מבחן לדוגמא 5

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבחן לדוגמא 5 — סוף שנה. 3 שאלות עם סעיפים, 15 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה מכל פרק של השאלון: הסתברות (ברנולי, הסתברות מותנית וזכייה ראשונה), גאומטריה וטריגונומטריה במישור (מרובע חסום ומשפט הסינוסים), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר, זוגיות ושטח).

כמו בבגרות, כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. «לפחות פעם אחת» — עברו למשלים; במשוואה sin⁡u=k\sin u = k חפשו שני פתרונות; ובשטח — חלקו את הקטע בנקודות החיתוך עם הציר לפני שמחשבים.

Exercices

שאלה 1 — הסתברות: ברנולי וזכייה ראשונה

Exercice 1

בדוכן בפסטיבל מסובבים גלגל מזל. בכל סיבוב יש זכייה בהסתברות pp, ללא תלות בסיבובים האחרים. ההסתברות לזכות לפחות פעם אחת בשני סיבובים היא 0.640.64. א. מצאו את pp.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.4

Corrigé :

(1−p)2(1 - p)^2

המשלים של «לפחות פעם אחת»: אף זכייה בשני הסיבובים

1−(1−p)2=0.64⇒(1−p)2=0.36\begin{aligned}1 - (1 - p)^2 &= 0.64 \Rightarrow (1 - p)^2 \\ &= 0.36\end{aligned}
1−p=0.6⇒p=0.4\begin{aligned}1 - p &= 0.6 \Rightarrow p \\ &= 0.4\end{aligned}

הפתרון 1−p=−0.61 - p = -0.6 נפסל: p≤1p \le 1

p=0.4p = 0.4. המלכודת: לכתוב 2p=0.642p = 0.64 — חיבור ההסתברויות סופר פעמיים את המקרה של שתי זכיות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בדוכן בפסטיבל מסובבים גלגל מזל. בכל סיבוב יש זכייה בהסתברות p=0.4p = 0.4, ללא תלות בסיבובים האחרים. דנה מסובבת את הגלגל עד שהיא זוכה בפעם הראשונה. ב. מה ההסתברות שהזכייה הראשונה שלה תהיה בסיבוב השלישי? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.14

Corrigé :

P(Wˉ)⋅P(Wˉ)⋅P(W)P(\bar{W}) \cdot P(\bar{W}) \cdot P(W)

הסדר מחייב: שני הפסדים ואז זכייה (WW — זכייה)

0.6⋅0.6⋅0.4=0.144≈0.140.6 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 0.144 \approx 0.14

כופלים לאורך המסלול

0.144≈0.140.144 \approx 0.14. המלכודת: להשתמש בנוסחת ברנולי, (31)⋅0.4⋅0.62=0.432\binom{3}{1} \cdot 0.4 \cdot 0.6^2 = 0.432 — ברנולי סופרת כל סדר, וכאן הסדר קבוע: הזכייה חייבת להיות האחרונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בדוכן בפסטיבל מסובבים גלגל מזל. בכל סיבוב יש זכייה בהסתברות p=0.4p = 0.4, ללא תלות בסיבובים האחרים. יוסי מסובב את הגלגל 66 פעמים. ג. מה ההסתברות שיזכה בדיוק פעמיים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.31

Corrigé :

P(X=2)=(62)⋅0.42⋅0.64P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot 0.4^2 \cdot 0.6^4

נוסחת ברנולי: n=6n = 6, k=2k = 2

=15⋅0.16⋅0.1296≈0.31= 15 \cdot 0.16 \cdot 0.1296 \approx 0.31

≈0.31\approx 0.31. המלכודת: להעלות את 0.60.6 בחזקת 66 במקום 44 — מספר ההפסדים הוא 6−2=46 - 2 = 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בדוכן בפסטיבל מסובבים גלגל מזל. בכל סיבוב יש זכייה בהסתברות p=0.4p = 0.4, ללא תלות בסיבובים האחרים. יוסי מסובב את הגלגל 66 פעמים, וההסתברות שיזכה בדיוק פעמיים היא 0.311040.31104. ד. ידוע שיוסי זכה לפחות פעם אחת. מה ההסתברות שזכה בדיוק פעמיים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.33

Corrigé :

P(X≥1)=1−0.66≈0.9533P(X \ge 1) = 1 - 0.6^6 \approx 0.9533

המאורע הידוע, דרך המשלים

P(X=2∣X≥1)=P(X=2)P(X≥1)P(X = 2 \mid X \ge 1) = \frac{P(X = 2)}{P(X \ge 1)}

המאורע X=2X = 2 כלול במאורע X≥1X \ge 1, ולכן החיתוך הוא X=2X = 2

0.311040.9533≈0.33\frac{0.31104}{0.9533} \approx 0.33

≈0.33\approx 0.33. המלכודת: לכפול 0.31104⋅0.95330.31104 \cdot 0.9533 כאילו המאורעות בלתי תלויים — בהסתברות מותנית מחלקים בהסתברות של מה שידוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בדוכן בפסטיבל מסובבים גלגל מזל. בכל סיבוב יש זכייה בהסתברות p=0.4p = 0.4, ללא תלות בסיבובים האחרים. ה. מהו מספר הסיבובים הקטן ביותר שעבורו ההסתברות לזכות לפחות פעם אחת גדולה מ-0.990.99?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

1−0.6n>0.99⇒0.6n<0.011 - 0.6^n > 0.99 \Rightarrow 0.6^n < 0.01

דרך המשלים

0.69≈0.0101,0.610≈0.00600.6^9 \approx 0.0101, \quad 0.6^{10} \approx 0.0060

מנסים ערכים: 0.6n0.6^n קטן כש-nn גדל

n=10n = 10

n=10n = 10. המלכודת: לעצור ב-n=9n = 9 כי 0.69≈0.010.6^9 \approx 0.01 — הערך 0.01010.0101 עדיין גדול מ-0.010.01, והאי-שוויון חזק.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — מרובע חסום וטריגונומטריה

Exercice 6

ABCDE

במשולש החד-זוויות ABCABC העבירו את הגובה BDBD לצלע ACAC ואת הגובה CECE לצלע ABAB. נסמן ∠BAC=α\angle BAC = \alpha. א. הוכיחו שאפשר לחסום את המרובע BCDEBCDE במעגל.

  • BD⊥ACBD \perp AC
  • CE⊥ABCE \perp AB

אפשר לחסום את המרובע BCDEBCDE במעגל

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠BEC=90∘\angle BEC = 90^\circ — נתון
  2. ∠BDC=90∘\angle BDC = 90^\circ — נתון
  3. DD ו-EE נמצאות על המעגל שקוטרו BCBC — זווית היקפית של 90∘90^\circ נשענת על קוטר
  4. אפשר לחסום את המרובע BCDEBCDE במעגל — ארבעת הקודקודים נמצאים על מעגל אחד

Corrigé :

∠BEC=90∘\angle BEC = 90^\circ

נתון: CECE גובה

∠BDC=90∘\angle BDC = 90^\circ

נתון: BDBD גובה

∠BEC=∠BDC=90∘\begin{aligned}\angle BEC &= \angle BDC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר: EE ו-DD על המעגל שקוטרו BCBC

B, C, D, EB,\ C,\ D,\ E

ארבעת הקודקודים על מעגל אחד

BB, CC, DD, EE על המעגל שקוטרו BCBC. המלכודת: לחפש זוג זוויות נגדיות שסכומן 180∘180^\circ — הזוויות הישרות ב-DD וב-EE אינן נגדיות במרובע BCDEBCDE, הן נשענות שתיהן על הצלע BCBC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCDE

במשולש החד-זוויות ABCABC העבירו את הגובה BDBD לצלע ACAC ואת הגובה CECE לצלע ABAB. נסמן ∠BAC=α\angle BAC = \alpha. הוכח שאפשר לחסום את המרובע BCDEBCDE במעגל. ב. מדוע ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC?

  1. שתיהן זוויות היקפיות הנשענות על הקשת DEDE
  2. במרובע החסום BCDEBCDE סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ, ולכן הזווית החיצונית ∠ADE\angle ADE שווה לזווית הנגדית ∠EBC\angle EBC
  3. DE∥BCDE \parallel BC, ולכן אלו זוויות מתאימות
  4. המשולש ADEADE שווה-שוקיים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B במרובע החסום BCDEBCDE סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ, ולכן הזווית החיצונית ∠ADE\angle ADE שווה לזווית הנגדית ∠EBC\angle EBC

Corrigé :

∠EDC+∠EBC=180∘\angle EDC + \angle EBC = 180^\circ

במרובע חסום סכום זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ

∠ADE+∠EDC=180∘\angle ADE + \angle EDC = 180^\circ

זוויות צמודות

∠ADE=∠EBC=∠ABC\begin{aligned}\angle ADE &= \angle EBC \\ &= \angle ABC\end{aligned}

שתי זוויות שמשלימות את אותה זווית ל-180∘180^\circ

כי הזווית החיצונית של מרובע חסום שווה לזווית הפנימית שמולה. המלכודת: לטעון ש-DE∥BCDE \parallel BC — הקטעים אינם מקבילים (אחרת המשולש שווה-שוקיים); הדמיון כאן הוא «הפוך».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCDE

במשולש החד-זוויות ABCABC העבירו את הגובה BDBD לצלע ACAC ואת הגובה CECE לצלע ABAB. נסמן ∠BAC=α\angle BAC = \alpha. הוכח שאפשר לחסום את המרובע BCDEBCDE במעגל. לכן ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC, ו-△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC (זווית α\alpha משותפת). ג. הביעו את DEDE באמצעות BCBC ו-α\alpha.

  1. DE=BCsin⁡αDE = BC\sin\alpha
  2. DE=BCcos⁡αDE = \frac{BC}{\cos\alpha}
  3. DE=BCtan⁡αDE = BC\tan\alpha
  4. DE=BCcos⁡αDE = BC\cos\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D DE=BCcos⁡αDE = BC\cos\alpha

Corrigé :

DEBC=ADAB\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}

במשולשים דומים צלעות מתאימות פרופורציוניות

AD=ABcos⁡αAD = AB\cos\alpha

במשולש ישר הזווית ABDABD: cos⁡α=ADAB\cos\alpha = \frac{AD}{AB}

DE=BCcos⁡αDE = BC\cos\alpha

DE=BCcos⁡αDE = BC\cos\alpha. המלכודת: לבחור sin⁡α\sin\alpha — במשולש ABDABD הצלע ADAD ליד הזווית α\alpha, ולכן זה קוסינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCDE

במשולש החד-זוויות ABCABC העבירו את הגובה BDBD לצלע ACAC ואת הגובה CECE לצלע ABAB. נסמן ∠BAC=α\angle BAC = \alpha. הוכח שאפשר לחסום את המרובע BCDEBCDE במעגל. לכן ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC, ו-△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC (זווית α\alpha משותפת). לכן DE=BCcos⁡αDE = BC\cos\alpha. נתון BC=12BC = 12 ו-α=50∘\alpha = 50^\circ. ד. חשבו את DEDE. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.71

Corrigé :

DE=12cos⁡50∘≈12⋅0.6428≈7.71DE = 12\cos 50^\circ \approx 12 \cdot 0.6428 \approx 7.71

מציבים בביטוי מסעיף ג

DE≈7.71DE \approx 7.71. המלכודת: מחשבון במצב רדיאנים נותן 12cos⁡50≈11.5812\cos 50 \approx 11.58 — ערך שגדול כמעט כמו BCBC צריך להדליק נורה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABCDE

במשולש החד-זוויות ABCABC העבירו את הגובה BDBD לצלע ACAC ואת הגובה CECE לצלע ABAB. נסמן ∠BAC=α\angle BAC = \alpha. הוכח שאפשר לחסום את המרובע BCDEBCDE במעגל. לכן ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC, ו-△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC (זווית α\alpha משותפת). לכן DE=BCcos⁡αDE = BC\cos\alpha. המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR, ונתון DE=0.96RDE = 0.96R. ה. מהו α\alpha?

  1. α≈53.13∘\alpha \approx 53.13^\circ בלבד
  2. α≈36.87∘\alpha \approx 36.87^\circ בלבד
  3. α≈36.87∘\alpha \approx 36.87^\circ או α≈53.13∘\alpha \approx 53.13^\circ
  4. α≈73.74∘\alpha \approx 73.74^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C α≈36.87∘\alpha \approx 36.87^\circ או α≈53.13∘\alpha \approx 53.13^\circ

Corrigé :

BC=2Rsin⁡αBC = 2R\sin\alpha

משפט הסינוסים במשולש ABCABC

DE=2Rsin⁡αcos⁡α=Rsin⁡2α\begin{aligned}DE &= 2R\sin\alpha\cos\alpha \\ &= R\sin 2\alpha\end{aligned}

מציבים ב-DE=BCcos⁡αDE = BC\cos\alpha; סינוס של זווית כפולה

sin⁡2α=0.96⇒2α≈73.74∘ או 2α≈106.26∘\sin 2\alpha = 0.96 \Rightarrow 2\alpha \approx 73.74^\circ \ \text{או} \ 2\alpha \approx 106.26^\circ
α≈36.87∘ או α≈53.13∘\alpha \approx 36.87^\circ \ \text{או} \ \alpha \approx 53.13^\circ

שתי הזוויות חדות, ושתיהן אפשריות

α≈36.87∘\alpha \approx 36.87^\circ או α≈53.13∘\alpha \approx 53.13^\circ. המלכודת: לקחת רק את התשובה של המחשבון — ל-sin⁡2α=0.96\sin 2\alpha = 0.96 יש שני פתרונות בין 0∘0^\circ ל-180∘180^\circ, ולכן ל-α\alpha שניים בין 0∘0^\circ ל-90∘90^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר ושטח

Exercice 11

נתונה הפונקציה f(x)=asin⁡x−sin⁡2xf(x) = a\sin x - \sin 2x לכל xx, כאשר aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2π3x = \frac{2\pi}{3}. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=acos⁡x−2cos⁡2xf'(x) = a\cos x - 2\cos 2x

נגזרת, עם הנגזרת הפנימית של sin⁡2x\sin 2x

f′(2π3)=a⋅(−12)−2⋅(−12)=0\begin{aligned}f'\left(\frac{2\pi}{3}\right) &= a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= 0\end{aligned}

cos⁡4π3=−12\cos\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}

−a2+1=0⇒a=2\begin{aligned}-\frac{a}{2} + 1 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

a=2a = 2. המלכודת: להציב cos⁡2π3\cos\frac{2\pi}{3} גם ב-cos⁡2x\cos 2x — שם הזווית היא 2⋅2π3=4π32 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡x−sin⁡2xf(x) = 2\sin x - \sin 2x לכל xx. ב. הוכיחו או הפריכו: ff היא פונקציה אי-זוגית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(−x)=2sin⁡(−x)−sin⁡(−2x)f(-x) = 2\sin(-x) - \sin(-2x)

מציבים −x-x

=−2sin⁡x+sin⁡2x=−f(x)= -2\sin x + \sin 2x = -f(x)

sin⁡\sin אי-זוגית: sin⁡(−u)=−sin⁡u\sin(-u) = -\sin u

נכון: f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x), והגרף סימטרי ביחס לראשית. המלכודת: לבדוק נקודה אחת, כמו f(0)=0f(0) = 0, ולהסתפק — צריך להראות את השוויון לכל xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡x−sin⁡2xf(x) = 2\sin x - \sin 2x לכל xx. הפונקציה אי-זוגית. ג. מהן נקודות הקיצון של ff בתחום 0<x<2π0 < x < 2\pi?

  1. מקסימום ב-x=2π3x = \frac{2\pi}{3} בלבד
  2. מינימום ב-x=2π3x = \frac{2\pi}{3}, מקסימום ב-x=4π3x = \frac{4\pi}{3}
  3. מקסימום ב-x=π3x = \frac{\pi}{3}, מינימום ב-x=5π3x = \frac{5\pi}{3}
  4. מקסימום ב-x=2π3x = \frac{2\pi}{3}, מינימום ב-x=4π3x = \frac{4\pi}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מקסימום ב-x=2π3x = \frac{2\pi}{3}, מינימום ב-x=4π3x = \frac{4\pi}{3}

Corrigé :

f′(x)=2cos⁡x−2cos⁡2x=2cos⁡x−2(2cos⁡2x−1)\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos x - 2\cos 2x \\ &= 2\cos x - 2(2\cos^2 x - 1)\end{aligned}

cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = 2\cos^2 x - 1

f′(x)=−2(2cos⁡x+1)(cos⁡x−1)f'(x) = -2(2\cos x + 1)(\cos x - 1)

משוואה ריבועית ב-cos⁡x\cos x

cos⁡x=−12⇒x=2π34π3\begin{aligned}\cos x &= -\frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \frac{2\pi}{3} \\ \frac{4\pi}{3}\end{aligned}

cos⁡x=1\cos x = 1 נותן רק את הקצוות 00 ו-2π2\pi

2π3: +→−,4π3: −→+\frac{2\pi}{3}:\ + \to -, \quad \frac{4\pi}{3}:\ - \to +

−2(cos⁡x−1)≥0-2(\cos x - 1) \ge 0, ולכן הסימן של f′f' הוא הסימן של 2cos⁡x+12\cos x + 1

מקסימום ב-2π3\frac{2\pi}{3} ומינימום ב-4π3\frac{4\pi}{3}. המלכודת: להפוך את הסוגים — בדקו סימן של f′f' בנקודה בין השורשים, למשל f′(π)=−4<0f'(\pi) = -4 < 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡x−sin⁡2xf(x) = 2\sin x - \sin 2x לכל xx. הפונקציה אי-זוגית. לפונקציה מקסימום ב-x=2π3x = \frac{2\pi}{3} ומינימום ב-x=4π3x = \frac{4\pi}{3}, והיא מתאפסת ב-x=0x = 0, x=πx = \pi ו-x=2πx = 2\pi. ד. חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של ff לבין ציר ה-xx בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f(x)=2sin⁡x(1−cos⁡x)≥0f(x) = 2\sin x(1 - \cos x) \ge 0

בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi הגרף מעל הציר

∫0π(2sin⁡x−sin⁡2x) dx=[−2cos⁡x+cos⁡2x2]0π\int_0^{\pi} (2\sin x - \sin 2x)\,dx = \left[-2\cos x + \frac{\cos 2x}{2}\right]_0^{\pi}

פונקציה קדומה

=(2+12)−(−2+12)=4= \left(2 + \frac{1}{2}\right) - \left(-2 + \frac{1}{2}\right) = 4

S=4S = 4. המלכודת: לכתוב את הקדומה של −sin⁡2x-\sin 2x כ-−cos⁡2x2-\frac{\cos 2x}{2} — הסימן מתהפך: ∫sin⁡2x dx=−cos⁡2x2\int \sin 2x\,dx = -\frac{\cos 2x}{2}, ולכן ∫(−sin⁡2x) dx=+cos⁡2x2\int (-\sin 2x)\,dx = +\frac{\cos 2x}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡x−sin⁡2xf(x) = 2\sin x - \sin 2x לכל xx. הפונקציה אי-זוגית. לפונקציה מקסימום ב-x=2π3x = \frac{2\pi}{3} ומינימום ב-x=4π3x = \frac{4\pi}{3}, והיא מתאפסת ב-x=0x = 0, x=πx = \pi ו-x=2πx = 2\pi. השטח בין הגרף לציר ה-xx בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi הוא 44. ה. חשבו את השטח הכולל המוגבל בין הגרף של ff לבין ציר ה-xx בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f(2π−x)=f(−x)=−f(x)\begin{aligned}f(2\pi - x) &= f(-x) \\ &= -f(x)\end{aligned}

מחזוריות ואי-זוגיות: החלק שבין π\pi ל-2π2\pi הוא תמונת ראי של החלק הראשון, מתחת לציר

∫π2πf(x) dx=−4\int_{\pi}^{2\pi} f(x)\,dx = -4

השטח שם שווה, והאינטגרל שלילי

S=4+∣−4∣=8\begin{aligned}S &= 4 + |-4| \\ &= 8\end{aligned}

S=8S = 8. המלכודת: לחשב ∫02πf(x) dx=0\int_0^{2\pi} f(x)\,dx = 0 ולענות 00 — שטח שמתחת לציר נספר בערך מוחלט, ולכן מחלקים את הקטע בנקודת החיתוך x=πx = \pi.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe