בגרות 35571 — קיץ 2022

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 035571 (5 יחידות לימוד, שאלון ראשון), קיץ תשפ״ב, 2022. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. ענו על חמש מן השאלות 1–8 (לכל שאלה – 20 נקודות). פרק ראשון – "שאלות קצרות", סדרות והסתברות: שאלות 1–3. פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור: שאלות 4–5. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות שאלות 2, 4 ו־8 של הבחינה, כדי שתוכלו להתאמן בהן. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש להוכיח הפך כאן לבניית הוכחה, סעיף שמבקש להביע או לנמק הפך לבחירה בין תשובות, והפתרון המלא מופיע בסוף.

Exercices

שאלה 2 — סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

Exercice 1

א (1). הביעו את qq באמצעות rr.

q=q = ____ ⋅r\cdot r

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : q=q = 3 ⋅r\cdot r

Corrigé :

b1=a1b2b3=a2\begin{aligned}b_1 &= a_1 \\ \quad b_2 \\ \quad b_3 &= a_2\end{aligned}

האיבר הנוסף נכנס בין a1a_1 ל־a2a_2

b3=b1⋅q2b_3 = b_1 \cdot q^2

נוסחת האיבר הכללי בסדרה IIII

a2=a1⋅9r2a_2 = a_1 \cdot 9r^2

נוסחת האיבר הכללי בסדרה II

q2=9r2q^2 = 9r^2

משווים: b3=a2b_3 = a_2 ו־b1=a1b_1 = a_1

q=3rאוq=−3r\begin{aligned}q &= 3r \quad \text{או} \quad q \\ &= -3r\end{aligned}

מוציאים שורש

q=3rq = 3r

סדרה IIII יורדת, ולכן q>0q > 0

q=3rq = 3r.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

א (2). הסבירו מדוע שתי הסדרות II ו־IIII מתכנסות.

  1. כי 9r2>3r9r^2 > 3r, ולכן סדרה II יורדת מהר יותר.
  2. כי האיבר הראשון של שתי הסדרות שווה.
  3. כי 0<r<130 < r < \frac{1}{3}, ולכן 0<9r2<10 < 9r^2 < 1 וגם 0<3r<10 < 3r < 1: המנה של כל סדרה בין −1-1 ל־11, ושונה מ־00.
  4. כי שתי הסדרות יורדות, וכל סדרה הנדסית יורדת מתכנסת.
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כי 0<r<130 < r < \frac{1}{3}, ולכן 0<9r2<10 < 9r^2 < 1 וגם 0<3r<10 < 3r < 1: המנה של כל סדרה בין −1-1 ל־11, ושונה מ־00.

Corrigé :

0<r<130 < r < \frac{1}{3}

נתון

0<3r<10 < 3r < 1

כופלים ב־33

0<9r2<10 < 9r^2 < 1

מעלים בריבוע: שני האגפים חיוביים

∣q∣<1, q≠0ו־∣9r2∣<1, 9r2≠0|q| < 1, \ q \neq 0 \quad \text{ו־} \quad |9r^2| < 1, \ 9r^2 \neq 0

תנאי ההתכנסות של סדרה הנדסית אין־סופית

המנה של כל אחת מהסדרות נמצאת בין 00 ל־11, ולכן שתיהן מתכנסות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון כי סכום סדרה IIII גדול פי 43\frac{4}{3} מסכום סדרה II. ב. חשבו את qq.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3333

Corrigé :

SII=b11−qS_{II} = \frac{b_1}{1 - q}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

SI=a11−9r2=b11−q2\begin{aligned}S_{I} &= \frac{a_1}{1 - 9r^2} \\ &= \frac{b_1}{1 - q^2}\end{aligned}

a1=b1a_1 = b_1 ו־9r2=q29r^2 = q^2

b11−q=43⋅b11−q2\frac{b_1}{1 - q} = \frac{4}{3} \cdot \frac{b_1}{1 - q^2}

נתון: SII=43SIS_{II} = \frac{4}{3} S_{I}

11−q=43⋅1(1−q)(1+q)\frac{1}{1 - q} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{(1 - q)(1 + q)}

מחלקים ב־b1≠0b_1 \neq 0 ומפרקים 1−q21 - q^2

1=43⋅11+q1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1 + q}

כופלים ב־1−q≠01 - q \neq 0

1+q=431 + q = \frac{4}{3}

כופלים ב־1+q1 + q

q=13q = \frac{1}{3}

מחסירים 11

q=13q = \frac{1}{3} (ולכן r=19r = \frac{1}{9}).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתון כי סכום סדרה IIII גדול פי 43\frac{4}{3} מסכום סדרה II. נתון כי סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה IIII הוא 1212. ג. מצאו את סכום כל האיברים של סדרה IIII במקומות שמתחלקים ב־55 (b5,b10,b15,… )(b_5, b_{10}, b_{15}, \dots).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3967

Corrigé :

b2,b4,b6,…b_2, b_4, b_6, \dots

האיברים במקומות הזוגיים: סדרה הנדסית

איבר ראשון b1q,מנה q2\text{איבר ראשון } b_1 q, \quad \text{מנה } q^2

b2=b1qb_2 = b_1 q, ובין שני איברים זוגיים יש שני צעדים

b1q1−q2=12\frac{b_1 q}{1 - q^2} = 12

נתון

b1⋅1389=12\frac{b_1 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{8}{9}} = 12

מציבים q=13q = \frac{1}{3}

38b1=12\frac{3}{8} b_1 = 12

מפשטים

b1=32b_1 = 32

כופלים ב־83\frac{8}{3}

b5=b1q4=32⋅181=3281\begin{aligned}b_5 &= b_1 q^4 \\ &= 32 \cdot \frac{1}{81} \\ &= \frac{32}{81}\end{aligned}

האיבר הראשון של הסדרה החדשה

מנה q5=1243\text{מנה } q^5 = \frac{1}{243}

בין b5b_5 ל־b10b_{10} יש חמישה צעדים

32811−1243=3281⋅243242\frac{\frac{32}{81}}{1 - \frac{1}{243}} = \frac{32}{81} \cdot \frac{243}{242}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

=96242=48121≈0.397= \frac{96}{242} = \frac{48}{121} \approx 0.397

מצמצמים

הסכום הוא 48121≈0.397\frac{48}{121} \approx 0.397.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון כי סכום סדרה IIII גדול פי 43\frac{4}{3} מסכום סדרה II. נתון כי סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה IIII הוא 1212. ד. מצאו בסדרה IIII את היחס בין האיבר החמישי לבין סכום כל האיברים שאחרי איבר זה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

b6+b7+b8+…b_6 + b_7 + b_8 + \dots

האיברים שאחרי b5b_5: סדרה הנדסית שמנתה qq

=b61−q=b5q1−q= \frac{b_6}{1 - q} = \frac{b_5 q}{1 - q}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית, b6=b5qb_6 = b_5 q

b5b5q1−q=1−qq\frac{b_5}{\frac{b_5 q}{1 - q}} = \frac{1 - q}{q}

מחלקים ומצמצמים ב־b5≠0b_5 \neq 0

=2313=2= \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2

מציבים q=13q = \frac{1}{3}

היחס הוא 22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ה. הוכיחו כי בכל סדרה הנדסית מתכנסת היחס בין איבר כלשהו לבין סכום כל האיברים שאחריו אינו תלוי במיקום של האיבר בסדרה.

  • c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \dots סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת שמנתה qq
  • 0<∣q∣<10 < |q| < 1 , c1≠0c_1 \neq 0
  • cnc_n איבר כלשהו בסדרה

היחס cncn+1+cn+2+…\frac{c_n}{c_{n+1} + c_{n+2} + \dots} אינו תלוי ב־nn

Voir la réponse et le corrigé
  1. cn+1=cn⋅qc_{n+1} = c_n \cdot q — הגדרת סדרה הנדסית
  2. cn+1+cn+2+⋯=cnq1−qc_{n+1} + c_{n+2} + \dots = \frac{c_n q}{1 - q} — סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת שאיברה הראשון cn+1c_{n+1} ומנתה qq
  3. cncn+1+cn+2+…=1−qq\frac{c_n}{c_{n+1} + c_{n+2} + \dots} = \frac{1 - q}{q} — מחלקים ומצמצמים ב־cn≠0c_n \neq 0
  4. היחס cncn+1+cn+2+…\frac{c_n}{c_{n+1} + c_{n+2} + \dots} אינו תלוי ב־nn — הביטוי 1−qq\frac{1 - q}{q} תלוי במנה qq בלבד

Corrigé :

cn+1=cnqc_{n+1} = c_n q

הגדרת סדרה הנדסית

cn+1+cn+2+⋯=cnq1−qc_{n+1} + c_{n+2} + \dots = \frac{c_n q}{1 - q}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

cncnq1−q=1−qq\frac{c_n}{\frac{c_n q}{1 - q}} = \frac{1 - q}{q}

מצמצמים ב־cn≠0c_n \neq 0

1−qq\frac{1 - q}{q}

אין בו nn: היחס אינו תלוי במיקום

היחס שווה ל־1−qq\frac{1 - q}{q} לכל nn, ולכן אינו תלוי במיקום האיבר. בסדרה IIII זה היחס 22 של סעיף ד.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — מעגל, משיק ומשולשים דומים

Exercice 7

א. הביעו את כל זוויות המשולש ABGABG באמצעות α\alpha.

  1. ∠ABG=α\angle ABG = \alpha , ∠AGB=90∘−α\angle AGB = 90^\circ - \alpha , ∠BAG=90∘\angle BAG = 90^\circ
  2. ∠ABG=90∘−α\angle ABG = 90^\circ - \alpha , ∠AGB=α\angle AGB = \alpha , ∠BAG=90∘\angle BAG = 90^\circ
  3. ∠ABG=90∘+α\angle ABG = 90^\circ + \alpha , ∠AGB=90∘−α\angle AGB = 90^\circ - \alpha , ∠BAG=0∘\angle BAG = 0^\circ
  4. ∠ABG=90∘−α\angle ABG = 90^\circ - \alpha , ∠AGB=90∘−α\angle AGB = 90^\circ - \alpha , ∠BAG=2α\angle BAG = 2\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D ∠ABG=90∘−α\angle ABG = 90^\circ - \alpha , ∠AGB=90∘−α\angle AGB = 90^\circ - \alpha , ∠BAG=2α\angle BAG = 2\alpha

Corrigé :

∠DBC=90∘\angle DBC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר DCDC

∠ABC=∠BDC=α\begin{aligned}\angle ABC &= \angle BDC \\ &= \alpha\end{aligned}

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר

∠ABD=∠ABC+∠CBD=α+90∘\begin{aligned}\angle ABD &= \angle ABC + \angle CBD \\ &= \alpha + 90^\circ\end{aligned}

חיבור זוויות

∠ABG=180∘−(90∘+α)=90∘−α\begin{aligned}\angle ABG &= 180^\circ - (90^\circ + \alpha) \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

זוויות צמודות: DD, BB, GG על ישר אחד

∠DAG=90∘\angle DAG = 90^\circ

נתון: AG⊥ADAG \perp AD

∠AGB=180∘−90∘−α=90∘−α\begin{aligned}\angle AGB &= 180^\circ - 90^\circ - \alpha \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ADGADG

∠BAG=180∘−2(90∘−α)=2α\begin{aligned}\angle BAG &= 180^\circ - 2(90^\circ - \alpha) \\ &= 2\alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ABGABG

∠ABG=∠AGB=90∘−α\angle ABG = \angle AGB = 90^\circ - \alpha, ו־∠BAG=2α\angle BAG = 2\alpha. המשולש ABGABG שווה שוקיים: AB=AGAB = AG.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ב. הוכיחו: ABAC=DBBC\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{BC}.

  • ABAB משיק למעגל בנקודה BB
  • ADAD עובר דרך המרכז OO: DCDC קוטר
  • AG⊥ADAG \perp AD
  • DD, BB, GG על ישר אחד
  • ∠ADB=α\angle ADB = \alpha

ABAC=DBBC\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{BC}

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠BAC=∠DAB\angle BAC = \angle DAB — זווית משותפת
  2. ∠ABC=∠ADB=α\angle ABC = \angle ADB = \alpha — הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר
  3. △ABC∼△ADB\triangle ABC \sim \triangle ADB — משפט דמיון ז.ז.
  4. ACAB=BCDB\frac{AC}{AB} = \frac{BC}{DB} — במשולשים דומים יחס הצלעות המתאימות שווה
  5. ABAC=DBBC\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{BC} — היפוך שני האגפים של שוויון

Corrigé :

∠BAC=∠DAB\angle BAC = \angle DAB

angle (זווית) commun

∠ABC=∠ADB=α\begin{aligned}\angle ABC &= \angle ADB \\ &= \alpha\end{aligned}

זווית בין משיק למיתר

△ABC∼△ADB\triangle ABC \sim \triangle ADB

ז.ז.

ACAB=BCDB\frac{AC}{AB} = \frac{BC}{DB}

יחס צלעות מתאימות

ABAC=DBBC\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{BC}

היפוך שני האגפים

מהדמיון △ABC∼△ADB\triangle ABC \sim \triangle ADB נובע ABAC=DBBC\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{BC}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון: AC=12DCAC = \frac{1}{2}DC , AG=8AG = 8. ג. חשבו את RR.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.6188

Corrigé :

AB=AG=8\begin{aligned}AB &= AG \\ &= 8\end{aligned}

המשולש ABGABG שווה שוקיים (סעיף א)

DC=2RDC = 2R

DCDC קוטר

AC=12⋅2R=R\begin{aligned}AC &= \frac{1}{2} \cdot 2R \\ &= R\end{aligned}

נתון AC=12DCAC = \frac{1}{2}DC

AD=AC+CD=R+2R=3R\begin{aligned}AD &= AC + CD \\ &= R + 2R \\ &= 3R\end{aligned}

חיבור קטעים

ABAD=ACAB\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AB}

מהדמיון △ABC∼△ADB\triangle ABC \sim \triangle ADB (סעיף ב)

AB2=AC⋅ADAB^2 = AC \cdot AD

כפל בהצלבה

82=R⋅3R8^2 = R \cdot 3R

On remplace (מציבים)

3R2=643R^2 = 64
R2=643R^2 = \frac{64}{3}

מחלקים ב־33

R=83≈4.619R = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.619

מוציאים שורש, R>0R > 0

R=83≈4.619R = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.619.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון: AC=12DCAC = \frac{1}{2}DC , AG=8AG = 8. נסמן ב־SS את שטח המשולש BDCBDC. ד (1). הוכיחו: △ADG∼△BDC\triangle ADG \sim \triangle BDC.

  • ABAB משיק למעגל בנקודה BB
  • ADAD עובר דרך המרכז OO: DCDC קוטר
  • AG⊥ADAG \perp AD
  • DD, BB, GG על ישר אחד
  • ∠ADB=α\angle ADB = \alpha

△ADG∼△BDC\triangle ADG \sim \triangle BDC

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠ADG=∠BDC\angle ADG = \angle BDC — זווית משותפת
  2. ∠DAG=90∘\angle DAG = 90^\circ — נתון: AG⊥ADAG \perp AD
  3. ∠DBC=90∘\angle DBC = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  4. △ADG∼△BDC\triangle ADG \sim \triangle BDC — משפט דמיון ז.ז.

Corrigé :

∠ADG=∠BDC\angle ADG = \angle BDC

angle (זווית) commun

∠DAG=∠DBC=90∘\begin{aligned}\angle DAG &= \angle DBC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

נתון, וזווית היקפית על קוטר

△ADG∼△BDC\triangle ADG \sim \triangle BDC

ז.ז.

שתי זוויות שוות: △ADG∼△BDC\triangle ADG \sim \triangle BDC, כאשר A↔BA \leftrightarrow B, D↔DD \leftrightarrow D, G↔CG \leftrightarrow C.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתון: AC=12DCAC = \frac{1}{2}DC , AG=8AG = 8. נסמן ב־SS את שטח המשולש BDCBDC. ד (2). הביעו את שטח המשולש ADGADG באמצעות SS.

  1. SADG=3 SS_{ADG} = \sqrt{3}\,S
  2. SADG=2SS_{ADG} = 2S
  3. SADG=9SS_{ADG} = 9S
  4. SADG=3SS_{ADG} = 3S
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D SADG=3SS_{ADG} = 3S

Corrigé :

AD=3R=243=83\begin{aligned}AD &= 3R \\ &= \frac{24}{\sqrt{3}} \\ &= 8\sqrt{3}\end{aligned}

מסעיף ג

DBBC=ABAC=8R=3\begin{aligned}\frac{DB}{BC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{8}{R} \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

מסעיף ב

DB=3 BCDB = \sqrt{3}\,BC
DB2+BC2=DC2=4R2\begin{aligned}DB^2 + BC^2 &= DC^2 \\ &= 4R^2\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש BDCBDC

3BC2+BC2=25633BC^2 + BC^2 = \frac{256}{3}

On remplace (מציבים)

BC2=643BC^2 = \frac{64}{3}

מחלקים ב־44

DB2=3⋅643=64⇒DB=8\begin{aligned}DB^2 &= 3 \cdot \frac{64}{3} \\ &= 64 \Rightarrow DB \\ &= 8\end{aligned}
k=ADBD=838=3\begin{aligned}k &= \frac{AD}{BD} \\ &= \frac{8\sqrt{3}}{8} \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

יחס הדמיון (סעיף ד (1))

SADGS=k2=3\begin{aligned}\frac{S_{ADG}}{S} &= k^2 \\ &= 3\end{aligned}

יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון

SADG=3SS_{ADG} = 3S

SADG=3SS_{ADG} = 3S. המלכודת: 3S\sqrt{3}S — יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 8 — בעיית קיצון: משולש בין שני גרפים

Exercice 12

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x)f(x) ואת תחום ההגדרה של הפונקצייה g(x)g(x).

f(x)f(x): כל xx ; g(x)g(x): x≥x \geq ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(x)f(x): כל xx ; g(x)g(x): x≥x \geq 0

Corrigé :

f(x)=x3f(x) = x^3

פולינום: מוגדר לכל xx

g(x)=x3⇒x3≥0g(x) = \sqrt{x^3} \Rightarrow x^3 \geq 0

ביטוי שבתוך שורש ריבועי אינו שלילי

x3≥0  ⟺  x≥0x^3 \geq 0 \iff x \geq 0

לחזקה שלישית יש אותו סימן כמו לבסיס

f(x)f(x) מוגדרת לכל xx, ו־g(x)g(x) מוגדרת עבור x≥0x \geq 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

א (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x)f(x) עם גרף הפונקצייה g(x)g(x).

(( ____ ,, ____ )) ו־(( ____ ,, ____ )) (משמאל לימין)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 0 ,, 0 )) ו־(( 1 ,, 1 )) (משמאל לימין)

Corrigé :

x3=x3x≥0\begin{aligned}x^3 &= \sqrt{x^3} \\ \quad x \geq 0\end{aligned}

משווים את שתי הפונקציות בתחום ההגדרה של gg

(x3)2=x3⇒x3(x3−1)=0\begin{aligned}(x^3)^2 &= x^3 \Rightarrow x^3(x^3 - 1) \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע: שני האגפים אינם שליליים

x=0 או x=1\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 1\end{aligned}
f(0)=0f(1)=1\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(1) &= 1\end{aligned}

מציבים כדי לקבל את שיעור ה־yy

נקודות החיתוך: (0,0)(0, 0) ו־(1,1)(1, 1).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקצייה f(x)f(x), והנקודה BB נמצאת על גרף הפונקצייה g(x)g(x) כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה־xx. נתון כי שיעור ה־xx של הנקודה AA נמצא בין שיעורי ה־xx של נקודות החיתוך של הפונקצייה f(x)f(x) עם הפונקצייה g(x)g(x). נסמן ב־tt את שיעור ה־xx של הנקודה AA. tt הוא פרמטר. ב. הביעו באמצעות tt את אורך הקטע ABAB.

  1. AB=t2−t3AB = t^2 - t^3
  2. AB=t3−t2AB = t^3 - t^2
  3. AB=t−t2AB = t - t^2
  4. AB=t3−t3AB = \sqrt{t^3} - t^3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A AB=t2−t3AB = t^2 - t^3

Corrigé :

0<t<10 < t < 1

tt נמצא בין שיעורי ה־xx של נקודות החיתוך

A(t,t3)A(t, t^3)

AA על גרף ff

x3=t3⇒x3=t6⇒x=t2\begin{aligned}\sqrt{x^3} &= t^3 \Rightarrow x^3 \\ &= t^6 \Rightarrow x \\ &= t^2\end{aligned}

ל־BB אותו שיעור yy כמו ל־AA, כי ABAB מקביל לציר ה־xx

B(t2,t3)B(t^2, t^3)
t2>t3 כי 0<t<1t^2 > t^3 \ \text{כי} \ 0 < t < 1

BB מימין ל־AA

AB=t2−t3AB = t^2 - t^3

הפרש שיעורי ה־xx

AB=t2−t3AB = t^2 - t^3, בתחום 0<t<10 < t < 1. המלכודת: t3−t3\sqrt{t^3} - t^3 הוא הפרש שיעורי ה־yy של שני הגרפים, לא אורך קטע אופקי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקצייה f(x)f(x), והנקודה BB נמצאת על גרף הפונקצייה g(x)g(x) כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה־xx. נתון כי שיעור ה־xx של הנקודה AA נמצא בין שיעורי ה־xx של נקודות החיתוך של הפונקצייה f(x)f(x) עם הפונקצייה g(x)g(x). נסמן ב־tt את שיעור ה־xx של הנקודה AA. tt הוא פרמטר. ג. הנקודה OO היא ראשית הצירים. מצאו את השטח המקסימלי של המשולש OABOAB.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.03349

Corrigé :

h=t3h = t^3

הגובה מ־OO אל הקטע ABAB הוא המרחק של ABAB מציר ה־xx

S(t)=AB⋅h2=(t2−t3) t32=t5−t62\begin{aligned}S(t) &= \frac{AB \cdot h}{2} \\ &= \frac{(t^2 - t^3)\, t^3}{2} \\ &= \frac{t^5 - t^6}{2}\end{aligned}
S′(t)=5t4−6t52=t4(5−6t)2\begin{aligned}S'(t) &= \frac{5t^4 - 6t^5}{2} \\ &= \frac{t^4(5 - 6t)}{2}\end{aligned}

גוזרים

S′(t)=0⇒t=56\begin{aligned}S'(t) &= 0 \Rightarrow t \\ &= \frac{5}{6}\end{aligned}

t=0t = 0 מחוץ לתחום 0<t<10 < t < 1

0<t<56:S′>0;56<t<1:S′<00 < t < \frac{5}{6}: S' > 0; \quad \frac{5}{6} < t < 1: S' < 0

עלייה ואחר כך ירידה: מקסימום

S(56)=12(56)5⋅16=312593312≈0.0335\begin{aligned}S\left(\frac{5}{6}\right) &= \frac{1}{2}\left(\frac{5}{6}\right)^5 \cdot \frac{1}{6} \\ &= \frac{3125}{93312} \approx 0.0335\end{aligned}

On remplace (מציבים)

השטח המקסימלי הוא 312593312≈0.0335\frac{3125}{93312} \approx 0.0335, ב־t=56t = \frac{5}{6}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקצייה f(x)f(x), והנקודה BB נמצאת על גרף הפונקצייה g(x)g(x) כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה־xx. נתון כי שיעור ה־xx של הנקודה AA נמצא בין שיעורי ה־xx של נקודות החיתוך של הפונקצייה f(x)f(x) עם הפונקצייה g(x)g(x). נסמן ב־tt את שיעור ה־xx של הנקודה AA. tt הוא פרמטר. ד. האם השטח המקסימלי של המשולש OABOAB מתקבל כאשר אורך הקטע ABAB הוא מקסימלי? נמקו את התשובה.

  1. לא: ABAB מקסימלי ב־t=1t = 1
  2. לא: ABAB מקסימלי ב־t=23t = \frac{2}{3}, והשטח מקסימלי ב־t=56t = \frac{5}{6}
  3. כן: שטח משולש תלוי רק באורך הבסיס
  4. כן: שניהם מקסימליים ב־t=56t = \frac{5}{6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B לא: ABAB מקסימלי ב־t=23t = \frac{2}{3}, והשטח מקסימלי ב־t=56t = \frac{5}{6}

Corrigé :

AB(t)=t2−t3AB′(t)=2t−3t2=t(2−3t)\begin{aligned}AB(t) &= t^2 - t^3 \\ \quad AB'(t) &= 2t - 3t^2 \\ &= t(2 - 3t)\end{aligned}

גוזרים את אורך הקטע

AB′(t)=0⇒t=23\begin{aligned}AB'(t) &= 0 \Rightarrow t \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

עלייה ואחר כך ירידה: מקסימום

23≠56\frac{2}{3} \neq \frac{5}{6}

השטח מקסימלי ב־t=56t = \frac{5}{6} (סעיף ג)

לא. ABAB מקסימלי ב־t=23t = \frac{2}{3}, אבל השטח מקסימלי ב־t=56t = \frac{5}{6}: גם הגובה t3t^3 משתנה עם tt, ולכן הבסיס הגדול ביותר אינו נותן את השטח הגדול ביותר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe