Série 3 — niveau bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח שאלה 1 של הבגרות. כל שאלה היא סיפור אחד, וכל סעיף שלו הוא תרגיל נפרד. הסיפור מופיע מעל הסעיף.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. וקראו כל סעיף עד הסוף: «באותו יום» הוא איבר, «בסך הכול» הוא סכום.

Exercices

Exercice 1

א. כמה כוסות קפה נמכרו ביום ה-2020?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 154

Corrigé :

a1=40d=6\begin{aligned}a_1 &= 40 \\ \quad d &= 6\end{aligned}

מוסיפים אותו מספר: סדרה חשבונית

a20=40+19⋅6=154\begin{aligned}a_{20} &= 40+19 \cdot 6 \\ &= 154\end{aligned}

השאלה על יום אחד, ולכן איבר. מי שקיבל 160160 הכפיל ב-2020.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ב. כמה כוסות קפה נמכרו בסך הכול ב-2020 הימים הראשונים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1940

Corrigé :

S20=20(a1+a20)2=20(40+154)2\begin{aligned}S_{20} &= \frac{20(a_1+a_{20})}{2} \\ &= \frac{20(40+154)}{2}\end{aligned}

משתמשים ב-a20a_{20} מסעיף א

=1940=1940

הסכום משתמש בתשובה של סעיף א. מי שחישב 20⋅15420 \cdot 154 הניח שבכל יום נמכרו 154154 כוסות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ג. באיזה יום נמכרו לראשונה יותר מ-100100 כוסות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

40+(n−1)⋅6>100 ⇒ n−1>1040+(n-1) \cdot 6>100 \ \Rightarrow \ n-1>10
n−1=11 ⇒ n=12\begin{aligned}n-1 &= 11 \ \Rightarrow \ n \\ &= 12\end{aligned}
a11=100a12=106\begin{aligned}a_{11} &= 100 \\ \quad a_{12} &= 106\end{aligned}

בדיקה: ב-a11a_{11} בדיוק 100100, לא יותר

מי שענה 1111 פתר שוויון: ביום ה-1111 נמכרו בדיוק 100100 כוסות, לא יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ד. אחרי כמה ימים עבר לראשונה מספר הכוסות שנמכרו בסך הכול את 10001000?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

Sn=n[80+6(n−1)]2=3n2+37n\begin{aligned}S_n &= \frac{n\left[80+6(n-1)\right]}{2} \\ &= 3n^2+37n\end{aligned}
3n2+37n>1000 ⇒ n>−37+133696≈13.13n^2+37n>1000 \ \Rightarrow \ n>\frac{-37+\sqrt{13369}}{6} \approx 13.1

השורש החיובי של 3n2+37n−1000=03n^2+37n-1000=0

n=14n=14
S13=988S14=1106\begin{aligned}S_{13} &= 988 \\ \quad S_{14} &= 1106\end{aligned}

בדיקה ✓

הפתרון 13.113.1 אינו שלם. n=13n=13 עוד לא מספיק (988988), ולכן מעגלים למעלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

א. כמה ליטר סינן המסנן בשעה הרביעית? (אפשר לכתוב מספר עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 204.8

Corrigé :

a1=400q=0.8\begin{aligned}a_1 &= 400 \\ \quad q &= 0.8\end{aligned}

כופלים באותו מספר: סדרה הנדסית

a4=400⋅0.83=400⋅0.512=204.8\begin{aligned}a_4 &= 400 \cdot 0.8^3 \\ &= 400 \cdot 0.512 \\ &= 204.8\end{aligned}

בשעה הרביעית יש שלוש הכפלות. מי שחישב 400⋅0.84=163.84400 \cdot 0.8^4=163.84 קיבל את השעה החמישית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ב. המסנן עובד בלי הפסקה. מה נכון לגבי הכמות שיסנן בסך הכול?

  1. היא לא תעבור 20002000 ליטר
  2. היא לא תעבור 400400 ליטר
  3. היא תגיע ל-20002000 ליטר אחרי 55 שעות
  4. היא גדלה בלי גבול, כי המסנן לא מפסיק
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A היא לא תעבור 20002000 ליטר

Corrigé :

∣q∣=0.8<1|q|=0.8<1

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

S=4001−0.8=2000\begin{aligned}S &= \frac{400}{1-0.8} \\ &= 2000\end{aligned}

הגבול של הסכומים

התשובה: היא לא תעבור 20002000 ליטר. אינסוף שעות לא נותנות אינסוף ליטרים: הכמות בכל שעה קטנה. 2000400=5\frac{2000}{400}=5 אינו מספר שעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ג. אחרי כמה שעות יסנן המסנן לראשונה יותר מ-18001800 ליטר בסך הכול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11

Corrigé :

Sn=400(1−0.8n)1−0.8=2000(1−0.8n)\begin{aligned}S_n &= \frac{400(1-0.8^n)}{1-0.8} \\ &= 2000(1-0.8^n)\end{aligned}
2000(1−0.8n)>1800 ⇒ 0.8n<0.12000(1-0.8^n)>1800 \ \Rightarrow \ 0.8^n<0.1
n>log⁡0.1log⁡0.8≈10.32 ⇒ n=11n>\frac{\log 0.1}{\log 0.8} \approx 10.32 \ \Rightarrow \ n=11

log⁡0.8<0\log 0.8<0: כשמחלקים בו, הכיוון מתהפך

מחלקים ב-log⁡0.8\log 0.8, שהוא שלילי, ולכן כיוון אי-השוויון מתהפך. מי שלא הפך קיבל n<10.32n<10.32.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

א. כמה כסף אספה כל כיתה בסך הכול ב-88 השבועות הראשונים?

כיתה א: ____ ₪ ; כיתה ב: ____ ₪

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : כיתה א: 1360 ₪ ; כיתה ב: 1275 ₪

Corrigé :

S8(a)=8(2⋅100+7⋅20)2=1360\begin{aligned}S^{(a)}_8 &= \frac{8(2 \cdot 100+7 \cdot 20)}{2} \\ &= 1360\end{aligned}

כיתה א: חשבונית, d=20d=20

S8(b)=5(28−1)2−1=1275\begin{aligned}S^{(b)}_8 &= \frac{5(2^8-1)}{2-1} \\ &= 1275\end{aligned}

כיתה ב: הנדסית, q=2q=2

שתי סדרות, שני סוגים: לכל כיתה הנוסחה שלה. עד עכשיו כיתה א מובילה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ב. באיזה שבוע אספה כיתה ב לראשונה יותר מכיתה א באותו שבוע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

an=100+20(n−1)bn=5⋅2n−1\begin{aligned}a_n &= 100+20(n-1) \\ \quad b_n &= 5 \cdot 2^{n-1}\end{aligned}

איברים, לא סכומים

n=6: 200>160n=6: \ 200>160
n=7: 220<320n=7: \ 220<320

משווים איברים: מה שכל כיתה אספה באותו שבוע. כאן מציבים שבועות עוקבים, כי המשוואה מערבת חזקה וביטוי ליניארי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ג. אחרי כמה שבועות יהיה לכיתה ב בסך הכול יותר כסף מאשר לכיתה א?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

n=8: 1360>1275n=8: \ 1360>1275

מסעיף א: כיתה א עוד מובילה

S9(a)=9(200+160)2=1620S9(b)=5(29−1)=2555\begin{aligned}S^{(a)}_9 &= \frac{9(200+160)}{2} \\ &= 1620 \\ \quad S^{(b)}_9 &= 5(2^9-1) \\ &= 2555\end{aligned}
n=9n=9

בשבוע 77 כיתה ב כבר אוספת יותר באותו שבוע, אבל הסכום הכולל שלה עוקף רק בשבוע 99: היא צריכה לסגור את הפער של השבועות הראשונים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe