סימולציית בגרות 5

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סימולציית בגרות 5 — שאלון 035571 (5 יח״ל). משך הבחינה: שלוש שעות ושלושה רבעים (225 דקות). מותר להשתמש במחשבון לא גרפי ובנוסחאון ל-5 יח״ל. בבחינה ארבעה פרקים ושמונה שאלות: פרק א — שאלות קצרות (שאלה 1); פרק ב — אינדוקציה, סדרות והסתברות (שאלות 2–3); פרק ג — גאומטריה וטריגונומטריה במישור (שאלות 4–5); פרק ד — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6–8). עליכם לענות על 5 שאלות: לפחות אחת מפרק א או מפרק ב, ולפחות אחת מכל אחד מהפרקים ג ו-ד. מי שבוחר בשאלה 1 עונה על 2 מתוך 4 הסעיפים שלה. לכל שאלה 20 נקודות. כל השאלות כתובות כאן — בחרו כמו בבחינה, או תרגלו את כולן.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בשאלה 1 הסעיפים א–ד בלתי תלויים. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה; בחקירה — תחום הגדרה קודם, וטבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון. חלקו את הזמן: כ-45 דקות לשאלה.

Exercices

שאלה 1א — שאלות קצרות: אינדוקציה

Exercice 1

נתונה הטענה: לכל nn טבעי, 312⋅22+522⋅32+⋯+2n+1n2(n+1)2=1−1(n+c)2\frac{3}{1^2 \cdot 2^2} + \frac{5}{2^2 \cdot 3^2} + \dots + \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = 1 - \frac{1}{(n+c)^2}, כאשר c>0c > 0 קבוע. (1) מצאו את cc בעזרת המקרה n=1n = 1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

34=1−1(1+c)2\frac{3}{4} = 1 - \frac{1}{(1+c)^2}

מציבים n=1n = 1: באגף שמאל איבר אחד

(1+c)2=4⇒1+c=±2\begin{aligned}(1+c)^2 &= 4 \Rightarrow 1 + c \\ &= \pm 2\end{aligned}
c=1(c=−3 נפסל)c = 1 \quad (c = -3 \ \text{נפסל})

נתון c>0c > 0

c=1c = 1. המלכודת: לשכוח את הפתרון השלילי של (1+c)2=4(1+c)^2 = 4, או לא לפסול אותו — כאן התנאי c>0c > 0 בוחר אחד מהשניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הטענה: לכל nn טבעי, 312⋅22+522⋅32+⋯+2n+1n2(n+1)2=1−1(n+c)2\frac{3}{1^2 \cdot 2^2} + \frac{5}{2^2 \cdot 3^2} + \dots + \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = 1 - \frac{1}{(n+c)^2}, כאשר c>0c > 0 קבוע. נמצא c=1c = 1. (2) בשלב המעבר מניחים שהטענה נכונה עבור n=mn = m. איזה איבר מוסיפים לסכום כדי לקבל את אגף שמאל עבור n=m+1n = m + 1?

  1. 2m+2(m+1)2(m+2)2\frac{2m+2}{(m+1)^2(m+2)^2}
  2. 2m+3(m+1)2(m+2)2\frac{2m+3}{(m+1)^2(m+2)^2}
  3. 2m+3m2(m+1)2\frac{2m+3}{m^2(m+1)^2}
  4. 2m+1m2(m+1)2\frac{2m+1}{m^2(m+1)^2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 2m+3(m+1)2(m+2)2\frac{2m+3}{(m+1)^2(m+2)^2}

Corrigé :

2(m+1)+1(m+1)2(m+2)2=2m+3(m+1)2(m+2)2\frac{2(m+1)+1}{(m+1)^2(m+2)^2} = \frac{2m+3}{(m+1)^2(m+2)^2}

מציבים n=m+1n = m + 1 באיבר הכללי

1−1(m+1)2+2m+3(m+1)2(m+2)2=1−(m+2)2−(2m+3)(m+1)2(m+2)21 - \frac{1}{(m+1)^2} + \frac{2m+3}{(m+1)^2(m+2)^2} = 1 - \frac{(m+2)^2 - (2m+3)}{(m+1)^2(m+2)^2}

הנחת האינדוקציה ומכנה משותף

(m+2)2−(2m+3)=m2+2m+1=(m+1)2\begin{aligned}(m+2)^2 - (2m+3) &= m^2 + 2m + 1 \\ &= (m+1)^2\end{aligned}
=1−1(m+2)2= 1 - \frac{1}{(m+2)^2}

זו הטענה עבור n=m+1n = m + 1

התשובה הנכונה: 2m+3(m+1)2(m+2)2\frac{2m+3}{(m+1)^2(m+2)^2}. המלכודות: להוסיף שוב את האיבר ה-mm; או להציב m+1m + 1 רק במונה — צריך להחליף את nn בכל מקום.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 1ב — שאלות קצרות: פונקציה הופכית

Exercice 3

הגרף של f
-2-101234-5-4-3-2-1123456xy

בשרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3. נגדיר g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}. (1) מצאו את האסימפטוטות האנכיות של gg (הקטנה קודם).

x=x = ____ ו-x=x = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = -1 ו-x=x = 3

Corrigé :

x2−2x−3=(x+1)(x−3)=0\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= (x+1)(x-3) \\ &= 0\end{aligned}

נקודות האפס של ff — שם המכנה של gg מתאפס

x=−1x=3\begin{aligned}x &= -1 \\ \quad x &= 3\end{aligned}

האסימפטוטות x=−1x = -1 ו-x=3x = 3. המלכודת: לחפש אסימפטוטה בקודקוד x=1x = 1 — שם ff אינה מתאפסת, ולכן gg מוגדרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הגרף של f
-2-101234-5-4-3-2-1123456xy

בשרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3. נגדיר g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}. (2) לפונקציה gg יש נקודת קיצון אחת. מה שיעור ה-yy שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.25

Corrigé :

g′(x)=−f′(x)f(x)2g'(x) = -\frac{f'(x)}{f(x)^2}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

g′(x)=0  ⟺  f′(x)=0  ⟺  x=1\begin{aligned}g'(x) &= 0 \iff f'(x) \\ &= 0 \iff x \\ &= 1\end{aligned}

הקודקוד של הפרבולה

g(1)=1−4=−0.25\begin{aligned}g(1) &= \frac{1}{-4} \\ &= -0.25\end{aligned}

הסימן של g′g' הפוך לסימן של f′f': המינימום של ff הוא מקסימום של gg

y=−0.25y = -0.25 — נקודת מקסימום של gg. המלכודת: לענות −4-4, ערך הקיצון של ff — ב-gg לוקחים את ההופכי.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 1ג — שאלות קצרות: שני משיקים

Exercice 5

50°PABCDO

מהנקודה PP יוצאים שני משיקים למעגל שמרכזו OO, שמשיקים לו בנקודות AA ו-BB. נתון ∠APB=50∘\angle APB = 50^\circ. הנקודה CC נמצאת על הקשת הגדולה ABAB, והנקודה DD על הקשת הקטנה ABAB. (1) חשבו את ∠ACB\angle ACB (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 65

Corrigé :

∠OAP=∠OBP=90∘\begin{aligned}\angle OAP &= \angle OBP \\ &= 90^\circ\end{aligned}

רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה

∠AOB=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘\begin{aligned}\angle AOB &= 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ \\ &= 130^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במרובע OAPBOAPB

∠ACB=130∘2=65∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{130^\circ}{2} \\ &= 65^\circ\end{aligned}

Un angle inscrit (זווית היקפית) est égal à la moitié de l'angle au centre (זווית המרכזית) qui intercepte (נשענת) le même arc (קשת).

65∘65^\circ. המלכודת: לענות 50∘50^\circ או 130∘130^\circ — הזווית ב-PP אינה היקפית, והזווית המרכזית כפולה מההיקפית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

50°PABCDO

מהנקודה PP יוצאים שני משיקים למעגל שמרכזו OO, שמשיקים לו בנקודות AA ו-BB. נתון ∠APB=50∘\angle APB = 50^\circ. הנקודה CC נמצאת על הקשת הגדולה ABAB, והנקודה DD על הקשת הקטנה ABAB. נמצא ∠ACB=65∘\angle ACB = 65^\circ. (2) חשבו את ∠ADB\angle ADB (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 115

Corrigé :

A,C,B,DA, C, B, D

ארבע הנקודות על המעגל: המרובע ACBDACBD חסום במעגל

∠ADB=180∘−65∘=115∘\begin{aligned}\angle ADB &= 180^\circ - 65^\circ \\ &= 115^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ

115∘115^\circ. המלכודת: לענות 65∘65^\circ — «זוויות היקפיות על אותה קשת שוות» נכון רק כששתיהן באותו צד של המיתר. DD בצד השני.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 1ד — שאלות קצרות: זהות ושטח

Exercice 7

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡2xf(x) = 2\sin^2 x. (1) הוכיחו או הפריכו: f(x)=1−cos⁡2xf(x) = 1 - \cos 2x לכל xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x

זהות הזווית הכפולה (בנוסחאון)

1−cos⁡2x=2sin⁡2x=f(x)\begin{aligned}1 - \cos 2x &= 2\sin^2 x \\ &= f(x)\end{aligned}

הטענה נכונה. המלכודת: לבחור את הצורה cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x ולהיתקע — יש שלוש צורות לזהות, ובוחרים את זו שבה מופיע רק sin⁡x\sin x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡2xf(x) = 2\sin^2 x. נמצא f(x)=1−cos⁡2xf(x) = 1 - \cos 2x. (2) חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של ff לבין ציר ה-xx בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.14

Corrigé :

f(x)=2sin⁡2x≥0f(x) = 2\sin^2 x \ge 0

הגרף מעל הציר — השטח שווה לאינטגרל

∫0π(1−cos⁡2x) dx=[x−sin⁡2x2]0π=π\begin{aligned}\int_0^{\pi} (1 - \cos 2x)\,dx &= \left[x - \frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi} \\ &= \pi\end{aligned}
π≈3.14\pi \approx 3.14

השטח π≈3.14\pi \approx 3.14. המלכודת: לחפש פונקציה קדומה ל-sin⁡2x\sin^2 x ישירות, כמו sin⁡3x3\frac{\sin^3 x}{3} — הנגזרת שלה היא sin⁡2xcos⁡x\sin^2 x\cos x. לכן עוברים קודם לזווית כפולה.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — סדרה הנדסית אינסופית עם מנה שלילית

Exercice 9

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שמנתה qq מקיימת −1<q<0-1 < q < 0. סכום כל איברי הסדרה הוא 88, וסכום ריבועי איבריה, a12+a22+a32+…a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \dots, הוא 192192. א. מצאו את qq.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.5

Corrigé :

a11−q=8a121−q2=192\begin{aligned}\frac{a_1}{1-q} &= 8 \\ \quad \frac{a_1^2}{1-q^2} &= 192\end{aligned}

ריבועי האיברים: סדרה הנדסית שמנתה q2q^2

a121−q2:a12(1−q)2=1−q1+q=19264=3\begin{aligned}\frac{a_1^2}{1-q^2} : \frac{a_1^2}{(1-q)^2} &= \frac{1-q}{1+q} \\ &= \frac{192}{64} \\ &= 3\end{aligned}

מחלקים בריבוע הסכום

1−q=3+3q⇒q=−12\begin{aligned}1 - q &= 3 + 3q \Rightarrow q \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

מקיים −1<q<0-1 < q < 0

q=−12q = -\frac{1}{2}. המלכודת: לכתוב שסכום הריבועים הוא ריבוע הסכום, 6464 — זה נכון רק לאיבר אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שמנתה qq מקיימת −1<q<0-1 < q < 0. סכום כל איברי הסדרה הוא 88, וסכום ריבועי איבריה, a12+a22+a32+…a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \dots, הוא 192192. נמצא q=−12q = -\frac{1}{2}. ב. מצאו את a1a_1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

a1=8(1−q)=8⋅32=12\begin{aligned}a_1 &= 8(1 - q) \\ &= 8 \cdot \frac{3}{2} \\ &= 12\end{aligned}
1441−14=192 ✓\frac{144}{1 - \frac{1}{4}} = 192 \ \checkmark

בדיקה בסכום הריבועים

a1=12a_1 = 12. המלכודת: 1−q=1−(−12)=321 - q = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}, לא 12\frac{1}{2} — המינוס של המנה הופך לפלוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שמנתה qq מקיימת −1<q<0-1 < q < 0. סכום כל איברי הסדרה הוא 88, וסכום ריבועי איבריה, a12+a22+a32+…a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \dots, הוא 192192. נמצא a1=12a_1 = 12 ו-q=−12q = -\frac{1}{2}. ג. חשבו את סכום האיברים שבמקומות הזוגיים, a2+a4+a6+…a_2 + a_4 + a_6 + \dots

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -8

Corrigé :

a2=12⋅(−12)=−6\begin{aligned}a_2 &= 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= -6\end{aligned}

האיבר הראשון של תת-הסדרה

a21−q2=−634=−8\begin{aligned}\frac{a_2}{1 - q^2} &= \frac{-6}{\frac{3}{4}} \\ &= -8\end{aligned}

תת-סדרה הנדסית שמנתה q2=14q^2 = \frac{1}{4}

16+(−8)=8 ✓16 + (-8) = 8 \ \checkmark

בדיקה: האי-זוגיים (123/4=16\frac{12}{3/4} = 16) ועוד הזוגיים נותנים את הסכום כולו

הסכום −8-8. המלכודת: לשכוח שהאיברים במקומות הזוגיים שליליים — עם מנה שלילית הסימנים מתחלפים, וכל איבר זוגי שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שמנתה qq מקיימת −1<q<0-1 < q < 0. סכום כל איברי הסדרה הוא 88, וסכום ריבועי איבריה, a12+a22+a32+…a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \dots, הוא 192192. נמצא a1=12a_1 = 12 ו-q=−12q = -\frac{1}{2}. מגדירים cn=an+an+1c_n = a_n + a_{n+1}. ד. הסדרה cnc_n הנדסית. חשבו את סכום כל איבריה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

cn=an(1+q)=12an⇒cn+1cn=q\begin{aligned}c_n &= a_n(1 + q) \\ &= \frac{1}{2} a_n \Rightarrow \frac{c_{n+1}}{c_n} \\ &= q\end{aligned}

הסדרה הנדסית באותה מנה

c1=12−6=6∑cn=61+12=4\begin{aligned}c_1 &= 12 - 6 \\ &= 6 \\ \quad \sum c_n &= \frac{6}{1 + \frac{1}{2}} \\ &= 4\end{aligned}
∑cn=S+(S−a1)=8+(8−12)=4 ✓\begin{aligned}\sum c_n &= S + (S - a_1) \\ &= 8 + (8 - 12) \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: כל איבר מלבד a1a_1 נספר פעמיים

הסכום 44. המלכודת: לענות 2S=162S = 16 — האיבר a1a_1 מופיע רק פעם אחת, בתוך c1c_1.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — הסתברות: עד ההצלחה הראשונה

Exercice 13

בשקית 2 כדורים אדומים ו-kk כדורים כחולים. שולפים כדור באקראי, רושמים את צבעו ומחזירים אותו לשקית, וחוזרים על כך עד שיוצא לראשונה כדור אדום. ההסתברות שהכדור האדום יוצא לראשונה בשליפה השנייה היא 625\frac{6}{25}. א. נתון ש-kk מספר שלם. מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

kk+2⋅2k+2=625\frac{k}{k+2} \cdot \frac{2}{k+2} = \frac{6}{25}

כחול בשליפה הראשונה, אדום בשנייה

50k=6(k+2)2⇒3k2−13k+12=0\begin{aligned}50k &= 6(k+2)^2 \Rightarrow 3k^2 - 13k + 12 \\ &= 0\end{aligned}
k=3אוk=43\begin{aligned}k &= 3 \quad \text{או} \quad k \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

kk שלם, ולכן k=3k = 3

k=3k = 3. המלכודת: לשכוח שהשליפה עם החזרה — המכנה נשאר k+2k + 2 בשתי השליפות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

בשקית 2 כדורים אדומים ו-kk כדורים כחולים. שולפים כדור באקראי, רושמים את צבעו ומחזירים אותו לשקית, וחוזרים על כך עד שיוצא לראשונה כדור אדום. ההסתברות שהכדור האדום יוצא לראשונה בשליפה השנייה היא 625\frac{6}{25}. נמצא k=3k = 3. ב. מה ההסתברות שיידרשו לכל היותר 3 שליפות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.784

Corrigé :

25=0.4\frac{2}{5} = 0.4

ההסתברות לאדום בכל שליפה: בשקית 5 כדורים

1−0.63=1−0.216=0.784\begin{aligned}1 - 0.6^3 &= 1 - 0.216 \\ &= 0.784\end{aligned}

המשלים: שלוש השליפות הראשונות כחולות

0.7840.784. המלכודת: לחבר רק את 0.4⋅0.620.4 \cdot 0.6^2 — «לכל היותר 3» כולל גם שליפה אחת ושתיים. המשלים קצר יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

בשקית 2 כדורים אדומים ו-kk כדורים כחולים. שולפים כדור באקראי, רושמים את צבעו ומחזירים אותו לשקית, וחוזרים על כך עד שיוצא לראשונה כדור אדום. ההסתברות שהכדור האדום יוצא לראשונה בשליפה השנייה היא 625\frac{6}{25}. נמצא k=3k = 3, וההסתברות שיידרשו לכל היותר 3 שליפות היא 0.7840.784. ג. ידוע שנדרשו לכל היותר 3 שליפות. מה ההסתברות שנדרשה שליפה אחת בלבד? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.51

Corrigé :

0.40.4

ההסתברות שנדרשה שליפה אחת; המאורע הזה מוכל בתנאי

0.40.784≈0.51\frac{0.4}{0.784} \approx 0.51

הסתברות מותנית

≈0.51\approx 0.51. המלכודת: לענות 0.40.4 — בלי לחלק בהסתברות התנאי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

בשקית 2 כדורים אדומים ו-kk כדורים כחולים. שולפים כדור באקראי, רושמים את צבעו ומחזירים אותו לשקית, וחוזרים על כך עד שיוצא לראשונה כדור אדום. ההסתברות שהכדור האדום יוצא לראשונה בשליפה השנייה היא 625\frac{6}{25}. נמצא k=3k = 3. ד. נועה ויואב משחקים בשקית זו: הם שולפים לסירוגין (עם החזרה), נועה ראשונה, ומי ששולף ראשון כדור אדום מנצח. מה ההסתברות שנועה תנצח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.625

Corrigé :

P=0.4+0.62⋅0.4+0.64⋅0.4+…P = 0.4 + 0.6^2 \cdot 0.4 + 0.6^4 \cdot 0.4 + \dots

נועה מנצחת בשליפה 1, 3, 5, …: לפני כל אחת — סבב של שתי החטאות

0.41−0.36=0.40.64=0.625\begin{aligned}\frac{0.4}{1 - 0.36} &= \frac{0.4}{0.64} \\ &= 0.625\end{aligned}

סכום של סדרה הנדסית אינסופית שמנתה 0.360.36

0.6250.625. המלכודת: לענות 0.50.5 «כי המשחק הוגן» — מי שמתחיל נהנה מהסיכוי הראשון; או להשתמש במנה 0.60.6 במקום 0.620.6^2.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — חוצה זווית שחותך את המעגל

Exercice 17

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית ∠BAC\angle BAC חותך את הצלע BCBC בנקודה EE ואת המעגל בנקודה DD. א. הוכיחו: △ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC.

  • ABCABC חסום במעגל
  • ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC
  • EE על BCBC, DD על המעגל

△ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠BAD=∠EAC\angle BAD = \angle EAC — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  2. ∠ADB=∠ACE\angle ADB = \angle ACE — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת ABAB שוות
  3. △ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC — Théorème de similitude A-A

Corrigé :

∠BAD=∠EAC\angle BAD = \angle EAC

חוצה זווית

∠ADB=∠ACB\angle ADB = \angle ACB

היקפיות על הקשת ABAB

△ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC

A-A

ההתאמה: A→AA \to A, B→EB \to E, D→CD \to C. המלכודת: להתאים את BB ל-CC «כי שתיהן על הצלע BCBC» — הזוויות השוות הן ב-DD וב-CC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית ∠BAC\angle BAC חותך את הצלע BCBC בנקודה EE ואת המעגל בנקודה DD. הוכח ש-△ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC. ב. נתון AB=6AB = 6, AC=8AC = 8 ו-AE=4AE = 4. חשבו את EDED.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

ABAE=ADAC\frac{AB}{AE} = \frac{AD}{AC}

יחס צלעות מתאימות: AB↔AEAB \leftrightarrow AE, AD↔ACAD \leftrightarrow AC

AD=AB⋅ACAE=6⋅84=12\begin{aligned}AD &= \frac{AB \cdot AC}{AE} \\ &= \frac{6 \cdot 8}{4} \\ &= 12\end{aligned}
ED=AD−AE=12−4=8\begin{aligned}ED &= AD - AE \\ &= 12 - 4 \\ &= 8\end{aligned}

ED=8ED = 8. המלכודת: לעצור ב-AD=12AD = 12 — השאלה על הקטע שבין הצלע למעגל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית ∠BAC\angle BAC חותך את הצלע BCBC בנקודה EE ואת המעגל בנקודה DD. נתון AB=6AB = 6, AC=8AC = 8, AE=4AE = 4, ונמצא AD=12AD = 12 ו-ED=8ED = 8. ג. חשבו את BDBD. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9.8

Corrigé :

∠DBE=∠DBC=∠DAC\begin{aligned}\angle DBE &= \angle DBC \\ &= \angle DAC\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת DCDC שוות

∠DAC=∠BAD⇒∠DBE=∠DAB\begin{aligned}\angle DAC &= \angle BAD \Rightarrow \angle DBE \\ &= \angle DAB\end{aligned}

חוצה זווית

∠BDE=∠ADB⇒△DBE∼△DAB\angle BDE = \angle ADB \Rightarrow \triangle DBE \sim \triangle DAB

זווית משותפת; משפט דמיון ז.ז

DBDA=DEDB⇒DB2=8⋅12=96\begin{aligned}\frac{DB}{DA} &= \frac{DE}{DB} \Rightarrow DB^2 \\ &= 8 \cdot 12 \\ &= 96\end{aligned}
DB=46≈9.80DB = 4\sqrt{6} \approx 9.80

BD=46≈9.80BD = 4\sqrt{6} \approx 9.80. המלכודת: להניח BD=BEBD = BE או BD=EDBD = ED לפי השרטוט — שני המשולשים דומים, לא שווי-שוקיים.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — משולש שווה-שוקיים: רדיוס חוסם ורדיוס חסום

Exercice 20

2αABC

במשולש שווה-השוקיים ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k ו-∠BAC=2α\angle BAC = 2\alpha, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ. RR הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש. א. הביעו את RR באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. R=k2cos⁡αR = \frac{k}{2\cos\alpha}
  2. R=k2sin⁡αR = \frac{k}{2\sin\alpha}
  3. R=k2sin⁡2αR = \frac{k}{2\sin 2\alpha}
  4. R=kcos⁡αR = \frac{k}{\cos\alpha}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A R=k2cos⁡αR = \frac{k}{2\cos\alpha}

Corrigé :

∠ABC=180∘−2α2=90∘−α\begin{aligned}\angle ABC &= \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות

ACsin⁡∠ABC=2R⇒kcos⁡α=2R\begin{aligned}\frac{AC}{\sin \angle ABC} &= 2R \Rightarrow \frac{k}{\cos\alpha} \\ &= 2R\end{aligned}

משפט הסינוסים; sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha

R=k2cos⁡αR = \frac{k}{2\cos\alpha}

התשובה הנכונה: k2cos⁡α\frac{k}{2\cos\alpha}. המלכודות: k2sin⁡2α\frac{k}{2\sin 2\alpha} — הזווית 2α2\alpha נמצאת מול הבסיס BCBC, לא מול השוק; ו-kcos⁡α\frac{k}{\cos\alpha} — היחס במשפט הסינוסים הוא הקוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

2αABC

במשולש שווה-השוקיים ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k ו-∠BAC=2α\angle BAC = 2\alpha, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ. RR הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש. נמצא R=k2cos⁡αR = \frac{k}{2\cos\alpha}. ב. נתון R=0.625kR = 0.625k. מצאו את α\alpha במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36.87

Corrigé :

k2cos⁡α=0.625k⇒cos⁡α=11.25=0.8\begin{aligned}\frac{k}{2\cos\alpha} &= 0.625k \Rightarrow \cos\alpha \\ &= \frac{1}{1.25} \\ &= 0.8\end{aligned}

מצמצמים ב-kk

α≈36.87∘\alpha \approx 36.87^\circ

בתחום 0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ יש פתרון אחד

α≈36.87∘\alpha \approx 36.87^\circ. המלכודת: לענות 73.74∘73.74^\circ — זו זווית הראש 2α2\alpha, לא α\alpha.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

2αABC

במשולש שווה-השוקיים ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k ו-∠BAC=2α\angle BAC = 2\alpha, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ. RR הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש. נמצא cos⁡α=0.8\cos\alpha = 0.8 (כלומר sin⁡α=0.6\sin\alpha = 0.6). ג. נתון ששטח המשולש הוא 4848. חשבו את רדיוס המעגל החסום במשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

S=12k2sin⁡2α=12k2⋅0.96=0.48k2=48⇒k=10\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}k^2 \sin 2\alpha \\ &= \frac{1}{2}k^2 \cdot 0.96 \\ &= 0.48k^2 \\ &= 48 \Rightarrow k \\ &= 10\end{aligned}

שטח: חצי מכפלת השוקיים בסינוס הזווית שביניהן

BC=2ksin⁡α=12\begin{aligned}BC &= 2k\sin\alpha \\ &= 12\end{aligned}

הגובה לבסיס חוצה את זווית הראש ואת הבסיס

r=2SP=9610+10+12=3\begin{aligned}r &= \frac{2S}{P} \\ &= \frac{96}{10 + 10 + 12} \\ &= 3\end{aligned}

רדיוס המעגל החסום: S=r⋅P2S = r \cdot \frac{P}{2}

r=3r = 3. המלכודת: לחלק את השטח בהיקף כולו ולקבל 1.51.5 — בנוסחה S=r⋅pS = r \cdot p המספר pp הוא חצי ההיקף.

Vérifier la réponse sur elev

Question 6 — fonction (פונקציה) rationnelle avec paramètre (פרמטר)

Exercice 23

נתונה הפונקציה f(x)=x3+ax2f(x) = \frac{x^3 + a}{x^2}, כאשר aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2x = 2. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f(x)=x+ax2=x+ax−2\begin{aligned}f(x) &= x + \frac{a}{x^2} \\ &= x + a x^{-2}\end{aligned}

מפרקים את השבר לפני הגזירה

f′(x)=1−2ax3f'(x) = 1 - \frac{2a}{x^3}
f′(2)=1−2a8=0⇒a=4\begin{aligned}f'(2) &= 1 - \frac{2a}{8} \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

En un extremum (נקודת קיצון), la dérivée (נגזרת) s’annule (מתאפסת)

a=4a = 4. המלכודת: להציב x=2x = 2 ב-ff עצמה ולהשוות לאפס — הנתון הוא על הנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

נתונה הפונקציה f(x)=x3+ax2f(x) = \frac{x^3 + a}{x^2}, כאשר aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2x = 2. נמצא a=4a = 4, כלומר f(x)=x+4x2f(x) = x + \frac{4}{x^2}. ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון.

( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ( 2 , 3 )

Corrigé :

f′(x)=1−8x3f'(x) = 1 - \frac{8}{x^3}
1<x<2:f′<0,x>2:f′>01 < x < 2: f' < 0, \quad x > 2: f' > 0

טבלת סימנים: ירידה ואז עלייה — מינימום

f(2)=2+44=3\begin{aligned}f(2) &= 2 + \frac{4}{4} \\ &= 3\end{aligned}

נקודת מינימום (2,3)(2, 3). המלכודת: לחשב f(2)=2+42=4f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4 — במכנה x2=4x^2 = 4, לא xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

נתונה הפונקציה f(x)=x3+ax2f(x) = \frac{x^3 + a}{x^2}, כאשר aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2x = 2. נמצא a=4a = 4, כלומר f(x)=x+4x2f(x) = x + \frac{4}{x^2}. ג. מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1.59

Corrigé :

x3+4x2=0  ⟺  x3=−4\begin{aligned}\frac{x^3 + 4}{x^2} &= 0 \iff x^3 \\ &= -4\end{aligned}

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס (ו-x≠0x \neq 0)

x=−43≈−1.59x = -\sqrt[3]{4} \approx -1.59

x≈−1.59x \approx -1.59. המלכודת: לשכוח את המינוס — שורש שלישי של מספר שלילי קיים, והוא שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

נתונה הפונקציה f(x)=x3+ax2f(x) = \frac{x^3 + a}{x^2}, כאשר aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2x = 2. נמצא a=4a = 4, כלומר f(x)=x+4x2f(x) = x + \frac{4}{x^2}. ד. חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של ff, הישר y=xy = x והישרים x=1x = 1 ו-x=4x = 4.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(x)−x=4x2>0f(x) - x = \frac{4}{x^2} > 0

הגרף מעל הישר בכל התחום

∫144x2 dx=[−4x]14=−1+4=3\begin{aligned}\int_1^4 \frac{4}{x^2}\,dx &= \left[-\frac{4}{x}\right]_1^4 \\ &= -1 + 4 \\ &= 3\end{aligned}

פונקציה קדומה של x−2x^{-2} היא −x−1-x^{-1}

השטח 33. המלכודת: לכתוב ∫4x2 dx=43x3\int \frac{4}{x^2}\,dx = \frac{4}{3x^3} — מעלים את המעריך באחד: −2+1=−1-2 + 1 = -1.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 7 — חקירת פונקציה טריגונומטרית

Exercice 27

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x) = \cos 2x + 2\sin x בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi. א. מצאו את נקודות המקסימום של הפונקציה בתחום.

  1. (π3,1.5)\left(\frac{\pi}{3}, 1.5\right) ו-(2π3,1.5)\left(\frac{2\pi}{3}, 1.5\right)
  2. (π2,1)\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)
  3. (π6,1.5)\left(\frac{\pi}{6}, 1.5\right) ו-(5π6,1.5)\left(\frac{5\pi}{6}, 1.5\right)
  4. (π6,1.5)\left(\frac{\pi}{6}, 1.5\right) בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (π6,1.5)\left(\frac{\pi}{6}, 1.5\right) ו-(5π6,1.5)\left(\frac{5\pi}{6}, 1.5\right)

Corrigé :

f′(x)=−2sin⁡2x+2cos⁡x=2cos⁡x(1−2sin⁡x)\begin{aligned}f'(x) &= -2\sin 2x + 2\cos x \\ &= 2\cos x(1 - 2\sin x)\end{aligned}

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x, ואז גורם משותף

cos⁡x=0⇒x=π2;sin⁡x=12⇒x=π65π6\begin{aligned}\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{\pi}{2}; \quad \sin x \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \frac{\pi}{6} \\ \frac{5\pi}{6}\end{aligned}

נקודות חשודות

0<x<π6:f′>0;π6<x<π2:f′<00 < x < \frac{\pi}{6}: f' > 0; \quad \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}: f' < 0

טבלת סימנים, וכך גם בצד השני

f(π6)=12+1=1.5f(π2)=−1+2=1\begin{aligned}f\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \frac{1}{2} + 1 \\ &= 1.5 \\ \quad f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= -1 + 2 \\ &= 1\end{aligned}

התשובה הנכונה: שתי נקודות מקסימום, (π6,1.5)\left(\frac{\pi}{6}, 1.5\right) ו-(5π6,1.5)\left(\frac{5\pi}{6}, 1.5\right); ב-π2\frac{\pi}{2} יש מינימום. המלכודת: לעצור בפתרון הראשון של sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} — בתחום [0,π][0, \pi] יש לו שני פתרונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 28

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x) = \cos 2x + 2\sin x בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi. ב. הוכיחו או הפריכו: f(π−x)=f(x)f(\pi - x) = f(x) לכל xx בתחום.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

cos⁡(2π−2x)=cos⁡2x\cos(2\pi - 2x) = \cos 2x

הקוסינוס זוגי ומחזורי ב-2π2\pi

sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x

זהות מהנוסחאון

f(π−x)=cos⁡2x+2sin⁡x=f(x)\begin{aligned}f(\pi - x) &= \cos 2x + 2\sin x \\ &= f(x)\end{aligned}

הגרף סימטרי סביב הישר x=π2x = \frac{\pi}{2}

הטענה נכונה. המלכודת: לפתוח cos⁡(2(π−x))\cos(2(\pi - x)) כ-cos⁡(π−2x)=−cos⁡2x\cos(\pi - 2x) = -\cos 2x — הזווית היא 2π−2x2\pi - 2x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 29

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x) = \cos 2x + 2\sin x בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi. לפונקציה מקסימום 1.51.5 ב-x=π6x = \frac{\pi}{6} וב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}, ומינימום 11 ב-x=π2x = \frac{\pi}{2}. ג. לאיזה ערך של kk יש למשוואה f(x)=kf(x) = k בדיוק שני פתרונות בתחום?

  1. k=2k = 2
  2. k=1.5k = 1.5
  3. k=1k = 1
  4. 1<k<1.51 < k < 1.5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B k=1.5k = 1.5

Corrigé :

f(0)=f(π)=1\begin{aligned}f(0) &= f(\pi) \\ &= 1\end{aligned}

ערכי הקצוות

k=1.5: x=π65π6\begin{aligned}k &= 1.5: \ x \\ &= \frac{\pi}{6} \\ \frac{5\pi}{6}\end{aligned}

שני פתרונות — בשתי נקודות המקסימום

k=1: x=0π2π;1<k<1.5: 4\begin{aligned}k &= 1: \ x \\ &= 0 \\ \frac{\pi}{2} \\ \pi; \quad 1 < k < 1.5: \ 4\end{aligned}

שלושה פתרונות, וארבעה פתרונות

התשובה הנכונה: k=1.5k = 1.5. המלכודת: k=1k = 1 — לשכוח שגם הקצוות x=0x = 0 ו-x=πx = \pi בתחום, ושם f=1f = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 30

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x) = \cos 2x + 2\sin x בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi. ד. חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של ff לבין הישר y=1y = 1 בתחום. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.86

Corrigé :

f(x)−1=2sin⁡x−2sin⁡2x=2sin⁡x(1−sin⁡x)≥0\begin{aligned}f(x) - 1 &= 2\sin x - 2\sin^2 x \\ &= 2\sin x(1 - \sin x) \ge 0\end{aligned}

cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x: הגרף לא יורד מתחת לישר

∫0π(cos⁡2x+2sin⁡x−1) dx=[sin⁡2x2−2cos⁡x−x]0π\int_0^{\pi} (\cos 2x + 2\sin x - 1)\,dx = \left[\frac{\sin 2x}{2} - 2\cos x - x\right]_0^{\pi}
=(2−π)−(−2)=4−π≈0.86= (2 - \pi) - (-2) = 4 - \pi \approx 0.86

השטח 4−π≈0.864 - \pi \approx 0.86. המלכודת: לשכוח את ה-−1-1 ולחשב את השטח מתחת לגרף עד ציר ה-xx.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 8 — בעיית קיצון בין שני גרפים

Exercice 31

נתונות הפונקציות f(x)=2xf(x) = 2\sqrt{x} ו-g(x)=x−4g(x) = x - 4 בתחום 0≤x≤90 \le x \le 9. ישר המקביל לציר ה-yy חותך את הגרף של ff בנקודה AA ואת הגרף של gg בנקודה BB. בכל התחום הגרף של ff מעל הגרף של gg. א. מצאו את שיעור ה-xx של הישר שבעבורו אורך הקטע ABAB מקסימלי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

AB=L(x)=2x−(x−4)=2x−x+4\begin{aligned}AB &= L(x) \\ &= 2\sqrt{x} - (x - 4) \\ &= 2\sqrt{x} - x + 4\end{aligned}

אורך קטע אנכי: העליונה פחות התחתונה

L′(x)=1x−1=0⇒x=1\begin{aligned}L'(x) &= \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

נגזרת של 2x2\sqrt{x} היא 1x\frac{1}{\sqrt{x}}

0<x<1:L′>0,x>1:L′<00 < x < 1: L' > 0, \quad x > 1: L' < 0

עלייה ואז ירידה — מקסימום

x=1x = 1. המלכודת: לחסר 2x−x−42\sqrt{x} - x - 4 בלי סוגריים — מחסרים את כל g(x)g(x).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 32

נתונות הפונקציות f(x)=2xf(x) = 2\sqrt{x} ו-g(x)=x−4g(x) = x - 4 בתחום 0≤x≤90 \le x \le 9. ישר המקביל לציר ה-yy חותך את הגרף של ff בנקודה AA ואת הגרף של gg בנקודה BB. בכל התחום הגרף של ff מעל הגרף של gg. אורך הקטע הוא L(x)=2x−x+4L(x) = 2\sqrt{x} - x + 4, והוא מקסימלי ב-x=1x = 1. ב. מהו האורך המקסימלי של ABAB?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

L(1)=2⋅1−1+4=5\begin{aligned}L(1) &= 2 \cdot 1 - 1 + 4 \\ &= 5\end{aligned}

האורך המקסימלי 55. המלכודת: לענות f(1)=2f(1) = 2 — זה רק שיעור ה-yy של AA; גם B(1,−3)B(1, -3) נכנס לאורך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 33

נתונות הפונקציות f(x)=2xf(x) = 2\sqrt{x} ו-g(x)=x−4g(x) = x - 4 בתחום 0≤x≤90 \le x \le 9. ישר המקביל לציר ה-yy חותך את הגרף של ff בנקודה AA ואת הגרף של gg בנקודה BB. בכל התחום הגרף של ff מעל הגרף של gg. אורך הקטע הוא L(x)=2x−x+4L(x) = 2\sqrt{x} - x + 4, עם מקסימום 55 ב-x=1x = 1. ג. מהו האורך המינימלי של ABAB בתחום 0≤x≤90 \le x \le 9?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

L(0)=4L(9)=6−9+4=1\begin{aligned}L(0) &= 4 \\ \quad L(9) &= 6 - 9 + 4 \\ &= 1\end{aligned}

ערכי הקצוות: בקטע סגור בודקים גם אותם

min⁡=min⁡{4,1}=1(x=9)\begin{aligned}\min &= \min\{4, 1\} \\ &= 1 \quad (x = 9)\end{aligned}

אין נקודה חשודה נוספת, ולכן המינימום באחד הקצוות

האורך המינימלי 11, ב-x=9x = 9. המלכודות: לענות «אין מינימום» כי הנגזרת מתאפסת רק במקסימום; או לבדוק רק את x=0x = 0 — בקטע סגור בודקים את שני הקצוות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe