מבחן לדוגמא 1

Exercice 1

נתונה סדרה הנדסית אינסופית $a_n$ שכל איבריה חיוביים. האיבר הראשון הוא $a_1 = 24$, וסכום כל איברי הסדרה הוא $32$. א. מצאו את מנת הסדרה $q$.

Exercice 2

נתונה סדרה הנדסית אינסופית $a_n$ שכל איבריה חיוביים. האיבר הראשון הוא $a_1 = 24$, וסכום כל איברי הסדרה הוא $32$. מנת הסדרה היא $q = \frac{1}{4}$. מגדירים סדרה חדשה: $b_n = a_n + a_{n+1}$. ב. הוכיחו או הפריכו: הסדרה $b_n$ היא סדרה הנדסית שמנתה $\frac{1}{4}$.

Exercice 3

נתונה סדרה הנדסית אינסופית $a_n$ שכל איבריה חיוביים. האיבר הראשון הוא $a_1 = 24$, וסכום כל איברי הסדרה הוא $32$. מנת הסדרה היא $q = \frac{1}{4}$. הסדרה $b_n = a_n + a_{n+1}$ הנדסית, $b_1 = 30$ ומנתה $\frac{1}{4}$. ג. חשבו את סכום כל איברי הסדרה $b_n$.

Exercice 4

נתונה סדרה הנדסית אינסופית $a_n$ שכל איבריה חיוביים. האיבר הראשון הוא $a_1 = 24$, וסכום כל איברי הסדרה הוא $32$. מנת הסדרה היא $q = \frac{1}{4}$. ד. חשבו את סכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים: $a_1 + a_3 + a_5 + \dots$

Exercice 5

נתונה סדרה הנדסית אינסופית $a_n$ שכל איבריה חיוביים. האיבר הראשון הוא $a_1 = 24$, וסכום כל איברי הסדרה הוא $32$. מנת הסדרה היא $q = \frac{1}{4}$. ה. מהו המקום $n$ הראשון שבו $a_n < 0.01$?

Exercice 6

סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה $a_{n+1} = 3a_n - 4$ לכל $n$ טבעי, והאיבר הראשון שלה הוא $a_1 = 5$. א. חשבו את $a_4$.

Exercice 7

סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה $a_{n+1} = 3a_n - 4$ לכל $n$ טבעי, והאיבר הראשון שלה הוא $a_1 = 5$. מגדירים $b_n = a_n - 2$. ב. השלימו את ההוכחה שהסדרה $b_n$ הנדסית, ואת האיבר הראשון שלה.

$b_{n+1} = a_{n+1} - 2 = 3a_n - 6 =$ ____ $\cdot\, b_n$ , והאיבר הראשון: $b_1 =$ ____

Exercice 8

סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה $a_{n+1} = 3a_n - 4$ לכל $n$ טבעי, והאיבר הראשון שלה הוא $a_1 = 5$. הסדרה $b_n = a_n - 2$ הנדסית, $b_1 = 3$ ומנתה $3$, ולכן $a_n = 3^n + 2$. ג. חשבו את הסכום $a_1 + a_2 + \dots + a_6$.

Exercice 9

סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה $a_{n+1} = 3a_n - 4$ לכל $n$ טבעי, והאיבר הראשון שלה הוא $a_1 = 5$. הסדרה $b_n = a_n - 2$ הנדסית, $b_1 = 3$ ומנתה $3$, ולכן $a_n = 3^n + 2$. ד. מהו המקום $n$ הראשון שבו $a_n > 10000$?

Exercice 10

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3$. א. מצאו את הנגזרת השנייה $f''(x)$.

$f''(x) =$ ____ $x^2 -$ ____ $x$

Exercice 11

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3$. הנגזרת השנייה היא $f''(x) = 12x^2 - 24x$. ב. מהם שיעורי ה-$x$ של נקודות הפיתול של $f$?

1. A$x = 2$ בלבד
2. B$x = 0$ ו-$x = 2$
3. C$x = 3$ בלבד
4. D$x = 0$ ו-$x = 3$

Exercice 12

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3$. הנגזרת השנייה היא $f''(x) = 12x^2 - 24x$. נקודות הפיתול של $f$ הן ב-$x = 0$ וב-$x = 2$. ג. מה נכון לגבי הנקודה של $f$ שבה $x = 0$?

1. Aנקודת מינימום, כי $f''(0) = 0$
2. Bנקודת מקסימום, כי $f'(0) = 0$
3. Cנקודת פיתול משופעת, כי $f'(0) \neq 0$
4. Dנקודת פיתול אופקית: $f'(0) = 0$, והמשיק בה הוא $y = 0$

Exercice 13

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3$. הנגזרת השנייה היא $f''(x) = 12x^2 - 24x$. נקודות הפיתול של $f$ הן ב-$x = 0$ וב-$x = 2$. ד. מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f$ בנקודת הפיתול שבה $x = 2$.

$y =$ ____ $x +$ ____

Exercice 14

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3$. הנגזרת השנייה היא $f''(x) = 12x^2 - 24x$. נקודות הפיתול של $f$ הן ב-$x = 0$ וב-$x = 2$. ה. באילו תחומים הגרף של $f$ קמור ($\cup$), ובאילו הוא קעור ($\cap$)?

1. Aקעור ב-$x < 0$ וב-$x > 2$, קמור ב-$0 < x < 2$
2. Bקמור ב-$x > 3$ בלבד, קעור ב-$x < 3$
3. Cקמור בכל התחום
4. Dקמור ב-$x < 0$ וב-$x > 2$, קעור ב-$0 < x < 2$

Exercice 15

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3$. הנגזרת השנייה היא $f''(x) = 12x^2 - 24x$. נקודות הפיתול של $f$ הן ב-$x = 0$ וב-$x = 2$. ו. הוכיחו או הפריכו: לפונקציה הנגזרת $f'$ יש מינימום מקומי בנקודה שבה $x = 2$.