בגרות 35472 — חורף 2025

Sur elev, cette leçon vient avec :

  • Chaque exercice corrigé dès la réponse
  • Un indice au moment où il le faut
  • Le suivi des progrès, chapitre après chapitre
Pratiquer sur elev

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : La fonction exponentielle

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35472 (4 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), חורף תשפ״ה, 2025. משך הבחינה: שעתיים ורבע. יש לענות על שלוש מן השאלות 1–5, לפחות על שאלה אחת מכל פרק (לכל שאלה – 331333\frac{1}{3} נקודות). פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה: שאלות 1–3. פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־4 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־29 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercices

שאלה 1 — סדרות: סדרה הנדסית וסדרה חשבונית

Exercice 1

א. מצאו את שני הערכים של qq. (מהערך הקטן לגדול.)

q1=q_1 = ____ , q2=q_2 = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : q1=q_1 = -3 , q2=q_2 = 3

Corrigé :

a1q5=81⋅a1qa_1 q^5 = 81 \cdot a_1 q

האיבר השישי והאיבר השני

q4=81q^4 = 81

a1≠0a_1 \neq 0 , q≠0q \neq 0

q=−3q=3\begin{aligned}q &= -3 \\ \quad q &= 3\end{aligned}

q=−3q = -3 או q=3q = 3.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 1

Exercice 2

נתון כי סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה AA הוא 1,9441{,}944 , וכי כל איבריה הם חיוביים. ב. מצאו את האיבר הראשון בסדרה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

q=3q = 3

כל האיברים חיוביים

a5+a6=a1⋅34+a1⋅35=324a1=1944\begin{aligned}a_5 + a_6 &= a_1 \cdot 3^4 + a_1 \cdot 3^5 \\ &= 324a_1 \\ &= 1944\end{aligned}

בסדרה 1010 איברים: האיברים האמצעיים הם החמישי והשישי

a1=6a_1 = 6

האיבר הראשון הוא 66.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 2

Exercice 3

נתון כי סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה AA הוא 1,9441{,}944 , וכי כל איבריה הם חיוביים. נתונה סדרה חשבונית BB. סכום הסדרה AA גדול פי 1111 מסכום הסדרה BB. ג. מצאו את סכום הסדרה BB.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16104

Corrigé :

SA=6 (310−1)3−1=3⋅59048=177144\begin{aligned}S_A &= \frac{6\,(3^{10} - 1)}{3 - 1} \\ &= 3 \cdot 59048 \\ &= 177144\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית

SB=17714411=16104\begin{aligned}S_B &= \frac{177144}{11} \\ &= 16104\end{aligned}

סכום הסדרה BB הוא 16,10416{,}104.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 3

Exercice 4

נתון כי סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה AA הוא 1,9441{,}944 , וכי כל איבריה הם חיוביים. נתונה סדרה חשבונית BB. סכום הסדרה AA גדול פי 1111 מסכום הסדרה BB. בסדרה BB יש 3333 איברים. נתון כי האיבר השני בסדרה BB גדול פי 4646 מן ההפרש שלה. ד. מצאו את הפרש הסדרה BB.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

b1+d=46d⇒b1=45d\begin{aligned}b_1 + d &= 46d \Rightarrow b_1 \\ &= 45d\end{aligned}
S33=332(2⋅45d+32d)=33⋅61d=2013d\begin{aligned}S_{33} &= \frac{33}{2}\left(2 \cdot 45d + 32d\right) \\ &= 33 \cdot 61d \\ &= 2013d\end{aligned}

סכום סדרה חשבונית

2013d=16104⇒d=8\begin{aligned}2013d &= 16104 \Rightarrow d \\ &= 8\end{aligned}

סעיף ג

הפרש הסדרה BB הוא 88.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 4

Votre enfant a-t-il compris ?

Sur elev, chaque exercice est corrigé dès qu'il répond, et un indice arrive au moment où il bloque.

Pratiquer sur elev

שאלה 2 — תיבה, וקטורים ומערכת צירים

Exercice 5

א. הביעו את הווקטורים AP→\overrightarrow{AP} ו־MP→\overrightarrow{MP} באמצעות u‾\underline{u} , v‾\underline{v} ו־w‾\underline{w}.

  1. AAP→=v‾+13w‾\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w} , MP→=−u‾+12v‾−16w‾\overrightarrow{MP} = -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{6}\underline{w}
  2. BAP→=v‾+13w‾\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w} , MP→=u‾−12v‾+16w‾\overrightarrow{MP} = \underline{u} - \frac{1}{2}\underline{v} + \frac{1}{6}\underline{w}
  3. CAP→=v‾+23w‾\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{2}{3}\underline{w} , MP→=−u‾+12v‾+16w‾\overrightarrow{MP} = -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \frac{1}{6}\underline{w}
  4. DAP→=u‾+13w‾\overrightarrow{AP} = \underline{u} + \frac{1}{3}\underline{w} , MP→=−v‾+12u‾−16w‾\overrightarrow{MP} = -\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{u} - \frac{1}{6}\underline{w}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A AP→=v‾+13w‾\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w} , MP→=−u‾+12v‾−16w‾\overrightarrow{MP} = -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{6}\underline{w}

Corrigé :

AP→=AD→+DP→=v‾+13w‾\begin{aligned}\overrightarrow{AP} &= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DP} \\ &= \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}\end{aligned}

AD→=BC→=v‾\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \underline{v} , DP→=13DD′→=13w‾\overrightarrow{DP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DD'} = \frac{1}{3}\underline{w}

AM→=AB→+12BC′→=u‾+12v‾+12w‾\begin{aligned}\overrightarrow{AM} &= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC'} \\ &= \underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{w}\end{aligned}

MM אמצע האלכסון BC′BC'

MP→=AP→−AM→=−u‾+12v‾−16w‾\begin{aligned}\overrightarrow{MP} &= \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM} \\ &= -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{6}\underline{w}\end{aligned}

AP→=v‾+13w‾\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w} , MP→=−u‾+12v‾−16w‾\overrightarrow{MP} = -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{6}\underline{w}.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 5

Exercice 6

נתון: ∣v‾∣=6|\underline{v}| = 6 , ∣w‾∣=∣u‾∣=18|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18. ב (1). הוכיחו כי הווקטור AP→\overrightarrow{AP} מאונך לווקטור MP→\overrightarrow{MP}.

  • AP→=v‾+13w‾\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w} , MP→=−u‾+12v‾−16w‾\overrightarrow{MP} = -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{6}\underline{w}
  • ∣v‾∣=6|\underline{v}| = 6 , ∣w‾∣=∣u‾∣=18|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18 , u‾⋅v‾=u‾⋅w‾=v‾⋅w‾=0\underline{u} \cdot \underline{v} = \underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0

AP→⊥MP→\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{MP}

Voir la réponse et le corrigé
  1. AP→⋅MP→=12∣v‾∣2−118∣w‾∣2\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}|\underline{v}|^2 - \frac{1}{18}|\underline{w}|^2 — פתיחת סוגריים; המכפלות של וקטורים מאונכים מתאפסות
  2. AP→⋅MP→=18−18=0\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{MP} = 18 - 18 = 0 — מציבים ∣v‾∣2=36|\underline{v}|^2 = 36 , ∣w‾∣2=324|\underline{w}|^2 = 324
  3. AP→⊥MP→\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{MP} — מכפלה סקלרית אפס של וקטורים שונים מאפס

Corrigé :

AP→⋅MP→=−u‾⋅v‾+12v‾2−16v‾⋅w‾−13u‾⋅w‾+16v‾⋅w‾−118w‾2\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{MP} = -\underline{u} \cdot \underline{v} + \tfrac{1}{2}\underline{v}^2 - \tfrac{1}{6}\underline{v} \cdot \underline{w} - \tfrac{1}{3}\underline{u} \cdot \underline{w} + \tfrac{1}{6}\underline{v} \cdot \underline{w} - \tfrac{1}{18}\underline{w}^2
=0+18−0−0+0−18=0= 0 + 18 - 0 - 0 + 0 - 18 = 0

בתיבה המקצועות מאונכים זה לזה

המכפלה הסקלרית היא 00: AP→⊥MP→\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{MP}.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 6

Exercice 7

נתון: ∣v‾∣=6|\underline{v}| = 6 , ∣w‾∣=∣u‾∣=18|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18. ב (2). חשבו את שטח המשולש APMAPM. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 78.46

Corrigé :

∣AP→∣2=36+19⋅324=72⇒AP=62\begin{aligned}|\overrightarrow{AP}|^2 &= 36 + \tfrac{1}{9} \cdot 324 \\ &= 72 \Rightarrow AP \\ &= 6\sqrt{2}\end{aligned}
∣MP→∣2=324+14⋅36+136⋅324=342⇒MP=342\begin{aligned}|\overrightarrow{MP}|^2 &= 324 + \tfrac{1}{4} \cdot 36 + \tfrac{1}{36} \cdot 324 \\ &= 342 \Rightarrow MP \\ &= \sqrt{342}\end{aligned}
S=AP⋅MP2=72⋅3422=1819≈78.46\begin{aligned}S &= \frac{AP \cdot MP}{2} \\ &= \frac{\sqrt{72 \cdot 342}}{2} \\ &= 18\sqrt{19} \approx 78.46\end{aligned}

הזווית APMAPM ישרה (סעיף ב (1))

שטח המשולש APMAPM: 1819≈78.4618\sqrt{19} \approx 78.46.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 7

Exercice 8

נתון: ∣v‾∣=6|\underline{v}| = 6 , ∣w‾∣=∣u‾∣=18|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18. נתון: D(0,0,0)D(0, 0, 0). הקודקוד AA נמצא על החלק החיובי של ציר ה־xx, הקודקוד CC נמצא על החלק החיובי של ציר ה־yy והקודקוד D′D' נמצא על החלק החיובי של ציר ה־zz. ג (1). מצאו את שיעורי הקודקודים C′C' , BB , CC.

C(C( ____ ,, ____ ,, ____ )) , B(B( ____ ,, ____ ,, ____ )) , C′(C'( ____ ,, ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C(C( 0 ,, 18 ,, 0 )) , B(B( 6 ,, 18 ,, 0 )) , C′(C'( 0 ,, 18 ,, 18 ))

Corrigé :

DA=BC=6DC=AB=18DD′=AA′=18\begin{aligned}DA &= BC \\ &= 6 \\ \quad DC &= AB \\ &= 18 \\ \quad DD' &= AA' \\ &= 18\end{aligned}

מקצועות נגדיים בתיבה שווים

A(6,0,0),C(0,18,0),D′(0,0,18)A(6, 0, 0), \quad C(0, 18, 0), \quad D'(0, 0, 18)
B=A+DC→=(6,18,0)C′=C+DD′→=(0,18,18)\begin{aligned}B &= A + \overrightarrow{DC} \\ &= (6, 18, 0) \\ \quad C' &= C + \overrightarrow{DD'} \\ &= (0, 18, 18)\end{aligned}

C(0,18,0)C(0, 18, 0) , B(6,18,0)B(6, 18, 0) , C′(0,18,18)C'(0, 18, 18).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 8

Exercice 9

נתון: ∣v‾∣=6|\underline{v}| = 6 , ∣w‾∣=∣u‾∣=18|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18. נתון: D(0,0,0)D(0, 0, 0). הקודקוד AA נמצא על החלק החיובי של ציר ה־xx, הקודקוד CC נמצא על החלק החיובי של ציר ה־yy והקודקוד D′D' נמצא על החלק החיובי של ציר ה־zz. ג (2). מצאו את שיעורי הנקודה MM.

M(M( ____ ,, ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : M(M( 3 ,, 18 ,, 9 ))

Corrigé :

M=B+C′2=(6+02,18+182,0+182)=(3,18,9)\begin{aligned}M &= \frac{B + C'}{2} \\ &= \left(\frac{6 + 0}{2}, \frac{18 + 18}{2}, \frac{0 + 18}{2}\right) \\ &= (3, 18, 9)\end{aligned}

MM אמצע האלכסון BC′BC'

M(3,18,9)M(3, 18, 9).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 9

Exercice 10

נתון: ∣v‾∣=6|\underline{v}| = 6 , ∣w‾∣=∣u‾∣=18|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18. נתון: D(0,0,0)D(0, 0, 0). הקודקוד AA נמצא על החלק החיובי של ציר ה־xx, הקודקוד CC נמצא על החלק החיובי של ציר ה־yy והקודקוד D′D' נמצא על החלק החיובי של ציר ה־zz. ד. מצאו את גודל הזווית PMBPMB. (במעלות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 84.11

Corrigé :

P=(0,0,13⋅18)=(0,0,6)\begin{aligned}P &= \left(0, 0, \tfrac{1}{3} \cdot 18\right) \\ &= (0, 0, 6)\end{aligned}

DP=13DD′DP = \frac{1}{3}DD'

MP→=(−3,−18,−3)MB→=(3,0,−9)\begin{aligned}\overrightarrow{MP} &= (-3, -18, -3) \\ \quad \overrightarrow{MB} &= (3, 0, -9)\end{aligned}
cos⁡∠PMB=−9+0+27342⋅90=1830780=195\begin{aligned}\cos\angle PMB &= \frac{-9 + 0 + 27}{\sqrt{342} \cdot \sqrt{90}} \\ &= \frac{18}{\sqrt{30780}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{95}}\end{aligned}
∠PMB≈84.11∘\angle PMB \approx 84.11^\circ

∠PMB≈84.11∘\angle PMB \approx 84.11^\circ.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 10

שאלה 3 — דעיכה וגדילה: גלגל ים ומזרן ים

Exercice 11

א. קבעו בעבור כל אחת מן הטענות II–IIII אם היא נכונה או לא נכונה. I. כעבור 66 ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל גדול מנפח המזרן. II. כעבור 88 ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל גדול מנפח המזרן.

  1. AI נכונה, II לא נכונה
  2. BI לא נכונה, II נכונה
  3. Cשתי הטענות לא נכונות
  4. Dשתי הטענות נכונות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B I לא נכונה, II נכונה

Corrigé :

4900 q1 7=9800 q2 7⇒(q2q1)7=12\begin{aligned}4900\,q_1^{\,7} &= 9800\,q_2^{\,7} \Rightarrow \left(\frac{q_2}{q_1}\right)^7 \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

q1q_1: הגלגל, q2q_2: המזרן

q2q1<1\frac{q_2}{q_1} < 1

המזרן מתרוקן מהר יותר

9800 q2 t4900 q1 t=2(q2q1)t=21−t/7\begin{aligned}\frac{9800\,q_2^{\,t}}{4900\,q_1^{\,t}} &= 2\left(\frac{q_2}{q_1}\right)^t \\ &= 2^{1 - t/7}\end{aligned}

היחס בין נפח המזרן לנפח הגלגל

t=6: 21/7>1t=8: 2−1/7<1\begin{aligned}t &= 6: \ 2^{1/7} > 1 \\ \qquad t &= 8: \ 2^{-1/7} < 1\end{aligned}

I לא נכונה: כעבור 66 ימים נפח המזרן עדיין גדול. II נכונה: כעבור 88 ימים נפח הגלגל גדול.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 11

Exercice 12

נתון כי נפח הגלגל קטן ב־4%4\% בכל יום. ב. מצאו את האחוז שבו נפח המזרן קטן בכל יום. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13.05

Corrigé :

4900⋅0.967=9800 q74900 \cdot 0.96^7 = 9800\,q^7
q=0.96⋅0.57≈0.86949q = 0.96 \cdot \sqrt[7]{0.5} \approx 0.86949
(1−0.86949)⋅100≈13.05(1 - 0.86949) \cdot 100 \approx 13.05

נפח המזרן קטן בכ־13.05%13.05\% בכל יום.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 12

Exercice 13

נתון כי נפח הגלגל קטן ב־4%4\% בכל יום. כעבור tt ימים מיום הקנייה היה נפח המזרן 13\frac{1}{3} מנפח הגלגל. ג. מצאו את הערך של tt. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18.09

Corrigé :

9800⋅qt=13⋅4900⋅0.96t9800 \cdot q^t = \frac{1}{3} \cdot 4900 \cdot 0.96^t
(q0.96)t=16⇒0.5t/7=16\begin{aligned}\left(\frac{q}{0.96}\right)^t &= \frac{1}{6} \Rightarrow 0.5^{t/7} \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

q0.96=0.57\frac{q}{0.96} = \sqrt[7]{0.5}

t=7log⁡6log⁡2≈18.09t = \frac{7\log 6}{\log 2} \approx 18.09

t≈18.09t \approx 18.09 ימים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 13

Exercice 14

נתון כי נפח הגלגל קטן ב־4%4\% בכל יום. כעבור tt ימים מיום הקנייה היה נפח המזרן 13\frac{1}{3} מנפח הגלגל. לאחר כמה שבועות החליט אמיר לנפח את המזרן. במהלך הניפוח גדל נפח המזרן בכל דקה ב־23%23\%. בסיום הניפוח היה נפח המזרן גדול פי 7.57.5 מן הנפח שלו בתחילת הניפוח. ד. מצאו את מספר הדקות שנמשך ניפוח המזרן. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9.73

Corrigé :

V0⋅1.23n=7.5 V0V_0 \cdot 1.23^n = 7.5\,V_0
n=log⁡7.5log⁡1.23≈9.73n = \frac{\log 7.5}{\log 1.23} \approx 9.73

הניפוח נמשך כ־9.739.73 דקות.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 14

שאלה 4 — פונקציה מעריכית

Exercice 15

א. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) , ונמקו את קביעתכם.

  1. Aגרף II: הוא עובר מחיובי לשלילי משמאל לציר ה־yy
  2. Bשני הגרפים מתאימים: לשניהם שתי נקודות חיתוך עם ציר ה־xx
  3. Cגרף II: הוא חיובי בקצה הימני של הסרטוט
  4. Dגרף I: הוא עובר מחיובי לשלילי רק מימין לציר ה־yy
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף I: הוא עובר מחיובי לשלילי רק מימין לציר ה־yy

Corrigé :

f′:+→−f' : + \to -

מקסימום של ff

xmax⁡>0x_{\max} > 0

הנתון

I: −→+ (x<0),+→− (x>0)\text{I}: \ - \to + \ (x < 0), \quad + \to - \ (x > 0)

גרף I: המעבר היחיד מחיובי לשלילי הוא מימין לציר ה־yy. בגרף II המעבר מחיובי לשלילי הוא משמאל לציר ה־yy: מקסימום ב־xx שלילי.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 15

Exercice 16

נתון: f(x)=(x2−2)⋅e−2x+1f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}. ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx. (מהקטנה ל־xx לגדולה; בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

(( ____ ,, ____ )) , (( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( -1.414 ,, 0 )) , (( 1.414 ,, 0 ))

Corrigé :

e−2x+1>0e^{-2x + 1} > 0

חזקה של בסיס חיובי

x2−2=0⇒x=±2≈±1.414\begin{aligned}x^2 - 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{2} \approx \pm 1.414\end{aligned}

נקודות החיתוך: (−2,0)(-\sqrt{2}, 0) , (2,0)(\sqrt{2}, 0).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 16

Exercice 17

נתון: f(x)=(x2−2)⋅e−2x+1f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}. ב (2). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x) , וקבעו את סוגן. (מהקטנה ל־xx לגדולה; את yy בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

(( ____ ,, ____ )) , (( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( -1 ,, -20.086 )) , (( 2 ,, 0.1 ))

Corrigé :

f′(x)=2x⋅e−2x+1−2(x2−2) e−2x+1=−2(x2−x−2) e−2x+1\begin{aligned}f'(x) &= 2x \cdot e^{-2x + 1} - 2(x^2 - 2)\,e^{-2x + 1} \\ &= -2(x^2 - x - 2)\,e^{-2x + 1}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(x)=−2(x+1)(x−2) e−2x+1=0⇒x=−1 x=2\begin{aligned}f'(x) &= -2(x + 1)(x - 2)\,e^{-2x + 1} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}
x<−1:f′<0,−1<x<2:f′>0,x>2:f′<0x < -1: f' < 0, \quad -1 < x < 2: f' > 0, \quad x > 2: f' < 0
(−1,−e3)≈(−1,−20.086): min⁡,(2,2e3)≈(2,0.100): max⁡(-1, -e^3) \approx (-1, -20.086): \ \min, \qquad \left(2, \tfrac{2}{e^3}\right) \approx (2, 0.100): \ \max

מינימום ב־(−1,−e3)(-1, -e^3), מקסימום ב־(2,2e3)\left(2, \frac{2}{e^3}\right).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 17

Exercice 18

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

נתון: f(x)=(x2−2)⋅e−2x+1f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}. ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. Aגרף III
  2. Bגרף IV
  3. Cגרף I
  4. Dגרף II
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף II

Corrigé :

x→−∞:f→∞,x→∞:f→0x \to -\infty: f \to \infty, \qquad x \to \infty: f \to 0
min⁡(−1,−e3), max⁡(2,2e3), (±2,0)\min(-1, -e^3), \ \max\left(2, \tfrac{2}{e^3}\right), \ (\pm\sqrt{2}, 0)

סעיף ב

f(0)=−2e<0f(0) = -2e < 0

גרף II: יורד מ־+∞+\infty אל מינימום עמוק ב־x=−1x = -1, עולה אל מקסימום נמוך ב־x=2x = 2, ומתקרב לציר ה־xx מלמעלה. גרף I הוא −f-f, גרף III הוא f(−x)f(-x), וגרף IV הוא ∣f∣|f|. (בגרפים הציר האנכי מכווץ.)

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 18

Exercice 19

נתון: f(x)=(x2−2)⋅e−2x+1f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}. נתונה הפונקציה g(x)=7⋅e−2x+1g(x) = 7 \cdot e^{-2x + 1} המוגדרת לכל xx. ד (1). הסבירו מדוע הפונקציה g(x)g(x) חיובית לכל xx.

  1. Aכי e−2x+1>0e^{-2x + 1} > 0 לכל xx, ו־7>07 > 0
  2. Bכי −2x+1>0-2x + 1 > 0 לכל xx, ולכן החזקה חיובית
  3. Cכי g(0)=7e>0g(0) = 7e > 0, ו־gg יורדת לכל xx
  4. Dכי e>1e > 1, ולכן e−2x+1>1e^{-2x + 1} > 1 לכל xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כי e−2x+1>0e^{-2x + 1} > 0 לכל xx, ו־7>07 > 0

Corrigé :

e−2x+1>0e^{-2x + 1} > 0

חזקה של בסיס חיובי חיובית לכל מעריך

g(x)=7⋅e−2x+1>0g(x) = 7 \cdot e^{-2x + 1} > 0

g(x)>0g(x) > 0 לכל xx.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 19

Exercice 20

נתון: f(x)=(x2−2)⋅e−2x+1f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}. נתונה הפונקציה g(x)=7⋅e−2x+1g(x) = 7 \cdot e^{-2x + 1} המוגדרת לכל xx. ד (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם גרף הפונקציה g(x)g(x). (מהקטנה ל־xx לגדולה; הנקודות הן (x1,7ek1)(x_1, 7e^{k_1}) ו־(x2,7ek2)(x_2, 7e^{k_2}).)

x1=x_1 = ____ , k1=k_1 = ____ , x2=x_2 = ____ , k2=k_2 = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x1=x_1 = -3 , k1=k_1 = 7 , x2=x_2 = 3 , k2=k_2 = -5

Corrigé :

(x2−2) e−2x+1=7 e−2x+1(x^2 - 2)\,e^{-2x + 1} = 7\,e^{-2x + 1}

מחלקים ב־e−2x+1>0e^{-2x + 1} > 0

x2=9⇒x=±3\begin{aligned}x^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}
g(−3)=7e7≈7676.43g(3)=7e−5≈0.047\begin{aligned}g(-3) &= 7e^{7} \approx 7676.43 \\ \qquad g(3) &= 7e^{-5} \approx 0.047\end{aligned}

נקודות החיתוך: (−3,7e7)(-3, 7e^7) , (3,7e−5)(3, 7e^{-5}).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 20

Exercice 21

נתון: f(x)=(x2−2)⋅e−2x+1f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}. נתונה הפונקציה g(x)=7⋅e−2x+1g(x) = 7 \cdot e^{-2x + 1} המוגדרת לכל xx. דרך כל אחת מן הנקודות שמצאתם בסעיף ד העבירו אנך לציר ה־xx. ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x) , על ידי ציר ה־xx ועל ידי האנכים. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3838.19

Corrigé :

S=∫−337e−2x+1 dx=[−72e−2x+1]−33\begin{aligned}S &= \int_{-3}^{3} 7e^{-2x + 1}\,dx \\ &= \left[-\frac{7}{2}e^{-2x + 1}\right]_{-3}^{3}\end{aligned}

g>0g > 0 (סעיף ד (1))

S=72(e7−e−5)≈3838.19S = \frac{7}{2}\left(e^{7} - e^{-5}\right) \approx 3838.19

השטח: 72(e7−e−5)≈3838.19\frac{7}{2}\left(e^7 - e^{-5}\right) \approx 3838.19.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 21

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית

Exercice 22

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. Ax≠1x \neq 1
  2. Bx>0x > 0 , x≠1x \neq 1
  3. Cx>1x > 1
  4. Dx>0x > 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x>0x > 0 , x≠1x \neq 1

Corrigé :

x>0x > 0

תחום ההגדרה של ln⁡x\ln x

(ln⁡x)2≠0⇒x≠1(\ln x)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1

המכנה שונה מ־00

תחום ההגדרה: x>0x > 0 , x≠1x \neq 1.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 22

Exercice 23

א (2). מצאו את משוואת האסימפטוטה האנכית לציר ה־xx של הפונקציה f(x)f(x).

x=x = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = 1

Corrigé :

x→1: (ln⁡x)2→0+,12x→12⇒f(x)→∞x \to 1: \ (\ln x)^2 \to 0^+, \quad 12x \to 12 \Rightarrow f(x) \to \infty

האסימפטוטה: x=1x = 1.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 23

Exercice 24

א (3). האם לגרף הפונקציה f(x)f(x) יש נקודות חיתוך עם הצירים? נמקו את תשובתכם.

  1. Aכן: בראשית הצירים, כי f(0)=0f(0) = 0
  2. Bכן: עם ציר ה־yy בלבד, כי 12x12x מתאפס
  3. Cכן: עם ציר ה־xx בנקודה שבה x=1x = 1
  4. Dלא: x=0x = 0 אינו בתחום, ו־12x>012x > 0 בתחום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D לא: x=0x = 0 אינו בתחום, ו־12x>012x > 0 בתחום

Corrigé :

x>0x > 0

תחום ההגדרה: x=0x = 0 אינו בתחום, ולכן אין חיתוך עם ציר ה־yy

f(x)=0  ⟺  12x=0  ⟺  x=0\begin{aligned}f(x) &= 0 \iff 12x \\ &= 0 \iff x \\ &= 0\end{aligned}

אין חיתוך עם ציר ה־xx

לא: לגרף אין נקודות חיתוך עם הצירים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 24

Exercice 25

ב (1). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x) , וקבעו את סוגה. (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

(( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 7.389 ,, 22.167 ))

Corrigé :

f′(x)=12(ln⁡x)2−12x⋅2ln⁡x⋅1x(ln⁡x)4=12(ln⁡x−2)(ln⁡x)3\begin{aligned}f'(x) &= \frac{12(\ln x)^2 - 12x \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4} \\ &= \frac{12(\ln x - 2)}{(\ln x)^3}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

f′(x)=0⇒ln⁡x=2⇒x=e2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}
1<x<e2:f′<0,x>e2:f′>01 < x < e^2: f' < 0, \quad x > e^2: f' > 0

מינימום

f(e2)=12e24=3e2≈22.167\begin{aligned}f(e^2) &= \frac{12e^2}{4} \\ &= 3e^2 \approx 22.167\end{aligned}

מינימום ב־(e2,3e2)≈(7.389,22.167)(e^2, 3e^2) \approx (7.389, 22.167).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 25

Exercice 26

ב (2). מצאו את תחומי העלייה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. A0<x<10 < x < 1 , x>e2x > e^2
  2. Bx>e2x > e^2 בלבד
  3. C0<x<10 < x < 1 , 1<x<e21 < x < e^2
  4. D1<x<e21 < x < e^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 0<x<10 < x < 1 , x>e2x > e^2

Corrigé :

0<x<1: (−)(−)>00 < x < 1: \ \frac{(-)}{(-)} > 0

ln⁡x−2<0\ln x - 2 < 0 , (ln⁡x)3<0(\ln x)^3 < 0

1<x<e2: (−)(+)<0,x>e2: (+)(+)>01 < x < e^2: \ \frac{(-)}{(+)} < 0, \qquad x > e^2: \ \frac{(+)}{(+)} > 0

f(x)f(x) עולה ב־0<x<10 < x < 1 וב־x>e2x > e^2.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 26

Exercice 27

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

ג. קבעו איזה מן הגרפים II–IVIV שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה f(x)f(x).

  1. Aגרף I: עולה מראשית הצירים אל האסימפטוטה
  2. Bגרף III: יש לו מקסימום מימין לאסימפטוטה
  3. Cגרף II: יש לו מינימום מימין לאסימפטוטה
  4. Dגרף IV: חיובי משני צדי האסימפטוטה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף IV: חיובי משני צדי האסימפטוטה

Corrigé :

f(x)=12x(ln⁡x)2>0f(x) = \frac{12x}{(\ln x)^2} > 0

בכל התחום

x→0+:f→0,x→1:f→∞x \to 0^+: f \to 0, \qquad x \to 1: f \to \infty
min⁡(e2,3e2)\min(e^2, 3e^2)

סעיף ב

גרף IV: עולה מראשית הצירים אל האסימפטוטה x=1x = 1, ומימינה יורד אל המינימום (e2,3e2)(e^2, 3e^2) ועולה. בגרפים I, II ו־III יש ענף שלילי.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 27

Exercice 28

g(x)g(x) היא פונקציה שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). נגזרת הפונקציה g(x)g(x) מקיימת g′(x)=f(x)−cg'(x) = f(x) - c , cc הוא פרמטר. ד (1). מצאו בעבור c=4c = 4 כמה נקודות קיצון יש לפונקציה g(x)g(x) , וקבעו את סוגן (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם.

  1. Aאין נקודות קיצון, כי f(x)>4f(x) > 4 לכל xx בתחום
  2. Bנקודת קיצון אחת, מקסימום, בקטע 0<x<10 < x < 1
  3. Cנקודת קיצון אחת, מינימום, בקטע 0<x<10 < x < 1
  4. Dשלוש נקודות קיצון: שני מינימומים ומקסימום אחד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C נקודת קיצון אחת, מינימום, בקטע 0<x<10 < x < 1

Corrigé :

g′(x)=f(x)−4g'(x) = f(x) - 4
0<x<1: f(x)↗,f→0 (x→0+),f→∞ (x→1−)0 < x < 1: \ f(x) \nearrow, \quad f \to 0 \ (x \to 0^+), \quad f \to \infty \ (x \to 1^-)

ff עולה ומקבלת את הערך 44 פעם אחת: g′g' עוברת משלילי לחיובי

x>1: f(x)≥3e2≈22.17>4⇒g′>0x > 1: \ f(x) \ge 3e^2 \approx 22.17 > 4 \Rightarrow g' > 0

המינימום של ff (סעיף ב)

לפונקציה g(x)g(x) נקודת קיצון אחת, מינימום, בקטע 0<x<10 < x < 1.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 28

Exercice 29

g(x)g(x) היא פונקציה שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). נגזרת הפונקציה g(x)g(x) מקיימת g′(x)=f(x)−cg'(x) = f(x) - c , cc הוא פרמטר. ד (2). רשמו ערך כלשהו של cc שבעבורו יש לפונקציה g(x)g(x) שלוש נקודות קיצון. נמקו את תשובתכם. (בחרו ערך מתאים.)

  1. Ac=3e2c = 3e^2
  2. Bc=0c = 0
  3. Cc=22c = 22
  4. Dc=30c = 30
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D c=30c = 30

Corrigé :

g′(x)=0  ⟺  f(x)=c\begin{aligned}g'(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= c\end{aligned}
c>3e2≈22.17c > 3e^2 \approx 22.17

הישר y=cy = c חותך את הענף השמאלי פעם אחת ואת הענף הימני פעמיים

c=30>22.17c = 30 > 22.17

למשל c=30c = 30: f(x)=30f(x) = 30 בשלוש נקודות, ובכל אחת g′g' מחליפה סימן.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 29

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : La fonction exponentielle