סימולציית בגרות 3

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סימולציית בגרות 3 — שאלון 35571, 5 יח״ל. המבנה של תשפ״ז: ארבעה פרקים, 8 שאלות, 3 שעות ו-45 דקות. עליכם לענות על 5 שאלות: לפחות שאלה אחת מהפרק הראשון או מהפרק השני, ולפחות שאלה אחת מכל אחד מהפרקים השלישי והרביעי. לכל שאלה 20 נקודות. פרק ראשון — שאלות קצרות: שאלה 1, ובה ארבעה סעיפים; מי שבוחר בה עונה על 2 סעיפים מתוך 4. פרק שני — אינדוקציה, סדרות והסתברות: שאלות 2 ו-3. פרק שלישי — גאומטריה וטריגונומטריה במישור: שאלות 4 ו-5. פרק רביעי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלות 6, 7 ו-8. מותר להשתמש בנוסחאון ל-5 יח״ל ובמחשבון שאינו גרפי. שאלה 1: אינדוקציה על מכפלה, הגרפים של ff, f′f' ו-f′′f'', טרפז ויחסי שטחים, שבר מחזורי. שאלה 2: סדרות הנדסיות הבנויות מסדרה נתונה. שאלה 3: התפלגות בינומית ומותנית. שאלה 4: קוטר וגובה ליתר. שאלה 5: מרובע חסום ונוסחאות סכום. שאלה 6: פונקציה רציונלית ופונקציה קדומה. שאלה 7: פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר. שאלה 8: בעיית קיצון עם משיק לפרבולה.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, כדי שתוכלו להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. לפני שמתחילים לכתוב, הקדישו חמש דקות לבחירה: עברו על כל השאלות וסמנו את חמש השאלות שאתם בטוחים בהן. בבעיית קיצון בדקו שהנקודה שמצאתם היא באמת מינימום או מקסימום; במשוואה טריגונומטרית בדקו כל פתרון מול הגאומטריה — זווית שמתקבלת מהחישוב אינה תמיד אפשרית בשרטוט.

Exercices

Question 1 — questions courtes (question (סעיף) a : récurrence)

Exercice 1

נתונה הטענה: (1−122)(1−132)⋅…⋅(1−1n2)=n+12n\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{n+1}{2n} לכל n≥2n \ge 2 טבעי. סעיף א (1). בשלב המעבר מניחים שהטענה נכונה עבור n=kn = k, וכופלים את שני האגפים בגורם הבא. למה שווה k+12k⋅(1−1(k+1)2)\frac{k+1}{2k} \cdot \left(1 - \frac{1}{(k+1)^2}\right)?

  1. k+12(k+2)\frac{k+1}{2(k+2)}
  2. k+22k\frac{k+2}{2k}
  3. k2(k+1)\frac{k}{2(k+1)}
  4. k+22(k+1)\frac{k+2}{2(k+1)}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D k+22(k+1)\frac{k+2}{2(k+1)}

Corrigé :

1−1(k+1)2=(k+1)2−1(k+1)2=k(k+2)(k+1)2\begin{aligned}1 - \frac{1}{(k+1)^2} &= \frac{(k+1)^2 - 1}{(k+1)^2} \\ &= \frac{k(k+2)}{(k+1)^2}\end{aligned}

הפרש ריבועים: (k+1)2−1=k(k+2)(k+1)^2 - 1 = k(k+2)

k+12k⋅k(k+2)(k+1)2=k+22(k+1)\frac{k+1}{2k} \cdot \frac{k(k+2)}{(k+1)^2} = \frac{k+2}{2(k+1)}

מצמצמים kk ו-(k+1)(k+1)

(k+1)+12(k+1)\frac{(k+1)+1}{2(k+1)}

זו הטענה עבור n=k+1n = k+1

הנכונה: k+22(k+1)\frac{k+2}{2(k+1)}. המלכודת: k+22k\frac{k+2}{2k} — לצמצם את kk ולשכוח שבמכנה נשאר (k+1)(k+1) מהגורם החדש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הטענה: (1−122)(1−132)⋅…⋅(1−1n2)=n+12n\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{n+1}{2n} לכל n≥2n \ge 2 טבעי. סעיף א (2). עבור איזה nn המכפלה שווה ל-0.520.52?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

n+12n=0.52\frac{n+1}{2n} = 0.52

לפי הטענה

n+1=1.04n⇒0.04n=1⇒n=25\begin{aligned}n + 1 &= 1.04n \Rightarrow 0.04n \\ &= 1 \Rightarrow n \\ &= 25\end{aligned}

n=25n = 25: המכפלה מסתיימת בגורם 1−12521 - \frac{1}{25^2}. המלכודת: לחשוב שמספר הגורמים הוא nn — המכפלה מתחילה ב-22, ולכן יש בה n−1=24n - 1 = 24 גורמים.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ב: הגרפים של f, f′, f″)

Exercice 3

שלושה גרפים: I, II, III
IIIIII-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5-12-9-6-336912xy

בשרטוט שלושה גרפים, I, II ו-III: של פונקציה ff, של הנגזרת f′f' ושל הנגזרת השנייה f′′f'' (לא בהכרח בסדר הזה). הגרף I עובר דרך הנקודות (0,−3)(0, -3) ו-(1,0)(1, 0) המסומנות. סעיף ב (1). איזו התאמה נכונה?

  1. I — ff, II — f′f', III — f′′f''
  2. I — f′f', II — ff, III — f′′f''
  3. I — f′′f'', II — ff, III — f′f'
  4. I — f′f', II — f′′f'', III — ff
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D I — f′f', II — f′′f'', III — ff

Corrigé :

III: x=±1\text{III}: \ x = \pm 1

לגרף III קיצונים ב-x=±1x = \pm 1, ושם גרף I חותך את ציר ה-xx: I היא הנגזרת של III

I: x=0\text{I}: \ x = 0

לגרף I מינימום ב-x=0x = 0, ושם הישר II חותך את הציר: II היא הנגזרת של I

III=f I=f′ II=f′′\begin{aligned}\text{III} &= f \\ \ \text{I} &= f' \\ \ \text{II} &= f''\end{aligned}

הנכונה: I — f′f', II — f′′f'', III — ff. הכלל: בכל נקודת קיצון של גרף, הגרף של הנגזרת שלו חותך את ציר ה-xx. המלכודת: לקבוע לפי «צורה» — ישר נראה «פשוט», אבל הוא כאן הנגזרת השנייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

שלושה גרפים: I, II, III
IIIIII-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5-12-9-6-336912xy

בשרטוט שלושה גרפים, I, II ו-III: של פונקציה ff, של הנגזרת f′f' ושל הנגזרת השנייה f′′f'' (לא בהכרח בסדר הזה). הגרף I עובר דרך הנקודות (0,−3)(0, -3) ו-(1,0)(1, 0) המסומנות. נמצא: I הוא הגרף של f′f', ו-II הוא הגרף של f′′f''. סעיף ב (2). חשבו את ∫01f′′(x) dx\int_0^1 f''(x)\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

∫01f′′(x) dx=f′(1)−f′(0)\int_0^1 f''(x)\,dx = f'(1) - f'(0)

המשפט היסודי: f′f' היא פונקציה קדומה של f′′f''

=0−(−3)=3= 0 - (-3) = 3

קוראים מגרף I את הנקודות המסומנות

התוצאה 33. המלכודת: לקרוא את הערכים מגרף III, של ff — הקדומה של f′′f'' היא f′f', ולכן קוראים מגרף I.

Vérifier la réponse sur elev

Question 1 — Questions courtes (question (a, b, c…) (סעיף) c : géométrie)

Exercice 5

ABCDE

בטרפז ABCDABCD הבסיסים הם AB=12AB = 12 ו-CD=6CD = 6 (AB∥CDAB \parallel CD). האלכסונים נחתכים בנקודה EE. סעיף ג (1). חשבו את היחס S△ABES△CDE\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle CDE}}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

∠ABE=∠CDE∠AEB=∠CED\begin{aligned}\angle ABE &= \angle CDE \\ \quad \angle AEB &= \angle CED\end{aligned}

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים, וזוויות קודקודיות

△ABE∼△CDEk=ABCD=2\begin{aligned}\triangle ABE \sim \triangle CDE \\ \quad k &= \frac{AB}{CD} \\ &= 2\end{aligned}

משפט דמיון ז.ז

SABESCDE=k2=4\begin{aligned}\frac{S_{ABE}}{S_{CDE}} &= k^2 \\ &= 4\end{aligned}

Le rapport des aires (יחס השטחים) de triangles semblables (משולשים דומים) est égal au carré (ריבוע) du rapport de similitude (יחס הדמיון)

היחס 44. המלכודת: לענות 22 — יחס הדמיון בלי ריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCDE

בטרפז ABCDABCD הבסיסים הם AB=12AB = 12 ו-CD=6CD = 6 (AB∥CDAB \parallel CD). האלכסונים נחתכים בנקודה EE. נמצא △ABE∼△CDE\triangle ABE \sim \triangle CDE ביחס 22. נתון S△CDE=5S_{\triangle CDE} = 5. סעיף ג (2). חשבו את שטח הטרפז.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

SABE=4⋅5=20\begin{aligned}S_{ABE} &= 4 \cdot 5 \\ &= 20\end{aligned}

ריבוע יחס הדמיון

AEEC=2⇒SADE=2⋅SCDE=10\begin{aligned}\frac{AE}{EC} &= 2 \Rightarrow S_{ADE} \\ &= 2 \cdot S_{CDE} \\ &= 10\end{aligned}

למשולשים ADEADE ו-CDECDE אותו גובה מ-DD לאלכסון ACAC

SBCE=2⋅SCDE=10\begin{aligned}S_{BCE} &= 2 \cdot S_{CDE} \\ &= 10\end{aligned}

אותו נימוק עם BEED=2\frac{BE}{ED} = 2

S=5+20+10+10=45\begin{aligned}S &= 5 + 20 + 10 + 10 \\ &= 45\end{aligned}

סכום ארבעת המשולשים

שטח הטרפז 4545. המלכודת: להניח שלארבעת המשולשים יחס 1:2:41 : 2 : 4 בלבד ולשכוח את ADEADE ו-BCEBCE — שני המשולשים הצדדיים שווים זה לזה, וכל אחד מהם 1010.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ד: טור הנדסי)

Exercice 7

המספר 1.2454545…1.2454545\ldots הוא שבר עשרוני מחזורי: הספרות 4545 חוזרות בלי סוף. סעיף ד (1). כתבו אותו כשבר פשוט בעזרת סכום של סדרה הנדסית אינסופית.

  1. 137111\frac{137}{111}
  2. 4133\frac{41}{33}
  3. 137110\frac{137}{110}
  4. 1245999\frac{1245}{999}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 137110\frac{137}{110}

Corrigé :

1.2454545…=1.2+0.045+0.00045+…1.2454545\ldots = 1.2 + 0.045 + 0.00045 + \ldots

החלק המחזורי הוא סדרה הנדסית

0.045+0.00045+…=0.0451−0.01=45990=122\begin{aligned}0.045 + 0.00045 + \ldots &= \frac{0.045}{1 - 0.01} \\ &= \frac{45}{990} \\ &= \frac{1}{22}\end{aligned}

a1=0.045a_1 = 0.045, q=0.01q = 0.01

1.2+122=132+5110=137110\begin{aligned}1.2 + \frac{1}{22} &= \frac{132 + 5}{110} \\ &= \frac{137}{110}\end{aligned}

הנכונה: 137110\frac{137}{110}. המלכודת: 1245999\frac{1245}{999} — «הכלל» של 999999 מתאים רק כשכל הספרות חוזרות; כאן 22 שאחרי הנקודה אינה חלק מהמחזור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון 0<x<10 < x < 1. סעיף ד (2). סכום הסדרה ההנדסית האינסופית x+x2+x3+…x + x^2 + x^3 + \ldots הוא 44. מצאו את xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.8

Corrigé :

x1−x=4\frac{x}{1 - x} = 4

סכום סדרה הנדסית אינסופית: a1=xa_1 = x, q=xq = x

x=4−4x⇒x=0.8\begin{aligned}x &= 4 - 4x \Rightarrow x \\ &= 0.8\end{aligned}

x=0.8x = 0.8. המלכודת: לכתוב 11−x=4\frac{1}{1 - x} = 4 — הסדרה מתחילה ב-xx, לא ב-11.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — סדרות הנדסיות הבנויות מסדרה נתונה

Exercice 9

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שבה a1=2a_1 = 2, וסכום כל איבריה 55. א. מצאו את המנה qq.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.6

Corrigé :

21−q=5\frac{2}{1 - q} = 5

Somme (סכום) d'une suite géométrique infinie (somme) (סדרה הנדסית אינסופית)

1−q=0.4⇒q=0.6\begin{aligned}1 - q &= 0.4 \Rightarrow q \\ &= 0.6\end{aligned}
∣q∣<1|q| < 1

בדיקה: הסדרה מתכנסת

q=0.6q = 0.6. המלכודת: לכתוב 21+q=5\frac{2}{1 + q} = 5 ולקבל q=−0.6q = -0.6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שבה a1=2a_1 = 2, וסכום כל איבריה 55. נמצא q=0.6q = 0.6. מגדירים bn=an2b_n = a_n^2. ב. הראו ש-bnb_n סדרה הנדסית מתכנסת, וחשבו את סכום כל איבריה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.25

Corrigé :

bn+1bn=(an+1an)2=q2=0.36\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^2 \\ &= q^2 \\ &= 0.36\end{aligned}

מנה קבועה — סדרה הנדסית, ו-0.36<10.36 < 1

b1=a12=4\begin{aligned}b_1 &= a_1^2 \\ &= 4\end{aligned}
Sb=41−0.36=6.25\begin{aligned}S_b &= \frac{4}{1 - 0.36} \\ &= 6.25\end{aligned}

הסכום 6.256.25. המלכודת: להעלות בריבוע את הסכום, 52=255^2 = 25 — סכום הריבועים אינו ריבוע הסכום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שבה a1=2a_1 = 2, וסכום כל איבריה 55. נמצא q=0.6q = 0.6. מגדירים cn=an⋅knc_n = a_n \cdot k^n, ו-k≠0k \neq 0 פרמטר. ג. לאילו ערכים של kk הסדרה cnc_n מתכנסת (כלומר יש לה סכום סופי)?

  1. −1<k<1-1 < k < 1, k≠0k \neq 0
  2. k<53k < \frac{5}{3}, k≠0k \neq 0
  3. −53<k<53-\frac{5}{3} < k < \frac{5}{3}, k≠0k \neq 0
  4. 0<k<530 < k < \frac{5}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −53<k<53-\frac{5}{3} < k < \frac{5}{3}, k≠0k \neq 0

Corrigé :

cn+1cn=an+1an⋅k=0.6k\begin{aligned}\frac{c_{n+1}}{c_n} &= \frac{a_{n+1}}{a_n} \cdot k \\ &= 0.6k\end{aligned}

המנה של cnc_n

∣0.6k∣<1⇒∣k∣<53|0.6k| < 1 \Rightarrow |k| < \frac{5}{3}

תנאי ההתכנסות של טור הנדסי

הנכונה: −53<k<53-\frac{5}{3} < k < \frac{5}{3}, k≠0k \neq 0. המלכודת: k<53k < \frac{5}{3} — לשכוח את הערך המוחלט; עבור k=−2k = -2 המנה −1.2-1.2, והסדרה מתבדרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שבה a1=2a_1 = 2, וסכום כל איבריה 55. נמצא q=0.6q = 0.6, ו-cn=an⋅knc_n = a_n \cdot k^n. ד. עבור k=1.5k = 1.5 חשבו את סכום כל איברי cnc_n.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

c1=a1⋅1.5=3\begin{aligned}c_1 &= a_1 \cdot 1.5 \\ &= 3\end{aligned}

שימו לב: knk^n עם n=1n = 1

qc=0.6⋅1.5=0.9\begin{aligned}q_c &= 0.6 \cdot 1.5 \\ &= 0.9\end{aligned}
Sc=31−0.9=30\begin{aligned}S_c &= \frac{3}{1 - 0.9} \\ &= 30\end{aligned}

הסכום 3030. המלכודת: לקחת c1=a1=2c_1 = a_1 = 2 ולקבל 2020 — באיבר הראשון כבר יש גורם k1k^1.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — התפלגות בינומית ומותנית

Exercice 13

בחידון, כל תלמיד עונה על שאלות של «נכון או לא נכון». ההסתברות שתלמידה מסוימת תענה נכון על שאלה היא pp, כאשר p>0.5p > 0.5, והתשובות בלתי תלויות זו בזו. ההסתברות שבשתי שאלות היא תטעה בדיוק באחת היא 0.420.42. א. מצאו את pp.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.7

Corrigé :

2p(1−p)=0.422p(1 - p) = 0.42

שני סדרים: נכון-שגוי או שגוי-נכון

p2−p+0.21=0⇒p=0.7 או p=0.3\begin{aligned}p^2 - p + 0.21 &= 0 \Rightarrow p \\ &= 0.7 \ \text{או} \ p \\ &= 0.3\end{aligned}
p=0.7p = 0.7

לפי הנתון p>0.5p > 0.5

p=0.7p = 0.7. המלכודת: לכתוב p(1−p)=0.42p(1 - p) = 0.42 בלי הגורם 22 — אין לזה פתרון ממשי, כי המקסימום של p(1−p)p(1-p) הוא 0.250.25.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

בחידון, כל תלמיד עונה על שאלות של «נכון או לא נכון». ההסתברות שתלמידה מסוימת תענה נכון על שאלה היא pp, כאשר p>0.5p > 0.5, והתשובות בלתי תלויות זו בזו. נמצא p=0.7p = 0.7. בחידון 6 שאלות. ב. מה ההסתברות שהתלמידה תענה נכון על 5 שאלות לפחות? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.42

Corrigé :

P(5)=(65)⋅0.75⋅0.3≈0.3025P(5) = \binom{6}{5} \cdot 0.7^5 \cdot 0.3 \approx 0.3025

נוסחת ברנולי

P(6)=0.76≈0.1176P(6) = 0.7^6 \approx 0.1176
P(≥5)≈0.420P(\ge 5) \approx 0.420

מאורעות זרים: מחברים

ההסתברות ≈0.420\approx 0.420. המלכודת: לחשב רק P(5)P(5) — «לפחות 5» כולל גם את 6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

בחידון, כל תלמיד עונה על שאלות של «נכון או לא נכון». ההסתברות שתלמידה מסוימת תענה נכון על שאלה היא pp, כאשר p>0.5p > 0.5, והתשובות בלתי תלויות זו בזו. נמצא p=0.7p = 0.7; בחידון של 6 שאלות, ההסתברות לענות נכון על 5 לפחות היא בערך 0.4200.420. ג. ידוע שהתלמידה ענתה נכון על 5 שאלות לפחות. מה ההסתברות שענתה נכון על כל השאלות? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.28

Corrigé :

P(6∣≥5)=P(6)P(≥5)P(6 \mid \ge 5) = \frac{P(6)}{P(\ge 5)}

המאורע «6» מוכל ב-«לפחות 5»: החיתוך הוא P(6)P(6)

=0.760.4202≈0.280= \frac{0.7^6}{0.4202} \approx 0.280

ההסתברות ≈0.280\approx 0.280. המלכודת: לענות 0.76≈0.1180.7^6 \approx 0.118 — זו ההסתברות בלי התנאי. המידע שקיבלנו מקטין את מרחב המדגם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

בחידון, כל תלמיד עונה על שאלות של «נכון או לא נכון». ההסתברות שתלמידה מסוימת תענה נכון על שאלה היא pp, כאשר p>0.5p > 0.5, והתשובות בלתי תלויות זו בזו. נמצא p=0.7p = 0.7. בחידון 6 שאלות. ד. ידוע שהתלמידה ענתה נכון על 4 שאלות בדיוק. מה ההסתברות ששתי השאלות הראשונות הן בין אלה שענתה עליהן נכון?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.4

Corrigé :

P(4)=(64)p4(1−p)2P(\text{4}) = \binom{6}{4} p^4 (1-p)^2

התנאי

P(שתיים∩4)=p2⋅(42)p2(1−p)2P(\text{שתיים} \cap 4) = p^2 \cdot \binom{4}{2} p^2 (1-p)^2

שתי הראשונות נכונות, ועוד 2 נכונות מבין 4 האחרות

(42)(64)=615=0.4\begin{aligned}\frac{\binom{4}{2}}{\binom{6}{4}} &= \frac{6}{15} \\ &= 0.4\end{aligned}

pp מצטמצם

ההסתברות 0.40.4 — והיא לא תלויה ב-pp: בהינתן 4 תשובות נכונות, כל בחירה של 4 מקומות שווה בסיכוייה. המלכודת: לענות 0.72=0.490.7^2 = 0.49 ולהתעלם מהתנאי.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — קוטר וגובה ליתר

Exercice 17

ABOECM

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, והנקודה CC על המעגל. CECE מאונך לקוטר (EE על ABAB). MM אמצע המיתר ACAC. א. הוכיחו: △ACB∼△AEC\triangle ACB \sim \triangle AEC.

  • ABAB קוטר
  • CE⊥ABCE \perp AB

△ACB∼△AEC\triangle ACB \sim \triangle AEC

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  2. ∠AEC=90∘\angle AEC = 90^\circ — נתון: CE⊥ABCE \perp AB
  3. ∠CAB=∠EAC\angle CAB = \angle EAC — angle (זווית) commun aux deux triangles
  4. △ACB∼△AEC\triangle ACB \sim \triangle AEC — Théorème de similitude A-A

Corrigé :

∠ACB=∠AEC=90∘\begin{aligned}\angle ACB &= \angle AEC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית על קוטר, ונתון

∠A\angle A

משותפת

△ACB∼△AEC\triangle ACB \sim \triangle AEC

A-A

ההתאמה: A→AA \to A, C→EC \to E, B→CB \to C. המלכודת: להתאים BB ל-EE — הזוויות הישרות הן ב-CC במשולש הגדול וב-EE בקטן, ולכן C↔EC \leftrightarrow E.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

ABOECM

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, והנקודה CC על המעגל. CECE מאונך לקוטר (EE על ABAB). MM אמצע המיתר ACAC. הוכח: △ACB∼△AEC\triangle ACB \sim \triangle AEC. נתון AE=3AE = 3 ו-EB=9EB = 9. ב. חשבו את ACAC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

ACAE=ABAC\frac{AC}{AE} = \frac{AB}{AC}

יחס צלעות מתאימות

AC2=AE⋅AB=3⋅12=36\begin{aligned}AC^2 &= AE \cdot AB \\ &= 3 \cdot 12 \\ &= 36\end{aligned}

AB=AE+EB=12AB = AE + EB = 12

AC=6AC = 6

AC=6AC = 6. המלכודת: לכפול AE⋅EB=27AE \cdot EB = 27 — זה נותן את CE2CE^2, לא את AC2AC^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

ABOECM

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, והנקודה CC על המעגל. CECE מאונך לקוטר (EE על ABAB). MM אמצע המיתר ACAC. נתון AE=3AE = 3 ו-EB=9EB = 9, ונמצא AC=6AC = 6. ג. מהו אורך CECE?

  1. 333\sqrt{3}
  2. 323\sqrt{2}
  3. 232\sqrt{3}
  4. 636\sqrt{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 333\sqrt{3}

Corrigé :

CE2=AC2−AE2=36−9=27\begin{aligned}CE^2 &= AC^2 - AE^2 \\ &= 36 - 9 \\ &= 27\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש AECAEC

CE=27=33\begin{aligned}CE &= \sqrt{27} \\ &= 3\sqrt{3}\end{aligned}
CE2=AE⋅EB=27\begin{aligned}CE^2 &= AE \cdot EB \\ &= 27\end{aligned}

בדיקה: הגובה ליתר

הנכונה: 333\sqrt{3}. המלכודת: 636\sqrt{3} — זה BCBC, ולא הגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

ABOECM

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, והנקודה CC על המעגל. CECE מאונך לקוטר (EE על ABAB). MM אמצע המיתר ACAC. נתון AE=3AE = 3, EB=9EB = 9; נמצא AC=6AC = 6 ו-CE=33CE = 3\sqrt{3}. ד. הוכיחו או הפריכו: OM=CEOM = CE.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

OM∥BCOM=BC2\begin{aligned}OM \parallel BC \\ \quad OM &= \frac{BC}{2}\end{aligned}

קטע אמצעים במשולש ABCABC: OO אמצע ABAB ו-MM אמצע ACAC

BC=AB2−AC2=144−36=63\begin{aligned}BC &= \sqrt{AB^2 - AC^2} \\ &= \sqrt{144 - 36} \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

משפט פיתגורס: ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

OM=33=CE\begin{aligned}OM &= 3\sqrt{3} \\ &= CE\end{aligned}

נכון: שניהם 333\sqrt{3}. המלכודת: לחשוב ש-OMOM רדיוס כי OO המרכז — MM אינה על המעגל, היא אמצע מיתר.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — מרובע חסום ונוסחאות סכום

Exercice 21

α2αACOBD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. האלכסון ACAC הוא קוטר, והנקודות BB ו-DD משני צדדיו. נתון ∠CAB=α\angle CAB = \alpha ו-∠CAD=2α\angle CAD = 2\alpha. א. הביעו את האלכסון BDBD באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. 2Rcos⁡3α2R\cos 3\alpha
  2. 2Rsin⁡α2R\sin\alpha
  3. 2Rsin⁡3α2R\sin 3\alpha
  4. Rsin⁡3αR\sin 3\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 2Rsin⁡3α2R\sin 3\alpha

Corrigé :

∠BAD=α+2α=3α\begin{aligned}\angle BAD &= \alpha + 2\alpha \\ &= 3\alpha\end{aligned}

חיבור זוויות

BDsin⁡∠BAD=2R\frac{BD}{\sin \angle BAD} = 2R

משפט הסינוסים במשולש ABDABD, החסום באותו מעגל

BD=2Rsin⁡3αBD = 2R\sin 3\alpha

הנכונה: 2Rsin⁡3α2R\sin 3\alpha. המלכודת: Rsin⁡3αR\sin 3\alpha — היחס בין צלע לסינוס הזווית שמולה הוא הקוטר, 2R2R.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

α2αACOBD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. האלכסון ACAC הוא קוטר, והנקודות BB ו-DD משני צדדיו. נתון ∠CAB=α\angle CAB = \alpha ו-∠CAD=2α\angle CAD = 2\alpha. ב. מהו שטח המרובע ABCDABCD?

  1. R2(sin⁡α+sin⁡2α)R^2(\sin\alpha + \sin 2\alpha)
  2. 2R2sin⁡3αsin⁡α2R^2\sin 3\alpha\sin\alpha
  3. R2sin⁡3αcos⁡αR^2\sin 3\alpha\cos\alpha
  4. 2R2sin⁡3αcos⁡α2R^2\sin 3\alpha\cos\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 2R2sin⁡3αcos⁡α2R^2\sin 3\alpha\cos\alpha

Corrigé :

∠ABC=∠ADC=90∘\begin{aligned}\angle ABC &= \angle ADC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית הנשענת על קוטר

SABC=12⋅2Rcos⁡α⋅2Rsin⁡α=R2sin⁡2α\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2} \cdot 2R\cos\alpha \cdot 2R\sin\alpha \\ &= R^2\sin 2\alpha\end{aligned}

במשולש ישר-זווית: AB=2Rcos⁡αAB = 2R\cos\alpha, BC=2Rsin⁡αBC = 2R\sin\alpha

SADC=12⋅2Rcos⁡2α⋅2Rsin⁡2α=R2sin⁡4α\begin{aligned}S_{ADC} &= \frac{1}{2} \cdot 2R\cos 2\alpha \cdot 2R\sin 2\alpha \\ &= R^2\sin 4\alpha\end{aligned}

אותו חישוב עם 2α2\alpha

R2(sin⁡4α+sin⁡2α)=2R2sin⁡3αcos⁡αR^2(\sin 4\alpha + \sin 2\alpha) = 2R^2\sin 3\alpha\cos\alpha

סכום סינוסים: sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡x+y2cos⁡x−y2\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}

הנכונה: 2R2sin⁡3αcos⁡α2R^2\sin 3\alpha\cos\alpha. המלכודת: R2(sin⁡α+sin⁡2α)R^2(\sin\alpha + \sin 2\alpha) — לשכוח שהזווית הכפולה נכנסת לשטח: 12⋅2sin⁡αcos⁡α⋅4R2=R2sin⁡2α\frac{1}{2} \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha \cdot 4R^2 = R^2 \sin 2\alpha.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

α2αACOBD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. האלכסון ACAC הוא קוטר, והנקודות BB ו-DD משני צדדיו. נתון ∠CAB=α\angle CAB = \alpha ו-∠CAD=2α\angle CAD = 2\alpha. נמצא BD=2Rsin⁡3αBD = 2R\sin 3\alpha. נתון BD=R2BD = R\sqrt{2}. ג. מצאו את α\alpha (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

sin⁡3α=22\sin 3\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}
3α=45∘ או 3α=135∘\begin{aligned}3\alpha &= 45^\circ \ \text{או} \ 3\alpha \\ &= 135^\circ\end{aligned}

שתי זוויות בין 0∘0^\circ ל-180∘180^\circ

α=45∘⇒∠CAD=90∘\begin{aligned}\alpha &= 45^\circ \Rightarrow \angle CAD \\ &= 90^\circ\end{aligned}

נפסל: זווית היקפית הנשענת על חלק מחצי מעגל קטנה מ-90∘90^\circ; DD הייתה מתלכדת עם AA

α=15∘\alpha = 15^\circ

α=15∘\alpha = 15^\circ. המלכודת: להשאיר גם α=45∘\alpha = 45^\circ — אז ∠CAD=90∘\angle CAD = 90^\circ, וזה אפשרי רק אם D=AD = A.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

α2αACOBD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. האלכסון ACAC הוא קוטר, והנקודות BB ו-DD משני צדדיו. נתון ∠CAB=α\angle CAB = \alpha ו-∠CAD=2α\angle CAD = 2\alpha. נמצא α=15∘\alpha = 15^\circ, ושטח המרובע S=2R2sin⁡3αcos⁡αS = 2R^2\sin 3\alpha\cos\alpha. נתון ששטח המרובע 3636. ד. מצאו את RR (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.13

Corrigé :

2R2sin⁡45∘cos⁡15∘=362R^2\sin 45^\circ\cos 15^\circ = 36

מציבים α=15∘\alpha = 15^\circ

R2=362⋅0.7071⋅0.9659≈26.35R^2 = \frac{36}{2 \cdot 0.7071 \cdot 0.9659} \approx 26.35
R≈5.13R \approx 5.13

R≈5.13R \approx 5.13. המלכודת: להציב sin⁡15∘\sin 15^\circ במקום sin⁡45∘\sin 45^\circ — בנוסחה מופיע sin⁡3α\sin 3\alpha.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 6 — פונקציה רציונלית ופונקציה קדומה

Exercice 25

נתונה הפונקציה f(x)=ax(x2+1)2f(x) = \frac{ax}{(x^2 + 1)^2}, ו-aa פרמטר. נתון f(1)=2f(1) = 2. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f(1)=a(1+1)2=a4=2\begin{aligned}f(1) &= \frac{a}{(1 + 1)^2} \\ &= \frac{a}{4} \\ &= 2\end{aligned}

מציבים x=1x = 1

a=8a = 8

a=8a = 8. המלכודת: לשכוח את הריבוע שבמכנה ולקבל a=4a = 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

נתונה הפונקציה f(x)=ax(x2+1)2f(x) = \frac{ax}{(x^2 + 1)^2}, ו-aa פרמטר. נתון f(1)=2f(1) = 2. נמצא a=8a = 8, ו-f′(x)=8(1−3x2)(x2+1)3f'(x) = \frac{8(1 - 3x^2)}{(x^2 + 1)^3}. ב. מצאו את נקודת המקסימום של ff (עגלו את שני השיעורים לשתי ספרות אחרי הנקודה).

( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ( 0.58 , 2.6 )

Corrigé :

f′(x)=0⇒x2=13⇒x=±13\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= \frac{1}{3} \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד

−13<x<13:f′>0;x>13:f′<0-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}: f' > 0; \quad x > \frac{1}{\sqrt{3}}: f' < 0

מקסימום ב-x=13x = \frac{1}{\sqrt{3}}

f(13)=83169=332≈2.60\begin{aligned}f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &= \frac{\frac{8}{\sqrt{3}}}{\frac{16}{9}} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.60\end{aligned}

המקסימום (13,332)≈(0.58,2.60)\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \approx (0.58, 2.60). המלכודת: לקחת את x=−13x = -\frac{1}{\sqrt{3}} — שם ff שלילית, וזו נקודת המינימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 27

נתונה הפונקציה f(x)=ax(x2+1)2f(x) = \frac{ax}{(x^2 + 1)^2}, ו-aa פרמטר. נתון f(1)=2f(1) = 2. נמצא a=8a = 8. gg היא פונקציה שמקיימת g′(x)=f(x)g'(x) = f(x) לכל xx, והישר y=0y = 0 הוא אסימפטוטה אופקית של gg. ג. מהי g(x)g(x)?

  1. g(x)=−4(x2+1)2g(x) = -\frac{4}{(x^2 + 1)^2}
  2. g(x)=−4x2+1g(x) = -\frac{4}{x^2 + 1}
  3. g(x)=4−4x2+1g(x) = 4 - \frac{4}{x^2 + 1}
  4. g(x)=4x2+1g(x) = \frac{4}{x^2 + 1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B g(x)=−4x2+1g(x) = -\frac{4}{x^2 + 1}

Corrigé :

∫8x(x2+1)2 dx=4∫2x(x2+1)2 dx\int \frac{8x}{(x^2 + 1)^2}\,dx = 4\int \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\,dx

המונה הוא נגזרת הביטוי הפנימי: f(u)⋅u′f(u) \cdot u' עם u=x2+1u = x^2 + 1

=4⋅(−1x2+1)+C=−4x2+1+C= 4 \cdot \left(-\frac{1}{x^2 + 1}\right) + C = -\frac{4}{x^2 + 1} + C

הקדומה של 1u2\frac{1}{u^2} היא −1u-\frac{1}{u}

x→∞: g→C=0x \to \infty: \ g \to C = 0

האסימפטוטה y=0y = 0 קובעת את הקבוע

הנכונה: −4x2+1-\frac{4}{x^2 + 1}. המלכודת: 4−4x2+14 - \frac{4}{x^2 + 1} — זו קדומה נכונה, אבל האסימפטוטה שלה y=4y = 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 28

נתונה הפונקציה f(x)=ax(x2+1)2f(x) = \frac{ax}{(x^2 + 1)^2}, ו-aa פרמטר. נתון f(1)=2f(1) = 2. נמצא a=8a = 8, ו-g(x)=−4x2+1g(x) = -\frac{4}{x^2 + 1} היא פונקציה קדומה של ff. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף ff, ציר ה-xx והישר x=1x = 1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x≥0⇒f(x)≥0x \ge 0 \Rightarrow f(x) \ge 0

המונה 8x8x אי-שלילי והמכנה חיובי: הגרף מעל הציר

S=∫01f(x) dx=g(1)−g(0)\begin{aligned}S &= \int_0^1 f(x)\,dx \\ &= g(1) - g(0)\end{aligned}

השטח מתחיל בנקודת החיתוך של ff עם הציר, x=0x = 0

=−2−(−4)=2= -2 - (-4) = 2

השטח 22. המלכודת: להניח ש-g(0)=0g(0) = 0 ולענות −2-2 — g(0)=−4g(0) = -4, ושטח אינו שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר

Exercice 29

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+bcos⁡xf(x) = \sin^2 x + b\cos x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, ו-bb פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=π3x = \frac{\pi}{3}. א. מצאו את bb.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=2sin⁡xcos⁡x−bsin⁡x=sin⁡x(2cos⁡x−b)\begin{aligned}f'(x) &= 2\sin x\cos x - b\sin x \\ &= \sin x(2\cos x - b)\end{aligned}

נגזרת של פונקציה מורכבת: (sin⁡2x)′=2sin⁡x⋅cos⁡x(\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot \cos x

f′(π3)=32(1−b)=0⇒b=1\begin{aligned}f'\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - b) \\ &= 0 \Rightarrow b \\ &= 1\end{aligned}

cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}

b=1b = 1. המלכודת: לגזור sin⁡2x\sin^2 x ל-2sin⁡x2\sin x בלי הנגזרת הפנימית cos⁡x\cos x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 30

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+bcos⁡xf(x) = \sin^2 x + b\cos x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, ו-bb פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=π3x = \frac{\pi}{3}. נמצא b=1b = 1, כלומר f(x)=sin⁡2x+cos⁡xf(x) = \sin^2 x + \cos x. ב. הוכיחו או הפריכו: ff פונקציה זוגית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(−x)=sin⁡2(−x)+cos⁡(−x)=(−sin⁡x)2+cos⁡x\begin{aligned}f(-x) &= \sin^2(-x) + \cos(-x) \\ &= (-\sin x)^2 + \cos x\end{aligned}

sin⁡\sin אי-זוגית ו-cos⁡\cos זוגית

=sin⁡2x+cos⁡x=f(x)= \sin^2 x + \cos x = f(x)

והתחום סימטרי

נכון: ff זוגית, והגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy. המלכודת: לחשוב ש-sin⁡2x\sin^2 x אי-זוגית «כי sin⁡\sin אי-זוגית» — הריבוע מבטל את הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 31

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+bcos⁡xf(x) = \sin^2 x + b\cos x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, ו-bb פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=π3x = \frac{\pi}{3}. נמצא b=1b = 1; ff זוגית, f(0)=1f(0) = 1, f(±π)=−1f(\pm\pi) = -1, ובנקודות x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3} יש מקסימום שערכו 1.251.25. ג. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=1.1f(x) = 1.1 בתחום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f′(x)=sin⁡x(2cos⁡x−1)f'(x) = \sin x(2\cos x - 1)

קיצונים ב-00, ±π3\pm\frac{\pi}{3}, ובקצוות

0→π3: 1↗1.25;π3→π: 1.25↘−10 \to \frac{\pi}{3}: \ 1 \nearrow 1.25; \quad \frac{\pi}{3} \to \pi: \ 1.25 \searrow -1

בכל קטע מונוטוני הערך 1.11.1 מתקבל פעם אחת

2+2=42 + 2 = 4

עוד שני פתרונות בחצי השלילי, מהזוגיות

ארבעה פתרונות. המלכודת: לענות 22 ולפספס את הקטע 0<x<π30 < x < \frac{\pi}{3} — בין המינימום המקומי f(0)=1f(0) = 1 למקסימום 1.251.25 הגרף עובר גם הוא דרך 1.11.1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 32

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+bcos⁡xf(x) = \sin^2 x + b\cos x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, ו-bb פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=π3x = \frac{\pi}{3}. נמצא b=1b = 1, כלומר f(x)=sin⁡2x+cos⁡xf(x) = \sin^2 x + \cos x, ו-f(x)≥0f(x) \ge 0 בתחום 0≤x≤π20 \le x \le \frac{\pi}{2}. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף ff, הצירים והישר x=π2x = \frac{\pi}{2} (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.79

Corrigé :

sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

זהות הזווית הכפולה: cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x

∫0π/2(12−cos⁡2x2+cos⁡x)dx=[x2−sin⁡2x4+sin⁡x]0π/2\int_0^{\pi/2} \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos 2x}{2} + \cos x\right) dx = \left[\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + \sin x\right]_0^{\pi/2}
=π4+1≈1.79= \frac{\pi}{4} + 1 \approx 1.79

השטח π4+1≈1.79\frac{\pi}{4} + 1 \approx 1.79. המלכודת: לכתוב ∫sin⁡2x dx=sin⁡3x3\int \sin^2 x\,dx = \frac{\sin^3 x}{3} — זה נכון רק כשיש גם גורם cos⁡x\cos x; כאן חייבים את זהות הזווית הכפולה.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 8 — בעיית קיצון עם משיק לפרבולה

Exercice 33

y = 9 − x²
A01234-1123456789101112xy

הנקודה A(t,9−t2)A(t, 9 - t^2) נמצאת על גרף הפונקציה y=9−x2y = 9 - x^2, ו-0<t<30 < t < 3. המשיק לגרף בנקודה AA יוצר עם הצירים משולש ברביע הראשון. א. מהו שטח המשולש כפונקציה של tt?

  1. S(t)=(9+t2)22tS(t) = \frac{(9 + t^2)^2}{2t}
  2. S(t)=(9+t2)24tS(t) = \frac{(9 + t^2)^2}{4t}
  3. S(t)=(9−t2)24tS(t) = \frac{(9 - t^2)^2}{4t}
  4. S(t)=9+t24tS(t) = \frac{9 + t^2}{4t}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B S(t)=(9+t2)24tS(t) = \frac{(9 + t^2)^2}{4t}

Corrigé :

y=−2t(x−t)+9−t2=−2tx+9+t2\begin{aligned}y &= -2t(x - t) + 9 - t^2 \\ &= -2tx + 9 + t^2\end{aligned}

משוואת המשיק: השיפוע y′=−2ty' = -2t

x=0: y=9+t2;y=0: x=9+t22t\begin{aligned}x &= 0: \ y \\ &= 9 + t^2; \quad y \\ &= 0: \ x \\ &= \frac{9 + t^2}{2t}\end{aligned}

נקודות החיתוך עם הצירים

S=12⋅9+t22t⋅(9+t2)=(9+t2)24t\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot \frac{9 + t^2}{2t} \cdot (9 + t^2) \\ &= \frac{(9 + t^2)^2}{4t}\end{aligned}

שטח משולש ישר-זווית

הנכונה: (9+t2)24t\frac{(9 + t^2)^2}{4t}. המלכודת: (9−t2)24t\frac{(9 - t^2)^2}{4t} — להשתמש בגובה של הנקודה AA במקום בנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 34

y = 9 − x²
A01234-1123456789101112xy

הנקודה A(t,9−t2)A(t, 9 - t^2) נמצאת על גרף הפונקציה y=9−x2y = 9 - x^2, ו-0<t<30 < t < 3. המשיק לגרף בנקודה AA יוצר עם הצירים משולש ברביע הראשון. שטח המשולש הוא S(t)=(9+t2)24tS(t) = \frac{(9 + t^2)^2}{4t}. ב. עבור איזה tt השטח מינימלי? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.73

Corrigé :

S′(t)=2(9+t2)⋅2t⋅4t−(9+t2)2⋅416t2=(9+t2)(3t2−9)4t2\begin{aligned}S'(t) &= \frac{2(9 + t^2) \cdot 2t \cdot 4t - (9 + t^2)^2 \cdot 4}{16t^2} \\ &= \frac{(9 + t^2)(3t^2 - 9)}{4t^2}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

3t2−9=0⇒t=3≈1.73\begin{aligned}3t^2 - 9 &= 0 \Rightarrow t \\ &= \sqrt{3} \approx 1.73\end{aligned}

9+t2>09 + t^2 > 0

t<3:S′<0;t>3:S′>0t < \sqrt{3}: S' < 0; \quad t > \sqrt{3}: S' > 0

מינימום

t=3≈1.73t = \sqrt{3} \approx 1.73. המלכודת: לגזור את (9+t2)2(9 + t^2)^2 בלי הנגזרת הפנימית 2t2t.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 35

y = 9 − x²
A01234-1123456789101112xy

הנקודה A(t,9−t2)A(t, 9 - t^2) נמצאת על גרף הפונקציה y=9−x2y = 9 - x^2, ו-0<t<30 < t < 3. המשיק לגרף בנקודה AA יוצר עם הצירים משולש ברביע הראשון. השטח S(t)=(9+t2)24tS(t) = \frac{(9 + t^2)^2}{4t} מינימלי כאשר t=3t = \sqrt{3}. ג. חשבו את השטח המינימלי (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20.78

Corrigé :

S(3)=12243=363=123≈20.78\begin{aligned}S(\sqrt{3}) &= \frac{12^2}{4\sqrt{3}} \\ &= \frac{36}{\sqrt{3}} \\ &= 12\sqrt{3} \approx 20.78\end{aligned}

השטח המינימלי 123≈20.7812\sqrt{3} \approx 20.78. המלכודת: להציב t=3t = 3 במקום t2=3t^2 = 3.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe