בגרות 35471 — קיץ 2026

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35471 (4 יחידות לימוד, שאלון ראשון), קיץ תשפ״ו, 2026. בשאלון המודפס: משך הבחינה שלוש שעות וחצי, ועונים על חמש מן השאלות 1–8, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – 20 נקודות). למועד קיץ תשפ״ו («שאגת הארי») עדכן משרד החינוך את ההנחיות: משך הבחינה ארבע שעות, עונים על חמש שאלות ללא הגבלת פרקים, לכל שאלה 22 נקודות, וסך הכול 100 נקודות לכל היותר. פרק ראשון – סטטיסטיקה והסתברות: שאלות 1–3. פרק שני – גאומטרייה: שאלות 4–5. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־47 סעיפים, כדי שתוכלו להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, והפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercices

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: משתלת «עץ ופרח»

Exercice 1

א. מצאו את סטיית התקן של אורכי הגבעולים בשנה זו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

P(X<55)=0.326⇒Φ(z)=0.326\begin{aligned}P(X < 55) &= 0.326 \Rightarrow \Phi(z) \\ &= 0.326\end{aligned}

השטח משמאל ל־5555 הוא אחוז הצמחים שנמכרו לחנויות

Φ(−0.45)=1−0.6736=0.3264⇒z=−0.45\begin{aligned}\Phi(-0.45) &= 1 - 0.6736 \\ &= 0.3264 \Rightarrow z \\ &= -0.45\end{aligned}

בטבלה: Φ(0.45)=0.6736\Phi(0.45) = 0.6736; 5555 קטן מן הממוצע, לכן zz שלילי

55−64σ=−0.45⇒σ=90.45=20\begin{aligned}\frac{55 - 64}{\sigma} &= -0.45 \Rightarrow \sigma \\ &= \frac{9}{0.45} \\ &= 20\end{aligned}

ציון התקן

סטיית התקן היא 2020 ס״מ. המלכודת: לקחת z=0.45z = 0.45 חיובי ולקבל σ\sigma שלילית — 5555 נמצא משמאל לממוצע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

צמחים שאורך הגבעול שלהם גדול מ־8080 ס״מ נשלחים לייצוא. בשנה זו, 9,5409{,}540 מן הצמחים במשתלה נשלחו לייצוא. ב (1). מצאו את אחוז הצמחים במשתלה שנשלחו לייצוא.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 21.19

Corrigé :

z=80−6420=0.8\begin{aligned}z &= \frac{80 - 64}{20} \\ &= 0.8\end{aligned}

ציון התקן של 8080, עם σ=20\sigma = 20 מסעיף א

P(X>80)=1−Φ(0.8)=1−0.7881=0.2119\begin{aligned}P(X > 80) &= 1 - \Phi(0.8) \\ &= 1 - 0.7881 \\ &= 0.2119\end{aligned}

הטבלה נותנת את השטח משמאל; הייצוא הוא מימין

21.19%21.19\% מן הצמחים נשלחו לייצוא. המלכודת: לענות 78.81%78.81\%, השטח משמאל ל־8080.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

צמחים שאורך הגבעול שלהם גדול מ־8080 ס״מ נשלחים לייצוא. בשנה זו, 9,5409{,}540 מן הצמחים במשתלה נשלחו לייצוא. ב (2). על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה צמחים לא נשלחו לייצוא ולא נמכרו לחנויות מקומיות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20786

Corrigé :

N=95400.2119≈45,021N = \frac{9540}{0.2119} \approx 45{,}021

מספר הצמחים במשתלה: 9,5409{,}540 הם 21.19%21.19\% מכולם

P(55<X<80)=Φ(0.8)−Φ(−0.45)=0.7881−0.3264=0.4617\begin{aligned}P(55 < X < 80) &= \Phi(0.8) - \Phi(-0.45) \\ &= 0.7881 - 0.3264 \\ &= 0.4617\end{aligned}

הצמחים שבין שני הגבולות

0.4617⋅45,021≈20,7860.4617 \cdot 45{,}021 \approx 20{,}786

בערך 20,78620{,}786 צמחים (תוצאה קרובה, כמו 20,79020{,}790, מתקבלת כשמקרבים את ערכי הביניים). המלכודת: לחשב את האחוז ולשכוח שהשאלה שואלת כמה צמחים — צריך קודם את מספר הצמחים במשתלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בשנה שלאחר מכן, אורכי הגבעולים של הצמחים במשתלה התפלגו נורמלית, וסטיית התקן הייתה 2525 ס״מ. גם בשנה זו צמחים שאורך הגבעול שלהם קטן מ־5555 ס״מ נמכרו לחנויות מקומיות. בשנה זו גידלו במשתלה 40,00040{,}000 צמחים סך הכול. 4,0004{,}000 מן הצמחים נמכרו לחנויות מקומיות. ג. מצאו את האורך הממוצע של גבעולי הצמחים בשנה זו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 87

Corrigé :

P(X<55)=400040,000=0.1\begin{aligned}P(X < 55) &= \frac{4000}{40{,}000} \\ &= 0.1\end{aligned}

אחוז הצמחים שנמכרו לחנויות

Φ(z)=0.1⇒z≈−1.28\Phi(z) = 0.1 \Rightarrow z \approx -1.28

בטבלה: Φ(1.28)≈0.9\Phi(1.28) \approx 0.9

55−μ25=−1.28⇒μ=55+32=87\begin{aligned}\frac{55 - \mu}{25} &= -1.28 \Rightarrow \mu \\ &= 55 + 32 \\ &= 87\end{aligned}

האורך הממוצע הוא 8787 ס״מ. המלכודת: לפתור 55−μ25=1.28\frac{55 - \mu}{25} = 1.28 ולקבל ממוצע קטן מ־5555 — אבל רק 10%10\% מן הצמחים קצרים מ־5555.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: הוצאות על פרסום והכנסות

Exercice 5

א (1). חשבו את ממוצע ההוצאות על פרסום של 55 החברות בחודש זה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

xˉ=10+15+20+25+305=1005=20\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{10 + 15 + 20 + 25 + 30}{5} \\ &= \frac{100}{5} \\ &= 20\end{aligned}

ממוצע ההוצאות הוא 2020 אלף שקלים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

א (2). חשבו את סטיית התקן של ההוצאות על פרסום של 55 החברות בחודש זה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.071

Corrigé :

x−xˉ: −10, −5, 0, 5, 10x - \bar{x}: \ -10, \ -5, \ 0, \ 5, \ 10

הסטיות מן הממוצע

Sx=100+25+0+25+1005=50=52≈7.07\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{5}} \\ &= \sqrt{50} \\ &= 5\sqrt{2} \approx 7.07\end{aligned}

מחלקים במספר החברות, 55

סטיית התקן היא 50=52≈7.07\sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 אלף שקלים. המלכודת: לחלק ב־44 במקום ב־55.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. ב. מצאו את מקדם המתאם rr.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.873

Corrigé :

y−yˉ: −15, −14, −11, 3, 37y - \bar{y}: \ -15, \ -14, \ -11, \ 3, \ 37

הסטיות של ההכנסות מן הממוצע 3131

∑(x−xˉ)(y−yˉ)=150+70+0+15+370=605\begin{aligned}\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) &= 150 + 70 + 0 + 15 + 370 \\ &= 605\end{aligned}
r=6055⋅50⋅86=12119200≈0.873\begin{aligned}r &= \frac{605}{5 \cdot \sqrt{50} \cdot 8\sqrt{6}} \\ &= \frac{121}{\sqrt{19200}} \approx 0.873\end{aligned}

r=covSxSyr = \frac{\text{cov}}{S_x S_y}, ו־cov=6055=121\text{cov} = \frac{605}{5} = 121

r≈0.873r \approx 0.873 — מתאם חיובי חזק. המלכודת: לשכוח לחלק את סכום המכפלות ב־55 ולקבל r>1r > 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. ג (1). מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx.

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = 2.42 x+x + -17.4

Corrigé :

b=covSx2=12150=2.42\begin{aligned}b &= \frac{\text{cov}}{S_x^2} \\ &= \frac{121}{50} \\ &= 2.42\end{aligned}

השיפוע; זה גם r⋅SySxr \cdot \frac{S_y}{S_x}

y−31=2.42(x−20)y - 31 = 2.42(x - 20)

הישר עובר בנקודת הממוצעים (20,31)(20, 31)

y=2.42x−17.4y = 2.42x - 17.4

ישר הרגרסיה: y=2.42x−17.4y = 2.42x - 17.4. המלכודת: לחשב שיפוע SySx\frac{S_y}{S_x} בלי rr.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. ג (2). על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי להכנסות החודשיות בחברה שההוצאות החודשיות שלה על פרסום הן 2424 אלף שקלים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40.68

Corrigé :

y=2.42⋅24−17.4=58.08−17.4=40.68\begin{aligned}y &= 2.42 \cdot 24 - 17.4 \\ &= 58.08 - 17.4 \\ &= 40.68\end{aligned}

הניבוי: 40.6840.68 אלף שקלים, כלומר 40,68040{,}680 שקלים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. בחודש שלאחר מכן גדלו ההכנסות של כל אחת מן החברות ב־15%15\% (ההוצאות על פרסום של כל אחת מן החברות לא השתנו). ד. לפניכם שלושה היגדים I–III. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. I. בחודש שבו גדלו ההכנסות הייתה סטיית התקן של ההכנסות 10610\sqrt{6}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

y′=1.15y⇒Sy′=1.15⋅86=9.26\begin{aligned}y' &= 1.15y \Rightarrow S_{y'} \\ &= 1.15 \cdot 8\sqrt{6} \\ &= 9.2\sqrt{6}\end{aligned}

כפל כל הנתונים במספר כופל את סטיית התקן באותו מספר

9.26≠1069.2\sqrt{6} \neq 10\sqrt{6}

ההיגד לא נכון: סטיית התקן החדשה היא 9.269.2\sqrt{6}. המלכודת: להוסיף 15%15\% לפי 8+2=108 + 2 = 10 — הגדלה ב־15%15\% היא כפל ב־1.151.15.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. בחודש שלאחר מכן גדלו ההכנסות של כל אחת מן החברות ב־15%15\% (ההוצאות על פרסום של כל אחת מן החברות לא השתנו). ד. לפניכם שלושה היגדים I–III. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. II. בחודש שבו גדלו ההכנסות, שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx – לא השתנה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

cov′=1.15⋅cov⇒b′=1.15⋅12150=2.783\begin{aligned}\text{cov}' &= 1.15 \cdot \text{cov} \Rightarrow b' \\ &= \frac{1.15 \cdot 121}{50} \\ &= 2.783\end{aligned}

השונות המשותפת גדלה פי 1.151.15, ו־SxS_x לא השתנתה

ההיגד לא נכון: השיפוע גדל פי 1.151.15, ל־2.7832.783. מקדם המתאם rr הוא שלא השתנה — לא השיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. בחודש שלאחר מכן גדלו ההכנסות של כל אחת מן החברות ב־15%15\% (ההוצאות על פרסום של כל אחת מן החברות לא השתנו). ד. לפניכם שלושה היגדים I–III. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. III. הנקודה (20,35.65)(20, 35.65) נמצאת על ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx בחודש שבו גדלו ההכנסות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

xˉ′=20yˉ′=1.15⋅31=35.65\begin{aligned}\bar{x}' &= 20 \\ \quad \bar{y}' &= 1.15 \cdot 31 \\ &= 35.65\end{aligned}

הממוצעים בחודש החדש

(xˉ′,yˉ′)=(20,35.65)(\bar{x}', \bar{y}') = (20, 35.65)

ישר הרגרסיה עובר תמיד בנקודת הממוצעים

ההיגד נכון: (20,35.65)(20, 35.65) היא נקודת הממוצעים של החודש החדש.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — הסתברות: פלפלים במשק חקלאי

Exercice 13

א. מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל קטן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2

Corrigé :

k+4k=5k⇒P(קטן)=k5k=0.2\begin{aligned}k + 4k &= 5k \Rightarrow P(\text{קטן}) \\ &= \frac{k}{5k} \\ &= 0.2\end{aligned}

נסמן ב־kk את מספר הפלפלים הקטנים

ההסתברות היא 0.20.2. המלכודת: 14\frac{1}{4} — היחס בין הקטנים לגדולים, לא החלק של הקטנים מכל הפלפלים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.60.6 מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. 0.750.75 מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. ב. מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל גדול צהוב?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.32

Corrigé :

P(גדול)=0.8P(צהוב∣גדול)=1−0.6=0.4\begin{aligned}P(\text{גדול}) &= 0.8 \\ \quad P(\text{צהוב} \mid \text{גדול}) &= 1 - 0.6 \\ &= 0.4\end{aligned}

הגדולים שאינם אדומים הם צהובים

0.8⋅0.4=0.320.8 \cdot 0.4 = 0.32

ההסתברות היא 0.320.32. המלכודת: לענות 0.40.4, ההסתברות לצהוב מבין הגדולים בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.60.6 מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. 0.750.75 מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. ג (1). מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל אדום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.63

Corrigé :

0.8⋅0.6+0.2⋅0.75=0.48+0.15=0.63\begin{aligned}0.8 \cdot 0.6 + 0.2 \cdot 0.75 &= 0.48 + 0.15 \\ &= 0.63\end{aligned}

אדום גדול או אדום קטן

ההסתברות היא 0.630.63.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.60.6 מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. 0.750.75 מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. ג (2). ידוע שנבחר פלפל אדום. מהי ההסתברות שפלפל זה הוא פלפל גדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.7619

Corrigé :

P(גדול∣אדום)=0.480.63=1621≈0.762\begin{aligned}P(\text{גדול} \mid \text{אדום}) &= \frac{0.48}{0.63} \\ &= \frac{16}{21} \approx 0.762\end{aligned}

הסתברות מותנית

ההסתברות היא 1621≈0.762\frac{16}{21} \approx 0.762. המלכודת: 0.60.6 — זו ההסתברות לאדום בהינתן גדול, ההפך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.60.6 מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. 0.750.75 מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. כל הפלפלים במשק החקלאי נשלחים לשני בתי אריזה א׳ ו־ב׳. לבית אריזה א׳ נשלחים כל הפלפלים האדומים, ולבית אריזה ב׳ נשלחים כל הפלפלים הצהובים וכל הפלפלים הירוקים. ד. האם אחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה א׳ גדול או קטן מאחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה ב׳? נמקו את תשובתכם.

  1. גדול: בבית אריזה א׳ כ־76.2%76.2\% מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ כ־32%32\%
  2. גדול: בבית אריזה א׳ 60%60\% מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ 40%40\%
  3. קטן: בבית אריזה א׳ כ־76.2%76.2\% מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ כ־86.5%86.5\%
  4. האחוזים שווים: בשני בתי האריזה 80%80\% מן הפלפלים גדולים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C קטן: בבית אריזה א׳ כ־76.2%76.2\% מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ כ־86.5%86.5\%

Corrigé :

א׳: 0.480.63=1621≈0.762\text{א׳}: \ \frac{0.48}{0.63} = \frac{16}{21} \approx 0.762

בבית אריזה א׳ כל האדומים; החלק הגדול מהם — סעיף ג (2)

ב׳: P(צהוב)+P(ירוק)=0.32+0.2⋅0.25=0.37\begin{aligned}\text{ב׳}: \ P(\text{צהוב}) + P(\text{ירוק}) &= 0.32 + 0.2 \cdot 0.25 \\ &= 0.37\end{aligned}

הצהובים כולם גדולים, הירוקים כולם קטנים

0.320.37=3237≈0.865>0.762\frac{0.32}{0.37} = \frac{32}{37} \approx 0.865 > 0.762

אחוז הגדולים בבית אריזה א׳ קטן מאחוזם בבית אריזה ב׳. המלכודת: להשוות 0.320.32 — ההסתברות לגדול צהוב מכל הפלפלים — במקום החלק של הגדולים בתוך בית האריזה.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — משולש שווה שוקיים במערכת צירים

Exercice 18

א (1). מצאו את משוואת הישר ACAC.

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = 0.5 x+x + 13

Corrigé :

mCD=−2⇒mAC=12\begin{aligned}m_{CD} &= -2 \Rightarrow m_{AC} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1

y−15=12(x−4)⇒y=12x+13\begin{aligned}y - 15 &= \frac{1}{2}(x - 4) \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}x + 13\end{aligned}

הישר עובר ב־EE, אמצע ACAC

הישר ACAC: y=12x+13y = \frac{1}{2}x + 13. המלכודת: שיפוע 22 — ההופכי בלי החלפת הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

א (2). מצאו את שיעורי הקודקוד CC.

C(C( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C(C( 10 ,, 18 ))

Corrigé :

12x+13=−2x+38⇒52x=25⇒x=10\begin{aligned}\frac{1}{2}x + 13 &= -2x + 38 \Rightarrow \frac{5}{2}x \\ &= 25 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

CC הוא נקודת החיתוך של ACAC ו־CDCD

y=−2⋅10+38=18\begin{aligned}y &= -2 \cdot 10 + 38 \\ &= 18\end{aligned}

C(10,18)C(10, 18).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

ב (1). מצאו את אורך הצלע ABAB.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13.416

Corrigé :

A=(2⋅4−10, 2⋅15−18)=(−2,12)\begin{aligned}A &= (2 \cdot 4 - 10, \ 2 \cdot 15 - 18) \\ &= (-2, 12)\end{aligned}

EE אמצע ACAC

AC=122+62=180=65\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{180} \\ &= 6\sqrt{5}\end{aligned}

מרחק בין שתי נקודות

AB=AC=65≈13.42\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 6\sqrt{5} \approx 13.42\end{aligned}

המשולש שווה שוקיים

AB=180=65≈13.42AB = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13.42.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

ב (2). מצאו את שיעורי הקודקוד BB.

B(B( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B(B( -8 ,, 0 ))

Corrigé :

B(x,0): (x+2)2+122=180B(x, 0): \ (x + 2)^2 + 12^2 = 180

BB על ציר ה־xx ו־AB2=180AB^2 = 180

(x+2)2=36⇒x=4 או x=−8\begin{aligned}(x + 2)^2 &= 36 \Rightarrow x \\ &= 4 \ \text{או} \ x \\ &= -8\end{aligned}
x=−8x = -8

BB על החלק השלילי של ציר ה־xx

B(−8,0)B(-8, 0). המלכודת: לקחת x=4x = 4, הפתרון שעל החלק החיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

ג. מצאו את גודל הזווית ABDABD ואת גודל הזווית CBDCBD.

∠ABD=\angle ABD = ____ ∘^\circ , ∠CBD=\angle CBD = ____ ∘^\circ

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∠ABD=\angle ABD = 63.43 ∘^\circ , ∠CBD=\angle CBD = 45 ∘^\circ

Corrigé :

mAB=12−0−2+8=2⇒tan⁡∠ABD=2⇒∠ABD≈63.43∘\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{12 - 0}{-2 + 8} \\ &= 2 \Rightarrow \tan \angle ABD \\ &= 2 \Rightarrow \angle ABD \approx 63.43^\circ\end{aligned}

הזווית בין הישר לכיוון החיובי של ציר ה־xx

mBC=18−010+8=1⇒∠CBD=45∘\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{18 - 0}{10 + 8} \\ &= 1 \Rightarrow \angle CBD \\ &= 45^\circ\end{aligned}

∠ABD≈63.43∘\angle ABD \approx 63.43^\circ ו־∠CBD=45∘\angle CBD = 45^\circ. בדיקה: ∠ABC=63.43∘−45∘=18.43∘\angle ABC = 63.43^\circ - 45^\circ = 18.43^\circ, וזו זווית בסיס של משולש שווה שוקיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

ד. חשבו את שטח המשולש ABCABC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 54

Corrigé :

M=(−8+102,0+182)=(1,9)\begin{aligned}M &= \left(\frac{-8 + 10}{2}, \frac{0 + 18}{2}\right) \\ &= (1, 9)\end{aligned}

השוקיים הן ABAB ו־ACAC, הבסיס BCBC; MM אמצע הבסיס

AM=32+32=32BC=182+182=182\begin{aligned}AM &= \sqrt{3^2 + 3^2} \\ &= 3\sqrt{2} \\ \quad BC &= \sqrt{18^2 + 18^2} \\ &= 18\sqrt{2}\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם הגובה

S=BC⋅AM2=182⋅322=54\begin{aligned}S &= \frac{BC \cdot AM}{2} \\ &= \frac{18\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}}{2} \\ &= 54\end{aligned}

שטח המשולש הוא 5454. המלכודת: לקחת את ACAC כבסיס ואת BEBE כגובה — EE הוא אמצע שוק, ו־BEBE אינו מאונך ל־ACAC.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — משולש חסום במעגל ומשיק

Exercice 24

א (1). הסבירו מדוע הצלע ACAC מקבילה לציר ה־xx.

  • CBCB קוטר במעגל
  • ABAB מקבילה לציר ה־yy

ACAC מקבילה לציר ה־xx

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠CAB=90∘\angle CAB = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  2. AC⊥ABAC \perp AB — הזווית בין הצלעות היא 90∘90^\circ
  3. ACAC מקבילה לציר ה־xx — ישר המאונך לישר המקביל לציר ה־yy מקביל לציר ה־xx

Corrigé :

∠CAB=90∘\angle CAB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר CBCB

AC⊥AB, AB∥ציר yAC \perp AB, \ AB \parallel \text{ציר } y
AC∥ציר xAC \parallel \text{ציר } x

הזווית ההיקפית ∠CAB\angle CAB נשענת על הקוטר, ולכן AC⊥ABAC \perp AB; ו־ABAB אנכית, לכן ACAC אופקית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

א (2). הוכיחו כי △ABC∼△CFD\triangle ABC \sim \triangle CFD.

  • CBCB קוטר, CFCF משיק למעגל בנקודה CC
  • DD על המשך CBCB, ו־FF, DD על ציר ה־xx
  • ACAC מקבילה לציר ה־xx (סעיף א (1))

△ABC∼△CFD\triangle ABC \sim \triangle CFD

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠CAB=90∘\angle CAB = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  2. ∠FCD=90∘\angle FCD = 90^\circ — משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ו־CDCD מונח על הקוטר
  3. ∠ACB=∠CDF\angle ACB = \angle CDF — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (ACAC וציר ה־xx)
  4. △ABC∼△CFD\triangle ABC \sim \triangle CFD — משפט הדמיון ז״ז

Corrigé :

∠CAB=∠FCD=90∘\begin{aligned}\angle CAB &= \angle FCD \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית על קוטר; משיק מאונך לרדיוס

∠ACB=∠CDF\angle ACB = \angle CDF

מתחלפות, AC∥FDAC \parallel FD

△ABC∼△CFD (ז״ז)\triangle ABC \sim \triangle CFD \ (\text{ז״ז})

ההתאמה: A↔CA \leftrightarrow C, B↔FB \leftrightarrow F, C↔DC \leftrightarrow D

שתי זוויות שוות: הזווית הישרה, והזווית המתחלפת. המלכודת: התאמת הקודקודים — AA מתאים ל־CC, כי שם הזוויות הישרות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

נתון כי D(8,0)D(8, 0), וכי משוואת המשיק CFCF היא y=43x+31y = \frac{4}{3}x + 31. ב. מצאו את אורך הצלע FDFD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 31.25

Corrigé :

0=43x+31⇒x=−934=−23.25\begin{aligned}0 &= \frac{4}{3}x + 31 \Rightarrow x \\ &= -\frac{93}{4} \\ &= -23.25\end{aligned}

FF על ציר ה־xx

FD=8−(−23.25)=31.25\begin{aligned}FD &= 8 - (-23.25) \\ &= 31.25\end{aligned}

שתי הנקודות על ציר ה־xx

FD=31.25FD = 31.25.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 27

נתון כי D(8,0)D(8, 0), וכי משוואת המשיק CFCF היא y=43x+31y = \frac{4}{3}x + 31. ג (1). מצאו את משוואת הצלע CDCD.

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = -0.75 x+x + 6

Corrigé :

mCF=43⇒mCD=−34\begin{aligned}m_{CF} &= \frac{4}{3} \Rightarrow m_{CD} \\ &= -\frac{3}{4}\end{aligned}

CD⊥CFCD \perp CF: הקוטר מאונך למשיק

y−0=−34(x−8)⇒y=−34x+6\begin{aligned}y - 0 &= -\frac{3}{4}(x - 8) \Rightarrow y \\ &= -\frac{3}{4}x + 6\end{aligned}

הישר עובר ב־D(8,0)D(8, 0)

CDCD: y=−34x+6y = -\frac{3}{4}x + 6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 28

נתון כי D(8,0)D(8, 0), וכי משוואת המשיק CFCF היא y=43x+31y = \frac{4}{3}x + 31. ג (2). מצאו את אורך הצלע CDCD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

43x+31=−34x+6⇒2512x=−25⇒x=−12\begin{aligned}\frac{4}{3}x + 31 &= -\frac{3}{4}x + 6 \Rightarrow \frac{25}{12}x \\ &= -25 \Rightarrow x \\ &= -12\end{aligned}

CC: חיתוך המשיק והישר CDCD

C(−12,15)C(-12, 15)
CD=202+152=25\begin{aligned}CD &= \sqrt{20^2 + 15^2} \\ &= 25\end{aligned}

CD=25CD = 25.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 29

נתון כי D(8,0)D(8, 0), וכי משוואת המשיק CFCF היא y=43x+31y = \frac{4}{3}x + 31. נתון כי יחס הדמיון בין המשולש ABCABC ובין המשולש CFDCFD הוא 825\frac{8}{25}. ד. חשבו את היקף המשולש ABCABC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

CF=(−12+23.25)2+152=351.5625=18.75\begin{aligned}CF &= \sqrt{(-12 + 23.25)^2 + 15^2} \\ &= \sqrt{351.5625} \\ &= 18.75\end{aligned}
PCFD=18.75+31.25+25=75\begin{aligned}P_{CFD} &= 18.75 + 31.25 + 25 \\ &= 75\end{aligned}
PABC=825⋅75=24\begin{aligned}P_{ABC} &= \frac{8}{25} \cdot 75 \\ &= 24\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון

היקף המשולש ABCABC הוא 2424 (הצלעות 66, 88, 1010). המלכודת: להכפיל ב־(825)2\left(\frac{8}{25}\right)^2 — זה יחס השטחים.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 6 — חקירת פונקציה רציונלית

Exercice 30

א. מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־xx של הפונקציה f(x)f(x).

y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = -1

Corrigé :

x→±∞: 72−18xx2+9→0x \to \pm\infty: \ \frac{72 - 18x}{x^2 + 9} \to 0

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה

f(x)→−1f(x) \to -1

האסימפטוטה: y=−1y = -1. המלכודת: y=0y = 0 — שוכחים את ה־−1-1 שמחוץ לשבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 31

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים. (את נקודות החיתוך עם ציר ה־xx כתבו משמאל לימין.)

עם ציר ה־yy: (0,(0, ____ )) ; עם ציר ה־xx: (( ____ ,0), 0) ו־(( ____ ,0), 0)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : עם ציר ה־yy: (0,(0, 7 )) ; עם ציר ה־xx: (( -21 ,0), 0) ו־(( 3 ,0), 0)

Corrigé :

f(0)=729−1=7\begin{aligned}f(0) &= \frac{72}{9} - 1 \\ &= 7\end{aligned}
72−18xx2+9=1⇒x2+18x−63=0\begin{aligned}\frac{72 - 18x}{x^2 + 9} &= 1 \Rightarrow x^2 + 18x - 63 \\ &= 0\end{aligned}
(x+21)(x−3)=0⇒x=−21 x=3\begin{aligned}(x + 21)(x - 3) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -21 \\ \ x &= 3\end{aligned}

(0,7)(0, 7), (−21,0)(-21, 0) ו־(3,0)(3, 0).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 32

ג (1). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

(( ____ ,, ____ )) ו־(( ____ ,, ____ )) (משמאל לימין)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( -1 ,, 8 )) ו־(( 9 ,, -2 )) (משמאל לימין)

Corrigé :

f′(x)=−18(x2+9)−2x(72−18x)(x2+9)2=18(x2−8x−9)(x2+9)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-18(x^2 + 9) - 2x(72 - 18x)}{(x^2 + 9)^2} \\ &= \frac{18(x^2 - 8x - 9)}{(x^2 + 9)^2}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

x2−8x−9=(x−9)(x+1)=0⇒x=−1 x=9\begin{aligned}x^2 - 8x - 9 &= (x - 9)(x + 1) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 9\end{aligned}
x<−1:f′>0; −1<x<9:f′<0; x>9:f′>0x < -1: f' > 0; \ -1 < x < 9: f' < 0; \ x > 9: f' > 0

טבלת סימנים

f(−1)=9010−1=8f(9)=−9090−1=−2\begin{aligned}f(-1) &= \frac{90}{10} - 1 \\ &= 8 \\ \quad f(9) &= \frac{-90}{90} - 1 \\ &= -2\end{aligned}

מקסימום (−1,8)(-1, 8) ומינימום (9,−2)(9, -2). המלכודת: סימן במונה — −18x⋅2x-18x \cdot 2x עם המינוס שלפני המכפלה נותן +36x2+36x^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 33

ג (2). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. עלייה: −1<x<9-1 < x < 9 ; ירידה: x<−1x < -1 או x>9x > 9
  2. עלייה: x<−1x < -1 או x>9x > 9 ; ירידה: −1<x<9-1 < x < 9
  3. עלייה: x>−1x > -1 ; ירידה: x<−1x < -1
  4. עלייה: x<−21x < -21 או x>3x > 3 ; ירידה: −21<x<3-21 < x < 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B עלייה: x<−1x < -1 או x>9x > 9 ; ירידה: −1<x<9-1 < x < 9

Corrigé :

f′(x)=18(x−9)(x+1)(x2+9)2f'(x) = \frac{18(x - 9)(x + 1)}{(x^2 + 9)^2}

המכנה חיובי תמיד

f′>0⇔x<−1 או x>9f' > 0 \Leftrightarrow x < -1 \ \text{או} \ x > 9

עלייה ב־x<−1x < -1 וב־x>9x > 9, ירידה ב־−1<x<9-1 < x < 9. המלכודת: לקחת את נקודות החיתוך עם ציר ה־xx (−21-21 ו־33) כגבולות התחומים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 34

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את התיאור שמתאים לסקיצה.

  1. משמאל הגרף קרוב לישר y=−1y = -1 מעליו, חותך את ציר ה־xx ב־−21-21, עולה עד (−1,8)(-1, 8), יורד דרך (0,7)(0, 7) ו־(3,0)(3, 0) עד (9,−2)(9, -2), ואז עולה ומתקרב ל־y=−1y = -1 מתחתיו
  2. הגרף עולה עד (−1,8)(-1, 8), יורד עד (9,−2)(9, -2), ואחר כך ממשיך לרדת בלי אסימפטוטה
  3. הגרף כולו מעל ציר ה־xx, עם מקסימום (−1,8)(-1, 8) ומינימום (9,−2)(9, -2)
  4. משמאל הגרף קרוב לישר y=−1y = -1 מתחתיו, יורד עד (−1,8)(-1, 8), עולה עד (9,−2)(9, -2), ואז יורד ומתקרב ל־y=−1y = -1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A משמאל הגרף קרוב לישר y=−1y = -1 מעליו, חותך את ציר ה־xx ב־−21-21, עולה עד (−1,8)(-1, 8), יורד דרך (0,7)(0, 7) ו־(3,0)(3, 0) עד (9,−2)(9, -2), ואז עולה ומתקרב ל־y=−1y = -1 מתחתיו

Corrigé :

x<−21: −1<f(x)<0x < -21: \ -1 < f(x) < 0

כש־x<4x < 4 המונה 72−18x72 - 18x חיובי, ולכן f(x)>−1f(x) > -1

x>4: f(x)<−1x > 4: \ f(x) < -1

המונה שלילי: אחרי המינימום הגרף מתקרב לאסימפטוטה מלמטה

(−21,0)↗(−1,8)↘(0,7),(3,0),(9,−2)↗y→−1(-21, 0) \nearrow (-1, 8) \searrow (0, 7), (3, 0), (9, -2) \nearrow y \to -1

סדר הנקודות על הגרף

הסקיצה: אסימפטוטה y=−1y = -1 בשני הצדדים — מעליה משמאל, מתחתיה מימין; מקסימום (−1,8)(-1, 8), מינימום (9,−2)(9, -2), חיתוכים (−21,0)(-21, 0), (0,7)(0, 7), (3,0)(3, 0).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 35

נתונה הפונקציה g(x)=∣f(x)∣g(x) = |f(x)|, המוגדרת לכל xx. ה (1). מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־xx של הפונקציה g(x)g(x).

y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = 1

Corrigé :

f(x)→−1⇒∣f(x)∣→1f(x) \to -1 \Rightarrow |f(x)| \to 1

הערך המוחלט הופך את הגבול לחיובי

האסימפטוטה של gg: y=1y = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 36

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

נתונה הפונקציה g(x)=∣f(x)∣g(x) = |f(x)|, המוגדרת לכל xx. ה (2). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה g(x)g(x). נמקו את קביעתכם.

  1. גרף III
  2. גרף I
  3. גרף II
  4. גרף IV
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף IV

Corrigé :

y→1y \to 1

האסימפטוטה y=1y = 1 (הקו המקווקו): נשארים גרפים III ו־IV

g(−21)=g(3)=0\begin{aligned}g(-21) &= g(3) \\ &= 0\end{aligned}

ל־gg שתי נקודות על ציר ה־xx, אחת משמאל ואחת מימין לציר ה־yy

max⁡:(−1,8) g(0)=7<8\begin{aligned}\max: (-1, 8) \\ \ g(0) &= 7 < 8\end{aligned}

המקסימום משמאל לציר ה־yy: זה גרף IV

גרף IV. המלכודות: גרפים I ו־II מתקרבים לציר ה־xx ולא ל־y=1y = 1; בגרף III המקסימום מימין לציר ה־yy.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 7 — פונקציית שורש עם פרמטר

Exercice 37

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

x≥x \ge ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x≥x \ge 2

Corrigé :

3x−6≥0⇒x≥23x - 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2

מתחת לשורש ריבועי — ביטוי אי־שלילי

תחום ההגדרה: x≥2x \ge 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 38

נתון כי הנקודה (5,9)(5, 9) נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x). ב. מצאו את הערך של aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f(5)=(a−5)9=3(a−5)=9\begin{aligned}f(5) &= (a - 5)\sqrt{9} \\ &= 3(a - 5) \\ &= 9\end{aligned}
a−5=3⇒a=8\begin{aligned}a - 5 &= 3 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

a=8a = 8.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 39

הציבו a=8a = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx. (כתבו משמאל לימין.)

(( ____ ,0), 0) ו־(( ____ ,0), 0)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 2 ,0), 0) ו־(( 8 ,0), 0)

Corrigé :

f(x)=(8−x)3x−6=0\begin{aligned}f(x) &= (8 - x)\sqrt{3x - 6} \\ &= 0\end{aligned}
8−x=0 או 3x−6=0⇒x=8 x=2\begin{aligned}8 - x &= 0 \ \text{או} \ 3x - 6 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 8 \\ \ x &= 2\end{aligned}

שני הפתרונות בתחום ההגדרה

(2,0)(2, 0) ו־(8,0)(8, 0). המלכודת: לשכוח את x=2x = 2, שבו השורש מתאפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 40

הציבו a=8a = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ד. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

(( ____ ,, ____ )) ו־(( ____ ,, ____ )) (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 4 ,, 9.798 )) ו־(( 2 ,, 0 )) (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

Corrigé :

f′(x)=−3x−6+(8−x)⋅323x−6=−2(3x−6)+3(8−x)23x−6=36−9x23x−6\begin{aligned}f'(x) &= -\sqrt{3x - 6} + (8 - x) \cdot \frac{3}{2\sqrt{3x - 6}} \\ &= \frac{-2(3x - 6) + 3(8 - x)}{2\sqrt{3x - 6}} \\ &= \frac{36 - 9x}{2\sqrt{3x - 6}}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(x)=0⇒x=4;f′(3)>0 f′(5)<0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4; \quad f'(3) > 0 \\ \ f'(5) < 0\end{aligned}

עלייה ואז ירידה: מקסימום

f(4)=46≈9.80f(4) = 4\sqrt{6} \approx 9.80
f(2)=0 f↗ אחרי 2\begin{aligned}f(2) &= 0 \\ \ f \nearrow \text{ אחרי } 2\end{aligned}

בקצה התחום הפונקציה עולה: מינימום קצה

מקסימום (4,46)(4, 4\sqrt{6}), בערך (4,9.80)(4, 9.80), ומינימום קצה (2,0)(2, 0). המלכודת: לשכוח את נקודת הקצה, ש"כל נקודות הקיצון" כוללות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 41

הציבו a=8a = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את התיאור שמתאים לסקיצה.

  1. הגרף מתחיל ב־(2,0)(2, 0), יורד עד מינימום ב־x=4x = 4, ועולה דרך (8,0)(8, 0)
  2. הגרף מוגדר לכל xx, עם מקסימום ב־(4,46)(4, 4\sqrt{6}) ושתי נקודות חיתוך עם ציר ה־xx
  3. הגרף מתחיל ב־(2,0)(2, 0), עולה עד (4,46)(4, 4\sqrt{6}), יורד וחותך את ציר ה־xx ב־(8,0)(8, 0), וממשיך לרדת
  4. הגרף מתחיל ב־(2,0)(2, 0), עולה עד (4,46)(4, 4\sqrt{6}), ויורד ומתקרב לציר ה־xx בלי לחתוך אותו
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C הגרף מתחיל ב־(2,0)(2, 0), עולה עד (4,46)(4, 4\sqrt{6}), יורד וחותך את ציר ה־xx ב־(8,0)(8, 0), וממשיך לרדת

Corrigé :

x≥2: (2,0)↗(4,46)↘(8,0)↘x \ge 2: \ (2, 0) \nearrow (4, 4\sqrt{6}) \searrow (8, 0) \searrow

תחום, קיצון וחיתוכים

x>8: f(x)<0, f(x)→−∞x > 8: \ f(x) < 0, \ f(x) \to -\infty

הגורם 8−x8 - x שלילי והשורש גדל

הסקיצה: חצי "כיפה" מ־(2,0)(2, 0) דרך המקסימום (4,46)(4, 4\sqrt{6}) אל (8,0)(8, 0), ומשם ירידה בלי גבול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 42

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

הציבו a=8a = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרת בתחום x>2x > 2. ו (1). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). נמקו את קביעתכם.

  1. גרף I
  2. גרף II
  3. גרף IV
  4. גרף III
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף I

Corrigé :

x→2+: f′(x)=36−9x23x−6→+∞x \to 2^+: \ f'(x) = \frac{36 - 9x}{2\sqrt{3x - 6}} \to +\infty

המונה חיובי והמכנה שואף ל־00

2<x<4:f′>0; x>4:f′<02 < x < 4: f' > 0; \ x > 4: f' < 0

ff עולה ואז יורדת: הנגזרת חיובית ואז שלילית, ומתאפסת פעם אחת בלבד

גרף I: מתחיל גבוה ליד x=2x = 2, חותך את ציר ה־xx פעם אחת (ב־x=4x = 4) ונשאר שלילי. המלכודות: גרף II הוא −f′-f'; גרפים III ו־IV מתאפסים פעמיים, ול־ff יש קיצון פנימי אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 43

הציבו a=8a = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרת בתחום x>2x > 2. ו (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), על ידי ציר ה־xx ועל ידי הישר x=20x = 20.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 97.98

Corrigé :

f′(x)=0⇔x=4\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Leftrightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

השטח בין x=4x = 4 ל־x=20x = 20, והנגזרת שלילית שם

S=−∫420f′(x) dx=f(4)−f(20)\begin{aligned}S &= -\int_4^{20} f'(x)\,dx \\ &= f(4) - f(20)\end{aligned}

הפונקציה ff היא פונקציה קדומה של f′f'

f(20)=(8−20)54=−12⋅36=−366\begin{aligned}f(20) &= (8 - 20)\sqrt{54} \\ &= -12 \cdot 3\sqrt{6} \\ &= -36\sqrt{6}\end{aligned}
S=46+366=406≈97.98\begin{aligned}S &= 4\sqrt{6} + 36\sqrt{6} \\ &= 40\sqrt{6} \approx 97.98\end{aligned}

השטח הוא 406≈97.9840\sqrt{6} \approx 97.98. המלכודת: לחשב ∫220\int_2^{20} — בין 22 ל־44 הנגזרת חיובית, וחלק זה אינו מוגבל על ידי הישר x=20x = 20.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 8 — בעיית קיצון: גינה ציבורית

Exercice 44

א (1). הביעו באמצעות xx את אורך הצלע ADAD.

  1. AD=32−2xAD = 32 - 2x
  2. AD=32−xAD = 32 - x
  3. AD=16−2xAD = 16 - 2x
  4. AD=16−xAD = 16 - x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D AD=16−xAD = 16 - x

Corrigé :

2x+2⋅AD=32⇒AD=16−x\begin{aligned}2x + 2 \cdot AD &= 32 \Rightarrow AD \\ &= 16 - x\end{aligned}

היקף המלבן ABCDABCD הוא אורך הגדר

AD=16−xAD = 16 - x. המלכודת: 32−x32 - x — שוכחים שכל צלע מופיעה פעמיים בהיקף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 45

א (2). הביעו באמצעות xx את שטח המתחם ABCDABCD.

  1. x(16−x)+7(x+2)x(16 - x) + 7(x + 2)
  2. x(16−x)=16x−x2x(16 - x) = 16x - x^2
  3. 7(x+2)7(x + 2)
  4. x(32−x)=32x−x2x(32 - x) = 32x - x^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x(16−x)=16x−x2x(16 - x) = 16x - x^2

Corrigé :

SABCD=AB⋅AD=x(16−x)\begin{aligned}S_{ABCD} &= AB \cdot AD \\ &= x(16 - x)\end{aligned}

השטח: 16x−x216x - x^2 מ״ר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 46

ב. הביעו באמצעות xx את היחס בין שטח המתחם ABCDABCD ובין שטח המתחם BFGHBFGH.

  1. x(16−x)7x\frac{x(16 - x)}{7x}
  2. x(16−x)7(x+2)\frac{x(16 - x)}{7(x + 2)}
  3. x(16−x)2(x+2)+14\frac{x(16 - x)}{2(x + 2) + 14}
  4. 7(x+2)x(16−x)\frac{7(x + 2)}{x(16 - x)}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x(16−x)7(x+2)\frac{x(16 - x)}{7(x + 2)}

Corrigé :

SBFGH=BF⋅GF=7(x+2)\begin{aligned}S_{BFGH} &= BF \cdot GF \\ &= 7(x + 2)\end{aligned}

BF=x+2BF = x + 2

SABCDSBFGH=16x−x27x+14\frac{S_{ABCD}}{S_{BFGH}} = \frac{16x - x^2}{7x + 14}

היחס: 16x−x27(x+2)\frac{16x - x^2}{7(x + 2)}. המלכודת: להפוך את סדר היחס — "בין ABCDABCD ובין BFGHBFGH" שם את ABCDABCD במונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 47

ג. מצאו את הערך של xx שבעבורו היחס בין שטח המתחם ABCDABCD ובין שטח המתחם BFGHBFGH הוא מקסימלי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

R(x)=16x−x27x+140<x<16\begin{aligned}R(x) &= \frac{16x - x^2}{7x + 14} \\ \quad 0 < x < 16\end{aligned}

אורכים חיוביים

R′(x)=(16−2x)(7x+14)−7(16x−x2)(7x+14)2=−7(x2+4x−32)(7x+14)2\begin{aligned}R'(x) &= \frac{(16 - 2x)(7x + 14) - 7(16x - x^2)}{(7x + 14)^2} \\ &= \frac{-7(x^2 + 4x - 32)}{(7x + 14)^2}\end{aligned}
x2+4x−32=(x+8)(x−4)=0⇒x=4\begin{aligned}x^2 + 4x - 32 &= (x + 8)(x - 4) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

הפתרון −8-8 מחוץ לתחום

x<4:R′>0; x>4:R′<0x < 4: R' > 0; \ x > 4: R' < 0

עלייה ואז ירידה: מקסימום

x=4x = 4 מטרים (היחס אז 4842=87\frac{48}{42} = \frac{8}{7}). המלכודת: לגזור את המונה ואת המכנה בנפרד.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe