — on peut l'inscrit (חסום) dans un cercle (מעגל)
  4. Dans un parallélogramme, chaque paire d'angles opposés (côtés, angles) (זוויות נגדיות) sont égaux
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C Un quadrilatère (מרובע) dans lequel la somme d'une paire d'angles opposés (côtés, angles) (זוויות נגדיות) vaut 180∘180^\circ — on peut l'inscrit (חסום) dans un cercle (מעגל)

Corrigé :

∠OAP=∠OBP=90∘\begin{aligned}\angle OAP &= \angle OBP \\ &= 90^\circ\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

∠OAP+∠OBP=180∘\angle OAP + \angle OBP = 180^\circ

שתי הזוויות נגדיות במרובע PAOBPAOB

⇒\Rightarrow

Un quadrilatère (מרובע) dans lequel la somme (סכום) d'une paire d'angles opposés (זוויות נגדיות) est 180∘180^\circ — est inscrit (חסום) dans un cercle (מעגל)

La réponse juste (נכונה) : la somme (סכום) d'une paire d'angles opposés (côtés, angles) (זוויות נגדיות) vaut 180∘180^\circ. Le piège (מלכודת) : « deux tangentes (משיקים) sont égales » — c'est vrai, mais l'égalité (שוויון) des côtés (צלעות) ne dit rien sur le fait d'être inscrit (חסום) dans un cercle (מעגל) ; et on utilise les angles inscrits (זוויות היקפיות) après avoir su qu'il y a un cercle (מעגל).

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Exercice 6

50°OABPC

D'un point (נקודה) PP extérieur au cercle (מעגל) de centre (מרכזו) OO partent deux tangentes (משיקים) au cercle (מעגל), PAPA et PBPB (AA et BB sont les points de tangence (de contact) (נקודות ההשקה)). Le point (נקודה) CC se trouve sur le grand arc (קשת) ABAB. On donne (נתון) ∠APB=50∘\angle APB = 50^\circ. Question (a, b, c…) (סעיף) c (2). Calculez (חשבו) ∠ACB\angle ACB (en degrés (מעלות)).

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Réponse : 65

Corrigé :

∠AOB=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘\begin{aligned}\angle AOB &= 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ \\ &= 130^\circ\end{aligned}

La somme (סכום) des angles (זוויות) dans le quadrilatère (מרובע) PAOBPAOB est 360∘360^\circ

∠ACB=130∘2=65∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{130^\circ}{2} \\ &= 65^\circ\end{aligned}

Un angle inscrit (זווית היקפית) est égal à la moitié de l'angle au centre (זווית המרכזית) qui intercepte (נשענת) le même arc (קשת).

∠ACB=65∘\angle ACB = 65^\circ. Le piège (מלכודת) : répondre 130∘130^\circ en oubliant de diviser par 22 ; ou 50∘50^\circ — recopier l'angle (זווית) en PP, qui n'est pas un angle inscrit (זווית היקפית).

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Question 1 — questions courtes (question (סעיף) d : asymptote (אסימפטוטות))

Exercice 7

On donne (נתונה) la fonction (פונקציה) f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3}. question (סעיף) d (1). Calculez (חשבו) l'aire (שטח) du domaine délimité par les deux asymptote (אסימפטוטות) de ff et les axe (צירים).

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Réponse : 6

Corrigé :

x=3x = 3

Asymptote verticale (אסימפטוטה אנכית) : le dénominateur (מכנה) s’annule (מתאפס) et pas le numérateur (מונה)

y=21=2\begin{aligned}y &= \frac{2}{1} \\ &= 2\end{aligned}

Asymptote horizontale (אסימפטוטה אופקית) : le degré du numérateur (מונה) est égal au degré du dénominateur (מכנה), le rapport (יחס) des coefficient (מקדמים) dominants

S=3⋅2=6\begin{aligned}S &= 3 \cdot 2 \\ &= 6\end{aligned}

Côté (צלעות) du rectangle (מלבן) : la distance (מרחק) de chaque asymptote (אסימפטוטות) à l'axe (צירים) qui lui est parallèles (מקביל)

L'aire (שטח) est 66. Le piège (מלכודת) : prendre y=0y = 0 comme asymptote horizontale (אסימפטוטה אופקית) « parce que c'est une fraction (שבר) » — quand les degrés (מעלות) sont égaux, l'asymptote (אסימפטוטה) est le rapport (יחס) des coefficients (מקדמים).

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Exercice 8

On donne (נתונה) la fonction (פונקציה) f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3}. On définit g(x)=f(x)+mg(x) = f(x) + m et m>0m > 0. Question (סעיף) d (2). L'aire (שטח) du domaine délimité par les deux asymptotes (אסימפטוטה) de gg et les axes (צירים) est 1515. Déterminez (מצאו) mm.

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Réponse : 3

Corrigé :

x=3y=2+m\begin{aligned}x &= 3 \\ \quad y &= 2 + m\end{aligned}

Une translation verticale (הזזה אנכית) ne déplace que l'asymptote horizontale (אסימפטוטה אופקית)

3(2+m)=15⇒m=3\begin{aligned}3(2 + m) &= 15 \Rightarrow m \\ &= 3\end{aligned}

Aire (שטח) du rectangle (מלבן)

m=3m = 3. Le piège (מלכודת) : déplacer aussi l'asymptote verticale (אסימפטוטה האנכית) — ajouter une constante (קבוע) à la fonction (פונקציה) déplace la courbe représentative (גרף) vers le haut, et la droite (ישר) x=3x = 3 reste à sa place.

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Question 2 — suite géométrique infinie

Exercice 9

On donne (נתונה) une suite géométrique infinie (somme) (סדרה הנדסית אינסופית) ana_n dont tous les termes (איברים) sont positifs (חיוביים), et dont le quotient (מנה) qq vérifie 0<q<10 < q < 1. On définit une nouvelle suite (סדרה) : bn=an+an+1b_n = a_n + a_{n+1}. a. La suite (סדרה) bnb_n est géométrique. Quel est son quotient (מנה) ?

  1. q2q^2
  2. qq
  3. 2q2q
  4. 1+q1 + q
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Réponse : B qq

Corrigé :

bn+1bn=an+1+an+2an+an+1\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_{n+1} + a_{n+2}}{a_n + a_{n+1}}

Quotient (מנה) de deux termes (איברים) consécutifs (עוקבים)

=qan+qan+1an+an+1=q= \frac{q a_n + q a_{n+1}}{a_n + a_{n+1}} = q

Chaque terme (איברים) de ana_n est le précédent fois (כפול) qq

Le quotient (מנה) est qq : le quotient (מנה) est constante (קבועה), et donc bnb_n est géométrique. Le piège (מלכודת) : 1+q1 + q — c'est le rapport (יחס) b1a1\frac{b_1}{a_1}, pas le rapport (יחס) entre deux termes (איברים) consécutifs (עוקבים) de bnb_n.

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Exercice 10

On donne (נתונה) une suite géométrique infinie (somme) (סדרה הנדסית אינסופית) ana_n dont tous les termes sont positifs (חיוביים), et dont la raison qq vérifie 0<q<10 < q < 1. On définit une nouvelle suite (סדרה) : bn=an+an+1b_n = a_n + a_{n+1}. Donnée (נתון) : la somme (סכום) de tous les termes de ana_n vaut 3636, et la somme (סכום) de tous les termes de bnb_n vaut 6060. b. Trouvez, déterminez (מצאו) a1a_1 et qq (arrondissez (עגלו) qq à deux chiffres après la virgule (décimales) (ספרות אחרי הנקודה)).

a1=a_1 = ____ , q=q = ____

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Réponse : a1=a_1 = 12 , q=q = 0.67

Corrigé :

b1=a1+a2=a1(1+q)\begin{aligned}b_1 &= a_1 + a_2 \\ &= a_1(1 + q)\end{aligned}

Le premier terme (איבר הראשון) de bnb_n, et sa raison qq

a1(1+q)1−q=(1+q)⋅36=60\begin{aligned}\frac{a_1(1+q)}{1-q} &= (1+q) \cdot 36 \\ &= 60\end{aligned}

Somme (סכום) d'une suite géométrique infinie (somme) (סדרה הנדסית אינסופית) convergente (מתכנסת), a11−q\frac{a_1}{1-q}

1+q=53⇒q=23\begin{aligned}1 + q &= \frac{5}{3} \Rightarrow q \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}
a1=36(1−23)=12\begin{aligned}a_1 &= 36 \left(1 - \frac{2}{3}\right) \\ &= 12\end{aligned}

a1=12a_1 = 12 et q=23q = \frac{2}{3}. Le piège (מלכודת) : calculez (חשב) la somme (סכום) de bnb_n avec a1a_1 au lieu de b1=a1(1+q)b_1 = a_1(1+q).

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Exercice 11

On donne (נתונה) une suite géométrique infinie (somme) (סדרה הנדסית אינסופית) ana_n dont tous les termes (איברים) sont positifs (חיוביים), et dont le quotient (מנה) qq vérifie 0<q<10 < q < 1. On définit une nouvelle suite (סדרה) : bn=an+an+1b_n = a_n + a_{n+1}. Trouvons a1=12a_1 = 12 et q=23q = \frac{2}{3}. ג. Calculez (חשבו) la somme (סכום) des termes (איברים) de ana_n situés aux rangs pairs (זוגיים) : a2+a4+a6+…a_2 + a_4 + a_6 + \dots

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14.4

Corrigé :

a2=12⋅23=8\begin{aligned}a_2 &= 12 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 8\end{aligned}

Le premier terme (איבר הראשון) de la sous-suite (סדרה)

a4a2=q2=49\begin{aligned}\frac{a_4}{a_2} &= q^2 \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

On saute un terme (איברים) : le quotient (מנה) de la sous-suite (סדרה) est q2q^2

S=81−49=725=14.4\begin{aligned}S &= \frac{8}{1 - \frac{4}{9}} \\ &= \frac{72}{5} \\ &= 14.4\end{aligned}

Somme (סכום) d'une suite géométrique infinie (somme) (סדרה הנדסית אינסופית)

La somme (סכום) 14.414.4. Le piège (מלכודת) : garder le quotient (מנה) qq et obtenir 2424 — entre a2a_2 et a4a_4, il y a deux « sauts, bonds » (קפיצות).

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Exercice 12

On donne (נתונה) une suite géométrique infinie (somme) (סדרה הנדסית אינסופית) ana_n dont tous les termes (איברים) sont positifs (חיוביים), et dont la raison qq vérifie 0<q<10 < q < 1. On définit une nouvelle suite (סדרה) : bn=an+an+1b_n = a_n + a_{n+1}. Trouvons a1=12a_1 = 12 et q=23q = \frac{2}{3}. ד. Quel est le rang du premier terme (איבר הראשון) de la suite (סדרה) ana_n qui est inférieur à 11 ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

an=12⋅(23)n−1<1a_n = 12 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} < 1

Le terme général (איבר הכללי)

a7=12⋅64729≈1.05a8=12⋅1282187≈0.70\begin{aligned}a_7 &= 12 \cdot \frac{64}{729} \approx 1.05 \\ \quad a_8 &= 12 \cdot \frac{128}{2187} \approx 0.70\end{aligned}

La suite est décroissante (סדרה יורדת) : on vérifie des termes (איברים) consécutifs (עוקבים)

n=8n = 8

Le huitième terme (איברים). Le piège (מלכודת) : s'arrêter à a7≈1.05a_7 \approx 1.05, qui semble « presque 11 » — il est encore supérieur à 11.

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Question 3 — Probabilité conditionnelle et binomiale

Exercice 13

Dans une certaine ville, il pleut une fraction pp des jours (ימים). Un jour de pluie, la probabilité (הסתברות) que le train du matin soit en retard est de 0.40.4, et un jour sans pluie, la probabilité (הסתברות) est de 0.10.1. A. Quelle est la probabilité (הסתברות) que le train du matin soit en retard un jour choisi au hasard (אקראי), en fonction (פונקציה) de pp ?

  1. 0.4p+0.10.4p + 0.1
  2. 0.5p0.5p
  3. 0.1+0.3p0.1 + 0.3p
  4. 0.4p0.4p
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 0.1+0.3p0.1 + 0.3p

Corrigé :

P=p⋅0.4+(1−p)⋅0.1P = p \cdot 0.4 + (1 - p) \cdot 0.1

Formule des probabilités totales (נוסחת ההסתברות השלמה) : deux branches dans l'arbre

=0.1+0.3p= 0.1 + 0.3p

מכנסים איברים

La juste (נכונה) : 0.1+0.3p0.1 + 0.3p. Le piège (מלכודת) : 0.4p+0.10.4p + 0.1 — oublier que la branche d'un jour sans pluie est (1−p)⋅0.1(1 - p) \cdot 0.1, et non 0.10.1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

Dans une certaine ville, il pleut une fraction pp des jours (ימים). Un jour de pluie, la probabilité (הסתברות) que le train du matin soit en retard est de 0.40.4, et un jour sans pluie, la probabilité (הסתברות) est de 0.10.1. La probabilité (הסתברות) que le train soit en retard un jour au hasard (אקראי) est de 0.1+0.3p0.1 + 0.3p. On sait qu'un certain jour le train était en retard, et la probabilité (הסתברות) qu'il ait plu ce jour-là est de 0.50.5. ב. Trouvez (מצאו) pp.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2

Corrigé :

P(גשם∣איחור)=0.4p0.1+0.3pP(\text{גשם} \mid \text{איחור}) = \frac{0.4p}{0.1 + 0.3p}

Probabilité conditionnelle (הסתברות מותנית) : l'intersection divisé par (חלקי) la condition (תנאי)

0.4p0.1+0.3p=0.5⇒0.4p=0.05+0.15p\begin{aligned}\frac{0.4p}{0.1 + 0.3p} &= 0.5 \Rightarrow 0.4p \\ &= 0.05 + 0.15p\end{aligned}

On multiplie par le dénominateur (מכנה)

0.25p=0.05⇒p=0.2\begin{aligned}0.25p &= 0.05 \Rightarrow p \\ &= 0.2\end{aligned}

p=0.2p = 0.2. Le piège (מלכודת) : écrire au dénominateur (מכנה) pp au lieu de P(retard)P(\text{retard}) — la condition (תנאי) est le retard, et elle est au dénominateur (מכנה).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

Dans une certaine ville, il pleut une fraction pp des jours (ימים). Un jour de pluie, la probabilité (הסתברות) que le train du matin soit en retard est 0.40.4, et un jour sans pluie, la probabilité (הסתברות) est 0.10.1. On a trouvé p=0.2p = 0.2, donc la probabilité (הסתברות) que le train soit en retard un jour aléatoire (אקראי) est 0.160.16. On choisit au hasard (אקראי) 5 jours (ימים) ; ce qui se passe un jour donné ne dépend pas de ce qui se passe un autre jour. c. Quelle est la probabilité (הסתברות) que le train soit en retard exactement deux jours sur (מתוך) les cinq ? (arrondissez (עגלו) à trois chiffres après la virgule (décimales) (ספרות אחרי הנקודה))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.152

Corrigé :

P=(52)⋅0.162⋅0.843P = \binom{5}{2} \cdot 0.16^2 \cdot 0.84^3

formule de la loi binomiale (נוסחת ברנולי) : n=5n = 5, k=2k = 2

=10⋅0.0256⋅0.5927≈0.152= 10 \cdot 0.0256 \cdot 0.5927 \approx 0.152

La probabilité (הסתברות) ≈0.152\approx 0.152. Le piège (מלכודת) : oublier (52)=10\binom{5}{2} = 10 — il y a dix ordres différents pour deux jours de retard.

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Exercice 16

Dans une certaine ville, il pleut une fraction pp des jours (ימים). Un jour de pluie, la probabilité (הסתברות) que le train du matin soit en retard est de 0.40.4, et un jour sans pluie, la probabilité (הסתברות) est de 0.10.1. On a trouvé que la probabilité (הסתברות) que le train soit en retard un jour aléatoire (אקראי) est de 0.160.16, et les jours (ימים) sont indépendants (בלתי תלויים). Un nouveau voyageur commence à prendre le train du matin tous les jours. d. Quelle est la probabilité (הסתברות) que le premier retard qu'il rencontre ait lieu le quatrième jour de son trajet (נסיעה) ? (arrondissez (עגלו) à trois chiffres après la virgule (décimales) (ספרות אחרי הנקודה))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.095

Corrigé :

P=0.84⋅0.84⋅0.84⋅0.16P = 0.84 \cdot 0.84 \cdot 0.84 \cdot 0.16

Trois jours (ימים) sans retard, puis un retard : un seul ordre possible

=0.843⋅0.16≈0.095= 0.84^3 \cdot 0.16 \approx 0.095

La probabilité (הסתברות) ≈0.095\approx 0.095. Le piège (מלכודת) : multiplier par (41)=4\binom{4}{1} = 4 — ici l'ordre est constante (קבוע) : le retard doit obligatoirement avoir lieu le quatrième jour, et non pas « l'un des quatre jours (ימים) ».

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Question 4 — tangente (משיק) et sécante (חותך)

Exercice 17

ABCP

D'un point (נקודה) PP situé à l'extérieur du cercle (מעגל) partent une tangente (משיק) PAPA (AA est le point de tangence (de contact) (נקודת ההשקה)) et une sécante (חותך) qui coupe (חותך) le cercle (מעגל) aux points (נקודה) BB et CC (BB est entre PP et CC). a. Démontrez (הוכיחו) : △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA.

  • PAPA est tangente (משיק) au cercle (מעגל) au point (נקודה) AA
  • PP, BB, CC sont sur une même droite

△PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠APB=∠CPA\angle APB = \angle CPA — angle (זווית) commun aux deux triangles
  2. ∠PAB=∠PCA\angle PAB = \angle PCA — L'angle (זווית) entre une tangente (משיק) et une corde (מיתר) est égal à l'angle inscrit (היקפית) qui intercepte la corde (מיתר) de l'autre côté
  3. △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA — Théorème de similitude A-A

Corrigé :

∠APB=∠CPA\angle APB = \angle CPA

angle (זווית) commun

∠PAB=∠PCA\angle PAB = \angle PCA

L'angle (זווית) entre une tangente (משיק) et la corde (מיתר) ABAB est égal à l'angle inscrit (היקפית) situé en face

△PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA

A-A

La correspondance : P→PP \to P, A→CA \to C, B→AB \to A. Le piège (מלכודת) : faire correspondre BB à CC « parce qu'ils sont tous les deux sur la sécante (חותך) » — les angles (זוויות) égaux sont près de AA dans le petit triangle (משולש) et près de CC dans le grand.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

ABCP

D'un point (נקודה) PP situé à l'extérieur du cercle (מעגל) partent une tangente (משיק) PAPA (AA est le point de tangence (de contact) (נקודת ההשקה)) et une sécante (חותך) qui coupe (חותך) le cercle (מעגל) aux points BB et CC (BB est entre PP et CC). Démontrez : △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA. On donne (נתון) PB=4PB = 4 et BC=5BC = 5. ב. Calculez (חשבו) PAPA.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

PAPC=PBPA\frac{PA}{PC} = \frac{PB}{PA}

Rapport (יחס) des côtés (צלעות) correspondants dans des triangles semblables (משולשים דומים)

PA2=PB⋅PC=4⋅9=36\begin{aligned}PA^2 &= PB \cdot PC \\ &= 4 \cdot 9 \\ &= 36\end{aligned}

PC=PB+BC=9PC = PB + BC = 9

PA=6PA = 6

PA=6PA = 6. Le piège (מלכודת) : multiplier PB⋅BC=20PB \cdot BC = 20 — dans le produit (מכפלה), toute la sécante (חותך) participe, PC=9PC = 9, et pas seulement la partie à l'intérieur du cercle (מעגל).

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Exercice 19

ABCP

D'un point (נקודה) PP situé à l'extérieur du cercle (מעגל) partent une tangente (משיק) PAPA (AA est le point de tangence (de contact) (נקודת ההשקה)) et une sécante (חותך) qui coupe (חותך) le cercle aux points BB et CC (BB est entre PP et CC). Prouvez : △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA, et on trouve PA=6PA = 6, PB=4PB = 4, PC=9PC = 9. On donne (נתון) aussi AB=5AB = 5. c. Calculez (חשבו) ACAC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.5

Corrigé :

ABCA=PAPC\frac{AB}{CA} = \frac{PA}{PC}

Rapport (יחס) des côtés (צלעות) homologues : AB↔CAAB \leftrightarrow CA, PA↔PCPA \leftrightarrow PC

5AC=69⇒AC=7.5\begin{aligned}\frac{5}{AC} &= \frac{6}{9} \Rightarrow AC \\ &= 7.5\end{aligned}

AC=7.5AC = 7.5. Le piège (מלכודת) : inverser le rapport (יחס) et obtenir AC=103AC = \frac{10}{3} — ACAC est dans le grand triangle (משולש), et c'est donc le plus long des deux côtés.

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Exercice 20

ABCP

D'un point (נקודה) PP situé à l'extérieur d'un cercle (מעגל) partent une tangente (משיק) PAPA (AA est le point de tangence (de contact) (נקודת ההשקה)) et une sécante (חותך) qui coupe (חותך) le cercle aux points (נקודה) BB et CC (BB se trouve entre PP et CC). Démontrez : △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA, et on trouve PA=6PA = 6, PB=4PB = 4, PC=9PC = 9. d. Quel est le rapport (יחס) S△ABCS△PAB\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle PAB}} ?

  1. 54\frac{5}{4}
  2. 59\frac{5}{9}
  3. 49\frac{4}{9}
  4. 94\frac{9}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 54\frac{5}{4}

Corrigé :

SPCASPAB=(PCPA)2=(96)2=94\begin{aligned}\frac{S_{PCA}}{S_{PAB}} &= \left(\frac{PC}{PA}\right)^2 \\ &= \left(\frac{9}{6}\right)^2 \\ &= \frac{9}{4}\end{aligned}

Le rapport des aires (יחס השטחים) de triangles semblables (משולשים דומים) est égal au carré (ריבוע) du rapport de similitude (יחס הדמיון)

SABC=SPCA−SPAB=54SPAB\begin{aligned}S_{ABC} &= S_{PCA} - S_{PAB} \\ &= \frac{5}{4} S_{PAB}\end{aligned}

Le triangle (משולש) PCAPCA est composé de PABPAB et de ABCABC

BCPB=54\frac{BC}{PB} = \frac{5}{4}

Vérification : les deux triangles (משולש) ont la même hauteur (גובה) issue de AA

La réponse vrai, juste (נכונה) : 54\frac{5}{4}. Le piège (מלכודת) : 94\frac{9}{4} — c'est le rapport (יחס) entre les triangles semblables (משולשים דומים), et ABCABC n'en fait pas partie.

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Question 5 — Trigonométrie dans le cercle (מעגל) circonscrit

Exercice 21

ααABCO

Le triangle (משולש) ABCABC est un triangle isocèle (שווה-שוקיים) (AB=ACAB = AC) inscrit (חסום) dans un cercle (מעגל) dont le centre (מרכזו) est OO et le rayon (רדיוסו) est RR. Les angles à la base (זוויות הבסיס) : ∠ABC=∠ACB=α\angle ABC = \angle ACB = \alpha. a. Exprimez (הביעו) BCBC à l'aide de RR et α\alpha.

  1. 2Rsin⁡α2R\sin\alpha
  2. 2Rcos⁡α2R\cos\alpha
  3. Rsin⁡2αR\sin 2\alpha
  4. 2Rsin⁡2α2R\sin 2\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 2Rsin⁡2α2R\sin 2\alpha

Corrigé :

∠BAC=180∘−2α\angle BAC = 180^\circ - 2\alpha

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

BCsin⁡∠BAC=2R\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

BC=2Rsin⁡(180∘−2α)=2Rsin⁡2α\begin{aligned}BC &= 2R\sin(180^\circ - 2\alpha) \\ &= 2R\sin 2\alpha\end{aligned}

sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta

La réponse vraie (נכונה) : 2Rsin⁡2α2R\sin 2\alpha. Le piège (מלכודת) : 2Rsin⁡α2R\sin\alpha — c'est le côté (שוק) ABAB, en face duquel se trouve l'angle à la base ; en face de BCBC se trouve l'angle au sommet principal (זווית הראש).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

ααABCO

Le triangle (משולש) ABCABC est un triangle isocèle (שווה-שוקיים) (AB=ACAB = AC) inscrit (חסום) dans un cercle (מעגל) dont le centre (מרכזו) est OO et le rayon (רדיוסו) est RR. Les angles à la base (זוויות הבסיס) : ∠ABC=∠ACB=α\angle ABC = \angle ACB = \alpha. On a trouvé BC=2Rsin⁡2αBC = 2R\sin 2\alpha. Donnée (נתון) : BCAB=1.6\frac{BC}{AB} = 1.6. b. Trouvez (מצאו) α\alpha (en degrés (מעלות), arrondissez (עגלו) à deux chiffres après la virgule (ספרות אחרי הנקודה)).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36.87

Corrigé :

AB=2Rsin⁡αAB = 2R\sin\alpha

Loi des sinus (משפט הסינוסים) : en face de ABAB se trouve l'angle (זוויות) CC

2Rsin⁡2α2Rsin⁡α=2sin⁡αcos⁡αsin⁡α=2cos⁡α\begin{aligned}\frac{2R\sin 2\alpha}{2R\sin\alpha} &= \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2\cos\alpha\end{aligned}

Sinus (סינוס) d'un angle (זוויות) double

2cos⁡α=1.6⇒cos⁡α=0.8⇒α≈36.87∘\begin{aligned}2\cos\alpha &= 1.6 \Rightarrow \cos\alpha \\ &= 0.8 \Rightarrow \alpha \approx 36.87^\circ\end{aligned}

α≈36.87∘\alpha \approx 36.87^\circ. Le piège (מלכודת) : écrire sin⁡2αsin⁡α=2\frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha} = 2 — c'est une simplification (מצמצמים) du sinus (סינוס), pas de l'angle (זווית).

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Exercice 23

ααABCO

Le triangle (משולש) ABCABC est un triangle isocèle (שווה-שוקיים) (AB=ACAB = AC) inscrit (חסום) dans un cercle (מעגל) dont le centre (מרכזו) est OO et le rayon (רדיוסו) est RR. Les angles à la base (זוויות הבסיס) : ∠ABC=∠ACB=α\angle ABC = \angle ACB = \alpha. On trouve cos⁡α=0.8\cos\alpha = 0.8, et donc sin⁡α=0.6\sin\alpha = 0.6. On donne (נתון) que l'aire (שטח) du triangle (משולש) ABCABC est 17.2817.28. ג. trouvez, déterminez (מצאו) RR.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

AB=AC=2R⋅0.6=1.2R\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 2R \cdot 0.6 \\ &= 1.2R\end{aligned}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

sin⁡∠A=sin⁡2α=2⋅0.6⋅0.8=0.96\begin{aligned}\sin\angle A &= \sin 2\alpha \\ &= 2 \cdot 0.6 \cdot 0.8 \\ &= 0.96\end{aligned}

L'angle au sommet principal (זווית הראש) 180∘−2α180^\circ - 2\alpha

S=12⋅(1.2R)2⋅0.96=0.6912R2\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot (1.2R)^2 \cdot 0.96 \\ &= 0.6912R^2\end{aligned}

Aire (שטח) d'un triangle (משולש) : la moitié (חצי) du produit (מכפלת) de deux côtés (צלעות) par le sinus (סינוס) de l'angle compris (זווית שביניהן)

0.6912R2=17.28⇒R2=25⇒R=5\begin{aligned}0.6912R^2 &= 17.28 \Rightarrow R^2 \\ &= 25 \Rightarrow R \\ &= 5\end{aligned}

R=5R = 5. Le piège (מלכודת) : prendre sin⁡α\sin\alpha dans la formule (נוסחת) de l'aire — l'angle (זווית) entre les deux côtés (שוקיים) égaux est l'angle au sommet principal (זווית הראש).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

ααABCO

Le triangle (משולש) ABCABC triangle isocèle (שווה-שוקיים) (AB=ACAB = AC) est inscrit (חסום) dans un cercle (מעגל) dont le centre (מרכזו) est OO et le rayon (רדיוסו) est RR. Les angles à la base (זוויות הבסיס) : ∠ABC=∠ACB=α\angle ABC = \angle ACB = \alpha. On trouve R=5R = 5, cos⁡α=0.8\cos\alpha = 0.8, et l'aire (שטח) du triangle (משולש) 17.2817.28. ד. Calculez (חשבו) le rayon (רדיוסו) du cercle inscrit (מעגל החסום) dans le triangle (משולש) ABCABC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.6

Corrigé :

AB=AC=6BC=2⋅5⋅0.96=9.6\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 6 \\ \quad BC &= 2 \cdot 5 \cdot 0.96 \\ &= 9.6\end{aligned}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

p=6+6+9.62=10.8\begin{aligned}p &= \frac{6 + 6 + 9.6}{2} \\ &= 10.8\end{aligned}

Le demi (חצי)-périmètre (היקף)

r=Sp=17.2810.8=1.6\begin{aligned}r &= \frac{S}{p} \\ &= \frac{17.28}{10.8} \\ &= 1.6\end{aligned}

L'aire (שטח) d'un triangle (משולש) est égale au produit (מכפלת) du rayon (רדיוסו) du cercle inscrit (מעגל החסום) par le demi (חצי)-périmètre (היקף)

r=1.6r = 1.6. Le piège (מלכודת) : diviser par le périmètre (היקף) entier, 21.621.6, et obtenir 0.80.8 — dans la formule (נוסחה) S=r⋅pS = r \cdot p intervient le demi (חצי)-périmètre (היקף).

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Question 6 — fonction (פונקציה) rationnelle avec paramètre (פרמטר)

Exercice 25

On donne (נתונה) la fonction (פונקציה) f(x)=x2+3x−af(x) = \frac{x^2 + 3}{x - a}, et aa est un paramètre (פרמטר). La fonction (פונקציה) a un extremum (נקודת קיצון) en x=3x = 3. א. Déterminez (מצאו) aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=2x(x−a)−(x2+3)(x−a)2=x2−2ax−3(x−a)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x - a) - (x^2 + 3)}{(x - a)^2} \\ &= \frac{x^2 - 2ax - 3}{(x - a)^2}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

f′(3)=0⇒9−6a−3=0⇒a=1\begin{aligned}f'(3) &= 0 \Rightarrow 9 - 6a - 3 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

En un extremum (נקודת קיצון), la dérivée (נגזרת) s’annule (מתאפסת)

f′(x)=(x−3)(x+1)(x−1)2f'(x) = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}

Vérification : la dérivée (נגזרת) change de signe en x=3x = 3

a=1a = 1. Le piège (מלכודת) : inverser l'ordre au numérateur (מונה) de la dérivée (נגזרת) du quotient (מנה) — « la dérivée (נגזרת) du numérateur (מונה) fois (כפול) le dénominateur (מכנה) moins le numérateur (מונה) fois (כפול) la dérivée (נגזרת) du dénominateur (מכנה) ».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

On donne (נתונה) la fonction (פונקציה) f(x)=x2+3x−af(x) = \frac{x^2 + 3}{x - a}, et aa est un paramètre (פרמטר). La fonction (פונקציה) a un extremum (נקודת קיצון) où x=3x = 3. On trouve a=1a = 1, c'est-à-dire f(x)=x2+3x−1f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} et f′(x)=(x−3)(x+1)(x−1)2f'(x) = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}. ב. Trouvez (מצאו) les extremums (נקודת קיצון) de ff et déterminez (קבעו) leur nature.

Maximum : ( ____ , ____ ) Minimum : ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Maximum : ( -1 , -2 ) Minimum : ( 3 , 6 )

Corrigé :

x<−1:f′>0;−1<x<1:f′<0x < -1: f' > 0; \quad -1 < x < 1: f' < 0

Tableau de signes (de variations) (טבלת סימנים), avec x=1x = 1 qui n'est pas dans le domaine

1<x<3:f′<0;x>3:f′>01 < x < 3: f' < 0; \quad x > 3: f' > 0
f(−1)=4−2=−2f(3)=122=6\begin{aligned}f(-1) &= \frac{4}{-2} \\ &= -2 \\ \quad f(3) &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

Maximum (מקסימום) (−1,−2)(-1, -2) et minimum (מינימום) (3,6)(3, 6). Le piège (מלכודת) : les intervertir parce que −2<6-2 < 6 — la valeur du maximum (מקסימום) local est plus petite que la valeur du minimum (מינימום), et c'est possible car une asymptote (אסימפטוטה) x=1x = 1 les sépare.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 27

On donne (נתונה) la fonction (פונקציה) f(x)=x2+3x−af(x) = \frac{x^2 + 3}{x - a}, et aa est un paramètre (פרמטר). La fonction (פונקציה) a un extremum (נקודת קיצון) où x=3x = 3. On trouve f(x)=x2+3x−1f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}, avec un maximum (מקסימום) (−1,−2)(-1, -2) et un minimum (מינימום) (3,6)(3, 6). ג. Démontrez (הוכיחו) ou réfutez (הפריכו) : l'équation (משוואה) f(x)=4f(x) = 4 a pas de solution (אין פתרון).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x2+3=4(x−1)⇒x2−4x+7=0\begin{aligned}x^2 + 3 &= 4(x - 1) \Rightarrow x^2 - 4x + 7 \\ &= 0\end{aligned}

On multiplie par le dénominateur (מכנה)

Δ=16−28<0\Delta = 16 - 28 < 0

Pas de solution (אין פתרון) en nombre réel (ממשי)

x<1:f≤−2;x>1:f≥6x < 1: f \le -2; \quad x > 1: f \ge 6

Et sur le graphe, courbe représentative (גרף) : les valeurs entre −2-2 et 66 ne sont pas atteintes

Vrai, juste (נכון) : pas de solution (אין פתרון). Le piège (מלכודת) : penser que toute valeur entre le maximum (מקסימום) et le minimum (מינימום) est atteinte — ici le maximum (מקסימום) est en dessous du minimum (מינימום), et la fonction (פונקציה) « saute » par-dessus la bande −2<y<6-2 < y < 6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 28

On donne (נתונה) la fonction (פונקציה) f(x)=x2+3x−af(x) = \frac{x^2 + 3}{x - a}, et aa est un paramètre (פרמטר). La fonction a un extremum (נקודת קיצון) en x=3x = 3. On trouve f(x)=x2+3x−1f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}, et f′(x)≥0f'(x) \ge 0 pour tout x≥3x \ge 3. ד. Calculez (חשבו) l'aire délimitée (sous la courbe) (שטח הכלוא) entre le graphe, courbe représentative (גרף) de la dérivée (נגזרת) f′f', l'axe (ציר) des xx et les droites (ישרים) x=3x = 3 et x=5x = 5.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

S=∫35f′(x) dxS = \int_3^5 f'(x)\,dx

Le graphe (גרף) de f′f' est au-dessus de l'axe (ציר) sur l'intervalle

=f(5)−f(3)= f(5) - f(3)

ff est une primitive (פונקציה קדומה) de f′f'

=284−6=1= \frac{28}{4} - 6 = 1

L'aire (שטח) 11. Le piège (מלכודת) : chercher une primitive (פונקציה קדומה) de ff elle-même — l'aire (שטח) est sous f′f', et sa primitive (פונקציה קדומה) est ff, qui est déjà connue.

Vérifier la réponse sur elev

Question 7 — fonction (פונקציה) trigonométrique

Exercice 29

On donne (נתונה) la fonction (פונקציה) f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x) = 2\sin x + \sin 2x sur l'intervalle −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi. א. Démontrez (הוכיחו) ou réfutez (הפריכו) : ff est une fonction impaire (פונקציה אי-זוגית).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(−x)=2sin⁡(−x)+sin⁡(−2x)=−2sin⁡x−sin⁡2x\begin{aligned}f(-x) &= 2\sin(-x) + \sin(-2x) \\ &= -2\sin x - \sin 2x\end{aligned}

sin⁡\sin est impaire (פונקציה אי-זוגית)

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

et le domaine est symétrie (סימטרי) autour de 00

Vrai, juste (נכון) : ff est impaire, et la courbe représentative (גרף) admet une symétrie (סימטרי) par rapport à l'origine (du repère) (ראשית הצירים). Le piège (מלכודת) : ne vérifier (בדוק) que f(−x)=f(x)f(-x) = f(x), constater que ce n'est pas vérifié (מתקיים), et en déduire (הסיק) « ni paire donc rien ».

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Exercice 30

On donne (נתונה) la fonction (פונקציה) f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x) = 2\sin x + \sin 2x sur l'intervalle −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi. ב. Quel est le maximum (נקודת המקסימום) de ff sur cet intervalle ?

  1. (2π3,32)\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
  2. (π3,3)\left(\frac{\pi}{3}, \sqrt{3}\right)
  3. (π3,332)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)
  4. (π2,2)\left(\frac{\pi}{2}, 2\right)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (π3,332)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)

Corrigé :

f′(x)=2cos⁡x+2cos⁡2x=2(2cos⁡2x+cos⁡x−1)\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos x + 2\cos 2x \\ &= 2(2\cos^2 x + \cos x - 1)\end{aligned}

cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = 2\cos^2 x - 1

f′(x)=2(2cos⁡x−1)(cos⁡x+1)f'(x) = 2(2\cos x - 1)(\cos x + 1)

Décomposition

cos⁡x=12⇒x=±π3\begin{aligned}\cos x &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{\pi}{3}\end{aligned}

cos⁡x=−1\cos x = -1 uniquement aux extrémités, x=±πx = \pm\pi

f(π3)=2⋅32+32=332\begin{aligned}f\left(\frac{\pi}{3}\right) &= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

Avant π3\frac{\pi}{3}, la dérivée (נגזרת) est positif (חיובית) et après, elle est négatif (שלילית)

La réponse correcte : (π3,332)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right). Le piège (מלכודת) : (π2,2)\left(\frac{\pi}{2}, 2\right) — penser que le maximum de 2sin⁡x2\sin x est aussi le maximum de la somme (סכום) ; en π2\frac{\pi}{2}, le terme (d’une somme) (מחובר) sin⁡2x\sin 2x s’annule (מתאפס).

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Exercice 31

On donne (נתונה) la fonction (פונקציה) f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x) = 2\sin x + \sin 2x sur l'intervalle −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi. On a trouvé : ff est impaire, f(0)=f(π)=0f(0) = f(\pi) = 0, et le maximum (נקודת המקסימום) est (π3,332)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right). ג. Combien de solution (פתרונות) possède l'équation (משוואה) f(x)=2f(x) = 2 sur cet intervalle ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

332≈2.6>2\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.6 > 2

Le maximum (מקסימום) est au-dessus de la droite (ישר) y=2y = 2

0<x<π3: 0↗2.6;π3<x<π: 2.6↘00 < x < \frac{\pi}{3}: \ 0 \nearrow 2.6; \quad \frac{\pi}{3} < x < \pi: \ 2.6 \searrow 0

Sur chaque segment (קטע) monotone — une solution (פתרון)

−π≤x≤0: f(x)=2sin⁡x(1+cos⁡x)≤0-\pi \le x \le 0: \ f(x) = 2\sin x(1 + \cos x) \le 0

בחצי השלילי אין פתרון

Deux solutions (פתרון). Le piège (מלכודת) : répondre 44 « en raison de la symétrie (סימטריה) » — une fonction impaire (פונקציה אי-זוגית) reflète le graphe (גרף) par rapport à l'origine (du repère) (ראשית), et dans la moitié (חצי) négative (שלילי), il se trouve sous l'axe (ציר).

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Exercice 32

On donne (נתונה) la fonction (פונקציה) f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x) = 2\sin x + \sin 2x sur l'intervalle −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi. On a trouvé : f(x)≥0f(x) \ge 0 sur l'intervalle 0≤x≤π0 \le x \le \pi. ד. Calculez (חשבו) l'aire délimitée (sous la courbe) (שטח הכלוא) entre le graphe (גרף) de ff et l'axe (ציר) des xx sur l'intervalle 0≤x≤π0 \le x \le \pi.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

∫(2sin⁡x+sin⁡2x) dx=−2cos⁡x−cos⁡2x2+C\int (2\sin x + \sin 2x)\,dx = -2\cos x - \frac{\cos 2x}{2} + C

Intégrale (אינטגרל) de f(mx+b)f(mx + b) : on divise par mm

(2−12)−(−2−12)=4\left(2 - \frac{1}{2}\right) - \left(-2 - \frac{1}{2}\right) = 4

On remplace (מציבים) π\pi et 00

L'aire (שטח) est 44. Le piège (מלכודת) : se tromper de signe et écrire ∫sin⁡x dx=cos⁡x\int \sin x\,dx = \cos x — on obtient −4-4, or une aire (שטח) n'est pas négative (שלילי). La primitive (קדומה) de sin⁡x\sin x est −cos⁡x-\cos x.

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Question 8 — problème d'optimisation dans un demi (חצי)-cercle

Exercice 33

xABOCD

Le trapèze (טרפז) ABCDABCD est inscrit (חסום) dans un demi-cercle (חצי מעגל) dont le centre (מרכזו) est OO et le diamètre (קוטרו) est AB=12AB = 12 : les sommets (קודקודים) CC et DD sont sur le demi-cercle (חצי מעגל), et CD∥ABCD \parallel AB. On note ∠BOC=x\angle BOC = x, où 0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ. א. Quelle est l'aire (שטח) du trapèze (טרפז) S(x)S(x) ?

  1. S(x)=72(1+cos⁡x)sin⁡xS(x) = 72(1 + \cos x)\sin x
  2. S(x)=36sin⁡xcos⁡xS(x) = 36\sin x\cos x
  3. S(x)=18(1+cos⁡x)sin⁡xS(x) = 18(1 + \cos x)\sin x
  4. S(x)=36(1+cos⁡x)sin⁡xS(x) = 36(1 + \cos x)\sin x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D S(x)=36(1+cos⁡x)sin⁡xS(x) = 36(1 + \cos x)\sin x

Corrigé :

h=6sin⁡xh = 6\sin x

La hauteur (גובה) : la distance (מרחק) de CC au diamètre (קוטרו), dans un triangle rectangle (משולש ישר-זווית) d'hypoténuse (יתר) OC=6OC = 6

CD=2⋅6cos⁡x=12cos⁡x\begin{aligned}CD &= 2 \cdot 6\cos x \\ &= 12\cos x\end{aligned}

Le trapèze isocèle (טרפז שווה-שוקיים) : CC et DD sont symétriques (סימטריות) par rapport (יחס) à la perpendiculaire (abaissée) (אנך) issue de OO

S=12+12cos⁡x2⋅6sin⁡x=36(1+cos⁡x)sin⁡x\begin{aligned}S &= \frac{12 + 12\cos x}{2} \cdot 6\sin x \\ &= 36(1 + \cos x)\sin x\end{aligned}

Aire (שטח) d'un trapèze (טרפז) : demi (חצי) somme des bases (סכום הבסיסים) fois (כפול) la hauteur (גובה)

La réponse juste (נכונה) : 36(1+cos⁡x)sin⁡x36(1 + \cos x)\sin x. Le piège (מלכודת) : 72(1+cos⁡x)sin⁡x72(1 + \cos x)\sin x — oublier de diviser la somme des bases (סכום הבסיסים) par 22.

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Exercice 34

xABOCD

Le trapèze (טרפז) ABCDABCD est inscrit (חסום) dans un demi-cercle (חצי מעגל) dont le centre (מרכזו) est OO et le diamètre (קוטרו) est AB=12AB = 12 : les sommets (קודקודים) CC et DD sont sur le demi-cercle (חצי מעגל), et CD∥ABCD \parallel AB. On note ∠BOC=x\angle BOC = x, où 0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ. L'aire (שטח) du trapèze (טרפז) est S(x)=36(1+cos⁡x)sin⁡xS(x) = 36(1 + \cos x)\sin x. ב. Pour quel xx (en degrés (מעלות)) l'aire (שטח) du trapèze (טרפז) est-elle maximale (מקסימום) ?

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Réponse : 60

Corrigé :

S′(x)=36[−sin⁡2x+(1+cos⁡x)cos⁡x]=36(2cos⁡2x+cos⁡x−1)\begin{aligned}S'(x) &= 36\left[-\sin^2 x + (1 + \cos x)\cos x\right] \\ &= 36(2\cos^2 x + \cos x - 1)\end{aligned}

dérivée d’un produit (נגזרת של מכפלה), et sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x

S′(x)=36(2cos⁡x−1)(cos⁡x+1)=0⇒cos⁡x=12\begin{aligned}S'(x) &= 36(2\cos x - 1)(\cos x + 1) \\ &= 0 \Rightarrow \cos x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

cos⁡x+1>0\cos x + 1 > 0 dans le domaine

x=60∘x = 60^\circ

Avant 60∘60^\circ la dérivée (נגזרת) est positive (חיובית) et après elle est négative (שלילית) — maximum (מקסימום)

x=60∘x = 60^\circ. Le piège (מלכודת) : dériver seulement sin⁡x\sin x et laisser (1+cos⁡x)(1 + \cos x) comme une constante (קבוע) — il s'agit d'un produit (מכפלה) de deux fonctions (פונקציות) de xx.

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Exercice 35

xABOCD

Le trapèze (טרפז) ABCDABCD est inscrit (חסום) dans un demi-cercle (חצי מעגל) dont le centre (מרכזו) est OO et le diamètre (קוטרו) est AB=12AB = 12 : les sommet (קודקודים) CC et DD sont sur le demi (חצי) cercle (מעגל), et CD∥ABCD \parallel AB. On note ∠BOC=x\angle BOC = x, où 0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ. L'aire (שטח) du trapèze S(x)=36(1+cos⁡x)sin⁡xS(x) = 36(1 + \cos x)\sin x est maximale lorsque x=60∘x = 60^\circ. ג. Calculez (חשבו) l'aire maximale (arrondissez (עגלו) à deux chiffres après la virgule (décimales) (ספרות אחרי הנקודה)).

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Réponse : 46.77

Corrigé :

S(60∘)=36⋅32⋅32=273≈46.77\begin{aligned}S(60^\circ) &= 36 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 27\sqrt{3} \approx 46.77\end{aligned}

L'aire (שטח) maximale est 273≈46.7727\sqrt{3} \approx 46.77. Le piège (מלכודת) : calculer à la calculatrice en mode radian (רדיאנים) avec 6060 — l'angle (זווית) est en degré (מעלות).

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Exercice 36

xABOCD

Le trapèze (טרפז) ABCDABCD est inscrit (חסום) dans un demi-cercle (חצי מעגל) dont le centre (מרכזו) est OO et le diamètre (קוטרו) est AB=12AB = 12 : les sommets (קודקודים) CC et DD sont sur le demi-cercle (חצי מעגל), et CD∥ABCD \parallel AB. On note ∠BOC=x\angle BOC = x, avec 0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ. L'aire (שטח) du trapèze (טרפז) est maximale lorsque x=60∘x = 60^\circ. d. Démontrez (הוכיחו) ou réfutez (הפריכו) : dans le trapèze (טרפז) d'aire (שטח) maximale, les trois côtés (צלעות) BCBC, CDCD et DADA sont égaux entre eux.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

CD=12cos⁡60∘=6\begin{aligned}CD &= 12\cos 60^\circ \\ &= 6\end{aligned}
OB=OC=6 ∠BOC=60∘⇒BC=6\begin{aligned}OB &= OC \\ &= 6 \\ \ \angle BOC &= 60^\circ \Rightarrow BC \\ &= 6\end{aligned}

Un triangle isocèle (משולש שווה-שוקיים) avec un angle au sommet principal (זווית ראש) de 60∘60^\circ est un triangle équilatéral (שווה-צלעות)

DA=BC=6\begin{aligned}DA &= BC \\ &= 6\end{aligned}

Un trapèze (טרפז) inscrit (חסום) dans un cercle (מעגל) est isocèle

Vrai (נכון) : BC=CD=DA=6BC = CD = DA = 6 — un demi (חצי) hexagone (משושה) régulier (משוכלל). Le piège (מלכודת) : supposer que CDCD est égal au rayon (רדיוס) seulement « parce que cela y ressemble » sur la figure (שרטוט) — démontrez (הוכיחו)-le par le calcul.

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