בגרות 35571 — קיץ 2026

Sur elev, cette leçon vient avec :

Chaque exercice corrigé dès la réponse
Un indice au moment où il le faut
Le suivi des progrès, chapitre après chapitre

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : Suites

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35571 (5 יחידות לימוד, שאלון ראשון, תוכנית חדשה), קיץ תשפ״ו, 2026. בשאלון המודפס: משך הבחינה שלוש שעות וארבעים וחמש דקות, ועונים על חמש מן השאלות 1–8, על שאלה אחת לפחות מן הפרק הראשון או השני ועל שאלה אחת לפחות מכל אחד מן הפרקים השלישי והרביעי (לכל שאלה – 20 נקודות). למועד קיץ תשפ״ו («שאגת הארי») עדכן משרד החינוך את ההנחיות: משך הבחינה ארבע שעות ועשרים דקות, עונים על חמש שאלות ללא הגבלת פרקים, לכל שאלה 22 נקודות, וסך הכול 100 נקודות לכל היותר. פרק ראשון – שאלות קצרות: שאלה 1. פרק שני – אינדוקצייה, סדרות והסתברות: שאלות 2–3. פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור: שאלות 4–5. פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־42 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש, ובשאלה 1 עונים על שניים מארבעת הסעיפים. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercices

שאלה 1 — שאלות קצרות

Exercice 1

א. הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \frac{2^2}{3 \cdot 5} + \ldots + \frac{n^2}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{n(n + 1)}{2(2n + 1)}$

$n$ מספר טבעי

$\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \frac{2^2}{3 \cdot 5} + \ldots + \frac{n^2}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{n(n + 1)}{2(2n + 1)}$

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{1^2}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}$ — בדיקה עבור $n = 1$
$\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{k^2}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{k(k + 1)}{2(2k + 1)}$ — הנחת האינדוקציה
$\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{k(k + 1)}{2(2k + 1)} + \frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)}$ — מוסיפים את האיבר ה־ $(k+1)$ ומציבים את הנחת האינדוקציה
$\frac{k(k + 1)}{2(2k + 1)} + \frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{(k + 1)\left(k(2k + 3) + 2(k + 1)\right)}{2(2k + 1)(2k + 3)}$ — מכנה משותף $2(2k + 1)(2k + 3)$ , והוצאת הגורם המשותף $k + 1$
$k(2k + 3) + 2(k + 1) = 2k^2 + 5k + 2 = (2k + 1)(k + 2)$ — פתיחת סוגריים ופירוק הטרינום לגורמים
$\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2(2k + 3)}$ — מצמצמים ב־ $2k + 1$ ; זו הטענה עבור $n = k + 1$ , ועם הבדיקה עבור $n = 1$ היא נכונה לכל $n$ טבעי

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{1^2}{1 \cdot 3} &= \frac{1}{3} \\ &= \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}\end{aligned}

הבדיקה עבור $n = 1$ : שני האגפים שווים

\frac{k(k + 1)}{2(2k + 1)} + \frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{(k + 1)\left(2k^2 + 3k + 2k + 2\right)}{2(2k + 1)(2k + 3)}

הנחת האינדוקציה עבור $n = k$ , ועוד האיבר ה־ $(k+1)$ ; מכנה משותף

2k^2 + 5k + 2 = (2k + 1)(k + 2)

Factorisation du trinôme du second degré (טרינום)

\frac{(k + 1)(2k + 1)(k + 2)}{2(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2(2k + 3)}

זה אגף ימין של הטענה עבור $n = k + 1$ : $\frac{(k+1)\left((k+1) + 1\right)}{2\left(2(k+1) + 1\right)}$

הטענה נכונה עבור $n = 1$ , ומנכונותה עבור $n = k$ נובעת נכונותה עבור $n = k + 1$ ; לכן היא נכונה לכל $n$ טבעי.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 1

Exercice 2

ב. ליונתן יש בספרייה שבחדרו ספרים משני סוגים: ספרי קומיקס וספרי עיון. $60\%$ מן הספרים הם ספרי קומיקס והשאר ספרי עיון. $70\%$ מן הספרים הם בעברית והשאר באנגלית. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה, ונמקו את קביעותיכם. I. ליונתן אין ספרי קומיקס בעברית.

Aאי אפשר לקבוע: הנתונים לא מספיקים כדי לדעת אם יש ספר כזה
Bלא נכונה: בדיוק $42\%$ מן הספרים הם קומיקס בעברית, כי $0.6 \cdot 0.7 = 0.42$
Cנכונה: ספרי הקומיקס והספרים בעברית הם שתי קבוצות נפרדות
Dלא נכונה: $60\% + 70\% > 100\%$ , ולכן לפחות $30\%$ הם קומיקס בעברית

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D לא נכונה: $60\% + 70\% > 100\%$ , ולכן לפחות $30\%$ הם קומיקס בעברית

Corrigé :

P(K \cup H) = P(K) + P(H) - P(K \cap H) \le 1

$K$ : ספר קומיקס, $H$ : ספר בעברית. הסתברות של איחוד אינה גדולה מ־ $1$

P(K \cap H) \ge 0.6 + 0.7 - 1 = 0.3

לכן החיתוך אינו ריק

הטענה לא נכונה: לפחות $30\%$ מן הספרים הם ספרי קומיקס בעברית. אי אפשר לדעת שהחלק הוא בדיוק $42\%$ : זה נכון רק אם השפה אינה תלויה בסוג הספר, ואין נתון כזה.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 2

Exercice 3

ב. ליונתן יש בספרייה שבחדרו ספרים משני סוגים: ספרי קומיקס וספרי עיון. $60\%$ מן הספרים הם ספרי קומיקס והשאר ספרי עיון. $70\%$ מן הספרים הם בעברית והשאר באנגלית. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה, ונמקו את קביעותיכם. II. ההסתברות לבחור באקראי ספר בעברית מבין ספרי הקומיקס גדולה מן ההסתברות לבחור באקראי ספר קומיקס מבין הספרים שבעברית.

Aלא נכונה: שתי ההסתברויות שוות, כי שתיהן סופרות את אותם ספרי הקומיקס בעברית
Bלא נכונה: ההסתברות השנייה גדולה יותר, כי יש יותר ספרים בעברית מספרי קומיקס
Cנכונה: לשתיהן אותו מונה $p > 0$ , ומכנה הראשונה $0.6$ קטן ממכנה השנייה $0.7$
Dאי אפשר לקבוע: לא ידוע איזה חלק מן הספרים הוא ספרי קומיקס בעברית

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C נכונה: לשתיהן אותו מונה $p > 0$ , ומכנה הראשונה $0.6$ קטן ממכנה השנייה $0.7$

Corrigé :

p = P(K \cap H) \ge 0.3 > 0

מן הסעיף הקודם: יש ספרי קומיקס בעברית

\begin{aligned}P(H \mid K) &= \frac{p}{0.6} \\ \quad P(K \mid H) &= \frac{p}{0.7}\end{aligned}

הסתברות מותנית

\frac{p}{0.6} > \frac{p}{0.7}

אותו מונה חיובי, ומכנה קטן יותר נותן שבר גדול יותר

הטענה נכונה, ואין צורך לדעת את $p$ : מספיק ש־ $p > 0$ . היחס בין שתי ההסתברויות הוא תמיד $\frac{0.7}{0.6} = \frac{7}{6}$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 3

Exercice 4

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה $y = 0$ , ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה־ $x$ , ששיעוריה הם $(12, 0)$ . שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מוצגים בסרטוט. $a$ הוא פרמטר גדול מ־ $1$ . נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{\left(f(x)\right)^2}$ . (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ .

$x \neq$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x \neq$ 12

Corrigé :

\left(f(x)\right)^2 \neq 0 \iff f(x) \neq 0

$f(x)$ מוגדרת לכל $x$ ; צריך רק שהמכנה לא יתאפס

\begin{aligned}f(x) &= 0 \iff x \\ &= 12\end{aligned}

לגרף של $f(x)$ נקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה־ $x$

תחום ההגדרה של $g(x)$ : $x \neq 12$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 4

Exercice 5

גרף הפונקציה

f(x)

, ומתחתיו הגרפים I–IV

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה $y = 0$ , ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה־ $x$ , ששיעוריה הם $(12, 0)$ . שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מוצגים בסרטוט. $a$ הוא פרמטר גדול מ־ $1$ . נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{\left(f(x)\right)^2}$ . (2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף II
Bגרף I
Cגרף IV
Dגרף III

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף I

Corrigé :

g(x) = \frac{1}{\left(f(x)\right)^2} > 0

הגרף כולו מעל ציר ה־ $x$

x \to 12: \ f(x) \to 0 \Rightarrow g(x) \to +\infty; \quad x \to \pm\infty: \ g(x) \to +\infty

אסימפטוטה אנכית $x = 12$ , ואין אסימפטוטה אופקית: $f(x) \to 0$ בשני הכיוונים

g'(x) = \frac{-2f'(x)}{\left(f(x)\right)^3}

נגזרת של מנה, וכלל השרשרת

(6, \tfrac{1}{a^2}), \quad \left(18, \tfrac{1}{4a^2}\right)

נקודות המינימום של $g$ : שם $\left|f(x)\right|$ מקסימלי, $a$ ו־ $2a$

גרף I: יורד מ־ $+\infty$ אל מינימום ב־ $x = 6$ , עולה אל האסימפטוטה $x = 12$ , יורד ממנה אל מינימום נמוך יותר ב־ $x = 18$ ( $\frac{1}{4a^2} < \frac{1}{a^2}$ ), ועולה שוב. בגרף II המינימום הנמוך הוא ב־ $x = 6$ , גרף III הוא $\frac{1}{f(x)}$ , שיורד מתחת לציר, וגרף IV הוא $\left(f(x)\right)^2$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 5

Exercice 6

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה $y = 0$ , ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה־ $x$ , ששיעוריה הם $(12, 0)$ . שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מוצגים בסרטוט. $a$ הוא פרמטר גדול מ־ $1$ . נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{\left(f(x)\right)^2}$ . נתון כי לישר $y = \frac{a}{27}$ ולגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק $3$ נקודות משותפות. (3) מצאו את הערך של $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x < 12: \ g \ge \frac{1}{a^2}; \quad x > 12: \ g \ge \frac{1}{4a^2}

שני הענפים של $g$ , כל אחד עם מינימום אחד ושתי עליות אל $+\infty$

c > \frac{1}{a^2}: \ 2 + 2 = 4

ישר אופקי $y = c$ גבוה משני המינימומים חותך כל ענף פעמיים

\begin{aligned}c &= \frac{1}{a^2}: \ 1 + 2 \\ &= 3\end{aligned}

הוא נוגע במינימום השמאלי וחותך את הענף הימני פעמיים, כי $\frac{1}{4a^2} < \frac{1}{a^2}$

\frac{1}{4a^2} < c < \frac{1}{a^2}: \ 0 + 2 = 2

רק את הענף הימני; ונמוך יותר — נקודה אחת או אף אחת

\begin{aligned}\frac{a}{27} &= \frac{1}{a^2} \Rightarrow a^3 \\ &= 27 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

$a > 1$

$a = 3$ : הישר $y = \frac{1}{9}$ נוגע במינימום $(6, \frac{1}{9})$ וחותך את הענף הימני פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 6

Exercice 7

ד. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x) = \frac{-30x^2}{(x^3 - 8)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 2$ . בסרטוט מוצגות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$ של גרף הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . הפונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x \neq 2$ . נתון כי גרף הפונקציה $g(x)$ עובר דרך הנקודה $(0, 0.75)$ . (1) מצאו פונקציה $g(x)$ המקיימת תנאים אלה.

$g(x) =$ ____ $\cdot \frac{1}{x^3 - 8} +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $g(x) =$ 10 $\cdot \frac{1}{x^3 - 8} +$ 2

Corrigé :

\begin{aligned}u &= x^3 - 8 \\ \quad du &= 3x^2\,dx\end{aligned}

הצבה: המונה הוא כמעט הנגזרת של $x^3 - 8$

\begin{aligned}\int \frac{-30x^2}{(x^3 - 8)^2}\,dx &= \int \frac{-10}{u^2}\,du \\ &= \frac{10}{u} + C \\ &= \frac{10}{x^3 - 8} + C\end{aligned}

\begin{aligned}g(0) &= \frac{10}{-8} + C \\ &= 0.75 \Rightarrow C \\ &= 2\end{aligned}

הגרף עובר דרך $(0, 0.75)$

$g(x) = \frac{10}{x^3 - 8} + 2$ . (הנקודה $(0, 0.75)$ קובעת את הקבוע רק בתחום $x < 2$ ; עם אותו קבוע גם בתחום $x > 2$ מקבלים את הפונקציה הזאת.)

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 7

Exercice 8

גרף הפונקציה

f(x)

, ומתחתיו הגרפים I–IV

ד. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x) = \frac{-30x^2}{(x^3 - 8)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 2$ . בסרטוט מוצגות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$ של גרף הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . הפונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x \neq 2$ . נתון כי גרף הפונקציה $g(x)$ עובר דרך הנקודה $(0, 0.75)$ . (2) אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר פונקציה $g(x)$ המקיימת תנאים אלה. קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

Aגרף III
Bגרף IV
Cגרף II
Dגרף I

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף I

Corrigé :

g'(x) = f(x) \le 0

הגרף של $f$ אינו עולה מעל ציר ה־ $x$ : $g$ יורדת בכל אחד משני תחומיה. בגרפים III ו־IV יש קטעים עולים

\begin{aligned}g'(0) &= f(0) \\ &= 0\end{aligned}

ב־ $(0, 0.75)$ למשיק של $g$ שיפוע $0$ : הגרף נעשה אופקי לרגע וממשיך לרדת

גרף I: יורד בשני הענפים, עם משיק אופקי ב־ $(0, 0.75)$ . גרף II יורד, אבל אין לו משיק אופקי ב־ $x = 0$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 8

Votre enfant a-t-il compris ?

Sur elev, chaque exercice est corrigé dès qu'il répond, et un indice arrive au moment où il bloque.

Pratiquer sur elev

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

Exercice 9

א. הוכיחו כי הסדרה $c_n$ היא הנדסית, והביעו באמצעות $q$ את מנתה.

$a_{n+1} = a_n \cdot q$ לכל $n$ טבעי
$b_{n+1} = b_n \cdot 2q$ לכל $n$ טבעי
$c_n = a_n \cdot b_n$ לכל $n$ טבעי

$c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$

Voir la réponse et le corrigé

$c_{n+1} = a_{n+1} \cdot b_{n+1}$ — הגדרת הסדרה $c_n$ , עבור $n + 1$
$a_{n+1} \cdot b_{n+1} = a_n q \cdot b_n \cdot 2q = 2q^2 \cdot a_n b_n$ — המנות של הסדרות ההנדסיות $a_n$ ו־ $b_n$
$a_n \cdot b_n \neq 0$ — בסדרה הנדסית אין איבר ששווה ל־ $0$
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = 2q^2$ — מחלקים ב־ $c_n = a_n b_n \neq 0$ ; המנה אינה תלויה ב־ $n$ , ולכן $c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{c_{n+1}}{c_n} &= \frac{a_{n+1}}{a_n} \cdot \frac{b_{n+1}}{b_n} \\ &= q \cdot 2q \\ &= 2q^2\end{aligned}

המנה של כל סדרה, איבר חלקי האיבר שלפניו

היחס בין כל שני איברים סמוכים הוא הקבוע $2q^2$ , ולכן $c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 9

Exercice 10

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ב. מצאו את הערך של $q$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

\begin{aligned}c_2 &= c_1 \cdot 2q^2 \\ &= a_1 b_1 \cdot 2q^2 \\ &= 2q^2 (a_1)^2\end{aligned}

$c_1 = a_1 b_1$ ו־ $b_1 = a_1$

\begin{aligned}2q^2 (a_1)^2 &= \frac{1}{8}(a_1)^2 \Rightarrow q^2 \\ &= \frac{1}{16} \Rightarrow q \\ &= \pm\frac{1}{4}\end{aligned}

$a_1 \neq 0$

q = \frac{1}{4}

סדרה הנדסית עם מנה שלילית מחליפה סימן, ולכן אינה עולה

$q = \frac{1}{4} = 0.25$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 10

Exercice 11

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ג (1). האם הערך של $a_1$ הוא חיובי או שלילי? נמקו את תשובתכם.

Aחיובי: סדרה עולה מתחילה תמיד באיבר חיובי
Bחיובי: $q > 0$ , ולכן כל איברי הסדרה חיוביים
Cשלילי: $0 < q < 1$ , והסדרה עולה רק אם $a_1 < 0$
Dשלילי: $q < 0$ , ולכן איברי הסדרה מחליפים סימן

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C שלילי: $0 < q < 1$ , והסדרה עולה רק אם $a_1 < 0$

Corrigé :

\begin{aligned}a_{n+1} - a_n &= a_n\left(\frac{1}{4} - 1\right) \\ &= -\frac{3}{4}a_n\end{aligned}

$q = \frac{1}{4}$

a_{n+1} > a_n \iff a_n < 0

כל האיברים באותו סימן כמו $a_1$ , כי $q > 0$

$a_1$ שלילי: ב־ $0 < q < 1$ האיברים מתקרבים ל־ $0$ , והם עולים רק כשהם שליליים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 11

Exercice 12

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ג (2). האם הסדרה $c_n$ עולה או יורדת? נמקו את תשובתכם.

Aעולה: מכפלה של שתי סדרות עולות היא תמיד סדרה עולה
Bעולה: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $2q^2 = \frac{1}{8}$ חיובית
Cיורדת: $c_1 < 0$ כי $a_1$ שלילי, והמנה היא $\frac{1}{8}$
Dיורדת: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $\frac{1}{8}$ נמצאת בין $0$ ל־ $1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D יורדת: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $\frac{1}{8}$ נמצאת בין $0$ ל־ $1$

Corrigé :

\begin{aligned}c_1 &= a_1 b_1 \\ &= (a_1)^2 > 0\end{aligned}

$b_1 = a_1$

\begin{aligned}2q^2 &= 2 \cdot \frac{1}{16} \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

המנה מסעיף א

c_{n+1} = \frac{1}{8}c_n < c_n

כל האיברים חיוביים

הסדרה $c_n$ יורדת: איברים חיוביים שכל אחד מהם הוא שמינית מקודמו. מכפלה של שתי סדרות עולות ושליליות אינה סדרה עולה.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 12

Exercice 13

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . נסמן ב־ $S_1$ את סכום הסדרה $a_n$ , ב־ $S_2$ את סכום הסדרה $b_n$ וב־ $S_3$ את סכום הסדרה $c_n$ . נתון: $S_1 + S_2 + S_3 = 434$ . ד. מצאו את הערך של $a_1$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -21

Corrigé :

\begin{aligned}S_1 &= \frac{a_1}{1 - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{4a_1}{3} \\ \quad S_2 &= \frac{a_1}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= 2a_1 \\ \quad S_3 &= \frac{(a_1)^2}{1 - \frac{1}{8}} \\ &= \frac{8(a_1)^2}{7}\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת: $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ ו־ $\frac{1}{8}$ בין $-1$ ל־ $1$

\begin{aligned}\frac{8(a_1)^2}{7} + \frac{10a_1}{3} &= 434 \Rightarrow 12(a_1)^2 + 35a_1 - 4557 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים ב־ $21$ ומחלקים ב־ $2$

\begin{aligned}a_1 &= \frac{-35 \pm 469}{24}: \quad a_1 \\ &= -21 \\ \quad a_1 &= \frac{217}{12}\end{aligned}

$\sqrt{35^2 + 4 \cdot 12 \cdot 4557} = \sqrt{219961} = 469$

$a_1 = -21$ : מסעיף ג, $a_1$ שלילי, ולכן הפתרון החיובי נפסל.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 13

שאלה 3 — הסתברות: כדורים בשני שקים

Exercice 14

א. מצאו את הערך של $x$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

P(R) = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{10}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{x}{12}\right)^2

$R$ : שני כדורים רכים. נוסחת ההסתברות השלמה: כל שק בהסתברות $\frac{1}{2}$ , ושתי הוצאות בלתי תלויות

\begin{aligned}0.08 + \frac{x^2}{288} &= \frac{41}{200} \Rightarrow \frac{x^2}{288} \\ &= 0.125 \Rightarrow x^2 \\ &= 36\end{aligned}

x = 6

$x$ הוא מספר כדורים, $x > 0$

בשק ב׳ יש $6$ כדורים רכים ו־ $6$ כדורים קשים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 14

Exercice 15

ב. ידוע שגלית הוציאה שני כדורים מאותו הסוג. מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני כדורים משק א׳?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5098

Corrigé :

\begin{aligned}P(T \mid A) &= 0.4^2 + 0.6^2 \\ &= 0.52 \\ \quad P(T \mid B) &= 0.5^2 + 0.5^2 \\ &= 0.5\end{aligned}

$T$ : שני כדורים מאותו הסוג, שני רכים או שני קשים

\begin{aligned}P(T) &= \frac{1}{2} \cdot 0.52 + \frac{1}{2} \cdot 0.5 \\ &= 0.51\end{aligned}

\begin{aligned}P(A \mid T) &= \frac{0.26}{0.51} \\ &= \frac{26}{51} \approx 0.5098\end{aligned}

הסתברות מותנית

$\frac{26}{51} \approx 0.51$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 15

Exercice 16

גלית מבצעת את התהליך המתואר לפניכם $4$ פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה). ג. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בדיוק בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2696

Corrigé :

\begin{aligned}p &= \frac{1}{2}\left(\frac{6}{10}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{6}{12}\right)^2 \\ &= 0.18 + 0.125 \\ &= 0.305\end{aligned}

ההסתברות להוציא שני כדורים קשים בפעם אחת

P = \binom{4}{2} \cdot 0.305^2 \cdot 0.695^2 \approx 0.2696

נוסחת ברנולי: $4$ פעמים בלתי תלויות

ההסתברות היא בערך $0.27$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 16

Exercice 17

גלית מבצעת את התהליך המתואר לפניכם $4$ פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה). ד. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים ובשתיים מן הפעמים רק כדורים רכים? (יש לכתוב שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.023456

Corrigé :

\begin{aligned}p_1 &= 0.305 \\ \quad p_2 &= \frac{41}{200} \\ &= 0.205\end{aligned}

בכל פעם: $p_1$ להוציא שני קשים (סעיף ג), $p_2$ להוציא שני רכים (נתון)

\binom{4}{2} = 6

בוחרים את שתי הפעמים של הקשים; בשתי האחרות — רכים

P = 6 \cdot 0.305^2 \cdot 0.205^2 \approx 0.0235

ההסתברות היא בערך $0.023$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 17

שאלה 4 — מעגל ודלתון

Exercice 18

א. הוכיחו כי $BC \parallel EK$ .

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$
$C$ על המעגל
$E$ על $BO$ , $K$ על $CO$
$OK = OE$

$BC \parallel EK$

Voir la réponse et le corrigé

$OB = OC$ — רדיוסים במעגל
$\frac{OE}{OB} = \frac{OK}{OC}$ — $OE = OK$ ו־ $OB = OC$
$\triangle OEK \sim \triangle OBC$ — משפט הדמיון צ״ז״צ: הזווית $\angle EOK = \angle BOC$ משותפת, והצלעות שלידה באותו יחס
$\angle OEK = \angle OBC$ — במשולשים דומים, הזוויות המתאימות שוות
$BC \parallel EK$ — זוויות מתאימות שוות בין הישרים $EK$ ו־ $BC$ והחותך $OB$

Corrigé :

\begin{aligned}OK &= OE \\ \quad OC &= OB\end{aligned}

נתון, ורדיוסים

\begin{aligned}\angle OEK &= \angle OKE \\ &= \frac{180^\circ - \angle BOC}{2} \\ &= \angle OBC \\ &= \angle OCB\end{aligned}

שני משולשים שווי שוקיים עם אותה זווית ראש

$\angle OEK = \angle OBC$ הן זוויות מתאימות, ולכן $BC \parallel EK$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 18

Exercice 19

ב. הוכיחו כי $OM \parallel AC$ .

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$
$C$ על המעגל
$E$ על $BO$ , $K$ על $CO$
$MK = ME$ , $OK = OE$

$OM \parallel AC$

Voir la réponse et le corrigé

$\triangle OME \cong \triangle OMK$ — משפט החפיפה צ״צ״צ: $OE = OK$ , $ME = MK$ , והצלע $OM$ משותפת
$\angle MOB = \angle MOC$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים ( $E$ על $OB$ , $K$ על $OC$ )
$\angle MOC = \frac{1}{2}\angle BOC$ — $OM$ חוצה את $\angle BOC$
$\angle OAC = \angle OCA$ — $OA = OC$ (רדיוסים): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\angle BOC = 2\angle OCA$ — זווית חיצונית למשולש $AOC$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\angle MOC = \angle OCA$ — מצרפים את שני השוויונים
$OM \parallel AC$ — זוויות מתחלפות שוות בין הישרים $OM$ ו־ $AC$ והחותך $OC$

Corrigé :

\begin{aligned}\triangle OME \cong \triangle OMK \Rightarrow \angle MOB &= \angle MOC \\ &= \frac{\angle BOC}{2}\end{aligned}

צ״צ״צ: האלכסון $OM$ של הדלתון חוצה את זווית הראש

\begin{aligned}\angle BOC &= \angle OAC + \angle OCA \\ &= 2\angle OCA\end{aligned}

זווית חיצונית למשולש שווה השוקיים $AOC$

\angle MOC = \angle OCA

$\angle MOC$ ו־ $\angle OCA$ הן זוויות מתחלפות שוות, ולכן $OM \parallel AC$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 19

Exercice 20

נתון: $\frac{BC}{EK} = \frac{5}{3}$ . ג. מצאו את הערך של $\frac{OM}{AC}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.5

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{OK}{OC} &= \frac{EK}{BC} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

הדמיון $\triangle OEK \sim \triangle OBC$ מסעיף א

\begin{aligned}OK &= \frac{3}{5}R \\ \quad KC &= \frac{2}{5}R\end{aligned}

$R$ רדיוס המעגל

\triangle KOM \sim \triangle KCA

ז״ז: זוויות קודקודיות ב־ $K$ , וזוויות מתחלפות כי $OM \parallel AC$ (סעיף ב)

\begin{aligned}\frac{OM}{AC} &= \frac{OK}{KC} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

$\frac{OM}{AC} = \frac{3}{2} = 1.5$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 20

Exercice 21

נתון: $\frac{BC}{EK} = \frac{5}{3}$ . נסמן ב־ $S$ את שטח הדלתון $EMKO$ . ד. הביעו באמצעות $S$ את שטח המשולש $AOC$ . (יש לכתוב את המקדם כמספר עשרוני.)

$S_{AOC} =$ ____ $\cdot S$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $S_{AOC} =$ 0.5556 $\cdot S$

Corrigé :

S_{OKM} = \frac{S}{2}

האלכסון $OM$ מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים

\begin{aligned}S_{KCA} &= \left(\frac{2}{3}\right)^2 S_{KOM} \\ &= \frac{4}{9} \cdot \frac{S}{2} \\ &= \frac{2S}{9}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון $\frac{KC}{OK} = \frac{2}{3}$

\begin{aligned}\frac{S_{AOK}}{S_{AKC}} &= \frac{OK}{KC} \\ &= \frac{3}{2} \Rightarrow S_{AOK} \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{2S}{9} \\ &= \frac{S}{3}\end{aligned}

אותו גובה מ־ $A$ לישר $OC$

\begin{aligned}S_{AOC} &= \frac{S}{3} + \frac{2S}{9} \\ &= \frac{5S}{9}\end{aligned}

$S_{AOC} = \frac{5}{9}S \approx 0.556 \cdot S$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 21

שאלה 5 — טרפז ומעגל חסום

Exercice 22

א. הראו כי $AC = 2k \cdot \cos\alpha$ .

$AB = BC = k$
$\angle ACB = \alpha$

$AC = 2k \cdot \cos\alpha$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle BAC = \angle BCA = \alpha$ — במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = BC$ ), זוויות הבסיס שוות
$\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$ — סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$
$\frac{AC}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{k}{\sin\alpha}$ — משפט הסינוסים במשולש $ABC$ : $AC$ מול $\angle ABC$ , $BC = k$ מול $\angle BAC$
$AC = \frac{k \sin 2\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2k \sin\alpha \cos\alpha}{\sin\alpha}$ — $\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$AC = 2k \cdot \cos\alpha$ — מצמצמים ב־ $\sin\alpha \neq 0$

Corrigé :

\begin{aligned}\angle BAC &= \alpha \\ \quad \angle ABC &= 180^\circ - 2\alpha\end{aligned}

משולש שווה שוקיים

\begin{aligned}AC &= \frac{BC \cdot \sin\angle ABC}{\sin\angle BAC} \\ &= \frac{k\sin 2\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2k\cos\alpha\end{aligned}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

דרך אחרת: הגובה מ־ $B$ לבסיס $AC$ חוצה אותו, ובמשולש ישר הזווית שנוצר $\frac{AC}{2} = k\cos\alpha$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 22

Exercice 23

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . ב. מצאו את הערך של $\alpha$ (בדרגות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36.8699

Corrigé :

\begin{aligned}\angle ACD &= \angle BAC \\ &= \alpha\end{aligned}

זוויות מתחלפות בין המקבילים $AB$ ו־ $DC$

AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos\alpha

משפט הקוסינוסים במשולש $ACD$

\begin{aligned}1.44k^2 &= 4k^2\cos^2\alpha + 4k^2 - 8k^2\cos^2\alpha \\ &= 4k^2\sin^2\alpha\end{aligned}

$AC = 2k\cos\alpha$ מסעיף א

\sin\alpha = 0.6 \Rightarrow \alpha \approx 36.87^\circ

$0^\circ < \alpha < 90^\circ$

$\alpha \approx 36.87^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 23

Exercice 24

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . ג. מצאו את גודל הזווית $ADC$ (בדרגות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 53.1301

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= 2k\cos\alpha \\ &= 2k \cdot 0.8 \\ &= 1.6k\end{aligned}

$\cos\alpha = 0.8$

\begin{aligned}AD^2 + AC^2 &= 1.44k^2 + 2.56k^2 \\ &= 4k^2 \\ &= DC^2\end{aligned}

המשפט ההפוך למשפט פיתגורס: $\angle DAC = 90^\circ$

\angle ADC = 90^\circ - \alpha \approx 53.13^\circ

סכום הזוויות במשולש $ACD$

$\angle ADC \approx 53.13^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 24

Exercice 25

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . המשכי הצלעות $DA$ ו־ $CB$ נחתכים בנקודה $E$ . נתון כי האורך של רדיוס המעגל החסום במשולש $EDC$ הוא $14$ . ד. מצאו את הערך של $k$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 23.3333

Corrigé :

\begin{aligned}\triangle EAB \sim \triangle EDC \\ \quad \frac{EA}{ED} &= \frac{AB}{DC} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$AB \parallel DC$

\begin{aligned}ED &= 2 \cdot AD \\ &= 2.4k\end{aligned}

$A$ אמצע $ED$

\begin{aligned}\angle DCE &= 2\alpha \\ \quad \angle CED &= 180^\circ - (90^\circ - \alpha) - 2\alpha \\ &= 90^\circ - \alpha \\ &= \angle EDC\end{aligned}

ולכן $CE = CD = 2k$

\begin{aligned}S_{EDC} &= \frac{1}{2} \cdot 2.4k \cdot \sqrt{(2k)^2 - (1.2k)^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2.4k \cdot 1.6k \\ &= 1.92k^2\end{aligned}

גובה לבסיס $ED$ במשולש שווה השוקיים

\begin{aligned}r &= \frac{S}{p} \\ &= \frac{1.92k^2}{3.2k} \\ &= 0.6k\end{aligned}

$p = \frac{2k + 2k + 2.4k}{2} = 3.2k$ חצי ההיקף

\begin{aligned}0.6k &= 14 \Rightarrow k \\ &= \frac{70}{3} \approx 23.33\end{aligned}

$k = \frac{70}{3} \approx 23.33$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 25

Question 6 — fonction (פונקציה) rationnelle avec paramètre (פרמטר)

Exercice 26

א. ענו על התת־סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x =$ 3 , $y =$ 0

Corrigé :

x \to 3: \ (x - 3)^2 \to 0^+, \ ax \to 3a > 0

המכנה מתאפס והמונה לא: אסימפטוטה אנכית

x \to \pm\infty: \ \frac{ax}{(x - 3)^2} \to 0

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה

$x = 3$ ו־ $y = 0$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 26

Exercice 27

א. ענו על התת־סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה.

Aמינימום $\left(3, \frac{a}{12}\right)$
Bמקסימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$
Cמקסימום $\left(-3, \frac{a}{12}\right)$
Dמינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x - 3)^2 - ax \cdot 2(x - 3)}{(x - 3)^4} \\ &= \frac{a(-x - 3)}{(x - 3)^3}\end{aligned}

נגזרת של מנה, וצמצום ב־ $x - 3$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= -3 \\ \quad f(-3) &= \frac{-3a}{36} \\ &= -\frac{a}{12}\end{aligned}

$a > 0$

x < -3: f' < 0; \quad -3 < x < 3: f' > 0

הסימן של המונה ושל $(x - 3)^3$

נקודת מינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 27

Exercice 28

הגרפים I–IV

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף III
Bגרף I
Cגרף IV
Dגרף II

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף III

Corrigé :

\begin{aligned}x &= 3 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות מסעיף א

\searrow \left(-3, -\tfrac{a}{12}\right) \nearrow (0, 0) \nearrow +\infty \ \big| \ +\infty \searrow 0

תחומי עלייה וירידה מסעיף א, וחיתוך עם הצירים ב־ $(0, 0)$

גרף III. גרף I הוא $-f(x)$ , בגרף II האסימפטוטה האנכית היא $x = -3$ , ובגרף IV יש אסימפטוטה אופקית $y = 1$ ואין נקודת קיצון.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 28

Exercice 29

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . ג. מצאו את הערך של $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= -0.5\end{aligned}

x > 3: f > 0; \quad x < 3: \ f \ge -\frac{a}{12}

המינימום מסעיף א הוא הערך הקטן ביותר של $f$

\begin{aligned}-\frac{a}{12} &= -0.5 \Rightarrow a \\ &= 6\end{aligned}

אם $-\frac{a}{12} < -0.5$ יש שתי נקודות חיתוך, ואם $-\frac{a}{12} > -0.5$ אין אף אחת

$a = 6$ : גרף $g$ נוגע בציר ה־ $x$ בנקודה $(-3, 0)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 29

Exercice 30

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . הציבו בפונקציה $g(x)$ את הערך של $a$ שמצאתם, וענו על סעיף ד. נתונה הפונקציה $h(x) = g(x) \cdot g'(x)$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . ד (1). רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $h(x)$ .

Aחיובית: $-3 < x < 3$ ; שלילית: $x < -3$ או $x > 3$
Bחיובית: $0 < x < 3$ ; שלילית: $x < 0$ או $x > 3$
Cחיובית: $x > -3$ , $x \neq 3$ ; שלילית: $x < -3$
Dחיובית: $x < -3$ או $x > 3$ ; שלילית: $-3 < x < 3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A חיובית: $-3 < x < 3$ ; שלילית: $x < -3$ או $x > 3$

Corrigé :

\begin{aligned}g(x) &= \frac{6x}{(x - 3)^2} + 0.5 \ge 0 \\ \quad g(x) &= 0 \iff x \\ &= -3\end{aligned}

המינימום של $g$ הוא $0$ , בנקודה $(-3, 0)$

\begin{aligned}g'(x) &= f'(x) \\ &= \frac{6(-x - 3)}{(x - 3)^3}\end{aligned}

$g'$ חיובית ב־ $-3 < x < 3$ ושלילית ב־ $x < -3$ וב־ $x > 3$

הסימן של $h = g \cdot g'$ הוא הסימן של $g'$ : חיובית ב־ $-3 < x < 3$ , שלילית ב־ $x < -3$ או $x > 3$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 30

Exercice 31

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . הציבו בפונקציה $g(x)$ את הערך של $a$ שמצאתם, וענו על סעיף ד. נתונה הפונקציה $h(x) = g(x) \cdot g'(x)$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . ד (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $h(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ בתחום $-9 \le x \le 0$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.1328

Corrigé :

\int g(x) g'(x)\,dx = \frac{\left(g(x)\right)^2}{2} + C

$g \cdot g'$ היא הנגזרת של $\frac{g^2}{2}$

\begin{aligned}g(-9) &= \frac{-54}{144} + 0.5 \\ &= 0.125 \\ \quad g(-3) &= 0 \\ \quad g(0) &= 0.5\end{aligned}

\begin{aligned}S &= -\int_{-9}^{-3} h\,dx + \int_{-3}^{0} h\,dx \\ &= \frac{0.125^2}{2} + \frac{0.5^2}{2}\end{aligned}

$h < 0$ ב־ $-9 < x < -3$ ו־ $h > 0$ ב־ $-3 < x < 0$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{128} + \frac{1}{8} \\ &= \frac{17}{128} \approx 0.1328\end{aligned}

השטח הוא $\frac{17}{128} \approx 0.133$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 31

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר

Exercice 32

א. האם הפונקציה $f(x)$ היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.

Aלא זוגית ולא אי־זוגית: יש בה גם קבועים וגם $b\cos x$
Bאי־זוגית: $\cos(-x) = -\cos x$ , ולכן $f(-x) = -f(x)$ לכל $x$
Cזוגית: $\cos(-x) = \cos x$ , ולכן $f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום
Dגם זוגית וגם אי־זוגית: התחום סימטרי, ו־ $f(0) = 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C זוגית: $\cos(-x) = \cos x$ , ולכן $f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום

Corrigé :

\begin{aligned}f(-x) &= \left(1 + \cos(-x)\right)\left(-1 + b\cos(-x)\right) \\ &= (1 + \cos x)(-1 + b\cos x) \\ &= f(x)\end{aligned}

קוסינוס היא פונקציה זוגית, והתחום $-\pi \le x \le \pi$ סימטרי

הפונקציה זוגית. היא לא אי־זוגית: $f(0) = 2(b - 1) \neq 0$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 32

Exercice 33

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

A $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ ו־ $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$
B $(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ בלבד
C $(-\pi, 0)$ , $(\pi, 0)$ ו־ $\left(\arccos\frac{1}{b}, 0\right)$
D $(0, 0)$ בלבד

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ בלבד

Corrigé :

\begin{aligned}1 + \cos x &= 0 \iff \cos x \\ &= -1 \iff x \\ &= \pm\pi\end{aligned}

בתחום $-\pi \le x \le \pi$

\begin{aligned}-1 + b\cos x &= 0 \iff \cos x \\ &= \frac{1}{b} > 1\end{aligned}

$0 < b < 1$ : אין פתרון

$(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 33

Exercice 34

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = \frac{\pi}{3}$ . ג. מצאו את הערך של $b$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= -\sin x(-1 + b\cos x) + (1 + \cos x)(-b\sin x) \\ &= \sin x\,(1 - b - 2b\cos x)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{3}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - b - b) \\ &= 0 \Rightarrow b \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{2}$ (ואכן $f'$ מחליפה שם סימן).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 34

Exercice 35

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. ד (1). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

Aמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{3}{4}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$
Bמינימום $(0, -1)$ ; מקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מינימום $(\pm\pi, 0)$
Cמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מינימום $(\pm\pi, 0)$
Dמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$

Corrigé :

\begin{aligned}f(x) &= (1 + \cos x)\left(\tfrac{1}{2}\cos x - 1\right) \\ \quad f'(x) &= \sin x\left(\tfrac{1}{2} - \cos x\right)\end{aligned}

$b = \frac{1}{2}$ בנגזרת מסעיף ג

\begin{aligned}f'(x) &= 0: \quad x \\ &= 0 \\ \ x &= \pm\frac{\pi}{3} \\ \ x &= \pm\pi\end{aligned}

$\sin x = 0$ או $\cos x = \frac{1}{2}$

\begin{aligned}f(0) &= 2 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) \\ &= -1 \\ \quad f\left(\pm\tfrac{\pi}{3}\right) &= \tfrac{3}{2} \cdot \left(-\tfrac{3}{4}\right) \\ &= -\tfrac{9}{8} \\ \quad f(\pm\pi) &= 0\end{aligned}

0 < x < \tfrac{\pi}{3}: f' < 0; \quad \tfrac{\pi}{3} < x < \pi: f' > 0

והפונקציה זוגית, ולכן הגרף סימטרי סביב ציר ה־ $y$

מקסימום $(0, -1)$ , מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ , ומקסימום בקצות התחום $(\pm\pi, 0)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 35

Exercice 36

הגרפים I–IV

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. ד (2). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף I
Bגרף IV
Cגרף II
Dגרף III

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C גרף II

Corrigé :

(-\pi, 0) \searrow \left(-\tfrac{\pi}{3}, -\tfrac{9}{8}\right) \nearrow (0, -1) \searrow \left(\tfrac{\pi}{3}, -\tfrac{9}{8}\right) \nearrow (\pi, 0)

מסעיף ד (1)

f(x) \le 0

הגרף אינו עולה מעל ציר ה־ $x$

גרף II: שני מינימומים ב־ $\pm\frac{\pi}{3}$ ומקסימום נמוך $(0, -1)$ ביניהם. גרף IV הוא $-f(x)$ , גרף I הוא $f(x + \pi)$ , וגרף III הוא $-\sin^2 x$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 36

Exercice 37

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. נתונה הפונקציה $h(x) = f(x) + \left|f(x)\right|$ , המוגדרת בתחום $-\pi \le x \le \pi$ . נקודה $A$ היא נקודה כלשהי הנמצאת על גרף הפונקציה $h(x)$ . ה. האם שיעור ה־ $y$ של נקודה $A$ הוא חיובי, שלילי, שווה אפס או שאי אפשר לקבוע? נמקו את תשובתכם.

Aחיובי: $\left|f(x)\right| \ge 0$ , ולכן $h(x) = 2\left|f(x)\right| > 0$
Bשווה אפס: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $\left|f(x)\right| = -f(x)$
Cשלילי: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $h(x) = 2f(x) < 0$
Dאי אפשר לקבוע: הערך תלוי בנקודה $A$ שנבחרה על הגרף

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B שווה אפס: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $\left|f(x)\right| = -f(x)$

Corrigé :

1 + \cos x \ge 0, \quad \tfrac{1}{2}\cos x - 1 < 0 \ \Rightarrow \ f(x) \le 0

אפשר לראות זאת גם בגרף מסעיף ד

\begin{aligned}\left|f(x)\right| &= -f(x) \Rightarrow h(x) \\ &= f(x) - f(x) \\ &= 0\end{aligned}

שיעור ה־ $y$ של $A$ שווה אפס: הגרף של $h(x)$ הוא הקטע $-\pi \le x \le \pi$ על ציר ה־ $x$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 37

שאלה 8 — פונקציית שורש ובעיית קיצון

Exercice 38

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \le$ ____ או $x \ge$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x \le$ -1 או $x \ge$ 1

Corrigé :

x^2 - 1 \ge 0 \iff (x - 1)(x + 1) \ge 0

ביטוי מתחת לשורש ריבועי אינו שלילי

$x \le -1$ או $x \ge 1$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 38

Exercice 39

ב. מצאו את שיעורי שתי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הישר הנתון. (יש לכתוב קודם את הנקודה ששיעור ה־ $x$ שלה קטן יותר.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $($ 1 $,$ 0 $)$ , $($ 2.6 $,$ 4.8 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}2\sqrt{x^2 - 1} &= 3x - 3 \\ \quad 3x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\end{aligned}

שורש אינו שלילי

\begin{aligned}4(x^2 - 1) &= 9(x - 1)^2 \Rightarrow 5x^2 - 18x + 13 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

\begin{aligned}x &= \frac{18 \pm 8}{10}: \quad x \\ &= 1 \\ \ x &= 2.6\end{aligned}

שני הפתרונות מקיימים $x \ge 1$

\begin{aligned}y(1) &= 0 \\ \quad y(2.6) &= 3 \cdot 2.6 - 3 \\ &= 4.8\end{aligned}

בדיקה: $2\sqrt{2.6^2 - 1} = 2 \cdot 2.4 = 4.8$

$(1, 0)$ ו־ $(2.6, 4.8)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 39

Exercice 40

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ג (1). הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע $AB$ .

$AB =$ ____ $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( ____ ) $t +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $AB =$ 2 $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( -3 ) $t +$ 3

Corrigé :

A\left(t, 2\sqrt{t^2 - 1}\right), \quad B(t, 3t - 3)

$B$ על הישר, באותו שיעור $x$ כמו $A$

1 < t < 2.6: \ 2\sqrt{t^2 - 1} > 3t - 3

בין שתי נקודות החיתוך גרף $f$ מעל הישר (למשל ב־ $t = 2$ : $3.46 > 3$ )

AB = 2\sqrt{t^2 - 1} - (3t - 3)

$AB = 2\sqrt{t^2 - 1} - 3t + 3$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 40

Exercice 41

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ג (2). הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע $AC$ . (יש לכתוב את המקדמים כמספרים עשרוניים.)

$AC =$ ____ $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( ____ ) $t +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $AC =$ 0.6667 $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( -1 ) $t +$ 1

Corrigé :

\begin{aligned}3x_C - 3 &= 2\sqrt{t^2 - 1} \Rightarrow x_C \\ &= \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} + 1\end{aligned}

$C$ על הישר, באותו שיעור $y$ כמו $A$

\begin{aligned}AC &= x_C - t \\ &= \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} + 1 - t\end{aligned}

$C$ מימין ל־ $A$ : הישר מתחת לגרף, והוא עולה

$AC = \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} - t + 1$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 41

Exercice 42

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ד. מצאו את הערך של $t$ שבעבורו סכום אורכי הקטעים $AB$ ו־ $AC$ הוא מקסימלי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.3416

Corrigé :

\begin{aligned}L(t) &= AB + AC \\ &= \frac{8}{3}\sqrt{t^2 - 1} - 4t + 4 \\ \quad 1 < t < 2.6\end{aligned}

מסעיף ג

\begin{aligned}L'(t) &= \frac{8t}{3\sqrt{t^2 - 1}} - 4 \\ &= 0 \Rightarrow 2t \\ &= 3\sqrt{t^2 - 1}\end{aligned}

\begin{aligned}4t^2 &= 9t^2 - 9 \Rightarrow t^2 \\ &= \frac{9}{5} \Rightarrow t \\ &= \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.342\end{aligned}

$t > 0$

L'(1.2) > 0, \quad L'(2) < 0

$L$ עולה ואחר כך יורדת: מקסימום

$t = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.34$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 42

Les mots de la leçon

משך: meshekh durée
שעה: sha’a heure
דקה: daka minute
לפחות: lefaḥot au moins
סך הכול: sakh ha-kol au total
לכל היותר: le-khol ha-yoter au plus
אינדוקציה: induktsia raisonnement par récurrence
סדרה: sidra suite
הסתברות: histabrut probabilité
מישור: mishor plan
פולינום: polinom polynôme
פונקציית שורש: funktsiyat shoresh fonction racine
פונקציה רציונלית: funktsia ratsyonalit fonction rationnelle
פונקציה: funktsia fonction
טריגונומטריה: trigonometria trigonométrie
נוסחה: nusḥa formule
סעיף: se’if question (a, b, c…)
הסבירו: hasbiru expliquez
הראו: har’u montrez
הוכיחו: hokhiḥu démontrez
הוכחה: hokhaḥa démonstration
ביטוי אלגברי: bitui algebri expression algébrique
מקדם: mekadem coefficient
פתרון: pitaron solution
מספר טבעי: mispar tiv’i entier naturel
מתקיים: mitkayem est vérifié(e), on a
אגף: agaf membre (d’une équation)
הנחת האינדוקציה: hanaḥat ha-induktsia hypothèse de récurrence
איבר: ever terme
מכנה משותף: mekhane meshutaf dénominateur commun
טרינום: trinom trinôme du second degré
טענה: ta’ana affirmation
נכון: nakhon vrai, juste
נובע: nove’a découle, il s’ensuit
קבעו: kiv’u déterminez, décidez
לא נכון: lo nakhon faux
נמקו: namku justifiez
איחוד: iḥud réunion (« ou »)
נתון: natun on donne ; donnée (hypothèse)
אקראי: akra’i au hasard, aléatoire
הסתברות מותנית: histabrut mutnit probabilité conditionnelle
מונה: moneh numérateur
חיובי: ḥiyuvi positif
מכנה: mekhane dénominateur
שבר: shever fraction
יחס: yaḥas rapport
גרף: graf graphe, courbe représentative
מוגדרת: mugderet définie
אסימפטוטה: asimptota asymptote
נקודת חיתוך: nekudat khitukh point d’intersection
ציר: tsir axe
שיעורים (של נקודה): shiurim coordonnées
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
פרמטר: parameter paramètre
מצאו: mits’u trouvez, déterminez
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domaine de définition
סקיצה: skitsa esquisse (allure du graphe)
אסימפטוטה אנכית: asimptota anakhit asymptote verticale
אסימפטוטה אופקית: asimptota ofkit asymptote horizontale
כלל המנה: klal ha-mana dérivée d’un quotient
כלל השרשרת: klal ha-sharsheret dérivée d’une fonction composée
נקודה: nekuda point
מינימום: minimum minimum
ישר: yashar droite
אופקי: ofki horizontal
חותך: khotekh coupe ; sécante
נגזרת: nigzeret dérivée
תנאי: tnai condition
הצבה: hatsava substitution
קבוע: kavua constante
פונקציה יורדת: funktsia yoredet fonction (ou suite) décroissante
קטע: keta segment
משיק: mashik tangente
שיפוע: shipua pente
הביעו: habi’u exprimez
מנה: mana quotient
חלקי: ḥalkei divisé par
סדרה הנדסית: sidra hendesit suite géométrique
שלילי: shlili négatif
שמינית: shminit un huitième
מכפלה: makhpela produit
פונקציה עולה: funktsia ola fonction (ou suite) croissante
סכום: skhum somme
מתכנסת: mitkanesset convergente
נפסל: nifsal rejeté (à éliminer)
נוסחת ההסתברות השלמה: nusḥat ha-histabrut ha-shlema formule des probabilités totales
בלתי תלויים: bilti tluyim indépendants
עם החזרה: im ḥazara avec remise
נוסחת ברנולי: nusḥat bernuli formule de la loi binomiale
ספרות אחרי הנקודה: sfarot aḥarei ha-nekuda chiffres après la virgule (décimales)
רדיוס: radius rayon
משולש שווה שוקיים: meshulash shve shokayim triangle isocèle
זווית הראש: zavit ha-rosh angle au sommet principal
זוויות מתאימות: zaviyot matimot angles correspondants
אלכסון: alakhson diagonale
דלתון: delton cerf-volant
חוצה: ḥotse coupe en deux parts égales
זווית חיצונית: zavit ḥitsonit angle extérieur
זוויות מתחלפות: zaviyot mitḥalfot angles alternes-internes
דמיון: dimyon similitude
מעגל: ma’agal cercle
זוויות קודקודיות: zaviyot kodkodiyot angles opposés par le sommet
שטח: shetaḥ aire
משולש: meshulash triangle
מספר עשרוני: mispar esroni nombre décimal
משולשים חופפים: meshulashim ḥoffim triangles isométriques
יחס השטחים: yaḥas ha-shetaḥim rapport des aires
משולשים דומים: meshulashim domim triangles semblables
ריבוע: ribua carré
יחס הדמיון: yaḥas ha-dimyon rapport de similitude
גובה: gova hauteur
משפט הסינוסים: mishpat ha-sinusim loi des sinus
בסיס: basis base
משולש ישר זווית: meshulash yeshar zavit triangle rectangle
מקבילים: makbilim parallèles
משפט הקוסינוסים: mishpat ha-kosinusim théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus)
זווית: zavit angle
משפט הפוך: mishpat hafukh réciproque
משפט פיתגורס: mishpat Pitagoras théorème de Pythagore
צלע: tsela côté
נחתכים: neḥtakhim se coupent
אורך: orekh longueur
מעגל חסום: ma’agal ḥasum cercle inscrit
חצי: ḥetsi demi, moitié
היקף: hekef périmètre
משוואה: mishva’a équation
מאונכים: me’unakhim perpendiculaires
מתאפס: mitapes s’annule
צמצום: tsimtsum simplification
תחום עלייה: tḥum aliya intervalle où la fonction est croissante
להציב: lehatsiv substituer / remplacer
רשמו: rishmu notez, écrivez
תחום חיוביות: tḥum ḥiyuviyut intervalle où la fonction est positive
חשבו: ḥishvu calculez
קוסינוס: kosinus cosinus
פונקציה זוגית: funktsia zugit fonction paire
סימטריה: simetria symétrie
אין פתרון: ein pitaron pas de solution
כלל המכפלה: klal ha-makhpela dérivée d’un produit
מקסימום: maksimum maximum
שורש: shoresh racine carrée

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elev Découvrir elev pour cette classe

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : Suites