סימולציית בגרות 4

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סימולציית בגרות 4 — שאלון 035571 (5 יח״ל). משך הבחינה: שלוש שעות ושלושה רבעים (225 דקות). מותר להשתמש במחשבון לא גרפי ובנוסחאון ל-5 יח״ל. בבחינה ארבעה פרקים ושמונה שאלות: פרק א — שאלות קצרות (שאלה 1); פרק ב — אינדוקציה, סדרות והסתברות (שאלות 2–3); פרק ג — גאומטריה וטריגונומטריה במישור (שאלות 4–5); פרק ד — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6–8). עליכם לענות על 5 שאלות: לפחות אחת מפרק א או מפרק ב, ולפחות אחת מכל אחד מהפרקים ג ו-ד. מי שבוחר בשאלה 1 עונה על 2 מתוך 4 הסעיפים שלה. לכל שאלה 20 נקודות. כל השאלות כתובות כאן — בחרו כמו בבחינה, או תרגלו את כולן.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בשאלה 1 הסעיפים א–ד בלתי תלויים. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה; בחקירה — תחום הגדרה קודם, וטבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון. חלקו את הזמן: כ-45 דקות לשאלה.

Exercices

שאלה 1א — שאלות קצרות: אינדוקציה

Exercice 1

נתונה הטענה: לכל nn טבעי, 1+2⋅3+3⋅32+⋯+n⋅3n−1=(2n+c)⋅3n+141 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1} = \frac{(2n+c) \cdot 3^n + 1}{4}, כאשר cc קבוע. (1) מצאו את cc בעזרת המקרה n=1n = 1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

1=(2+c)⋅3+141 = \frac{(2+c) \cdot 3 + 1}{4}

מציבים n=1n = 1: באגף שמאל יש איבר אחד, 1⋅30=11 \cdot 3^0 = 1

4=3(2+c)+1⇒2+c=1⇒c=−1\begin{aligned}4 &= 3(2+c) + 1 \Rightarrow 2 + c \\ &= 1 \Rightarrow c \\ &= -1\end{aligned}
n=2: 1+6=73⋅9+14=7\begin{aligned}n &= 2: \ 1 + 6 \\ &= 7 \\ \quad \frac{3 \cdot 9 + 1}{4} &= 7\end{aligned}

בדיקה במקרה n=2n = 2

c=−1c = -1. המלכודת: לכתוב באגף שמאל 1⋅31=31 \cdot 3^1 = 3 — האיבר ה-kk הוא k⋅3k−1k \cdot 3^{k-1}, ולכן האיבר הראשון הוא 11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הטענה: לכל nn טבעי, 1+2⋅3+3⋅32+⋯+n⋅3n−1=(2n+c)⋅3n+141 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1} = \frac{(2n+c) \cdot 3^n + 1}{4}, כאשר cc קבוע. נמצא c=−1c = -1. (2) בשלב המעבר מניחים שהטענה נכונה עבור n=mn = m. לאיזה ביטוי שווה סכום m+1m + 1 האיברים הראשונים, אחרי שמציבים את הנחת האינדוקציה?

  1. (2m−1)⋅3m+14+m⋅3m−1\frac{(2m-1) \cdot 3^m + 1}{4} + m \cdot 3^{m-1}
  2. (2m−1)⋅3m+14+(m+1)⋅3m\frac{(2m-1) \cdot 3^m + 1}{4} + (m+1) \cdot 3^m
  3. (2m+1)⋅3m+1+14+(m+1)⋅3m\frac{(2m+1) \cdot 3^{m+1} + 1}{4} + (m+1) \cdot 3^m
  4. (2m−1)⋅3m+14+(m+1)⋅3m+1\frac{(2m-1) \cdot 3^m + 1}{4} + (m+1) \cdot 3^{m+1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B (2m−1)⋅3m+14+(m+1)⋅3m\frac{(2m-1) \cdot 3^m + 1}{4} + (m+1) \cdot 3^m

Corrigé :

Sm+1=Sm+(m+1)⋅3(m+1)−1S_{m+1} = S_m + (m+1) \cdot 3^{(m+1)-1}

מוסיפים לסכום את האיבר ה-(m+1)(m+1)

=(2m−1)⋅3m+1+4(m+1)⋅3m4=(6m+3)⋅3m+14= \frac{(2m-1) \cdot 3^m + 1 + 4(m+1) \cdot 3^m}{4} = \frac{(6m+3) \cdot 3^m + 1}{4}

הנחת האינדוקציה ומכנה משותף

=(2m+1)⋅3m+1+14= \frac{(2m+1) \cdot 3^{m+1} + 1}{4}

זו הטענה עבור n=m+1n = m + 1: 2(m+1)−1=2m+12(m+1) - 1 = 2m + 1

התשובה הנכונה: מוסיפים (m+1)⋅3m(m+1) \cdot 3^m. המלכודות: להוסיף שוב את האיבר ה-mm; לכתוב 3m+13^{m+1} — המעריך קטן באחד מהמקום; ולהציב את מה שצריך להוכיח במקום את ההנחה.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 1ב — שאלות קצרות: פונקציה צוברת

Exercice 3

הגרף של f
-1012345-3-2-112345xy

בשרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x. נגדיר g(x)=∫0xf(t) dtg(x) = \int_0^x f(t)\,dt. (1) לפונקציה gg יש נקודת מינימום אחת בתחום x>0x > 0. מצאו את שיעור ה-xx שלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

g′(x)=f(x)g'(x) = f(x)

המשפט היסודי: הנגזרת של הפונקציה הצוברת היא הפונקציה שמתחת לאינטגרל

0<x<3:f<0,x>3:f>00 < x < 3: f < 0, \quad x > 3: f > 0

לפי הגרף: gg יורדת ואחר כך עולה

x=3x = 3

מינימום של gg

x=3x = 3. המלכודת: לחפש את המינימום של ff עצמה, x=1.5x = 1.5 — הקיצון של gg נמצא היכן ש-ff מתאפסת ומחליפה סימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הגרף של f
-1012345-3-2-112345xy

בשרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x. נגדיר g(x)=∫0xf(t) dtg(x) = \int_0^x f(t)\,dt. נמצא שהמינימום של gg בתחום x>0x > 0 הוא ב-x=3x = 3. (2) מצאו את ה-x>0x > 0 שבו g(x)=0g(x) = 0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.5

Corrigé :

g(x)=∫0x(t2−3t) dt=x33−3x22\begin{aligned}g(x) &= \int_0^x (t^2 - 3t)\,dt \\ &= \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\end{aligned}

פונקציה קדומה ואז הצבה של הגבולות

x2(x3−32)=0⇒x=4.5\begin{aligned}x^2 \left(\frac{x}{3} - \frac{3}{2}\right) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4.5\end{aligned}

פתרון x=0x = 0 נפסל: דרוש x>0x > 0

∫03f=−4.5∫34.5f=4.5\begin{aligned}\int_0^3 f &= -4.5 \\ \quad \int_3^{4.5} f &= 4.5\end{aligned}

השטח מתחת לציר מתקזז עם השטח שמעליו

x=4.5x = 4.5. המלכודת: לענות x=3x = 3 — שם ff מתאפסת, אבל g(3)=−4.5g(3) = -4.5. gg מתאפסת רק כשהשטח שמעל הציר מאזן את השטח שמתחתיו.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 1ג — שאלות קצרות: משיק וחותך

Exercice 5

PABTO

מהנקודה PP, שמחוץ למעגל, יוצאים המשיק PTPT (TT נקודת ההשקה) והחותך PBPB, שחותך את המעגל בנקודות AA ו-BB (AA בין PP ל-BB). נתון PA=4PA = 4 ו-AB=5AB = 5. (1) חשבו את PTPT.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

PB=PA+AB=9\begin{aligned}PB &= PA + AB \\ &= 9\end{aligned}
PT2=PA⋅PB=4⋅9=36\begin{aligned}PT^2 &= PA \cdot PB \\ &= 4 \cdot 9 \\ &= 36\end{aligned}

משפט משיק וחותך: ריבוע המשיק שווה למכפלת החותך כולו בחלקו החיצוני

PT=6PT = 6

PT=6PT = 6. המלכודת: לכפול PA⋅AB=20PA \cdot AB = 20 — במשפט נכנס החותך כולו, PB=9PB = 9, ולא רק המיתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

PABTO

מהנקודה PP, שמחוץ למעגל, יוצאים המשיק PTPT (TT נקודת ההשקה) והחותך PBPB, שחותך את המעגל בנקודות AA ו-BB (AA בין PP ל-BB). נתון PA=4PA = 4 ו-AB=5AB = 5. נמצא PT=6PT = 6. (2) מהו היחס בין שטח △PTA\triangle PTA לשטח △PBT\triangle PBT?

  1. 45\frac{4}{5}
  2. 1625\frac{16}{25}
  3. 49\frac{4}{9}
  4. 23\frac{2}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 49\frac{4}{9}

Corrigé :

∠TPA=∠BPT\angle TPA = \angle BPT

angle (זווית) commun

∠PTA=∠PBT\angle PTA = \angle PBT

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני

△PTA∼△PBTk=PTPB=69=23\begin{aligned}\triangle PTA \sim \triangle PBT \\ \quad k &= \frac{PT}{PB} \\ &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט דמיון ז.ז

SPTASPBT=k2=49\begin{aligned}\frac{S_{PTA}}{S_{PBT}} &= k^2 \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון

התשובה הנכונה: 49\frac{4}{9}. המלכודות: 23\frac{2}{3} — יחס הדמיון בלי ריבוע; 45\frac{4}{5} ו-1625\frac{16}{25} — היחס PAAB\frac{PA}{AB}, בין קטעים שאינם צלעות מתאימות.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 1ד — שאלות קצרות: עד ההצלחה הראשונה

Exercice 7

רותם זורקת כדור לסל שוב ושוב, ומפסיקה ברגע שהיא קולעת בפעם הראשונה. בכל זריקה ההסתברות שהיא קולעת היא 0.30.3, בלי תלות בזריקות האחרות. (1) מה ההסתברות שהיא תקלע לראשונה בזריקה השלישית?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.147

Corrigé :

P=0.7⋅0.7⋅0.3P = 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.3

שתי החטאות ברצף ואז קליעה — סדר אחד בלבד

=0.147= 0.147

0.1470.147. המלכודת: להכפיל ב-(31)=3\binom{3}{1} = 3 כמו בברנולי ולקבל 0.4410.441 — כאן הסדר קבוע: הקליעה היא האחרונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

רותם זורקת כדור לסל שוב ושוב, ומפסיקה ברגע שהיא קולעת בפעם הראשונה. בכל זריקה ההסתברות שהיא קולעת היא 0.30.3, בלי תלות בזריקות האחרות. (2) מה ההסתברות שהיא תזרוק יותר מ-4 זריקות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2401

Corrigé :

P=0.7⋅0.7⋅0.7⋅0.7=0.74\begin{aligned}P &= 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 \\ &= 0.7^4\end{aligned}

יותר מ-4 זריקות קורה בדיוק כשארבע הזריקות הראשונות מחטיאות

=0.2401= 0.2401

0.24010.2401. המלכודת: לחשב 0.74⋅0.30.7^4 \cdot 0.3 — זו ההסתברות לקלוע בדיוק בזריקה החמישית, ולא לעבור את הרביעית.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — סדרה הנדסית אינסופית: מקומות זוגיים ואי-זוגיים

Exercice 9

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת ana_n, שכל איבריה חיוביים. סכום כל איברי הסדרה הוא 1818, וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים, a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots, הוא 13.513.5. א. מהי מנת הסדרה qq?

  1. 34\frac{3}{4}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 14\frac{1}{4}
  4. 23\frac{2}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 13\frac{1}{3}

Corrigé :

S=a11−q=18S1=a11−q2=13.5\begin{aligned}S &= \frac{a_1}{1-q} \\ &= 18 \\ \quad S_1 &= \frac{a_1}{1-q^2} \\ &= 13.5\end{aligned}

S1S_1 — סכום האיברים במקומות האי-זוגיים: סדרה הנדסית שמנתה q2q^2

S1S=1−q1−q2=11+q=13.518=34\begin{aligned}\frac{S_1}{S} &= \frac{1-q}{1-q^2} \\ &= \frac{1}{1+q} \\ &= \frac{13.5}{18} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

מחלקים ומצמצמים ב-1−q1-q

1+q=43⇒q=13\begin{aligned}1 + q &= \frac{4}{3} \Rightarrow q \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

התשובה הנכונה: 13\frac{1}{3}. המלכודת: 34\frac{3}{4} — לחשוב שיחס הסכומים הוא המנה. תת-הסדרה של המקומות האי-זוגיים מתקדמת במנה q2q^2, לא qq.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת ana_n, שכל איבריה חיוביים. סכום כל איברי הסדרה הוא 1818, וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים, a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots, הוא 13.513.5. נמצא q=13q = \frac{1}{3}. ב. מצאו את a1a_1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

a11−13=18⇒a1=18⋅23=12\begin{aligned}\frac{a_1}{1 - \frac{1}{3}} &= 18 \Rightarrow a_1 \\ &= 18 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 12\end{aligned}

נוסחת הסכום האינסופי

121−19=13.5 ✓\frac{12}{1 - \frac{1}{9}} = 13.5 \ \checkmark

בדיקה בסכום האי-זוגיים

a1=12a_1 = 12. המלכודת: לכתוב a1=18(1+q)=24a_1 = 18(1+q) = 24 — מכפילים ב-1−q1-q, לא ב-1+q1+q.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת ana_n, שכל איבריה חיוביים. סכום כל איברי הסדרה הוא 1818, וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים, a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots, הוא 13.513.5. נמצא a1=12a_1 = 12 ו-q=13q = \frac{1}{3}. מגדירים bn=a2n−1−a2nb_n = a_{2n-1} - a_{2n}. ג. הסדרה bnb_n הנדסית. מהם האיבר הראשון שלה והמנה שלה?

  1. b1=8b_1 = 8, והמנה 13\frac{1}{3}
  2. b1=4b_1 = 4, והמנה 19\frac{1}{9}
  3. b1=8b_1 = 8, והמנה 19\frac{1}{9}
  4. b1=16b_1 = 16, והמנה 19\frac{1}{9}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C b1=8b_1 = 8, והמנה 19\frac{1}{9}

Corrigé :

b1=a1−a2=12−4=8\begin{aligned}b_1 &= a_1 - a_2 \\ &= 12 - 4 \\ &= 8\end{aligned}
bn=a1q2n−2−a1q2n−1=a1(1−q)⋅(q2)n−1\begin{aligned}b_n &= a_1 q^{2n-2} - a_1 q^{2n-1} \\ &= a_1 (1-q) \cdot (q^2)^{n-1}\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

bn+1bn=q2=19\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= q^2 \\ &= \frac{1}{9}\end{aligned}

המנה קבועה — הסדרה הנדסית

∑bn=81−19=9=13.5−4.5\begin{aligned}\sum b_n &= \frac{8}{1 - \frac{1}{9}} \\ &= 9 \\ &= 13.5 - 4.5\end{aligned}

בדיקה: סכום האי-זוגיים פחות סכום הזוגיים

התשובה הנכונה: b1=8b_1 = 8 ומנה 19\frac{1}{9}. המלכודת: מנה 13\frac{1}{3} — כל איבר של bnb_n מדלג שני מקומות בסדרה ana_n.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת ana_n, שכל איבריה חיוביים. סכום כל איברי הסדרה הוא 1818, וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים, a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots, הוא 13.513.5. נמצא a1=12a_1 = 12 ו-q=13q = \frac{1}{3}. ד. מהו המקום nn הראשון שבו an<0.01a_n < 0.01?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

an=12⋅(13)n−1<0.01  ⟺  3n−1>1200a_n = 12 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 0.01 \iff 3^{n-1} > 1200

Le terme général (איבר הכללי)

36=72937=2187\begin{aligned}3^6 &= 729 \\ \quad 3^7 &= 2187\end{aligned}

בודקים חזקות של 3

n−1=7⇒n=8\begin{aligned}n - 1 &= 7 \Rightarrow n \\ &= 8\end{aligned}

n=8n = 8. המלכודת: לעצור ב-n=7n = 7 — המעריך הוא n−1n - 1, ולכן החזקה 373^7 שייכת לאיבר השמיני.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — הסתברות מותנית וברנולי

Exercice 13

במאפייה שני תנורים. תנור א אופה 60%60\% מהעוגיות, ותנור ב אופה את השאר. ההסתברות שעוגייה מתנור א נשרפת היא pp, וההסתברות שעוגייה מתנור ב נשרפת היא 2p2p. ידוע ש-7%7\% מכל העוגיות במאפייה נשרפות. א. מצאו את pp.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.05

Corrigé :

0.6⋅p+0.4⋅2p=0.070.6 \cdot p + 0.4 \cdot 2p = 0.07

Formule des probabilités totales (נוסחת ההסתברות השלמה) : deux branches dans l'arbre

1.4p=0.07⇒p=0.05\begin{aligned}1.4p &= 0.07 \Rightarrow p \\ &= 0.05\end{aligned}

p=0.05p = 0.05. המלכודת: לחבר p+2p=0.07p + 2p = 0.07 בלי משקלות התנורים — כל ענף מוכפל בהסתברות להגיע אליו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

במאפייה שני תנורים. תנור א אופה 60%60\% מהעוגיות, ותנור ב אופה את השאר. ההסתברות שעוגייה מתנור א נשרפת היא pp, וההסתברות שעוגייה מתנור ב נשרפת היא 2p2p. ידוע ש-7%7\% מכל העוגיות במאפייה נשרפות. נמצא p=0.05p = 0.05. ב. בוחרים באקראי עוגייה שרופה. מה ההסתברות שהיא מתנור ב? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.57

Corrigé :

P(B∩W)=0.4⋅0.1=0.04\begin{aligned}P(B \cap W) &= 0.4 \cdot 0.1 \\ &= 0.04\end{aligned}

BB — העוגייה מתנור ב, WW — העוגייה שרופה

P(B∣W)=0.040.07=47≈0.57\begin{aligned}P(B \mid W) &= \frac{0.04}{0.07} \\ &= \frac{4}{7} \approx 0.57\end{aligned}

הסתברות מותנית: חלק הענף מכל השרופות

47≈0.57\frac{4}{7} \approx 0.57. המלכודת: לענות 0.10.1 — זו ההסתברות שעוגייה מתנור ב נשרפת, התנאי ההפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

במאפייה שני תנורים. תנור א אופה 60%60\% מהעוגיות, ותנור ב אופה את השאר. ההסתברות שעוגייה מתנור א נשרפת היא pp, וההסתברות שעוגייה מתנור ב נשרפת היא 2p2p. ידוע ש-7%7\% מכל העוגיות במאפייה נשרפות. ההסתברות שעוגייה נשרפת היא 0.070.07. ג. בוחרים באקראי 5 עוגיות, בלי תלות זו בזו. מה ההסתברות שבדיוק 2 מהן שרופות? עגלו לארבע ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.0394

Corrigé :

P(X=2)=(52)⋅0.072⋅0.933P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot 0.07^2 \cdot 0.93^3

נוסחת ברנולי: 5 ניסויים, 2 הצלחות

=10⋅0.0049⋅0.804357≈0.0394= 10 \cdot 0.0049 \cdot 0.804357 \approx 0.0394

≈0.0394\approx 0.0394. המלכודת: לשכוח את (52)=10\binom{5}{2} = 10 — יש עשרה מקומות אפשריים לשתי העוגיות השרופות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

במאפייה שני תנורים. תנור א אופה 60%60\% מהעוגיות, ותנור ב אופה את השאר. ההסתברות שעוגייה מתנור א נשרפת היא pp, וההסתברות שעוגייה מתנור ב נשרפת היא 2p2p. ידוע ש-7%7\% מכל העוגיות במאפייה נשרפות. ההסתברות שעוגייה נשרפת היא 0.070.07, ובוחרים באקראי 5 עוגיות. ד. ידוע שבין 5 העוגיות יש לפחות עוגייה שרופה אחת. מה ההסתברות שיש ביניהן בדיוק אחת? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.86

Corrigé :

P(X≥1)=1−0.935≈0.3043P(X \ge 1) = 1 - 0.93^5 \approx 0.3043

המשלים של «אף אחת»

P(X=1)=5⋅0.07⋅0.934≈0.2618P(X = 1) = 5 \cdot 0.07 \cdot 0.93^4 \approx 0.2618

ברנולי

P(X=1∣X≥1)=0.26180.3043≈0.86P(X = 1 \mid X \ge 1) = \frac{0.2618}{0.3043} \approx 0.86

המאורע «בדיוק אחת» מוכל ב«לפחות אחת»

≈0.86\approx 0.86. המלכודת: לענות 0.26180.2618 — שוכחים לחלק בהסתברות התנאי.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — משיק, קוטר ודמיון

Exercice 17

ABPCO

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, ו-CC נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה CC חותך את המשך הקוטר ABAB בנקודה PP (BB בין AA ל-PP). א. הוכיחו: △PCB∼△PAC\triangle PCB \sim \triangle PAC.

  • ABAB קוטר במעגל
  • PCPC משיק למעגל בנקודה CC
  • PP על המשך ABAB

△PCB∼△PAC\triangle PCB \sim \triangle PAC

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠CPB=∠APC\angle CPB = \angle APC — angle (זווית) commun aux deux triangles
  2. ∠PCB=∠PAC\angle PCB = \angle PAC — L'angle (זווית) entre une tangente (משיק) et une corde (מיתר) est égal à l'angle inscrit (היקפית) qui intercepte la corde (מיתר) de l'autre côté
  3. △PCB∼△PAC\triangle PCB \sim \triangle PAC — Théorème de similitude A-A

Corrigé :

∠CPB=∠APC\angle CPB = \angle APC

angle (זווית) commun

∠PCB=∠PAC\angle PCB = \angle PAC

זווית בין משיק למיתר CBCB שווה להיקפית שמולו

△PCB∼△PAC\triangle PCB \sim \triangle PAC

A-A

ההתאמה: P→PP \to P, C→AC \to A, B→CB \to C. המלכודת: לכתוב △PCB∼△PCA\triangle PCB \sim \triangle PCA — הזווית ליד CC במשולש הקטן שווה לזווית ליד AA בגדול, והסדר קובע את היחסים בסעיפים הבאים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

ABPCO

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, ו-CC נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה CC חותך את המשך הקוטר ABAB בנקודה PP (BB בין AA ל-PP). הוכח ש-△PCB∼△PAC\triangle PCB \sim \triangle PAC. ב. נתון PB=4PB = 4 ו-PC=8PC = 8. חשבו את רדיוס המעגל.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

PCPA=PBPC\frac{PC}{PA} = \frac{PB}{PC}

יחס צלעות מתאימות במשולשים הדומים

PA=PC2PB=644=16\begin{aligned}PA &= \frac{PC^2}{PB} \\ &= \frac{64}{4} \\ &= 16\end{aligned}
AB=PA−PB=12⇒R=6\begin{aligned}AB &= PA - PB \\ &= 12 \Rightarrow R \\ &= 6\end{aligned}

הקוטר הוא פעמיים הרדיוס

R=6R = 6. המלכודת: לעצור ב-AB=12AB = 12 — זה הקוטר. ועוד מלכודת: לענות PA=16PA = 16 בתור הקוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

ABPCO

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, ו-CC נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה CC חותך את המשך הקוטר ABAB בנקודה PP (BB בין AA ל-PP). הוכח ש-△PCB∼△PAC\triangle PCB \sim \triangle PAC, ונמצא PA=16PA = 16 ורדיוס המעגל 66 (נתון PB=4PB = 4, PC=8PC = 8). ג. חשבו את שטח המשולש ABCABC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 28.8

Corrigé :

CBAC=PCPA=816=12\begin{aligned}\frac{CB}{AC} &= \frac{PC}{PA} \\ &= \frac{8}{16} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס צלעות מתאימות: CB↔ACCB \leftrightarrow AC

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר

BC2+(2BC)2=122⇒BC2=28.8\begin{aligned}BC^2 + (2BC)^2 &= 12^2 \Rightarrow BC^2 \\ &= 28.8\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש ABCABC

SABC=12⋅BC⋅2BC=BC2=28.8\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot 2BC \\ &= BC^2 \\ &= 28.8\end{aligned}

שטח משולש ישר-זווית: חצי מכפלת הניצבים

השטח 28.828.8. המלכודת: לקחת BC=PB=4BC = PB = 4 — הקטעים PBPB ו-BCBC שונים; את היחס CBAC\frac{CB}{AC} נותן הדמיון.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — משפט הסינוסים ורדיוס המעגל החוסם

Exercice 20

α2αABC

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון ∠BAC=α\angle BAC = \alpha ו-∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha. א. הביעו את ACAC באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. AC=2Rsin⁡3αAC = 2R\sin 3\alpha
  2. AC=2Rsin⁡2αAC = 2R\sin 2\alpha
  3. AC=Rsin⁡2αAC = R\sin 2\alpha
  4. AC=2Rsin⁡αAC = 2R\sin\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B AC=2Rsin⁡2αAC = 2R\sin 2\alpha

Corrigé :

ACsin⁡∠ABC=2R\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R

משפט הסינוסים: הצלע ACAC מול הזווית BB

AC=2Rsin⁡2αAC = 2R\sin 2\alpha

התשובה הנכונה: 2Rsin⁡2α2R\sin 2\alpha. המלכודות: 2Rsin⁡α2R\sin\alpha — זו הצלע BCBC, שמול α\alpha; 2Rsin⁡3α2R\sin 3\alpha — זו ABAB, שמול הזווית 180∘−3α180^\circ - 3\alpha; ו-Rsin⁡2αR\sin 2\alpha — היחס במשפט הסינוסים הוא הקוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

α2αABC

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון ∠BAC=α\angle BAC = \alpha ו-∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha. נמצא AC=2Rsin⁡2αAC = 2R\sin 2\alpha ו-BC=2Rsin⁡αBC = 2R\sin\alpha. ב. נתון ACBC=1.6\frac{AC}{BC} = 1.6. מצאו את α\alpha במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36.87

Corrigé :

sin⁡2αsin⁡α=2sin⁡αcos⁡αsin⁡α=2cos⁡α\begin{aligned}\frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha} &= \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2\cos\alpha\end{aligned}

זהות הזווית הכפולה

2cos⁡α=1.6⇒cos⁡α=0.8\begin{aligned}2\cos\alpha &= 1.6 \Rightarrow \cos\alpha \\ &= 0.8\end{aligned}
α≈36.87∘\alpha \approx 36.87^\circ

בדיקה: 3α<180∘3\alpha < 180^\circ, כך שיש משולש

α≈36.87∘\alpha \approx 36.87^\circ. המלכודת: לכתוב sin⁡2αsin⁡α=2\frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha} = 2 — מצמצמים את הזוויות במקום את הסינוסים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

α2αABC

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון ∠BAC=α\angle BAC = \alpha ו-∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha. נמצא cos⁡α=0.8\cos\alpha = 0.8 (כלומר sin⁡α=0.6\sin\alpha = 0.6). ג. נתון R=10R = 10. חשבו את שטח המשולש ABCABC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 107.83

Corrigé :

BC=2Rsin⁡α=12AC=2Rsin⁡2α=20⋅0.96=19.2\begin{aligned}BC &= 2R\sin\alpha \\ &= 12 \\ \quad AC &= 2R\sin 2\alpha \\ &= 20 \cdot 0.96 \\ &= 19.2\end{aligned}

משפט הסינוסים; sin⁡2α=2⋅0.6⋅0.8\sin 2\alpha = 2 \cdot 0.6 \cdot 0.8

∠C=180∘−3αsin⁡∠C=sin⁡3α\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 3\alpha \\ \quad \sin \angle C &= \sin 3\alpha\end{aligned}

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α=1.8−0.864=0.936\begin{aligned}\sin 3\alpha &= 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha \\ &= 1.8 - 0.864 \\ &= 0.936\end{aligned}

זהות הזווית המשולשת (או sin⁡(2α+α)\sin(2\alpha + \alpha))

S=12⋅12⋅19.2⋅0.936≈107.83S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 19.2 \cdot 0.936 \approx 107.83

שטח: חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן

השטח ≈107.83\approx 107.83. המלכודת: להכפיל ב-sin⁡α\sin\alpha או ב-sin⁡2α\sin 2\alpha — הזווית שבין BCBC ל-ACAC היא הזווית CC.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 6 — פונקציית שורש עם פרמטר

Exercice 23

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, כאשר a>0a > 0 פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בראשית הצירים הוא 13\frac{1}{3}. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

f′(x)=x2+a−x⋅xx2+ax2+a=a(x2+a)x2+a\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x^2+a} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+a}}}{x^2+a} \\ &= \frac{a}{(x^2+a)\sqrt{x^2+a}}\end{aligned}

נגזרת של מנה, ונגזרת של שורש

f′(0)=aaa=1a=13\begin{aligned}f'(0) &= \frac{a}{a\sqrt{a}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}
a=3⇒a=9\begin{aligned}\sqrt{a} &= 3 \Rightarrow a \\ &= 9\end{aligned}

a=9a = 9. המלכודת: לפשט את f′(0)f'(0) ל-1a\frac{1}{a} ולקבל a=3a = 3 — במכנה יש aaa\sqrt{a}, לא a2a^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, כאשר a>0a > 0 פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בראשית הצירים הוא 13\frac{1}{3}. נמצא a=9a = 9. ב. מצאו את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה.

כאשר x→∞x \to \infty: y=y = ____ כאשר x→−∞x \to -\infty: y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : כאשר x→∞x \to \infty: y=y = 1 כאשר x→−∞x \to -\infty: y=y = -1

Corrigé :

x2+9≈∣x∣\sqrt{x^2 + 9} \approx |x|

ל-∣x∣|x| גדול, ה-99 זניח

x→∞: x∣x∣=1x→−∞: x∣x∣=−1\begin{aligned}x \to \infty: \ \frac{x}{|x|} &= 1 \\ \quad x \to -\infty: \ \frac{x}{|x|} &= -1\end{aligned}

שתי אסימפטוטות: y=1y = 1 ו-y=−1y = -1. המלכודת: לכתוב x2=x\sqrt{x^2} = x ולקבל y=1y = 1 בשני הצדדים — x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|, ולכן בפונקציית שורש האסימפטוטה ב-−∞-\infty יכולה להיות אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, כאשר a>0a > 0 פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בראשית הצירים הוא 13\frac{1}{3}. נמצא a=9a = 9, והנגזרת השנייה היא f′′(x)=−27x(x2+9)2x2+9f''(x) = \frac{-27x}{(x^2+9)^2\sqrt{x^2+9}}. ג. מה נכון לגבי הקעירות של הפונקציה?

  1. קעורה כלפי מטה בכל התחום
  2. קעורה כלפי מעלה ב-x<0x < 0, קעורה כלפי מטה ב-x>0x > 0, ונקודת פיתול ב-(0,0)(0, 0)
  3. קעורה כלפי מטה ב-x<0x < 0, קעורה כלפי מעלה ב-x>0x > 0, ונקודת פיתול ב-(0,0)(0, 0)
  4. אין לפונקציה נקודת פיתול, כי f′(0)≠0f'(0) \neq 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B קעורה כלפי מעלה ב-x<0x < 0, קעורה כלפי מטה ב-x>0x > 0, ונקודת פיתול ב-(0,0)(0, 0)

Corrigé :

f′(x)=9(x2+9)−32⇒f′′(x)=9⋅(−32)⋅2x⋅(x2+9)−52\begin{aligned}f'(x) &= 9(x^2+9)^{-\frac{3}{2}} \Rightarrow f''(x) \\ &= 9 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot 2x \cdot (x^2+9)^{-\frac{5}{2}}\end{aligned}

נגזרת של פונקציה מורכבת

x<0:f′′>0,x>0:f′′<0x < 0: f'' > 0, \quad x > 0: f'' < 0

המכנה חיובי תמיד; הסימן נקבע לפי −27x-27x

(0,f(0))=(0,0)(0, f(0)) = (0, 0)

הנגזרת השנייה מחליפה סימן — נקודת פיתול

התשובה הנכונה: קעורה כלפי מעלה משמאל, כלפי מטה מימין, ופיתול ב-(0,0)(0,0). המלכודת: לחשוב שנקודת פיתול דורשת f′=0f' = 0 — כאן המשיק בפיתול משופע, בשיפוע 13\frac{1}{3}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, כאשר a>0a > 0 פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בראשית הצירים הוא 13\frac{1}{3}. נמצא a=9a = 9. ד. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x) = k פתרון אחד בדיוק?

  1. k>0k > 0
  2. −1≤k≤1-1 \le k \le 1
  3. −1<k<1-1 < k < 1
  4. לכל kk
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −1<k<1-1 < k < 1

Corrigé :

f′(x)=9(x2+9)x2+9>0f'(x) = \frac{9}{(x^2+9)\sqrt{x^2+9}} > 0

הפונקציה עולה בכל התחום

y=−1 (x→−∞)y=1 (x→∞)\begin{aligned}y &= -1 \ (x \to -\infty) \\ \quad y &= 1 \ (x \to \infty)\end{aligned}

האסימפטוטות מסעיף ב: הגרף מתקרב אליהן ואינו מגיע

−1<f(x)<1-1 < f(x) < 1

כל ערך בטווח מתקבל פעם אחת בדיוק

התשובה הנכונה: −1<k<1-1 < k < 1. המלכודת: לכלול את ±1\pm 1 — אלה ערכי האסימפטוטות, והפונקציה לא מגיעה אליהם.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית עם זווית כפולה

Exercice 27

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

  1. x=π2x = \frac{\pi}{2} בלבד
  2. x=π2x = \frac{\pi}{2}, x=7π6x = \frac{7\pi}{6} ו-x=11π6x = \frac{11\pi}{6}
  3. x=π2x = \frac{\pi}{2} ו-x=3π2x = \frac{3\pi}{2}
  4. x=0x = 0, x=πx = \pi ו-x=2πx = 2\pi
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x=π2x = \frac{\pi}{2} ו-x=3π2x = \frac{3\pi}{2}

Corrigé :

sin⁡2x+2cos⁡x=2sin⁡xcos⁡x+2cos⁡x=2cos⁡x(sin⁡x+1)\begin{aligned}\sin 2x + 2\cos x &= 2\sin x\cos x + 2\cos x \\ &= 2\cos x(\sin x + 1)\end{aligned}

זהות הזווית הכפולה, ואז גורם משותף

cos⁡x=0⇒x=π23π2;sin⁡x=−1⇒x=3π2\begin{aligned}\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{\pi}{2} \\ \frac{3\pi}{2}; \quad \sin x &= -1 \Rightarrow x \\ &= \frac{3\pi}{2}\end{aligned}

מכפלה שווה לאפס

התשובה הנכונה: π2\frac{\pi}{2} ו-3π2\frac{3\pi}{2}. המלכודות: לפתור רק sin⁡2x=0\sin 2x = 0; או לפתור sin⁡x=−12\sin x = -\frac{1}{2} במקום sin⁡x=−1\sin x = -1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 28

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. הנגזרת היא f′(x)=−2(2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)f'(x) = -2(2\sin x - 1)(\sin x + 1). ב. מהי נקודת המקסימום המוחלט של הפונקציה בתחום?

  1. (5π6,332)\left(\frac{5\pi}{6}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)
  2. (0,2)(0, 2)
  3. (π6,332)\left(\frac{\pi}{6}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)
  4. (3π2,0)\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (π6,332)\left(\frac{\pi}{6}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)

Corrigé :

f′(x)=2cos⁡2x−2sin⁡x=2(1−2sin⁡2x)−2sin⁡x=−2(2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos 2x - 2\sin x \\ &= 2(1 - 2\sin^2 x) - 2\sin x \\ &= -2(2\sin x - 1)(\sin x + 1)\end{aligned}

cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x

sin⁡x=12⇒x=π65π6\begin{aligned}\sin x &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \frac{\pi}{6} \\ \frac{5\pi}{6}\end{aligned}

נקודות חשודות

f(π6)=32+3=332≈2.6\begin{aligned}f\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.6\end{aligned}

ערך מקסימום; בקצוות f(0)=f(2π)=2f(0) = f(2\pi) = 2

f(5π6)=−32−3=−332\begin{aligned}f\left(\frac{5\pi}{6}\right) &= -\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \\ &= -\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

זה המינימום

התשובה הנכונה: (π6,332)\left(\frac{\pi}{6}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right). המלכודות: 5π6\frac{5\pi}{6} — גם שם sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2}, אבל cos⁡x<0\cos x < 0 והערך שלילי; ו-(0,2)(0, 2) — קצה התחום, נמוך יותר מהמקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 29

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. הנגזרת היא f′(x)=−2(2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)f'(x) = -2(2\sin x - 1)(\sin x + 1). ג. הוכיחו או הפריכו: לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=3π2x = \frac{3\pi}{2}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f′(3π2)=0f'\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0

sin⁡x+1=0\sin x + 1 = 0

sin⁡x+1≥0,2sin⁡x−1<0\sin x + 1 \ge 0, \quad 2\sin x - 1 < 0

בסביבת x=3π2x = \frac{3\pi}{2} הערך sin⁡x\sin x קרוב ל-−1-1

f′(x)=−2⋅(−)⋅(+)≥0f'(x) = -2 \cdot (-) \cdot (+) \ge 0

משני צדי הנקודה: הנגזרת לא מחליפה סימן — הפונקציה ממשיכה לעלות

הטענה אינה נכונה: ב-3π2\frac{3\pi}{2} יש משיק אופקי בלי קיצון. המלכודת: להסיק קיצון מ-f′=0f' = 0 לבד — חייבים החלפת סימן של הנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 30

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. ד. בתחום π2≤x≤3π2\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2} הגרף נמצא מתחת לציר ה-xx. חשבו את השטח המוגבל בין הגרף לבין ציר ה-xx בתחום זה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

F(x)=−cos⁡2x2+2sin⁡xF(x) = -\frac{\cos 2x}{2} + 2\sin x

פונקציה קדומה: ∫sin⁡2x dx=−cos⁡2x2\int \sin 2x\,dx = -\frac{\cos 2x}{2}

F(3π2)−F(π2)=(12−2)−(12+2)=−4\begin{aligned}F\left(\frac{3\pi}{2}\right) - F\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \left(\frac{1}{2} - 2\right) - \left(\frac{1}{2} + 2\right) \\ &= -4\end{aligned}

האינטגרל שלילי — הגרף מתחת לציר

S=4S = 4

השטח הוא הערך המוחלט

השטח 44. המלכודות: לכתוב ∫sin⁡2x dx=−cos⁡2x\int \sin 2x\,dx = -\cos 2x בלי החלוקה ב-22; ולהשאיר את התשובה −4-4 — שטח אינו שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 8 — בעיית קיצון: טרפז בחצי מעגל

Exercice 31

θABCDO

בחצי מעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66 חסום הטרפז ABCDABCD: הבסיס ABAB הוא הקוטר, והקודקודים CC ו-DD על הקשת, כך ש-DC∥ABDC \parallel AB. נסמן ∠COB=θ\angle COB = \theta, כאשר 0∘<θ<90∘0^\circ < \theta < 90^\circ. א. הביעו את שטח הטרפז באמצעות θ\theta.

  1. S(θ)=18sin⁡θ(1+cos⁡θ)S(\theta) = 18\sin\theta(1 + \cos\theta)
  2. S(θ)=72sin⁡θ(1+cos⁡θ)S(\theta) = 72\sin\theta(1 + \cos\theta)
  3. S(θ)=36sin⁡θcos⁡θS(\theta) = 36\sin\theta\cos\theta
  4. S(θ)=36sin⁡θ(1+cos⁡θ)S(\theta) = 36\sin\theta(1 + \cos\theta)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D S(θ)=36sin⁡θ(1+cos⁡θ)S(\theta) = 36\sin\theta(1 + \cos\theta)

Corrigé :

h=6sin⁡θDC=2⋅6cos⁡θ=12cos⁡θ\begin{aligned}h &= 6\sin\theta \\ \quad DC &= 2 \cdot 6\cos\theta \\ &= 12\cos\theta\end{aligned}

במשולש ישר-הזווית שהגובה מ-CC יוצר עם OC=6OC = 6

S=(12+12cos⁡θ)⋅6sin⁡θ2=36sin⁡θ(1+cos⁡θ)\begin{aligned}S &= \frac{(12 + 12\cos\theta) \cdot 6\sin\theta}{2} \\ &= 36\sin\theta(1 + \cos\theta)\end{aligned}

שטח טרפז: סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי 2

התשובה הנכונה: 36sin⁡θ(1+cos⁡θ)36\sin\theta(1+\cos\theta). המלכודות: לשכוח לחלק ב-22 (7272); או לקחת DC=6cos⁡θDC = 6\cos\theta — CC ו-DD סימטריות, והבסיס העליון הוא פעמיים ההיטל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 32

θABCDO

בחצי מעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66 חסום הטרפז ABCDABCD: הבסיס ABAB הוא הקוטר, והקודקודים CC ו-DD על הקשת, כך ש-DC∥ABDC \parallel AB. נסמן ∠COB=θ\angle COB = \theta, כאשר 0∘<θ<90∘0^\circ < \theta < 90^\circ. שטח הטרפז הוא S(θ)=36sin⁡θ(1+cos⁡θ)S(\theta) = 36\sin\theta(1 + \cos\theta). ב. מצאו את θ\theta (במעלות) שבעבורו שטח הטרפז מקסימלי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

S′(θ)=36(cos⁡θ+cos⁡2θ−sin⁡2θ)=36(2cos⁡2θ+cos⁡θ−1)\begin{aligned}S'(\theta) &= 36(\cos\theta + \cos^2\theta - \sin^2\theta) \\ &= 36(2\cos^2\theta + \cos\theta - 1)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה; sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta

36(2cos⁡θ−1)(cos⁡θ+1)=0⇒cos⁡θ=12\begin{aligned}36(2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) &= 0 \Rightarrow \cos\theta \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

בתחום cos⁡θ+1>0\cos\theta + 1 > 0

θ<60∘:S′>0,θ>60∘:S′<0\theta < 60^\circ: S' > 0, \quad \theta > 60^\circ: S' < 0

עלייה ואז ירידה — מקסימום

θ=60∘\theta = 60^\circ. המלכודת: לגזור את sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta כאילו הוא cos⁡θ⋅(−sin⁡θ)\cos\theta \cdot (-\sin\theta) בלבד — זו מכפלה, ושני הגורמים משתנים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 33

θABCDO

בחצי מעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66 חסום הטרפז ABCDABCD: הבסיס ABAB הוא הקוטר, והקודקודים CC ו-DD על הקשת, כך ש-DC∥ABDC \parallel AB. נסמן ∠COB=θ\angle COB = \theta, כאשר 0∘<θ<90∘0^\circ < \theta < 90^\circ. השטח S(θ)=36sin⁡θ(1+cos⁡θ)S(\theta) = 36\sin\theta(1 + \cos\theta) מקסימלי ב-θ=60∘\theta = 60^\circ. ג. חשבו את השטח המקסימלי. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 46.77

Corrigé :

S(60∘)=36⋅32⋅32=273≈46.77\begin{aligned}S(60^\circ) &= 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} \\ &= 27\sqrt{3} \approx 46.77\end{aligned}
S→0 (θ→0∘),S→36 (θ→90∘)S \to 0 \ (\theta \to 0^\circ), \quad S \to 36 \ (\theta \to 90^\circ)

בקצוות השטח קטן יותר

השטח המקסימלי 273≈46.7727\sqrt{3} \approx 46.77 — חצי משושה משוכלל. המלכודת: להציב θ=60\theta = 60 ברדיאנים במחשבון.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe