בגרות 35571 — קיץ 2026, מועד ב׳

Sur elev, cette leçon vient avec :

Chaque exercice corrigé dès la réponse
Un indice au moment où il le faut
Le suivi des progrès, chapitre après chapitre

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : Suites

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35571 (5 יחידות לימוד, שאלון ראשון, תוכנית חדשה), קיץ תשפ״ו, 2026, מועד ב׳. משך הבחינה: ארבע שעות ועשרים דקות. עונים על חמש מן השאלות 1–8, לבחירתכם (לכל שאלה – 22 נקודות), וסך הכול אפשר לצבור 100 נקודות לכל היותר. פרק ראשון – שאלות קצרות: שאלה 1. פרק שני – אינדוקצייה, סדרות והסתברות: שאלות 2–3. פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור: שאלות 4–5. פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־43 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש, ובשאלה 1 עונים על שניים מארבעת הסעיפים. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, לקבוע, להסביר או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים, לבדיקת טענה או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך לבחירה בין ביטויים או להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercices

שאלה 1 — שאלות קצרות

Exercice 1

א. נתון כי השוויון $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{b}$ מתקיים בעבור $n = 2$ . $b$ הוא פרמטר שונה מ־ $0$ . (1) מצאו את הערך של $b$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

1^3 + 2^3 = \frac{2^2 \cdot (2 + 1)^2}{b}

מציבים $n = 2$ בשני האגפים: באגף שמאל שני האיברים הראשונים

1 + 8 = \frac{4 \cdot 9}{b}

On calcule

9 = \frac{36}{b}

\begin{aligned}b &= \frac{36}{9} \\ &= 4\end{aligned}

כופלים ב־ $b \neq 0$ ומחלקים ב־ $9$

$b = 4$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 1

Exercice 2

א. נתון כי השוויון $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{b}$ מתקיים בעבור $n = 2$ . $b$ הוא פרמטר שונה מ־ $0$ . (2) הציבו $b = 4$ והוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי השוויון הנתון מתקיים לכל $n$ טבעי.

$n$ מספר טבעי
$b = 4$

$1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

$1^3 = 1 = \frac{1^2 \cdot 2^2}{4}$ — בדיקה עבור $n = 1$
$1^3 + \ldots + k^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4}$ — הנחת האינדוקצייה: השוויון מתקיים עבור $n = k$
$1^3 + \ldots + (k + 1)^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3$ — מוסיפים את האיבר ה־ $(k+1)$ ומציבים את הנחת האינדוקצייה
$\frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3 = \frac{(k + 1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}$ — מכנה משותף $4$ , והוצאת הגורם המשותף $(k + 1)^2$
$1^3 + \ldots + (k + 1)^3 = \frac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}$ — $k^2 + 4k + 4 = (k + 2)^2$ : זה אגף ימין עבור $n = k + 1$ ; לפי עקרון האינדוקצייה השוויון מתקיים לכל $n$ טבעי

Corrigé :

\begin{aligned}1^3 &= 1 \\ &= \frac{1^2 \cdot 2^2}{4}\end{aligned}

הבדיקה עבור $n = 1$ : שני האגפים שווים

1^3 + \ldots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3

הנחת האינדוקצייה עבור $n = k$ , ועוד האיבר ה־ $(k+1)$

= \frac{(k + 1)^2\left(k^2 + 4(k + 1)\right)}{4} = \frac{(k + 1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}

מכנה משותף, והוצאת הגורם המשותף $(k + 1)^2$

= \frac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}

זה אגף ימין של השוויון עבור $n = k + 1$ : $\frac{(k+1)^2\left((k+1) + 1\right)^2}{4}$

השוויון נכון עבור $n = 1$ , ומנכונותו עבור $n = k$ נובעת נכונותו עבור $n = k + 1$ ; לכן הוא נכון לכל $n$ טבעי.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 2

Exercice 3

ב. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת בתחום $x \le 6$ . אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקצייה $f(x)$ . I. $f(x) = x\sqrt{6 - x}$ II. $f(x) = -x\sqrt{6 - x}$ III. $f(x) = x\sqrt{x - 6}$ IV. $f(x) = -x\sqrt{x - 6}$ (1) קבעו איזה מן הביטויים מייצג את הפונקצייה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

Aביטוי IV
Bביטוי III
Cביטוי II
Dביטוי I

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C ביטוי II

Corrigé :

x - 6 \ge 0 \iff x \ge 6

הביטויים III ו־IV מוגדרים רק בתחום $x \ge 6$ , והפונקצייה מוגדרת בתחום $x \le 6$

6 - x \ge 0 \iff x \le 6

הביטויים I ו־II מוגדרים בתחום הנכון

x < 0: \ f(x) > 0

בסרטוט, משמאל לציר ה־ $y$ הגרף נמצא מעל ציר ה־ $x$

\begin{aligned}x &= -1: \ x\sqrt{6 - x} \\ &= -\sqrt{7} < 0 \\ \quad -x\sqrt{6 - x} &= \sqrt{7} > 0\end{aligned}

בודקים נקודה: רק ביטוי II חיובי שם

0 < x < 6: \ -x\sqrt{6 - x} < 0

ובין $0$ ל־ $6$ ביטוי II שלילי, כמו בסרטוט

ביטוי II: $f(x) = -x\sqrt{6 - x}$ . ביטויים III ו־IV אינם מוגדרים בתחום $x < 6$ , וביטוי I שלילי בתחום $x < 0$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 3

Exercice 4

ב. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת בתחום $x \le 6$ . אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקצייה $f(x)$ . I. $f(x) = x\sqrt{6 - x}$ II. $f(x) = -x\sqrt{6 - x}$ III. $f(x) = x\sqrt{x - 6}$ IV. $f(x) = -x\sqrt{x - 6}$ נתונה הפונקצייה $g(x) = (f(x))^2$ המוגדרת בתחום $x \le 6$ . (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $g(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 108

Corrigé :

\begin{aligned}g(x) &= \left(-x\sqrt{6 - x}\right)^2 \\ &= x^2(6 - x) \\ &= 6x^2 - x^3\end{aligned}

מעלים בריבוע; בתחום $x \le 6$ מתקיים $6 - x \ge 0$

\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff x \\ &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 6\end{aligned}

נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$

0 \le x \le 6: \ g(x) \ge 0

השטח הסגור נמצא בין $x = 0$ ל־ $x = 6$ , מעל ציר ה־ $x$ ; בתחום $x < 0$ הגרף עולה בלי גבול

\begin{aligned}S &= \int_0^6 (6x^2 - x^3)\,dx \\ &= \left[2x^3 - \frac{x^4}{4}\right]_0^6\end{aligned}

אינטגרל מסוים

\begin{aligned}S &= 2 \cdot 216 - \frac{1296}{4} \\ &= 432 - 324 \\ &= 108\end{aligned}

השטח הוא $108$ יחידות שטח.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 4

Exercice 5

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . לפונקצייה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד שמשוואתה היא $y = 0$ . שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ ושיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה־ $y$ מוצגים בסרטוט. נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{f(x) - 2}$ . (1) כמה אסימפטוטות המאונכות לציר ה־ $x$ יש לפונקצייה $g(x)$ ? נמקו את תשובתכם.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}f(x) - 2 &= 0 \iff f(x) \\ &= 2\end{aligned}

$f(x)$ מוגדרת ורציפה לכל $x$ : אסימפטוטה אנכית של $g$ יש רק במקום שבו המכנה מתאפס

\begin{aligned}\lim_{x \to -\infty} f(x) &= 0 \\ \quad f(3) &= 4\end{aligned}

משמאל לנקודת המקסימום $(3, 4)$ הפונקצייה עולה מן האסימפטוטה $y = 0$ אל $4$ (ו־ $f(0) = 1$ )

\begin{aligned}f(3) &= 4 \\ \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) &= 0\end{aligned}

מימין לנקודת המקסימום היא יורדת מ־ $4$ אל האסימפטוטה $y = 0$

0 < 2 < 4

הערך $2$ מתקבל פעם אחת בכל צד: פעם אחת בתחום $0 < x < 3$ ופעם אחת בתחום $x > 3$

לפונקצייה $g(x)$ יש $2$ אסימפטוטות אנכיות: הישר $y = 2$ חותך את גרף הפונקצייה $f(x)$ בשתי נקודות, ובהן המכנה $f(x) - 2$ מתאפס והמונה הוא $1$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 5

Exercice 6

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . לפונקצייה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד שמשוואתה היא $y = 0$ . שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ ושיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה־ $y$ מוצגים בסרטוט. נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{f(x) - 2}$ . (2) מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־ $y$ של הפונקצייה $g(x)$ .

$y =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $y =$ -0.5

Corrigé :

x \to \pm\infty: \ f(x) \to 0

האסימפטוטה האופקית של $f(x)$ היא $y = 0$ , בשני הכיוונים

\begin{aligned}g(x) &= \frac{1}{f(x) - 2} \to \frac{1}{0 - 2} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

האסימפטוטה האופקית של $g(x)$ : $y = -\frac{1}{2}$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 6

Exercice 7

גרף הפונקצייה

f(x)

, ומתחתיו הגרפים I–IV

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . לפונקצייה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד שמשוואתה היא $y = 0$ . שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ ושיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה־ $y$ מוצגים בסרטוט. נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{f(x) - 2}$ . (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $g(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף II
Bגרף I
Cגרף IV
Dגרף III

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף III

Corrigé :

\begin{aligned}x &= x_1 \\ \ x &= x_2 \\ \quad y &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

שתי אסימפטוטות אנכיות, משני צדי $x = 3$ , ואסימפטוטה אופקית (סעיפים (1)–(2))

f(x) < 2 \Rightarrow g(x) < 0

בשני הענפים החיצוניים: הגרף מתחת לציר ה־ $x$ , בין $-\frac{1}{2}$ ל־ $-\infty$

\begin{aligned}g(0) &= \frac{1}{1 - 2} \\ &= -1\end{aligned}

נקודת החיתוך עם ציר ה־ $y$

x_1 < x < x_2: \ 0 < f(x) - 2 \le 2 \Rightarrow g(x) \ge \frac{1}{2}

בענף האמצעי הגרף מעל ציר ה־ $x$

\left(3, \frac{1}{2}\right)

נקודת מינימום: שם $f(x) - 2$ מקסימלי, $4 - 2 = 2$

גרף III: שני ענפים שליליים, היורדים מן האסימפטוטה $y = -\frac{1}{2}$ אל $-\infty$ , וביניהם ענף חיובי עם מינימום $\left(3, \frac{1}{2}\right)$ . גרף I הוא $-g(x)$ , בגרף II יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד, ובגרף IV האסימפטוטה האופקית היא $y = \frac{1}{2}$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 7

Exercice 8

ד. בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית $ABC$ $(\angle CAB = 90^\circ)$ . נתון כי אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. האיבר הראשון בסדרה שווה לאורך הצלע $AB$ . נתון: $AB = 1$ . (1) האם ייתכן שהאיבר השני בסדרה שווה לאורך הצלע $BC$ ? נמקו את תשובתכם. יש לקבוע אם הטענה נכונה: ייתכן שהאיבר השני בסדרה שווה לאורך הצלע $BC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

BC > AB, \quad BC > AC

$BC$ מול הזווית הישרה: היתר הוא הצלע הארוכה ביותר במשולש

1, \ BC, \ AC

אילו האיבר השני היה $BC$ , האיבר השלישי היה $AC$

\begin{aligned}q &= \frac{BC}{AB} \\ &= BC > 1\end{aligned}

המנה גדולה מ־ $1$

AC = BC \cdot q > BC

האיבר השלישי גדול מן השני: $AC$ ארוך מ־ $BC$ , בסתירה ליתר

הטענה לא נכונה: אם $BC$ הוא האיבר השני, המנה גדולה מ־ $1$ והאיבר השלישי $AC$ ארוך מן היתר $BC$ — זה בלתי אפשרי.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 8

Exercice 9

ד. בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית $ABC$ $(\angle CAB = 90^\circ)$ . נתון כי אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. האיבר הראשון בסדרה שווה לאורך הצלע $AB$ . נתון: $AB = 1$ . (2) מצאו את אורך הצלע $BC$ (בתשובתכם תוכלו להשאיר שורש; כאן יש לכתוב אותה כמספר עשרוני).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.618

Corrigé :

1, \ q, \ q^2

שלושת האיברים: $AB = 1$ , ואחריו $q$ ו־ $q^2$

q > 1

אילו $q < 1$ , האיבר $AB = 1$ היה הארוך ביותר, אבל היתר $BC$ ארוך ממנו; ו־ $q = 1$ נותן משולש שווה צלעות

\begin{aligned}AC &= q \\ \quad BC &= q^2\end{aligned}

לפי סעיף (1), $BC$ אינו האיבר השני; הוא הארוך ביותר, האיבר השלישי

1^2 + q^2 = (q^2)^2

משפט פיתגורס: $AB^2 + AC^2 = BC^2$

\begin{aligned}q^4 - q^2 - 1 &= 0 \Rightarrow q^2 \\ &= \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\end{aligned}

משוואה ריבועית ב־ $q^2$ ; $q^2 > 0$

\begin{aligned}BC &= q^2 \\ &= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618\end{aligned}

$BC = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 9

Votre enfant a-t-il compris ?

Sur elev, chaque exercice est corrigé dès qu'il répond, et un indice arrive au moment où il bloque.

Pratiquer sur elev

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

Exercice 10

א. לפניכם שלוש טענות I–III. קבעו איזו מן הטענות נכונה ונמקו את קביעתכם. I. $-1 < q < 0$ II. $0 < q < 1$ III. $1 < q$

Aטענה I
Bטענה III
Cטענה II

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C טענה II

Corrigé :

\begin{aligned}a_{n+1} &= a_n \cdot q \\ \quad a_n > 0\end{aligned}

כל האיברים חיוביים

q = \frac{a_{n+1}}{a_n} > 0

מנה של שני מספרים חיוביים: טענה I לא נכונה

a_{n+1} < a_n \Rightarrow q = \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1

הסדרה יורדת: טענה III לא נכונה

טענה II: $0 < q < 1$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 10

Exercice 11

$b_n$ היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים $b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$ לכל $n$ טבעי. ב. הוכיחו כי הסדרה $b_n$ היא הנדסית ומנתה היא $q$ .

$a_{n+1} = a_n \cdot q$ לכל $n$ טבעי
$a_n > 0$ לכל $n$ טבעי
$b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$ לכל $n$ טבעי

$b_n$ סדרה הנדסית שמנתה $q$

Voir la réponse et le corrigé

$b_{n+1} = a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3}$ — הגדרת הסדרה $b_n$ , עבור $n + 1$
$a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3} = q(a_n + a_{n+1} + a_{n+2})$ — כל איבר בסדרה $a_n$ הוא האיבר שלפניו כפול $q$
$b_{n+1} = q \cdot b_n$ — מציבים את הגדרת $b_n$
$b_n > 0$ — סכום של שלושה איברים חיוביים
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$ — מחלקים ב־ $b_n \neq 0$ ; המנה אינה תלויה ב־ $n$ , ולכן $b_n$ סדרה הנדסית שמנתה $q$

Corrigé :

b_{n+1} = a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3}

הגדרת הסדרה $b_n$ , עבור $n + 1$

b_{n+1} = a_n q + a_{n+1} q + a_{n+2} q

כל איבר בסדרה ההנדסית $a_n$ הוא האיבר שלפניו כפול $q$

\begin{aligned}b_{n+1} &= q(a_n + a_{n+1} + a_{n+2}) \\ &= q \cdot b_n\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

\frac{b_{n+1}}{b_n} = q

מחלקים ב־ $b_n > 0$ (סכום של איברים חיוביים)

היחס בין כל שני איברים סמוכים בסדרה $b_n$ הוא הקבוע $q$ , ולכן $b_n$ סדרה הנדסית שמנתה $q$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 11

Exercice 12

$b_n$ היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים $b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$ לכל $n$ טבעי. נתון כי סכום הסדרה $b_n$ גדול פי $1.96$ מסכום הסדרה $a_n$ . ג. מצאו את הערך של $q$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.6

Corrigé :

\begin{aligned}b_1 &= a_1 + a_1 q + a_1 q^2 \\ &= a_1(1 + q + q^2)\end{aligned}

האיבר הראשון של $b_n$

\begin{aligned}S_b &= \frac{a_1(1 + q + q^2)}{1 - q} \\ \quad S_a &= \frac{a_1}{1 - q}\end{aligned}

שתי הסדרות הנדסיות עם אותה מנה $q$ , ו־ $0 < q < 1$ (סעיף א)

1 + q + q^2 = 1.96

$S_b = 1.96 \cdot S_a$ ; מחלקים ב־ $\frac{a_1}{1 - q} > 0$

q^2 + q - 0.96 = 0

\begin{aligned}q &= \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 3.84}}{2} \\ &= \frac{-1 \pm 2.2}{2}\end{aligned}

נוסחת השורשים

q = 0.6

$0 < q < 1$ : הפתרון $q = -1.6$ נפסל

$q = 0.6$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 12

Exercice 13

$a_{n+1} = a_n \cdot q$ לכל $n$ טבעי
$b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$
$c_n = \frac{b_n}{4 \cdot a_n}$
$q = 0.6$

$c_n$ סדרה קבועה

Voir la réponse et le corrigé

$b_n = a_n + a_n q + a_n q^2 = a_n(1 + q + q^2)$ — $a_{n+1} = a_n q$ ו־ $a_{n+2} = a_n q^2$
$c_n = \frac{a_n(1 + q + q^2)}{4a_n} = \frac{1 + q + q^2}{4}$ — מצמצמים ב־ $a_n > 0$
$1 + q + q^2 = 1.96$ — מסעיף ג
$c_n = 0.49$ לכל $n$ טבעי — $\frac{1.96}{4} = 0.49$ : הביטוי אינו תלוי ב־ $n$

Corrigé :

\begin{aligned}b_n &= a_n + a_n q + a_n q^2 \\ &= a_n(1 + q + q^2)\end{aligned}

כל איבר בסדרה $a_n$ הוא הקודם כפול $q$

\begin{aligned}c_n &= \frac{a_n(1 + q + q^2)}{4a_n} \\ &= \frac{1 + q + q^2}{4}\end{aligned}

מצמצמים ב־ $a_n > 0$

\begin{aligned}c_n &= \frac{1.96}{4} \\ &= 0.49\end{aligned}

$1 + q + q^2 = 1.96$ (סעיף ג)

כל איברי הסדרה שווים ל־ $0.49$ , ולכן $c_n$ סדרה קבועה.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 13

Exercice 14

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 71

Corrigé :

c_n = 0.49

סעיף ד (1)

S_k = 0.49k

סכום של $k$ איברים שווים

\begin{aligned}0.49k &= 34.79 \Rightarrow k \\ &= 71\end{aligned}

$k = 71$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 14

Exercice 15

$b_n$ היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים $b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$ לכל $n$ טבעי. נתון כי סכום הסדרה $b_n$ גדול פי $1.96$ מסכום הסדרה $a_n$ . $c_n$ היא סדרה שאיבריה מקיימים $c_n = \frac{b_n}{4 \cdot a_n}$ לכל $n$ טבעי. נתון כי סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה הוא $34.79$ . החליפו את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה $c_n$ . ה. מצאו את סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה $c_n$ לאחר החלפת הסימנים. נמקו את תשובתכם.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.49

Corrigé :

0.49 - 0.49 + 0.49 - 0.49 + \ldots

אחרי החלפת הסימנים

\begin{aligned}k &= 71 \\ &= 2 \cdot 35 + 1\end{aligned}

$35$ זוגות של איבר במקום אי־זוגי ואיבר במקום זוגי, ועוד האיבר ה־ $71$

35 \cdot (0.49 - 0.49) + 0.49 = 0.49

סכום כל זוג הוא $0$ ; האיבר האחרון במקום אי־זוגי, וסימנו לא הוחלף

הסכום הוא $0.49$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 15

שאלה 3 — הסתברות: שלבי קבלה לעבודה

Exercice 16

א. מצאו את ההסתברות שמועמד שעבר את שני המבחנים יעבור את הריאיון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

\begin{aligned}P(A_1 \cap A_2) &= p \cdot 2p \\ &= 2p^2\end{aligned}

$A_1$ : המועמד עובר את מבחן א׳; $A_2$ : עובר את מבחן ב׳. מי שעבר את א׳ עובר את ב׳ בהסתברות $2p$

\begin{aligned}P(J) &= 2p^2 r \\ \quad P(A_1 \cap A_2 \cap \overline{J}) &= 2p^2(1 - r)\end{aligned}

$J$ : המועמד מתקבל לעבודה; $r$ : ההסתברות שמועמד שעבר את שני המבחנים יעבור את הריאיון

2p^2 r = 3 \cdot 2p^2 (1 - r)

הנתון; מחלקים ב־ $2p^2 > 0$

\begin{aligned}r &= 3 - 3r \Rightarrow 4r \\ &= 3 \Rightarrow r \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

ההסתברות היא $\frac{3}{4} = 0.75$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 16

Exercice 17

$94\%$ מן המועמדים לא מתקבלים לעבודה. ב. מצאו את הערך של $p$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2

Corrigé :

\begin{aligned}P(J) &= 1 - 0.94 \\ &= 0.06\end{aligned}

$J$ : המועמד מתקבל לעבודה

\begin{aligned}2p^2 \cdot \frac{3}{4} &= \frac{3}{2}p^2 \\ &= 0.06\end{aligned}

מסעיף א

\begin{aligned}p^2 &= 0.04 \Rightarrow p \\ &= 0.2\end{aligned}

$p > 0$ ; ואכן $2p = 0.4 < 1$

$p = 0.2$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 17

Exercice 18

$94\%$ מן המועמדים לא מתקבלים לעבודה. ג. ידוע כי מועמד לא התקבל לעבודה. מהי ההסתברות שמועמד זה עבר את מבחן א׳?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.1489

Corrigé :

\begin{aligned}P(A_1 \cap \overline{J}) &= P(A_1) - P(J) \\ &= 0.2 - 0.06 \\ &= 0.14\end{aligned}

$A_1$ : עבר את מבחן א׳, $J$ : מתקבל. כל מי שמתקבל עבר את מבחן א׳

\begin{aligned}P(A_1 \mid \overline{J}) &= \frac{0.14}{0.94} \\ &= \frac{7}{47}\end{aligned}

הסתברות מותנית

\frac{7}{47} \approx 0.149

ההסתברות היא $\frac{7}{47} \approx 0.149$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 18

Exercice 19

$94\%$ מן המועמדים לא מתקבלים לעבודה. מבין כל המועמדים שלא התקבלו לעבודה בוחרים באקראי $5$ מועמדים. ד. מהי ההסתברות שלפחות שניים מהם עברו את מבחן א׳?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.1628

Corrigé :

P(A_1 \mid \overline{J}) = \frac{7}{47}

מסעיף ג: לכל אחד מן החמישה, באופן בלתי תלוי

P(X = 0) = \left(\frac{40}{47}\right)^5 \approx 0.4464

$X$ : מספר המועמדים שעברו את מבחן א׳ — התפלגות בינומית, $n = 5$

P(X = 1) = 5 \cdot \frac{7}{47} \cdot \left(\frac{40}{47}\right)^4 \approx 0.3907

P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 0.1628

המאורע המשלים

ההסתברות היא $\approx 0.163$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 19

שאלה 4 — משולש שווה צלעות החסום במעגל

Exercice 20

א. הוכיחו: $\angle AEB = \angle BEC = \angle CED = 60^\circ$ .

$ABC$ משולש שווה צלעות החסום במעגל
$D$ על המשך הצלע $BC$
$E$ על המעגל ועל הקטע $AD$

$\angle AEB = \angle BEC = \angle CED = 60^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle BAC = \angle ACB = \angle ABC = 60^\circ$ — במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות ל־ $60^\circ$
$\angle AEB = \angle ACB = 60^\circ$ — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $AB$
$\angle BEC = \angle BAC = 60^\circ$ — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $BC$
$\angle AEC = 180^\circ - \angle ABC = 120^\circ$ — במרובע $ABCE$ החסום במעגל, סכום זוויות נגדיות הוא $180^\circ$
$\angle CED = 60^\circ$ — זוויות צמודות: $A$ , $E$ , $D$ על ישר אחד, $180^\circ - 120^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\angle BAC &= \angle ACB \\ &= \angle ABC \\ &= 60^\circ\end{aligned}

המשולש $ABC$ שווה צלעות

\begin{aligned}\angle AEB &= \angle ACB \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $AB$

\begin{aligned}\angle BEC &= \angle BAC \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $BC$

\begin{aligned}\angle AEC &= 180^\circ - \angle ABC \\ &= 120^\circ\end{aligned}

המרובע $ABCE$ חסום במעגל: זוויות נגדיות משלימות ל־ $180^\circ$

\begin{aligned}\angle CED &= 180^\circ - 120^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות צמודות

שלוש הזוויות שוות ל־ $60^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 20

Exercice 21

ב. הוכיחו: $\triangle AEB \sim \triangle CED$ .

$ABC$ משולש שווה צלעות החסום במעגל
$D$ על המשך הצלע $BC$
$E$ על המעגל ועל הקטע $AD$

$\triangle AEB \sim \triangle CED$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle AEB = \angle CED = 60^\circ$ — סעיף א
$\angle BAE + \angle BCE = 180^\circ$ — במרובע $ABCE$ החסום במעגל, סכום זוויות נגדיות הוא $180^\circ$
$\angle ECD = 180^\circ - \angle BCE$ — זוויות צמודות: $B$ , $C$ , $D$ על ישר אחד
$\angle BAE = \angle ECD$ — שתיהן משלימות את $\angle BCE$ ל־ $180^\circ$
$\triangle AEB \sim \triangle CED$ — משפט הדמיון ז״ז: $A \leftrightarrow C$ , $E \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow D$

Corrigé :

\begin{aligned}\angle AEB &= \angle CED \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סעיף א

\angle BAE = 180^\circ - \angle BCE

המרובע $ABCE$ חסום במעגל

\angle ECD = 180^\circ - \angle BCE

זוויות צמודות

\angle BAE = \angle ECD

זווית חיצונית למרובע חסום שווה לזווית הפנימית הנגדית

\triangle AEB \sim \triangle CED

A-A

שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן $\triangle AEB \sim \triangle CED$ ( $A \leftrightarrow C$ , $E \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow D$ ).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 21

Exercice 22

ג. הוכיחו: $\frac{AE}{CE} = \frac{BC}{CD}$ .

$ABC$ משולש שווה צלעות החסום במעגל
$D$ על המשך הצלע $BC$
$E$ על המעגל ועל הקטע $AD$
$\triangle AEB \sim \triangle CED$ (סעיף ב)

$\frac{AE}{CE} = \frac{BC}{CD}$

Voir la réponse et le corrigé

$\triangle AEB \sim \triangle CED$ — סעיף ב
$\frac{AE}{CE} = \frac{AB}{CD}$ — במשולשים דומים, הצלעות המתאימות באותו יחס: $AE \leftrightarrow CE$ , $AB \leftrightarrow CD$
$AB = BC$ — המשולש $ABC$ שווה צלעות
$\frac{AE}{CE} = \frac{BC}{CD}$ — מציבים $AB = BC$

Corrigé :

\triangle AEB \sim \triangle CED

סעיף ב, בהתאמה $A \leftrightarrow C$ , $E \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow D$

\begin{aligned}\frac{AE}{CE} &= \frac{EB}{ED} \\ &= \frac{AB}{CD}\end{aligned}

יחס הדמיון

AB = BC

המשולש $ABC$ שווה צלעות

\frac{AE}{CE} = \frac{BC}{CD}

מיחס הדמיון ומ־ $AB = BC$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 22

Exercice 23

נתון כי שטח המשולש $AEB$ גדול פי $2.25$ משטח המשולש $CED$ . ד. מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $ABD$ משטח המשולש $CED$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.75

Corrigé :

\begin{aligned}\left(\frac{AB}{CD}\right)^2 &= 2.25 \Rightarrow \frac{AB}{CD} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון (סעיף ב)

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= s \\ \quad CD &= \frac{2s}{3} \\ \quad BD &= \frac{5s}{3}\end{aligned}

נסמן ב־ $s$ את צלע המשולש שווה הצלעות

\begin{aligned}\angle DEC &= \angle DBA \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סעיף א, ו־ $\angle ABC = 60^\circ$ ; הזווית $D$ משותפת

\triangle DCE \sim \triangle DAB

ז.ז, בהתאמה $D \leftrightarrow D$ , $C \leftrightarrow A$ , $E \leftrightarrow B$

\begin{aligned}AD^2 &= s^2 + \frac{25s^2}{9} - 2 \cdot s \cdot \frac{5s}{3} \cdot \cos 60^\circ \\ &= \frac{19s^2}{9}\end{aligned}

משפט הקוסינוסים במשולש $ABD$

\begin{aligned}\frac{S_{ABD}}{S_{CED}} &= \left(\frac{AD}{CD}\right)^2 \\ &= \frac{19s^2/9}{4s^2/9} \\ &= \frac{19}{4}\end{aligned}

ריבוע יחס הדמיון

שטח המשולש $ABD$ גדול פי $\frac{19}{4} = 4.75$ משטח המשולש $CED$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 23

שאלה 5 — משולש שווה שוקיים ושני אנכים

Exercice 24

א. הביעו באמצעות $k$ ו־ $\alpha$ את אורכי הקטעים $DE$ ו־ $ME$ .

A $DE = k\sin\alpha$ , $ME = 3k\sin\alpha$
B $DE = k\tan\alpha$ , $ME = 3k\tan\alpha$
C $DE = k\sin\alpha$ , $ME = 4k\sin\alpha$
D $DE = k\cos\alpha$ , $ME = 3k\cos\alpha$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $DE = k\sin\alpha$ , $ME = 3k\sin\alpha$

Corrigé :

\begin{aligned}\angle ACB &= \angle ABC \\ &= \alpha\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

\begin{aligned}DE &= EC \cdot \sin\angle C \\ &= k\sin\alpha\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $EDC$ ( $\angle D = 90^\circ$ ): $DE$ מול הזווית $C$ , ו־ $EC$ יתר

BE = 3k

נתון

\begin{aligned}ME &= BE \cdot \sin\angle B \\ &= 3k\sin\alpha\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $EMB$ ( $\angle M = 90^\circ$ )

$DE = k\sin\alpha$ , $ME = 3k\sin\alpha$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 24

Exercice 25

נתון כי סכום שטחי המשולשים $CED$ ו־ $BEM$ הוא $1.6k^2$ . ב. מצאו את הערך של $\alpha$ (בדרגות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 70.1041

Corrigé :

S_{CED} = \frac{1}{2} \cdot k\sin\alpha \cdot k\cos\alpha

ניצבים $DE = k\sin\alpha$ ו־ $DC = k\cos\alpha$

S_{BEM} = \frac{1}{2} \cdot 3k\sin\alpha \cdot 3k\cos\alpha

ניצבים $ME = 3k\sin\alpha$ ו־ $MB = 3k\cos\alpha$

5k^2 \sin\alpha\cos\alpha = 1.6k^2

סכום השטחים: $\frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 5$

\sin 2\alpha = 0.64

$2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$ ; מחלקים ב־ $2.5k^2$

\begin{aligned}2\alpha &= 39.79^\circ \ \text{או} \ 2\alpha \\ &= 140.21^\circ\end{aligned}

שני הפתרונות בתחום $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$

\alpha \approx 70.1^\circ

$30^\circ < \alpha < 90^\circ$ : $\alpha \approx 19.9^\circ$ נפסל

$\alpha \approx 70.1^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 25

Exercice 26

נתון כי סכום שטחי המשולשים $CED$ ו־ $BEM$ הוא $1.6k^2$ . נתון כי אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש $AED$ הוא $29$ . ג. מצאו את הערך של $k$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.3278

Corrigé :

\begin{aligned}\angle ADE &= 90^\circ \Rightarrow AE \\ &= 2R \\ &= 58\end{aligned}

במשולש ישר זווית, מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר

\begin{aligned}BC &= 4k \\ \quad BH &= 2k \\ \quad HE &= 3k - 2k \\ &= k\end{aligned}

$H$ אמצע הבסיס $BC$ ; במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גובה

\begin{aligned}AH &= BH \cdot \tan\alpha \\ &= 2k\tan\alpha\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $ABH$

\begin{aligned}AE^2 &= AH^2 + HE^2 \\ &= k^2(4\tan^2\alpha + 1)\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $AHE$

\tan\alpha \approx 2.763 \Rightarrow 4\tan^2\alpha + 1 \approx 31.54

$\alpha \approx 70.1^\circ$ (סעיף ב)

k = \frac{58}{\sqrt{31.54}} \approx 10.33

$k \approx 10.33$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 26

שאלה 6 — פונקצייה רציונלית עם פרמטר

Exercice 27

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$ .

A $x \neq \pm\sqrt{a}$
B $x \neq 1$
C $x > -a$
Dכל $x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D כל $x$

Corrigé :

\begin{aligned}x^2 + a &= 0 \iff x^2 \\ &= -a\end{aligned}

המכנה מתאפס רק כאשר $x^2 = -a$

x^2 \ge 0 > -a

$a > 0$ : למשוואה אין פתרון, והמכנה חיובי תמיד

הפונקצייה מוגדרת לכל $x$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 27

Exercice 28

א (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה $f(x)$ (אם יש כאלה).

A $x = \pm\sqrt{a}$ ו־ $y = 6$
B $y = 0$ בלבד
C $x = 1$ ו־ $y = 6$
D $y = 6$ בלבד

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $y = 6$ בלבד

Corrigé :

x^2 + a > 0

המכנה אינו מתאפס (סעיף א (1)): אין אסימפטוטות אנכיות

f(x) = \frac{6\left(1 - \frac{1}{x}\right)^2}{1 + \frac{a}{x^2}} \xrightarrow[x \to \pm\infty]{} 6

מחלקים מונה ומכנה ב־ $x^2$

יש אסימפטוטה אופקית אחת, $y = 6$ , ואין אסימפטוטות אנכיות.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 28

Exercice 29

ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ , וקבעו את סוגן. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.

Aמקסימום $\left(-a, \frac{6(a + 1)}{a}\right)$ ; מינימום $(1, 0)$
Bמינימום $(1, 0)$ בלבד
Cמקסימום $\left(a, \frac{6(a - 1)^2}{a(a + 1)}\right)$ ; מינימום $(1, 0)$
Dמינימום $\left(-a, \frac{6(a + 1)}{a}\right)$ ; מקסימום $(1, 0)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מקסימום $\left(-a, \frac{6(a + 1)}{a}\right)$ ; מינימום $(1, 0)$

Corrigé :

f'(x) = \frac{12(x - 1)(x^2 + a) - 6(x - 1)^2 \cdot 2x}{(x^2 + a)^2}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{12(x - 1)\left(x^2 + a - x^2 + x\right)}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{12(x - 1)(x + a)}{(x^2 + a)^2}\end{aligned}

מוציאים גורם משותף $12(x - 1)$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= -a\end{aligned}

x < -a: \ f' > 0; \quad -a < x < 1: \ f' < 0; \quad x > 1: \ f' > 0

טבלת סימנים ( $-a < 0 < 1$ )

\begin{aligned}f(-a) &= \frac{6(a + 1)^2}{a^2 + a} \\ &= \frac{6(a + 1)}{a}\end{aligned}

מציבים; $a^2 + a = a(a + 1)$

f(1) = 0

מקסימום $\left(-a, \frac{6(a + 1)}{a}\right)$ ומינימום $(1, 0)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 29

Exercice 30

נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הוא $7.5$ . ג. מצאו את הערך של $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\frac{6(a + 1)}{a} = 7.5

סעיף ב

\begin{aligned}6a + 6 &= 7.5a \Rightarrow 1.5a \\ &= 6 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

$a = 4$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 30

Exercice 31

הגרפים I–IV

נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הוא $7.5$ . בעבור הערך של $a$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ה. ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף IV
Bגרף III
Cגרף II
Dגרף I

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C גרף II

Corrigé :

f(x) = \frac{6(x - 1)^2}{x^2 + 4}

מציבים $a = 4$

y = 6

אסימפטוטה אופקית, ואין אסימפטוטות אנכיות

(-4, 7.5), \quad (1, 0)

מקסימום ומינימום (סעיף ב)

f(0) = 1.5

נקודת החיתוך עם ציר ה־ $y$

f(x) - 6 = \frac{-6(2x + 3)}{x^2 + 4}

משמאל ל־ $x = -1.5$ הגרף מעל האסימפטוטה, ומימין לה מתחתיה

גרף II: מן האסימפטוטה $y = 6$ (מלמעלה) עולה אל המקסימום $(-4, 7.5)$ , יורד אל המינימום $(1, 0)$ ועולה שוב אל $y = 6$ . בגרף I אין מקסימום, גרף III הוא $f(-x)$ , ובגרף IV יש אסימפטוטות אנכיות.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 31

Exercice 32

נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הוא $7.5$ . בעבור הערך של $a$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ה. $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקצייה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקצייה המקיימת $g(x) = \frac{-f'(x)}{(f(x))^2}$ . ה (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ .

$x \neq$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x \neq$ 1

Corrigé :

f'(x) = \frac{12(x - 1)(x + 4)}{(x^2 + 4)^2}

מוגדרת לכל $x$

\begin{aligned}(f(x))^2 &= 0 \iff x \\ &= 1\end{aligned}

המכנה מתאפס רק באפס של $f$

$x \neq 1$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 32

Exercice 33

נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הוא $7.5$ . בעבור הערך של $a$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ה. $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקצייה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקצייה המקיימת $g(x) = \frac{-f'(x)}{(f(x))^2}$ . ה (2). מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקצייה $g(x)$ .

Aחיובית: $-4 < x < 0$ ; שלילית: $x < -4$ או $0 < x < 1$ או $x > 1$
Bחיובית: לכל $x \neq 1$ ; שלילית: אין
Cחיובית: $x < -4$ או $x > 1$ ; שלילית: $-4 < x < 1$
Dחיובית: $-4 < x < 1$ ; שלילית: $x < -4$ או $x > 1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D חיובית: $-4 < x < 1$ ; שלילית: $x < -4$ או $x > 1$

Corrigé :

(f(x))^2 > 0 \quad (x \neq 1)

המכנה חיובי בכל התחום

\operatorname{sign} g(x) = -\operatorname{sign} f'(x)

בגלל המינוס במונה

x < -4: \ f' > 0; \quad -4 < x < 1: \ f' < 0; \quad x > 1: \ f' > 0

סעיף ב, עם $a = 4$

חיובית בתחום $-4 < x < 1$ , שלילית בתחומים $x < -4$ ו־ $x > 1$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 33

Exercice 34

נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הוא $7.5$ . בעבור הערך של $a$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ה. $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקצייה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקצייה המקיימת $g(x) = \frac{-f'(x)}{(f(x))^2}$ . ה (3). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $g(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ בתחום $-a \le x \le 0$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5333

Corrigé :

\begin{aligned}\left(\frac{1}{f(x)}\right)' &= \frac{-f'(x)}{(f(x))^2} \\ &= g(x)\end{aligned}

$\frac{1}{f(x)}$ היא פונקצייה קדומה של $g(x)$

-4 \le x \le 0: \ g(x) \ge 0

סעיף ה (2): הגרף מעל ציר ה־ $x$

\begin{aligned}S &= \int_{-4}^{0} g(x)\,dx \\ &= \frac{1}{f(0)} - \frac{1}{f(-4)}\end{aligned}

\begin{aligned}f(0) &= \frac{6}{4} \\ &= 1.5 \\ \quad f(-4) &= 7.5\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{1}{1.5} - \frac{1}{7.5} \\ &= \frac{2}{3} - \frac{2}{15} \\ &= \frac{8}{15}\end{aligned}

השטח הוא $\frac{8}{15} \approx 0.533$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 34

שאלה 7 — פונקצייה טריגונומטרית

Exercice 35

א. הוכיחו כי הפונקצייה $f(x)$ היא זוגית.

$f(x) = (\sin x)^2 \cdot \cos(2x)$
$-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$

$f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום

Voir la réponse et le corrigé

התחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ סימטרי ביחס ל־ $0$ — אם $x$ בתחום, גם $-x$ בתחום
$(\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = (\sin x)^2$ — סינוס היא פונקצייה אי־זוגית
$\cos(-2x) = \cos(2x)$ — קוסינוס היא פונקצייה זוגית
$f(-x) = f(x)$ — מציבים $-x$ בפונקצייה

Corrigé :

-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4} \iff -\frac{\pi}{4} \le -x \le \frac{\pi}{4}

התחום סימטרי

f(-x) = (\sin(-x))^2 \cdot \cos(-2x)

מציבים $-x$

\begin{aligned}(-\sin x)^2 \cdot \cos(2x) &= (\sin x)^2 \cdot \cos(2x) \\ &= f(x)\end{aligned}

$\sin(-x) = -\sin x$ , $\cos(-t) = \cos t$

$f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום הסימטרי, ולכן $f(x)$ זוגית.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 35

Exercice 36

ב. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

Aמקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{8}\right)$ ; מינימום $(0, 0)$
Bמקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{4}\right)$ ; מינימום $(0, 0)$ ו־ $\left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)$ ; פיתול $\left(\pm\frac{\pi}{12}, 0\right)$
Cמינימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, -\frac{1}{8}\right)$ ; מקסימום $(0, 0)$ ו־ $\left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)$
Dמקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{8}\right)$ ; מינימום $(0, 0)$ ו־ $\left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{8}\right)$ ; מינימום $(0, 0)$ ו־ $\left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)$

Corrigé :

f'(x) = 2\sin x\cos x \cdot \cos 2x - 2\sin^2 x \cdot \sin 2x

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= \sin 2x\,(\cos 2x - 2\sin^2 x) \\ &= \sin 2x\,(1 - 4\sin^2 x)\end{aligned}

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= 0 \ \text{או} \ \sin^2 x \\ &= \frac{1}{4} \iff x \\ &= 0 \\ \ \pm\frac{\pi}{6}\end{aligned}

בתחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$

0 < x < \frac{\pi}{6}: \ f' > 0; \quad \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{4}: \ f' < 0

טבלת סימנים; הצד השני לפי הזוגיות

\begin{aligned}f\left(\pm\frac{\pi}{6}\right) &= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{8} \\ \quad f(0) &= 0 \\ \quad f\left(\pm\frac{\pi}{4}\right) &= \frac{1}{2} \cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

מקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{8}\right)$ ; מינימום $(0, 0)$ , ומינימום בקצות התחום $\left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 36

Exercice 37

הגרפים I–IV

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף III
Bגרף I
Cגרף IV
Dגרף II

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף III

Corrigé :

\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{8}\right)

שתי נקודות מקסימום (סעיף ב)

(0, 0), \ \left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)

מינימום באמצע ובשני קצות התחום

f(x) \ge 0

$\sin^2 x \ge 0$ ו־ $\cos 2x \ge 0$ בתחום: הגרף אינו יורד מתחת לציר ה־ $x$

גרף III: שתי "גבעות" סימטריות, בין $0$ לבין $\pm\frac{\pi}{4}$ . גרף I הוא $-f(x)$ , בגרף II מקסימום אחד ב־ $x = 0$ , ובגרף IV הפונקצייה עולה עד קצות התחום.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 37

Exercice 38

פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = \sqrt{a \cdot f'(x)}$ . $a$ הוא פרמטר שלילי. ד (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ .

A $-\frac{\pi}{4} \le x \le -\frac{\pi}{6}$ או $x = 0$ או $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}$
B $-\frac{\pi}{6} \le x \le 0$ או $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}$
C $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$
D $-\frac{\pi}{4} \le x \le -\frac{\pi}{6}$ או $0 \le x \le \frac{\pi}{6}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $-\frac{\pi}{6} \le x \le 0$ או $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}$

Corrigé :

a \cdot f'(x) \ge 0 \iff f'(x) \le 0

$a < 0$

f'(x) = \sin 2x\,(1 - 4\sin^2 x)

סעיף ב

-\frac{\pi}{6} \le x \le 0: \ \sin 2x \le 0, \ 1 - 4\sin^2 x \ge 0 \Rightarrow f' \le 0

\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}: \ \sin 2x > 0, \ 1 - 4\sin^2 x \le 0 \Rightarrow f' \le 0

-\frac{\pi}{4} \le x < -\frac{\pi}{6} \ \text{או} \ 0 < x < \frac{\pi}{6}: \ f' > 0

שם $g$ אינה מוגדרת

$-\frac{\pi}{6} \le x \le 0$ או $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}$ : התחומים שבהם הפונקצייה $f(x)$ יורדת.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 38

Exercice 39

פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = \sqrt{a \cdot f'(x)}$ . $a$ הוא פרמטר שלילי. ד (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $g(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$x =$ ____ $\pi$ , $x =$ ____ $\pi$ , $x =$ ____ $\pi$ (מהקטן לגדול; בכולן $y = 0$ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x =$ -0.1667 $\pi$ , $x =$ 0 $\pi$ , $x =$ 0.1667 $\pi$ (מהקטן לגדול; בכולן $y = 0$ )

Corrigé :

\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff f'(x) \\ &= 0\end{aligned}

$a \neq 0$

\begin{aligned}x &= -\frac{\pi}{6} \\ \ 0 \\ \ \frac{\pi}{6}\end{aligned}

סעיף ב; שלושתן בתחום ההגדרה של $g$

$\left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $(0, 0)$ , $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 39

Exercice 40

הגרפים I–IV

פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = \sqrt{a \cdot f'(x)}$ . $a$ הוא פרמטר שלילי. נתון כי לפונקצייה $f(x)$ יש נקודת פיתול אחת בלבד בתחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ . ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $g(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף IV
Bגרף II
Cגרף III
Dגרף I

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף I

Corrigé :

g(x) \ge 0

שורש ריבועי אינו שלילי

\begin{aligned}g\left(-\frac{\pi}{6}\right) &= g(0) \\ &= g\left(\frac{\pi}{6}\right) \\ &= 0\end{aligned}

סעיף ד (2)

-\frac{\pi}{6} < x < 0

בין שני אפסים $g > 0$ : הגרף עולה ויורד. שם נמצאת נקודת הפיתול של $f$ , נקודת הקיצון של $f'$

\begin{aligned}f'\left(\frac{\pi}{6}\right) &= 0 \\ \quad f'\left(\frac{\pi}{4}\right) &= -1\end{aligned}

בתחום $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}$ אין נקודת פיתול, ולכן $f'$ מונוטונית: יורדת מ־ $0$ אל $-1$

g\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{-a}

$g$ עולה מ־ $0$ עד קצה התחום

גרף I: "גבעה" בין $-\frac{\pi}{6}$ ל־ $0$ , וענף עולה בין $\frac{\pi}{6}$ ל־ $\frac{\pi}{4}$ . גרף II הוא $g(-x)$ , גרף III הוא $-g(x)$ , ובגרף IV הענף הימני יורד.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 40

שאלה 8 — פונקציית חזקה ובעיית קיצון

Exercice 41

א. הביעו באמצעות $b$ ו־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $B$ . (אפשר לכתוב את המקדמים כשברים או כמספרים עשרוניים.)

$x_B =$ ____ $\cdot (4t - 2)^3 +$ ( ____ ) $\cdot b$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x_B =$ 0.33333 $\cdot (4t - 2)^3 +$ ( -0.33333 ) $\cdot b$

Corrigé :

y_A = (4t - 2)^3

$A$ על גרף הפונקצייה

y_B = y_A

$AB$ מקביל לציר ה־ $x$

3x_B + b = (4t - 2)^3

$B$ על הישר

\begin{aligned}x_B &= \frac{(4t - 2)^3 - b}{3} \\ &= \frac{1}{3}(4t - 2)^3 - \frac{1}{3}b\end{aligned}

$x_B = \frac{(4t - 2)^3 - b}{3}$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 41

Exercice 42

ב (1). מצאו את הערך של $t$ שבעבורו אורך הקטע $AB$ הוא מינימלי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.375

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= x_A - x_B \\ &= t - \frac{(4t - 2)^3 - b}{3}\end{aligned}

$A$ משמאל לנקודת החיתוך: שם הישר מעל הגרף, ו־ $B$ משמאל ל־ $A$

\begin{aligned}L'(t) &= 1 - \frac{3(4t - 2)^2 \cdot 4}{3} \\ &= 1 - 4(4t - 2)^2\end{aligned}

גוזרים לפי $t$ ; $b$ קבוע

\begin{aligned}L'(t) &= 0 \iff (4t - 2)^2 \\ &= \frac{1}{4} \iff t \\ &= \frac{3}{8} \ \text{או} \ t \\ &= \frac{5}{8}\end{aligned}

$4t - 2 = \pm\frac{1}{2}$

0 < t < \frac{3}{8}: \ L' < 0; \quad \frac{3}{8} < t < \frac{5}{8}: \ L' > 0; \quad \frac{5}{8} < t < 0.7: \ L' < 0

טבלת סימנים

\begin{aligned}L(0) &= \frac{8 + b}{3} \\ \ L\left(\frac{3}{8}\right) &= \frac{1.25 + b}{3} \\ \ L\left(\frac{5}{8}\right) &= \frac{1.75 + b}{3} \\ \ L(0.7) &= \frac{1.588 + b}{3}\end{aligned}

משווים את הקיצונים המקומיים לקצות הקטע

$t = \frac{3}{8} = 0.375$ : הערך הקטן ביותר מבין ארבעת הערכים, $\frac{1.25 + b}{3}$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 42

Exercice 43

ב (2). מצאו את הערך של $t$ שבעבורו אורך הקטע $AB$ הוא מקסימלי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= x_A - x_B \\ &= t - \frac{(4t - 2)^3 - b}{3}\end{aligned}

$A$ משמאל לנקודת החיתוך: שם הישר מעל הגרף, ו־ $B$ משמאל ל־ $A$

\begin{aligned}L'(t) &= 1 - \frac{3(4t - 2)^2 \cdot 4}{3} \\ &= 1 - 4(4t - 2)^2\end{aligned}

גוזרים לפי $t$ ; $b$ קבוע

\begin{aligned}L'(t) &= 0 \iff (4t - 2)^2 \\ &= \frac{1}{4} \iff t \\ &= \frac{3}{8} \ \text{או} \ t \\ &= \frac{5}{8}\end{aligned}

$4t - 2 = \pm\frac{1}{2}$

0 < t < \frac{3}{8}: \ L' < 0; \quad \frac{3}{8} < t < \frac{5}{8}: \ L' > 0; \quad \frac{5}{8} < t < 0.7: \ L' < 0

טבלת סימנים

\begin{aligned}L(0) &= \frac{8 + b}{3} \\ \ L\left(\frac{3}{8}\right) &= \frac{1.25 + b}{3} \\ \ L\left(\frac{5}{8}\right) &= \frac{1.75 + b}{3} \\ \ L(0.7) &= \frac{1.588 + b}{3}\end{aligned}

משווים את הקיצונים המקומיים לקצות הקטע

$t = 0$ : המקסימום של הקטע מתקבל בקצה, $\frac{8 + b}{3}$ גדול מ־ $\frac{1.75 + b}{3}$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 43

Les mots de la leçon

משך: meshekh durée
שעה: sha’a heure
דקה: daka minute
סך הכול: sakh ha-kol au total
לכל היותר: le-khol ha-yoter au plus
אינדוקציה: induktsia raisonnement par récurrence
סדרה: sidra suite
הסתברות: histabrut probabilité
מישור: mishor plan
פולינום: polinom polynôme
פונקציית שורש: funktsiyat shoresh fonction racine
פונקציה רציונלית: funktsia ratsyonalit fonction rationnelle
פונקציה: funktsia fonction
טריגונומטריה: trigonometria trigonométrie
נוסחה: nusḥa formule
סעיף: se’if question (a, b, c…)
הסבירו: hasbiru expliquez
הוכיחו: hokhiḥu démontrez
טענה: ta’ana affirmation
הוכחה: hokhaḥa démonstration
ביטוי אלגברי: bitui algebri expression algébrique
מקדם: mekadem coefficient
פתרון: pitaron solution
נתון: natun on donne ; donnée (hypothèse)
שוויון: shivyon égalité
מתקיים: mitkayem est vérifié(e), on a
פרמטר: parameter paramètre
מצאו: mits’u trouvez, déterminez
להציב: lehatsiv substituer / remplacer
אגף: agaf membre (d’une équation)
איבר: ever terme
מספר טבעי: mispar tiv’i entier naturel
מכנה משותף: mekhane meshutaf dénominateur commun
גורם משותף: gorem meshutaf facteur commun
נכון: nakhon vrai, juste
נובע: nove’a découle, il s’ensuit
גרף: graf graphe, courbe représentative
מוגדרת: mugderet définie
קבעו: kiv’u déterminez, décidez
נמקו: namku justifiez
ציר: tsir axe
נקודה: nekuda point
חיובי: ḥiyuvi positif
שלילי: shlili négatif
חשבו: ḥishvu calculez
שטח: shetaḥ aire
נקודת חיתוך: nekudat khitukh point d’intersection
פונקציה עולה: funktsia ola fonction (ou suite) croissante
אינטגרל: integral intégrale
יחידת שטח: yeḥidat shetaḥ unité d’aire
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
אסימפטוטה אופקית: asimptota ofkit asymptote horizontale
שיעורים (של נקודה): shiurim coordonnées
אסימפטוטה: asimptota asymptote
מאונכים: me’unakhim perpendiculaires
אסימפטוטה אנכית: asimptota anakhit asymptote verticale
מכנה: mekhane dénominateur
מתאפס: mitapes s’annule
מקסימום: maksimum maximum
פונקציה יורדת: funktsia yoredet fonction (ou suite) décroissante
ישר: yashar droite
חותך: khotekh coupe ; sécante
מונה: moneh numérateur
משוואה: mishva’a équation
סקיצה: skitsa esquisse (allure du graphe)
מינימום: minimum minimum
משולש ישר זווית: meshulash yeshar zavit triangle rectangle
צלע: tsela côté
משולש: meshulash triangle
סדרה הנדסית: sidra hendesit suite géométrique
איבר ראשון: ever rishon premier terme
זווית ישרה: zavit yeshara angle droit
יתר: yeter hypoténuse
מנה: mana quotient
סתירה: stira contradiction
לא נכון: lo nakhon faux
בלתי אפשרי: bilti efshari impossible
אורך: orekh longueur
שורש: shoresh racine carrée
מספר עשרוני: mispar esroni nombre décimal
משולש שווה צלעות: meshulash shve tsla’ot triangle équilatéral
משפט פיתגורס: mishpat Pitagoras théorème de Pythagore
משוואה ריבועית: mishva’a ribu’it équation du second degré
הגדרה: hagdara définition
כפול: kaful fois
סכום: skhum somme
יחס: yaḥas rapport
קבוע: kavua constante
פי: pi fois (plus, moins)
נוסחת השורשים: nusḥat ha-shorashim formule des racines (du discriminant)
נפסל: nifsal rejeté (à éliminer)
צמצום: tsimtsum simplification
מספר זוגי: mispar zugi nombre pair
מספר אי-זוגי: mispar i-zugi nombre impair
הסתברות מותנית: histabrut mutnit probabilité conditionnelle
אקראי: akra’i au hasard, aléatoire
לפחות: lefaḥot au moins
בלתי תלויים: bilti tluyim indépendants
התפלגות בינומית: hitpalgut binomit loi binomiale
מאורע משלים: me’ora mashlim événement contraire
זווית היקפית: zavit hekefit angle inscrit
נשענת על: nish’enet al intercepte (un arc, une corde)
קשת: keshet arc
מרובע: meruba quadrilatère
חסום: ḥasum inscrit
מעגל: ma’agal cercle
נגדיות: negdiyot opposés (côtés, angles)
זוויות משלימות: zaviyot mashlimot angles supplémentaires (ou complémentaires)
זוויות צמודות: zaviyot tsmudot angles adjacents supplémentaires
זווית: zavit angle
זווית חיצונית: zavit ḥitsonit angle extérieur
מרובע חסום: meruba ḥasum quadrilatère inscriptible
יחס הדמיון: yaḥas ha-dimyon rapport de similitude
יחס השטחים: yaḥas ha-shetaḥim rapport des aires
משולשים דומים: meshulashim domim triangles semblables
ריבוע: ribua carré
משפט הקוסינוסים: mishpat ha-kosinusim théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus)
הביעו: habi’u exprimez
קטע: keta segment
משולש שווה שוקיים: meshulash shve shokayim triangle isocèle
זוויות הבסיס: zaviyot ha-basis angles à la base
ניצב: nitsav côté de l’angle droit
רדיוס: radius rayon
מעגל חוסם: ma’agal ḥosem cercle circonscrit
מרכז: merkaz centre
חוסם: ḥosem circonscrit
אמצע קטע: emtsa keta milieu (d’un segment)
תיכון: tikhon médiane
בסיס: basis base
גובה: gova hauteur
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domaine de définition
אין פתרון: ein pitaron pas de solution
כלל המנה: klal ha-mana dérivée d’un quotient
טבלת סימנים: tavlat simanim tableau de signes (de variations)
נגזרת: nigzeret dérivée
תחום חיוביות: tḥum ḥiyuviyut intervalle où la fonction est positive
פונקציה קדומה: funktsia kduma primitive
סימטריה: simetria symétrie
כלל המכפלה: klal ha-makhpela dérivée d’un produit
נקודת פיתול: nekudat pitul point d’inflexion
שבר: shever fraction
מקבילים: makbilim parallèles
גזירה: gzira dérivation (dériver)

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elev Découvrir elev pour cette classe

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : Suites