Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבעה-עשר תרגילים על כל הפרק: חשבון עם וקטורים, מכפלה סקלרית, ישרים, מישורים, מרחקים וזוויות. מתחילים בקל ומסיימים ברמת הבגרות.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

השלימו.

(2,−1,3)+2(1,4,−2)=(2, -1, 3) + 2(1, 4, -2) = (____, ____, ____)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (2,−1,3)+2(1,4,−2)=(2, -1, 3) + 2(1, 4, -2) = (4, 7, -1)

Corrigé :

2(1,4,−2)=(2,8,−4)2(1, 4, -2) = (2, 8, -4)

קודם כפל בסקלר

(2+2, −1+8, 3−4)=(4,7,−1)(2 + 2,\ -1 + 8,\ 3 - 4) = (4, 7, -1)

אחר כך חיבור רכיב רכיב

כופלים את כל הרכיבים ב-22, גם את השלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו האורך של הווקטור (2,−3,6)(2, -3, 6)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

4+9+36=49=7\begin{aligned}\sqrt{4 + 9 + 36} &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}

(−3)2=9(-3)^2 = 9: ריבוע תמיד חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הווקטורים (1,2,−1)(1, 2, -1) ו-(3,−1,1)(3, -1, 1) ניצבים זה לזה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

1⋅3+2⋅(−1)+(−1)⋅1=3−2−1=0\begin{aligned}1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 &= 3 - 2 - 1 \\ &= 0\end{aligned}

ניצבים ⇔ המכפלה הסקלרית שווה 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהי נקודת האמצע של הקטע בין A(1,5,−2)A(1, 5, -2) ל-B(3,−1,4)B(3, -1, 4)?

  1. (4,4,2)(4, 4, 2)
  2. (2,3,1)(2, 3, 1)
  3. (1,−3,3)(1, -3, 3)
  4. (2,2,1)(2, 2, 1)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D (2,2,1)(2, 2, 1)

Corrigé :

M=(1+32, 5−12, −2+42)=(2,2,1)\begin{aligned}M &= \left(\tfrac{1 + 3}{2},\ \tfrac{5 - 1}{2},\ \tfrac{-2 + 4}{2}\right) \\ &= (2, 2, 1)\end{aligned}

(1,−3,3)(1, -3, 3) הוא חצי של AB‾\underline{AB}, לא האמצע. האמצע הוא ממוצע השיעורים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCDABCD מקבילית במרחב, עם A(1,0,2)A(1, 0, 2), B(3,1,0)B(3, 1, 0), C(4,4,1)C(4, 4, 1). מצאו את DD.

DD = (____, ____, ____)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : DD = (2, 3, 3)

Corrigé :

AD‾=BC‾⇒D=A+C−B\begin{aligned}\underline{AD} &= \underline{BC} \Rightarrow D \\ &= A + C - B\end{aligned}

במקבילית צלעות נגדיות הן וקטורים שווים

D=(1+4−3, 0+4−1, 2+1−0)=(2,3,3)\begin{aligned}D &= (1 + 4 - 3,\ 0 + 4 - 1,\ 2 + 1 - 0) \\ &= (2, 3, 3)\end{aligned}

הסדר ABCDABCD קובע ש-AD‾=BC‾\underline{AD} = \underline{BC}, לא AC‾\underline{AC}.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 6

לאיזה kk הווקטורים (k,2,1)(k, 2, 1) ו-(3,−1,k)(3, -1, k) ניצבים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

3k−2+k=03k - 2 + k = 0

המכפלה הסקלרית שווה 00

4k=2⇒k=12\begin{aligned}4k &= 2 \Rightarrow k \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

הפרמטר מופיע בשני הווקטורים: אוספים את שני האיברים עם kk.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הנקודה (5,0,7)(5, 0, 7) נמצאת על הישר x‾=(1,2,3)+t(2,−1,2)\underline{x} = (1, 2, 3) + t(2, -1, 2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

1+2t=5⇒t=2\begin{aligned}1 + 2t &= 5 \Rightarrow t \\ &= 2\end{aligned}
2−2=0 3+4=7 ✓\begin{aligned}2 - 2 &= 0 \\ \ 3 + 4 &= 7\ \checkmark\end{aligned}

מוצאים tt מרכיב אחד, ובודקים אותו בשניים האחרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהי הזווית בין (1,0,1)(1, 0, 1) ל-(0,1,1)(0, 1, 1), במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

cos⁡α=12 2=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
α=60∘\alpha = 60^\circ

2⋅2=2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2, ולכן הקוסינוס הוא חצי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהי משוואת המישור שעובר דרך (1,−1,2)(1, -1, 2) וניצב לווקטור (3,0,−1)(3, 0, -1)?

  1. 3x−z−1=03x - z - 1 = 0
  2. 3x−z+1=03x - z + 1 = 0
  3. 3x−y−z=03x - y - z = 0
  4. x−y+2z−1=0x - y + 2z - 1 = 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 3x−z−1=03x - z - 1 = 0

Corrigé :

3x+0y−z+d=03x + 0y - z + d = 0

הווקטור הוא הנורמל

3−2+d=0⇒d=−1\begin{aligned}3 - 2 + d &= 0 \Rightarrow d \\ &= -1\end{aligned}

מציבים את הנקודה

הנקודה נותנת את dd בלבד. המקדמים באים מהנורמל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מה המצב ההדדי של x‾=t(1,2,3)\underline{x} = t(1, 2, 3) ושל x‾=(1,0,0)+s(2,4,6)\underline{x} = (1, 0, 0) + s(2, 4, 6)?

  1. מתלכדים
  2. מקבילים
  3. נחתכים
  4. מצטלבים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מקבילים

Corrigé :

(2,4,6)=2(1,2,3)(2, 4, 6) = 2(1, 2, 3)

הכיוונים פרופורציונליים

(1,0,0)=t(1,2,3) ?t=1⇒(1,2,3)≠(1,0,0)\begin{aligned}(1, 0, 0) &= t(1, 2, 3)\ ?\quad t \\ &= 1 \Rightarrow (1, 2, 3) \neq (1, 0, 0)\end{aligned}

הנקודה לא על הישר הראשון

כיוונים פרופורציונליים נותנים מקבילים או מתלכדים. נקודה משותפת מכריעה.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — אתגר

Exercice 11

מהו המרחק של (3,−2,1)(3, -2, 1) מהמישור x+2y+2z+4=0x + 2y + 2z + 4 = 0? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.67

Corrigé :

d=∣3−4+2+4∣1+4+4=53≈1.67\begin{aligned}d &= \frac{|3 - 4 + 2 + 4|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \\ &= \frac{5}{3} \approx 1.67\end{aligned}

הערך המוחלט של כל המונה, לא של כל איבר בנפרד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מצאו את נקודת החיתוך של הישר x‾=(1,1,0)+t(1,0,1)\underline{x} = (1, 1, 0) + t(1, 0, 1) עם המישור x+y+z−8=0x + y + z - 8 = 0.

(____, ____, ____)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (4, 1, 3)

Corrigé :

(1+t)+1+t−8=0(1 + t) + 1 + t - 8 = 0

מציבים נקודה כללית של הישר

2t=6⇒t=3\begin{aligned}2t &= 6 \Rightarrow t \\ &= 3\end{aligned}
(4,1,3)(4, 1, 3)

רכיב ה-yy קבוע (11), אבל עדיין מציבים אותו במשוואה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

מה המצב ההדדי של x‾=(1,0,0)+t(0,1,0)\underline{x} = (1, 0, 0) + t(0, 1, 0) ושל x‾=(0,0,1)+s(1,1,0)\underline{x} = (0, 0, 1) + s(1, 1, 0)?

  1. מקבילים
  2. מצטלבים
  3. נחתכים
  4. מתלכדים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מצטלבים

Corrigé :

(0,1,0)≠k(1,1,0)(0, 1, 0) \neq k(1, 1, 0)

לא מקבילים

z: 0=1z:\ 0 = 1

ברכיב zz המערכת סותרת: אין נקודה משותפת

לא מקבילים ולא נפגשים: מצטלבים. ברכיב zz רואים מיד שאין פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

מהי הזווית בין הישר x‾=t(1,0,1)\underline{x} = t(1, 0, 1) למישור z=0z = 0, במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

sin⁡α=∣(1,0,1)⋅(0,0,1)∣2⋅1=12\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{|(1, 0, 1)\cdot(0, 0, 1)|}{\sqrt{2} \cdot 1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}
α=45∘\alpha = 45^\circ

הנורמל של z=0z = 0 הוא (0,0,1)(0, 0, 1), וזווית עם מישור היא סינוס.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe