מבחן לדוגמא 2 · Examen blanc 2 · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבחן לדוגמא 2 — אמצע השנה. 3 שאלות עם סעיפים, 14 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: הוכחה באינדוקציה של נוסחת סכום, עץ הסתברויות עם הסתברות מותנית ונוסחת ברנולי, וחקירה של פונקציה רציונלית עם פרמטר.

כמו בבגרות, כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. באינדוקציה כתבו במפורש מה המחובר שנוסף; בהסתברות מותנית שאלו מה ידוע — זה המכנה; ובחקירה בנו טבלת סימנים שכוללת את נקודת האי-הגדרה.

Exercices

שאלה 1 — אינדוקציה מתמטית

Exercice 1

נתונה הטענה: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+a)}{6}$ לכל $n$ טבעי, כאשר $a$ מספר קבוע. א. מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

\begin{aligned}n &= 1:\quad 1 \cdot 3 \\ &= \frac{1 \cdot 2 \cdot (2 + a)}{6}\end{aligned}

מציבים $n = 1$ בשני האגפים

\begin{aligned}18 &= 2(2 + a) \Rightarrow a \\ &= 7\end{aligned}

\begin{aligned}n &= 2:\quad 3 + 8 \\ &= 11 \\ &= \frac{2 \cdot 3 \cdot 11}{6}\end{aligned}

בדיקה ב- $n = 2$

$a = 7$ . המלכודת: להציב $n = 1$ רק באגף ימין ולהשוות ל- $1$ — אגף שמאל עבור $n = 1$ הוא המחובר הראשון, $1 \cdot 3 = 3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הטענה: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$ לכל $n$ טבעי. ב. בשלב המעבר מניחים שהטענה נכונה עבור $n = k$ , ומוכיחים עבור $n = k + 1$ . השלימו.

המחובר שמוסיפים: $(k+1)(k+$ ____ $)$ , ואחרי הוצאת הגורם $\frac{k+1}{6}$ : $2k^2 + 13k + 18 = (k+2)(2k+$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : המחובר שמוסיפים: $(k+1)(k+$ 3 $)$ , ואחרי הוצאת הגורם $\frac{k+1}{6}$ : $2k^2 + 13k + 18 = (k+2)(2k+$ 9 $)$

Corrigé :

\frac{k(k+1)(2k+7)}{6} + (k+1)(k+3)

הנחת האינדוקציה, ועוד המחובר ה- $(k+1)$

= \frac{k+1}{6}\left[k(2k+7) + 6(k+3)\right] = \frac{k+1}{6}\left(2k^2 + 13k + 18\right)

מוציאים גורם משותף

2k^2 + 13k + 18 = (k+2)(2k+9)

מפרקים את הטרינום

\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+7)}{6}

C'est exactement l'affirmation (טענה) pour $n = k+1$

המחובר החדש הוא $(k+1)(k+3)$ , והטרינום מתפרק ל- $(k+2)(2k+9)$ . המלכודת: לכתוב את המחובר החדש כ- $(k+1)(k+2)$ — מציבים $k+1$ במקום $n$ ב- $n(n+2)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הטענה: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$ לכל $n$ טבעי. הטענה הוכחה באינדוקציה. ג. חשבו את הסכום $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \dots + 20 \cdot 22$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3290

Corrigé :

\begin{aligned}n(n+2) &= 20 \cdot 22 \Rightarrow n \\ &= 20\end{aligned}

מזהים את מספר המחוברים

\frac{20 \cdot 21 \cdot 47}{6} = 3290

מציבים $n = 20$ : $2n + 7 = 47$

$3290$ . המלכודת: להציב $n = 22$ לפי הגורם האחרון — $n$ הוא מספר המחוברים, והמחובר האחרון הוא $n(n+2)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הטענה: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$ לכל $n$ טבעי. הטענה הוכחה באינדוקציה. לפי הטענה, $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \dots + 20 \cdot 22 = 3290$ . ד. חשבו את הסכום $11 \cdot 13 + 12 \cdot 14 + \dots + 20 \cdot 22$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2795

Corrigé :

\sum_{k=11}^{20} k(k+2) = S_{20} - S_{10}

מורידים את עשרת המחוברים הראשונים

\begin{aligned}S_{10} &= \frac{10 \cdot 11 \cdot 27}{6} \\ &= 495\end{aligned}

3290 - 495 = 2795

$2795$ . המלכודת: להחסיר $S_{11}$ — אז גם המחובר $11 \cdot 13$ יוצא מהסכום.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — עץ הסתברויות ונוסחת ברנולי

Exercice 5

המסלול ואחר כך הזמן

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.81

Corrigé :

0.7 \cdot 0.9 = 0.63

המסלול: כביש הטבעת, ואז בזמן

0.3 \cdot 0.6 = 0.18

המסלול: מרכז העיר, ואז בזמן

\begin{aligned}P(T) &= 0.63 + 0.18 \\ &= 0.81\end{aligned}

נוסחת ההסתברות השלמה

$0.81$ . המלכודת: לחשב ממוצע פשוט $\frac{0.9 + 0.6}{2} = 0.75$ — כביש הטבעת נבחר יותר, ולכן כל מסלול נשקל בהסתברות שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

המסלול ואחר כך הזמן

שליח בבאר שבע בוחר בכל משלוח אחד משני מסלולים: את כביש הטבעת בהסתברות $0.7$ , ואת הדרך דרך מרכז העיר בהסתברות $0.3$ . בכביש הטבעת המשלוח מגיע בזמן בהסתברות $0.9$ , ודרך מרכז העיר בהסתברות $0.6$ . ההסתברות שמשלוח מקרי מגיע בזמן היא $0.81$ . ב. ידוע שמשלוח הגיע באיחור. מה ההסתברות שהשליח נסע דרך מרכז העיר? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.63

Corrigé :

\begin{aligned}P(L) &= 1 - 0.81 \\ &= 0.19\end{aligned}

ההסתברות לאיחור

\begin{aligned}P(C \cap L) &= 0.3 \cdot 0.4 \\ &= 0.12\end{aligned}

מרכז העיר וגם איחור

P(C \mid L) = \frac{0.12}{0.19} \approx 0.63

הסתברות מותנית

$\approx 0.63$ . המלכודת: לענות $0.4$ — זו ההסתברות לאיחור בהינתן מרכז העיר; כאן ההתניה הפוכה, ומחלקים ב- $P(L)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

המסלול ואחר כך הזמן

שליח בבאר שבע בוחר בכל משלוח אחד משני מסלולים: את כביש הטבעת בהסתברות $0.7$ , ואת הדרך דרך מרכז העיר בהסתברות $0.3$ . בכביש הטבעת המשלוח מגיע בזמן בהסתברות $0.9$ , ודרך מרכז העיר בהסתברות $0.6$ . ההסתברות שמשלוח מקרי מגיע בזמן היא $0.81$ . בכל יום השליח מבצע משלוח אחד, והמשלוחים בימים שונים בלתי תלויים זה בזה. ג. מה ההסתברות שבחמישה ימים בדיוק ארבעה משלוחים יגיעו בזמן? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.41

Corrigé :

P = \binom{5}{4} \cdot 0.81^4 \cdot 0.19^1

נוסחת ברנולי: $n = 5$ , $k = 4$ , $p = 0.81$

= 5 \cdot 0.4305 \cdot 0.19 \approx 0.41

$\approx 0.41$ . המלכודת: לשכוח את $\binom{5}{4} = 5$ ולקבל $0.08$ — המשלוח המאחר יכול להיות בכל אחד מחמשת הימים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

המסלול ואחר כך הזמן

שליח בבאר שבע בוחר בכל משלוח אחד משני מסלולים: את כביש הטבעת בהסתברות $0.7$ , ואת הדרך דרך מרכז העיר בהסתברות $0.3$ . בכביש הטבעת המשלוח מגיע בזמן בהסתברות $0.9$ , ודרך מרכז העיר בהסתברות $0.6$ . ההסתברות שמשלוח מקרי מגיע בזמן היא $0.81$ . בכל יום השליח מבצע משלוח אחד, והמשלוחים בימים שונים בלתי תלויים זה בזה. ד. מה ההסתברות שבחמישה ימים יהיה לפחות משלוח אחד שיגיע באיחור? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.65

Corrigé :

0.81^5 \approx 0.3487

המאורע המשלים: כל חמשת המשלוחים בזמן

1 - 0.3487 \approx 0.65

$\approx 0.65$ . המלכודת: לכפול $5 \cdot 0.19 = 0.95$ — חיבור ההסתברויות סופר פעמיים ימים עם שני איחורים. דרך המשלים קצרה ובטוחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

שליח בבאר שבע בוחר בכל משלוח אחד משני מסלולים: את כביש הטבעת בהסתברות $0.7$ , ואת הדרך דרך מרכז העיר בהסתברות $0.3$ . בכביש הטבעת המשלוח מגיע בזמן בהסתברות $0.9$ , ודרך מרכז העיר בהסתברות $0.6$ . החברה רוצה שההסתברות שמשלוח יגיע בזמן תהיה $0.84$ . ההסתברויות להגיע בזמן בכל מסלול לא משתנות. ה. באיזו הסתברות $p$ על השליח לבחור בכביש הטבעת?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.8

Corrigé :

0.9p + 0.6(1 - p) = 0.84

ההסתברות השלמה, עם $p$ במקום $0.7$

\begin{aligned}0.3p + 0.6 &= 0.84 \Rightarrow p \\ &= 0.8\end{aligned}

$p = 0.8$ . המלכודת: לכתוב $0.9p + 0.6p = 0.84$ — הענף של מרכז העיר מקבל $1 - p$ , לא $p$ .

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

Exercice 10

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^2 + a}{x - 2}$ , כאשר $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה $x = -1$ . א. מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-2) - (x^2 + a)}{(x-2)^2} \\ &= \frac{x^2 - 4x - a}{(x-2)^2}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

\begin{aligned}f'(-1) &= 0 \Rightarrow 1 + 4 - a \\ &= 0\end{aligned}

En un extremum (נקודת קיצון), la dérivée (נגזרת) s’annule (מתאפסת)

a = 5

$a = 5$ . המלכודת: לגזור רק את המונה, $2x = 0$ — בפונקציה רציונלית גוזרים לפי נוסחת המנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^2 + 5}{x - 2}$ . ב. מהן נקודות הקיצון של $f$ , ומה סוגן?

מקסימום $(-1, -2)$ בלבד
מקסימום $(-1, 2)$ , מינימום $(5, 10)$
מינימום $(-1, -2)$ , מקסימום $(5, 10)$
מקסימום $(-1, -2)$ , מינימום $(5, 10)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מקסימום $(-1, -2)$ , מינימום $(5, 10)$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x^2 - 4x - 5}{(x-2)^2} \\ &= \frac{(x-5)(x+1)}{(x-2)^2}\end{aligned}

x<-1:\ +, \quad -1<x<2:\ -, \quad 2<x<5:\ -, \quad x>5:\ +

טבלת סימנים, עם $x = 2$ מחוץ לתחום

\begin{aligned}f(-1) &= \frac{6}{-3} \\ &= -2 \\ \quad f(5) &= \frac{30}{3} \\ &= 10\end{aligned}

מקסימום ב- $(-1, -2)$ ומינימום ב- $(5, 10)$ . המלכודת: להחליף את הסוגים כי $-2 < 10$ — המקסימום מקומי, והוא בענף אחר של הגרף, משמאל לאסימפטוטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^2 + 5}{x - 2}$ . לפונקציה מקסימום ב- $(-1, -2)$ ומינימום ב- $(5, 10)$ . ג. מהן האסימפטוטות של $f$ המאונכות לצירים?

אנכית $x = 2$ , ואין אסימפטוטה אופקית
אנכיות $x = 2$ ו- $x = -2$
אנכית $x = 2$ ואופקית $y = 0$
אנכית $x = 2$ ואופקית $y = 1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A אנכית $x = 2$ , ואין אסימפטוטה אופקית

Corrigé :

\begin{aligned}x - 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \quad x^2 + 5 \neq 0\end{aligned}

המכנה מתאפס והמונה לא: אסימפטוטה אנכית

\frac{x^2 + 5}{x - 2} = \frac{x + \frac{5}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \xrightarrow{x \to \pm\infty} \pm\infty

מחלקים ב- $x$ : הפונקציה לא שואפת למספר

אסימפטוטה אנכית $x = 2$ , ואין אסימפטוטה אופקית. המלכודת: לענות $y = 1$ לפי יחס המקדמים — זה נכון רק כשמעלת המונה שווה למעלת המכנה, וכאן היא גדולה יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^2 + 5}{x - 2}$ . לפונקציה מקסימום ב- $(-1, -2)$ ומינימום ב- $(5, 10)$ . האסימפטוטה האנכית היא $x = 2$ , ואין אסימפטוטה אופקית. ד. לכמה ערכים שלמים של $k$ אין למשוואה $f(x) = k$ אף פתרון?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11

Corrigé :

x < 2:\quad f \le -2

בענף השמאלי הערך הגדול ביותר הוא המקסימום $-2$

x > 2:\quad f \ge 10

בענף הימני הערך הקטן ביותר הוא המינימום $10$

\begin{aligned}-2 < k < 10 \Rightarrow k &= -1 \\ 0 \\ 1 \\ \dots \\ 9\end{aligned}

הישר $y = k$ עובר בין שני הענפים

9 - (-1) + 1 = 11

$11$ ערכים. המלכודת: לכלול את $k = -2$ ואת $k = 10$ — בהם הישר משיק לגרף בנקודת הקיצון, ויש פתרון אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^2 + 5}{x - 2}$ . לפונקציה מקסימום ב- $(-1, -2)$ ומינימום ב- $(5, 10)$ . מגדירים $g(x) = f(x) + m$ , כאשר $m > 0$ . ה. מצאו את $m$ שעבורו ציר ה- $x$ משיק לגרף של $g$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

g'(x) = f'(x)

הזזה אנכית לא משנה שיפועים: הקיצונים באותם $x$

\begin{aligned}g(-1) &= -2 + m \\ &= 0 \Rightarrow m \\ &= 2\end{aligned}

המקסימום של $g$ צריך לשבת על ציר ה- $x$

\begin{aligned}g(5) &= 10 + m \\ &= 0 \Rightarrow m \\ &= -10 < 0\end{aligned}

הפתרון השני נפסל: $m > 0$

$m = 2$ . המלכודת: לבחור את המינימום ולקבל $m = -10$ — הוא אכן משיק, אבל התנאי $m > 0$ פוסל אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

שאלה 1 — אינדוקציה מתמטית

שאלה 2 — עץ הסתברויות ונוסחת ברנולי

שאלה 3 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

La suite se pratique sur elev