בגרות 35581 — קיץ 2026

Sur elev, cette leçon vient avec :

Une courte vidéo qui explique la leçon
Chaque exercice corrigé dès la réponse
Le suivi des progrès, chapitre après chapitre

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : Suites

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35581 (5 יחידות לימוד, שאלון ראשון), קיץ תשפ״ו, 2026. בשאלון המודפס: משך הבחינה שלוש שעות וחצי, ועונים על חמש שאלות, לפחות על שאלה אחת מכל פרק (לכל שאלה – 20 נקודות). למועד קיץ תשפ״ו («שאגת הארי») עדכן משרד החינוך את ההנחיות: משך הבחינה ארבע שעות, עונים על חמש שאלות ללא הגבלת פרקים, לכל שאלה 22 נקודות, וסך הכול 100 נקודות לכל היותר. פרק ראשון – אלגברה והסתברות: שאלות 1–3. פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור: שאלות 4–5. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־37 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercices

שאלה 1 — בעיית תנועה: הולך רגל ורוכב אופניים

Exercice 1

א. מצאו פי כמה גדולה המהירות של רוכב האופניים מן המהירות של הולך הרגל.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= d\end{aligned}

נסמן ב־ $d$ את המרחק, $B$ באמצע הקטע $AC$

t = \frac{2d}{u}

$u$ מהירות רוכב האופניים: הוא רכב מ־ $B$ ל־ $C$ וחזרה, דרך $2d$

v \cdot \frac{2d}{u} = \frac{2}{3}d

$v$ מהירות הולך הרגל: הדרך שעבר באותו הזמן $t$

\frac{2v}{u} = \frac{2}{3}

מחלקים את שני האגפים ב־ $d$

6v = 2u

כופלים בהצלבה

u = 3v

מחלקים את שני האגפים ב־ $2$

המהירות של רוכב האופניים גדולה פי $3$ מן המהירות של הולך הרגל.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 1

Exercice 2

כאשר הגיע רוכב האופניים חזרה ליישוב $B$ , הוא נח במשך שעה, ולאחר מכן יצא ליישוב $A$ באותה המהירות שבה רכב קודם. כאשר הגיע הולך הרגל ליישוב $A$ הוא מייד יצא חזרה ליישוב $B$ באותה המהירות שבה הלך קודם. $6$ דקות לאחר שיצא רוכב האופניים מן היישוב $B$ ליישוב $A$ הוא פגש את הולך הרגל שהיה בדרכו חזרה מן היישוב $A$ . נסמן ב־ $v$ את המהירות של הולך הרגל. ב. הראו כי המרחק בין היישוב $A$ ליישוב $C$ הוא $2.1v$ .

$AB = BC = d$
המהירות של רוכב האופניים היא $3v$ (סעיף א)
$6$ דקות הן $0.1$ שעה

$AC = 2.1v$

Voir la réponse et le corrigé

$t_1 = \frac{2d}{3v}$ — זמן הרכיבה מ־ $B$ ל־ $C$ וחזרה: דרך $2d$ במהירות $3v$
$T = \frac{2d}{3v} + 1 + 0.1$ — שעה של מנוחה ועוד $6$ דקות של רכיבה ליישוב $A$
$3v \cdot 0.1 = 0.3v$ — המרחק של נקודת המפגש מן היישוב $B$ : הדרך של רוכב האופניים ב־ $6$ הדקות
$vT = d + (d - 0.3v)$ — הולך הרגל הלך מ־ $B$ ל־ $A$ , ואז חזר מ־ $A$ עד נקודת המפגש
$\frac{2d}{3} + 1.1v = 2d - 0.3v$ — מציבים את $T$ ופותחים סוגריים
$1.4v = \frac{4d}{3}$ — מעבירים אגפים
$d = 1.05v$ — כופלים את שני האגפים ב־ $\frac{3}{4}$
$AC = 2.1v$ — $AC = 2d$ , כי $B$ באמצע הקטע $AC$

Corrigé :

t_1 = \frac{2d}{3v}

רוכב האופניים חוזר ל־ $B$ : דרך $2d$ במהירות $3v$ (סעיף א)

T = \frac{2d}{3v} + 1 + 0.1

שעה של מנוחה, ועוד $6$ דקות, שהן $0.1$ שעה

3v \cdot 0.1 = 0.3v

המרחק של נקודת המפגש מן היישוב $B$

vT = d + (d - 0.3v)

הולך הרגל הגיע ל־ $A$ וחזר עד נקודת המפגש

v\left(\frac{2d}{3v} + 1.1\right) = 2d - 0.3v

מציבים את $T$

\frac{2d}{3} + 1.1v = 2d - 0.3v

פותחים סוגריים

1.4v = \frac{4d}{3}

מעבירים אגפים

d = 1.05v

כופלים את שני האגפים ב־ $\frac{3}{4}$

\begin{aligned}AC &= 2d \\ &= 2.1v\end{aligned}

$B$ באמצע הקטע $AC$

\begin{aligned}\frac{d}{v} &= 1.05 < T \\ &= 1.8\end{aligned}

בדיקה: הולך הרגל אכן הגיע ל־ $A$ לפני המפגש

המרחק בין היישוב $A$ ליישוב $C$ הוא $2.1v$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 2

Exercice 3

ביום המוחרת, יצאו באותה השעה רוכב האופניים והולך הרגל מן היישוב $C$ ליישוב $A$ . רוכב האופניים רכב במהירות קטנה ב־ $1$ קמ״ש מן המהירות שלו ביום הקודם, והולך הרגל הלך במהירות גדולה ב־ $2$ קמ״ש מן המהירות שלו ביום הקודם. $45$ דקות לפני שהגיע הולך הרגל ליישוב $A$ , הגיע ליישוב זה רוכב האופניים. ג. מצאו את המרחק בין היישוב $A$ ליישוב $C$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.5

Corrigé :

3v - 1, \quad v + 2

המהירויות ביום המוחרת, בקמ״ש: רוכב האופניים, הולך הרגל

\frac{2.1v}{v + 2} - \frac{2.1v}{3v - 1} = \frac{3}{4}

זמן = דרך חלקי מהירות; $45$ דקות הן $\frac{3}{4}$ שעה

8.4v(3v - 1) - 8.4v(v + 2) = 3(v + 2)(3v - 1)

כופלים את שני האגפים ב־ $4(v + 2)(3v - 1)$

25.2v^2 - 8.4v - 8.4v^2 - 16.8v = 9v^2 + 15v - 6

פותחים סוגריים

7.8v^2 - 40.2v + 6 = 0

מעבירים אגפים ומכנסים איברים דומים

13v^2 - 67v + 10 = 0

מחלקים את שני האגפים ב־ $0.6$

\begin{aligned}v &= \frac{67 \pm \sqrt{67^2 - 4 \cdot 13 \cdot 10}}{26} \\ &= \frac{67 \pm 63}{26}\end{aligned}

נוסחת השורשים

\begin{aligned}v &= 5 \\ \quad v &= \frac{2}{13}\end{aligned}

שני הפתרונות

3 \cdot \frac{2}{13} - 1 = -\frac{7}{13} < 0

$v = \frac{2}{13}$ נפסל: המהירות של רוכב האופניים אינה יכולה להיות שלילית

\begin{aligned}AC &= 2.1 \cdot 5 \\ &= 10.5\end{aligned}

מציבים $v = 5$ ב־ $AC = 2.1v$ (סעיף ב)

המרחק בין היישוב $A$ ליישוב $C$ הוא $10.5$ ק״מ. בדיקה: הולך הרגל הלך $1.5$ שעות ( $10.5$ ק״מ ב־ $7$ קמ״ש), ורוכב האופניים רכב $0.75$ שעה ( $10.5$ ק״מ ב־ $14$ קמ״ש): הפרש של $45$ דקות.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 3

Votre enfant a-t-il compris ?

Sur elev, chaque exercice est corrigé dès qu'il répond, et un indice arrive au moment où il bloque.

Pratiquer sur elev

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

Exercice 4

א. הוכיחו כי הסדרה $c_n$ היא הנדסית, והביעו באמצעות $q$ את מנתה.

$a_{n+1} = a_n \cdot q$ לכל $n$ טבעי
$b_{n+1} = b_n \cdot 2q$ לכל $n$ טבעי
$c_n = a_n \cdot b_n$ לכל $n$ טבעי

$c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$

Voir la réponse et le corrigé

$c_{n+1} = a_{n+1} \cdot b_{n+1}$ — הגדרת הסדרה $c_n$ , עבור $n + 1$
$a_{n+1} \cdot b_{n+1} = a_n q \cdot b_n \cdot 2q = 2q^2 \cdot a_n b_n$ — המנות של הסדרות ההנדסיות $a_n$ ו־ $b_n$
$a_n \cdot b_n \neq 0$ — בסדרה הנדסית אין איבר ששווה ל־ $0$
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = 2q^2$ — מחלקים ב־ $c_n = a_n b_n \neq 0$ ; המנה אינה תלויה ב־ $n$ , ולכן $c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$

Corrigé :

c_{n+1} = a_{n+1} \cdot b_{n+1}

הגדרת הסדרה $c_n$ , עבור $n + 1$

\begin{aligned}a_{n+1} &= a_n \cdot q \\ \quad b_{n+1} &= b_n \cdot 2q\end{aligned}

המנות של שתי הסדרות ההנדסיות

c_{n+1} = a_n q \cdot b_n \cdot 2q

On remplace (מציבים)

\begin{aligned}c_{n+1} &= 2q^2 \cdot a_n b_n \\ &= 2q^2 \cdot c_n\end{aligned}

מסדרים את הגורמים

\frac{c_{n+1}}{c_n} = 2q^2

מחלקים ב־ $c_n \neq 0$ : בסדרה הנדסית אין איבר ששווה ל־ $0$

היחס בין כל שני איברים סמוכים הוא הקבוע $2q^2$ , ולכן $c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 4

Exercice 5

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ב. מצאו את הערך של $q$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

\begin{aligned}c_1 &= a_1 \cdot b_1 \\ &= (a_1)^2\end{aligned}

$b_1 = a_1$

\begin{aligned}c_2 &= c_1 \cdot 2q^2 \\ &= 2q^2 (a_1)^2\end{aligned}

המנה של $c_n$ מסעיף א

2q^2 (a_1)^2 = \frac{1}{8}(a_1)^2

הנתון

2q^2 = \frac{1}{8}

מחלקים את שני האגפים ב־ $(a_1)^2 \neq 0$

q^2 = \frac{1}{16}

מחלקים את שני האגפים ב־ $2$

q = \pm\frac{1}{4}

מוציאים שורש משני האגפים

q = \frac{1}{4}

$q = -\frac{1}{4}$ נפסל: סדרה הנדסית עם מנה שלילית מחליפה סימן, ולכן אינה עולה

$q = \frac{1}{4} = 0.25$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 5

Exercice 6

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ג (1). האם הערך של $a_1$ הוא חיובי או שלילי? נמקו את תשובתכם.

Aשלילי: $q < 0$ , ולכן איברי הסדרה מחליפים סימן
Bחיובי: סדרה עולה מתחילה תמיד באיבר חיובי
Cחיובי: $q > 0$ , ולכן כל איברי הסדרה חיוביים
Dשלילי: $0 < q < 1$ , והסדרה עולה רק אם $a_1 < 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D שלילי: $0 < q < 1$ , והסדרה עולה רק אם $a_1 < 0$

Corrigé :

0 < q = \frac{1}{4} < 1

המנה מסעיף ב

\begin{aligned}a_{n+1} - a_n &= a_n q - a_n \\ &= a_n(q - 1)\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

a_{n+1} - a_n = -\frac{3}{4}a_n

מציבים $q = \frac{1}{4}$

a_{n+1} > a_n \iff -\frac{3}{4}a_n > 0 \iff a_n < 0

הסדרה עולה

a_1 < 0

כל האיברים באותו סימן כמו $a_1$ , כי $q > 0$

$a_1$ שלילי: ב־ $0 < q < 1$ האיברים מתקרבים ל־ $0$ , והם עולים רק כשהם שליליים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 6

Exercice 7

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ג (2). האם הסדרה $c_n$ עולה או יורדת? נמקו את תשובתכם.

Aעולה: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $2q^2 = \frac{1}{8}$ חיובית
Bעולה: מכפלה של שתי סדרות עולות היא תמיד סדרה עולה
Cיורדת: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $\frac{1}{8}$ נמצאת בין $0$ ל־ $1$
Dיורדת: $c_1 < 0$ כי $a_1$ שלילי, והמנה היא $\frac{1}{8}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C יורדת: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $\frac{1}{8}$ נמצאת בין $0$ ל־ $1$

Corrigé :

c_1 = (a_1)^2 > 0

$b_1 = a_1 \neq 0$

\begin{aligned}2q^2 &= 2 \cdot \frac{1}{16} \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

המנה של $c_n$ מסעיף א

c_{n+1} = \frac{1}{8}c_n

כל איבר הוא שמינית מקודמו

c_{n+1} < c_n

כל האיברים חיוביים, ו־ $\frac{1}{8} < 1$

הסדרה $c_n$ יורדת: איברים חיוביים שכל אחד מהם הוא שמינית מקודמו. מכפלה של שתי סדרות עולות ושליליות אינה סדרה עולה.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 7

Exercice 8

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . נסמן ב־ $S_1$ את סכום הסדרה $a_n$ , ב־ $S_2$ את סכום הסדרה $b_n$ וב־ $S_3$ את סכום הסדרה $c_n$ . נתון: $S_1 + S_2 + S_3 = 434$ . ד. מצאו את הערך של $a_1$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -21

Corrigé :

\begin{aligned}S_1 &= \frac{a_1}{1 - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{4a_1}{3}\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת: $-1 < q < 1$

\begin{aligned}S_2 &= \frac{a_1}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= 2a_1\end{aligned}

$b_1 = a_1$ , והמנה $2q = \frac{1}{2}$

\begin{aligned}S_3 &= \frac{(a_1)^2}{1 - \frac{1}{8}} \\ &= \frac{8(a_1)^2}{7}\end{aligned}

$c_1 = (a_1)^2$ , והמנה $\frac{1}{8}$

\frac{4a_1}{3} + 2a_1 + \frac{8(a_1)^2}{7} = 434

הנתון

28a_1 + 42a_1 + 24(a_1)^2 = 9114

כופלים את שני האגפים ב־ $21$

24(a_1)^2 + 70a_1 - 9114 = 0

מכנסים איברים דומים ומעבירים אגפים

12(a_1)^2 + 35a_1 - 4557 = 0

מחלקים את שני האגפים ב־ $2$

\begin{aligned}a_1 &= \frac{-35 \pm \sqrt{35^2 + 4 \cdot 12 \cdot 4557}}{24} \\ &= \frac{-35 \pm 469}{24}\end{aligned}

נוסחת השורשים: $\sqrt{219961} = 469$

\begin{aligned}a_1 &= -21 \\ \quad a_1 &= \frac{217}{12}\end{aligned}

שני הפתרונות

a_1 = -21

$a_1$ שלילי (סעיף ג), ולכן הפתרון החיובי נפסל

$a_1 = -21$ : מסעיף ג, $a_1$ שלילי, ולכן הפתרון החיובי נפסל.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 8

שאלה 3 — הסתברות: כדורים בשני שקים

Exercice 9

א. מצאו את הערך של $x$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

P(R) = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{10}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{x}{12}\right)^2

$R$ : שני כדורים רכים. נוסחת ההסתברות השלמה: כל שק בהסתברות $\frac{1}{2}$ , ושתי ההוצאות בלתי תלויות

P(R) = 0.08 + \frac{x^2}{288}

מחשבים: $\frac{1}{2} \cdot 0.16 = 0.08$

0.08 + \frac{x^2}{288} = 0.205

הנתון: $\frac{41}{200} = 0.205$

\frac{x^2}{288} = 0.125

מחסרים $0.08$ משני האגפים

x^2 = 36

כופלים את שני האגפים ב־ $288$

x = 6

מוציאים שורש; $x$ הוא מספר כדורים, ולכן $x > 0$

בשק ב׳ יש $6$ כדורים רכים ו־ $6$ כדורים קשים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 9

Exercice 10

ב. ידוע שגלית הוציאה שני כדורים מאותו הסוג. מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני כדורים משק א׳?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5098

Corrigé :

\begin{aligned}P(T \mid A) &= 0.4^2 + 0.6^2 \\ &= 0.52\end{aligned}

$T$ : שני כדורים מאותו הסוג. בשק א׳: שני רכים או שני קשים

\begin{aligned}P(T \mid B) &= 0.5^2 + 0.5^2 \\ &= 0.5\end{aligned}

בשק ב׳ יש $6$ רכים ו־ $6$ קשים

\begin{aligned}P(T) &= \frac{1}{2} \cdot 0.52 + \frac{1}{2} \cdot 0.5 \\ &= 0.51\end{aligned}

נוסחת ההסתברות השלמה

\begin{aligned}P(A \cap T) &= \frac{1}{2} \cdot 0.52 \\ &= 0.26\end{aligned}

בוחרים בשק א׳ ומוציאים שני כדורים מאותו הסוג

\begin{aligned}P(A \mid T) &= \frac{0.26}{0.51} \\ &= \frac{26}{51} \approx 0.5098\end{aligned}

הסתברות מותנית

$\frac{26}{51} \approx 0.51$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 10

Exercice 11

גלית מבצעת את התהליך המתואר לפניכם $4$ פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה). ג. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בדיוק בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2696

Corrigé :

\begin{aligned}P(H \mid A) &= 0.6^2 \\ &= 0.36\end{aligned}

$H$ : שני כדורים קשים. בשק א׳ יש $6$ קשים מתוך $10$

\begin{aligned}P(H \mid B) &= 0.5^2 \\ &= 0.25\end{aligned}

בשק ב׳ יש $6$ קשים מתוך $12$

\begin{aligned}p &= \frac{1}{2} \cdot 0.36 + \frac{1}{2} \cdot 0.25 \\ &= 0.305\end{aligned}

נוסחת ההסתברות השלמה: שני קשים בפעם אחת

P = \binom{4}{2} p^2 (1 - p)^2

נוסחת ברנולי: $4$ פעמים בלתי תלויות

P = 6 \cdot 0.305^2 \cdot 0.695^2 \approx 0.2696

On remplace (מציבים)

ההסתברות היא בערך $0.27$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 11

Exercice 12

גלית מבצעת את התהליך המתואר לפניכם $4$ פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה). ד. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים ובשתיים מן הפעמים רק כדורים רכים? (יש לכתוב שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.023456

Corrigé :

p_1 = 0.305

שני כדורים קשים בפעם אחת (סעיף ג)

\begin{aligned}p_2 &= \frac{41}{200} \\ &= 0.205\end{aligned}

שני כדורים רכים בפעם אחת (נתון)

\binom{4}{2} = 6

בוחרים את שתי הפעמים של הקשים; בשתי האחרות רכים

P = 6 \cdot p_1^2 \cdot p_2^2

כל סידור באותה הסתברות

P = 6 \cdot 0.305^2 \cdot 0.205^2 \approx 0.0235

On remplace (מציבים)

ההסתברות היא בערך $0.023$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 12

שאלה 4 — מעגל ודלתון

Exercice 13

א. הוכיחו כי $BC \parallel EK$ .

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$
$C$ על המעגל
$E$ על $BO$ , $K$ על $CO$
$OK = OE$

$BC \parallel EK$

Voir la réponse et le corrigé

$OB = OC$ — רדיוסים במעגל
$\frac{OE}{OB} = \frac{OK}{OC}$ — $OE = OK$ ו־ $OB = OC$
$\triangle OEK \sim \triangle OBC$ — משפט הדמיון צ״ז״צ: הזווית $\angle EOK = \angle BOC$ משותפת, והצלעות שלידה באותו יחס
$\angle OEK = \angle OBC$ — במשולשים דומים, הזוויות המתאימות שוות
$BC \parallel EK$ — זוויות מתאימות שוות בין הישרים $EK$ ו־ $BC$ והחותך $OB$

Corrigé :

OK = OE

נתון: $EMKO$ דלתון

OC = OB

רדיוסים במעגל

\begin{aligned}\angle OEK &= \angle OKE \\ &= \frac{180^\circ - \angle BOC}{2}\end{aligned}

המשולש $OEK$ שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות

\begin{aligned}\angle OBC &= \angle OCB \\ &= \frac{180^\circ - \angle BOC}{2}\end{aligned}

המשולש $OBC$ שווה שוקיים, עם אותה זווית ראש

\angle OEK = \angle OBC

שתי הזוויות שוות לאותו ביטוי

BC \parallel EK

זוויות מתאימות שוות

$\angle OEK = \angle OBC$ הן זוויות מתאימות, ולכן $BC \parallel EK$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 13

Exercice 14

ב. הוכיחו כי $OM \parallel AC$ .

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$
$C$ על המעגל
$E$ על $BO$ , $K$ על $CO$
$MK = ME$ , $OK = OE$

$OM \parallel AC$

Voir la réponse et le corrigé

$\triangle OME \cong \triangle OMK$ — משפט החפיפה צ״צ״צ: $OE = OK$ , $ME = MK$ , והצלע $OM$ משותפת
$\angle MOB = \angle MOC$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים ( $E$ על $OB$ , $K$ על $OC$ )
$\angle MOC = \frac{1}{2}\angle BOC$ — $OM$ חוצה את $\angle BOC$
$\angle OAC = \angle OCA$ — $OA = OC$ (רדיוסים): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\angle BOC = 2\angle OCA$ — זווית חיצונית למשולש $AOC$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\angle MOC = \angle OCA$ — מצרפים את שני השוויונים
$OM \parallel AC$ — זוויות מתחלפות שוות בין הישרים $OM$ ו־ $AC$ והחותך $OC$

Corrigé :

\begin{aligned}OK &= OE \\ \quad MK &= ME \\ \quad OM &= OM\end{aligned}

נתון, וצלע משותפת

\triangle OME \cong \triangle OMK

חפיפה לפי צ.צ.צ

\begin{aligned}\angle MOB &= \angle MOC \\ &= \frac{\angle BOC}{2}\end{aligned}

זוויות מתאימות במשולשים חופפים

\angle OAC = \angle OCA

$OA = OC$ רדיוסים: המשולש $AOC$ שווה שוקיים

\begin{aligned}\angle BOC &= \angle OAC + \angle OCA \\ &= 2\angle OCA\end{aligned}

זווית חיצונית למשולש $AOC$

\angle MOC = \angle OCA

מחלקים ב־ $2$

OM \parallel AC

זוויות מתחלפות שוות

$\angle MOC$ ו־ $\angle OCA$ הן זוויות מתחלפות שוות, ולכן $OM \parallel AC$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 14

Exercice 15

נתון: $\frac{BC}{EK} = \frac{5}{3}$ . ג. מצאו את הערך של $\frac{OM}{AC}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.5

Corrigé :

\triangle OEK \sim \triangle OBC

דמיון לפי ז.ז: זווית משותפת $O$ , וזוויות מתאימות כי $BC \parallel EK$

\begin{aligned}\frac{OK}{OC} &= \frac{EK}{BC} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

יחס הדמיון, והנתון

OK = \frac{3}{5}R

$OC = R$ , רדיוס המעגל

\begin{aligned}KC &= R - \frac{3}{5}R \\ &= \frac{2}{5}R\end{aligned}

חיסור קטעים

\triangle KOM \sim \triangle KCA

דמיון לפי ז.ז: זוויות קודקודיות ב־ $K$ , וזוויות מתחלפות כי $OM \parallel AC$

\frac{OM}{AC} = \frac{OK}{KC}

יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{OM}{AC} &= \frac{\frac{3}{5}R}{\frac{2}{5}R} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

מציבים ומצמצמים ב־ $R$

$\frac{OM}{AC} = \frac{3}{2} = 1.5$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 15

Exercice 16

נתון: $\frac{BC}{EK} = \frac{5}{3}$ . נסמן ב־ $S$ את שטח הדלתון $EMKO$ . ד. הביעו באמצעות $S$ את שטח המשולש $AOC$ . (יש לכתוב את המקדם כמספר עשרוני.)

$S_{AOC} =$ ____ $\cdot S$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $S_{AOC} =$ 0.5556 $\cdot S$

Corrigé :

S_{OKM} = \frac{S}{2}

האלכסון $OM$ מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים

\frac{KC}{OK} = \frac{2}{3}

מסעיף ג

\begin{aligned}\frac{S_{KCA}}{S_{KOM}} &= \left(\frac{2}{3}\right)^2 \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{KCA} &= \frac{4}{9} \cdot \frac{S}{2} \\ &= \frac{2S}{9}\end{aligned}

כופלים ב־ $\frac{S}{2}$

\begin{aligned}\frac{S_{AOK}}{S_{AKC}} &= \frac{OK}{KC} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

אותו גובה מ־ $A$ לישר $OC$

\begin{aligned}S_{AOK} &= \frac{3}{2} \cdot \frac{2S}{9} \\ &= \frac{S}{3}\end{aligned}

כופלים ב־ $\frac{2S}{9}$

\begin{aligned}S_{AOC} &= \frac{S}{3} + \frac{2S}{9} \\ &= \frac{5S}{9}\end{aligned}

חיבור שטחים

\frac{5}{9} \approx 0.556

המקדם כמספר עשרוני

$S_{AOC} = \frac{5}{9}S \approx 0.556 \cdot S$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 16

שאלה 5 — טרפז ומעגל חסום

Exercice 17

א. הראו כי $AC = 2k \cdot \cos\alpha$ .

$AB = BC = k$
$\angle ACB = \alpha$

$AC = 2k \cdot \cos\alpha$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle BAC = \angle BCA = \alpha$ — במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = BC$ ), זוויות הבסיס שוות
$\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$ — סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$
$\frac{AC}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{k}{\sin\alpha}$ — משפט הסינוסים במשולש $ABC$ : $AC$ מול $\angle ABC$ , $BC = k$ מול $\angle BAC$
$AC = \frac{k \sin 2\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2k \sin\alpha \cos\alpha}{\sin\alpha}$ — $\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$AC = 2k \cdot \cos\alpha$ — מצמצמים ב־ $\sin\alpha \neq 0$

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= k\end{aligned}

נתון

\begin{aligned}\angle BAC &= \angle BCA \\ &= \alpha\end{aligned}

המשולש $ABC$ שווה שוקיים

\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

\frac{AC}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{k}{\sin\alpha}

משפט הסינוסים במשולש $ABC$

AC = \frac{k\sin 2\alpha}{\sin\alpha}

$\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha$ ; כופלים במכנה

\begin{aligned}AC &= \frac{k \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2k\cos\alpha\end{aligned}

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ ; מצמצמים ב־ $\sin\alpha$

דרך אחרת: הגובה מ־ $B$ לבסיס $AC$ חוצה אותו, ובמשולש ישר הזווית שנוצר $\frac{AC}{2} = k\cos\alpha$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 17

Exercice 18

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . ב. מצאו את הערך של $\alpha$ (בדרגות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36.8699

Corrigé :

\begin{aligned}\angle ACD &= \angle BAC \\ &= \alpha\end{aligned}

זוויות מתחלפות בין המקבילים $AB$ ו־ $DC$

AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos\alpha

משפט הקוסינוסים במשולש $ACD$

(1.2k)^2 = (2k\cos\alpha)^2 + (2k)^2 - 2 \cdot 2k\cos\alpha \cdot 2k \cdot \cos\alpha

מציבים: $AC = 2k\cos\alpha$ מסעיף א

1.44k^2 = 4k^2\cos^2\alpha + 4k^2 - 8k^2\cos^2\alpha

פותחים סוגריים

1.44k^2 = 4k^2 - 4k^2\cos^2\alpha

מכנסים איברים דומים

1.44 = 4 - 4\cos^2\alpha

מחלקים את שני האגפים ב־ $k^2$

4\cos^2\alpha = 2.56

מעבירים אגפים

\cos^2\alpha = 0.64

מחלקים את שני האגפים ב־ $4$

\cos\alpha = 0.8

מוציאים שורש; $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ , ולכן $\cos\alpha > 0$

\alpha \approx 36.87^\circ

מחשבון

$\alpha \approx 36.87^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 18

Exercice 19

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . ג. מצאו את גודל הזווית $ADC$ (בדרגות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 53.1301

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= 2k \cdot 0.8 \\ &= 1.6k\end{aligned}

מציבים $\cos\alpha = 0.8$

\begin{aligned}AD^2 + AC^2 &= 1.44k^2 + 2.56k^2 \\ &= 4k^2\end{aligned}

On calcule

\begin{aligned}DC^2 &= (2k)^2 \\ &= 4k^2\end{aligned}

נתון

\angle DAC = 90^\circ

המשפט ההפוך למשפט פיתגורס

\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ - 90^\circ - \alpha \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $ACD$

\angle ADC \approx 90^\circ - 36.87^\circ = 53.13^\circ

מציבים את $\alpha$ מסעיף ב

$\angle ADC \approx 53.13^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 19

Exercice 20

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . המשכי הצלעות $DA$ ו־ $CB$ נחתכים בנקודה $E$ . נתון כי האורך של רדיוס המעגל החסום במשולש $EDC$ הוא $14$ . ד. מצאו את הערך של $k$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 23.3333

Corrigé :

\triangle EAB \sim \triangle EDC

$AB \parallel DC$

\begin{aligned}\frac{EA}{ED} &= \frac{EB}{EC} \\ &= \frac{AB}{DC} \\ &= \frac{k}{2k} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}ED &= 2 \cdot AD \\ &= 2.4k\end{aligned}

$A$ אמצע הקטע $ED$

\begin{aligned}EC &= 2 \cdot BC \\ &= 2k\end{aligned}

$B$ אמצע הקטע $EC$

\begin{aligned}CE &= CD \\ &= 2k\end{aligned}

המשולש $EDC$ שווה שוקיים

\begin{aligned}h &= AC \\ &= 1.6k\end{aligned}

הגובה מ־ $C$ לבסיס $ED$ : $AC \perp ED$ (סעיף ג)

\begin{aligned}S_{EDC} &= \frac{1}{2} \cdot 2.4k \cdot 1.6k \\ &= 1.92k^2\end{aligned}

שטח משולש

\begin{aligned}p &= \frac{2k + 2k + 2.4k}{2} \\ &= 3.2k\end{aligned}

Le demi (חצי)-périmètre (היקף)

\begin{aligned}r &= \frac{S}{p} \\ &= \frac{1.92k^2}{3.2k} \\ &= 0.6k\end{aligned}

רדיוס המעגל החסום

0.6k = 14

נתון

\begin{aligned}k &= \frac{14}{0.6} \\ &= \frac{70}{3} \approx 23.33\end{aligned}

מחלקים את שני האגפים ב־ $0.6$

$k = \frac{70}{3} \approx 23.33$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 20

Question 6 — fonction (פונקציה) rationnelle avec paramètre (פרמטר)

Exercice 21

א. ענו על התת־סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x =$ 3 , $y =$ 0

Corrigé :

\begin{aligned}(x - 3)^2 &= 0 \iff x \\ &= 3\end{aligned}

המכנה מתאפס

a \cdot 3 = 3a \neq 0

המונה אינו מתאפס ב־ $x = 3$ , כי $a > 0$

x = 3

אסימפטוטה אנכית

\frac{ax}{(x - 3)^2} = \frac{\frac{a}{x}}{\left(1 - \frac{3}{x}\right)^2} \xrightarrow[x \to \pm\infty]{} 0

מחלקים מונה ומכנה ב־ $x^2$

y = 0

אסימפטוטה אופקית

$x = 3$ ו־ $y = 0$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 21

Exercice 22

א. ענו על התת־סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה.

Aמקסימום $\left(-3, \frac{a}{12}\right)$
Bמקסימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$
Cמינימום $\left(3, \frac{a}{12}\right)$
Dמינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$

Corrigé :

f'(x) = \frac{a(x - 3)^2 - ax \cdot 2(x - 3)}{(x - 3)^4}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

f'(x) = \frac{a(x - 3) - 2ax}{(x - 3)^3}

מצמצמים ב־ $x - 3$

f'(x) = \frac{-a(x + 3)}{(x - 3)^3}

פותחים סוגריים ומכנסים: $ax - 3a - 2ax = -ax - 3a$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= -3\end{aligned}

$a > 0$

\begin{aligned}f(-3) &= \frac{-3a}{(-6)^2} \\ &= -\frac{a}{12}\end{aligned}

מציבים $x = -3$

x < -3: \ f'(x) < 0; \quad -3 < x < 3: \ f'(x) > 0

טבלת סימנים: ירידה ואחריה עלייה

\left(-3, -\frac{a}{12}\right)

נקודת מינימום

נקודת מינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 22

Exercice 23

הגרפים I–IV

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף IV
Bגרף II
Cגרף I
Dגרף III

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף III

Corrigé :

\begin{aligned}x &= 3 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות מסעיף א (1)

f(0) = 0

נקודת החיתוך היחידה עם הצירים: $(0, 0)$

\left(-3, -\frac{a}{12}\right)

נקודת המינימום מסעיף א (2): יורדת עד $x = -3$ , ועולה עד האסימפטוטה

x > 3: \ f(x) > 0, \ f'(x) < 0

מימין לאסימפטוטה: הגרף מעל ציר ה־ $x$ , ויורד אל $y = 0$

גרף III. גרף I הוא $-f(x)$ , בגרף II האסימפטוטה האנכית היא $x = -3$ , ובגרף IV יש אסימפטוטה אופקית $y = 1$ ואין נקודת קיצון.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 23

Exercice 24

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . ג. מצאו את הערך של $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= -0.5\end{aligned}

מחסרים $0.5$ משני האגפים

x > 3: \ f(x) > 0

אין שם נקודת חיתוך

x < 3: \ f(x) \ge -\frac{a}{12}

המינימום הוא הערך הקטן ביותר של $f$

-\frac{a}{12} = -0.5

נקודה אחת בדיוק: אם $-\frac{a}{12} < -0.5$ יש שתיים, ואם $-\frac{a}{12} > -0.5$ אין אף אחת

a = 6

כופלים את שני האגפים ב־ $-12$

$a = 6$ : גרף $g$ נוגע בציר ה־ $x$ בנקודה $(-3, 0)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 24

Exercice 25

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . הציבו בפונקציה $g(x)$ את הערך של $a$ שמצאתם, וענו על סעיף ד. נתונה הפונקציה $h(x) = g(x) \cdot g'(x)$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . ד (1). רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $h(x)$ .

Aחיובית: $0 < x < 3$ ; שלילית: $x < 0$ או $x > 3$
Bחיובית: $x < -3$ או $x > 3$ ; שלילית: $-3 < x < 3$
Cחיובית: $-3 < x < 3$ ; שלילית: $x < -3$ או $x > 3$
Dחיובית: $x > -3$ , $x \neq 3$ ; שלילית: $x < -3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C חיובית: $-3 < x < 3$ ; שלילית: $x < -3$ או $x > 3$

Corrigé :

g(x) = \frac{6x}{(x - 3)^2} + 0.5

מציבים $a = 6$

\begin{aligned}g(x) \ge 0 \\ \quad g(-3) &= 0\end{aligned}

ב־ $x > 3$ : $f > 0$ ; ב־ $x < 3$ : $f \ge -0.5$ , והמינימום של $g$ הוא $0$ (סעיף ג)

\begin{aligned}g'(x) &= f'(x) \\ &= \frac{-6(x + 3)}{(x - 3)^3}\end{aligned}

הנגזרת מסעיף א

x < -3: \ g' < 0; \quad -3 < x < 3: \ g' > 0; \quad x > 3: \ g' < 0

טבלת סימנים

h(x) = g(x) \cdot g'(x)

$g > 0$ פרט ל־ $x = -3$ : לפונקציה $h$ הסימן של $g'$

הסימן של $h = g \cdot g'$ הוא הסימן של $g'$ : חיובית ב־ $-3 < x < 3$ , שלילית ב־ $x < -3$ או $x > 3$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 25

Exercice 26

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . הציבו בפונקציה $g(x)$ את הערך של $a$ שמצאתם, וענו על סעיף ד. נתונה הפונקציה $h(x) = g(x) \cdot g'(x)$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . ד (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $h(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ בתחום $-9 \le x \le 0$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.1328

Corrigé :

\begin{aligned}h(x) &= g(x) \cdot g'(x) \\ &= \left(\frac{g(x)^2}{2}\right)'\end{aligned}

נגזרת של פונקציה מורכבת

\int h(x)\,dx = \frac{g(x)^2}{2} + C

פונקציה קדומה

\begin{aligned}g(-9) &= \frac{-54}{144} + 0.5 \\ &= 0.125\end{aligned}

מציבים $x = -9$

\begin{aligned}g(-3) &= 0 \\ \quad g(0) &= 0.5\end{aligned}

מציבים $x = -3$ ו־ $x = 0$

\begin{aligned}S_1 &= -\int_{-9}^{-3} h\,dx \\ &= -\left(0 - \frac{0.125^2}{2}\right) \\ &= \frac{1}{128}\end{aligned}

$h < 0$ ב־ $-9 < x < -3$

\begin{aligned}S_2 &= \int_{-3}^{0} h\,dx \\ &= \frac{0.5^2}{2} - 0 \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

$h > 0$ ב־ $-3 < x < 0$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{128} + \frac{1}{8} \\ &= \frac{17}{128} \approx 0.1328\end{aligned}

מחברים את שני השטחים

השטח הוא $\frac{17}{128} \approx 0.133$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 26

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר

Exercice 27

א. האם הפונקציה $f(x)$ היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.

Aגם זוגית וגם אי־זוגית: התחום סימטרי, ו־ $f(0) = 0$
Bלא זוגית ולא אי־זוגית: יש בה גם קבועים וגם $b\cos x$
Cאי־זוגית: $\cos(-x) = -\cos x$ , ולכן $f(-x) = -f(x)$ לכל $x$
Dזוגית: $\cos(-x) = \cos x$ , ולכן $f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D זוגית: $\cos(-x) = \cos x$ , ולכן $f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום

Corrigé :

\cos(-x) = \cos x

קוסינוס היא פונקציה זוגית

f(-x) = \left(1 + \cos(-x)\right)\left(-1 + b\cos(-x)\right)

מציבים $-x$ ; התחום $-\pi \le x \le \pi$ סימטרי

\begin{aligned}f(-x) &= (1 + \cos x)(-1 + b\cos x) \\ &= f(x)\end{aligned}

הפונקציה זוגית

f(0) = 2(b - 1) \neq 0

היא אינה אי־זוגית: פונקציה אי־זוגית שמוגדרת ב־ $0$ מקיימת $f(0) = 0$ , ו־ $b < 1$

הפונקציה זוגית. היא לא אי־זוגית: $f(0) = 2(b - 1) \neq 0$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 27

Exercice 28

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

A $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ ו־ $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$
B $(-\pi, 0)$ , $(\pi, 0)$ ו־ $\left(\arccos\frac{1}{b}, 0\right)$
C $(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ בלבד
D $(0, 0)$ בלבד

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ בלבד

Corrigé :

1 + \cos x = 0

הגורם הראשון מתאפס

\begin{aligned}\cos x &= -1 \Rightarrow x \\ &= \pm\pi\end{aligned}

בתחום $-\pi \le x \le \pi$

-1 + b\cos x = 0

הגורם השני מתאפס

\cos x = \frac{1}{b}

מעבירים אגפים ומחלקים ב־ $b \neq 0$

\frac{1}{b} > 1

$0 < b < 1$ : אין פתרון, כי $\cos x \le 1$

(-\pi, 0), \quad (\pi, 0)

נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$

$(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 28

Exercice 29

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = \frac{\pi}{3}$ . ג. מצאו את הערך של $b$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

f'(x) = -\sin x(-1 + b\cos x) + (1 + \cos x)(-b\sin x)

נגזרת של מכפלה

f'(x) = \sin x - b\sin x\cos x - b\sin x - b\sin x\cos x

פותחים סוגריים

f'(x) = \sin x\,(1 - b - 2b\cos x)

מוציאים גורם משותף

\begin{aligned}f'\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2}\left(1 - b - 2b \cdot \frac{1}{2}\right) \\ &= 0\end{aligned}

En un extremum (נקודת קיצון), la dérivée (נגזרת) s’annule (מתאפסת)

1 - b - b = 0

מחלקים את שני האגפים ב־ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

1 - 2b = 0

מכנסים איברים דומים

2b = 1

מעבירים אגפים

b = \frac{1}{2}

מחלקים את שני האגפים ב־ $2$

f'(x) = \sin x\left(\frac{1}{2} - \cos x\right)

בדיקה: מציבים $b = \frac{1}{2}$ בנגזרת

0 < x < \frac{\pi}{3}: \ f' < 0; \quad \frac{\pi}{3} < x < \pi: \ f' > 0

הנגזרת מחליפה סימן: ב־ $x = \frac{\pi}{3}$ יש נקודת קיצון

$b = \frac{1}{2}$ (ואכן $f'$ מחליפה שם סימן).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 29

Exercice 30

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. ד (1). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

Aמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$
Bמינימום $(0, -1)$ ; מקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מינימום $(\pm\pi, 0)$
Cמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מינימום $(\pm\pi, 0)$
Dמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{3}{4}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$

Corrigé :

f'(x) = \sin x\left(\frac{1}{2} - \cos x\right)

מציבים $b = \frac{1}{2}$ בנגזרת מסעיף ג

\begin{aligned}\sin x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= \pm\pi\end{aligned}

הגורם הראשון מתאפס

\begin{aligned}\cos x &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{\pi}{3}\end{aligned}

הגורם השני מתאפס

\begin{aligned}f(0) &= 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= -1\end{aligned}

מציבים $x = 0$

\begin{aligned}f\left(\pm\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \\ &= -\frac{9}{8}\end{aligned}

מציבים $x = \pm\frac{\pi}{3}$

f(\pm\pi) = 0

קצות התחום

0 < x < \frac{\pi}{3}: \ f' < 0; \quad \frac{\pi}{3} < x < \pi: \ f' > 0

טבלת סימנים; הפונקציה זוגית, ולכן הגרף סימטרי סביב ציר ה־ $y$

מקסימום $(0, -1)$ , מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ , ומקסימום בקצות התחום $(\pm\pi, 0)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 30

Exercice 31

הגרפים I–IV

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. ד (2). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף III
Bגרף I
Cגרף II
Dגרף IV

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C גרף II

Corrigé :

(\pm\pi, 0)

מקסימום בקצות התחום (סעיף ד (1))

\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)

שתי נקודות מינימום

(0, -1)

מקסימום נמוך בין שתי נקודות המינימום

f(x) \le 0

הגרף אינו עולה מעל ציר ה־ $x$

גרף II: שני מינימומים ב־ $\pm\frac{\pi}{3}$ ומקסימום נמוך $(0, -1)$ ביניהם. גרף IV הוא $-f(x)$ , גרף I הוא $f(x + \pi)$ , וגרף III הוא $-\sin^2 x$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 31

Exercice 32

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. נתונה הפונקציה $h(x) = f(x) + \left|f(x)\right|$ , המוגדרת בתחום $-\pi \le x \le \pi$ . נקודה $A$ היא נקודה כלשהי הנמצאת על גרף הפונקציה $h(x)$ . ה. האם שיעור ה־ $y$ של נקודה $A$ הוא חיובי, שלילי, שווה אפס או שאי אפשר לקבוע? נמקו את תשובתכם.

Aשלילי: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $h(x) = 2f(x) < 0$
Bאי אפשר לקבוע: הערך תלוי בנקודה $A$ שנבחרה על הגרף
Cחיובי: $\left|f(x)\right| \ge 0$ , ולכן $h(x) = 2\left|f(x)\right| > 0$
Dשווה אפס: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $\left|f(x)\right| = -f(x)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D שווה אפס: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $\left|f(x)\right| = -f(x)$

Corrigé :

1 + \cos x \ge 0

$\cos x \ge -1$

\frac{1}{2}\cos x - 1 < 0

$b = \frac{1}{2}$ , ו־ $\cos x \le 1$

f(x) \le 0

מכפלה של ביטוי אי־שלילי בביטוי שלילי

\left|f(x)\right| = -f(x)

ערך מוחלט של מספר אי־חיובי

\begin{aligned}h(x) &= f(x) - f(x) \\ &= 0\end{aligned}

On remplace (מציבים)

שיעור ה־ $y$ של $A$ שווה אפס: הגרף של $h(x)$ הוא הקטע $-\pi \le x \le \pi$ על ציר ה־ $x$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 32

שאלה 8 — פונקציית שורש ובעיית קיצון

Exercice 33

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \le$ ____ או $x \ge$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x \le$ -1 או $x \ge$ 1

Corrigé :

x^2 - 1 \ge 0

ביטוי מתחת לשורש ריבועי אינו שלילי

(x - 1)(x + 1) \ge 0

מפרקים לגורמים

x \le -1, \quad x \ge 1

מחוץ לשני השורשים

$x \le -1$ או $x \ge 1$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 33

Exercice 34

ב. מצאו את שיעורי שתי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הישר הנתון. (יש לכתוב קודם את הנקודה ששיעור ה־ $x$ שלה קטן יותר.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $($ 1 $,$ 0 $)$ , $($ 2.6 $,$ 4.8 $)$

Corrigé :

2\sqrt{x^2 - 1} = 3x - 3

משווים את הפונקציה לישר

3x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1

שורש אינו שלילי

4(x^2 - 1) = 9(x - 1)^2

מעלים את שני האגפים בריבוע

4x^2 - 4 = 9x^2 - 18x + 9

פותחים סוגריים

5x^2 - 18x + 13 = 0

מעבירים אגפים

\begin{aligned}x &= \frac{18 \pm \sqrt{324 - 260}}{10} \\ &= \frac{18 \pm 8}{10}\end{aligned}

נוסחת השורשים

\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad x &= 2.6\end{aligned}

שני הפתרונות מקיימים $x \ge 1$

\begin{aligned}y &= 3 \cdot 1 - 3 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $x = 1$ בישר

\begin{aligned}y &= 3 \cdot 2.6 - 3 \\ &= 4.8\end{aligned}

מציבים $x = 2.6$ בישר

\begin{aligned}2\sqrt{2.6^2 - 1} &= 2 \cdot 2.4 \\ &= 4.8\end{aligned}

בדיקה: מציבים $x = 2.6$ בפונקציה

$(1, 0)$ ו־ $(2.6, 4.8)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 34

Exercice 35

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ג (1). הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע $AB$ .

$AB =$ ____ $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( ____ ) $t +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $AB =$ 2 $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( -3 ) $t +$ 3

Corrigé :

A\left(t, 2\sqrt{t^2 - 1}\right)

$A$ על גרף הפונקציה

B(t, 3t - 3)

$B$ על הישר, באותו שיעור $x$ כמו $A$

2\sqrt{t^2 - 1} > 3t - 3

בין שתי נקודות החיתוך הגרף מעל הישר (למשל ב־ $t = 2$ : $3.46 > 3$ )

AB = 2\sqrt{t^2 - 1} - (3t - 3)

הפרש שיעורי ה־ $y$

AB = 2\sqrt{t^2 - 1} - 3t + 3

פותחים סוגריים

$AB = 2\sqrt{t^2 - 1} - 3t + 3$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 35

Exercice 36

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ג (2). הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע $AC$ . (יש לכתוב את המקדמים כמספרים עשרוניים.)

$AC =$ ____ $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( ____ ) $t +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $AC =$ 0.6667 $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( -1 ) $t +$ 1

Corrigé :

y_C = 2\sqrt{t^2 - 1}

$C$ באותו שיעור $y$ כמו $A$

3x_C - 3 = 2\sqrt{t^2 - 1}

$C$ על הישר

3x_C = 2\sqrt{t^2 - 1} + 3

מוסיפים $3$ לשני האגפים

x_C = \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} + 1

מחלקים את שני האגפים ב־ $3$

AC = x_C - t

$C$ מימין ל־ $A$ : הישר מתחת לגרף, והוא עולה

AC = \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} - t + 1

On remplace (מציבים)

$AC = \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} - t + 1$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 36

Exercice 37

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ד. מצאו את הערך של $t$ שבעבורו סכום אורכי הקטעים $AB$ ו־ $AC$ הוא מקסימלי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.3416

Corrigé :

L(t) = AB + AC

סכום אורכי הקטעים

\begin{aligned}L(t) &= \frac{8}{3}\sqrt{t^2 - 1} - 4t + 4 \\ \quad 1 < t < 2.6\end{aligned}

מחברים את הביטויים מסעיף ג

L'(t) = \frac{8}{3} \cdot \frac{2t}{2\sqrt{t^2 - 1}} - 4

גוזרים: נגזרת של פונקציה מורכבת

L'(t) = \frac{8t}{3\sqrt{t^2 - 1}} - 4

מצמצמים ב־ $2$

\frac{8t}{3\sqrt{t^2 - 1}} = 4

משווים את הנגזרת ל־ $0$

8t = 12\sqrt{t^2 - 1}

כופלים את שני האגפים ב־ $3\sqrt{t^2 - 1}$

2t = 3\sqrt{t^2 - 1}

מחלקים את שני האגפים ב־ $4$

4t^2 = 9(t^2 - 1)

מעלים את שני האגפים בריבוע

4t^2 = 9t^2 - 9

פותחים סוגריים

5t^2 = 9

מעבירים אגפים

t^2 = \frac{9}{5}

מחלקים את שני האגפים ב־ $5$

t = \pm\frac{3}{\sqrt{5}}

מוציאים שורש משני האגפים

t = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.342

$1 < t < 2.6$ : הפתרון השלילי נפסל

L'(1.2) > 0, \quad L'(2) < 0

$L$ עולה ואחר כך יורדת: מקסימום

$t = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.34$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 37

Les mots de la leçon

משך: meshekh durée
שעה: sha’a heure
חצי: ḥetsi demi, moitié
לפחות: lefaḥot au moins
סך הכול: sakh ha-kol au total
לכל היותר: le-khol ha-yoter au plus
הסתברות: histabrut probabilité
מישור: mishor plan
פולינום: polinom polynôme
פונקציית שורש: funktsiyat shoresh fonction racine
פונקציה רציונלית: funktsia ratsyonalit fonction rationnelle
פונקציה: funktsia fonction
טריגונומטריה: trigonometria trigonométrie
נוסחה: nusḥa formule
סעיף: se’if question (a, b, c…)
הסבירו: hasbiru expliquez
הראו: har’u montrez
הוכיחו: hokhiḥu démontrez
הוכחה: hokhaḥa démonstration
ביטוי אלגברי: bitui algebri expression algébrique
מקדם: mekadem coefficient
פתרון: pitaron solution
מצאו: mits’u trouvez, déterminez
פי: pi fois (plus, moins)
מהירות: mehirut vitesse
מרחק: merḥak distance
אמצע קטע: emtsa keta milieu (d’un segment)
זמן: zman temps, durée
אגף: agaf membre (d’une équation)
דקה: daka minute
נקודה: nekuda point
להציב: lehatsiv substituer / remplacer
פתיחת סוגריים: ptiḥat sograyim développer (supprimer les parenthèses)
יום: yom jour
קמ״ש: kamash km/h
חלקי: ḥalkei divisé par
כינוס איברים: kinus evarim réduire (regrouper les termes semblables)
נוסחת השורשים: nusḥat ha-shorashim formule des racines (du discriminant)
נפסל: nifsal rejeté (à éliminer)
שלילי: shlili négatif
ק״מ (קילומטר): kilometer kilomètre (km)
הפרש: hefresh différence
סדרה: sidra suite
הביעו: habi’u exprimez
הגדרה: hagdara définition
גורם: gorem facteur
סדרה הנדסית: sidra hendesit suite géométrique
איבר: ever terme
יחס: yaḥas rapport
קבוע: kavua constante
נתון: natun on donne ; donnée (hypothèse)
מנה: mana quotient
שורש: shoresh racine carrée
חיובי: ḥiyuvi positif
נמקו: namku justifiez
גורם משותף: gorem meshutaf facteur commun
פונקציה עולה: funktsia ola fonction (ou suite) croissante
פונקציה יורדת: funktsia yoredet fonction (ou suite) décroissante
שמינית: shminit un huitième
מכפלה: makhpela produit
סכום: skhum somme
מתכנסת: mitkanesset convergente
נוסחת ההסתברות השלמה: nusḥat ha-histabrut ha-shlema formule des probabilités totales
בלתי תלויים: bilti tluyim indépendants
הסתברות מותנית: histabrut mutnit probabilité conditionnelle
אקראי: akra’i au hasard, aléatoire
עם החזרה: im ḥazara avec remise
מתוך: mitokh sur (3 sur 5) ; à partir de
נוסחת ברנולי: nusḥat bernuli formule de la loi binomiale
ספרות אחרי הנקודה: sfarot aḥarei ha-nekuda chiffres après la virgule (décimales)
דלתון: delton cerf-volant
רדיוס: radius rayon
מעגל: ma’agal cercle
משולש: meshulash triangle
משולש שווה שוקיים: meshulash shve shokayim triangle isocèle
זוויות הבסיס: zaviyot ha-basis angles à la base
זווית הראש: zavit ha-rosh angle au sommet principal
זווית: zavit angle
זוויות מתאימות: zaviyot matimot angles correspondants
צלע משותפת: tsela meshutefet côté commun
חפיפה: ḥafifa isométrie (de triangles)
משולשים חופפים: meshulashim ḥoffim triangles isométriques
זווית חיצונית: zavit ḥitsonit angle extérieur
זוויות מתחלפות: zaviyot mitḥalfot angles alternes-internes
דמיון: dimyon similitude
יחס הדמיון: yaḥas ha-dimyon rapport de similitude
חיסור: ḥisur soustraction
קטע: keta segment
זוויות קודקודיות: zaviyot kodkodiyot angles opposés par le sommet
צמצום: tsimtsum simplification
שטח: shetaḥ aire
מספר עשרוני: mispar esroni nombre décimal
אלכסון: alakhson diagonale
יחס השטחים: yaḥas ha-shetaḥim rapport des aires
משולשים דומים: meshulashim domim triangles semblables
ריבוע: ribua carré
גובה: gova hauteur
ישר: yashar droite
חיבור: ḥibur addition
משפט הסינוסים: mishpat ha-sinusim loi des sinus
מכנה: mekhane dénominateur
בסיס: basis base
חוצה: ḥotse coupe en deux parts égales
משולש ישר זווית: meshulash yeshar zavit triangle rectangle
מקבילים: makbilim parallèles
משפט הקוסינוסים: mishpat ha-kosinusim théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus)
משפט הפוך: mishpat hafukh réciproque
משפט פיתגורס: mishpat Pitagoras théorème de Pythagore
צלע: tsela côté
נחתכים: neḥtakhim se coupent
אורך: orekh longueur
מעגל חסום: ma’agal ḥasum cercle inscrit
היקף: hekef périmètre
משוואה: mishva’a équation
אסימפטוטה: asimptota asymptote
מאונכים: me’unakhim perpendiculaires
ציר: tsir axe
מתאפס: mitapes s’annule
מונה: moneh numérateur
אסימפטוטה אנכית: asimptota anakhit asymptote verticale
אסימפטוטה אופקית: asimptota ofkit asymptote horizontale
שיעורים (של נקודה): shiurim coordonnées
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
קבעו: kiv’u déterminez, décidez
כלל המנה: klal ha-mana dérivée d’un quotient
טבלת סימנים: tavlat simanim tableau de signes (de variations)
מינימום: minimum minimum
סקיצה: skitsa esquisse (allure du graphe)
גרף: graf graphe, courbe représentative
נקודת חיתוך: nekudat khitukh point d’intersection
מוגדרת: mugderet définie
רשמו: rishmu notez, écrivez
תחום חיוביות: tḥum ḥiyuviyut intervalle où la fonction est positive
נגזרת: nigzeret dérivée
חשבו: ḥishvu calculez
פונקציה מורכבת: funktsia murkevet fonction composée
פונקציה קדומה: funktsia kduma primitive
קוסינוס: kosinus cosinus
פונקציה זוגית: funktsia zugit fonction paire
סימטריה: simetria symétrie
פונקציה אי-זוגית: funktsia i-zugit fonction impaire
אין פתרון: ein pitaron pas de solution
כלל המכפלה: klal ha-makhpela dérivée d’un produit
מקסימום: maksimum maximum
ערך מוחלט: erekh muḥlat valeur absolue
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domaine de définition
שורשים: shorashim racines (zéros)
חותך: khotekh coupe ; sécante
גזירה: gzira dérivation (dériver)

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elev Découvrir elev pour cette classe

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : Suites