מבחן לדוגמא 4

Exercice 1

נתונה הפונקציה $f(x) = \sin 2x + 2\cos x$ בתחום $0 \le x \le 2\pi$. א. מצאו את $f'(x)$.

$f'(x) =$ ____ $\cos 2x -$ ____ $\sin x$

Exercice 2

נתונה הפונקציה $f(x) = \sin 2x + 2\cos x$ בתחום $0 \le x \le 2\pi$. הנגזרת היא $f'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x$. ב. מהן נקודות הקיצון של $f$ בתוך התחום, $0 < x < 2\pi$?

1. Aמקסימום ב-$x = \frac{\pi}{6}$, מינימום ב-$x = \frac{5\pi}{6}$
2. Bמינימום ב-$x = \frac{\pi}{6}$, מקסימום ב-$x = \frac{5\pi}{6}$
3. Cמקסימום ב-$x = \frac{\pi}{6}$, מינימום ב-$x = \frac{5\pi}{6}$, מקסימום ב-$x = \frac{3\pi}{2}$
4. Dמקסימום ב-$x = \frac{\pi}{2}$, מינימום ב-$x = \frac{3\pi}{2}$

Exercice 3

נתונה הפונקציה $f(x) = \sin 2x + 2\cos x$ בתחום $0 \le x \le 2\pi$. הנגזרת היא $f'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x$. לפונקציה מקסימום ב-$x = \frac{\pi}{6}$ ומינימום ב-$x = \frac{5\pi}{6}$. ג. מהו ערך הפונקציה בנקודת המקסימום? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Exercice 4

נתונה הפונקציה $f(x) = \sin 2x + 2\cos x$ בתחום $0 \le x \le 2\pi$. הנגזרת היא $f'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x$. לפונקציה מקסימום ב-$x = \frac{\pi}{6}$ ומינימום ב-$x = \frac{5\pi}{6}$. ד. כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$ יש לגרף של $f$ בתחום $0 \le x \le 2\pi$?

Exercice 5

נתונה הפונקציה $f(x) = \sin 2x + 2\cos x$ בתחום $0 \le x \le 2\pi$. הנגזרת היא $f'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x$. לפונקציה מקסימום ב-$x = \frac{\pi}{6}$ ומינימום ב-$x = \frac{5\pi}{6}$. הגרף חותך את ציר ה-$x$ ב-$x = \frac{\pi}{2}$ וב-$x = \frac{3\pi}{2}$. ה. חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של $f$ לבין ציר ה-$x$ בתחום $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$.

Exercice 6

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}$. א. מהו תחום ההגדרה של $f$?

1. Aכל $x$
2. B$x \ge -2$
3. C$x > -2$
4. D$x \neq 2$ ו-$x \neq -2$

Exercice 7

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}$. תחום ההגדרה הוא כל $x$. ב. מהן האסימפטוטות האופקיות של $f$?

1. Aלפונקציה אין אסימפטוטות אופקיות
2. B$y = 1$ בשני הכיוונים
3. C$y = 1$ כש-$x \to \infty$, ו-$y = -1$ כש-$x \to -\infty$
4. D$y = 0$ בשני הכיוונים

Exercice 8

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}$. תחום ההגדרה הוא כל $x$. האסימפטוטות האופקיות: $y = 1$ כש-$x \to \infty$ ו-$y = -1$ כש-$x \to -\infty$. ג. לפונקציה נקודת קיצון אחת, והיא מקסימום. מצאו את שיעוריה. (עגלו את שיעור ה-$y$ לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

$x =$ ____ , $y \approx$ ____

Exercice 9

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}$. תחום ההגדרה הוא כל $x$. האסימפטוטות האופקיות: $y = 1$ כש-$x \to \infty$ ו-$y = -1$ כש-$x \to -\infty$. נקודת המקסימום היא $(2, \sqrt{2}) \approx (2, 1.41)$. ד. כמה פתרונות יש למשוואה $f(x) = 1.2$?

Exercice 10

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}$. תחום ההגדרה הוא כל $x$. האסימפטוטות האופקיות: $y = 1$ כש-$x \to \infty$ ו-$y = -1$ כש-$x \to -\infty$. נקודת המקסימום היא $(2, \sqrt{2}) \approx (2, 1.41)$. ה. פתרו את המשוואה $f(x) = 0.2$.

Exercice 11

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא $r(t) = t^2 - 4t + 3$, כאשר $t$ הזמן בשעות, $0 \le t \le 5$. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן $t = 0$ היו בבריכה $10$ מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן $x$ הוא $V(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt$. א. באילו תחומי זמן נפח המים בבריכה גדל?

1. A$0 < t < 1$ ו-$3 < t < 5$
2. B$1 < t < 3$
3. C$0 < t < 2$
4. D$2 < t < 5$

Exercice 12

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא $r(t) = t^2 - 4t + 3$, כאשר $t$ הזמן בשעות, $0 \le t \le 5$. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן $t = 0$ היו בבריכה $10$ מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן $x$ הוא $V(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt$. הנפח גדל כש-$0 < t < 1$ וכש-$3 < t < 5$, וקטן כש-$1 < t < 3$. ב. כמה מים יש בבריכה בזמן $t = 1$? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Exercice 13

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא $r(t) = t^2 - 4t + 3$, כאשר $t$ הזמן בשעות, $0 \le t \le 5$. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן $t = 0$ היו בבריכה $10$ מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן $x$ הוא $V(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt$. הנפח גדל כש-$0 < t < 1$ וכש-$3 < t < 5$, וקטן כש-$1 < t < 3$. בזמן $t = 1$ יש בבריכה $\frac{34}{3} \approx 11.33$ מ״ק. ג. כמה מים יצאו מהבריכה בין $t = 1$ ל-$t = 3$? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Exercice 14

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא $r(t) = t^2 - 4t + 3$, כאשר $t$ הזמן בשעות, $0 \le t \le 5$. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן $t = 0$ היו בבריכה $10$ מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן $x$ הוא $V(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt$. הנפח גדל כש-$0 < t < 1$ וכש-$3 < t < 5$, וקטן כש-$1 < t < 3$. בזמן $t = 1$ יש בבריכה $\frac{34}{3} \approx 11.33$ מ״ק. בין $t = 1$ ל-$t = 3$ יצאו מהבריכה $\frac{4}{3}$ מ״ק. ד. הוכיחו או הפריכו: בזמן $t = 3$ יש בבריכה בדיוק $10$ מ״ק, כמו בהתחלה.

Exercice 15

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא $r(t) = t^2 - 4t + 3$, כאשר $t$ הזמן בשעות, $0 \le t \le 5$. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן $t = 0$ היו בבריכה $10$ מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן $x$ הוא $V(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt$. הנפח גדל כש-$0 < t < 1$ וכש-$3 < t < 5$, וקטן כש-$1 < t < 3$. בזמן $t = 1$ יש בבריכה $\frac{34}{3} \approx 11.33$ מ״ק. בין $t = 1$ ל-$t = 3$ יצאו מהבריכה $\frac{4}{3}$ מ״ק. בזמן $t = 3$ יש בבריכה שוב $10$ מ״ק. ה. כמה מים יש בבריכה בזמן $t = 5$? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Exercice 16

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא $r(t) = t^2 - 4t + 3$, כאשר $t$ הזמן בשעות, $0 \le t \le 5$. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן $t = 0$ היו בבריכה $10$ מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן $x$ הוא $V(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt$. הנפח גדל כש-$0 < t < 1$ וכש-$3 < t < 5$, וקטן כש-$1 < t < 3$. בזמן $t = 1$ יש בבריכה $\frac{34}{3} \approx 11.33$ מ״ק. בין $t = 1$ ל-$t = 3$ יצאו מהבריכה $\frac{4}{3}$ מ״ק. בזמן $t = 3$ יש בבריכה שוב $10$ מ״ק. ו. מהו הקצב הממוצע של הגדלת הנפח בין $t = 3$ ל-$t = 5$ (במ״ק לשעה)? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)