סימולציית בגרות 2

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סימולציית בגרות 2 — שאלון 35571, 5 יח״ל. המבנה של תשפ״ז: ארבעה פרקים, 8 שאלות, 3 שעות ו-45 דקות. עליכם לענות על 5 שאלות: לפחות שאלה אחת מהפרק הראשון או מהפרק השני, ולפחות שאלה אחת מכל אחד מהפרקים השלישי והרביעי. לכל שאלה 20 נקודות. פרק ראשון — שאלות קצרות: שאלה 1, ובה ארבעה סעיפים; מי שבוחר בה עונה על 2 סעיפים מתוך 4. פרק שני — אינדוקציה, סדרות והסתברות: שאלות 2 ו-3. פרק שלישי — גאומטריה וטריגונומטריה במישור: שאלות 4 ו-5. פרק רביעי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלות 6, 7 ו-8. מותר להשתמש בנוסחאון ל-5 יח״ל ובמחשבון שאינו גרפי. שאלה 1: אינדוקציה (סכום טלסקופי), גרף הנגזרת, טרפז חסום, הסתברות ברנולי. שאלה 2: סדרה הנדסית אינסופית עם מנה שלילית. שאלה 3: שתי קופסאות — הסתברות שלמה, מותנית וברנולי. שאלה 4: חוצה זווית במשולש חסום. שאלה 5: משפט הסינוסים עם פרמטר. שאלה 6: פונקציית שורש עם פרמטר. שאלה 7: מנה טריגונומטרית. שאלה 8: בעיית קיצון על גרף שורש.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, כדי שתוכלו להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. לפני שמתחילים לכתוב, הקדישו חמש דקות לבחירה: עברו על כל השאלות וסמנו את חמש השאלות שאתם בטוחים בהן. במשוואה עם שורש מציבים כל פתרון במשוואה המקורית; בסדרה עם מנה שלילית בודקים את הסימן של כל איבר; ובגרף של f′f' קוראים סימן, לא עלייה וירידה.

Exercices

Question 1 — questions courtes (question (סעיף) a : récurrence)

Exercice 1

נתונה הטענה: 11⋅3+13⋅5+15⋅7+⋯+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1} לכל nn טבעי. סעיף א (1). בשלב המעבר מניחים שהטענה נכונה עבור n=kn = k ומוסיפים את המחובר 1(2k+1)(2k+3)\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}. אחרי כינוס למכנה משותף (2k+1)(2k+3)(2k+1)(2k+3) המונה הוא k(2k+3)+1k(2k+3) + 1. השלימו את הפירוק ואת התוצאה:

k(2k+3)+1=2k2+k(2k+3) + 1 = 2k^2 + ____ k+1=(k+1)(2k+k + 1 = (k+1)(2k + ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : k(2k+3)+1=2k2+k(2k+3) + 1 = 2k^2 + 3 k+1=(k+1)(2k+k + 1 = (k+1)(2k + 1 ))

Corrigé :

k2k+1+1(2k+1)(2k+3)=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)\frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k(2k+3) + 1}{(2k+1)(2k+3)}

מכנה משותף

2k2+3k+1=(k+1)(2k+1)2k^2 + 3k + 1 = (k+1)(2k+1)

Factorisation du trinôme du second degré (טרינום)

(k+1)(2k+1)(2k+1)(2k+3)=k+12k+3=k+12(k+1)+1\begin{aligned}\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)} &= \frac{k+1}{2k+3} \\ &= \frac{k+1}{2(k+1)+1}\end{aligned}

מצמצמים ב-2k+12k+1: זו הטענה עבור n=k+1n = k+1

אחרי הצמצום מתקבל k+12(k+1)+1\frac{k+1}{2(k+1)+1} — הטענה עבור n=k+1n = k+1. המלכודת: להוסיף את המחובר 1(2k−1)(2k+1)\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} — הוא כבר בתוך הסכום של n=kn = k; המחובר החדש מתחיל ב-2k+12k+1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הטענה: 11⋅3+13⋅5+15⋅7+⋯+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1} לכל nn טבעי. סעיף א (2). כמה מחוברים יש בסכום שמתחיל ב-11⋅3\frac{1}{1 \cdot 3} ושווה ל-1225\frac{12}{25}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

n2n+1=1225\frac{n}{2n+1} = \frac{12}{25}

לפי הטענה

25n=24n+12⇒n=12\begin{aligned}25n &= 24n + 12 \Rightarrow n \\ &= 12\end{aligned}

כופלים בהצלבה

123⋅25\frac{1}{23 \cdot 25}

המחובר האחרון: 2n−1=232n - 1 = 23

1212 מחוברים, והאחרון 123⋅25\frac{1}{23 \cdot 25}. המלכודת: לענות 2525 או 2323 — מספרים שמופיעים במחובר האחרון, ולא מספר המחוברים.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ב: גרף הנגזרת)

Exercice 3

הגרף של f′
-2-101234-5-4-3-2-1123456xy

בשרטוט הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff המוגדרת לכל xx. הגרף של f′f' הוא פרבולה החותכת את ציר ה-xx בנקודות x=−1x = -1 ו-x=3x = 3. סעיף ב (1). באיזה xx יש ל-ff נקודת מקסימום מקומי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

x<−1:f′>0;−1<x<3:f′<0x < -1: f' > 0; \quad -1 < x < 3: f' < 0

קוראים את סימן f′f' מהגרף: מעל הציר או מתחתיו

x=−1x = -1

ff עולה ואחר כך יורדת — מקסימום

מקסימום ב-x=−1x = -1. המלכודת: לענות x=1x = 1, נקודת המינימום של הפרבולה — שם f′f' מינימלית, וזו נקודת פיתול של ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הגרף של f′
-2-101234-5-4-3-2-1123456xy

בשרטוט הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff המוגדרת לכל xx. הגרף של f′f' הוא פרבולה החותכת את ציר ה-xx בנקודות x=−1x = -1 ו-x=3x = 3. נתון f(−1)=4f(-1) = 4, והשטח הכלוא בין גרף f′f' לציר ה-xx בתחום −1≤x≤3-1 \le x \le 3 הוא 323\frac{32}{3}. סעיף ב (2). חשבו את f(3)f(3) (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -6.67

Corrigé :

∫−13f′(x) dx=−323\int_{-1}^{3} f'(x)\,dx = -\frac{32}{3}

הגרף מתחת לציר: האינטגרל שווה למינוס השטח

∫−13f′(x) dx=f(3)−f(−1)\int_{-1}^{3} f'(x)\,dx = f(3) - f(-1)

המשפט היסודי

f(3)=4−323=−203≈−6.67\begin{aligned}f(3) &= 4 - \frac{32}{3} \\ &= -\frac{20}{3} \approx -6.67\end{aligned}

f(3)=−203≈−6.67f(3) = -\frac{20}{3} \approx -6.67. המלכודת: להוסיף את השטח ולקבל 14.6714.67 — בין −1-1 ל-33 הפונקציה יורדת, ולכן f(3)<f(−1)f(3) < f(-1).

Vérifier la réponse sur elev

Question 1 — Questions courtes (question (a, b, c…) (סעיף) c : géométrie)

Exercice 5

25°30°ADCB

הטרפז ABCDABCD (AB∥CDAB \parallel CD) חסום במעגל. BDBD אלכסון בטרפז. נתון ∠ABD=25∘\angle ABD = 25^\circ ו-∠DBC=30∘\angle DBC = 30^\circ. סעיף ג (1). חשבו את ∠ADC\angle ADC (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 125

Corrigé :

∠ABC=25∘+30∘=55∘\begin{aligned}\angle ABC &= 25^\circ + 30^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

חיבור זוויות

∠ADC=180∘−55∘=125∘\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ - 55^\circ \\ &= 125^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ

∠ADC=125∘\angle ADC = 125^\circ. המלכודת: לענות 55∘55^\circ — זוויות נגדיות במרובע חסום משלימות זו את זו ל-180∘180^\circ, הן לא שוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

25°30°ADCB

הטרפז ABCDABCD (AB∥CDAB \parallel CD) חסום במעגל. BDBD אלכסון בטרפז. נתון ∠ABD=25∘\angle ABD = 25^\circ ו-∠DBC=30∘\angle DBC = 30^\circ. סעיף ג (2). הוכיחו או הפריכו: ∠BAC=∠ABD\angle BAC = \angle ABD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

∠ACD=∠BAC\angle ACD = \angle BAC

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים AB∥CDAB \parallel CD

∠ACD=∠ABD\angle ACD = \angle ABD

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת ADAD שוות

∠BAC=∠ABD=25∘\begin{aligned}\angle BAC &= \angle ABD \\ &= 25^\circ\end{aligned}

כלל המעבר

נכון: שתיהן 25∘25^\circ — ולכן גם AD=BCAD = BC, והטרפז שווה-שוקיים. המלכודת: לחפש קשר ישיר בין שתי הזוויות — הן לא נשענות על אותה קשת, והמעבר עובר דרך ∠ACD\angle ACD.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ד: הסתברות)

Exercice 7

קלע יורה במטרה. בכל ירייה ההסתברות שיפגע היא pp, והיריות בלתי תלויות זו בזו. ההסתברות שיפגע לפחות פעם אחת בשתי יריות היא 0.640.64. סעיף ד (1). מצאו את pp.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.4

Corrigé :

P(לפחות)=1−(1−p)2P(\text{לפחות}) = 1 - (1 - p)^2

המאורע המשלים: שתי החטאות

(1−p)2=0.36⇒1−p=0.6\begin{aligned}(1 - p)^2 &= 0.36 \Rightarrow 1 - p \\ &= 0.6\end{aligned}

1−p=−0.61 - p = -0.6 נפסל: הסתברות אינה שלילית

p=0.4p = 0.4

p=0.4p = 0.4. המלכודת: לכתוב p2=0.64p^2 = 0.64 ולקבל p=0.8p = 0.8 — p2p^2 היא ההסתברות לשתי פגיעות, ולא «לפחות אחת».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

קלע יורה במטרה. בכל ירייה ההסתברות שיפגע היא pp, והיריות בלתי תלויות זו בזו. ההסתברות שיפגע לפחות פעם אחת בשתי יריות היא 0.640.64. נמצא p=0.4p = 0.4. סעיף ד (2). הקלע יורה 4 יריות. מה ההסתברות שיפגע בדיוק פעמיים? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.346

Corrigé :

P=(42)⋅0.42⋅0.62P = \binom{4}{2} \cdot 0.4^2 \cdot 0.6^2

נוסחת ברנולי

=6⋅0.16⋅0.36≈0.346= 6 \cdot 0.16 \cdot 0.36 \approx 0.346

ההסתברות ≈0.346\approx 0.346. המלכודת: לשכוח את (42)=6\binom{4}{2} = 6 ולקבל 0.0580.058 — זו ההסתברות לסדר אחד מסוים, למשל שתי פגיעות ואחריהן שתי החטאות.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — סדרה הנדסית אינסופית עם מנה שלילית

Exercice 9

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שמנתה q≠0q \neq 0. סכום כל איבריה הוא 66, וסכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים (a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots) הוא 99. א. מהי המנה qq?

  1. −13-\frac{1}{3}
  2. −12-\frac{1}{2}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. 13\frac{1}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −13-\frac{1}{3}

Corrigé :

S=a11−qSodd=a11−q2\begin{aligned}S &= \frac{a_1}{1 - q} \\ \quad S_{odd} &= \frac{a_1}{1 - q^2}\end{aligned}

הסדרה החלקית במקומות האי-זוגיים: אותו a1a_1, מנה q2q^2

SoddS=1−q1−q2=11+q=96\begin{aligned}\frac{S_{odd}}{S} &= \frac{1 - q}{1 - q^2} \\ &= \frac{1}{1 + q} \\ &= \frac{9}{6}\end{aligned}

1−q2=(1−q)(1+q)1 - q^2 = (1-q)(1+q)

1+q=23⇒q=−13\begin{aligned}1 + q &= \frac{2}{3} \Rightarrow q \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

הנכונה: −13-\frac{1}{3}. הסכום החלקי גדול מהסכום כולו, ולכן איברי המקומות הזוגיים שליליים — המנה שלילית. המלכודת: 13\frac{1}{3} — לשכוח את הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שמנתה q≠0q \neq 0. סכום כל איבריה הוא 66, וסכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים (a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots) הוא 99. נמצא q=−13q = -\frac{1}{3}. ב. מצאו את a1a_1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

a11+13=6\frac{a_1}{1 + \frac{1}{3}} = 6

Somme (סכום) d'une suite géométrique infinie (somme) (סדרה הנדסית אינסופית)

a1=6⋅43=8\begin{aligned}a_1 &= 6 \cdot \frac{4}{3} \\ &= 8\end{aligned}
81−19=9\frac{8}{1 - \frac{1}{9}} = 9

בדיקה בסכום האי-זוגיים

a1=8a_1 = 8. המלכודת: לכתוב במכנה 1−131 - \frac{1}{3} ולקבל a1=4a_1 = 4 — כאן 1−q=1+131 - q = 1 + \frac{1}{3}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שמנתה q≠0q \neq 0. סכום כל איבריה הוא 66, וסכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים (a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots) הוא 99. נמצא a1=8a_1 = 8 ו-q=−13q = -\frac{1}{3}. מגדירים bn=an⋅an+1b_n = a_n \cdot a_{n+1}. ג. הסדרה bnb_n הנדסית ומתכנסת. חשבו את סכום כל איבריה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -24

Corrigé :

bn+1bn=an+1an+2anan+1=q2=19\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_{n+1} a_{n+2}}{a_n a_{n+1}} \\ &= q^2 \\ &= \frac{1}{9}\end{aligned}

המנה של bnb_n

b1=a1a2=8⋅(−83)=−643\begin{aligned}b_1 &= a_1 a_2 \\ &= 8 \cdot \left(-\frac{8}{3}\right) \\ &= -\frac{64}{3}\end{aligned}
Sb=−6431−19=−24\begin{aligned}S_b &= \frac{-\frac{64}{3}}{1 - \frac{1}{9}} \\ &= -24\end{aligned}

Somme (סכום) d'une suite géométrique infinie (somme) (סדרה הנדסית אינסופית)

הסכום −24-24. המלכודת: לקחת את המנה q=−13q = -\frac{1}{3} גם ל-bnb_n — במכפלה של שני איברים עוקבים המנה מופיעה פעמיים, q2q^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שמנתה q≠0q \neq 0. סכום כל איבריה הוא 66, וסכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים (a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots) הוא 99. נמצא a1=8a_1 = 8 ו-q=−13q = -\frac{1}{3}. ד. מהו המקום של האיבר הראשון בסדרה ana_n שהערך המוחלט שלו קטן מ-0.0010.001?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

∣an∣=83n−1<0.001⇒3n−1>8000|a_n| = \frac{8}{3^{n-1}} < 0.001 \Rightarrow 3^{n-1} > 8000

הערך המוחלט מבטל את הסימן המתחלף

38=6561<800039=19683>8000\begin{aligned}3^8 &= 6561 < 8000 \\ \quad 3^9 &= 19683 > 8000\end{aligned}

מנסים חזקות של 33

n−1=9⇒n=10\begin{aligned}n - 1 &= 9 \Rightarrow n \\ &= 10\end{aligned}

האיבר העשירי. המלכודת: לחפש an<0.001a_n < 0.001 בלי ערך מוחלט — כבר a2=−83a_2 = -\frac{8}{3} קטן מ-0.0010.001, כי הוא שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — שתי קופסאות

Exercice 13

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 כדורים אדומים ו-nn כדורים לבנים. מטילים מטבע הוגן: אם מתקבל «עץ» מוציאים כדור אחד מקופסה I, ואם מתקבל «פלי» — כדור אחד מקופסה II. ההסתברות להוציא כדור אדום היא 0.40.4. א. מצאו את nn.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

P(אדום)=12⋅35+12⋅2n+2P(\text{אדום}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n+2}

נוסחת ההסתברות השלמה

0.3+1n+2=0.4⇒n+2=10\begin{aligned}0.3 + \frac{1}{n+2} &= 0.4 \Rightarrow n + 2 \\ &= 10\end{aligned}
n=8n = 8

n=8n = 8. המלכודת: לכתוב 2n\frac{2}{n} — במכנה כל הכדורים שבקופסה, n+2n + 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 כדורים אדומים ו-nn כדורים לבנים. מטילים מטבע הוגן: אם מתקבל «עץ» מוציאים כדור אחד מקופסה I, ואם מתקבל «פלי» — כדור אחד מקופסה II. נמצא n=8n = 8, וההסתברות להוציא כדור אדום היא 0.40.4. ב. הוצא כדור אדום. מה ההסתברות שהוא הוצא מקופסה I?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

P(I∩אדום)=12⋅35=0.3\begin{aligned}P(\text{I} \cap \text{אדום}) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \\ &= 0.3\end{aligned}

ענף אחד בעץ

P(I∣אדום)=0.30.4=0.75\begin{aligned}P(\text{I} \mid \text{אדום}) &= \frac{0.3}{0.4} \\ &= 0.75\end{aligned}

הסתברות מותנית

ההסתברות 0.750.75. המלכודת: לענות 0.60.6, ההסתברות לאדום מתוך קופסה I — כאן התנאי הפוך: יודעים שהכדור אדום ושואלים על הקופסה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 כדורים אדומים ו-nn כדורים לבנים. מטילים מטבע הוגן: אם מתקבל «עץ» מוציאים כדור אחד מקופסה I, ואם מתקבל «פלי» — כדור אחד מקופסה II. נמצא n=8n = 8, וההסתברות להוציא כדור אדום היא 0.40.4. חוזרים על הניסוי כולו (הטלת מטבע והוצאת כדור) 6 פעמים, ובכל פעם מחזירים את הכדור לקופסה שממנה הוצא. ג. מה ההסתברות שיוצא כדור אדום בדיוק פעמיים? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.311

Corrigé :

P=(62)⋅0.42⋅0.64P = \binom{6}{2} \cdot 0.4^2 \cdot 0.6^4

נוסחת ברנולי: הניסויים בלתי תלויים כי מחזירים

=15⋅0.16⋅0.1296≈0.311= 15 \cdot 0.16 \cdot 0.1296 \approx 0.311

ההסתברות ≈0.311\approx 0.311. המלכודת: להשתמש ב-35\frac{3}{5} או ב-210\frac{2}{10} — בכל חזרה ההסתברות לאדום היא ההסתברות הכוללת, 0.40.4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 כדורים אדומים ו-nn כדורים לבנים. מטילים מטבע הוגן: אם מתקבל «עץ» מוציאים כדור אחד מקופסה I, ואם מתקבל «פלי» — כדור אחד מקופסה II. נמצא שההסתברות להוציא כדור אדום בכל חזרה היא 0.40.4, והחזרות בלתי תלויות. ד. מהו מספר החזרות הקטן ביותר שעבורו ההסתברות להוציא לפחות כדור אדום אחד גדולה מ-0.950.95?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

1−0.6m>0.95⇒0.6m<0.051 - 0.6^m > 0.95 \Rightarrow 0.6^m < 0.05

המאורע המשלים: אף כדור אדום

0.65≈0.078,0.66≈0.0470.6^5 \approx 0.078, \quad 0.6^6 \approx 0.047

מנסים ערכים

m=6m = 6

שש חזרות. המלכודת: לחשב 0.4m0.4^m במקום 0.6m0.6^m — המשלים של «לפחות אדום אחד» הוא «כולם לבנים».

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — חוצה זווית במשולש חסום

Exercice 17

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית AA חותך את הצלע BCBC בנקודה DD ואת המעגל בנקודה EE. א. הוכיחו: △ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC.

  • AEAE חוצה את ∠BAC\angle BAC
  • AA, BB, CC, EE על המעגל

△ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠BAE=∠DAC\angle BAE = \angle DAC — הגדרת חוצה זווית
  2. ∠AEB=∠ACB\angle AEB = \angle ACB — Des angles inscrits qui interceptent le même arc (קשת) sont égaux
  3. △ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC — Théorème de similitude A-A

Corrigé :

∠BAE=∠DAC\angle BAE = \angle DAC

חוצה זווית

∠AEB=∠ACB\angle AEB = \angle ACB

שתיהן נשענות על הקשת ABAB

△ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC

A-A

ההתאמה: A→AA \to A, B→DB \to D, E→CE \to C. המלכודת: לכתוב ∠ABE=∠ACD\angle ABE = \angle ACD — אלה לא נשענות על אותה קשת; הזוג הנכון הוא הזוויות שליד EE וליד CC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית AA חותך את הצלע BCBC בנקודה DD ואת המעגל בנקודה EE. נתון AB=6AB = 6, AC=8AC = 8 ו-BC=7BC = 7. ב. חשבו את BDBD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

BDDC=ABAC=68\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{6}{8}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית במשולש

BD=7⋅614=3\begin{aligned}BD &= 7 \cdot \frac{6}{14} \\ &= 3\end{aligned}

מחלקים את BC=7BC = 7 ביחס 6:86 : 8

BD=3BD = 3 ו-DC=4DC = 4. המלכודת: לחלק את BCBC לשניים — חוצה הזווית אינו תיכון; הוא מחלק את הצלע ביחס הצלעות הסמוכות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית AA חותך את הצלע BCBC בנקודה DD ואת המעגל בנקודה EE. נתון AB=6AB = 6, AC=8AC = 8, BC=7BC = 7, ונמצא BD=3BD = 3, DC=4DC = 4. ג. היעזרו בדמיון △ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC ובמשפט המיתרים הנחתכים (AD⋅DE=BD⋅DCAD \cdot DE = BD \cdot DC), וחשבו את ADAD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

ABAD=AEAC⇒AD⋅AE=AB⋅AC=48\begin{aligned}\frac{AB}{AD} &= \frac{AE}{AC} \Rightarrow AD \cdot AE \\ &= AB \cdot AC \\ &= 48\end{aligned}

יחס צלעות מתאימות במשולשים הדומים

AD⋅DE=BD⋅DC=12\begin{aligned}AD \cdot DE &= BD \cdot DC \\ &= 12\end{aligned}

מכפלת קטעי מיתרים נחתכים

AD⋅AE=AD(AD+DE)=AD2+12=48\begin{aligned}AD \cdot AE &= AD(AD + DE) \\ &= AD^2 + 12 \\ &= 48\end{aligned}

AE=AD+DEAE = AD + DE

AD2=36⇒AD=6\begin{aligned}AD^2 &= 36 \Rightarrow AD \\ &= 6\end{aligned}

AD=6AD = 6. המלכודת: לכתוב AD⋅AE=48AD \cdot AE = 48 ולהניח ש-AE=8AE = 8 «כמו ACAC» — AEAE אינה צלע במשולש, והיא נמצאת רק דרך המשוואה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית AA חותך את הצלע BCBC בנקודה DD ואת המעגל בנקודה EE. נמצא BD=3BD = 3, DC=4DC = 4 ו-AD=6AD = 6. ד. חשבו את DEDE.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

AD⋅DE=BD⋅DCAD \cdot DE = BD \cdot DC

מכפלת קטעי מיתרים נחתכים: המיתרים AEAE ו-BCBC נחתכים ב-DD

6⋅DE=12⇒DE=2\begin{aligned}6 \cdot DE &= 12 \Rightarrow DE \\ &= 2\end{aligned}

DE=2DE = 2, ולכן AE=8AE = 8. המלכודת: לכתוב AD⋅BD=DE⋅DCAD \cdot BD = DE \cdot DC — בכל אגף מכפילים את שני הקטעים של אותו מיתר.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — משפט הסינוסים עם פרמטר

Exercice 21

αααABCD

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, ∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha ו-∠ACB=α\angle ACB = \alpha. הקטע BDBD חוצה את הזווית BB (DD על ACAC). א. הביעו את ACAC באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. 2ksin⁡α2k\sin\alpha
  2. 2kcos⁡α2k\cos\alpha
  3. kcos⁡2αk\cos 2\alpha
  4. k2cos⁡α\frac{k}{2\cos\alpha}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 2kcos⁡α2k\cos\alpha

Corrigé :

ACsin⁡2α=ABsin⁡α\frac{AC}{\sin 2\alpha} = \frac{AB}{\sin\alpha}

משפט הסינוסים: ACAC מול BB, ו-ABAB מול CC

AC=k⋅2sin⁡αcos⁡αsin⁡α=2kcos⁡α\begin{aligned}AC &= \frac{k \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2k\cos\alpha\end{aligned}

Sinus (סינוס) d'un angle (זוויות) double

הנכונה: 2kcos⁡α2k\cos\alpha. המלכודת: k2cos⁡α\frac{k}{2\cos\alpha} — להפוך את היחס במשפט הסינוסים; הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה, ו-ACAC מול 2α2\alpha.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

αααABCD

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, ∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha ו-∠ACB=α\angle ACB = \alpha. הקטע BDBD חוצה את הזווית BB (DD על ACAC). נמצא AC=2kcos⁡αAC = 2k\cos\alpha. נתון AC=1.5kAC = 1.5k. ב. מצאו את α\alpha (במעלות, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 41.41

Corrigé :

2kcos⁡α=1.5k⇒cos⁡α=0.75\begin{aligned}2k\cos\alpha &= 1.5k \Rightarrow \cos\alpha \\ &= 0.75\end{aligned}

מחלקים ב-k>0k > 0

α≈41.41∘\alpha \approx 41.41^\circ
3α≈124.2∘<180∘3\alpha \approx 124.2^\circ < 180^\circ

בדיקה: הזווית A=180∘−3αA = 180^\circ - 3\alpha חיובית

α≈41.41∘\alpha \approx 41.41^\circ. המלכודת: לפתור cos⁡2α=0.75\cos 2\alpha = 0.75 — בביטוי של ACAC מופיע cos⁡α\cos\alpha, והזווית הכפולה נעלמה בפישוט.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

αααABCD

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, ∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha ו-∠ACB=α\angle ACB = \alpha. הקטע BDBD חוצה את הזווית BB (DD על ACAC). נמצא cos⁡α=0.75\cos\alpha = 0.75. רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABCABC הוא 88. ג. מצאו את kk (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.58

Corrigé :

sin⁡α=1−0.752=74\begin{aligned}\sin\alpha &= \sqrt{1 - 0.75^2} \\ &= \frac{\sqrt{7}}{4}\end{aligned}

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, ו-α\alpha חדה

ABsin⁡α=2R⇒k=16⋅74=47\begin{aligned}\frac{AB}{\sin\alpha} &= 2R \Rightarrow k \\ &= 16 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} \\ &= 4\sqrt{7}\end{aligned}

משפט הסינוסים: מול ABAB הזווית C=αC = \alpha

k≈10.58k \approx 10.58

k=47≈10.58k = 4\sqrt{7} \approx 10.58. המלכודת: לשכוח את ה-22 ב-2R2R ולקבל 5.295.29.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

αααABCD

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, ∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha ו-∠ACB=α\angle ACB = \alpha. הקטע BDBD חוצה את הזווית BB (DD על ACAC). נמצא cos⁡α=0.75\cos\alpha = 0.75, AC=1.5kAC = 1.5k ו-k=47k = 4\sqrt{7}. ד. הראו ש-△ABD∼△ACB\triangle ABD \sim \triangle ACB, וחשבו את ADAD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.06

Corrigé :

∠ABD=α=∠ACB\begin{aligned}\angle ABD &= \alpha \\ &= \angle ACB\end{aligned}

הגדרת חוצה זווית: ∠ABD=2α2\angle ABD = \frac{2\alpha}{2}

△ABD∼△ACB\triangle ABD \sim \triangle ACB

משפט דמיון ז.ז: גם הזווית AA משותפת

ADAB=ABAC⇒AD=k21.5k=2k3\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{AB}{AC} \Rightarrow AD \\ &= \frac{k^2}{1.5k} \\ &= \frac{2k}{3}\end{aligned}

יחס צלעות מתאימות

AD=873≈7.06AD = \frac{8\sqrt{7}}{3} \approx 7.06

AD=2k3≈7.06AD = \frac{2k}{3} \approx 7.06. המלכודת: להתאים ADAD ל-ACAC — במשולש ABDABD הצלע ADAD מול הזווית α\alpha שב-BB, ובמשולש ACBACB מול α\alpha נמצאת ABAB.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 6 — פונקציית שורש עם פרמטר

Exercice 25

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, ו-a>0a > 0 פרמטר. נתון f(2)=22f(2) = \frac{\sqrt{2}}{2}. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

24+a=22\frac{2}{\sqrt{4 + a}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

מציבים x=2x = 2

4+a=42=22⇒4+a=8\begin{aligned}\sqrt{4 + a} &= \frac{4}{\sqrt{2}} \\ &= 2\sqrt{2} \Rightarrow 4 + a \\ &= 8\end{aligned}

מעלים בריבוע

a=4a = 4

a=4a = 4. המלכודת: להעלות בריבוע רק את המכנה ולקבל 4+a=44 + a = 4 — מעלים בריבוע את שני האגפים של משוואה שלמה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, ו-a>0a > 0 פרמטר. נתון f(2)=22f(2) = \frac{\sqrt{2}}{2}. נמצא a=4a = 4, כלומר f(x)=xx2+4f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}, המוגדרת לכל xx. ב. מצאו את האסימפטוטות האופקיות של ff.

כאשר x→∞x \to \infty: y=y = ____ ; כאשר x→−∞x \to -\infty: y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : כאשר x→∞x \to \infty: y=y = 1 ; כאשר x→−∞x \to -\infty: y=y = -1

Corrigé :

x2+4=∣x∣1+4x2\sqrt{x^2 + 4} = |x|\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}

מוציאים x2x^2 מהשורש: x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|

x→∞: xx→1;x→−∞: x−x→−1x \to \infty: \ \frac{x}{x} \to 1; \quad x \to -\infty: \ \frac{x}{-x} \to -1

שתי אסימפטוטות שונות: y=1y = 1 ו-y=−1y = -1. המלכודת: לכתוב x2=x\sqrt{x^2} = x ולקבל y=1y = 1 בשני הכיוונים — כש-xx שלילי, x2=−x\sqrt{x^2} = -x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 27

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, ו-a>0a > 0 פרמטר. נתון f(2)=22f(2) = \frac{\sqrt{2}}{2}. נמצא a=4a = 4. ג. מהי הנגזרת של f(x)=xx2+4f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}?

  1. f′(x)=4(x2+4)3/2f'(x) = \frac{4}{(x^2 + 4)^{3/2}}
  2. f′(x)=1x2+4f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}
  3. f′(x)=x2(x2+4)3/2f'(x) = \frac{x^2}{(x^2 + 4)^{3/2}}
  4. f′(x)=4−x2(x2+4)3/2f'(x) = \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^{3/2}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A f′(x)=4(x2+4)3/2f'(x) = \frac{4}{(x^2 + 4)^{3/2}}

Corrigé :

f′(x)=x2+4−x⋅xx2+4x2+4f'(x) = \frac{\sqrt{x^2+4} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}{x^2 + 4}

נגזרת של מנה, ונגזרת השורש: 2x2x2+4\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}

=x2+4−x2(x2+4)x2+4=4(x2+4)3/2= \frac{x^2 + 4 - x^2}{(x^2 + 4)\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{4}{(x^2 + 4)^{3/2}}

כופלים מונה ומכנה ב-x2+4\sqrt{x^2+4}

הנכונה: 4(x2+4)3/2\frac{4}{(x^2+4)^{3/2}} — חיובית תמיד, ולכן ff עולה בכל התחום ואין לה קיצון. המלכודת: 1x2+4\frac{1}{\sqrt{x^2+4}} — לגזור רק את המונה ולהשאיר את המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 28

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, ו-a>0a > 0 פרמטר. נתון f(2)=22f(2) = \frac{\sqrt{2}}{2}. נמצא a=4a = 4. ד. פתרו את המשוואה f(x)=0.6f(x) = 0.6.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.5

Corrigé :

x=0.6x2+4⇒x2=0.36(x2+4)\begin{aligned}x &= 0.6\sqrt{x^2 + 4} \Rightarrow x^2 \\ &= 0.36(x^2 + 4)\end{aligned}

מעלים בריבוע

0.64x2=1.44⇒x=±1.5\begin{aligned}0.64x^2 &= 1.44 \Rightarrow x \\ &= \pm 1.5\end{aligned}

פתרונות חשודים

f(−1.5)=−0.6≠0.6f(-1.5) = -0.6 \neq 0.6

בדיקה: x=−1.5x = -1.5 נפסל

x=1.5x = 1.5

x=1.5x = 1.5 בלבד. המלכודת: להשאיר גם x=−1.5x = -1.5 — העלאה בריבוע מוסיפה פתרון; ff שלילית כש-xx שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 7 — מנה טריגונומטרית

Exercice 29

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xa+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{a + \cos x} בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi, ו-a>1a > 1 פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2π3x = \frac{2\pi}{3}. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=cos⁡x(a+cos⁡x)+sin⁡2x(a+cos⁡x)2=acos⁡x+1(a+cos⁡x)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\cos x(a + \cos x) + \sin^2 x}{(a + \cos x)^2} \\ &= \frac{a\cos x + 1}{(a + \cos x)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה, ו-cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1

f′(2π3)=0⇒−a2+1=0⇒a=2\begin{aligned}f'\left(\frac{2\pi}{3}\right) &= 0 \Rightarrow -\frac{a}{2} + 1 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

cos⁡2π3=−12\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}

a=2a = 2. המלכודת: לשכוח ש-cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 ולהישאר עם ביטוי שאי אפשר לפתור. כש-a>1a > 1 המכנה חיובי תמיד, ולכן אין אסימפטוטות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 30

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xa+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{a + \cos x} בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi, ו-a>1a > 1 פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2π3x = \frac{2\pi}{3}. נמצא a=2a = 2, כלומר f(x)=sin⁡x2+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{2 + \cos x} ו-f′(x)=2cos⁡x+1(2+cos⁡x)2f'(x) = \frac{2\cos x + 1}{(2 + \cos x)^2}. ב. מהי נקודת המקסימום של ff בתחום 0<x<2π0 < x < 2\pi?

  1. (π3,35)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{5}\right)
  2. (π2,12)\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)
  3. (4π3,33)\left(\frac{4\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)
  4. (2π3,33)\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D (2π3,33)\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)

Corrigé :

2cos⁡x+1=0⇒x=2π3 4π3\begin{aligned}2\cos x + 1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{2\pi}{3} \\ \ \frac{4\pi}{3}\end{aligned}

המכנה חיובי: סימן הנגזרת לפי המונה

0<x<2π3:f′>0;2π3<x<4π3:f′<00 < x < \frac{2\pi}{3}: f' > 0; \quad \frac{2\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3}: f' < 0

מקסימום ב-2π3\frac{2\pi}{3}

f(2π3)=322−12=33\begin{aligned}f\left(\frac{2\pi}{3}\right) &= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}

הנכונה: (2π3,33)\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right). המלכודת: (π2,12)\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right) — לחשוב שהמקסימום של המנה נמצא במקסימום של המונה sin⁡x\sin x; המכנה משתנה גם הוא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 31

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xa+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{a + \cos x} בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi, ו-a>1a > 1 פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2π3x = \frac{2\pi}{3}. נמצא a=2a = 2; נקודת המקסימום (2π3,33)\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) ונקודת המינימום (4π3,−33)\left(\frac{4\pi}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}\right). ג. הוכיחו או הפריכו: לכל xx בתחום מתקיים −0.6≤f(x)≤0.6-0.6 \le f(x) \le 0.6.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(0)=f(2π)=0\begin{aligned}f(0) &= f(2\pi) \\ &= 0\end{aligned}

ערכי הקצוות

−33≤f(x)≤33-\frac{\sqrt{3}}{3} \le f(x) \le \frac{\sqrt{3}}{3}

הערך הגדול ביותר והקטן ביותר מבין הקיצונים והקצוות

33≈0.577<0.6\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 < 0.6

נכון. המלכודת: לבדוק רק את נקודות הקיצון ולשכוח את הקצוות — כאן הקצוות נותנים 00, ולכן הם לא משנים את התשובה, אבל בודקים אותם תמיד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 32

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xa+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{a + \cos x} בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi, ו-a>1a > 1 פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2π3x = \frac{2\pi}{3}. נמצא a=2a = 2, כלומר f(x)=sin⁡x2+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{2 + \cos x}, ו-f′(x)≥0f'(x) \ge 0 בתחום 0≤x≤2π30 \le x \le \frac{2\pi}{3}. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת f′f', ציר ה-xx והישר x=2π3x = \frac{2\pi}{3} (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.58

Corrigé :

S=∫02π/3f′(x) dx=f(2π3)−f(0)\begin{aligned}S &= \int_0^{2\pi/3} f'(x)\,dx \\ &= f\left(\frac{2\pi}{3}\right) - f(0)\end{aligned}

המשפט היסודי: ff קדומה של f′f'

=33−0≈0.58= \frac{\sqrt{3}}{3} - 0 \approx 0.58

השטח 33≈0.58\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.58. המלכודת: לנסות לבצע אינטגרל ל-f′f' ישירות — הקדומה של f′f' היא ff עצמה, ואין צורך בשום חישוב נוסף.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 8 — בעיית קיצון על גרף שורש

Exercice 33

y = √x
OBP0123456789101234xy

הנקודה P(t,t)P(t, \sqrt{t}) נמצאת על גרף הפונקציה y=xy = \sqrt{x}, בין ראשית הצירים OO לנקודה B(9,3)B(9, 3) שעל הגרף: 0<t<90 < t < 9. נתבונן במשולש OPBOPB. א. הישר x=tx = t מחלק את המשולש OPBOPB לשני משולשים. מהו שטח המשולש OPBOPB כפונקציה של tt?

  1. S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5\sqrt{t} - 1.5t
  2. S(t)=9t−3tS(t) = 9\sqrt{t} - 3t
  3. S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5t - 1.5\sqrt{t}
  4. S(t)=4.5tS(t) = 4.5\sqrt{t}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5\sqrt{t} - 1.5t

Corrigé :

y=x3y = \frac{x}{3}

הישר OBOB

PQ=t−t3PQ = \sqrt{t} - \frac{t}{3}

QQ על OBOB מתחת ל-PP: הקטע האנכי

S=12⋅PQ⋅t+12⋅PQ⋅(9−t)=92(t−t3)\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot t + \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot (9 - t) \\ &= \frac{9}{2}\left(\sqrt{t} - \frac{t}{3}\right)\end{aligned}

שני משולשים עם בסיס משותף PQPQ; סכום הגבהים 99

S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5\sqrt{t} - 1.5t

הנכונה: 4.5t−1.5t4.5\sqrt{t} - 1.5t. המלכודת: 9t−3t9\sqrt{t} - 3t — לשכוח את החצי בנוסחת שטח המשולש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 34

y = √x
OBP0123456789101234xy

הנקודה P(t,t)P(t, \sqrt{t}) נמצאת על גרף הפונקציה y=xy = \sqrt{x}, בין ראשית הצירים OO לנקודה B(9,3)B(9, 3) שעל הגרף: 0<t<90 < t < 9. נתבונן במשולש OPBOPB. שטח המשולש הוא S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5\sqrt{t} - 1.5t. ב. עבור איזה tt השטח מקסימלי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.25

Corrigé :

S′(t)=4.52t−1.5=0\begin{aligned}S'(t) &= \frac{4.5}{2\sqrt{t}} - 1.5 \\ &= 0\end{aligned}

נגזרת של t\sqrt{t}: 12t\frac{1}{2\sqrt{t}}

t=1.5⇒t=2.25\begin{aligned}\sqrt{t} &= 1.5 \Rightarrow t \\ &= 2.25\end{aligned}
t<2.25:S′>0;t>2.25:S′<0t < 2.25: S' > 0; \quad t > 2.25: S' < 0

מקסימום

t=2.25t = 2.25. המלכודת: לעצור ב-t=1.5\sqrt{t} = 1.5 ולענות 1.51.5 — שואלים על tt.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 35

y = √x
OBP0123456789101234xy

הנקודה P(t,t)P(t, \sqrt{t}) נמצאת על גרף הפונקציה y=xy = \sqrt{x}, בין ראשית הצירים OO לנקודה B(9,3)B(9, 3) שעל הגרף: 0<t<90 < t < 9. נתבונן במשולש OPBOPB. השטח מקסימלי כאשר t=2.25t = 2.25. ג. הוכיחו או הפריכו: המשיק לגרף y=xy = \sqrt{x} בנקודה PP שבה השטח מקסימלי מקביל לקטע OBOB.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

y′=12x⇒y′(2.25)=13\begin{aligned}y' &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow y'(2.25) \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע המשיק

mOB=39=13\begin{aligned}m_{OB} &= \frac{3}{9} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע OBOB

13=13\frac{1}{3} = \frac{1}{3}

שיפועים שווים — ישרים מקבילים

נכון: השטח מקסימלי כש-PP רחוקה ככל האפשר מ-OBOB, וזה קורה כשהמשיק ב-PP מקביל ל-OBOB. המלכודת: להשוות את השיפוע ל-33, היחס 93\frac{9}{3} ההפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 36

y = √x
OBP0123456789101234xy

הנקודה P(t,t)P(t, \sqrt{t}) נמצאת על גרף הפונקציה y=xy = \sqrt{x}, בין ראשית הצירים OO לנקודה B(9,3)B(9, 3) שעל הגרף: 0<t<90 < t < 9. נתבונן במשולש OPBOPB. השטח S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5\sqrt{t} - 1.5t מקסימלי כאשר t=2.25t = 2.25. ד. חשבו את השטח המקסימלי (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.375

Corrigé :

S(2.25)=4.5⋅1.5−1.5⋅2.25=6.75−3.375=3.375\begin{aligned}S(2.25) &= 4.5 \cdot 1.5 - 1.5 \cdot 2.25 \\ &= 6.75 - 3.375 \\ &= 3.375\end{aligned}

השטח המקסימלי 3.375≈3.383.375 \approx 3.38. המלכודת: להציב t=2.25\sqrt{t} = 2.25 במקום t=2.25t = 2.25.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe