בגרות 35571 — חורף 2022

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 035571 (5 יחידות לימוד, שאלון ראשון), חורף תשפ״ב, 2022. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. ענה על חמש מן השאלות 1–8 (לכל שאלה – 20 נקודות). פרק ראשון – "שאלות קצרות", סדרות והסתברות: שאלות 1–3. פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור: שאלות 4–5. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות השאלות של הבחינה, כדי שתוכלו להתאמן בהן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, והפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercices

שאלה 1 — שאלות קצרות

Exercice 1

ABCD

א. לפניך טרפז ABCDABCD (AB∥CD)(AB \parallel CD). נתון: שטח המשולש ADCADC הוא 2424 ושטח המשולש ADBADB הוא 1212. (1) חשב את היחס בין אורך הבסיס הגדול ובין אורך הבסיס הקטן של הטרפז ABCDABCD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

SADC=DC⋅h2SADB=AB⋅h2\begin{aligned}S_{ADC} &= \frac{DC \cdot h}{2} \\ \quad S_{ADB} &= \frac{AB \cdot h}{2}\end{aligned}

hh הוא גובה הטרפז. הוא גם הגובה של המשולש ADCADC לבסיס DCDC, וגם הגובה של המשולש ADBADB לבסיס ABAB, כי AB∥CDAB \parallel CD

DCAB=SADCSADB=2412=2\begin{aligned}\frac{DC}{AB} &= \frac{S_{ADC}}{S_{ADB}} \\ &= \frac{24}{12} \\ &= 2\end{aligned}

מחלקים את שני השטחים: h2\frac{h}{2} מצטמצם

הבסיס הגדול DCDC ארוך פי 22 מן הבסיס הקטן ABAB: היחס הוא 2:12 : 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABCD

א. לפניך טרפז ABCDABCD (AB∥CD)(AB \parallel CD). נתון: שטח המשולש ADCADC הוא 2424 ושטח המשולש ADBADB הוא 1212. (2) חשב את שטח הטרפז ABCDABCD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

SABC=AB⋅h2=SADB=12\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{AB \cdot h}{2} \\ &= S_{ADB} \\ &= 12\end{aligned}

למשולשים ABCABC ו־ADBADB יש אותו בסיס ABAB ואותו גובה hh

SABCD=SADC+SABC=24+12=36\begin{aligned}S_{ABCD} &= S_{ADC} + S_{ABC} \\ &= 24 + 12 \\ &= 36\end{aligned}

האלכסון ACAC מחלק את הטרפז לשני משולשים

שטח הטרפז הוא 3636. בדיקה: DC=2ABDC = 2AB, ולכן SABCD=(AB+2AB)⋅h2=3⋅AB⋅h2=3⋅12=36S_{ABCD} = \frac{(AB + 2AB) \cdot h}{2} = 3 \cdot \frac{AB \cdot h}{2} = 3 \cdot 12 = 36.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ב (1). בעבור כל nn טבעי, הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת את הטענה: (1+11)⋅(1+12)⋅(1+13)⋅…⋅(1+1n)=n+1\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right) = n + 1

  • nn מספר טבעי

(1+11)⋅(1+12)⋅(1+13)⋅…⋅(1+1n)=n+1\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right) = n + 1

Voir la réponse et le corrigé
  1. 1+11=2=1+11 + \frac{1}{1} = 2 = 1 + 1 — בדיקה עבור n=1n = 1
  2. (1+11)⋅…⋅(1+1k)=k+1\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k}\right) = k + 1 — הנחת האינדוקציה
  3. (1+11)⋅…⋅(1+1k+1)=(k+1)(1+1k+1)\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = (k + 1)\left(1 + \frac{1}{k+1}\right) — כופלים בגורם ה־(k+1)(k+1) ומציבים את הנחת האינדוקציה
  4. (k+1)(1+1k+1)=(k+1)+1=k+2(k + 1)\left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = (k + 1) + 1 = k + 2 — פתיחת סוגריים: (k+1)⋅1k+1=1(k + 1) \cdot \frac{1}{k+1} = 1
  5. (1+11)⋅…⋅(1+1k+1)=k+2\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = k + 2 — זו הטענה עבור n=k+1n = k + 1; עם הבדיקה עבור n=1n = 1, היא נכונה לכל nn טבעי

Corrigé :

1+11=2=1+1\begin{aligned}1 + \frac{1}{1} &= 2 \\ &= 1 + 1\end{aligned}

הבדיקה עבור n=1n = 1

(1+11)⋅…⋅(1+1k)⋅(1+1k+1)=(k+1)⋅k+2k+1\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = (k + 1) \cdot \frac{k + 2}{k + 1}

הנחת האינדוקציה, ואז הגורם ה־(k+1)(k+1): 1+1k+1=k+2k+11 + \frac{1}{k+1} = \frac{k + 2}{k + 1}

(k+1)⋅k+2k+1=k+2=(k+1)+1\begin{aligned}(k + 1) \cdot \frac{k + 2}{k + 1} &= k + 2 \\ &= (k + 1) + 1\end{aligned}

זו הטענה עבור n=k+1n = k + 1

דרך אחרת: כל גורם הוא 1+1m=m+1m1 + \frac{1}{m} = \frac{m + 1}{m}, ולכן המכפלה היא 21⋅32⋅…⋅n+1n\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{n + 1}{n}. כל מונה מצטמצם עם המכנה שאחריו, ונשאר n+11=n+1\frac{n + 1}{1} = n + 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ב (2). חשב את המכפלה: (1+12)⋅(1+13)⋅(1+14)⋅(1+15)⋅…⋅(1+199)\left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{4}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{5}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{99}\right)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50

Corrigé :

(1+11)⋅(1+12)⋅…⋅(1+199)=99+1=100\begin{aligned}\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{99}\right) &= 99 + 1 \\ &= 100\end{aligned}

הטענה של סעיף ב (1) עם n=99n = 99

1+11=21 + \frac{1}{1} = 2

המכפלה המבוקשת מתחילה בגורם השני, בלי הגורם הזה

1002=50\frac{100}{2} = 50

מחלקים את המכפלה המלאה בגורם החסר

המכפלה היא 5050. המלכודת: לענות 100100, ולשכוח שהמכפלה מתחילה ב־1+121 + \frac{1}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ג. בעבור כל אחת מן הטענות (1)–(2) שלפניך, קבע אם היא נכונה לכל xx. נמק. (1) sin⁡(π2−x)=sin⁡(π2+x)\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)

  1. נכונה רק כאשר x=0x = 0: רק אז הזוויות π2−x\frac{\pi}{2} - x ו־π2+x\frac{\pi}{2} + x שוות
  2. נכונה לכל xx: שני האגפים שווים ל־cos⁡x\cos x
  3. לא נכונה לכל xx: אגף שמאל שווה ל־cos⁡x\cos x, ואגף ימין שווה ל־−cos⁡x-\cos x
  4. לא נכונה לכל xx: אגף שמאל שווה ל־cos⁡x\cos x, ואגף ימין שווה ל־sin⁡x\sin x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B נכונה לכל xx: שני האגפים שווים ל־cos⁡x\cos x

Corrigé :

sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x

זהות של זוויות משלימות ל־π2\frac{\pi}{2}

sin⁡(π2+x)=sin⁡(π−(π2+x))=sin⁡(π2−x)=cos⁡x\begin{aligned}\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) &= \sin\left(\pi - \left(\frac{\pi}{2} + x\right)\right) \\ &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ &= \cos x\end{aligned}

sin⁡(π−t)=sin⁡t\sin(\pi - t) = \sin t

הטענה נכונה לכל xx: שני האגפים שווים ל־cos⁡x\cos x. המלכודת: לחשוב שזוויות שונות נותנות סינוס שונה — שתי הזוויות π2−x\frac{\pi}{2} - x ו־π2+x\frac{\pi}{2} + x סימטריות סביב π2\frac{\pi}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ג. בעבור כל אחת מן הטענות (1)–(2) שלפניך, קבע אם היא נכונה לכל xx. נמק. (2) sin⁡(π2−x)=sin⁡(x−π2)\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

  1. נכונה לכל xx: שני האגפים שווים ל־cos⁡x\cos x
  2. נכונה לכל xx: סינוס היא פונקציה זוגית, ולכן sin⁡(−t)=sin⁡t\sin(-t) = \sin t
  3. לא נכונה לכל xx: אגף ימין שווה ל־−cos⁡x-\cos x, ולמשל ב־x=0x = 0 אגף שמאל הוא 11 ואגף ימין הוא −1-1
  4. לא נכונה לכל xx: אין אף xx שבעבורו השוויון מתקיים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לא נכונה לכל xx: אגף ימין שווה ל־−cos⁡x-\cos x, ולמשל ב־x=0x = 0 אגף שמאל הוא 11 ואגף ימין הוא −1-1

Corrigé :

sin⁡(x−π2)=−sin⁡(π2−x)=−cos⁡x\begin{aligned}\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) &= -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ &= -\cos x\end{aligned}

סינוס היא פונקציה אי־זוגית: sin⁡(−t)=−sin⁡t\sin(-t) = -\sin t

cos⁡x=−cos⁡x  ⟺  cos⁡x=0\begin{aligned}\cos x &= -\cos x \iff \cos x \\ &= 0\end{aligned}

השוויון מתקיים רק כאשר cos⁡x=0\cos x = 0

x=0:sin⁡π2=1sin⁡(−π2)=−1\begin{aligned}x &= 0: \quad \sin\frac{\pi}{2} \\ &= 1 \\ \quad \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) &= -1\end{aligned}

דוגמה נגדית

הטענה אינה נכונה לכל xx: היא מתקיימת רק כאשר cos⁡x=0\cos x = 0 (למשל x=π2x = \frac{\pi}{2}), ו־x=0x = 0 היא דוגמה נגדית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

xf(x)

ד. לפניך הגרף של פונקציה f(x)f(x), המוגדרת לכל xx. לפונקציה f(x)f(x) אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא y=1y = 1 (ראה סרטוט), ו־22 נקודות קיצון בדיוק: נקודת מקסימום (0,3)(0, 3) ונקודת מינימום (−2,−1)(-2, -1). נגדיר את הפונקציה g(x)=f(−x)+1g(x) = f(-x) + 1. גם הפונקציה g(x)g(x) מוגדרת לכל xx. (1) מצא את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה g(x)g(x). נמק.

y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = 2

Corrigé :

x→±∞:f(−x)→1x \to \pm\infty: \quad f(-x) \to 1

כאשר x→∞x \to \infty, אז −x→−∞-x \to -\infty, ולהפך; והפונקציה ff שואפת ל־11 בשני הכיוונים

g(x)=f(−x)+1→1+1=2\begin{aligned}g(x) &= f(-x) + 1 \to 1 + 1 \\ &= 2\end{aligned}

y=2y = 2. השיקוף f(−x)f(-x) סביב ציר ה־yy משאיר את האסימפטוטה y=1y = 1 במקומה, וההזזה ב־11 למעלה מעבירה אותה ל־y=2y = 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

xf(x)

ד. לפניך הגרף של פונקציה f(x)f(x), המוגדרת לכל xx. לפונקציה f(x)f(x) אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא y=1y = 1 (ראה סרטוט), ו־22 נקודות קיצון בדיוק: נקודת מקסימום (0,3)(0, 3) ונקודת מינימום (−2,−1)(-2, -1). נגדיר את הפונקציה g(x)=f(−x)+1g(x) = f(-x) + 1. גם הפונקציה g(x)g(x) מוגדרת לכל xx. (2) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x), וקבע את סוגן.

(( ____ ,, ____ )) ו־(( ____ ,, ____ )) (משמאל לימין)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 0 ,, 4 )) ו־(( 2 ,, 0 )) (משמאל לימין)

Corrigé :

f(−x):(0,3)→(0,3),(−2,−1)→(2,−1)f(-x): \quad (0, 3) \to (0, 3), \quad (-2, -1) \to (2, -1)

שיקוף סביב ציר ה־yy: שיעור ה־xx מחליף סימן, ושיעור ה־yy וסוג הקיצון לא משתנים

g(x)=f(−x)+1:(0,4)(2,0)\begin{aligned}g(x) &= f(-x) + 1: \quad (0, 4) \\ \quad (2, 0)\end{aligned}

הזזה ב־11 למעלה: מוסיפים 11 לשיעור ה־yy, וסוג הקיצון לא משתנה

נקודת מקסימום (0,4)(0, 4) ונקודת מינימום (2,0)(2, 0). המלכודת: להחליף את הסימן של שיעור ה־yy במקום את הסימן של שיעור ה־xx — זה היה השיקוף −f(x)-f(x), שהופך מקסימום למינימום.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — סדרות חשבוניות

Exercice 9

א (1). האם הסדרה BB היא סדרה חשבונית? נמק.

  1. לא: bnb_n הוא הפרש של שני סכומים, ולכן ההפרש bn+1−bnb_{n+1} - b_n תלוי ב־nn
  2. לא: רק הסדרה AA נתונה כסדרה חשבונית
  3. כן: bn+1−bn=Sn+2−Snb_{n+1} - b_n = S_{n+2} - S_n, ולכן ההפרש של BB הוא 2d2d
  4. כן: bn=an+1b_n = a_{n+1}, ולכן bn+1−bn=an+2−an+1=db_{n+1} - b_n = a_{n+2} - a_{n+1} = d
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D כן: bn=an+1b_n = a_{n+1}, ולכן bn+1−bn=an+2−an+1=db_{n+1} - b_n = a_{n+2} - a_{n+1} = d

Corrigé :

bn=Sn+1−Sn=an+1\begin{aligned}b_n &= S_{n+1} - S_n \\ &= a_{n+1}\end{aligned}

בסכום של n+1n + 1 איברים יש איבר אחד יותר מבסכום של nn איברים: האיבר ה־(n+1)(n+1)

bn+1−bn=an+2−an+1=d\begin{aligned}b_{n+1} - b_n &= a_{n+2} - a_{n+1} \\ &= d\end{aligned}

ההפרש קבוע

כן: BB היא סדרה חשבונית, והפרשה dd, כמו ההפרש של AA.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

א (2). האם הסדרה BB זהה לסדרה AA? נמק.

  1. לא: bn=an+1=an+db_n = a_{n+1} = a_n + d, ו־d>0d > 0 כי הסדרה AA עולה
  2. לא: ההפרש של הסדרה BB הוא 2d2d
  3. כן: לשתי הסדרות אותו הפרש dd
  4. כן: bn=Sn+1−Sn=anb_n = S_{n+1} - S_n = a_n
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A לא: bn=an+1=an+db_n = a_{n+1} = a_n + d, ו־d>0d > 0 כי הסדרה AA עולה

Corrigé :

b1=a2b2=a3…bn=an+1\begin{aligned}b_1 &= a_2 \\ \quad b_2 &= a_3 \\ \quad \ldots \\ \quad b_n &= a_{n+1}\end{aligned}

סעיף א (1)

bn−an=an+1−an=d>0\begin{aligned}b_n - a_n &= a_{n+1} - a_n \\ &= d > 0\end{aligned}

הסדרה AA עולה, ולכן d>0d > 0

לא: BB היא הסדרה AA בלי האיבר הראשון שלה, וכל איבר של BB גדול ב־dd מן האיבר שבאותו מקום ב־AA. המלכודת: אותו הפרש אינו אומר אותה סדרה — צריך גם אותו איבר ראשון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

מסמנים ב־TnT_n את סכום nn האיברים הראשונים בסדרה BB, לכל nn טבעי. ב. הוכח כי לכל nn טבעי זוגי מתקיים: Tn=(b1+b2)(b1−b2)+(b3+b4)(b3−b4)+…+(bn−1+bn)(bn−1−bn)−dT_n = \frac{(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + (b_3 + b_4)(b_3 - b_4) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n)}{-d}.

  • BB סדרה חשבונית שהפרשה dd (סעיף א (1))
  • d>0d > 0 (הסדרה AA עולה)
  • nn מספר טבעי זוגי

Tn=(b1+b2)(b1−b2)+(b3+b4)(b3−b4)+…+(bn−1+bn)(bn−1−bn)−dT_n = \frac{(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + (b_3 + b_4)(b_3 - b_4) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n)}{-d}

Voir la réponse et le corrigé
  1. b1−b2=b3−b4=…=bn−1−bn=−db_1 - b_2 = b_3 - b_4 = \ldots = b_{n-1} - b_n = -d — בסדרה חשבונית שהפרשה dd, כל איבר קטן ב־dd מן האיבר שאחריו
  2. (b1+b2)(b1−b2)+…+(bn−1+bn)(bn−1−bn)=−d[(b1+b2)+(b3+b4)+…+(bn−1+bn)](b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n) = -d\left[(b_1 + b_2) + (b_3 + b_4) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)\right] — מציבים −d-d בכל זוג ומוציאים גורם משותף
  3. (b1+b2)+(b3+b4)+…+(bn−1+bn)=Tn(b_1 + b_2) + (b_3 + b_4) + \ldots + (b_{n-1} + b_n) = T_n — nn זוגי, ולכן nn האיברים מתחלקים ל־n2\frac{n}{2} זוגות
  4. (b1+b2)(b1−b2)+…+(bn−1+bn)(bn−1−bn)=−d⋅Tn(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n) = -d \cdot T_n — מציבים את סכום הזוגות
  5. Tn=(b1+b2)(b1−b2)+…+(bn−1+bn)(bn−1−bn)−dT_n = \frac{(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n)}{-d} — מחלקים ב־−d-d, ש־d≠0d \neq 0 כי הסדרה AA עולה

Corrigé :

bk−bk+1=−db_{k} - b_{k+1} = -d

בכל זוג: BB חשבונית שהפרשה dd

(b1+b2)(b1−b2)+…+(bn−1+bn)(bn−1−bn)=−d[(b1+b2)+…+(bn−1+bn)]=−d⋅Tn\begin{aligned}(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n) &= -d\left[(b_1 + b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)\right] \\ &= -d \cdot T_n\end{aligned}

nn זוגי: הזוגות מכסים את כל nn האיברים

Tn=(b1+b2)(b1−b2)+…+(bn−1+bn)(bn−1−bn)−dT_n = \frac{(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n)}{-d}

d≠0d \neq 0

הזוגיות של nn חשובה: בלעדיה האיבר האחרון bnb_n נשאר בלי זוג. ואפשר לחלק ב־−d-d רק כי d≠0d \neq 0 — הסדרה עולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מסמנים ב־TnT_n את סכום nn האיברים הראשונים בסדרה BB, לכל nn טבעי. נתון: b12−b22+b32−b42+…+b392−b402=−95b_1^2 - b_2^2 + b_3^2 - b_4^2 + \ldots + b_{39}^2 - b_{40}^2 = -95, T5=−20T_5 = -20. ג. חשב את dd ואת b1b_1 (אפשר להיעזר בסעיף ב).

d=d = ____ , b1=b_1 = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : d=d = 0.5 , b1=b_1 = -5

Corrigé :

b12−b22+…+b392−b402=(b1+b2)(b1−b2)+…+(b39+b40)(b39−b40)b_1^2 - b_2^2 + \ldots + b_{39}^2 - b_{40}^2 = (b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{39} + b_{40})(b_{39} - b_{40})

נוסחת הכפל המקוצר u2−v2=(u+v)(u−v)u^2 - v^2 = (u + v)(u - v)

T40=−95−d=95d\begin{aligned}T_{40} &= \frac{-95}{-d} \\ &= \frac{95}{d}\end{aligned}

סעיף ב עם n=40n = 40, מספר זוגי

T5=5(2b1+4d)2=−20⇒b1+2d=−4⇒b1=−4−2d\begin{aligned}T_5 &= \frac{5(2b_1 + 4d)}{2} \\ &= -20 \Rightarrow b_1 + 2d \\ &= -4 \Rightarrow b_1 \\ &= -4 - 2d\end{aligned}

סכום של סדרה חשבונית; 55 אי־זוגי, ולכן כאן לא משתמשים בסעיף ב

T40=40(2b1+39d)2=20(−8+35d)\begin{aligned}T_{40} &= \frac{40(2b_1 + 39d)}{2} \\ &= 20(-8 + 35d)\end{aligned}

מציבים b1=−4−2db_1 = -4 - 2d

20d(−8+35d)=95⇒140d2−32d−19=0\begin{aligned}20d(-8 + 35d) &= 95 \Rightarrow 140d^2 - 32d - 19 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ל־95d\frac{95}{d}, כופלים ב־dd ומחלקים ב־55

d=32±108280:d=0.5d=−1970\begin{aligned}d &= \frac{32 \pm 108}{280}: \quad d \\ &= 0.5 \\ \quad d &= -\frac{19}{70}\end{aligned}

322+4⋅140⋅19=11664=108\sqrt{32^2 + 4 \cdot 140 \cdot 19} = \sqrt{11664} = 108; הסדרה עולה, ולכן d>0d > 0 ו־d=0.5d = 0.5

b1=−4−2⋅0.5=−5\begin{aligned}b_1 &= -4 - 2 \cdot 0.5 \\ &= -5\end{aligned}

d=0.5d = 0.5 ו־b1=−5b_1 = -5. המלכודת: לשכוח לפסול את d=−1970d = -\frac{19}{70} — הסדרה AA עולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

מסמנים ב־TnT_n את סכום nn האיברים הראשונים בסדרה BB, לכל nn טבעי. נתון: b12−b22+b32−b42+…+b392−b402=−95b_1^2 - b_2^2 + b_3^2 - b_4^2 + \ldots + b_{39}^2 - b_{40}^2 = -95, T5=−20T_5 = -20. מחברים בזה אחר זה את איברי הסדרה AA הנמצאים במקומות האי־זוגיים, החל באיבר הראשון. ד. מהו המספר המינימלי של איברים שיש לחבר באופן זה כדי שהסכום שיתקבל יהיה מספר חיובי שלם? נמק.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

a1=a2−d=b1−d=−5−0.5=−5.5\begin{aligned}a_1 &= a_2 - d \\ &= b_1 - d \\ &= -5 - 0.5 \\ &= -5.5\end{aligned}

b1=a2b_1 = a_2 (סעיף א)

a1,a3,a5,…:−5.5, −4.5, −3.5, …a_1, a_3, a_5, \ldots: \quad -5.5, \ -4.5, \ -3.5, \ \ldots

האיברים במקומות האי־זוגיים: סדרה חשבונית שהפרשה 2d=12d = 1

Uk=k(2⋅(−5.5)+(k−1)⋅1)2=k(k−12)2\begin{aligned}U_k &= \frac{k\left(2 \cdot (-5.5) + (k - 1) \cdot 1\right)}{2} \\ &= \frac{k(k - 12)}{2}\end{aligned}

UkU_k — הסכום של kk איברים כאלה

Uk>0  ⟺  k>12U_k > 0 \iff k > 12

kk חיובי

U13=13⋅12=6.5U14=14⋅22=14\begin{aligned}U_{13} &= \frac{13 \cdot 1}{2} \\ &= 6.5 \\ \quad U_{14} &= \frac{14 \cdot 2}{2} \\ &= 14\end{aligned}

U13U_{13} חיובי אך אינו שלם

צריך לחבר 1414 איברים לפחות (הסכום אז 1414). כל איבר שמחברים הוא מספר שלם ועוד חצי, ולכן הסכום שלם רק כאשר מספר האיברים זוגי. המלכודת: לעצור ב־1313 איברים — הסכום חיובי, אבל 6.56.5 אינו שלם.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — הסתברות: סוכריות תות ומנטה

Exercice 14

א. ליאור מוציא מן הקופסה שלוש סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה. (1) חשב את ההסתברות שליאור יאכל בדיוק סוכרייה אחת.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.366

Corrigé :

35⋅24⋅24=0.15\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{4} = 0.15

תות ואז מנטה פעמיים: אחרי שאכל סוכרייה, בקופסה 22 סוכריות תות ו־22 מנטה

25⋅35⋅24=0.12\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = 0.12

מנטה, תות, מנטה: המנטה חוזרת לקופסה, ולכן ההוצאה השנייה עדיין מתוך 55

25⋅25⋅35=0.096\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = 0.096

מנטה, מנטה, תות

0.15+0.12+0.096=0.3660.15 + 0.12 + 0.096 = 0.366

שלושה מסלולים זרים

ההסתברות היא 0.3660.366. המלכודת: לחשב כאילו כל סוכרייה שהוצאה נשארת בחוץ — רק סוכריות התות יוצאות מן הקופסה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

א. ליאור מוציא מן הקופסה שלוש סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה. (2) חשב את ההסתברות שליאור אכל את הסוכרייה השנייה שהוא הוציא, אם ידוע כי ליאור אכל בדיוק סוכרייה אחת.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3279

Corrigé :

0.3660.366

ההסתברות שאכל בדיוק סוכרייה אחת (סעיף א (1))

0.120.12

מבין שלושת המסלולים, רק במסלול מנטה, תות, מנטה הוא אוכל את הסוכרייה השנייה

0.120.366=2061≈0.328\frac{0.12}{0.366} = \frac{20}{61} \approx 0.328

הסתברות מותנית

ההסתברות היא 2061≈0.328\frac{20}{61} \approx 0.328. המלכודת: לענות 0.120.12 — זו ההסתברות של החיתוך, ועוד לא חילקנו בהסתברות של התנאי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

ב. ליאור מוציא מן הקופסה nn סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה. הבע בעזרת nn את ההסתברות שליאור יאכל סוכרייה אחת לפחות.

  1. n⋅35⋅(25)n−1n \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}
  2. 35⋅(25)n−1\frac{3}{5} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}
  3. 1−(35)n1 - \left(\frac{3}{5}\right)^n
  4. 1−(25)n1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 1−(25)n1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n

Corrigé :

(25)n\left(\frac{2}{5}\right)^n

הוא לא אוכל אף סוכרייה רק אם הוציא מנטה בכל nn ההוצאות; כל מנטה חוזרת לקופסה, ולכן בכל הוצאה ההסתברות היא 25\frac{2}{5}

1−(25)n1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n

המאורע המשלים: סוכרייה אחת לפחות

ההסתברות היא 1−(25)n1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n. דרך המאורע המשלים אין צורך לעקוב אחרי ההסתברויות שמשתנות אחרי כל סוכריית תות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

ג. ליאור קיבל שתי קופסאות סוכריות, כל אחת מהן זהה לקופסה המתוארת בתחילת השאלה. ליאור מוציא שלוש סוכריות מכל אחת משתי הקופסאות, באופן המתואר בתחילת השאלה. חשב את ההסתברות שליאור יאכל בדיוק שלוש סוכריות, שלושתן מאותה קופסה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.0128

Corrigé :

35⋅24⋅13=110\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{10}

מקופסה אחת הוא אוכל שלוש סוכריות: תות שלוש פעמים

(25)3=8125\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125}

ומן הקופסה השנייה הוא לא אוכל אף סוכרייה: מנטה שלוש פעמים

2⋅110⋅8125=161250=8625=0.0128\begin{aligned}2 \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{8}{125} &= \frac{16}{1250} \\ &= \frac{8}{625} \\ &= 0.0128\end{aligned}

הקופסה שממנה אכל יכולה להיות הראשונה או השנייה

ההסתברות היא 8625=0.0128\frac{8}{625} = 0.0128. המלכודת: לשכוח את הכפל ב־22, או לשכוח שמן הקופסה השנייה הוא לא אוכל אף סוכרייה — אחרת הוא אוכל יותר משלוש.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — משולש חסום במעגל, דמיון ומשיק

Exercice 18

א. הוכח כי הישר ABAB חוצה את ∠GBC\angle GBC.

  • BCBC קוטר במעגל
  • GG על המשך הצלע CACA
  • GA=ACGA = AC

∠GBA=∠ABC\angle GBA = \angle ABC

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  2. ∠BAG=90∘\angle BAG = 90^\circ — זוויות צמודות משלימות ל־180∘180^\circ
  3. △GAB≅△CAB\triangle GAB \cong \triangle CAB — משפט החפיפה צ״ז״צ (GA=ACGA = AC, הזווית שביניהן ישרה, ABAB צלע משותפת)
  4. ∠GBA=∠ABC\angle GBA = \angle ABC — במשולשים חופפים, מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות

Corrigé :

∠BAC=90∘⇒∠BAG=90∘\begin{aligned}\angle BAC &= 90^\circ \Rightarrow \angle BAG \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית על הקוטר BCBC, וזווית צמודה לה

△GAB≅△CAB\triangle GAB \cong \triangle CAB

צ״ז״צ: GA=ACGA = AC, ∠BAG=∠BAC\angle BAG = \angle BAC, ABAB משותפת

∠GBA=∠ABC\angle GBA = \angle ABC

זוויות מתאימות במשולשים חופפים

הישר ABAB חוצה את ∠GBC\angle GBC. מאותה חפיפה גם BG=BCBG = BC: המשולש GBCGBC שווה שוקיים, ונשתמש בזה בסעיף ג.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

ב. הוכח כי △GBC∼△GAD\triangle GBC \sim \triangle GAD.

  • הנקודות DD, BB, CC, AA על המעגל
  • DD על הקטע GBGB, AA על הקטע GCGC

△GBC∼△GAD\triangle GBC \sim \triangle GAD

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠BGC=∠AGD\angle BGC = \angle AGD — זווית משותפת
  2. ∠GBC+∠DAC=180∘\angle GBC + \angle DAC = 180^\circ — במרובע חסום במעגל (DBCADBCA) סכום זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ
  3. ∠GAD+∠DAC=180∘\angle GAD + \angle DAC = 180^\circ — זוויות צמודות משלימות ל־180∘180^\circ
  4. ∠GAD=∠GBC\angle GAD = \angle GBC — שתי זוויות המשלימות את אותה זווית ל־180∘180^\circ שוות זו לזו
  5. △GBC∼△GAD\triangle GBC \sim \triangle GAD — משפט הדמיון ז״ז

Corrigé :

∠G=∠G\angle G = \angle G

angle (זווית) commun

∠GAD=180∘−∠DAC=∠DBC=∠GBC\begin{aligned}\angle GAD &= 180^\circ - \angle DAC \\ &= \angle DBC \\ &= \angle GBC\end{aligned}

זווית צמודה, וזוויות נגדיות במרובע החסום DBCADBCA

△GBC∼△GAD\triangle GBC \sim \triangle GAD

ז״ז. ההתאמה: G↔GG \leftrightarrow G, B↔AB \leftrightarrow A, C↔DC \leftrightarrow D

הזווית החיצונית של מרובע חסום שווה לזווית הפנימית שמולה. מההתאמה: GBGA=BCAD=GCGD\frac{GB}{GA} = \frac{BC}{AD} = \frac{GC}{GD}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

נתון כי SDBCASGAD=15\frac{S_{DBCA}}{S_{GAD}} = 15. ג. הבע באמצעות RR את אורך הצלע ACAC.

AC=AC = ____ ⋅R\cdot R

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AC=AC = 0.5 ⋅R\cdot R

Corrigé :

SGBC=SGAD+SDBCA=16 SGAD\begin{aligned}S_{GBC} &= S_{GAD} + S_{DBCA} \\ &= 16 \, S_{GAD}\end{aligned}

המשולש GBCGBC מורכב מהמשולש GADGAD ומהמרובע DBCADBCA

(GBGA)2=16⇒GBGA=4\begin{aligned}\left(\frac{GB}{GA}\right)^2 &= 16 \Rightarrow \frac{GB}{GA} \\ &= 4\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון (סעיף ב)

GB=BC=2R\begin{aligned}GB &= BC \\ &= 2R\end{aligned}

המשולש GBCGBC שווה שוקיים (סעיף א), ו־BCBC קוטר

AC=GA=2R4=R2\begin{aligned}AC &= GA \\ &= \frac{2R}{4} \\ &= \frac{R}{2}\end{aligned}

AC=R2AC = \frac{R}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

נתון כי SDBCASGAD=15\frac{S_{DBCA}}{S_{GAD}} = 15. דרך הנקודה CC העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע BABA בנקודה EE. ד. חשב פי כמה גדול שטח המשולש CBECBE משטח המשולש ABCABC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.0667

Corrigé :

∠BCE=90∘=∠BAC\begin{aligned}\angle BCE &= 90^\circ \\ &= \angle BAC\end{aligned}

המשיק מאונך לקוטר BCBC בנקודת ההשקה, ו־∠BAC\angle BAC היקפית על הקוטר

△CBE∼△ABC\triangle CBE \sim \triangle ABC

ז״ז: גם ∠B\angle B משותפת. ההתאמה: C↔AC \leftrightarrow A, B↔BB \leftrightarrow B, E↔CE \leftrightarrow C

AB=(2R)2−(R2)2=152R\begin{aligned}AB &= \sqrt{(2R)^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2} \\ &= \frac{\sqrt{15}}{2} R\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש ABCABC, עם AC=R2AC = \frac{R}{2} (סעיף ג)

BCAB=2R152R=415\begin{aligned}\frac{BC}{AB} &= \frac{2R}{\frac{\sqrt{15}}{2} R} \\ &= \frac{4}{\sqrt{15}}\end{aligned}

יחס הדמיון

SCBESABC=(415)2=1615≈1.067\begin{aligned}\frac{S_{CBE}}{S_{ABC}} &= \left(\frac{4}{\sqrt{15}}\right)^2 \\ &= \frac{16}{15} \approx 1.067\end{aligned}

שטח המשולש CBECBE גדול פי 1615\frac{16}{15} משטח המשולש ABCABC.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — קוטר, מיתר ומשיק במעגל

Exercice 22

א. הראה כי ∠BAD=90∘−α\angle BAD = 90^\circ - \alpha.

  • ABAB קוטר במעגל
  • EDED משיק למעגל בנקודה DD
  • ∠ADE=α\angle ADE = \alpha

∠BAD=90∘−α\angle BAD = 90^\circ - \alpha

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  2. ∠ABD=α\angle ABD = \alpha — L'angle (זווית) entre une tangente (משיק) et une corde (מיתר) est égal à l'angle inscrit (היקפית) qui intercepte la corde (מיתר) de l'autre côté
  3. ∠BAD=90∘−α\angle BAD = 90^\circ - \alpha — סכום הזוויות במשולש ABDABD הוא 180∘180^\circ

Corrigé :

∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ

זווית היקפית על הקוטר ABAB

∠ABD=∠ADE=α\begin{aligned}\angle ABD &= \angle ADE \\ &= \alpha\end{aligned}

זווית בין משיק למיתר ADAD

∠BAD=180∘−90∘−α=90∘−α\begin{aligned}\angle BAD &= 180^\circ - 90^\circ - \alpha \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ABDABD

∠BAD=90∘−α\angle BAD = 90^\circ - \alpha.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

נתון כי ED=FDED = FD. ב. הבע באמצעות α\alpha את גודל ∠CDA\angle CDA.

  1. ∠CDA=90∘−2α\angle CDA = 90^\circ - 2\alpha
  2. ∠CDA=3α\angle CDA = 3\alpha
  3. ∠CDA=2α\angle CDA = 2\alpha
  4. ∠CDA=4α\angle CDA = 4\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ∠CDA=3α\angle CDA = 3\alpha

Corrigé :

∠DAE=180∘−(90∘−α)=90∘+α\begin{aligned}\angle DAE &= 180^\circ - (90^\circ - \alpha) \\ &= 90^\circ + \alpha\end{aligned}

זווית צמודה ל־∠BAD\angle BAD (סעיף א)

∠AED=180∘−α−(90∘+α)=90∘−2α\begin{aligned}\angle AED &= 180^\circ - \alpha - (90^\circ + \alpha) \\ &= 90^\circ - 2\alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש AEDAED

∠DFE=∠DEF=90∘−2α\begin{aligned}\angle DFE &= \angle DEF \\ &= 90^\circ - 2\alpha\end{aligned}

במשולש EDFEDF, ED=FDED = FD: מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות

∠EDF=180∘−2(90∘−2α)=4α\begin{aligned}\angle EDF &= 180^\circ - 2(90^\circ - 2\alpha) \\ &= 4\alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש EDFEDF

∠CDA=∠EDF−∠EDA=4α−α=3α\begin{aligned}\angle CDA &= \angle EDF - \angle EDA \\ &= 4\alpha - \alpha \\ &= 3\alpha\end{aligned}

FF על המיתר CDCD

∠CDA=3α\angle CDA = 3\alpha. המלכודת: 4α4\alpha היא כל הזווית EDFEDF, שכוללת גם את α\alpha.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

נתון כי ED=FDED = FD. ג. הבע באמצעות RR ו־α\alpha את שטח המשולש AFDAFD.

  1. SAFD=R2sin⁡2αtan⁡2αS_{AFD} = R^2 \sin^2\alpha \tan 2\alpha
  2. SAFD=R2sin⁡αsin⁡2αsin⁡3αS_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 2\alpha \sin 3\alpha
  3. SAFD=R2sin⁡3αtan⁡2αS_{AFD} = R^2 \sin 3\alpha \tan 2\alpha
  4. SAFD=R2sin⁡αsin⁡3αtan⁡2αS_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D SAFD=R2sin⁡αsin⁡3αtan⁡2αS_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha

Corrigé :

AD=2Rsin⁡αAD = 2R \sin\alpha

במשולש ישר הזווית ADBADB: AB=2RAB = 2R ו־∠ABD=α\angle ABD = \alpha (סעיף א)

∠FAD=90∘−α∠AFD=90∘−2α∠ADF=3α\begin{aligned}\angle FAD &= 90^\circ - \alpha \\ \quad \angle AFD &= 90^\circ - 2\alpha \\ \quad \angle ADF &= 3\alpha\end{aligned}

הזוויות במשולש AFDAFD (סעיפים א, ב)

DFsin⁡(90∘−α)=ADsin⁡(90∘−2α)⇒DF=2Rsin⁡αcos⁡αcos⁡2α=Rtan⁡2α\begin{aligned}\frac{DF}{\sin(90^\circ - \alpha)} &= \frac{AD}{\sin(90^\circ - 2\alpha)} \Rightarrow DF \\ &= \frac{2R \sin\alpha \cos\alpha}{\cos 2\alpha} \\ &= R \tan 2\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש AFDAFD, ו־2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha

SAFD=12⋅AD⋅DF⋅sin⁡3α=12⋅2Rsin⁡α⋅Rtan⁡2α⋅sin⁡3α\begin{aligned}S_{AFD} &= \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DF \cdot \sin 3\alpha \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2R\sin\alpha \cdot R\tan 2\alpha \cdot \sin 3\alpha\end{aligned}

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן

SAFD=R2sin⁡αsin⁡3αtan⁡2αS_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha

SAFD=R2sin⁡αsin⁡3αtan⁡2αS_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

נתון כי ED=FDED = FD. ד (1). הבע באמצעות α\alpha את יחס השטחים SAFDSAED\frac{S_{AFD}}{S_{AED}}.

  1. sin⁡3αsin⁡α\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}
  2. sin⁡3αcos⁡α\frac{\sin 3\alpha}{\cos\alpha}
  3. tan⁡2αtan⁡α\frac{\tan 2\alpha}{\tan\alpha}
  4. sin⁡αsin⁡3α\frac{\sin\alpha}{\sin 3\alpha}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A sin⁡3αsin⁡α\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}

Corrigé :

DF=DEDF = DE

נתון

SAFD=12⋅AD⋅DF⋅sin⁡3αSAED=12⋅AD⋅DE⋅sin⁡α\begin{aligned}S_{AFD} &= \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DF \cdot \sin 3\alpha \\ \quad S_{AED} &= \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DE \cdot \sin\alpha\end{aligned}

∠ADF=3α\angle ADF = 3\alpha (סעיף ב), ∠ADE=α\angle ADE = \alpha

SAFDSAED=sin⁡3αsin⁡α\frac{S_{AFD}}{S_{AED}} = \frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}

ADAD ו־DF=DEDF = DE מצטמצמים

SAFDSAED=sin⁡3αsin⁡α\frac{S_{AFD}}{S_{AED}} = \frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} (ובצורה אחרת: 1+2cos⁡2α1 + 2\cos 2\alpha).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

נתון כי ED=FDED = FD. ד (2). נתון כי SAFDSAED=1+3\frac{S_{AFD}}{S_{AED}} = 1 + \sqrt{3}. מצא את α\alpha.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

sin⁡3α=sin⁡(2α+α)=sin⁡2αcos⁡α+cos⁡2αsin⁡α=sin⁡α (2cos⁡2α+cos⁡2α)\begin{aligned}\sin 3\alpha &= \sin(2\alpha + \alpha) \\ &= \sin 2\alpha \cos\alpha + \cos 2\alpha \sin\alpha \\ &= \sin\alpha \, (2\cos^2\alpha + \cos 2\alpha)\end{aligned}

סינוס של סכום, ו־sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha

sin⁡3αsin⁡α=2cos⁡2α+cos⁡2α=1+2cos⁡2α\begin{aligned}\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} &= 2\cos^2\alpha + \cos 2\alpha \\ &= 1 + 2\cos 2\alpha\end{aligned}

2cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha = 1 + \cos 2\alpha

1+2cos⁡2α=1+3⇒cos⁡2α=32\begin{aligned}1 + 2\cos 2\alpha &= 1 + \sqrt{3} \Rightarrow \cos 2\alpha \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

לפי סעיף ד (1)

2α=30∘⇒α=15∘\begin{aligned}2\alpha &= 30^\circ \Rightarrow \alpha \\ &= 15^\circ\end{aligned}

במשולש AEDAED הזווית 90∘−2α90^\circ - 2\alpha חיובית, ולכן 0∘<2α<90∘0^\circ < 2\alpha < 90^\circ

α=15∘\alpha = 15^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Question 6 — fonction (פונקציה) rationnelle avec paramètre (פרמטר)

Exercice 27

א. הבע את תשובותיך באמצעות mm, אם יש צורך. א (1). מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. x≠mx \neq m
  2. x>m3x > \sqrt[3]{m}
  3. x≠m3x \neq \sqrt[3]{m}
  4. x≠±mx \neq \pm\sqrt{m}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x≠m3x \neq \sqrt[3]{m}

Corrigé :

(x3−m)2≠0(x^3 - m)^2 \neq 0

המכנה אינו יכול להיות אפס

x3≠m⇒x≠m3x^3 \neq m \Rightarrow x \neq \sqrt[3]{m}

לשורש שלישי יש ערך אחד בלבד

תחום ההגדרה: x≠m3x \neq \sqrt[3]{m}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 28

א. הבע את תשובותיך באמצעות mm, אם יש צורך. א (2). מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x) המאונכות לצירים.

  1. x=mx = m ו־y=0y = 0
  2. x=m3x = \sqrt[3]{m} ו־y=0y = 0
  3. x=m3x = \sqrt[3]{m} בלבד
  4. x=m3x = \sqrt[3]{m} ו־y=1y = 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x=m3x = \sqrt[3]{m} ו־y=0y = 0

Corrigé :

x=m3x = \sqrt[3]{m}

המכנה מתאפס, והמונה x2x^2 אינו מתאפס שם (כי m>0m > 0)

x→±∞: x2(x3−m)2→0x \to \pm\infty: \ \frac{x^2}{(x^3 - m)^2} \to 0

מעלת המונה 22 קטנה ממעלת המכנה 66

אסימפטוטה אנכית x=m3x = \sqrt[3]{m}, ואסימפטוטה אופקית y=0y = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 29

ידוע כי לפונקציה f(x)f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=(−1)x = (-1). ב. מצא את הערך של mm.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=2x(x3−m)2−x2⋅2(x3−m)⋅3x2(x3−m)4f'(x) = \frac{2x(x^3 - m)^2 - x^2 \cdot 2(x^3 - m) \cdot 3x^2}{(x^3 - m)^4}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

f′(x)=2x[(x3−m)−3x3](x3−m)3=−2x(2x3+m)(x3−m)3\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x\left[(x^3 - m) - 3x^3\right]}{(x^3 - m)^3} \\ &= \frac{-2x(2x^3 + m)}{(x^3 - m)^3}\end{aligned}

מוציאים את הגורם 2x(x3−m)2x(x^3 - m) ומצמצמים

f′(−1)=0⇒2⋅(−1)3+m=0\begin{aligned}f'(-1) &= 0 \Rightarrow 2 \cdot (-1)^3 + m \\ &= 0\end{aligned}

בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת

m=2m = 2

m=2m = 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 30

ידוע כי לפונקציה f(x)f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=(−1)x = (-1). הצב בפונקציה f(x)f(x) את הערך של mm שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ג. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבע את סוגן.

(( ____ ,, ____ )) ו־(( ____ ,, ____ )) (משמאל לימין)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( -1 ,, 0.1111 )) ו־(( 0 ,, 0 )) (משמאל לימין)

Corrigé :

f′(x)=−4x(x3+1)(x3−2)3f'(x) = \frac{-4x(x^3 + 1)}{(x^3 - 2)^3}

מציבים m=2m = 2 בנגזרת מסעיף ב

f′(x)=0⇒x=0 או x3=−1⇒x=−1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \text{או} \ x^3 \\ &= -1 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}
x<−1:f′>0; −1<x<0:f′<0; 0<x<23:f′>0x < -1: f' > 0; \ -1 < x < 0: f' < 0; \ 0 < x < \sqrt[3]{2}: f' > 0

טבלת סימנים, והמכנה שלילי בתחום x<23x < \sqrt[3]{2}

f(−1)=1(−3)2=19f(0)=0\begin{aligned}f(-1) &= \frac{1}{(-3)^2} \\ &= \frac{1}{9} \\ \quad f(0) &= 0\end{aligned}

מקסימום (−1,19)\left(-1, \frac{1}{9}\right) ומינימום (0,0)(0, 0).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 31

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

ידוע כי לפונקציה f(x)f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=(−1)x = (-1). הצב בפונקציה f(x)f(x) את הערך של mm שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחר את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. גרף IV
  2. גרף I
  3. גרף III
  4. גרף II
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף II

Corrigé :

f(x)=x2(x3−2)2≥0f(x) = \frac{x^2}{(x^3 - 2)^2} \ge 0

המונה והמכנה אינם שליליים: הגרף אינו יורד מתחת לציר ה־xx

x=23≈1.26y=0\begin{aligned}x &= \sqrt[3]{2} \approx 1.26 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות מסעיף א, מימין לציר ה־yy

↗(−1,19)↘(0,0)↗+∞ ∣ +∞↘0\nearrow \left(-1, \tfrac{1}{9}\right) \searrow (0, 0) \nearrow +\infty \ \big| \ +\infty \searrow 0

מסעיף ג

גרף II: מקסימום נמוך ב־x=−1x = -1, נגיעה בראשית, עלייה אל האסימפטוטה x=23x = \sqrt[3]{2}, וענף ימני שיורד מ־+∞+\infty אל y=0y = 0. גרף IV הוא −f(x)-f(x), וגרפים I ו־III הם השיקופים שבהם האסימפטוטה משמאל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 32

ידוע כי לפונקציה f(x)f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=(−1)x = (-1). הצב בפונקציה f(x)f(x) את הערך של mm שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ה. נתונה הפונקציה g(x)=k⋅f(x)g(x) = k \cdot f(x),‏ kk הוא פרמטר שלילי. ה (1). סרטט סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה g(x)g(x). בחר את התיאור שמתאים לסקיצה.

  1. הגרף אינו עולה מעל ציר ה־xx: מקסימום ב־x=−1x = -1 ומינימום ב־(0,0)(0, 0)
  2. הגרף מתחת לציר ה־xx, והאסימפטוטה האנכית שלו היא x=−23x = -\sqrt[3]{2}
  3. הגרף אינו עולה מעל ציר ה־xx: מינימום ב־x=−1x = -1, מקסימום ב־(0,0)(0, 0), ירידה אל −∞-\infty ליד האסימפטוטה x=23x = \sqrt[3]{2}, וענף ימני שעולה מ־−∞-\infty אל y=0y = 0
  4. הגרף כמו גרף f(x)f(x), מתוח לאורך ציר ה־yy: מקסימום ב־x=−1x = -1 ומינימום ב־(0,0)(0, 0), מעל ציר ה־xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C הגרף אינו עולה מעל ציר ה־xx: מינימום ב־x=−1x = -1, מקסימום ב־(0,0)(0, 0), ירידה אל −∞-\infty ליד האסימפטוטה x=23x = \sqrt[3]{2}, וענף ימני שעולה מ־−∞-\infty אל y=0y = 0

Corrigé :

g(x)=k⋅f(x)k<0\begin{aligned}g(x) &= k \cdot f(x) \\ \quad k < 0\end{aligned}

כל ערך של ff מוכפל במספר שלילי: הגרף משתקף סביב ציר ה־xx (ונמתח או מתכווץ)

g(x)≤0g(x) \le 0

כי f(x)≥0f(x) \ge 0

x=23y=0\begin{aligned}x &= \sqrt[3]{2} \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות אינן משתנות

(−1,k9),(0,0)\left(-1, \tfrac{k}{9}\right), \quad (0, 0)

סוג הקיצון מתהפך: מינימום ב־x=−1x = -1, מקסימום ב־(0,0)(0, 0)

הגרף של gg הוא שיקוף של גרף ff סביב ציר ה־xx: מינימום ב־x=−1x = -1 ומקסימום בראשית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 33

ידוע כי לפונקציה f(x)f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=(−1)x = (-1). הצב בפונקציה f(x)f(x) את הערך של mm שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ה. נתונה הפונקציה g(x)=k⋅f(x)g(x) = k \cdot f(x),‏ kk הוא פרמטר שלילי. ה (2). דרך נקודת הקיצון השמאלית של g(x)g(x) מעבירים אנך לציר ה־xx. נתון כי השטח המוגבל על ידי האנך, על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x) ועל ידי ציר ה־xx הוא 11 (השטח שמימין לאנך). מצא את הערך של kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -18

Corrigé :

x=−1x = -1

האנך עובר בנקודת הקיצון השמאלית

S=∫−10(0−g(x))dx=−k∫−10x2(x3−2)2 dx\begin{aligned}S &= \int_{-1}^{0} \left(0 - g(x)\right)dx \\ &= -k\int_{-1}^{0} \frac{x^2}{(x^3 - 2)^2}\,dx\end{aligned}

בתחום הזה g(x)≤0g(x) \le 0, והגרף פוגש את ציר ה־xx ב־x=0x = 0

∫x2(x3−2)2 dx=−13(x3−2)+C\int \frac{x^2}{(x^3 - 2)^2}\,dx = -\frac{1}{3(x^3 - 2)} + C

הנגזרת של x3−2x^3 - 2 היא 3x23x^2

[−13(x3−2)]−10=16−19=118\begin{aligned}\left[-\frac{1}{3(x^3 - 2)}\right]_{-1}^{0} &= \frac{1}{6} - \frac{1}{9} \\ &= \frac{1}{18}\end{aligned}
−k18=1⇒k=−18\begin{aligned}-\frac{k}{18} &= 1 \Rightarrow k \\ &= -18\end{aligned}

k=−18k = -18.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 7 — פונקציית שורש

Exercice 34

א (1). מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

x≤x \le ____ או x≥x \ge ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x≤x \le 0 או x≥x \ge 2

Corrigé :

x2−2x≥0x^2 - 2x \ge 0

הביטוי שבתוך השורש אינו שלילי

x(x−2)≥0⇒x≤0 או x≥2x(x - 2) \ge 0 \Rightarrow x \le 0 \ \text{או} \ x \ge 2

פרבולה ששורשיה 00 ו־22, פתוחה כלפי מעלה

תחום ההגדרה: x≤0x \le 0 או x≥2x \ge 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 35

א (2). מצא את תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

  1. כל xx שונה מ־00 ומ־22
  2. x<0x < 0 או x>2x > 2
  3. x≤0x \le 0 או x≥2x \ge 2
  4. 0<x<20 < x < 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x<0x < 0 או x>2x > 2

Corrigé :

f′(x)=3+2⋅2x−22x2−2x=3+2x−2x2−2x\begin{aligned}f'(x) &= 3 + 2 \cdot \frac{2x - 2}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \\ &= 3 + \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}}\end{aligned}

נגזרת של שורש

x2−2x>0x^2 - 2x > 0

השורש נמצא עכשיו במכנה: אי־שוויון חזק

תחום ההגדרה של f′(x)f'(x): x<0x < 0 או x>2x > 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 36

א (3). מצא את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

אנכיות (משמאל לימין): x=x = ____ , x=x = ____ ; אופקיות: y=y = ____ (כאשר x→−∞x \to -\infty) , y=y = ____ (כאשר x→∞x \to \infty)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אנכיות (משמאל לימין): x=x = 0 , x=x = 2 ; אופקיות: y=y = 1 (כאשר x→−∞x \to -\infty) , y=y = 5 (כאשר x→∞x \to \infty)

Corrigé :

x→0−: 2x−2x2−2x→−20+=−∞x \to 0^-: \ \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}} \to \frac{-2}{0^+} = -\infty

המכנה מתאפס והמונה לא

x→2+: 2x−2x2−2x→20+=+∞x \to 2^+: \ \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}} \to \frac{2}{0^+} = +\infty
x2−2x=∣x∣1−2x\sqrt{x^2 - 2x} = |x|\sqrt{1 - \tfrac{2}{x}}

מוציאים x2x^2 מן השורש

x→∞:f′(x)→3+2=5;x→−∞:f′(x)→3−2=1\begin{aligned}x \to \infty: f'(x) \to 3 + 2 &= 5; \quad x \to -\infty: f'(x) \to 3 - 2 \\ &= 1\end{aligned}

עבור x<0x < 0, ∣x∣=−x|x| = -x

אסימפטוטות אנכיות x=0x = 0 ו־x=2x = 2; אסימפטוטות אופקיות y=1y = 1 (משמאל) ו־y=5y = 5 (מימין).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 37

א (4). מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) עם ציר ה־xx. בתשובתך דייק שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

(( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( -0.34 ,, 0 ))

Corrigé :

3+2x−2x2−2x=0⇒2x−2=−3x2−2x\begin{aligned}3 + \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}} &= 0 \Rightarrow 2x - 2 \\ &= -3\sqrt{x^2 - 2x}\end{aligned}
2x−2<0⇒x<12x - 2 < 0 \Rightarrow x < 1

אגף ימין אינו חיובי: רק x<0x < 0 מן התחום מתאים

4(x−1)2=9(x2−2x)⇒5x2−10x−4=0\begin{aligned}4(x - 1)^2 &= 9(x^2 - 2x) \Rightarrow 5x^2 - 10x - 4 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

x=1±35:x≈2.34 x≈−0.34\begin{aligned}x &= 1 \pm \frac{3}{\sqrt{5}}: \quad x \approx 2.34 \\ \ x \approx -0.34\end{aligned}

הפתרון 2.342.34 נפסל: הוא גדול מ־11, ואינו מקיים את המשוואה לפני ההעלאה בריבוע

נקודת החיתוך: (−0.34,0)(-0.34, 0).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 38

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

א (5). סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), אם ידוע כי לפונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) אין נקודות קיצון. בחר את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. גרף I
  2. גרף II
  3. גרף IV
  4. גרף III
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C גרף IV

Corrigé :

x<0: y=1↘(−0.34,0)↘−∞x < 0: \ y = 1 \searrow (-0.34, 0) \searrow -\infty

אין קיצון, ולכן הענף השמאלי יורד מ־y=1y = 1 דרך נקודת החיתוך אל האסימפטוטה x=0x = 0

x>2: +∞↘y=5x > 2: \ +\infty \searrow y = 5

הענף הימני יורד מ־+∞+\infty ומתקרב ל־y=5y = 5 מלמעלה

גרף IV. בגרף I הענפים עולים, והאסימפטוטה y=5y = 5 משמאל; בגרף II הענף השמאלי אינו חותך את ציר ה־xx; בגרף III הענף הימני יוצא מ־−∞-\infty.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 39

ב (1). מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבע את סוגן.

(( ____ ,, ____ )) , (( ____ ,, ____ )) ו־(( ____ ,, ____ )) (משמאל לימין)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( -0.34 ,, 0.76 )) , (( 0 ,, 0 )) ו־(( 2 ,, 6 )) (משמאל לימין)

Corrigé :

x<−0.34:f′>0;−0.34<x<0:f′<0;x>2:f′>0x < -0.34: f' > 0; \quad -0.34 < x < 0: f' < 0; \quad x > 2: f' > 0

מן הסקיצה של f′(x)f'(x)

f(−0.34)=3⋅(−0.34)+2(−0.34)2+0.68≈0.76f(-0.34) = 3 \cdot (-0.34) + 2\sqrt{(-0.34)^2 + 0.68} \approx 0.76

בערך המדויק x=1−35x = 1 - \frac{3}{\sqrt{5}} מקבלים f=3−5f = 3 - \sqrt{5}

f(0)=0f(2)=6\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(2) &= 6\end{aligned}

נקודות הקצה של תחום ההגדרה

מקסימום (−0.34,0.76)(-0.34, 0.76), מינימום קצה (0,0)(0, 0) (הפונקציה יורדת אליה), ומינימום קצה (2,6)(2, 6) (הפונקציה עולה ממנה).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 40

ב (2). סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחר את התיאור שמתאים לסקיצה.

  1. שני ענפים שמתקרבים לאסימפטוטות האנכיות x=0x = 0 ו־x=2x = 2
  2. ענף שמאלי שעולה מ־−∞-\infty עד מקסימום (−0.34,0.76)(-0.34, 0.76) ויורד אל (0,0)(0, 0), שם הוא נגמר; ענף ימני שמתחיל ב־(2,6)(2, 6) ועולה אל ∞\infty; בין x=0x = 0 ל־x=2x = 2 אין גרף
  3. ענף שמאלי שיורד מ־∞\infty עד מינימום (−0.34,0.76)(-0.34, 0.76) ועולה אל (0,0)(0, 0); ענף ימני שמתחיל ב־(2,6)(2, 6) ועולה אל ∞\infty
  4. גרף רציף: עולה עד (−0.34,0.76)(-0.34, 0.76), יורד אל (0,0)(0, 0), ועולה דרך (2,6)(2, 6) אל ∞\infty
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ענף שמאלי שעולה מ־−∞-\infty עד מקסימום (−0.34,0.76)(-0.34, 0.76) ויורד אל (0,0)(0, 0), שם הוא נגמר; ענף ימני שמתחיל ב־(2,6)(2, 6) ועולה אל ∞\infty; בין x=0x = 0 ל־x=2x = 2 אין גרף

Corrigé :

x→−∞: f(x)=3x+2∣x∣1−2x→−∞x \to -\infty: \ f(x) = 3x + 2|x|\sqrt{1 - \tfrac{2}{x}} \to -\infty

עבור x<0x < 0 מקבלים בערך 3x−2x=x3x - 2x = x

↗(−0.34,0.76)↘(0,0)∣(2,6)↗∞\nearrow (-0.34, 0.76) \searrow (0, 0) \quad \big| \quad (2, 6) \nearrow \infty

מסעיף ב (1); אין גרף ב־0<x<20 < x < 2

f(0)=0 f(2)=6\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ f(2) &= 6\end{aligned}

ff מוגדרת בנקודות הקצה: אין לה אסימפטוטה אנכית

שני ענפים: השמאלי עולה למקסימום ויורד לראשית, הימני מתחיל ב־(2,6)(2, 6) ועולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 41

ג. האם ייתכן שישר שמשוואתו y=4x+cy = 4x + c (cc פרמטר) ישיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)? נמק.

  1. כן: לכל ערך של cc הישר חותך את גרף הפונקציה
  2. לא: שיפוע המשיק הוא f′(x)f'(x), וערכי f′(x)f'(x) הם f′(x)<1f'(x) < 1 או f′(x)>5f'(x) > 5; השיפוע 44 אינו ביניהם
  3. כן: בענף הימני f′(x)f'(x) מקבל את הערך 44
  4. לא: כי הפונקציה f(x)f(x) אינה מוגדרת בתחום 0<x<20 < x < 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B לא: שיפוע המשיק הוא f′(x)f'(x), וערכי f′(x)f'(x) הם f′(x)<1f'(x) < 1 או f′(x)>5f'(x) > 5; השיפוע 44 אינו ביניהם

Corrigé :

f′(x0)=4f'(x_0) = 4

הישר משיק לגרף רק אם יש נקודה x0x_0 שבה שיפוע המשיק, f′(x0)f'(x_0), שווה ל־44

x<0: f′(x)<1;x>2: f′(x)>5x < 0: \ f'(x) < 1; \quad x > 2: \ f'(x) > 5

מן הסקיצה של f′(x)f'(x): כל ענף יורד בין האסימפטוטות שלו

f′(x)=4 אין פתרוןf'(x) = 4 \ \text{אין פתרון}

לא ייתכן: אין נקודה שבה שיפוע המשיק הוא 44.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 8 — בעיית קיצון: סכר בין שתי תעלות

Exercice 42

א. הבע באמצעות bb, aa ו־xx את אורך הסכר ABAB.

  1. AB=a+bsin⁡xAB = \frac{a + b}{\sin x}
  2. AB=acos⁡x+bsin⁡xAB = a\cos x + b\sin x
  3. AB=asin⁡x+bcos⁡xAB = \frac{a}{\sin x} + \frac{b}{\cos x}
  4. AB=acos⁡x+bsin⁡xAB = \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D AB=acos⁡x+bsin⁡xAB = \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}

Corrigé :

0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}

xx היא זווית חדה

∠ACE=x\angle ACE = x

נעביר מ־AA אנך AEAE לישר DCDC: הזווית בין CACA לבין המשך DCDC שווה ל־xx (זוויות קודקודיות)

cos⁡x=aAC⇒AC=acos⁡x\begin{aligned}\cos x &= \frac{a}{AC} \Rightarrow AC \\ &= \frac{a}{\cos x}\end{aligned}

במשולש ACEACE ישר הזווית, הניצב CECE הוא רוחב התעלה הראשית aa

sin⁡x=bBC⇒BC=bsin⁡x\begin{aligned}\sin x &= \frac{b}{BC} \Rightarrow BC \\ &= \frac{b}{\sin x}\end{aligned}

נעביר מ־BB אנך לישר DCDC: אורכו רוחב התעלה המשנית bb, והוא מול הזווית xx

AB=AC+CB=acos⁡x+bsin⁡x\begin{aligned}AB &= AC + CB \\ &= \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}\end{aligned}

AB=acos⁡x+bsin⁡xAB = \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}, בתחום 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 43

נתון כי a=2ba = 2b. ב. מצא את xx שבעבורו אורך הסכר ABAB יהיה מינימלי.

x≈x \approx ____ רדיאנים (בערך ____°)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x≈x \approx 0.671 רדיאנים (בערך 38.44°)

Corrigé :

L(x)=2bcos⁡x+bsin⁡x0<x<π2\begin{aligned}L(x) &= \frac{2b}{\cos x} + \frac{b}{\sin x} \\ \quad 0 < x < \frac{\pi}{2}\end{aligned}

מציבים a=2ba = 2b

L′(x)=2bsin⁡xcos⁡2x−bcos⁡xsin⁡2xL'(x) = \frac{2b\sin x}{\cos^2 x} - \frac{b\cos x}{\sin^2 x}
L′(x)=0  ⟺  2sin⁡3x=cos⁡3x  ⟺  tan⁡3x=12\begin{aligned}L'(x) &= 0 \iff 2\sin^3 x \\ &= \cos^3 x \iff \tan^3 x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

b>0b > 0, ומכפילים ב־sin⁡2xcos⁡2x>0\sin^2 x \cos^2 x > 0

tan⁡x=0.53≈0.794⇒x≈0.671\tan x = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.794 \Rightarrow x \approx 0.671

בתחום יש פתרון אחד

x=0.5:L′<0;x=1:L′>0\begin{aligned}x &= 0.5: L' < 0; \quad x \\ &= 1: L' > 0\end{aligned}

LL יורדת ואחר כך עולה: מינימום

x≈0.671x \approx 0.671 רדיאנים, כלומר בערך 38.44°38.44°.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 44

נתון כי a=2ba = 2b. ג. ידוע כי האורך המינימלי של הסכר הוא 88. מצא את bb.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.922

Corrigé :

L(0.671)=b(2cos⁡0.671+1sin⁡0.671)≈4.162 bL(0.671) = b\left(\frac{2}{\cos 0.671} + \frac{1}{\sin 0.671}\right) \approx 4.162\,b

מציבים את xx שמצאנו בסעיף ב

4.162 b=8⇒b≈1.9224.162\,b = 8 \Rightarrow b \approx 1.922

b≈1.922b \approx 1.922.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe