בגרות 35571 — קיץ 2025

Sur elev, cette leçon vient avec :

Chaque exercice corrigé dès la réponse
Un indice au moment où il le faut
Le suivi des progrès, chapitre après chapitre

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : Suites

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35571 (5 יחידות לימוד, שאלון ראשון, תוכנית חדשה), קיץ תשפ״ה, 2025. בבחינה זו יש הנחיות מיוחדות: משך הבחינה ארבע שעות ורבע. ענו על חמש מן השאלות 1–8, על שאלה אחת לפחות מן הפרק הראשון או השני ועל שאלה אחת לפחות מכל אחד מן הפרקים השלישי והרביעי (לכל שאלה – 20 נקודות). פרק ראשון – שאלות קצרות: שאלה 1. פרק שני – אינדוקצייה, סדרות והסתברות: שאלות 2–3. פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור: שאלות 4–5. פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־47 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש, ובשאלה 1 עונים על שניים מארבעת הסעיפים. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, לנמק או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים או לבחירה בין ביטויים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercices

שאלה 1 — שאלות קצרות

Exercice 1

א (1). הוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + \ldots + (2n)^2 = \frac{2n(2n + 1)(n + 1)}{3}$

$n$ מספר טבעי

$2^2 + 4^2 + \ldots + (2n)^2 = \frac{2n(2n + 1)(n + 1)}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

$2^2 = 4 = \frac{2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2}{3}$ — בדיקה עבור $n = 1$
$2^2 + 4^2 + \ldots + (2k)^2 = \frac{2k(2k + 1)(k + 1)}{3}$ — הנחת האינדוקצייה
$2^2 + \ldots + (2k)^2 + (2k + 2)^2 = \frac{2k(2k + 1)(k + 1)}{3} + 4(k + 1)^2$ — מוסיפים את האיבר ה־ $(k+1)$ , $(2k + 2)^2 = 4(k + 1)^2$ , ומציבים את הנחת האינדוקצייה
$\frac{2k(2k + 1)(k + 1)}{3} + 4(k + 1)^2 = \frac{2(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)}{3}$ — מוציאים גורם משותף $\frac{2(k + 1)}{3}$ : $k(2k + 1) + 6(k + 1) = 2k^2 + 7k + 6$
$\frac{2(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)}{3} = \frac{2(k + 1)(2k + 3)(k + 2)}{3}$ — פירוק הטרינום: $2k^2 + 7k + 6 = (2k + 3)(k + 2)$
$2^2 + 4^2 + \ldots + (2k + 2)^2 = \frac{2(k + 1)(2(k + 1) + 1)((k + 1) + 1)}{3}$ — זו הטענה עבור $n = k + 1$ ( $2k + 3 = 2(k + 1) + 1$ ); עם הבדיקה עבור $n = 1$ , היא נכונה לכל $n$ טבעי

Corrigé :

\begin{aligned}2^2 &= 4 \\ \quad \frac{2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2}{3} &= 4\end{aligned}

הבדיקה עבור $n = 1$

\frac{2k(2k + 1)(k + 1)}{3} + 4(k + 1)^2 = \frac{2(k + 1)}{3}\left(2k^2 + k + 6k + 6\right)

הנחת האינדוקצייה, ועוד האיבר $(2k + 2)^2 = 4(k + 1)^2$

= \frac{2(k + 1)(2k + 3)(k + 2)}{3}

$2k^2 + 7k + 6 = (2k + 3)(k + 2)$

קיבלנו את הנוסחה עם $n = k + 1$ במקום $n$ : $2(k + 1)$ , $2(k + 1) + 1 = 2k + 3$ ו־ $(k + 1) + 1 = k + 2$ . לפי עקרון האינדוקצייה, הנוסחה נכונה לכל $n$ טבעי.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 1

Exercice 2

א (2). חשבו את הערך של הסכום: $4^2 + 6^2 + 8^2 + \ldots + 100^2$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 171696

Corrigé :

\begin{aligned}100 &= 2 \cdot 50 \Rightarrow n \\ &= 50\end{aligned}

האיבר האחרון הוא $(2n)^2$ עם $n = 50$

\begin{aligned}2^2 + 4^2 + \ldots + 100^2 &= \frac{2 \cdot 50 \cdot 101 \cdot 51}{3} \\ &= 171700\end{aligned}

הנוסחה מסעיף א (1)

\begin{aligned}4^2 + 6^2 + \ldots + 100^2 &= 171700 - 2^2 \\ &= 171696\end{aligned}

הסכום המבוקש מתחיל ב־ $4^2$ : מחסירים את $2^2$

הסכום הוא $171696$ . המלכודת: לשכוח שהסכום מתחיל ב־ $4^2$ ולא ב־ $2^2$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 2

Exercice 3

ב. בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ $(AB \parallel CD)$ . הנקודה $O$ היא מפגש אלכסוני הטרפז. נתון: $\angle BAO = \angle CDO$ . (1) הוכיחו כי הטרפז $ABCD$ הוא שווה שוקיים.

$AB \parallel CD$
$O$ מפגש האלכסונים $AC$ ו־ $BD$
$\angle BAO = \angle CDO$

$AD = BC$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle BAO = \angle OCD$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים ( $AB \parallel CD$ )
$\angle ABO = \angle ODC$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים ( $AB \parallel CD$ )
$\angle OCD = \angle ODC$ — שתיהן שוות לזווית $\angle BAO$ (נתון: $\angle BAO = \angle CDO$ )
$OC = OD$ — במשולש $OCD$ , מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
$\angle OAB = \angle OBA$ — שתיהן שוות לזווית $\angle CDO$ (נתון: $\angle BAO = \angle CDO$ )
$OA = OB$ — במשולש $OAB$ , מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
$AC = BD$ — חיבור קטעים: $AC = OA + OC$ ו־ $BD = OB + OD$
$\triangle ACD \cong \triangle BDC$ — משפט החפיפה צ״ז״צ ( $AC = BD$ , $\angle ACD = \angle BDC$ , $CD$ צלע משותפת)
$AD = BC$ — במשולשים חופפים, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

Corrigé :

\begin{aligned}\angle OCD &= \angle BAO \\ &= \angle CDO\end{aligned}

זוויות מתחלפות ( $AB \parallel CD$ ), ואז הנתון

\begin{aligned}OC &= OD \\ \quad OA &= OB\end{aligned}

כך גם $\angle OBA = \angle ODC = \angle BAO$ ; מול זוויות שוות צלעות שוות

AC = BD

סכומי קטעים שווים

\triangle ACD \cong \triangle BDC \Rightarrow AD = BC

צ״ז״צ

אלכסוני הטרפז שווים, ולכן השוקיים שוות: הטרפז $ABCD$ שווה שוקיים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 3

Exercice 4

ב. בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ $(AB \parallel CD)$ . הנקודה $O$ היא מפגש אלכסוני הטרפז. נתון: $\angle BAO = \angle CDO$ . הנקודה $F$ נמצאת על הצלע $BC$ כך שהקטע $OF$ מקביל לבסיסי הטרפז. נתון כי אלכסוני הטרפז מאונכים זה לזה, $DO = 4$ , $BO = 3$ . (2) מצאו את אורך הקטע $OF$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.4244

Corrigé :

\begin{aligned}OC &= OD \\ &= 4\end{aligned}

מסעיף ב (1)

\begin{aligned}DC &= \sqrt{4^2 + 4^2} \\ &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

פיתגורס במשולש ישר הזווית $DOC$ (האלכסונים מאונכים)

\begin{aligned}\frac{OF}{DC} &= \frac{BO}{BD} \\ &= \frac{3}{3 + 4}\end{aligned}

במשולש $BDC$ : $OF \parallel DC$ , ולכן $\triangle BOF \sim \triangle BDC$

\begin{aligned}OF &= \frac{3}{7} \cdot 4\sqrt{2} \\ &= \frac{12\sqrt{2}}{7} \approx 2.42\end{aligned}

$OF = \frac{12\sqrt{2}}{7} \approx 2.42$ . המלכודת: לחלק ב־ $4$ במקום ב־ $BD = 7$ — היחס הוא בין $BO$ לכל האלכסון $BD$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 4

Exercice 5

הגרפים I–III

ג. הפונקצייה $f(x)$ , פונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ ופונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפניכם שלושה גרפים I–III. אחד מן הגרפים מתאר את הפונקצייה $f(x)$ , אחד את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ ואחד את פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$ . בכל אחד מן הגרפים מופיעות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך שלו עם ציר ה־ $x$ . על כל אחד מן הגרפים כתובים שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה־ $y$ . (1) התאימו לכל אחת מן הפונקציות $f(x)$ , $f'(x)$ ו־ $f''(x)$ את הגרף המתאר אותה. נמקו את תשובתכם.

A $f$ : גרף II ; $f'$ : גרף III ; $f''$ : גרף I
B $f$ : גרף III ; $f'$ : גרף II ; $f''$ : גרף I
C $f$ : גרף I ; $f'$ : גרף III ; $f''$ : גרף II
D $f$ : גרף II ; $f'$ : גרף I ; $f''$ : גרף III

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $f$ : גרף II ; $f'$ : גרף III ; $f''$ : גרף I

Corrigé :

\text{II}: \ \nearrow \ \max \ \searrow

גרף II עולה עד המקסימום שלו ואחר כך יורד; גרף III חיובי לפני המקסימום הזה ושלילי אחריו, ומתאפס בדיוק בו

\text{III}: \ \searrow \nearrow \searrow \nearrow

גרף I שלילי, חיובי, שלילי, חיובי — בדיוק בתחומים שבהם גרף III יורד ועולה

\begin{aligned}f(0) &= 4 \\ \ f'(0) &= 2 > 0 \\ \ f''(0) &= -2 < 0\end{aligned}

בדיקה ב־ $x = 0$ : גרף II עולה שם, וגרף III יורד שם

$f$ הוא גרף II, $f'$ הוא גרף III ו־ $f''$ הוא גרף I. גם נקודת המשטח של גרף II על ציר ה־ $x$ מתאימה: שם גרף III נוגע בציר ה־ $x$ בלי להחליף סימן.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 5

Exercice 6

הגרפים I–III

הגרפים I–III מתארים את $f(x)$ , את $f'(x)$ ואת $f''(x)$ (סעיף ג). ג (2). כמה נקודות פיתול יש לפונקצייה $f(x)$ ? נמקו את תשובתכם.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f'' = 0

נקודת פיתול של $f$ היא נקודה שבה $f''$ מחליפה סימן, כלומר נקודת קיצון של $f'$

\text{III}: \ \min, \ \max, \ \min

לגרף III (של $f'$ ) שלוש נקודות קיצון, וגרף I (של $f''$ ) חותך את ציר ה־ $x$ שלוש פעמים

לפונקצייה $f(x)$ יש $3$ נקודות פיתול. אחת מהן היא נקודת המשטח על ציר ה־ $x$ בגרף II.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 6

Exercice 7

הגרפים I–III

הגרפים I–III מתארים את $f(x)$ , את $f'(x)$ ואת $f''(x)$ (סעיף ג). שיעורי נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הם $(a , 5)$ . ג (3). מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $f'(x)$ , על ידי גרף הפונקצייה $f''(x)$ , על ידי הישר $x = a$ ועל ידי ציר ה־ $y$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

0 < x < a: \quad f'(x) > 0 > f''(x)

גרף III חיובי עד המקסימום של $f$ , וגרף I שלילי בין $0$ ל־ $a$

\begin{aligned}S &= \int_0^a \left(f'(x) - f''(x)\right) dx \\ &= \Big[f(x) - f'(x)\Big]_0^a\end{aligned}

הפונקצייה הקדומה של $f'$ היא $f$ , ושל $f''$ היא $f'$

\begin{aligned}\left(f(a) - f'(a)\right) - \left(f(0) - f'(0)\right) &= (5 - 0) - (4 - 2) \\ &= 3\end{aligned}

$f'(a) = 0$ במקסימום, ו־ $f(0) = 4$ , $f'(0) = 2$ מן הגרפים

השטח הוא $3$ . אין צורך בנוסחת הפונקציות: מספיקים הערכים שעל הגרפים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 7

Exercice 8

ד. נתונה הפונקצייה $f(x) = \frac{2(x + 1)}{(x^2 + 2x)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq -2$ , $x \neq 0$ . (1) מצאו את תחומי החיוביות של הפונקצייה $f(x)$ .

A $x < -2$ או $-1 < x < 0$
B $-1 < x < 0$ או $x > 0$
C $x > 0$ בלבד
D $-2 < x < -1$ או $x > 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $-1 < x < 0$ או $x > 0$

Corrigé :

(x^2 + 2x)^2 > 0

המכנה חיובי בכל התחום

2(x + 1) > 0 \Leftrightarrow x > -1

הסימן של $f$ הוא הסימן של המונה

הפונקצייה חיובית בתחום $-1 < x < 0$ ובתחום $x > 0$ ( $x = 0$ אינו בתחום ההגדרה).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 8

Exercice 9

הגרפים I–IV

ד. נתונה הפונקצייה $f(x) = \frac{2(x + 1)}{(x^2 + 2x)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq -2$ , $x \neq 0$ . (2) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקצייה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

Aגרף II
Bגרף I
Cגרף IV
Dגרף III

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף III

Corrigé :

x < -2: f < 0; \quad -2 < x < -1: f < 0; \quad -1 < x < 0: f > 0; \quad x > 0: f > 0

מסעיף ד (1)

x \to -2: f \to -\infty; \quad x \to 0: f \to +\infty

המכנה שואף ל־ $0^+$ משני הצדדים, והמונה שואף ל־ $-2$ או ל־ $2$

גרף III: משמאל ל־ $x = -2$ הוא שלילי, יורד אל $-\infty$ משני צדי $x = -2$ , חותך את ציר ה־ $x$ ב־ $x = -1$ ועולה אל $+\infty$ משני צדי ציר ה־ $y$ . בגרף I הענף השמאלי חיובי, בגרף II כל הסימנים הפוכים, ובגרף IV הענף שבין $-2$ ל־ $0$ יורד.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 9

Exercice 10

ד. נתונה הפונקצייה $f(x) = \frac{2(x + 1)}{(x^2 + 2x)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq -2$ , $x \neq 0$ . (3) חשבו את השטח הכלוא על ידי גרף הפונקצייה $f(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישרים $x = 1$ ו־ $x = 4$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2917

Corrigé :

\begin{aligned}(x^2 + 2x)' &= 2x + 2 \\ &= 2(x + 1)\end{aligned}

המונה הוא הנגזרת של הביטוי שבתוך הריבוע

\int \frac{2(x + 1)}{(x^2 + 2x)^2} dx = -\frac{1}{x^2 + 2x} + C

\begin{aligned}S &= \left[-\frac{1}{x^2 + 2x}\right]_1^4 \\ &= -\frac{1}{24} + \frac{1}{3} \\ &= \frac{7}{24}\end{aligned}

בתחום $1 \le x \le 4$ הפונקצייה חיובית

השטח הוא $\frac{7}{24} \approx 0.29$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 10

Votre enfant a-t-il compris ?

Sur elev, chaque exercice est corrigé dès qu'il répond, et un indice arrive au moment où il bloque.

Pratiquer sur elev

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

Exercice 11

א. מצאו את הערך של $a_3$ (מצאו את שתי האפשרויות).

$a_3 =$ ____ או $a_3 =$ ____ (מהקטן לגדול)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $a_3 =$ -8 או $a_3 =$ 8 (מהקטן לגדול)

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{a_4}{a_2} &= q^2 \\ &= 4 \Rightarrow q \\ &= \pm 2\end{aligned}

\begin{aligned}2a_2 + 8 &= 4a_2 \Rightarrow a_2 \\ &= 4\end{aligned}

$a_4 = a_2 q^2 = 4a_2$

\begin{aligned}a_3 &= a_2 \cdot q \\ &= \pm 8\end{aligned}

$a_3 = 8$ (כאשר $q = 2$ ) או $a_3 = -8$ (כאשר $q = -2$ ).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 11

Exercice 12

נתון כי הסדרה $A$ לא עולה ולא יורדת. בונים מאיברי הסדרה $A$ סדרה אין־סופית חדשה $B$ . נתון כי איברי הסדרה $B$ מקיימים $b_n = \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}$ לכל $n$ טבעי. ב. הוכיחו כי הסדרה $B$ היא סדרה הנדסית, ומצאו את המנה שלה. כאן: מהי המנה של הסדרה $B$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

\begin{aligned}q &= -2 \\ \quad a_1 &= \frac{a_2}{q} \\ &= -2\end{aligned}

סדרה הנדסית שאינה עולה ואינה יורדת: המנה שלילית

\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_n \cdot a_{n+1}}{a_{n+1} \cdot a_{n+2}} \\ &= \frac{a_n}{a_{n+2}} \\ &= \frac{1}{q^2} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

המנה של $B$ היא $\frac{1}{4} = 0.25$ (ההוכחה בתרגיל הבא).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 12

Exercice 13

$A$ סדרה הנדסית, $\frac{a_4}{a_2} = 4$ , $2a_2 + 8 = a_4$
$b_n = \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}$ לכל $n$ טבעי

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{4}$ לכל $n$ טבעי

Voir la réponse et le corrigé

$q^2 = 4$ — מן הנתון: $\frac{a_4}{a_2} = q^2 = 4$
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_n \cdot a_{n+1}}{a_{n+1} \cdot a_{n+2}} = \frac{a_n}{a_{n+2}}$ — מציבים את הגדרת $b_n$ ומצמצמים ב־ $a_{n+1} \neq 0$
$\frac{a_n}{a_{n+2}} = \frac{1}{q^2}$ — בסדרה הנדסית $a_{n+2} = a_n \cdot q^2$
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{4}$ — המנה קבועה ואינה תלויה ב־ $n$ : $B$ סדרה הנדסית שמנתה $\frac{1}{4}$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_n}{a_{n+2}} \\ &= \frac{1}{q^2} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

המנה אינה תלויה ב־ $n$

הסדרה $B$ הנדסית ומנתה $\frac{1}{4}$ . המנה של $B$ אינה תלויה בסימן של $q$ ; התנאי "לא עולה ולא יורדת" ( $q = -2$ ) ישמש בסעיפים ג–ד.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 13

Exercice 14

נתון כי הסדרה $A$ לא עולה ולא יורדת. בונים מאיברי הסדרה $A$ סדרה הנדסית אין־סופית נוספת $C$ . איברי הסדרה $C$ הם: $\frac{k}{a_1 \cdot a_2} , \frac{k}{a_3 \cdot a_4} , \frac{k}{a_5 \cdot a_6} , \ldots$ . $k \neq 0$ הוא פרמטר. ג (1). מצאו את מנת הסדרה $C$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.0625

Corrigé :

c_m = k \cdot b_{2m - 1}

האיבר ה־ $m$ של $C$ הוא $k$ כפול איבר של $B$ , ומדלגים כל פעם על איבר אחד של $B$

\begin{aligned}\frac{c_{m+1}}{c_m} &= \frac{b_{2m+1}}{b_{2m-1}} \\ &= \left(\frac{1}{4}\right)^2 \\ &= \frac{1}{16}\end{aligned}

מנת הסדרה $C$ היא $\frac{1}{16} = 0.0625$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 14

Exercice 15

Aלכל $k \neq 0$
B $k < 0$
C $k > 0$
D $k > 8$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $k > 0$

Corrigé :

\begin{aligned}a_1 &= -2 \\ \ a_2 &= 4 \Rightarrow c_1 \\ &= \frac{k}{-8}\end{aligned}

מסעיפים א–ב: $q = -2$

0 < \frac{1}{16} < 1

האיברים שומרים על הסימן של $c_1$ וערכם המוחלט קטן

c_1 < 0 \Leftrightarrow -\frac{k}{8} < 0 \Leftrightarrow k > 0

איברים שליליים שערכם המוחלט קטן — הסדרה עולה

הסדרה $C$ עולה בעבור $k > 0$ . בעבור $k < 0$ היא יורדת.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 15

Exercice 16

נתון כי הסדרה $A$ לא עולה ולא יורדת. בונים מאיברי הסדרה $A$ סדרה אין־סופית חדשה $B$ . נתון כי איברי הסדרה $B$ מקיימים $b_n = \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}$ לכל $n$ טבעי. בונים מאיברי הסדרה $A$ סדרה הנדסית אין־סופית נוספת $C$ . איברי הסדרה $C$ הם: $\frac{k}{a_1 \cdot a_2} , \frac{k}{a_3 \cdot a_4} , \frac{k}{a_5 \cdot a_6} , \ldots$ . $k \neq 0$ הוא פרמטר. נסמן ב־ $S_B$ את סכום הסדרה $B$ , וב־ $S_C$ את סכום הסדרה $C$ . נתון: $S_C = 4 \cdot S_B$ . ד. מצאו את הערך של $k$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

\begin{aligned}b_1 &= \frac{1}{a_1 a_2} \\ &= -\frac{1}{8} \\ \quad S_B &= \frac{-\frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{4}} \\ &= -\frac{1}{6}\end{aligned}

\begin{aligned}S_C &= \frac{-\frac{k}{8}}{1 - \frac{1}{16}} \\ &= -\frac{2k}{15}\end{aligned}

\begin{aligned}-\frac{2k}{15} &= 4 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) \Rightarrow k \\ &= 5\end{aligned}

$k = 5$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 16

שאלה 3 — הסתברות: בחירות וסקר

Exercice 17

בוחרים באקראי $3$ מצביעים. נתון כי ההסתברות שבדיוק אחד מהם הצביע למפלגה א׳ גדולה פי $2$ מן ההסתברות ששלושתם הצביעו למפלגה ב׳. א. מצאו את הערך של $P$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.4

Corrigé :

3P(1 - P)^2 = 2(1 - P)^3

התפלגות בינומית: $3$ מקומות לבוחר של מפלגה א׳

\begin{aligned}3P &= 2(1 - P) \Rightarrow P \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

מחלקים ב־ $(1 - P)^2 \neq 0$

$P = 0.4$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 17

Exercice 18

נתון כי בבחירה אקראית של $3$ מצביעים, ההסתברות שבדיוק אחד מהם הצביע למפלגה א׳ גדולה פי $2$ מן ההסתברות ששלושתם הצביעו למפלגה ב׳. בוחרים באקראי $4$ מצביעים. ב. ידוע כי ארבעתם הצביעו לאותה המפלגה. מהי ההסתברות שהם הצביעו למפלגה א׳?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.1649

Corrigé :

\begin{aligned}P(\text{A A A A}) &= 0.4^4 \\ &= 0.0256 \\ \quad P(\text{B B B B}) &= 0.6^4 \\ &= 0.1296\end{aligned}

\frac{0.0256}{0.0256 + 0.1296} = \frac{16}{97} \approx 0.165

הסתברות מותנית

ההסתברות היא $\frac{16}{97} \approx 0.165$ . המלכודת: לענות $0.4^4$ — שוכחים לחלק בהסתברות שכולם הצביעו לאותה המפלגה.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 18

Exercice 19

נתון כי בבחירה אקראית של $3$ מצביעים, ההסתברות שבדיוק אחד מהם הצביע למפלגה א׳ גדולה פי $2$ מן ההסתברות ששלושתם הצביעו למפלגה ב׳. חלק מן המצביעים הם מבוגרים והשאר צעירים. נתון כי $40\%$ מן המצביעים המבוגרים הצביעו למפלגה ב׳ ו־ $15\%$ מן המצביעים הצעירים הצביעו למפלגה א׳. ג. מהי ההסתברות לבחור באקראי מצביע צעיר אחד מבין כל המצביעים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.4444

Corrigé :

0.6x + 0.15(1 - x) = 0.4

$x$ — ההסתברות לבחור מבוגר; $60\%$ מן המבוגרים הצביעו למפלגה א׳

\begin{aligned}0.45x &= 0.25 \Rightarrow x \\ &= \frac{5}{9}\end{aligned}

1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \approx 0.444

ההסתברות לבחור צעיר היא $\frac{4}{9} \approx 0.444$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 19

Exercice 20

נתון כי $15\%$ מן המצביעים הצעירים הצביעו למפלגה א׳. לאחר הבחירות נערך סקר טלפוני בקרב המצביעים. דני, אחד הסוקרים, התקשר באקראי למצביעים צעירים בלבד. הוא התקשר אליהם בזה אחר זה והפסיק מייד לאחר שראיין צעיר אחד שהצביע למפלגה אחת וצעיר נוסף שהצביע למפלגה האחרת. ד. מהי ההסתברות שדני התקשר ל־ $5$ צעירים בדיוק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.0787

Corrigé :

0.15, \quad 0.85

צעיר הצביע למפלגה א׳ בהסתברות $0.15$ ולמפלגה ב׳ בהסתברות $0.85$

\text{A A A A B} \ , \ \text{B B B B A}

דני מפסיק בשיחה החמישית: ארבעת הראשונים הצביעו לאותה המפלגה, והחמישי למפלגה האחרת

0.15^4 \cdot 0.85 + 0.85^4 \cdot 0.15 = 0.00043 + 0.07830 \approx 0.0787

ההסתברות היא $0.07873125 \approx 0.0787$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 20

שאלה 4 — שני מעגלים, משיק ודמיון

Exercice 21

א. הוכיחו כי $\angle AOE = 2\angle KAE$ .

$KA$ משיק למעגל הקטן בנקודה $A$
$OA = OE = r$
$E$ בתוך המשולש $KAO$

$\angle AOE = 2\angle KAE$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle OAK = 90^\circ$ — משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$\angle OAE = 90^\circ - \angle KAE$ — הנקודה $E$ בתוך הזווית $KAO$ : $\angle KAE + \angle EAO = \angle KAO$
$\angle OEA = \angle OAE$ — במשולש שווה שוקיים ( $OA = OE$ ) זוויות הבסיס שוות
$\angle AOE = 180^\circ - 2\angle OAE$ — סכום הזוויות במשולש $AOE$
$\angle AOE = 2\angle KAE$ — הצבה: $180^\circ - 2(90^\circ - \angle KAE) = 2\angle KAE$

Corrigé :

\angle OAE = 90^\circ - \angle KAE

הרדיוס $OA$ מאונך למשיק $AK$

\begin{aligned}\angle AOE &= 180^\circ - 2\angle OAE \\ &= 2\angle KAE\end{aligned}

המשולש $AOE$ שווה שוקיים

זו הזווית שבין משיק למיתר: היא שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 21

Exercice 22

המשך הקטע $AE$ חותך את הקטע $OK$ בנקודה $M$ . נתון כי הנקודה $M$ היא אמצע הקטע $OK$ . ב. הוכיחו כי הנקודה $M$ היא מרכז המעגל הגדול.

$O$ , $A$ ו־ $K$ על המעגל הגדול
$KA$ משיק למעגל הקטן בנקודה $A$
$M$ אמצע הקטע $OK$

$M$ מרכז המעגל הגדול

Voir la réponse et le corrigé

$\angle OAK = 90^\circ$ — משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$OK$ קוטר במעגל הגדול — זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר
$M$ מרכז המעגל הגדול — אמצע הקוטר הוא מרכז המעגל

Corrigé :

\angle OAK = 90^\circ

רדיוס המעגל הקטן מאונך למשיק

\begin{aligned}\angle OAK &= 90^\circ \Rightarrow OK \\ &= 2R\end{aligned}

הזווית ההיקפית $OAK$ במעגל הגדול ישרה, ולכן $OK$ קוטר

אמצע הקוטר $OK$ הוא מרכז המעגל הגדול, ולכן $M$ הוא המרכז.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 22

Exercice 23

המשך הקטע $AE$ חותך את הקטע $OK$ בנקודה $M$ . נתון כי הנקודה $M$ היא אמצע הקטע $OK$ . ג. הוכיחו כי $\triangle MOA \sim \triangle OEA$ .

$M$ מרכז המעגל הגדול (סעיף ב)
$OA = OE = r$
$M$ על המשך הקטע $AE$

$\triangle MOA \sim \triangle OEA$

Voir la réponse et le corrigé

$MO = MA$ — רדיוסים במעגל הגדול
$\angle MOA = \angle MAO$ — במשולש שווה שוקיים $MOA$ זוויות הבסיס שוות
$\angle OEA = \angle OAE$ — במשולש שווה שוקיים $OEA$ ( $OE = OA$ ) זוויות הבסיס שוות
$\angle MAO = \angle OAE$ — זו אותה זווית: $E$ על הקטע $AM$
$\angle MOA = \angle OEA$ — שתיהן שוות לזווית $\angle MAO$
$\triangle MOA \sim \triangle OEA$ — משפט הדמיון ז״ז (הזווית $A$ משותפת, $\angle MOA = \angle OEA$ )

Corrigé :

\begin{aligned}\angle MOA &= \angle MAO \\ &= \angle OAE \\ &= \angle OEA\end{aligned}

שני משולשים שווי שוקיים עם אותה זווית בסיס ליד $A$

\triangle MOA \sim \triangle OEA

ז״ז: $M \leftrightarrow O$ , $O \leftrightarrow E$ , $A \leftrightarrow A$

שני המשולשים שווי שוקיים, וזוויות הבסיס שלהם שוות: הם דומים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 23

Exercice 24

המשך הקטע $AE$ חותך את הקטע $OK$ בנקודה $M$ . נתון כי הנקודה $M$ היא אמצע הקטע $OK$ . נתון: $R = 1.5r$ . נסמן ב־ $S$ את שטח המשולש $MEO$ . ד. הביעו באמצעות $S$ את שטח המשולש $OKA$ .

$S_{OKA} =$ ____ $\cdot S$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $S_{OKA} =$ 3.6 $\cdot S$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{MO}{OE} &= \frac{OA}{EA} \\ &= \frac{R}{r} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון מסעיף ג

\begin{aligned}EA &= \frac{r}{1.5} \\ &= \frac{2r}{3} \\ \quad MA &= R \\ &= 1.5r\end{aligned}

\begin{aligned}ME &= MA - EA \\ &= \frac{3r}{2} - \frac{2r}{3} \\ &= \frac{5r}{6}\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{S_{MEO}}{S_{MAO}} &= \frac{ME}{MA} \\ &= \frac{5}{9} \Rightarrow S_{MAO} \\ &= \frac{9S}{5}\end{aligned}

אותו גובה מן הקודקוד $O$ לישר $MA$

\begin{aligned}S_{OKA} &= 2S_{MAO} \\ &= \frac{18S}{5} \\ &= 3.6S\end{aligned}

$AM$ תיכון במשולש $OKA$ ( $M$ אמצע $OK$ )

$S_{OKA} = 3.6S$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 24

שאלה 5 — מעגל חסום במשולש שווה שוקיים

Exercice 25

א (1). הביעו באמצעות $r$ ו־ $\alpha$ את אורך הקטע $CO$ .

A $\frac{r}{\sin 2\alpha}$
B $\frac{r}{\sin\alpha}$
C $\frac{r}{\cos\alpha}$
D $\frac{r}{\tan\alpha}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{r}{\sin\alpha}$

Corrigé :

\angle OCB = \alpha

מרכז המעגל החסום נמצא על חוצה הזווית $C$

\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{r}{CO} \Rightarrow CO \\ &= \frac{r}{\sin\alpha}\end{aligned}

המשולש ישר הזווית שבין $O$ , $C$ ונקודת ההשקה על $BC$

$CO = \frac{r}{\sin\alpha}$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 25

Exercice 26

א (2). הביעו באמצעות $r$ ו־ $\alpha$ את אורך הצלע $AC$ .

A $\frac{r}{\tan\alpha \cdot \sin 2\alpha}$
B $\frac{r \cdot \tan\alpha}{\cos 2\alpha}$
C $\frac{r}{\tan\alpha \cdot \cos 2\alpha}$
D $\frac{2r}{\tan\alpha \cdot \cos 2\alpha}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{r}{\tan\alpha \cdot \cos 2\alpha}$

Corrigé :

CD = \frac{r}{\tan\alpha}

$D$ אמצע $BC$ ונקודת ההשקה; במשולש $ODC$ : $\tan\alpha = \frac{r}{CD}$

\begin{aligned}\cos 2\alpha &= \frac{CD}{AC} \Rightarrow AC \\ &= \frac{r}{\tan\alpha \cdot \cos 2\alpha}\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $ADC$ ( $AD$ גובה)

$AC = \frac{r}{\tan\alpha \cdot \cos 2\alpha}$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 26

Exercice 27

נתון כי אורך הצלע $AC$ גדול פי $\sqrt{3}$ מאורך הקטע $CO$ . ב. מצאו את הערך של $\alpha$ (בדרגות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{r}{\tan\alpha \cos 2\alpha} &= \frac{\sqrt{3} r}{\sin\alpha} \Rightarrow \cos\alpha \\ &= \sqrt{3}\cos 2\alpha\end{aligned}

מסעיף א

2\sqrt{3}\cos^2\alpha - \cos\alpha - \sqrt{3} = 0

$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$

\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{1 \pm 5}{4\sqrt{3}}: \quad \cos\alpha \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

הפתרון השלילי נפסל: $2\alpha$ זווית בסיס, ולכן $0^\circ < \alpha < 45^\circ$

\alpha = 30^\circ

$\alpha = 30^\circ$ : זוויות הבסיס הן $60^\circ$ , והמשולש שווה צלעות.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 27

Exercice 28

הציבו $\alpha = 30^\circ$ וענו על הסעיפים ג–ד. המעגל חותך את הקטע $BO$ בנקודה $K$ . נתון כי אורך הקטע $CK$ הוא $\sqrt{175}$ . ג. מצאו את הערך של $r$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

\begin{aligned}CO &= BO \\ &= \frac{r}{\sin 30^\circ} \\ &= 2r \\ \quad OK &= r\end{aligned}

מסעיף א (1)

\begin{aligned}\angle COB &= 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ \\ &= 120^\circ\end{aligned}

במשולש $COB$

\begin{aligned}CK^2 &= (2r)^2 + r^2 - 2 \cdot 2r \cdot r \cos 120^\circ \\ &= 7r^2\end{aligned}

משפט הקוסינוסים במשולש $COK$

\begin{aligned}7r^2 &= 175 \Rightarrow r \\ &= 5\end{aligned}

$r = 5$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 28

Exercice 29

הציבו $\alpha = 30^\circ$ וענו על הסעיפים ג–ד. המעגל חותך את הקטע $BO$ בנקודה $K$ . נתון כי אורך הקטע $CK$ הוא $\sqrt{175}$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $CB$ . נתון כי שטח המשולש $CKE$ הוא $18$ . ד. חשבו את אורך הקטע $BE$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.9205

Corrigé :

\begin{aligned}BC &= 2 \cdot \frac{r}{\tan 30^\circ} \\ &= 2 \cdot 5\sqrt{3} \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

מסעיף א (2): $CD = \frac{r}{\tan\alpha}$

\begin{aligned}BO &= 2r \\ &= 10 \\ \ OK &= 5 \Rightarrow h_K \\ &= \frac{r}{2} \\ &= 2.5\end{aligned}

$K$ אמצע $BO$ ; $O$ בגובה $r$ מעל $BC$ , ולכן $K$ בגובה $\frac{r}{2}$

\begin{aligned}\frac{CE \cdot 2.5}{2} &= 18 \Rightarrow CE \\ &= 14.4\end{aligned}

הגובה מ־ $K$ לבסיס $CE$

BE = 10\sqrt{3} - 14.4 \approx 2.92

$BE = 10\sqrt{3} - 14.4 \approx 2.92$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 29

שאלה 6 — פונקציית שורש עם פרמטר

Exercice 30

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$ .

A $x \neq a$ ו־ $x \neq -a$
B $x \le -a$ או $x \ge a$
C $-a < x < a$
D $x < -a$ או $x > a$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $x < -a$ או $x > a$

Corrigé :

x^2 - a^2 > 0

ביטוי בתוך שורש במכנה: חיובי ממש

x < -a , \ x > a

תחום ההגדרה: $x < -a$ או $x > a$ . הנקודות $x = \pm a$ אינן בתחום: המכנה מתאפס בהן.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 30

Exercice 31

א (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה $f(x)$ .

אנכיות: $x =$ ____ $a$ , $x =$ ____ $a$ (מהקטן לגדול) ; אופקיות: $y =$ ____ , $y =$ ____ (מהקטן לגדול)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אנכיות: $x =$ -1 $a$ , $x =$ 1 $a$ (מהקטן לגדול) ; אופקיות: $y =$ -1 , $y =$ 1 (מהקטן לגדול)

Corrigé :

x \to a^+: f \to +\infty; \quad x \to -a^-: f \to -\infty

המכנה שואף ל־ $0^+$

f(x) = \frac{x}{|x|\sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}}}

מוציאים $x^2$ מן השורש: $\sqrt{x^2} = |x|$

x \to +\infty: f \to 1; \quad x \to -\infty: f \to -1

אסימפטוטות אנכיות $x = -a$ ו־ $x = a$ ; אסימפטוטות אופקיות $y = 1$ (מימין) ו־ $y = -1$ (משמאל).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 31

Exercice 32

ב. הוכיחו כי הפונקצייה $f(x)$ היא אי־זוגית.

$f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$ , $a > 0$
תחום ההגדרה: $x < -a$ או $x > a$

$f(-x) = -f(x)$ לכל $x$ בתחום

Voir la réponse et le corrigé

אם $x$ בתחום, גם $-x$ בתחום — התחום $|x| > a$ סימטרי ביחס ל־ $x = 0$
$f(-x) = \frac{-x}{\sqrt{(-x)^2 - a^2}}$ — מציבים $-x$ במקום $x$
$\frac{-x}{\sqrt{(-x)^2 - a^2}} = -\frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$ — $(-x)^2 = x^2$
$f(-x) = -f(x)$ — הגדרת פונקצייה אי־זוגית: תחום סימטרי ו־ $f(-x) = -f(x)$

Corrigé :

\begin{aligned}f(-x) &= \frac{-x}{\sqrt{(-x)^2 - a^2}} \\ &= \frac{-x}{\sqrt{x^2 - a^2}} \\ &= -f(x)\end{aligned}

התחום סימטרי

הפונקצייה אי־זוגית: הגרף שלה סימטרי ביחס לראשית הצירים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 32

Exercice 33

ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה $f(x)$ (אם יש כאלה).

Aיורדת בתחום $x < -a$ ועולה בתחום $x > a$
Bעולה בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$ ; אין לה תחומי ירידה
Cיורדת בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$ ; אין לה תחומי עלייה
Dעולה בתחום $x < -a$ ויורדת בתחום $x > a$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C יורדת בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$ ; אין לה תחומי עלייה

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x^2 - a^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}}{x^2 - a^2} \\ &= \frac{x^2 - a^2 - x^2}{(x^2 - a^2)\sqrt{x^2 - a^2}}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

f'(x) = \frac{-a^2}{(x^2 - a^2)\sqrt{x^2 - a^2}} < 0

המונה שלילי והמכנה חיובי בכל התחום

הפונקצייה יורדת בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$ , ואין לה תחומי עלייה.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 33

Exercice 34

הגרפים I–IV

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף IV
Bגרף II
Cגרף I
Dגרף III

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף II

Corrigé :

x > a: \ +\infty \searrow 1; \quad x < -a: \ -1 \searrow -\infty

מסעיפים א–ג

גרף II: ענף ימני שיורד מ־ $+\infty$ ליד $x = a$ אל $y = 1$ , וענף שמאלי שיורד מ־ $y = -1$ אל $-\infty$ ליד $x = -a$ . גרף I הוא $-f(x)$ , גרף III מוגדר בין $-a$ ל־ $a$ , וגרף IV אינו אי־זוגי.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 34

Exercice 35

נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{(f(x))^2}$ . תחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$ . ה (1). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה $g(x)$ .

Aעולה בתחום $x < -a$ , יורדת בתחום $x > a$
Bעולה בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$
Cיורדת בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$
Dיורדת בתחום $x < -a$ , עולה בתחום $x > a$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D יורדת בתחום $x < -a$ , עולה בתחום $x > a$

Corrigé :

\begin{aligned}g(x) &= \frac{x^2 - a^2}{x^2} \\ &= 1 - \frac{a^2}{x^2}\end{aligned}

g'(x) = \frac{2a^2}{x^3}

שלילית בתחום $x < -a$ וחיובית בתחום $x > a$

$g(x)$ יורדת בתחום $x < -a$ ועולה בתחום $x > a$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 35

Exercice 36

הגרפים I–IV

נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{(f(x))^2}$ . תחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$ . ה (2). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקצייה $g(x)$ . נמקו את קביעתכם.

Aגרף III
Bגרף I
Cגרף II
Dגרף IV

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף I

Corrigé :

\begin{aligned}g(x) &= 1 - \frac{a^2}{x^2} \\ \quad 0 < g(x) < 1\end{aligned}

בתחום $|x| > a$

x \to \pm a: g \to 0; \quad x \to \pm\infty: g \to 1

הנקודות $(\pm a, 0)$ אינן על הגרף: הן מחוץ לתחום

גרף I: שני ענפים סימטריים, בין $0$ ל־ $1$ , עם עיגולים ריקים ב־ $(-a, 0)$ וב־ $(a, 0)$ . גרף II הוא $(f(x))^2$ , בגרף III התחום הוא כל $x \neq 0$ , וגרף IV אינו זוגי, ואילו $g(x)$ זוגית.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 36

Exercice 37

נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{(f(x))^2}$ . נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $g(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישרים $x = 2a$ ו־ $x = 3a$ הוא $7.5$ . ו. מצאו את הערך של $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

\int_{2a}^{3a} \left(1 - \frac{a^2}{x^2}\right) dx = \left[x + \frac{a^2}{x}\right]_{2a}^{3a}

בתחום זה $g(x) > 0$

= \left(3a + \frac{a}{3}\right) - \left(2a + \frac{a}{2}\right) = \frac{5a}{6}

\begin{aligned}\frac{5a}{6} &= 7.5 \Rightarrow a \\ &= 9\end{aligned}

$a = 9$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 37

שאלה 7 — פונקצייה טריגונומטרית

Exercice 38

א. קבעו איזה מן הגרפים I–II מתאר את הפונקצייה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

Aגרף I: הוא חותך את ציר ה־ $x$ בנקודות הקיצון של גרף II
Bגרף I: היכן שהוא עולה גרף II חיובי, והיכן שהוא יורד גרף II שלילי
Cגרף II: הוא עובר בראשית הצירים, וגרף של נגזרת אינו עובר בה
Dגרף II: היכן שהוא עולה גרף I חיובי, והיכן שהוא יורד גרף I שלילי

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף II: היכן שהוא עולה גרף I חיובי, והיכן שהוא יורד גרף I שלילי

Corrigé :

0 < x < \frac{\pi}{2}: \ \text{II} \nearrow, \ \text{I} > 0

גרף II עולה וגרף I חיובי

\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}: \ \text{II} \searrow, \ \text{I} < 0

גרף II יורד וגרף I שלילי

0 < x < \pi: \ \text{II} > 0, \ \text{I} \searrow

הכיוון ההפוך אינו מתאים: גרף I יורד שם, אבל גרף II חיובי

גרף II מתאר את $f(x)$ וגרף I את $f'(x)$ . העובדה שגרף I חותך את ציר ה־ $x$ בנקודות הקיצון של גרף II נכונה, אבל היא מראה דווקא שגרף I הוא הנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 38

Exercice 39

נתון כי $f(x) = \frac{\sin x}{1 + (\sin x)^2}$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$x =$ ____ $\pi$ , $x =$ ____ $\pi$ , $x =$ ____ $\pi$ (מהקטן לגדול; בכולן $y = 0$ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x =$ 0 $\pi$ , $x =$ 1 $\pi$ , $x =$ 2 $\pi$ (מהקטן לגדול; בכולן $y = 0$ )

Corrigé :

\begin{aligned}f(x) &= 0 \Leftrightarrow \sin x \\ &= 0\end{aligned}

המכנה $1 + (\sin x)^2$ חיובי

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \pi \\ \ 2\pi\end{aligned}

בתחום $0 \le x \le 2\pi$

נקודות החיתוך: $(0, 0)$ , $(\pi, 0)$ ו־ $(2\pi, 0)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 39

Exercice 40

נתון כי $f(x) = \frac{\sin x}{1 + (\sin x)^2}$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . ב (2). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

Aמקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ ; אין קיצון בקצוות
Bמקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ , $(2\pi, 0)$ ; מינימום: $(0, 0)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$
Cמקסימום: $(0, 0)$ , $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ , $(2\pi, 0)$
Dמקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ , $(2\pi, 0)$ ; מינימום: $(0, 0)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2}\right)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ , $(2\pi, 0)$ ; מינימום: $(0, 0)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2}\right)$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\cos x (1 + \sin^2 x) - \sin x \cdot 2\sin x \cos x}{(1 + \sin^2 x)^2} \\ &= \frac{\cos^3 x}{(1 + \sin^2 x)^2}\end{aligned}

$1 - \sin^2 x = \cos^2 x$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Leftrightarrow x \\ &= \frac{\pi}{2} \\ \ \frac{3\pi}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \frac{1}{2} \\ \quad f\left(\frac{3\pi}{2}\right) &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

0 < x < \frac{\pi}{2}: \nearrow; \quad \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}: \searrow; \quad \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi: \nearrow

סימן $\cos^3 x$ ; ולכן גם הקצוות הם נקודות קיצון

מקסימום $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ו־ $(2\pi, 0)$ , מינימום $(0, 0)$ ו־ $\left(\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ . המלכודת: לשכוח את נקודות הקצה של התחום הסגור.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 40

Exercice 41

נתון כי $f(x) = \frac{\sin x}{1 + (\sin x)^2}$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = |f(x) - 0.4|$ המוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $g(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$x =$ ____ $\pi$ , $x =$ ____ $\pi$ (מהקטן לגדול; בשתיהן $y = 0$ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x =$ 0.1667 $\pi$ , $x =$ 0.8333 $\pi$ (מהקטן לגדול; בשתיהן $y = 0$ )

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{\sin x}{1 + \sin^2 x} &= 0.4 \Rightarrow 0.4\sin^2 x - \sin x + 0.4 \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}2\sin^2 x - 5\sin x + 2 &= 0 \Rightarrow \sin x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הפתרון $\sin x = 2$ נפסל

\begin{aligned}x &= \frac{\pi}{6} \\ \ \frac{5\pi}{6}\end{aligned}

נקודות החיתוך: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ ו־ $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 41

Exercice 42

הגרפים I–IV

נתון כי $f(x) = \frac{\sin x}{1 + (\sin x)^2}$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = |f(x) - 0.4|$ המוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . ד (1). סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $g(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף IV
Bגרף I
Cגרף III
Dגרף II

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף IV

Corrigé :

\begin{aligned}g(0) &= 0.4 \\ \ g\left(\frac{\pi}{6}\right) &= 0 \\ \ g\left(\frac{\pi}{2}\right) &= 0.1 \\ \ g\left(\frac{5\pi}{6}\right) &= 0 \\ \ g\left(\frac{3\pi}{2}\right) &= 0.9 \\ \ g(2\pi) &= 0.4\end{aligned}

g(x) \ge 0

ערך מוחלט: החלק של $f(x) - 0.4$ שמתחת לציר ה־ $x$ משתקף מעליו

גרף IV: אינו שלילי, נוגע בציר ה־ $x$ ב־ $\frac{\pi}{6}$ וב־ $\frac{5\pi}{6}$ עם "גבעה" נמוכה ביניהן, ומגיע ל־ $0.9$ ב־ $\frac{3\pi}{2}$ . גרף I הוא $|f(x) + 0.4|$ , גרף II הוא $f(x) - 0.4$ בלי ערך מוחלט, וגרף III הוא $|f(x)| - 0.4$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 42

Exercice 43

נתון כי $f(x) = \frac{\sin x}{1 + (\sin x)^2}$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = |f(x) - 0.4|$ המוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . ד (2). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה $g(x)$ , וקבעו את סוגן.

Aמקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, 0.1\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.9\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ ; אין קיצון בקצוות
Bמקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, 0.1\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.9\right)$ , $(2\pi, 0.4)$ ; מינימום: $(0, 0.4)$ , $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$
Cמקסימום: $(0, 0.4)$ , $\left(\frac{\pi}{2}, 0.9\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.1\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ , $(2\pi, 0.4)$
Dמקסימום: $(0, 0.4)$ , $\left(\frac{\pi}{2}, 0.1\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.9\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ , $(2\pi, 0.4)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מקסימום: $(0, 0.4)$ , $\left(\frac{\pi}{2}, 0.1\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.9\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ , $(2\pi, 0.4)$

Corrigé :

\begin{aligned}g &= 0: \ x \\ &= \frac{\pi}{6} \\ \frac{5\pi}{6}\end{aligned}

נקודות החיתוך מסעיף ג הן נקודות מינימום ( $g \ge 0$ )

\begin{aligned}g\left(\frac{\pi}{2}\right) &= |0.5 - 0.4| \\ &= 0.1 \\ \quad g\left(\frac{3\pi}{2}\right) &= |-0.5 - 0.4| \\ &= 0.9\end{aligned}

הקיצון של $f$ נשאר קיצון של $g$

\begin{aligned}g(0) &= g(2\pi) \\ &= 0.4\end{aligned}

ליד $x = 0$ הפונקצייה $g$ יורדת: מקסימום בקצה; ליד $x = 2\pi$ היא יורדת אל הקצה: מינימום בקצה

מקסימום: $(0, 0.4)$ , $\left(\frac{\pi}{2}, 0.1\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.9\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ , $(2\pi, 0.4)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 43

שאלה 8 — פונקצייה רציונלית, משיק ושטח מינימלי

Exercice 44

א. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה $f(x)$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x =$ 1 , $y =$ 9

Corrigé :

x \to 1: \ \frac{a}{(x - 1)^2} \to +\infty

המכנה מתאפס, והמונה $a > 0$

x \to \pm\infty: \ \frac{a}{(x - 1)^2} \to 0 \Rightarrow f \to 9

אסימפטוטה אנכית $x = 1$ ואסימפטוטה אופקית $y = 9$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 44

Exercice 45

הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקצייה $f(x)$ , ושיעור ה־ $x$ שלה הוא $2$ . דרך הנקודה $C$ העבירו משיק לגרף הפונקצייה $f(x)$ . ב. הביעו באמצעות $a$ את משוואת המשיק.

$y =$ ____ $\cdot ax +$ ____ $\cdot a +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $y =$ -2 $\cdot ax +$ 5 $\cdot a +$ 9

Corrigé :

f(2) = a + 9

\begin{aligned}f'(x) &= -\frac{2a}{(x - 1)^3} \Rightarrow f'(2) \\ &= -2a\end{aligned}

\begin{aligned}y - (a + 9) &= -2a(x - 2) \Rightarrow y \\ &= -2ax + 5a + 9\end{aligned}

משוואת המשיק: $y = -2ax + 5a + 9$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 45

Exercice 46

הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקצייה $f(x)$ , ושיעור ה־ $x$ שלה הוא $2$ . דרך הנקודה $C$ העבירו משיק לגרף הפונקצייה $f(x)$ . המשיק חותך את ציר ה־ $x$ בנקודה $A$ ואת הישר $x = 1$ בנקודה $B$ . $D$ היא נקודה ששיעוריה הם $(1 , 0)$ . ג. הביעו באמצעות $a$ את שטח המשולש $ADB$ .

A $\frac{(5a + 9)(3a + 9)}{4a}$
B $\frac{9(a + 3)^2}{2a}$
C $\frac{9(a + 3)^2}{4a}$
D $\frac{3(a + 3)^2}{4a}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{9(a + 3)^2}{4a}$

Corrigé :

\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow x_A \\ &= \frac{5a + 9}{2a}\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 1 \Rightarrow y_B \\ &= 3a + 9\end{aligned}

\begin{aligned}DA &= \frac{5a + 9}{2a} - 1 \\ &= \frac{3a + 9}{2a} \\ \quad DB &= 3a + 9\end{aligned}

הזווית $D$ ישרה: $DA$ על ציר ה־ $x$ ו־ $DB$ על הישר $x = 1$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3a + 9}{2a} \cdot (3a + 9) \\ &= \frac{9(a + 3)^2}{4a}\end{aligned}

$S_{ADB} = \frac{9(a + 3)^2}{4a}$ . המלכודת: לקחת את $x_A$ כאורך הניצב — הניצב מתחיל ב־ $D$ , שבו $x = 1$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 46

Exercice 47

הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקצייה $f(x)$ , ושיעור ה־ $x$ שלה הוא $2$ . דרך הנקודה $C$ העבירו משיק לגרף הפונקצייה $f(x)$ . המשיק חותך את ציר ה־ $x$ בנקודה $A$ ואת הישר $x = 1$ בנקודה $B$ . $D$ היא נקודה ששיעוריה הם $(1 , 0)$ . ד. מצאו את הערך של $a$ שבעבורו שטח המשולש $ADB$ הוא מינימלי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}S(a) &= \frac{9(a + 3)^2}{4a} \\ \quad a > 0\end{aligned}

מסעיף ג

\begin{aligned}S'(a) &= \frac{9}{4} \cdot \frac{2(a + 3)a - (a + 3)^2}{a^2} \\ &= \frac{9(a + 3)(a - 3)}{4a^2}\end{aligned}

\begin{aligned}S'(a) &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

$a = -3$ נפסל ( $a > 0$ )

0 < a < 3: S' < 0; \quad a > 3: S' > 0

מינימום

\begin{aligned}S(3) &= \frac{9 \cdot 36}{12} \\ &= 27\end{aligned}

השטח מינימלי בעבור $a = 3$ (ואז $S = 27$ ).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 47

Les mots de la leçon

משך: meshekh durée
שעה: sha’a heure
רבע: reva quart
לפחות: lefaḥot au moins
אינדוקציה: induktsia raisonnement par récurrence
סדרה: sidra suite
הסתברות: histabrut probabilité
מישור: mishor plan
פולינום: polinom polynôme
פונקציית שורש: funktsiyat shoresh fonction racine
פונקציה רציונלית: funktsia ratsyonalit fonction rationnelle
פונקציה: funktsia fonction
טריגונומטריה: trigonometria trigonométrie
נוסחה: nusḥa formule
סעיף: se’if question (a, b, c…)
נמקו: namku justifiez
הוכיחו: hokhiḥu démontrez
הוכחה: hokhaḥa démonstration
ביטוי אלגברי: bitui algebri expression algébrique
מקדם: mekadem coefficient
פתרון: pitaron solution
מספר טבעי: mispar tiv’i entier naturel
מתקיים: mitkayem est vérifié(e), on a
איבר: ever terme
נכון: nakhon vrai, juste
חשבו: ḥishvu calculez
סכום: skhum somme
מלכודת: malkodet piège
טרפז: trapez trapèze
נקודה: nekuda point
אלכסון: alakhson diagonale
נתון: natun on donne ; donnée (hypothèse)
משולש שווה שוקיים: meshulash shve shokayim triangle isocèle
זוויות מתחלפות: zaviyot mitḥalfot angles alternes-internes
זווית: zavit angle
צלע: tsela côté
קטע: keta segment
שוק: shok côté (d’un angle, côté égal d’un triangle isocèle, côté non parallèle d’un trapèze)
מקבילים: makbilim parallèles
מאונכים: me’unakhim perpendiculaires
מצאו: mits’u trouvez, déterminez
אורך: orekh longueur
משפט פיתגורס: mishpat Pitagoras théorème de Pythagore
משולש ישר זווית: meshulash yeshar zavit triangle rectangle
משולש: meshulash triangle
יחס: yaḥas rapport
נגזרת: nigzeret dérivée
מוגדרת: mugderet définie
גרף: graf graphe, courbe représentative
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
נקודת חיתוך: nekudat khitukh point d’intersection
ציר: tsir axe
שיעורים (של נקודה): shiurim coordonnées
התאימו: hat’imu associez, reliez
מקסימום: maksimum maximum
חיובי: ḥiyuvi positif
שלילי: shlili négatif
מתאפס: mitapes s’annule
נקודת פיתול: nekudat pitul point d’inflexion
חותך: khotekh coupe ; sécante
שטח: shetaḥ aire
ישר: yashar droite
פונקציה קדומה: funktsia kduma primitive
תחום חיוביות: tḥum ḥiyuviyut intervalle où la fonction est positive
מכנה: mekhane dénominateur
מונה: moneh numérateur
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domaine de définition
קבעו: kiv’u déterminez, décidez
שואפת: sho’efet tend vers
שטח כלוא: shetaḥ kalu aire délimitée (sous la courbe)
ריבוע: ribua carré
פונקציה יורדת: funktsia yoredet fonction (ou suite) décroissante
סדרה הנדסית: sidra hendesit suite géométrique
מנה: mana quotient
תרגיל: targil calcul, exercice
תנאי: tnai condition
פרמטר: parameter paramètre
מנת הסדרה: menat ha-sidra raison (d’une suite géométrique)
כפול: kaful fois
פונקציה עולה: funktsia ola fonction (ou suite) croissante
אקראי: akra’i au hasard, aléatoire
פי: pi fois (plus, moins)
התפלגות בינומית: hitpalgut binomit loi binomiale
הסתברות מותנית: histabrut mutnit probabilité conditionnelle
סקר: seker enquête, sondage
רדיוס: radius rayon
משיק: mashik tangente
מיתר: meitar corde
זווית מרכזית: zavit merkazit angle au centre
נשענת על: nish’enet al intercepte (un arc, une corde)
קשת: keshet arc
אמצע קטע: emtsa keta milieu (d’un segment)
מרכז: merkaz centre
מעגל: ma’agal cercle
זווית היקפית: zavit hekefit angle inscrit
קוטר: koter diamètre
זוויות הבסיס: zaviyot ha-basis angles à la base
משולשים דומים: meshulashim domim triangles semblables
הביעו: habi’u exprimez
יחס הדמיון: yaḥas ha-dimyon rapport de similitude
גובה: gova hauteur
קודקוד: kodkod sommet
תיכון: tikhon médiane
חסום: ḥasum inscrit
חוצה זווית: ḥotse zavit bissectrice
נקודת השקה: nekudat hashaka point de tangence (de contact)
נפסל: nifsal rejeté (à éliminer)
משולש שווה צלעות: meshulash shve tsla’ot triangle équilatéral
להציב: lehatsiv substituer / remplacer
משפט הקוסינוסים: mishpat ha-kosinusim théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus)
בסיס: basis base
שורש: shoresh racine carrée
משוואה: mishva’a équation
אסימפטוטה: asimptota asymptote
אסימפטוטה אנכית: asimptota anakhit asymptote verticale
אסימפטוטה אופקית: asimptota ofkit asymptote horizontale
סימטריה: simetria symétrie
ראשית הצירים: reshit ha-tsirim origine (du repère)
תחום עלייה: tḥum aliya intervalle où la fonction est croissante
כלל המנה: klal ha-mana dérivée d’un quotient
סקיצה: skitsa esquisse (allure du graphe)
מספר אי-זוגי: mispar i-zugi nombre impair
מספר זוגי: mispar zugi nombre pair
מינימום: minimum minimum
ערך מוחלט: erekh muḥlat valeur absolue
משוואת המשיק: mishva’at ha-mashik équation de la tangente
ניצב: nitsav côté de l’angle droit

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elev Découvrir elev pour cette classe

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : Suites