בגרות 35471 — קיץ 2026, מועד ב׳

Sur elev, cette leçon vient avec :

  • Chaque exercice corrigé dès la réponse
  • Un indice au moment où il le faut
  • Le suivi des progrès, chapitre après chapitre
Pratiquer sur elev

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : Suites

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35471 (4 יחידות לימוד, שאלון ראשון), קיץ תשפ״ו, 2026, מועד ב׳. משך הבחינה: ארבע שעות. ענו על חמש מן השאלות 1–8 (לכל שאלה – 22 נקודות); סך הנקודות לא יעלה על 100. שימו לב: אם תענו על יותר מחמש שאלות, ייבדקו רק חמש התשובות הראשונות. פרק ראשון – סטטיסטיקה והסתברות: שאלות 1–3. פרק שני – גאומטרייה: שאלות 4–5. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־50 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או בין תשובות, או לבניית הוכחה, והפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercices

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: מספר הצעדים היומי

Exercice 1

א. מצאו את ממוצע מספר הצעדים היומי של המשתתפים במחקר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7200

Corrigé :

P(X<6,944)=0.375⇒Φ(z)=0.375\begin{aligned}P(X < 6{,}944) &= 0.375 \Rightarrow \Phi(z) \\ &= 0.375\end{aligned}

השטח משמאל ל־6,9446{,}944 הוא חלק המשתתפים שהולכים פחות

1−0.375=0.625≈Φ(0.32)=0.6255⇒z=−0.32\begin{aligned}1 - 0.375 &= 0.625 \approx \Phi(0.32) \\ &= 0.6255 \Rightarrow z \\ &= -0.32\end{aligned}

בטבלה; 6,9446{,}944 נמצא משמאל לממוצע, לכן zz שלילי

6,944−μ800=−0.32⇒μ=6,944+256=7,200\begin{aligned}\frac{6{,}944 - \mu}{800} &= -0.32 \Rightarrow \mu \\ &= 6{,}944 + 256 \\ &= 7{,}200\end{aligned}

ציון התקן

הממוצע הוא 7,2007{,}200 צעדים ביום. המלכודת: לקחת z=0.32z = 0.32 חיובי ולקבל ממוצע קטן מ־6,9446{,}944 — אבל פחות ממחצית המשתתפים הולכים פחות מ־6,9446{,}944.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 1

Exercice 2

משרד הבריאות ממליץ ללכת יותר מ־8,4008{,}400 צעדים ביום. ב. מצאו את אחוז המשתתפים במחקר שמקיימים את ההמלצה הזאת.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.68

Corrigé :

z=8,400−7,200800=1.5\begin{aligned}z &= \frac{8{,}400 - 7{,}200}{800} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציון התקן של 8,4008{,}400, עם μ=7,200\mu = 7{,}200 מסעיף א

P(X>8,400)=1−Φ(1.5)=1−0.9332=0.0668\begin{aligned}P(X > 8{,}400) &= 1 - \Phi(1.5) \\ &= 1 - 0.9332 \\ &= 0.0668\end{aligned}

הטבלה נותנת את השטח משמאל; ההמלצה היא מימין

6.68%6.68\% מן המשתתפים מקיימים את ההמלצה. המלכודת: לענות 93.32%93.32\%, השטח משמאל ל־8,4008{,}400.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 2

Exercice 3

נמצא כי 14,72214{,}722 מן המשתתפים במחקר הולכים יותר מ־7,2007{,}200 צעדים ביום ופחות מ־8,4008{,}400 צעדים ביום. ג. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה אנשים סך הכול השתתפו במחקר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 34000

Corrigé :

P(7,200<X<8,400)=Φ(1.5)−Φ(0)=0.9332−0.5=0.4332\begin{aligned}P(7{,}200 < X < 8{,}400) &= \Phi(1.5) - \Phi(0) \\ &= 0.9332 - 0.5 \\ &= 0.4332\end{aligned}

7,2007{,}200 הוא הממוצע, ולכן ציון התקן שלו 00

N=14,7220.4332≈33,984≈34,000N = \frac{14{,}722}{0.4332} \approx 33{,}984 \approx 34{,}000

14,72214{,}722 משתתפים הם 43.32%43.32\% מכולם; עם 0.4330.433 מתקבל בדיוק 34,00034{,}000

במחקר השתתפו בערך 34,00034{,}000 אנשים. המלכודת: לחלק ב־0.93320.9332, כאילו כל מי שהולך פחות מ־8,4008{,}400 צעדים נספר.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 3

Exercice 4

במחקר נבדק גם מספר שעות השינה ביממה של כל אחד מן המשתתפים במחקר. נמצא כי גם מספר שעות השינה ביממה מתפלג נורמלית. ממוצע שעות השינה ביממה של המשתתפים במחקר הוא 77 שעות. שרית השתתפה במחקר. מספר שעות השינה של שרית ביממה הוא 9.289.28, ומספר הצעדים היומי שלה הוא 8,4168{,}416. ציון התקן של מספר הצעדים היומי של שרית זהה לציון התקן של מספר שעות השינה שלה ביממה. ד. מצאו את סטיית התקן של מספר שעות השינה ביממה של המשתתפים במחקר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.5

Corrigé :

z=8,416−7,200800=1,216800=1.52\begin{aligned}z &= \frac{8{,}416 - 7{,}200}{800} \\ &= \frac{1{,}216}{800} \\ &= 1.52\end{aligned}

ציון התקן של מספר הצעדים של שרית

9.28−7σ=1.52⇒σ=2.281.52=1.5\begin{aligned}\frac{9.28 - 7}{\sigma} &= 1.52 \Rightarrow \sigma \\ &= \frac{2.28}{1.52} \\ &= 1.5\end{aligned}

אותו ציון תקן בשעות השינה

סטיית התקן של שעות השינה היא 1.51.5 שעות. המלכודת: להשוות את ההפרשים עצמם (1,2161{,}216 ו־2.282.28) במקום את ציוני התקן.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 4

Votre enfant a-t-il compris ?

Sur elev, chaque exercice est corrigé dès qu'il répond, et un indice arrive au moment où il bloque.

Pratiquer sur elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: שטח ירוק וזיהום אוויר

Exercice 5

א. לפניכם ארבעה היגדים I–IV. קבעו איזה היגד נכון. נמקו את קביעתכם.

  1. AI. 0<r<10 < r < 1
  2. BIV. אי אפשר לקבוע את טווח הערכים של rr
  3. CII. r=−1r = -1
  4. DIII. −1<r<0-1 < r < 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D III. −1<r<0-1 < r < 0

Corrigé :

x↗⇒y↘x \nearrow \Rightarrow y \searrow

בדיאגרמה: ככל שהשטח הירוק גדל, רמת הזיהום קטנה — מתאם שלילי

(15,30),(15,20)(15, 30), (15, 20)

הנקודות אינן על ישר אחד, ולכן r≠−1r \neq -1

היגד III נכון: −1<r<0-1 < r < 0. המלכודת: לבחור ב־II כי הנקודות "יורדות" — מתאם −1-1 פירושו שכל הנקודות על ישר אחד, ושתי נקודות עם x=15x = 15 כבר שוללות זאת.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 5

Exercice 6

ב (1). חשבו את ממוצע גודל השטח הירוק לנפש ב־66 הערים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

xˉ=5+10+15+15+20+256=906=15\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{5 + 10 + 15 + 15 + 20 + 25}{6} \\ &= \frac{90}{6} \\ &= 15\end{aligned}

קוראים את ערכי xx מן הדיאגרמה; ב־x=15x = 15 יש שתי ערים

הממוצע הוא 1515 מ״ר לנפש. המלכודת: לספור את x=15x = 15 פעם אחת בלבד ולחלק ב־55.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 6

Exercice 7

ב (2). חשבו את ממוצע רמת זיהום האוויר ב־66 הערים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

yˉ=50+40+30+20+30+106=1806=30\begin{aligned}\bar{y} &= \frac{50 + 40 + 30 + 20 + 30 + 10}{6} \\ &= \frac{180}{6} \\ &= 30\end{aligned}

ממוצע רמת הזיהום הוא 3030.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 7

Exercice 8

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx היא: y=−1.8x+by = -1.8x + b. ג (1). מצאו את הערך של bb.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 57

Corrigé :

30=−1.8⋅15+b30 = -1.8 \cdot 15 + b

ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים (xˉ,yˉ)=(15,30)(\bar{x}, \bar{y}) = (15, 30)

b=30+27=57\begin{aligned}b &= 30 + 27 \\ &= 57\end{aligned}

b=57b = 57. המלכודת: להציב נקודה מן הדיאגרמה, כמו (5,50)(5, 50) — ישר הרגרסיה לא עובר בהכרח בנקודות הנתונים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 8

Exercice 9

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx היא: y=−1.8x+by = -1.8x + b. ג (2). על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי לרמת זיהום האוויר בעיר שגודל השטח הירוק שלה הוא 1818 מ״ר לנפש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24.6

Corrigé :

y^=−1.8⋅18+57=−32.4+57=24.6\begin{aligned}\hat{y} &= -1.8 \cdot 18 + 57 \\ &= -32.4 + 57 \\ &= 24.6\end{aligned}

הניבוי הוא 24.624.6.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 9

Exercice 10

ד. חשבו את סטיית התקן של גודל השטח הירוק ב־66 הערים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.455

Corrigé :

x−xˉ: −10, −5, 0, 0, 5, 10x - \bar{x}: \ -10, \ -5, \ 0, \ 0, \ 5, \ 10

הסטיות מן הממוצע 1515

Sx=100+25+0+0+25+1006=1253≈6.455\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{100 + 25 + 0 + 0 + 25 + 100}{6}} \\ &= \sqrt{\frac{125}{3}} \approx 6.455\end{aligned}

מחלקים במספר הערים, 66

סטיית התקן היא 1253≈6.455\sqrt{\frac{125}{3}} \approx 6.455 מ״ר לנפש. המלכודת: לחלק ב־55 במקום ב־66.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 10

Exercice 11

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx היא: y=−1.8x+by = -1.8x + b. החוקר מצא כי סטיית התקן של רמת זיהום האוויר היא Sy=5003S_y = \sqrt{\frac{500}{3}}. ה. היעזרו במשוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx ומצאו את מקדם המתאם rr.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.9

Corrigé :

−1.8=r⋅SySx-1.8 = r \cdot \frac{S_y}{S_x}

שיפוע ישר הרגרסיה

r=−1.8⋅125/3500/3=−1.8⋅14=−0.9\begin{aligned}r &= -1.8 \cdot \frac{\sqrt{125/3}}{\sqrt{500/3}} \\ &= -1.8 \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} \\ &= -0.9\end{aligned}

r=−0.9r = -0.9: מתאם שלילי חזק. המלכודת: להפוך את המנה, SxSy\frac{S_x}{S_y} במקום SySx\frac{S_y}{S_x}, ולקבל −3.6-3.6 — מקדם מתאם לא יכול להיות קטן מ־−1-1.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 11

Exercice 12

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx היא: y=−1.8x+by = -1.8x + b. החוקר גילה שהייתה תקלה במכשיר המדידה, וכי למעשה רמת זיהום האוויר בכל אחת מ־66 הערים הייתה גבוהה ב־44 מרמת הזיהום שנמדדה. החוקר תיקן את הנתונים בהתאם לכך. ו (1). האם שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx לאחר תיקון הנתונים גדל, קטן או לא השתנה? נמקו את תשובתכם.

  1. Aהשיפוע לא השתנה
  2. Bהשיפוע נעשה גדול יותר
  3. Cהשיפוע נעשה קטן יותר
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A השיפוע לא השתנה

Corrigé :

y′=y+4⇒yˉ′=yˉ+4 Sy′=Sy r′=r\begin{aligned}y' &= y + 4 \Rightarrow \bar{y}' \\ &= \bar{y} + 4 \\ \ S_{y'} &= S_y \\ \ r' &= r\end{aligned}

הוספת קבוע מזיזה את כל הנקודות למעלה, ולא משנה את הפיזור ולא את המתאם

r′⋅Sy′Sx=r⋅SySx=−1.8\begin{aligned}r' \cdot \frac{S_{y'}}{S_x} &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= -1.8\end{aligned}

השיפוע לא השתנה. המלכודת: לחשוב ש"גבוה ב־44" משנה את השיפוע — הוא משנה רק את נקודת החיתוך עם ציר ה־yy.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 12

Exercice 13

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx היא: y=−1.8x+by = -1.8x + b. החוקר גילה שהייתה תקלה במכשיר המדידה, וכי למעשה רמת זיהום האוויר בכל אחת מ־66 הערים הייתה גבוהה ב־44 מרמת הזיהום שנמדדה. החוקר תיקן את הנתונים בהתאם לכך. ו (2). כתבו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx לאחר תיקון הנתונים של רמת זיהום האוויר.

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = -1.8 x+x + 61

Corrigé :

(xˉ,yˉ′)=(15,34)(\bar{x}, \bar{y}') = (15, 34)

הממוצע של רמת הזיהום גדל ב־44

34=−1.8⋅15+b′⇒b′=61\begin{aligned}34 &= -1.8 \cdot 15 + b' \Rightarrow b' \\ &= 61\end{aligned}

השיפוע לא השתנה (סעיף ו (1))

y=−1.8x+61y = -1.8x + 61. המלכודת: להוסיף 44 לשיפוע במקום לקבוע החופשי.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 13

שאלה 3 — הסתברות: בדיקות איכות של מחשבים

Exercice 14

א. מהי ההסתברות שבדיוק באחת הבדיקות המחשב נמצא תקין?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.15

Corrigé :

P=0.8⋅0.1+0.2⋅0.35P = 0.8 \cdot 0.1 + 0.2 \cdot 0.35

תקין רק בראשונה, או תקין רק בשנייה

=0.08+0.07=0.15= 0.08 + 0.07 = 0.15

ההסתברות היא 0.150.15. המלכודת: לחבר 0.8+0.350.8 + 0.35 — אלה הסתברויות של מאורעות שאינם "בדיוק אחת".

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 14

Exercice 15

ב. מהי ההסתברות שלפחות באחת הבדיקות המחשב נמצא תקין?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.87

Corrigé :

P(אף אחת)=0.2⋅0.65=0.13\begin{aligned}P(\text{אף אחת}) &= 0.2 \cdot 0.65 \\ &= 0.13\end{aligned}

המאורע המשלים: לא תקין בשתי הבדיקות

1−0.13=0.871 - 0.13 = 0.87

ההסתברות היא 0.870.87. אפשר גם: 0.15+0.8⋅0.9=0.15+0.72=0.870.15 + 0.8 \cdot 0.9 = 0.15 + 0.72 = 0.87.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 15

Exercice 16

רק מחשב שנמצא תקין בשתי הבדיקות מועבר למכירה. בחרו באקראי מחשב שיוצר במחזור הייצור. ג. ידוע שהמחשב שנבחר נמצא תקין לפחות באחת הבדיקות. מהי ההסתברות שמחשב זה הועבר למכירה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.8276

Corrigé :

P(שתיהן)=0.8⋅0.9=0.72\begin{aligned}P(\text{שתיהן}) &= 0.8 \cdot 0.9 \\ &= 0.72\end{aligned}

הועבר למכירה: תקין בשתי הבדיקות

P=0.720.87=2429≈0.828\begin{aligned}P &= \frac{0.72}{0.87} \\ &= \frac{24}{29} \approx 0.828\end{aligned}

הסתברות מותנית: מחלקים בהסתברות של "לפחות אחת" מסעיף ב

ההסתברות היא 2429≈0.828\frac{24}{29} \approx 0.828. המלכודת: לענות 0.720.72 ולשכוח את התנאי.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 16

Exercice 17

רק מחשב שנמצא תקין בשתי הבדיקות מועבר למכירה. נתון כי במחזור ייצור זה ייצרו 250250 מחשבים. ד. מצאו את מספר המחשבים שהועברו למכירה במחזור ייצור זה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 180

Corrigé :

0.72⋅250=1800.72 \cdot 250 = 180

180180 מחשבים הועברו למכירה.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 17

Exercice 18

רק מחשב שנמצא תקין בשתי הבדיקות מועבר למכירה. נתון כי במחזור ייצור זה ייצרו 250250 מחשבים. מבין המחשבים שייצרו במחזור ייצור זה, בוחרים באקראי שני מחשבים זה אחר זה (הוצאה ללא החזרה). ה. מהי ההסתברות שבדיוק מחשב אחד הועבר למכירה? (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.4048

Corrigé :

250−180=70250 - 180 = 70

מחשבים שלא הועברו למכירה

P=180250⋅70249+70250⋅180249=25,20062,250≈0.405\begin{aligned}P &= \frac{180}{250} \cdot \frac{70}{249} + \frac{70}{250} \cdot \frac{180}{249} \\ &= \frac{25{,}200}{62{,}250} \approx 0.405\end{aligned}

ללא החזרה: במכנה השני 249249

ההסתברות היא בערך 0.4050.405. המלכודת: לחשב כאילו יש החזרה, 2⋅0.72⋅0.28=0.40322 \cdot 0.72 \cdot 0.28 = 0.4032.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 18

שאלה 4 — מעגל ומשיק במערכת צירים

Exercice 19

א (1). מצאו את משוואת הישר ABAB.

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = 0.75 x+x + 18

Corrigé :

mAB=18−60−(−16)=1216=34\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{18 - 6}{0 - (-16)} \\ &= \frac{12}{16} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}
y=34x+18y = \frac{3}{4}x + 18

B(0,18)B(0, 18) על ציר ה־yy

y=0.75x+18y = 0.75x + 18.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 19

Exercice 20

א (2). מצאו את משוואת המעגל.

(x−(x - ( ____ ) )2+y2=)^2 + y^2 = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (x−(x - ( -24 ) )2+y2=)^2 + y^2 = 100

Corrigé :

0=34x+18⇒x=−24⇒M(−24,0)\begin{aligned}0 &= \frac{3}{4}x + 18 \Rightarrow x \\ &= -24 \Rightarrow M(-24, 0)\end{aligned}

המרכז MM על הישר ABAB ועל ציר ה־xx

R2=MA2=82+62=100\begin{aligned}R^2 &= MA^2 \\ &= 8^2 + 6^2 \\ &= 100\end{aligned}

(x+24)2+y2=100(x + 24)^2 + y^2 = 100. המלכודת: לחפש את המרכז באמצע הקטע ABAB — MM הוא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה־xx.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 20

Exercice 21

דרך הנקודה AA מעבירים משיק למעגל החותך את ציר ה־yy בנקודה DD. ב. מצאו את שיעורי הנקודה DD.

D(D( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D(D( 0 ,, -15.333 ))

Corrigé :

mAD=−43m_{AD} = -\frac{4}{3}

המשיק מאונך לרדיוס MAMA, ששיפועו 34\frac{3}{4}

y−6=−43(x+16)⇒y=−43x−463\begin{aligned}y - 6 &= -\frac{4}{3}(x + 16) \Rightarrow y \\ &= -\frac{4}{3}x - \frac{46}{3}\end{aligned}
x=0⇒y=−463=−1513\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= -\frac{46}{3} \\ &= -15\frac{1}{3}\end{aligned}

D(0,−463)D\left(0, -\frac{46}{3}\right), בערך (0,−15.33)(0, -15.33).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 21

Exercice 22

דרך הנקודה AA מעבירים משיק למעגל החותך את ציר ה־yy בנקודה DD. הנקודה CC נמצאת על המעגל כך ש־ACAC הוא קוטר במעגל. ג. הראו כי BD=CDBD = CD.

  • M(−24,0)M(-24, 0) מרכז המעגל, ורדיוס המעגל 1010 (סעיף א)
  • B(0,18)B(0, 18) , A(−16,6)A(-16, 6) , ו־AA על הקטע MBMB
  • DADA משיק למעגל בנקודה AA
  • ACAC קוטר במעגל

BD=CDBD = CD

Voir la réponse et le corrigé
  1. AC=20AC = 20 — קוטר שווה לשני רדיוסים
  2. AB=162+122=20AB = \sqrt{16^2 + 12^2} = 20 — נוסחת המרחק בין שתי נקודות
  3. AA אמצע הקטע BCBC — CC, MM, AA, BB על ישר אחד, ו־AB=ACAB = AC
  4. DA⊥BCDA \perp BC — משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, והרדיוס MAMA מונח על BCBC
  5. BD=CDBD = CD — נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע

Corrigé :

AC=2R=20AB=162+122=20\begin{aligned}AC &= 2R \\ &= 20 \\ \quad AB &= \sqrt{16^2 + 12^2} \\ &= 20\end{aligned}

AA אמצע BCBC

DA⊥MADA \perp MA

משיק מאונך לרדיוס, ו־MAMA על BCBC

BD=18+463=1003CD=322+(283)2=1003\begin{aligned}BD &= 18 + \frac{46}{3} \\ &= \frac{100}{3} \\ \quad CD &= \sqrt{32^2 + \left(\frac{28}{3}\right)^2} \\ &= \frac{100}{3}\end{aligned}

בדיקה בחישוב: C(−32,−6)C(-32, -6)

DADA הוא האנך האמצעי של BCBC, ולכן BD=CD=1003BD = CD = \frac{100}{3}. אפשר גם לחשב את שני המרחקים ישירות, אחרי שמוצאים C=2M−A=(−32,−6)C = 2M - A = (-32, -6).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 22

Exercice 23

דרך הנקודה AA מעבירים משיק למעגל החותך את ציר ה־yy בנקודה DD. ד. חשבו את גודל הזווית ABDABD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 53.13

Corrigé :

cos⁡∠ABD=18−6BA=1220=0.6\begin{aligned}\cos\angle ABD &= \frac{18 - 6}{BA} \\ &= \frac{12}{20} \\ &= 0.6\end{aligned}

BDBD על ציר ה־yy; במשולש ישר הזווית שקודקודיו BB, AA ו־(0,6)(0, 6)

∠ABD=cos⁡−10.6≈53.13∘\angle ABD = \cos^{-1} 0.6 \approx 53.13^\circ

∠ABD≈53.13∘\angle ABD \approx 53.13^\circ. אפשר גם: tan⁡∠ABD=1612\tan\angle ABD = \frac{16}{12}. המלכודת: לענות 36.87∘36.87^\circ, הזווית בין ABAB לציר ה־xx.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 23

Exercice 24

דרך הנקודה AA מעבירים משיק למעגל החותך את ציר ה־yy בנקודה DD. הנקודה CC נמצאת על המעגל כך ש־ACAC הוא קוטר במעגל. הנקודה KK נמצאת על הקטע CDCD. נתון כי שטח המשולש MCKMCK הוא 9090. ה. מצאו את אורך הקטע CKCK.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 22.5

Corrigé :

SMCD=∣(−8)(−463)−(−6)(24)∣2=4003\begin{aligned}S_{MCD} &= \frac{|(-8)(-\frac{46}{3}) - (-6)(24)|}{2} \\ &= \frac{400}{3}\end{aligned}

MC→=(−8,−6)\overrightarrow{MC} = (-8, -6), MD→=(24,−463)\overrightarrow{MD} = \left(24, -\frac{46}{3}\right)

h=2SMCDCD=800/3100/3=8\begin{aligned}h &= \frac{2 S_{MCD}}{CD} \\ &= \frac{800/3}{100/3} \\ &= 8\end{aligned}

הגובה מ־MM לישר CDCD, משותף ל־MCKMCK ול־MCDMCD

CK⋅82=90⇒CK=22.5\begin{aligned}\frac{CK \cdot 8}{2} &= 90 \Rightarrow CK \\ &= 22.5\end{aligned}

CK=22.5CK = 22.5. המלכודת: לחפש את הגובה מ־MM כמו MC=10MC = 10 — MCMC אינו מאונך ל־CDCD.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 24

שאלה 5 — טרפז ישר זווית במערכת צירים

Exercice 25

א. מצאו את שיעורי הקודקוד BB.

B(B( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B(B( -3 ,, 0 ))

Corrigé :

B(b,0): b2+42=25⇒b=±3\begin{aligned}B(b, 0): \ b^2 + 4^2 &= 25 \Rightarrow b \\ &= \pm 3\end{aligned}

AB=5AB = 5

b<0⇒B(−3,0)b < 0 \Rightarrow B(-3, 0)

BB על החלק השלילי של ציר ה־xx

B(−3,0)B(-3, 0).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 25

Exercice 26

ב. מצאו את משוואת הצלע BCBC.

y=y = ____ x+x + ( ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = -0.75 x+x + ( -2.25 )

Corrigé :

mAB=4−00−(−3)=43\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4 - 0}{0 - (-3)} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}
mBC=−34m_{BC} = -\frac{3}{4}

∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ: BC⊥ABBC \perp AB

y=−34(x+3)=−34x−94\begin{aligned}y &= -\frac{3}{4}(x + 3) \\ &= -\frac{3}{4}x - \frac{9}{4}\end{aligned}

y=−0.75x−2.25y = -0.75x - 2.25.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 26

Exercice 27

נתון כי משוואת האלכסון ACAC היא y=−13x+4y = -\frac{1}{3}x + 4. ג. מצאו את אורך הצלע BCBC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

−13x+4=−34x−94⇒512x=−254⇒x=−15\begin{aligned}-\frac{1}{3}x + 4 &= -\frac{3}{4}x - \frac{9}{4} \Rightarrow \frac{5}{12}x \\ &= -\frac{25}{4} \Rightarrow x \\ &= -15\end{aligned}

CC הוא נקודת החיתוך של ACAC ו־BCBC

C(−15,9)BC=122+92=15\begin{aligned}C(-15, 9) \\ \quad BC &= \sqrt{12^2 + 9^2} \\ &= 15\end{aligned}

BC=15BC = 15.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 27

Exercice 28

נתון כי משוואת האלכסון ACAC היא y=−13x+4y = -\frac{1}{3}x + 4. הנקודה MM היא נקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז. ד. הוכיחו: △DMA∼△BMC\triangle DMA \sim \triangle BMC.

  • ABCDABCD טרפז, AD∥BCAD \parallel BC
  • MM נקודת החיתוך של האלכסונים ACAC ו־BDBD

△DMA∼△BMC\triangle DMA \sim \triangle BMC

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠DAM=∠BCM\angle DAM = \angle BCM — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (AD∥BCAD \parallel BC, והחותך ACAC)
  2. ∠ADM=∠CBM\angle ADM = \angle CBM — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (AD∥BCAD \parallel BC, והחותך BDBD)
  3. △DMA∼△BMC\triangle DMA \sim \triangle BMC — משפט הדמיון ז״ז

Corrigé :

∠DAM=∠BCM∠ADM=∠CBM\begin{aligned}\angle DAM &= \angle BCM \\ \quad \angle ADM &= \angle CBM\end{aligned}

זוויות מתחלפות, AD∥BCAD \parallel BC

△DMA∼△BMC (ז״ז)\triangle DMA \sim \triangle BMC \ (\text{ז״ז})

ההתאמה: D↔BD \leftrightarrow B, M↔MM \leftrightarrow M, A↔CA \leftrightarrow C

שתי זוגות של זוויות מתחלפות שוות (אפשר גם להשתמש בזוויות הקודקודיות שליד MM). המלכודת: התאמת הקודקודים — AA מתאים ל־CC, לא ל־BB.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 28

Exercice 29

נתון כי משוואת האלכסון ACAC היא y=−13x+4y = -\frac{1}{3}x + 4. הנקודה MM היא נקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז. נתון כי אורך הקטע ADAD הוא 33. ה. מצאו פי כמה גדול שטח המשולש BMCBMC משטח המשולש DMADMA.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

k=BCDA=153=5\begin{aligned}k &= \frac{BC}{DA} \\ &= \frac{15}{3} \\ &= 5\end{aligned}

יחס הדמיון, מסעיפים ג ו־ד

SBMCSDMA=k2=25\begin{aligned}\frac{S_{BMC}}{S_{DMA}} &= k^2 \\ &= 25\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

שטח המשולש BMCBMC גדול פי 2525. המלכודת: לענות 55, יחס הדמיון עצמו.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 29

Question 6 — fonction (פונקציה) rationnelle avec paramètre (פרמטר)

Exercice 30

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

x≠x \neq ____ , x≠x \neq ____ (מהקטן לגדול)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x≠x \neq -3 , x≠x \neq 3 (מהקטן לגדול)

Corrigé :

x2−9≠0⇒x≠±3x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3

המכנה לא מתאפס

תחום ההגדרה: x≠−3x \neq -3 ו־x≠3x \neq 3.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 30

Exercice 31

ב. הוכיחו כי הפונקציה f(x)f(x) היא זוגית.

  • f(x)=4x2x2−9+af(x) = \frac{4x^2}{x^2 - 9} + a
  • תחום ההגדרה: x≠±3x \neq \pm 3 (סעיף א)

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) לכל xx בתחום

Voir la réponse et le corrigé
  1. אם xx בתחום, גם −x-x בתחום — התחום x≠±3x \neq \pm 3 סימטרי ביחס ל־x=0x = 0
  2. f(−x)=4(−x)2(−x)2−9+af(-x) = \frac{4(-x)^2}{(-x)^2 - 9} + a — מציבים −x-x במקום xx
  3. 4(−x)2(−x)2−9+a=4x2x2−9+a\frac{4(-x)^2}{(-x)^2 - 9} + a = \frac{4x^2}{x^2 - 9} + a — (−x)2=x2(-x)^2 = x^2
  4. f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) — הגדרת פונקציה זוגית: תחום סימטרי ו־f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

Corrigé :

f(−x)=4(−x)2(−x)2−9+a=4x2x2−9+a=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= \frac{4(-x)^2}{(-x)^2 - 9} + a \\ &= \frac{4x^2}{x^2 - 9} + a \\ &= f(x)\end{aligned}

(−x)2=x2(-x)^2 = x^2; התחום סימטרי

ff זוגית לכל ערך של aa. המלכודת: לשכוח לבדוק שהתחום סימטרי.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 31

Exercice 32

נתון כי גרף הפונקציה f(x)f(x) חותך את ציר ה־xx בנקודה שבה x=3x = \sqrt{3}. ג. מצאו את הערך של aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f(3)=4⋅33−9+a=−2+a=0\begin{aligned}f(\sqrt{3}) &= \frac{4 \cdot 3}{3 - 9} + a \\ &= -2 + a \\ &= 0\end{aligned}
a=2a = 2

a=2a = 2.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 32

Exercice 33

הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x) וענו על הסעיפים ד–ו. ד (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים.

עם ציר ה־yy: (0,(0, ____ )) ; עם ציר ה־xx: (( ____ ,0), 0) ו־(( ____ ,0), 0) (משמאל לימין)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : עם ציר ה־yy: (0,(0, 2 )) ; עם ציר ה־xx: (( -1.732 ,0), 0) ו־(( 1.732 ,0), 0) (משמאל לימין)

Corrigé :

f(x)=4x2x2−9+2=6x2−18x2−9\begin{aligned}f(x) &= \frac{4x^2}{x^2 - 9} + 2 \\ &= \frac{6x^2 - 18}{x^2 - 9}\end{aligned}

מכנה משותף

f(0)=−18−9=2\begin{aligned}f(0) &= \frac{-18}{-9} \\ &= 2\end{aligned}
6x2−18=0⇒x=±3\begin{aligned}6x^2 - 18 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{3}\end{aligned}

הפונקציה זוגית: −3-\sqrt{3} מתאים ל־3\sqrt{3} מסעיף ג

(0,2)(0, 2), (−3,0)(-\sqrt{3}, 0) ו־(3,0)(\sqrt{3}, 0); 3≈1.732\sqrt{3} \approx 1.732.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 33

Exercice 34

הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x) וענו על הסעיפים ד–ו. ד (2). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

(( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 0 ,, 2 ))

Corrigé :

f′(x)=8x(x2−9)−4x2⋅2x(x2−9)2=−72x(x2−9)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{8x(x^2 - 9) - 4x^2 \cdot 2x}{(x^2 - 9)^2} \\ &= \frac{-72x}{(x^2 - 9)^2}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

f′(x)=0⇒x=0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}
x<0:f′>0; x>0:f′<0x < 0: f' > 0; \ x > 0: f' < 0

טבלת סימנים סביב x=0x = 0 (בין −3-3 ל־33)

מקסימום (0,2)(0, 2). המלכודת: להכריז על x=±3x = \pm 3 כנקודות קיצון — שם הפונקציה אינה מוגדרת.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 34

Exercice 35

הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x) וענו על הסעיפים ד–ו. ד (3). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. Aעלייה: 0<x<30 < x < 3 או x>3x > 3 ; ירידה: x<−3x < -3 או −3<x<0-3 < x < 0
  2. Bעלייה: −3<x<3-3 < x < 3 ; ירידה: x<−3x < -3 או x>3x > 3
  3. Cעלייה: x<−3x < -3 או −3<x<0-3 < x < 0 ; ירידה: 0<x<30 < x < 3 או x>3x > 3
  4. Dעלייה: x<−3x < -\sqrt{3} או 0<x<30 < x < \sqrt{3} ; ירידה: −3<x<0-\sqrt{3} < x < 0 או x>3x > \sqrt{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C עלייה: x<−3x < -3 או −3<x<0-3 < x < 0 ; ירידה: 0<x<30 < x < 3 או x>3x > 3

Corrigé :

f′(x)=−72x(x2−9)2f'(x) = \frac{-72x}{(x^2 - 9)^2}

המכנה חיובי בכל התחום, ולכן הסימן של f′f' הפוך לסימן של xx

x<0, x≠−3: f′>0;x>0, x≠3: f′<0x < 0, \ x \neq -3: \ f' > 0; \quad x > 0, \ x \neq 3: \ f' < 0

עלייה: x<−3x < -3 ו־−3<x<0-3 < x < 0; ירידה: 0<x<30 < x < 3 ו־x>3x > 3. המלכודת: לחבר את תחומי העלייה ל־x<0x < 0 — x=−3x = -3 אינו בתחום, והם שני תחומים נפרדים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 35

Exercice 36

הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x) וענו על הסעיפים ד–ו. ד (4). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x).

אנכיות: x=x = ____ , x=x = ____ (מהקטן לגדול) ; אופקית: y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אנכיות: x=x = -3 , x=x = 3 (מהקטן לגדול) ; אופקית: y=y = 6

Corrigé :

x=±3x = \pm 3

המכנה מתאפס והמונה 6x2−18=36≠06x^2 - 18 = 36 \neq 0

x→±∞: 4x2x2−9→4⇒f(x)→4+2=6x \to \pm\infty: \ \frac{4x^2}{x^2 - 9} \to 4 \Rightarrow f(x) \to 4 + 2 = 6

אסימפטוטות אנכיות x=−3x = -3 ו־x=3x = 3, ואסימפטוטה אופקית y=6y = 6. המלכודת: לשכוח את a=2a = 2 ולענות y=4y = 4.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 36

Exercice 37

הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x) וענו על הסעיפים ד–ו. ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). יש לבחור את התיאור שמתאים לסקיצה.

  1. Aבין x=−3x = -3 ל־x=3x = 3 הגרף עולה עד (0,2)(0, 2) ויורד, חותך את ציר ה־xx ב־±3\pm\sqrt{3} ושואף ל־−∞-\infty ליד האסימפטוטות; משמאל ומימין לתחום זה הגרף מעל הישר y=6y = 6 ומתקרב אליו
  2. Bהגרף מוגדר לכל xx: הוא עולה עד המקסימום (0,2)(0, 2) ויורד, חותך את ציר ה־xx ב־±3\pm\sqrt{3}, ומשני הצדדים מתקרב לישר y=6y = 6 מלמעלה
  3. Cבין x=−3x = -3 ל־x=3x = 3 הגרף יורד עד (0,2)(0, 2) ועולה, ושואף ל־+∞+\infty ליד האסימפטוטות; משמאל ומימין לתחום זה הגרף מתחת לישר y=6y = 6, חותך את ציר ה־xx ב־±3\pm\sqrt{3} ומתקרב לישר y=6y = 6
  4. Dבין x=−3x = -3 ל־x=3x = 3 הגרף עולה עד (0,2)(0, 2) ויורד, חותך את ציר ה־xx ב־±3\pm\sqrt{3} ושואף ל־−∞-\infty ליד האסימפטוטות; משמאל ומימין לתחום זה הגרף מתחת לישר y=6y = 6 ומתקרב אליו
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A בין x=−3x = -3 ל־x=3x = 3 הגרף עולה עד (0,2)(0, 2) ויורד, חותך את ציר ה־xx ב־±3\pm\sqrt{3} ושואף ל־−∞-\infty ליד האסימפטוטות; משמאל ומימין לתחום זה הגרף מעל הישר y=6y = 6 ומתקרב אליו

Corrigé :

f(x)−6=36x2−9f(x) - 6 = \frac{36}{x^2 - 9}

הפרש מן האסימפטוטה האופקית

∣x∣>3: f(x)>6;∣x∣<3: f(x)<6|x| > 3: \ f(x) > 6; \quad |x| < 3: \ f(x) < 6

לכן הענפים החיצוניים מעל y=6y = 6

x→3−:f→−∞;x→3+:f→+∞x \to 3^-: f \to -\infty; \quad x \to 3^+: f \to +\infty

וכך גם ליד x=−3x = -3, בזכות הזוגיות

הסקיצה: ענף אמצעי בצורת קשת עם מקסימום (0,2)(0, 2), חיתוכים (±3,0)(\pm\sqrt{3}, 0), ושואף ל־−∞-\infty ליד x=±3x = \pm 3; שני ענפים חיצוניים מעל y=6y = 6, שיורדים מ־+∞+\infty ומתקרבים ל־y=6y = 6. הגרף סימטרי ביחס לציר ה־yy.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 37

Exercice 38

הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x) וענו על הסעיפים ד–ו. נתונה הפונקציה g(x)=f(x−7)g(x) = f(x - 7). ו (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x)g(x).

אנכיות: x=x = ____ , x=x = ____ (מהקטן לגדול) ; אופקית: y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אנכיות: x=x = 4 , x=x = 10 (מהקטן לגדול) ; אופקית: y=y = 6

Corrigé :

g(x)=f(x−7)g(x) = f(x - 7)

הזזה של הגרף של ff ב־77 ימינה

x−7=±3⇒x=4 x=10\begin{aligned}x - 7 &= \pm 3 \Rightarrow x \\ &= 4 \\ \ x &= 10\end{aligned}

האסימפטוטות האנכיות זזות

y=6y = 6

הזזה אופקית לא משנה את האסימפטוטה האופקית

x=4x = 4, x=10x = 10 ו־y=6y = 6. המלכודת: להזיז שמאלה (x=−10x = -10, x=−4x = -4) — f(x−7)f(x - 7) מזיז ימינה.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 38

Exercice 39

הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x) וענו על הסעיפים ד–ו. נתונה הפונקציה g(x)=f(x−7)g(x) = f(x - 7). ו (2). האם הפונקציה g(x)g(x) היא זוגית? נמקו את תשובתכם.

  1. Aלא
  2. Bכן
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A לא

Corrigé :

x=4 x=10\begin{aligned}x &= 4 \\ \ x &= 10\end{aligned}

תחום ההגדרה של gg אינו סימטרי ביחס ל־x=0x = 0

g(−4) מוגדרת, g(4) לאg(-4) \text{ מוגדרת}, \ g(4) \text{ לא}

g(−4)=f(−11)g(-4) = f(-11), ו־44 אינו בתחום

לא: הגרף של gg סימטרי ביחס לישר x=7x = 7, ולא ביחס לציר ה־yy. המלכודת: לחשוב שהזזה שומרת על הזוגיות.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 39

שאלה 7 — פונקציית שורש

Exercice 40

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

x≥x \ge ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x≥x \ge 3.2

Corrigé :

5x−16≥0⇒x≥3.25x - 16 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3.2

מתחת לשורש — ביטוי אי־שלילי

תחום ההגדרה: x≥3.2x \ge 3.2.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 40

Exercice 41

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx.

(( ____ ,0), 0) ו־(( ____ ,0), 0) (משמאל לימין)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 4 ,0), 0) ו־(( 16 ,0), 0) (משמאל לימין)

Corrigé :

2x=45x−16⇒x=25x−16\begin{aligned}2x &= 4\sqrt{5x - 16} \Rightarrow x \\ &= 2\sqrt{5x - 16}\end{aligned}
x2=4(5x−16)⇒x2−20x+64=0⇒x=4 x=16\begin{aligned}x^2 &= 4(5x - 16) \Rightarrow x^2 - 20x + 64 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4 \\ \ x &= 16\end{aligned}

מעלים בריבוע; x≥0x \ge 0, אז אין פתרון זר

f(4)=8−4⋅2=0f(16)=32−4⋅8=0\begin{aligned}f(4) &= 8 - 4 \cdot 2 \\ &= 0 \\ \quad f(16) &= 32 - 4 \cdot 8 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה

(4,0)(4, 0) ו־(16,0)(16, 0).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 41

Exercice 42

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

(( ____ ,, ____ )) ו־(( ____ ,, ____ )) (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 8.2 ,, -3.6 )) ו־(( 3.2 ,, 6.4 )) (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

Corrigé :

f′(x)=2−4⋅525x−16=2−105x−16\begin{aligned}f'(x) &= 2 - \frac{4 \cdot 5}{2\sqrt{5x - 16}} \\ &= 2 - \frac{10}{\sqrt{5x - 16}}\end{aligned}
f′(x)=0⇒5x−16=5⇒x=8.2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \sqrt{5x - 16} \\ &= 5 \Rightarrow x \\ &= 8.2\end{aligned}
f′(4)=2−102<0f′(13)=2−107>0\begin{aligned}f'(4) &= 2 - \frac{10}{2} < 0 \\ \quad f'(13) &= 2 - \frac{10}{7} > 0\end{aligned}

ירידה ואז עלייה: מינימום

f(8.2)=16.4−4⋅5=−3.6f(3.2)=6.4\begin{aligned}f(8.2) &= 16.4 - 4 \cdot 5 \\ &= -3.6 \\ \quad f(3.2) &= 6.4\end{aligned}

בקצה התחום הפונקציה יורדת: מקסימום קצה

מינימום (8.2,−3.6)(8.2, -3.6) ומקסימום קצה (3.2,6.4)(3.2, 6.4). המלכודת: לשכוח את נקודת הקצה, ש"כל נקודות הקיצון" כוללות.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 42

Exercice 43

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). יש לבחור את התיאור שמתאים לסקיצה.

  1. Aהגרף מתחיל ב־(3.2,0)(3.2, 0), עולה עד מקסימום ב־(8.2,3.6)(8.2, 3.6), ואז יורד, חותך את ציר ה־xx ב־(16,0)(16, 0) ושואף ל־−∞-\infty
  2. Bהגרף מוגדר לכל xx: הוא יורד עד (8.2,−3.6)(8.2, -3.6) ואז עולה, וחותך את ציר ה־xx ב־(4,0)(4, 0) וב־(16,0)(16, 0)
  3. Cהגרף מתחיל ב־(3.2,6.4)(3.2, 6.4), יורד דרך (4,0)(4, 0) עד (8.2,−3.6)(8.2, -3.6), ואז עולה ומתקרב לציר ה־xx מתחתיו, בלי לחתוך אותו שוב
  4. Dהגרף מתחיל ב־(3.2,6.4)(3.2, 6.4), יורד דרך (4,0)(4, 0) עד (8.2,−3.6)(8.2, -3.6), ואז עולה דרך (16,0)(16, 0) בלי גבול
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D הגרף מתחיל ב־(3.2,6.4)(3.2, 6.4), יורד דרך (4,0)(4, 0) עד (8.2,−3.6)(8.2, -3.6), ואז עולה דרך (16,0)(16, 0) בלי גבול

Corrigé :

(3.2,6.4)↘(4,0)↘(8.2,−3.6)↗(16,0)↗(3.2, 6.4) \searrow (4, 0) \searrow (8.2, -3.6) \nearrow (16, 0) \nearrow

סדר הנקודות על הגרף, מסעיפים א–ג

f(x)=2x−45x−16→+∞f(x) = 2x - 4\sqrt{5x - 16} \to +\infty

2x2x גדל מהר יותר מ־5x−16\sqrt{5x - 16}

הסקיצה: מתחילה בנקודת הקצה (3.2,6.4)(3.2, 6.4), יורדת דרך (4,0)(4, 0) עד המינימום (8.2,−3.6)(8.2, -3.6), ועולה דרך (16,0)(16, 0) בלי גבול.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 43

Exercice 44

הגרפים I–IV
xyIIxyIxyIVxyIII

פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרת בתחום x>3.2x > 3.2. ה (1). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

  1. Aגרף I
  2. Bגרף III
  3. Cגרף II
  4. Dגרף IV
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף I

Corrigé :

x→3.2+: f′(x)=2−105x−16→−∞x \to 3.2^+: \ f'(x) = 2 - \frac{10}{\sqrt{5x - 16}} \to -\infty

המכנה שואף ל־00

3.2<x<8.2:f′<0; x>8.2:f′>0; x→∞:f′→23.2 < x < 8.2: f' < 0; \ x > 8.2: f' > 0; \ x \to \infty: f' \to 2

ff יורדת ואז עולה; 105x−16→0\frac{10}{\sqrt{5x - 16}} \to 0

גרף I: מתחיל ב־−∞-\infty ליד x=3.2x = 3.2, עולה, חותך את ציר ה־xx פעם אחת (x=8.2x = 8.2) ומתקרב לישר חיובי. המלכודות: גרף II הוא −f′-f'; גרף III חיובי כולו וגרף IV שלילי כולו, אבל f′f' מחליפה סימן.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 44

Exercice 45

פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרת בתחום x>3.2x > 3.2. ה (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), על ידי ציר ה־xx ועל ידי הישרים x=4x = 4 ו־x=13x = 13.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.2

Corrigé :

f′(8.2)=0f'(8.2) = 0

בין 44 ל־1313 הנגזרת מחליפה סימן: שני חלקים

∫48.2−f′(x) dx=f(4)−f(8.2)=0−(−3.6)=3.6\begin{aligned}\int_4^{8.2} -f'(x)\,dx &= f(4) - f(8.2) \\ &= 0 - (-3.6) \\ &= 3.6\end{aligned}

מתחת לציר ה־xx

∫8.213f′(x) dx=f(13)−f(8.2)=(26−28)+3.6=1.6\begin{aligned}\int_{8.2}^{13} f'(x)\,dx &= f(13) - f(8.2) \\ &= (26 - 28) + 3.6 \\ &= 1.6\end{aligned}

f(13)=26−449=−2f(13) = 26 - 4\sqrt{49} = -2

S=3.6+1.6=5.2\begin{aligned}S &= 3.6 + 1.6 \\ &= 5.2\end{aligned}

השטח הוא 5.25.2. המלכודת: לחשב ∫413f′(x) dx=f(13)−f(4)=−2\int_4^{13} f'(x)\,dx = f(13) - f(4) = -2 — החלק שמתחת לציר נספר בשלילה.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 45

שאלה 8 — בעיית קיצון: מתחם ציבורי

Exercice 46

א. הביעו באמצעות xx את אורך הצלע BEBE.

  1. ABE=8−xBE = 8 - x
  2. BBE=6−3xBE = 6 - 3x
  3. CBE=8−2xBE = 8 - 2x
  4. DBE=8−3xBE = 8 - 3x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D BE=8−3xBE = 8 - 3x

Corrigé :

AB+BE+EG=AG⇒x+BE+2x=8\begin{aligned}AB + BE + EG &= AG \Rightarrow x + BE + 2x \\ &= 8\end{aligned}

EG=2xEG = 2x

BE=8−3xBE = 8 - 3x

BE=8−3xBE = 8 - 3x. המלכודת: לשכוח את ABAB ולענות 8−2x8 - 2x.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 46

Exercice 47

נתון כי שטח המבואה הוא 11 מ״ר. ב (1). הביעו באמצעות xx את אורך הצלע ADAD.

  1. AAD=1−xAD = 1 - x
  2. BAD=2xAD = \frac{2}{x}
  3. CAD=1xAD = \frac{1}{x}
  4. DAD=18−3xAD = \frac{1}{8 - 3x}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C AD=1xAD = \frac{1}{x}

Corrigé :

AB⋅AD=1⇒x⋅AD=1\begin{aligned}AB \cdot AD &= 1 \Rightarrow x \cdot AD \\ &= 1\end{aligned}

שטח המלבן ABCDABCD

AD=1xAD = \frac{1}{x}

AD=1xAD = \frac{1}{x}.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 47

Exercice 48

נתון כי שטח המבואה הוא 11 מ״ר. ב (2). הביעו באמצעות xx את השטח הכולל של המתחם.

  1. AS(x)=4x2+8−3x−2S(x) = 4x^2 + 8 - 3x - 2
  2. BS(x)=2x2+8x−2S(x) = 2x^2 + \frac{8}{x} - 2
  3. CS(x)=4x2+8x−2S(x) = 4x^2 + \frac{8}{x} - 2
  4. DS(x)=4x2+8x−3S(x) = 4x^2 + \frac{8}{x} - 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C S(x)=4x2+8x−2S(x) = 4x^2 + \frac{8}{x} - 2

Corrigé :

SBEFC=BE⋅BC=(8−3x)⋅1x=8x−3\begin{aligned}S_{BEFC} &= BE \cdot BC \\ &= (8 - 3x) \cdot \frac{1}{x} \\ &= \frac{8}{x} - 3\end{aligned}

BC=AD=1xBC = AD = \frac{1}{x}

SEGHK=(2x)2=4x2\begin{aligned}S_{EGHK} &= (2x)^2 \\ &= 4x^2\end{aligned}
S(x)=1+8x−3+4x2=4x2+8x−2\begin{aligned}S(x) &= 1 + \frac{8}{x} - 3 + 4x^2 \\ &= 4x^2 + \frac{8}{x} - 2\end{aligned}

S(x)=4x2+8x−2S(x) = 4x^2 + \frac{8}{x} - 2, בתחום 0<x<830 < x < \frac{8}{3}. המלכודת: לשכוח את שטח המבואה (11 מ״ר).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 48

Exercice 49

נתון כי שטח המבואה הוא 11 מ״ר. ג. מצאו את הערך של xx שבעבורו השטח הכולל של המתחם הוא מינימלי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

S′(x)=8x−8x2=0⇒x3=1⇒x=1\begin{aligned}S'(x) &= 8x - \frac{8}{x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x^3 \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

בתחום 0<x<830 < x < \frac{8}{3}

S′(0.5)=4−32<0S′(2)=16−2>0\begin{aligned}S'(0.5) &= 4 - 32 < 0 \\ \quad S'(2) &= 16 - 2 > 0\end{aligned}

ירידה ואז עלייה: מינימום

x=1x = 1 מטר; השטח המינימלי הוא S(1)=4+8−2=10S(1) = 4 + 8 - 2 = 10 מ״ר.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 49

Exercice 50

נתון כי שטח המבואה הוא 11 מ״ר. ד. האם ייתכן שהשטח הכולל של המתחם הוא 99 מ״ר? נמקו את תשובתכם.

  1. Aלא
  2. Bכן
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A לא

Corrigé :

Smin⁡=S(1)=4+8−2=10\begin{aligned}S_{\min} &= S(1) \\ &= 4 + 8 - 2 \\ &= 10\end{aligned}

המינימום מסעיף ג הוא המינימום המוחלט בתחום: נקודת הקיצון היחידה

9<109 < 10

לא: השטח הכולל הוא לפחות 1010 מ״ר.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 50

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : Suites