בגרות 35571 — חורף 2026

Sur elev, cette leçon vient avec :

  • Chaque exercice corrigé dès la réponse
  • Un indice au moment où il le faut
  • Le suivi des progrès, chapitre après chapitre
Pratiquer sur elev

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : Suites

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35571 (5 יחידות לימוד, שאלון ראשון, תוכנית חדשה), חורף תשפ״ו, 2026. משך הבחינה: שלוש שעות וארבעים וחמש דקות. עונים על חמש מן השאלות 1–8, על שאלה אחת לפחות מן הפרק הראשון או השני ועל שאלה אחת לפחות מכל אחד מן הפרקים השלישי והרביעי (לכל שאלה – 20 נקודות). פרק ראשון – שאלות קצרות: שאלה 1. פרק שני – אינדוקציה, סדרות והסתברות: שאלות 2–3. פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור: שאלות 4–5. פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־46 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש, ובשאלה 1 עונים על שניים מארבעת הסעיפים. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, לקבוע, להסביר או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך לבחירה בין ביטויים או להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercices

שאלה 1 — שאלות קצרות

Exercice 1

OAKEB

א. בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. דרך הנקודות AA ו־EE שעל המעגל העבירו שני משיקים המאונכים זה לזה. המשיקים נחתכים בנקודה KK. הקטע KOKO חותך את המעגל בנקודה BB. (1) מצאו פי כמה גדול שטח המשולש AOBAOB משטח המשולש AKBAKB.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.4142

Corrigé :

OA⊥AK,OE⊥EK,AK⊥EKOA \perp AK, \quad OE \perp EK, \quad AK \perp EK

רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה, והמשיקים מאונכים זה לזה

OA=OE=R\begin{aligned}OA &= OE \\ &= R\end{aligned}

במרובע OAKEOAKE שלוש זוויות ישרות ושתי צלעות סמוכות שוות: זה ריבוע שצלעו RR

KO=R2OB=RBK=R2−R\begin{aligned}KO &= R\sqrt{2} \\ \quad OB &= R \\ \quad BK &= R\sqrt{2} - R\end{aligned}

KOKO אלכסון הריבוע, ו־BB על המעגל

SAOBSAKB=OBBK\frac{S_{AOB}}{S_{AKB}} = \frac{OB}{BK}

לשני המשולשים אותו גובה: המרחק מן הקודקוד AA אל הישר KOKO

RR2−R=12−1=2+1≈2.414\begin{aligned}\frac{R}{R\sqrt{2} - R} &= \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \\ &= \sqrt{2} + 1 \approx 2.414\end{aligned}

מצמצמים ב־RR ומכפילים במספר הצמוד

שטח המשולש AOBAOB גדול פי 2+1≈2.414\sqrt{2} + 1 \approx 2.414 משטח המשולש AKBAKB.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 1

Exercice 2

OAKEB

א. בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. דרך הנקודות AA ו־EE שעל המעגל העבירו שני משיקים המאונכים זה לזה. המשיקים נחתכים בנקודה KK. הקטע KOKO חותך את המעגל בנקודה BB. נתון כי שטח המשולש AOBAOB הוא 1616. (2) מצאו את אורך הגובה לצלע AKAK במשולש AKBAKB.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.9703

Corrigé :

∠AOB=45∘\angle AOB = 45^\circ

האלכסון KOKO חוצה את הזווית הישרה AOEAOE של הריבוע

SAOB=12⋅OA⋅OB⋅sin⁡45∘=24R2\begin{aligned}S_{AOB} &= \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin 45^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4}R^2\end{aligned}

OA=OB=ROA = OB = R

24R2=16⇒R2=322⇒R≈6.727\begin{aligned}\frac{\sqrt{2}}{4}R^2 &= 16 \Rightarrow R^2 \\ &= 32\sqrt{2} \Rightarrow R \approx 6.727\end{aligned}
SAKB=162+1=16(2−1)≈6.627\begin{aligned}S_{AKB} &= \frac{16}{\sqrt{2} + 1} \\ &= 16(\sqrt{2} - 1) \approx 6.627\end{aligned}

מסעיף (1)

h=2SAKBAK=32(2−1)R≈1.970\begin{aligned}h &= \frac{2S_{AKB}}{AK} \\ &= \frac{32(\sqrt{2} - 1)}{R} \approx 1.970\end{aligned}

AK=RAK = R, צלע הריבוע

אורך הגובה לצלע AKAK במשולש AKBAKB הוא h≈1.97h \approx 1.97. בדיקה: h=R−R2h = R - \frac{R}{\sqrt{2}}, המרחק של BB מן הישר AKAK.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 2

Exercice 3

ב. בתחרות שחמט, שני שחקנים – יאיר ונדב – מתחרים זה נגד זה. כל משחק יכול להסתיים באחת מ־33 התוצאות האלה: ניצחון של יאיר, ניצחון של נדב או תיקו. בכל משחק ההסתברות שיאיר ינצח היא קבועה וגדולה פי 22 מן ההסתברות שנדב ינצח. נסמן ב־pp את ההסתברות שנדב ינצח במשחק אחד. יאיר ונדב משחקים שני משחקים. (1) הביעו באמצעות pp את ההסתברות שאחד מן השחקנים ישיג שני ניצחונות.

P=P = ____ ⋅p2\cdot p^2

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : P=P = 5 ⋅p2\cdot p^2

Corrigé :

(2p)2=4p2(2p)^2 = 4p^2

יאיר מנצח בשני המשחקים; המשחקים בלתי תלויים

p⋅p=p2p \cdot p = p^2

נדב מנצח בשני המשחקים

4p2+p2=5p24p^2 + p^2 = 5p^2

שני מאורעות זרים: מחברים את ההסתברויות

ההסתברות שאחד מן השחקנים ישיג שני ניצחונות היא 5p25p^2.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 3

Exercice 4

ב. בתחרות שחמט, שני שחקנים – יאיר ונדב – מתחרים זה נגד זה. כל משחק יכול להסתיים באחת מ־33 התוצאות האלה: ניצחון של יאיר, ניצחון של נדב או תיקו. בכל משחק ההסתברות שיאיר ינצח היא קבועה וגדולה פי 22 מן ההסתברות שנדב ינצח. נסמן ב־pp את ההסתברות שנדב ינצח במשחק אחד. יאיר ונדב משחקים שני משחקים. ידוע שאם שום שחקן לא השיג שני ניצחונות, ההסתברות שכל אחד מן המשחקים יסתיים בתיקו היא 931\frac{9}{31}. (2) קבעו איזו מן האפשרויות I–III שלפניכם מתאימה לערך של pp. נמקו את קביעתכם.

  1. AII. p=1127p = \frac{11}{27}
  2. BI. p=110p = \frac{1}{10}
  3. CIII. p=16p = \frac{1}{6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C III. p=16p = \frac{1}{6}

Corrigé :

1−2p−p=1−3p1 - 2p - p = 1 - 3p

ההסתברות לתיקו במשחק אחד

1−5p21 - 5p^2

ההסתברות ששום שחקן לא השיג שני ניצחונות: המשלים של סעיף (1)

(1−3p)21−5p2=931\frac{(1 - 3p)^2}{1 - 5p^2} = \frac{9}{31}

הסתברות מותנית: שני תיקו הם מקרה פרטי של «אין שני ניצחונות»

31(1−3p)2=9(1−5p2)⇒162p2−93p+11=0\begin{aligned}31(1 - 3p)^2 &= 9(1 - 5p^2) \Rightarrow 162p^2 - 93p + 11 \\ &= 0\end{aligned}
p1=16p2=1127\begin{aligned}p_1 &= \frac{1}{6} \\ \quad p_2 &= \frac{11}{27}\end{aligned}

פתרונות המשוואה הריבועית

1−3⋅1127=−29<01 - 3 \cdot \frac{11}{27} = -\frac{2}{9} < 0

ב־p=1127p = \frac{11}{27} ההסתברות לתיקו שלילית: הפתרון נפסל

(1−0.3)21−0.05=4995≠931\frac{(1 - 0.3)^2}{1 - 0.05} = \frac{49}{95} \ne \frac{9}{31}

האפשרות I אינה מקיימת את המשוואה

האפשרות III: p=16p = \frac{1}{6}. האפשרות II מקיימת את המשוואה, אבל איתה ההסתברות לתיקו, 1−3p1 - 3p, שלילית, ולכן היא אינה מתאימה.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 4

Exercice 5

ג. נתונה הפונקציה f(x)=x2−1+216−x2f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + 2\sqrt{16 - x^2}. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. A−4≤x≤4-4 \le x \le 4
  2. Bx≤−1x \le -1 או x≥1x \ge 1
  3. C−4<x<−1-4 < x < -1 או 1<x<41 < x < 4
  4. D−4≤x≤−1-4 \le x \le -1 או 1≤x≤41 \le x \le 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −4≤x≤−1-4 \le x \le -1 או 1≤x≤41 \le x \le 4

Corrigé :

x2−1≥0⇒x2≥1x^2 - 1 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 1

ביטוי מתחת לשורש ריבועי אינו שלילי: x≤−1x \le -1 או x≥1x \ge 1

16−x2≥0⇒−4≤x≤416 - x^2 \ge 0 \Rightarrow -4 \le x \le 4

השורש השני

1≤x2≤161 \le x^2 \le 16

שני התנאים יחד

תחום ההגדרה: −4≤x≤−1-4 \le x \le -1 או 1≤x≤41 \le x \le 4.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 5

Exercice 6

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

ג. נתונה הפונקציה f(x)=x2−1+216−x2f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + 2\sqrt{16 - x^2}. (2) אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה f(x)f(x). קבעו איזה מהם ונמקו את קביעתכם.

  1. Aגרף IV
  2. Bגרף II
  3. Cגרף I
  4. Dגרף III
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף IV

Corrigé :

−4≤x≤−1,1≤x≤4-4 \le x \le -1, \quad 1 \le x \le 4

מסעיף (1): אין גרף בין x=−1x = -1 ל־x=1x = 1, ולכן גרפים I ו־II נפסלים

f(1)=215≈7.75f(4)=15≈3.87\begin{aligned}f(1) &= 2\sqrt{15} \approx 7.75 \\ \quad f(4) &= \sqrt{15} \approx 3.87\end{aligned}

הערכים בקצות הענף הימני

f′(x)=xx2−1−2x16−x2f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} - \frac{2x}{\sqrt{16 - x^2}}

נגזרת של שורש

f′(x)=0⇒16−x2=4(x2−1)⇒x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow 16 - x^2 \\ &= 4(x^2 - 1) \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

נקודת קיצון אחת בכל ענף

f(2)=3+212=53≈8.66\begin{aligned}f(2) &= \sqrt{3} + 2\sqrt{12} \\ &= 5\sqrt{3} \approx 8.66\end{aligned}

גבוה משני הקצוות: מקסימום

גרף IV: בכל ענף הגרף עולה מקצה התחום אל מקסימום ב־x=±2x = \pm 2 ויורד אל הקצה השני. בגרף III יש בכל ענף מינימום, ובגרפים I ו־II הפונקציה מוגדרת גם בין −1-1 ל־11. הפונקציה זוגית, ולכן שני הענפים סימטריים סביב ציר ה־yy.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 6

Exercice 7

ד. נתונה סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים an=cos⁡(π⋅2n)5⋅2na_n = \frac{\cos(\pi \cdot 2^n)}{5 \cdot 2^n} לכל nn טבעי. (1) מצאו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה ana_n. (יש לכתוב כמספרים עשרוניים.)

a1=a_1 = ____ , a2=a_2 = ____ , a3=a_3 = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a1=a_1 = 0.1 , a2=a_2 = 0.05 , a3=a_3 = 0.025

Corrigé :

cos⁡(2π)=cos⁡(4π)=cos⁡(8π)=1\begin{aligned}\cos(2\pi) &= \cos(4\pi) \\ &= \cos(8\pi) \\ &= 1\end{aligned}

הקוסינוס של כפולה זוגית של π\pi

a1=110a2=120a3=140\begin{aligned}a_1 &= \frac{1}{10} \\ \quad a_2 &= \frac{1}{20} \\ \quad a_3 &= \frac{1}{40}\end{aligned}

המכנים: 5⋅2=105 \cdot 2 = 10, 5⋅4=205 \cdot 4 = 20, 5⋅8=405 \cdot 8 = 40

a1=0.1a_1 = 0.1, a2=0.05a_2 = 0.05, a3=0.025a_3 = 0.025.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 7

Exercice 8

ד. נתונה סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים an=cos⁡(π⋅2n)5⋅2na_n = \frac{\cos(\pi \cdot 2^n)}{5 \cdot 2^n} לכל nn טבעי. (2) הוכיחו כי הסדרה ana_n היא הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

  • an=cos⁡(π⋅2n)5⋅2na_n = \frac{\cos(\pi \cdot 2^n)}{5 \cdot 2^n} לכל nn טבעי

הסדרה ana_n הנדסית, ומנתה 12\frac{1}{2}

Voir la réponse et le corrigé
  1. 2n2^n מספר זוגי לכל nn טבעי — 2n=2⋅2n−12^n = 2 \cdot 2^{n-1}, ו־2n−12^{n-1} מספר שלם
  2. cos⁡(π⋅2n)=1\cos(\pi \cdot 2^n) = 1 — הקוסינוס של כפולה זוגית של π\pi שווה ל־11
  3. an=15⋅2na_n = \frac{1}{5 \cdot 2^n} — מציבים במונה של ana_n
  4. an+1an=5⋅2n5⋅2n+1=12\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5 \cdot 2^n}{5 \cdot 2^{n+1}} = \frac{1}{2} — מחלקים כל איבר באיבר שלפניו
  5. הסדרה ana_n הנדסית, ומנתה q=12q = \frac{1}{2} — המנה בין כל איבר לאיבר שלפניו קבועה: זו הגדרת סדרה הנדסית

Corrigé :

cos⁡(π⋅2n)=1\cos(\pi \cdot 2^n) = 1

2n2^n זוגי לכל nn טבעי

an=15⋅2na_n = \frac{1}{5 \cdot 2^n}
an+1an=5⋅2n5⋅2n+1=12\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{5 \cdot 2^n}{5 \cdot 2^{n+1}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

היחס אינו תלוי ב־nn

הסדרה הנדסית, ומנתה q=12q = \frac{1}{2}.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 8

Exercice 9

ד. נתונה סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים an=cos⁡(π⋅2n)5⋅2na_n = \frac{\cos(\pi \cdot 2^n)}{5 \cdot 2^n} לכל nn טבעי. (3) מצאו את סכום הסדרה ana_n.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2

Corrigé :

a1=110q=12\begin{aligned}a_1 &= \frac{1}{10} \\ \quad q &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מסעיפים (1) ו־(2)

S=a11−q=1101−12=15\begin{aligned}S &= \frac{a_1}{1 - q} \\ &= \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{5}\end{aligned}

∣q∣<1|q| < 1: הסכום מתכנס

סכום הסדרה הוא 15=0.2\frac{1}{5} = 0.2.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 9

Votre enfant a-t-il compris ?

Sur elev, chaque exercice est corrigé dès qu'il répond, et un indice arrive au moment où il bloque.

Pratiquer sur elev

שאלה 2 — סדרה הנדסית אין־סופית ואינדוקציה

Exercice 10

א. מצאו את הערך של qq.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

T=a11−q2R=a1q1−q2\begin{aligned}T &= \frac{a_1}{1 - q^2} \\ \quad R &= \frac{a_1 q}{1 - q^2}\end{aligned}

האיברים במקומות האי־זוגיים הם סדרה הנדסית שמנתה q2q^2 ואיברה הראשון a1a_1; האיברים במקומות הזוגיים מתחילים ב־a1qa_1 q

TR=1q⇒1q2=16\begin{aligned}\frac{T}{R} &= \frac{1}{q} \Rightarrow \frac{1}{q^2} \\ &= 16\end{aligned}
q=±14q = \pm\frac{1}{4}
q=14q = \frac{1}{4}

סדרה שמנתה שלילית מחליפה סימן, ולכן אינה יורדת

q=14=0.25q = \frac{1}{4} = 0.25.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 10

Exercice 11

נתונה סדרה bnb_n שאיבריה מקיימים bn=1+qan⋅an+1b_n = \frac{1 + q}{a_n \cdot a_{n+1}} לכל nn טבעי. נתון: b1=1b_1 = 1. ב. מצאו את הערך של a1a_1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.2361

Corrigé :

b1=1+qa1⋅a2=54a12⋅14=5a12\begin{aligned}b_1 &= \frac{1 + q}{a_1 \cdot a_2} \\ &= \frac{\frac{5}{4}}{a_1^2 \cdot \frac{1}{4}} \\ &= \frac{5}{a_1^2}\end{aligned}

a2=a1q=a14a_2 = a_1 q = \frac{a_1}{4}

5a12=1⇒a12=5\begin{aligned}\frac{5}{a_1^2} &= 1 \Rightarrow a_1^2 \\ &= 5\end{aligned}
a1=5≈2.236a_1 = \sqrt{5} \approx 2.236

סדרה יורדת שמנתה חיובית: an+1−an=an(q−1)<0a_{n+1} - a_n = a_n(q - 1) < 0 רק כאשר a1>0a_1 > 0

a1=5≈2.236a_1 = \sqrt{5} \approx 2.236.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 11

Exercice 12

נתונה סדרה bnb_n שאיבריה מקיימים bn=1+qan⋅an+1b_n = \frac{1 + q}{a_n \cdot a_{n+1}} לכל nn טבעי. נתון: b1=1b_1 = 1. ג. הביעו באמצעות nn את bnb_n.

  1. Abn=16nb_n = 16^n
  2. Bbn=16n−1b_n = 16^{n-1}
  3. Cbn=54⋅16n−1b_n = \frac{5}{4} \cdot 16^{n-1}
  4. Dbn=4n−1b_n = 4^{n-1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B bn=16n−1b_n = 16^{n-1}

Corrigé :

an⋅an+1=a1qn−1⋅a1qn=a12q2n−1=5⋅(14)2n−1\begin{aligned}a_n \cdot a_{n+1} &= a_1 q^{n-1} \cdot a_1 q^n \\ &= a_1^2 q^{2n-1} \\ &= 5 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2n-1}\end{aligned}
bn=545⋅(14)2n−1=14⋅42n−1=42n−2\begin{aligned}b_n &= \frac{\frac{5}{4}}{5 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2n-1}} \\ &= \frac{1}{4} \cdot 4^{2n-1} \\ &= 4^{2n-2}\end{aligned}
42n−2=16n−14^{2n-2} = 16^{n-1}

בדיקה: b1=160=1b_1 = 16^0 = 1

bn=16n−1b_n = 16^{n-1}: סדרה הנדסית שאיברה הראשון 11 ומנתה 1616.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 12

Exercice 13

נתונה סדרה bnb_n שאיבריה מקיימים bn=1+qan⋅an+1b_n = \frac{1 + q}{a_n \cdot a_{n+1}} לכל nn טבעי. נתון: b1=1b_1 = 1. ד. הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל nn טבעי מתקיים: b1+b2+…+bn=16n−115b_1 + b_2 + \ldots + b_n = \frac{16^n - 1}{15}.

  • bn=16n−1b_n = 16^{n-1} לכל nn טבעי (סעיף ג)

b1+b2+…+bn=16n−115b_1 + b_2 + \ldots + b_n = \frac{16^n - 1}{15}

Voir la réponse et le corrigé
  1. b1=1=161−115b_1 = 1 = \frac{16^1 - 1}{15} — בדיקה עבור n=1n = 1
  2. b1+…+bk=16k−115b_1 + \ldots + b_k = \frac{16^k - 1}{15} — הנחת האינדוקציה
  3. b1+…+bk+1=16k−115+16kb_1 + \ldots + b_{k+1} = \frac{16^k - 1}{15} + 16^k — מוסיפים את bk+1=16kb_{k+1} = 16^k ומציבים את הנחת האינדוקציה
  4. 16k−115+16k=16⋅16k−115=16k+1−115\frac{16^k - 1}{15} + 16^k = \frac{16 \cdot 16^k - 1}{15} = \frac{16^{k+1} - 1}{15} — מכנה משותף: 16k=15⋅16k1516^k = \frac{15 \cdot 16^k}{15}
  5. b1+…+bk+1=16k+1−115b_1 + \ldots + b_{k+1} = \frac{16^{k+1} - 1}{15} — זו הטענה עבור n=k+1n = k + 1; עם הבדיקה עבור n=1n = 1, היא נכונה לכל nn טבעי

Corrigé :

b1=1=16−115\begin{aligned}b_1 &= 1 \\ &= \frac{16 - 1}{15}\end{aligned}

הבדיקה עבור n=1n = 1

16k−115+16k=16k−1+15⋅16k15=16k+1−115\begin{aligned}\frac{16^k - 1}{15} + 16^k &= \frac{16^k - 1 + 15 \cdot 16^k}{15} \\ &= \frac{16^{k+1} - 1}{15}\end{aligned}

הנחת האינדוקציה, ואז האיבר bk+1=16kb_{k+1} = 16^k

דרך אחרת: bnb_n סדרה הנדסית שאיברה הראשון 11 ומנתה 1616 (סעיף ג), ולפי נוסחת הסכום Sn=1⋅(16n−1)16−1=16n−115S_n = \frac{1 \cdot (16^n - 1)}{16 - 1} = \frac{16^n - 1}{15}.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 13

שאלה 3 — הסתברות: מדריכים ורישיון נהיגה

Exercice 14

א. מצאו כמה אחוזים מן התלמידים בשכבה זו הם מדריכים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

P(A∣B)=12P(A \mid B) = \frac{1}{2}

נסמן ב־AA את המאורע «התלמיד מדריך» וב־BB את המאורע «יש לתלמיד רישיון נהיגה»

P(B‾∣A)=P(A∣B)=12⇒P(B∣A)=12\begin{aligned}P(\overline{B} \mid A) &= P(A \mid B) \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow P(B \mid A) \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הנתון על שני האחוזים

P(A∩B)=12P(B)=12P(A)⇒P(A)=P(B)\begin{aligned}P(A \cap B) &= \frac{1}{2}P(B) \\ &= \frac{1}{2}P(A) \Rightarrow P(A) \\ &= P(B)\end{aligned}
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=1.5P(A)=0.45\begin{aligned}P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ &= 1.5P(A) \\ &= 0.45\end{aligned}
P(A)=0.3P(A) = 0.3

30%30\% מן התלמידים בשכבה הם מדריכים (וגם 30%30\% מהם בעלי רישיון).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 14

Exercice 15

ב. בוחרים באקראי תלמיד מבין התלמידים שאין להם רישיון. מהי ההסתברות שתלמיד זה הוא מדריך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2143

Corrigé :

P(A∩B)=0.15P(A∩B‾)=0.3−0.15=0.15\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.15 \\ \quad P(A \cap \overline{B}) &= 0.3 - 0.15 \\ &= 0.15\end{aligned}

נסמן ב־AA את המאורע «התלמיד מדריך» וב־BB את המאורע «יש לתלמיד רישיון נהיגה»

P(B‾)=1−0.3=0.7\begin{aligned}P(\overline{B}) &= 1 - 0.3 \\ &= 0.7\end{aligned}
P(A∣B‾)=0.150.7=314≈0.2143\begin{aligned}P(A \mid \overline{B}) &= \frac{0.15}{0.7} \\ &= \frac{3}{14} \approx 0.2143\end{aligned}

הסתברות מותנית

ההסתברות היא 314≈0.214\frac{3}{14} \approx 0.214.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 15

Exercice 16

בוחרים באקראי 55 תלמידים מבין התלמידים שאין להם רישיון. ג (1). מהי ההסתברות שנבחר יותר ממדריך אחד?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2922

Corrigé :

X∼Bin(5,314)X \sim \mathrm{Bin}\left(5, \frac{3}{14}\right)

התיכון גדול: הבחירות בלתי תלויות, ובכל אחת ההסתברות למדריך היא 314\frac{3}{14} (סעיף ב). XX הוא מספר המדריכים שנבחרו

P(X=0)=(1114)5≈0.2994P(X = 0) = \left(\frac{11}{14}\right)^5 \approx 0.2994
P(X=1)=5⋅314⋅(1114)4≈0.4083P(X = 1) = 5 \cdot \frac{3}{14} \cdot \left(\frac{11}{14}\right)^4 \approx 0.4083
P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)≈0.2922P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 0.2922

המאורע המשלים

ההסתברות שנבחר יותר ממדריך אחד היא 78579268912≈0.292\frac{78579}{268912} \approx 0.292.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 16

Exercice 17

בוחרים באקראי 55 תלמידים מבין התלמידים שאין להם רישיון. ג (2). ידוע שנבחר יותר ממדריך אחד. מהי ההסתברות כי מספר המדריכים שנבחרו הוא זוגי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.7906

Corrigé :

P(X=2)=(52)(314)2(1114)3≈0.2227P(X = 2) = \binom{5}{2}\left(\frac{3}{14}\right)^2\left(\frac{11}{14}\right)^3 \approx 0.2227

התיכון גדול: הבחירות בלתי תלויות, ובכל אחת ההסתברות למדריך היא 314\frac{3}{14} (סעיף ב). XX הוא מספר המדריכים שנבחרו

P(X=4)=(54)(314)4⋅1114≈0.0083P(X = 4) = \binom{5}{4}\left(\frac{3}{14}\right)^4 \cdot \frac{11}{14} \approx 0.0083

מספר זוגי גדול מ־11: 22 או 44

P(X=2)+P(X=4)P(X≥2)≈0.23100.2922≈0.7906\frac{P(X = 2) + P(X = 4)}{P(X \ge 2)} \approx \frac{0.2310}{0.2922} \approx 0.7906

הסתברות מותנית, עם סעיף ג (1)

ההסתברות היא 1380517462≈0.791\frac{13805}{17462} \approx 0.791.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 17

שאלה 4 — משולש קהה זווית חסום במעגל

Exercice 18

א. הוכיחו כי AFAF הוא קוטר במעגל.

  • ∠BAC=∠BCA\angle BAC = \angle BCA
  • KK על המשך הצלע ABAB, ו־AB=BKAB = BK
  • FF על המעגל, על המשך הקטע KCKC

AFAF קוטר במעגל

Voir la réponse et le corrigé
  1. BA=BCBA = BC — מול זוויות שוות במשולש מונחות צלעות שוות
  2. BC=BKBC = BK — כלל המעבר: BC=BABC = BA ו־BA=BKBA = BK
  3. ∠ACK=90∘\angle ACK = 90^\circ — במשולש ACKACK התיכון CBCB שווה למחצית הצלע AKAK: המשולש ישר זווית
  4. ∠ACF=90∘\angle ACF = 90^\circ — זוויות צמודות משלימות ל־180∘180^\circ
  5. AFAF קוטר במעגל — זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

Corrigé :

BA=BC=BK\begin{aligned}BA &= BC \\ &= BK\end{aligned}

מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות, ו־AB=BKAB = BK נתון

∠ACK=90∘\angle ACK = 90^\circ

התיכון CBCB במשולש ACKACK שווה למחצית הצלע AKAK

∠ACF=180∘−90∘=90∘\begin{aligned}\angle ACF &= 180^\circ - 90^\circ \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית צמודה

הזווית ההיקפית ∠ACF\angle ACF ישרה, ולכן היא נשענת על קוטר: AFAF קוטר במעגל.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 18

Exercice 19

המיתרים BFBF ו־ACAC נחתכים בנקודה DD. ב. הוכיחו כי המשולש ADKADK הוא שווה שוקיים.

  • AFAF קוטר במעגל (סעיף א)
  • AB=BKAB = BK, ו־KK על המשך ABAB
  • DD נקודת החיתוך של BFBF ו־ACAC

המשולש ADKADK שווה שוקיים: DA=DKDA = DK

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠ABF=90∘\angle ABF = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  2. FB⊥AKFB \perp AK — AA, BB ו־KK על ישר אחד
  3. FBFB האנך האמצעי לקטע AKAK — BB אמצע AKAK (AB=BKAB = BK), ו־FB⊥AKFB \perp AK בנקודה BB
  4. DA=DKDA = DK — כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחקים שווים מקצותיו; DD על BFBF

Corrigé :

∠ABF=90∘\angle ABF = 90^\circ

זווית היקפית על הקוטר AFAF

AB=BKFB⊥AK\begin{aligned}AB &= BK \\ \quad FB \perp AK\end{aligned}

FBFB האנך האמצעי לקטע AKAK

DA=DKDA = DK

DD על האנך האמצעי

המשולש ADKADK שווה שוקיים, ובסיסו AKAK. אפשר גם בחפיפה: △ABD≅△KBD\triangle ABD \cong \triangle KBD (צ.ז.צ).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 19

Exercice 20

המיתרים BFBF ו־ACAC נחתכים בנקודה DD. ג (1). הוכיחו כי המרובע BDCKBDCK הוא בר חסימה במעגל.

  • ∠ABF=90∘\angle ABF = 90^\circ (סעיף ב)
  • ∠ACK=90∘\angle ACK = 90^\circ (סעיף א)
  • DD על BFBF ועל ACAC

המרובע BDCKBDCK בר חסימה במעגל

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠DBK=90∘\angle DBK = 90^\circ — זווית צמודה ל־∠ABD=90∘\angle ABD = 90^\circ
  2. ∠DCK=90∘\angle DCK = 90^\circ — DD על ACAC, ולכן ∠DCK=∠ACK\angle DCK = \angle ACK
  3. ∠DBK+∠DCK=180∘\angle DBK + \angle DCK = 180^\circ — סכום שתי זוויות ישרות
  4. המרובע BDCKBDCK בר חסימה במעגל — מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ הוא בר חסימה

Corrigé :

∠DBK=90∘∠DCK=90∘\begin{aligned}\angle DBK &= 90^\circ \\ \quad \angle DCK &= 90^\circ\end{aligned}

מסעיפים א ו־ב

∠DBK+∠DCK=180∘\angle DBK + \angle DCK = 180^\circ

זוויות נגדיות במרובע BDCKBDCK

סכום הזוויות הנגדיות BB ו־CC הוא 180∘180^\circ, ולכן המרובע BDCKBDCK בר חסימה. הקטע DKDK הוא קוטר במעגל החוסם אותו.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 20

Exercice 21

המיתרים BFBF ו־ACAC נחתכים בנקודה DD. ג (2). הוכיחו כי ∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC.

  • המרובע BDCKBDCK בר חסימה במעגל (סעיף ג (1))
  • DD על BFBF

∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠DKC=∠DBC\angle DKC = \angle DBC — במעגל החוסם את BDCKBDCK: זוויות היקפיות הנשענות על הקשת DCDC
  2. ∠DBC=∠FBC\angle DBC = \angle FBC — DD על הקטע BFBF
  3. ∠FBC=∠FAC\angle FBC = \angle FAC — במעגל הנתון: זוויות היקפיות הנשענות על הקשת FCFC
  4. ∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC — כלל המעבר

Corrigé :

∠DKC=∠DBC\angle DKC = \angle DBC

זוויות היקפיות על DCDC במעגל של BDCKBDCK

∠DBC=∠FBC=∠FAC\begin{aligned}\angle DBC &= \angle FBC \\ &= \angle FAC\end{aligned}

זוויות היקפיות על FCFC במעגל הנתון

∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 21

Exercice 22

המיתרים BFBF ו־ACAC נחתכים בנקודה DD. ד. הוכיחו כי AC⋅AD=KC⋅AFAC \cdot AD = KC \cdot AF.

  • ∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC (סעיף ג (2))
  • ∠ACK=90∘\angle ACK = 90^\circ (סעיף א)
  • DA=DKDA = DK (סעיף ב)

AC⋅AD=KC⋅AFAC \cdot AD = KC \cdot AF

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠DCK=∠FCA=90∘\angle DCK = \angle FCA = 90^\circ — ∠DCK=∠ACK\angle DCK = \angle ACK, ו־∠FCA\angle FCA צמודה לה
  2. △DKC∼△FAC\triangle DKC \sim \triangle FAC — משפט הדמיון ז.ז: ∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC ו־∠DCK=∠FCA\angle DCK = \angle FCA
  3. DKFA=KCAC\frac{DK}{FA} = \frac{KC}{AC} — יחס צלעות מתאימות במשולשים דומים
  4. DK⋅AC=KC⋅AFDK \cdot AC = KC \cdot AF — כופלים במכנים
  5. AC⋅AD=KC⋅AFAC \cdot AD = KC \cdot AF — מציבים DK=DADK = DA (סעיף ב)

Corrigé :

△DKC∼△FAC\triangle DKC \sim \triangle FAC

ז.ז: ∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC, ושתי זוויות ישרות ב־CC

DKFA=KCAC⇒DK⋅AC=KC⋅AF\begin{aligned}\frac{DK}{FA} &= \frac{KC}{AC} \Rightarrow DK \cdot AC \\ &= KC \cdot AF\end{aligned}
DK=DADK = DA

סעיף ב

AC⋅AD=KC⋅AFAC \cdot AD = KC \cdot AF.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 22

שאלה 5 — דלתון ומעגלים חוסמים

Exercice 23

א. הביעו באמצעות kk ו־α\alpha את רדיוס המעגל החוסם את המשולש CDBCDB.

  1. AR=k2cos⁡αR = \frac{k}{2\cos\alpha}
  2. BR=ksin⁡αsin⁡4αR = \frac{k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}
  3. CR=ksin⁡2αsin⁡4αR = \frac{k\sin 2\alpha}{\sin 4\alpha}
  4. DR=2ksin⁡αsin⁡4αR = \frac{2k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B R=ksin⁡αsin⁡4αR = \frac{k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}

Corrigé :

BD=2ksin⁡αBD = 2k\sin\alpha

במשולש שווה השוקיים ABDABD הגובה מ־AA חוצה את זווית הראש 2α2\alpha ואת הבסיס BDBD

∠CBD=∠CDB=2α∠BCD=180∘−4α\begin{aligned}\angle CBD &= \angle CDB \\ &= 2\alpha \\ \quad \angle BCD &= 180^\circ - 4\alpha\end{aligned}

המשולש CDBCDB שווה שוקיים (CB=CDCB = CD)

2R=BDsin⁡∠BCD=2ksin⁡αsin⁡(180∘−4α)=2ksin⁡αsin⁡4α\begin{aligned}2R &= \frac{BD}{\sin\angle BCD} \\ &= \frac{2k\sin\alpha}{\sin(180^\circ - 4\alpha)} \\ &= \frac{2k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש CDBCDB

R=ksin⁡αsin⁡4αR = \frac{k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}. הביטוי k2cos⁡α\frac{k}{2\cos\alpha} הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDABD.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 23

Exercice 24

נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDABD גדול פי 43\frac{4}{3} מרדיוס המעגל החוסם את המשולש CDBCDB. ב. מצאו את גודל הזווית BADBAD. (יש לכתוב את התשובה בדרגות.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 48.1897

Corrigé :

RABD=BD2sin⁡2α=2ksin⁡α4sin⁡αcos⁡α=k2cos⁡α\begin{aligned}R_{ABD} &= \frac{BD}{2\sin 2\alpha} \\ &= \frac{2k\sin\alpha}{4\sin\alpha\cos\alpha} \\ &= \frac{k}{2\cos\alpha}\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש ABDABD

k2cos⁡α=43⋅ksin⁡αsin⁡4α\frac{k}{2\cos\alpha} = \frac{4}{3} \cdot \frac{k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}

הנתון, עם סעיף א

sin⁡4α=83sin⁡αcos⁡α=43sin⁡2α\begin{aligned}\sin 4\alpha &= \frac{8}{3}\sin\alpha\cos\alpha \\ &= \frac{4}{3}\sin 2\alpha\end{aligned}
2sin⁡2αcos⁡2α=43sin⁡2α⇒cos⁡2α=23\begin{aligned}2\sin 2\alpha\cos 2\alpha &= \frac{4}{3}\sin 2\alpha \Rightarrow \cos 2\alpha \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

sin⁡2α≠0\sin 2\alpha \ne 0

2α≈48.19∘2\alpha \approx 48.19^\circ

0∘<2α<90∘0^\circ < 2\alpha < 90^\circ

∠BAD≈48.19∘\angle BAD \approx 48.19^\circ.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 24

Exercice 25

נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDABD גדול פי 43\frac{4}{3} מרדיוס המעגל החוסם את המשולש CDBCDB. הנקודה OO היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABDABD. דרך הנקודה AA העבירו ישר המקביל ל־BDBD וחותך את המשך הצלע CDCD בנקודה EE. נתון כי שטח המשולש AOEAOE הוא 7070. ג. מצאו את הערך של kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14.4464

Corrigé :

cos⁡α=1+cos⁡2α2=56sin⁡2α=53\begin{aligned}\cos\alpha &= \sqrt{\frac{1 + \cos 2\alpha}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{5}{6}} \\ \quad \sin 2\alpha &= \frac{\sqrt{5}}{3}\end{aligned}

מסעיף ב: cos⁡2α=23\cos 2\alpha = \frac{2}{3}

AO=RABD=k2cos⁡α\begin{aligned}AO &= R_{ABD} \\ &= \frac{k}{2\cos\alpha}\end{aligned}

OO על ציר הסימטריה ACAC של הדלתון

∠OAE=90∘\angle OAE = 90^\circ

AC⊥BDAC \perp BD (אלכסוני דלתון), ו־AE∥BDAE \parallel BD

∠DAE=90∘−α∠ADE=180∘−(90∘−α+2α)=90∘−α\begin{aligned}\angle DAE &= 90^\circ - \alpha \\ \quad \angle ADE &= 180^\circ - (90^\circ - \alpha + 2\alpha) \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

∠ADC=∠ADB+∠BDC\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC, ו־∠ADE\angle ADE צמודה לה

AE=ADsin⁡∠ADEsin⁡∠AED=kcos⁡αsin⁡2α=k2sin⁡α\begin{aligned}AE &= \frac{AD\sin\angle ADE}{\sin\angle AED} \\ &= \frac{k\cos\alpha}{\sin 2\alpha} \\ &= \frac{k}{2\sin\alpha}\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש ADEADE, ש־∠AED=2α\angle AED = 2\alpha

SAOE=12⋅k2cos⁡α⋅k2sin⁡α=k24sin⁡2α=3k245\begin{aligned}S_{AOE} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{k}{2\cos\alpha} \cdot \frac{k}{2\sin\alpha} \\ &= \frac{k^2}{4\sin 2\alpha} \\ &= \frac{3k^2}{4\sqrt{5}}\end{aligned}

משולש ישר זווית ב־AA

3k245=70⇒k2=28053≈208.70\begin{aligned}\frac{3k^2}{4\sqrt{5}} &= 70 \Rightarrow k^2 \\ &= \frac{280\sqrt{5}}{3} \approx 208.70\end{aligned}

k≈14.45k \approx 14.45.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 25

שאלה 6 — פונקציית שורש עם פרמטר

Exercice 26

א. הביעו באמצעות kk את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. Ax≤0x \le 0 או x≥k5x \ge \frac{k}{5}
  2. Bx<0x < 0 או x>k5x > \frac{k}{5}
  3. C0<x≤k50 < x \le \frac{k}{5}
  4. Dx<0x < 0 או x≥k5x \ge \frac{k}{5}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x<0x < 0 או x≥k5x \ge \frac{k}{5}

Corrigé :

5x2−kx=x(5x−k)≥05x^2 - kx = x(5x - k) \ge 0

ביטוי מתחת לשורש: הפרבולה מתאפסת ב־00 וב־k5\frac{k}{5} וחיובית מחוץ להם, ולכן x≤0x \le 0 או x≥k5x \ge \frac{k}{5}

x3≠0⇒x≠0x^3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0

המכנה

תחום ההגדרה: x<0x < 0 או x≥k5x \ge \frac{k}{5}.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 26

Exercice 27

נתונה הפונקציה h(x)=−f(x)h(x) = -f(x). שיעור ה־xx של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם גרף הפונקציה h(x)h(x) הוא 1.61.6. ב. מצאו את הערך של kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f(x)=−f(x)⇒f(x)=0\begin{aligned}f(x) &= -f(x) \Rightarrow f(x) \\ &= 0\end{aligned}
5x2−kx=0⇒x=k5\begin{aligned}\sqrt{5x^2 - kx} &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{k}{5}\end{aligned}

x=0x = 0 מחוץ לתחום ההגדרה

k5=1.6⇒k=8\begin{aligned}\frac{k}{5} &= 1.6 \Rightarrow k \\ &= 8\end{aligned}

k=8k = 8.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 27

Exercice 28

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ג (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x). (אסימפטוטה אנכית ואסימפטוטה אופקית.)

x=x = ____ , y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = 0 , y=y = 0

Corrigé :

f(x)=5x2−8xx3f(x) = \frac{\sqrt{5x^2 - 8x}}{x^3}

תחום ההגדרה: x<0x < 0 או x≥1.6x \ge 1.6

lim⁡x→0−f(x)=−∞\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty

כאשר x→0−x \to 0^-: המונה ≈8∣x∣\approx \sqrt{8|x|}, והמכנה x3x^3 שלילי וקטן ממנו בהרבה

lim⁡x→±∞f(x)=lim⁡x→±∞5⋅∣x∣x3=0\begin{aligned}\lim_{x \to \pm\infty} f(x) &= \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\sqrt{5} \cdot |x|}{x^3} \\ &= 0\end{aligned}

המעלה במכנה גבוהה

אסימפטוטה אנכית x=0x = 0, ואסימפטוטה אופקית y=0y = 0.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 28

Exercice 29

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ג (2). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )) ; מינימום (נקודת קצה): (( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: (( 2 ,, 0.25 )) ; מינימום (נקודת קצה): (( 1.6 ,, 0 ))

Corrigé :

f′(x)=10x−825x2−8x⋅x3−3x25x2−8xx6=−10x(x−2)x45x2−8x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\frac{10x - 8}{2\sqrt{5x^2 - 8x}} \cdot x^3 - 3x^2\sqrt{5x^2 - 8x}}{x^6} \\ &= \frac{-10x(x - 2)}{x^4\sqrt{5x^2 - 8x}}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

f′(x)=0⇒x=2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

x=0x = 0 מחוץ לתחום

1.6<x<2:f′(x)>0,x>2:f′(x)<0,x<0:f′(x)<01.6 < x < 2: f'(x) > 0, \quad x > 2: f'(x) < 0, \quad x < 0: f'(x) < 0

סימן המונה −10x(x−2)-10x(x - 2); המכנה חיובי

f(2)=48=14f(1.6)=0\begin{aligned}f(2) &= \frac{\sqrt{4}}{8} \\ &= \frac{1}{4} \\ \quad f(1.6) &= 0\end{aligned}

מקסימום (2,14)\left(2, \frac{1}{4}\right), ומינימום בקצה התחום (1.6,0)(1.6, 0). בענף השמאלי (x<0x < 0) הפונקציה יורדת, ואין בו נקודת קיצון.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 29

Exercice 30

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ג (3). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. Aגרף IV
  2. Bגרף III
  3. Cגרף II
  4. Dגרף I
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C גרף II

Corrigé :

x<0:f(x)<0x < 0: \quad f(x) < 0

מונה חיובי ומכנה שלילי: הענף השמאלי מתחת לציר ה־xx

x→−∞:f(x)→0,x→0−:f(x)→−∞x \to -\infty: f(x) \to 0, \quad x \to 0^-: f(x) \to -\infty

הענף השמאלי יורד מ־y=0y = 0 אל האסימפטוטה x=0x = 0

(1.6,0)↗(2,14)↘0(1.6, 0) \nearrow \left(2, \tfrac{1}{4}\right) \searrow 0

הענף הימני, מסעיף ג (2)

גרף II. גרף I הוא −f(x)-f(x), בגרף III הענף השמאלי מעל ציר ה־xx, וגרף IV הוא השיקוף של גרף ff סביב ציר ה־yy.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 30

Exercice 31

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. נתונה הפונקציה g(x)=(f(x))2g(x) = (f(x))^2 שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. Aגרף IV
  2. Bגרף I
  3. Cגרף III
  4. Dגרף II
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף I

Corrigé :

g(x)=(f(x))2≥0g(x) = (f(x))^2 \ge 0

הגרף אינו יורד מתחת לציר ה־xx

x→0−:g(x)→+∞,x→±∞:g(x)→0x \to 0^-: g(x) \to +\infty, \quad x \to \pm\infty: g(x) \to 0

אותן אסימפטוטות כמו ל־ff

g′(x)=2f(x)f′(x)g'(x) = 2f(x)f'(x)

בענף השמאלי f<0f < 0 ו־f′<0f' < 0, ולכן g′>0g' > 0: gg עולה

(1.6,0)↗(2,116)↘0(1.6, 0) \nearrow \left(2, \tfrac{1}{16}\right) \searrow 0

בענף הימני f≥0f \ge 0, ולכן לסימן של g′g' סימן f′f'

גרף I. גרף II הוא −g(x)-g(x), בגרף III המקסימום הוא 14\frac{1}{4} ולא 116\frac{1}{16}, וגרף IV הוא השיקוף של גרף gg סביב ציר ה־yy.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 31

Exercice 32

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. נתונה הפונקציה g(x)=(f(x))2g(x) = (f(x))^2 שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). aa הוא פרמטר גדול מ־22. ה. האם ערך הביטוי ∫aa+1g(x) dx\int_a^{a+1} g(x)\,dx שווה, גדול או קטן בהשוואה לערך הביטוי ∫aa+1f(x) dx\int_a^{a+1} f(x)\,dx? נמקו את תשובתכם.

  1. Aגדול
  2. Bקטן
  3. Cשווה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B קטן

Corrigé :

x>2:0<f(x)≤14<1x > 2: \quad 0 < f(x) \le \frac{1}{4} < 1

מסעיף ג (2): המקסימום של ff הוא 14\frac{1}{4}, ומימין ל־x=1.6x = 1.6 הפונקציה חיובית

g(x)=f(x)⋅f(x)<f(x)g(x) = f(x) \cdot f(x) < f(x)

מספר בין 00 ל־11 קטן מעצמו כשמעלים אותו בריבוע

∫aa+1g(x) dx<∫aa+1f(x) dx\int_a^{a+1} g(x)\,dx < \int_a^{a+1} f(x)\,dx

אותו קטע, ו־g<fg < f בכל הקטע

ערך הביטוי ∫aa+1g(x) dx\int_a^{a+1} g(x)\,dx קטן מערך הביטוי ∫aa+1f(x) dx\int_a^{a+1} f(x)\,dx.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 32

Exercice 33

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. נתונה הפונקציה g(x)=(f(x))2g(x) = (f(x))^2 שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x), על ידי ציר ה־xx ועל ידי הישרים x=2x = 2 ו־x=6x = 6.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.0772

Corrigé :

S=∫265x2−8xx6 dx=∫26(5x−4−8x−5)dx\begin{aligned}S &= \int_2^6 \frac{5x^2 - 8x}{x^6}\,dx \\ &= \int_2^6 \left(5x^{-4} - 8x^{-5}\right)dx\end{aligned}

g(x)≥0g(x) \ge 0 בקטע: השטח הוא האינטגרל

=[−53x3+2x4]26= \left[-\frac{5}{3x^3} + \frac{2}{x^4}\right]_2^6

פונקציה קדומה

=(−5648+21296)−(−524+216)=−1162+112= \left(-\frac{5}{648} + \frac{2}{1296}\right) - \left(-\frac{5}{24} + \frac{2}{16}\right) = -\frac{1}{162} + \frac{1}{12}
=25324≈0.0772= \frac{25}{324} \approx 0.0772

השטח הוא 25324≈0.077\frac{25}{324} \approx 0.077.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 33

Question 7 — fonction (פונקציה) trigonométrique

Exercice 34

א. הוכיחו כי הפונקציה f(x)f(x) היא זוגית.

  • f(x)=(sin⁡x)2+cos⁡x−1f(x) = (\sin x)^2 + \cos x - 1
  • התחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi סימטרי סביב 00

f(x)f(x) פונקציה זוגית

Voir la réponse et le corrigé
  1. sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x — הסינוס פונקציה אי־זוגית
  2. cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x — הקוסינוס פונקציה זוגית
  3. f(−x)=(−sin⁡x)2+cos⁡x−1=(sin⁡x)2+cos⁡x−1f(-x) = (-\sin x)^2 + \cos x - 1 = (\sin x)^2 + \cos x - 1 — מציבים −x-x בפונקציה
  4. f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) לכל xx בתחום — זו הגדרת פונקציה זוגית; התחום סימטרי, ולכן −x-x בתחום לכל xx בתחום

Corrigé :

f(−x)=(sin⁡(−x))2+cos⁡(−x)−1=(−sin⁡x)2+cos⁡x−1\begin{aligned}f(-x) &= (\sin(-x))^2 + \cos(-x) - 1 \\ &= (-\sin x)^2 + \cos x - 1\end{aligned}
=(sin⁡x)2+cos⁡x−1=f(x)= (\sin x)^2 + \cos x - 1 = f(x)

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) בכל התחום הסימטרי, ולכן f(x)f(x) זוגית.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 34

Exercice 35

ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx. (יש לכתוב משמאל לימין, כמספרים עשרוניים.)

(( ____ ,0), 0) , (( ____ ,0), 0) , (( ____ ,0), 0)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( -1.5708 ,0), 0) , (( 0 ,0), 0) , (( 1.5708 ,0), 0)

Corrigé :

(sin⁡x)2=1−(cos⁡x)2(\sin x)^2 = 1 - (\cos x)^2
f(x)=cos⁡x−(cos⁡x)2=cos⁡x(1−cos⁡x)\begin{aligned}f(x) &= \cos x - (\cos x)^2 \\ &= \cos x(1 - \cos x)\end{aligned}
cos⁡x=0⇒x=±π2\begin{aligned}\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{\pi}{2}\end{aligned}

בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi

cos⁡x=1⇒x=0\begin{aligned}\cos x &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

(−π2,0)\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right), (0,0)(0, 0) ו־(π2,0)\left(\frac{\pi}{2}, 0\right), כלומר x≈−1.571x \approx -1.571, 00, 1.5711.571.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 35

Exercice 36

ב (2). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן. (יש לכתוב כמספרים עשרוניים.)

מקסימום: (±(\pm ____ ,, ____ )) ; מינימום: (( ____ ,, ____ )) ו־(±(\pm ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: (±(\pm 1.0472 ,, 0.25 )) ; מינימום: (( 0 ,, 0 )) ו־(±(\pm 3.1416 ,, -2 ))

Corrigé :

f′(x)=2sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=sin⁡x(2cos⁡x−1)\begin{aligned}f'(x) &= 2\sin x\cos x - \sin x \\ &= \sin x(2\cos x - 1)\end{aligned}
sin⁡x=0⇒x=0±π;cos⁡x=12⇒x=±π3\begin{aligned}\sin x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \pm\pi; \quad \cos x &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{\pi}{3}\end{aligned}
0<x<π3:f′(x)>0,π3<x<π:f′(x)<00 < x < \frac{\pi}{3}: f'(x) > 0, \quad \frac{\pi}{3} < x < \pi: f'(x) < 0

בצד השמאלי ההפך, כי ff זוגית

f(±π3)=34+12−1=14f(0)=0f(±π)=−2\begin{aligned}f\left(\pm\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - 1 \\ &= \frac{1}{4} \\ \quad f(0) &= 0 \\ \quad f(\pm\pi) &= -2\end{aligned}

מקסימום (±π3,14)\left(\pm\frac{\pi}{3}, \frac{1}{4}\right); מינימום (0,0)(0, 0), ומינימום בקצות התחום (±π,−2)(\pm\pi, -2).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 36

Exercice 37

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. Aגרף IV
  2. Bגרף II
  3. Cגרף I
  4. Dגרף III
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף III

Corrigé :

(−π,−2)↗(−π3,14)↘(0,0)↗(π3,14)↘(π,−2)(-\pi, -2) \nearrow \left(-\tfrac{\pi}{3}, \tfrac{1}{4}\right) \searrow (0, 0) \nearrow \left(\tfrac{\pi}{3}, \tfrac{1}{4}\right) \searrow (\pi, -2)

מסעיף ב

f(±π2)=0f\left(\pm\frac{\pi}{2}\right) = 0

הגרף נוגע בציר ה־xx ב־00 וחותך אותו ב־±π2\pm\frac{\pi}{2}

גרף III. בגרף II אין שתי נקודות מקסימום, וגרפים I ו־IV מגיעים ל־−2-2 דווקא ב־x=0x = 0.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 37

Exercice 38

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה g(x)g(x) יש בדיוק שתי אסימפטוטות אנכיות. ד. כתבו שני ערכים אפשריים של bb, שאחד מהם חיובי והאחר שלילי. ד (1). מהו הערך השלילי האפשרי של bb?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.25

Corrigé :

f(x)+b=0⇔f(x)=−b\begin{aligned}f(x) + b &= 0 \Leftrightarrow f(x) \\ &= -b\end{aligned}

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס, והמונה הוא 11

−2≤f(x)≤14-2 \le f(x) \le \frac{1}{4}

הישר y=−by = -b פוגש את גרף ff בשתי נקודות בדיוק כאשר −b=14-b = \frac{1}{4} (בשתי נקודות המקסימום) או כאשר −2<−b<0-2 < -b < 0 (פעם אחת בכל ענף יורד); כאשר 0≤−b<140 \le -b < \frac{1}{4} הוא פוגש אותו שלוש או ארבע פעמים, וכאשר −b>14-b > \frac{1}{4} או −b<−2-b < -2 אף לא פעם אחת

b<0⇒−b>0⇒−b=14b < 0 \Rightarrow -b > 0 \Rightarrow -b = \frac{1}{4}

הערך השלילי הוא b=−14=−0.25b = -\frac{1}{4} = -0.25. אז f(x)−14=−(cos⁡x−12)2f(x) - \frac{1}{4} = -\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2 מתאפס רק ב־x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3}.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 38

Exercice 39

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה g(x)g(x) יש בדיוק שתי אסימפטוטות אנכיות. ד. כתבו שני ערכים אפשריים של bb, שאחד מהם חיובי והאחר שלילי. ד (2). איזה מן הערכים האלה הוא ערך חיובי אפשרי של bb?

  1. Ab=3b = 3
  2. Bb=1b = 1
  3. Cb=4b = 4
  4. Db=52b = \frac{5}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B b=1b = 1

Corrigé :

b=1:f(x)=−1\begin{aligned}b &= 1: \quad f(x) \\ &= -1\end{aligned}

הישר y=−by = -b פוגש את גרף ff בשתי נקודות בדיוק כאשר −b=14-b = \frac{1}{4} (בשתי נקודות המקסימום) או כאשר −2<−b<0-2 < -b < 0 (פעם אחת בכל ענף יורד); כאשר 0≤−b<140 \le -b < \frac{1}{4} הוא פוגש אותו שלוש או ארבע פעמים, וכאשר −b>14-b > \frac{1}{4} או −b<−2-b < -2 אף לא פעם אחת

−2<−1<0-2 < -1 < 0

הישר y=−1y = -1 חותך את גרף ff פעם אחת בכל ענף יורד: שתי אסימפטוטות אנכיות

b>2⇒−b<−2b > 2 \Rightarrow -b < -2

הישר y=−by = -b מתחת לגרף כולו: אין אסימפטוטה אנכית

b=1b = 1. כל bb חיובי שקטן מ־22 מתאים; 52\frac{5}{2}, 33 ו־44 גדולים מ־22.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 39

Exercice 40

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. הציבו בפונקציה g(x)g(x) את הערך השלילי של bb שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו. ה (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x).

  1. A−π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, x≠±π3x \ne \pm\frac{\pi}{3}
  2. B−π<x<π-\pi < x < \pi, x≠±π3x \ne \pm\frac{\pi}{3}
  3. C−π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, x≠±2π3x \ne \pm\frac{2\pi}{3}
  4. D−π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, x≠0x \ne 0, x≠±π2x \ne \pm\frac{\pi}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, x≠±π3x \ne \pm\frac{\pi}{3}

Corrigé :

g(x)=1f(x)−14=−1(cos⁡x−12)2\begin{aligned}g(x) &= \frac{1}{f(x) - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{-1}{\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2}\end{aligned}

f(x)−14=−(cos⁡x)2+cos⁡x−14=−(cos⁡x−12)2f(x) - \frac{1}{4} = -(\cos x)^2 + \cos x - \frac{1}{4} = -\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2

cos⁡x=12⇒x=±π3\begin{aligned}\cos x &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{\pi}{3}\end{aligned}

המכנה מתאפס רק שם

תחום ההגדרה: −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, פרט ל־x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3}. בקצוות ±π\pm\pi הפונקציה מוגדרת: g(±π)=−49g(\pm\pi) = -\frac{4}{9}.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 40

Exercice 41

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. הציבו בפונקציה g(x)g(x) את הערך השלילי של bb שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו. ה (2). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x). (יש לכתוב כמספרים עשרוניים.)

(( ____ ,, ____ )) ו־(±(\pm ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 0 ,, -4 )) ו־(±(\pm 3.1416 ,, -0.4444 ))

Corrigé :

g(x)=1f(x)−14=−1(cos⁡x−12)2\begin{aligned}g(x) &= \frac{1}{f(x) - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{-1}{\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2}\end{aligned}

f(x)−14=−(cos⁡x)2+cos⁡x−14=−(cos⁡x−12)2f(x) - \frac{1}{4} = -(\cos x)^2 + \cos x - \frac{1}{4} = -\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2

g′(x)=−2sin⁡x(cos⁡x−12)3g'(x) = \frac{-2\sin x}{\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^3}

גוזרים −(cos⁡x−12)−2-\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^{-2}

g′(x)=0⇒sin⁡x=0⇒x=0±π\begin{aligned}g'(x) &= 0 \Rightarrow \sin x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \pm\pi\end{aligned}
g(0)=−1(12)2=−4g(±π)=−1(−32)2=−49\begin{aligned}g(0) &= \frac{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} \\ &= -4 \\ \quad g(\pm\pi) &= \frac{-1}{\left(-\frac{3}{2}\right)^2} \\ &= -\frac{4}{9}\end{aligned}

נקודות הקיצון: (0,−4)(0, -4) ו־(±π,−49)\left(\pm\pi, -\frac{4}{9}\right), כלומר y≈−0.444y \approx -0.444 בקצוות.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 41

Exercice 42

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. הציבו בפונקציה g(x)g(x) את הערך השלילי של bb שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו. ה (2). מה סוג נקודות הקיצון (0,−4)(0, -4) ו־(±π,−49)\left(\pm\pi, -\frac{4}{9}\right) של הפונקציה g(x)g(x)?

  1. A(0,−4)(0, -4) מינימום, ו־(±π,−49)\left(\pm\pi, -\frac{4}{9}\right) מקסימום
  2. Bשלוש הנקודות הן נקודות מינימום
  3. Cשלוש הנקודות הן נקודות מקסימום
  4. D(0,−4)(0, -4) מקסימום, ו־(±π,−49)\left(\pm\pi, -\frac{4}{9}\right) מינימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C שלוש הנקודות הן נקודות מקסימום

Corrigé :

g′(x)=−2sin⁡x(cos⁡x−12)3g'(x) = \frac{-2\sin x}{\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^3}

גוזרים −(cos⁡x−12)−2-\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^{-2}

−π3<x<0:g′(x)>0,0<x<π3:g′(x)<0-\frac{\pi}{3} < x < 0: g'(x) > 0, \quad 0 < x < \frac{\pi}{3}: g'(x) < 0

cos⁡x−12>0\cos x - \frac{1}{2} > 0: הסימן הפוך לסימן של sin⁡x\sin x; ב־x=0x = 0 מקסימום

π3<x<π:g′(x)>0\frac{\pi}{3} < x < \pi: g'(x) > 0

cos⁡x−12<0\cos x - \frac{1}{2} < 0 ו־sin⁡x>0\sin x > 0: gg עולה עד הקצה x=πx = \pi, מקסימום קצה

−π<x<−π3:g′(x)<0-\pi < x < -\frac{\pi}{3}: g'(x) < 0

gg יורדת מן הקצה x=−πx = -\pi: מקסימום קצה

שלוש הנקודות הן נקודות מקסימום. לפונקציה אין מינימום: ליד x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3} היא שואפת ל־−∞-\infty.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 42

Exercice 43

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. הציבו בפונקציה g(x)g(x) את הערך השלילי של bb שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו. ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. Aגרף I
  2. Bגרף II
  3. Cגרף IV
  4. Dגרף III
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף II

Corrigé :

g(x)=−1(cos⁡x−12)2<0g(x) = \frac{-1}{\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2} < 0

כל הגרף מתחת לציר ה־xx

x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3}

האסימפטוטות האנכיות; לידן g→−∞g \to -\infty משני הצדדים

g(0)=−4<−49=g(±π)\begin{aligned}g(0) &= -4 < -\frac{4}{9} \\ &= g(\pm\pi)\end{aligned}

המקסימום של הענף האמצעי נמוך מן הערכים בקצוות

גרף II. בגרף I הענף האמצעי מעל ציר ה־xx, בגרף IV כל הגרף מעליו, ובגרף III האסימפטוטות רחוקות יותר מן הראשית והמקסימום האמצעי גבוה מן הקצוות.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 43

שאלה 8 — נקודת פיתול ובעיית קיצון

Exercice 44

א. הביעו באמצעות kk את שיעורי הנקודה AA.

  1. AA(1k,8+2k2)A\left(\frac{1}{k}, 8 + \frac{2}{k^2}\right)
  2. BA(1k,8−4k2)A\left(\frac{1}{k}, 8 - \frac{4}{k^2}\right)
  3. CA(2k,16−4k2)A\left(\frac{2}{k}, 16 - \frac{4}{k^2}\right)
  4. DA(1k,8−2k2)A\left(\frac{1}{k}, 8 - \frac{2}{k^2}\right)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D A(1k,8−2k2)A\left(\frac{1}{k}, 8 - \frac{2}{k^2}\right)

Corrigé :

f′(x)=3kx2−6x+8kf′′(x)=6kx−6\begin{aligned}f'(x) &= 3kx^2 - 6x + 8k \\ \quad f''(x) &= 6kx - 6\end{aligned}
f′′(x)=0⇒x=1k\begin{aligned}f''(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{k}\end{aligned}

f′′f'' ליניארית ומחליפה סימן ב־x=1kx = \frac{1}{k}

f(1k)=kk3−3k2+8=8−2k2\begin{aligned}f\left(\frac{1}{k}\right) &= \frac{k}{k^3} - \frac{3}{k^2} + 8 \\ &= 8 - \frac{2}{k^2}\end{aligned}

A(1k,8−2k2)A\left(\frac{1}{k}, 8 - \frac{2}{k^2}\right).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 44

Exercice 45

נתון כי הנקודה AA נמצאת ברביע הראשון. ב. מצאו את תחום הערכים האפשרי של kk.

k>k > ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : k>k > 0.5

Corrigé :

1k>0⇒k>0\frac{1}{k} > 0 \Rightarrow k > 0

שיעור ה־xx חיובי

8−2k2>0⇒k2>148 - \frac{2}{k^2} > 0 \Rightarrow k^2 > \frac{1}{4}

שיעור ה־yy חיובי

k>12k > \frac{1}{2}

יחד עם k>0k > 0

k>12k > \frac{1}{2}.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 45

Exercice 46

נתון כי הנקודה AA נמצאת ברביע הראשון. דרך הנקודה AA העבירו אנך לציר ה־xx החותך אותו בנקודה BB, ואנך לציר ה־yy החותך אותו בנקודה CC. נתון ריבוע I שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע ABAB, וריבוע II שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע ACAC. ג. מצאו את הערך של kk שבעבורו סכום שטחי הריבועים I ו־II הוא מינימלי (תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם). (כאן יש לכתוב את התשובה כמספר עשרוני.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.508

Corrigé :

AB=8−2k2AC=1k\begin{aligned}AB &= 8 - \frac{2}{k^2} \\ \quad AC &= \frac{1}{k}\end{aligned}

B(1k,0)B\left(\frac{1}{k}, 0\right) ו־C(0,8−2k2)C\left(0, 8 - \frac{2}{k^2}\right); AA ברביע הראשון

S(k)=(8−2k2)2+1k2k>12\begin{aligned}S(k) &= \left(8 - \frac{2}{k^2}\right)^2 + \frac{1}{k^2} \\ \quad k > \frac{1}{2}\end{aligned}
t=1k20<t<4:S=4t2−31t+64\begin{aligned}t &= \frac{1}{k^2} \\ \quad 0 < t < 4: \quad S &= 4t^2 - 31t + 64\end{aligned}

הצבה; tt יורד כאשר kk עולה

t=318t = \frac{31}{8}

קודקוד הפרבולה, בתוך הקטע 0<t<40 < t < 4; הפרבולה פתוחה כלפי מעלה: מינימום

k=831≈0.508k = \sqrt{\frac{8}{31}} \approx 0.508

בדיקה: 0.508>120.508 > \frac{1}{2}

k=831≈0.508k = \sqrt{\frac{8}{31}} \approx 0.508.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 46

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : Suites