בגרות 35472 — קיץ 2025 · Questionnaire 35472 — été 2025, Kita יב — leçon et exercices corrigés

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35472 (4 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), קיץ תשפ״ה, 2025. משך הבחינה: שעתיים ורבע. יש לענות על שלוש מן השאלות 1–5, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – $33\frac{1}{3}$ נקודות). פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה: שאלות 1–3. פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־4 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־24 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercices

שאלה 1 — סדרות: סדרה חשבונית וסדרה הנדסית

Exercice 1

א. מצאו את הפרש הסדרה ואת $a_1$ .

$d =$ ____ ; $a_1 =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $d =$ 3 ; $a_1 =$ 3

Corrigé :

\begin{aligned}(a_1 + d) + (a_1 + 3d) &= a_1 + 5d \Rightarrow a_1 \\ &= d\end{aligned}

$a_2 + a_4 = a_6$

\begin{aligned}a_{57} &= a_1 + 56d \\ &= 57d \\ &= 171 \Rightarrow d \\ &= 3\end{aligned}

האיבר האחרון הוא $a_{57}$

\begin{aligned}a_1 &= d \\ &= 3\end{aligned}

הפרש הסדרה $d = 3$ , ו־ $a_1 = 3$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 1

Exercice 2

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית $B$ שאיבריה הם: $b_1 , b_2 , b_3 , \ldots$ . נתון: $b_1 = a_6$ , $3 \cdot b_3 = a_8$ . ב. מצאו את המנה של הסדרה $B$ (מצאו את שתי האפשרויות). (הערך השלילי ראשון.)

$q =$ ____ או $q =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $q =$ -0.667 או $q =$ 0.667

Corrigé :

\begin{aligned}a_6 &= 3 + 5 \cdot 3 \\ &= 18 \\ \quad a_8 &= 3 + 7 \cdot 3 \\ &= 24\end{aligned}

\begin{aligned}b_1 &= 18 \\ \quad b_3 &= \frac{24}{3} \\ &= 8\end{aligned}

\begin{aligned}q^2 &= \frac{b_3}{b_1} \\ &= \frac{8}{18} \\ &= \frac{4}{9} \Rightarrow q \\ &= \pm\frac{2}{3}\end{aligned}

$q = -\frac{2}{3}$ או $q = \frac{2}{3}$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 2

Exercice 3

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית $B$ שאיבריה הם: $b_1 , b_2 , b_3 , \ldots$ . נתון: $b_1 = a_6$ , $3 \cdot b_3 = a_8$ . נתון כי הסדרה $B$ אינה עולה ואינה יורדת. ג. מצאו את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה $B$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -21.6

Corrigé :

q = -\frac{2}{3}

סדרה שאינה עולה ואינה יורדת: מנה שלילית

\begin{aligned}b_2 &= 18 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \\ &= -12\end{aligned}

האיברים $b_2 , b_4 , b_6 , \ldots$ הם סדרה הנדסית שמנתה $q^2 = \frac{4}{9}$

\begin{aligned}S &= \frac{-12}{1 - \frac{4}{9}} \\ &= -12 \cdot \frac{9}{5} \\ &= -21.6\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדת

סכום האיברים במקומות הזוגיים הוא $-21.6$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 3

Votre enfant a-t-il compris ?

Sur elev, chaque exercice est corrigé dès qu'il répond, et un indice arrive au moment où il bloque.

Pratiquer sur elev

שאלה 2 — פירמידה, וקטורים

Exercice 4

א. הביעו באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו־ $\underline{w}$ את הווקטורים $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{ED}$ ו־ $\overrightarrow{AM}$ .

A $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{u} - \underline{v}$ , $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$
B $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$
C $\overrightarrow{ED} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u} - \frac{1}{2}\underline{v}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{AM} = -\frac{1}{3}\underline{u} - \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{5}{3}\underline{w}$
D $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{6}\underline{u} + \frac{1}{6}\underline{v} + \frac{2}{3}\underline{w}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$

Corrigé :

\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \\ &= \underline{v} - \underline{u}\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{AD} &= \frac{1}{2}\left(\underline{u} + \underline{v}\right) \\ \quad \overrightarrow{ED} &= \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AE} \\ &= \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}\end{aligned}

$D$ אמצע $BC$

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} &= \overrightarrow{AE} + \frac{2}{3}\overrightarrow{ED} \\ &= \underline{w} + \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} - \frac{2}{3}\underline{w} \\ &= \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}\end{aligned}

$\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 4

Exercice 5

נתון: $|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$ . ב (1). הוכיחו כי $\overrightarrow{AM}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{ED}$ .

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$
$AE \perp ABC$ , $\angle BAC = 90^\circ$
$|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$

$\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}$

Voir la réponse et le corrigé

$\underline{u} \cdot \underline{v} = \underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0$ — שלושת המקצועות $AB$ , $AC$ ו־ $AE$ מאונכים זה לזה
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{ED} = \frac{1}{6}|\underline{u}|^2 + \frac{1}{6}|\underline{v}|^2 - \frac{1}{3}|\underline{w}|^2$ — פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{ED} = 24 + 24 - 48 = 0$ — מציבים $|\underline{u}|^2 = |\underline{v}|^2 = |\underline{w}|^2 = 144$
$\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}$ — מכפלה סקלרית אפס של וקטורים שונים מאפס

Corrigé :

\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{ED} = \frac{1}{3}\left(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}\right)

= \frac{1}{3}\left(\frac{144}{2} + \frac{144}{2} - 144\right) = 0

המכפלות המעורבות מתאפסות: $\angle BAC = 90^\circ$ ו־ $AE$ גובה

המכפלה הסקלרית היא $0$ : $\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 5

Exercice 6

נתון: $|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$ . ב (2). הוכיחו כי $\overrightarrow{AM}$ מאונך למישור $BEC$ .

$\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}$ (סעיף ב (1))
$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$
$|\underline{u}| = |\underline{v}| = 12$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = \underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0$

$\overrightarrow{AM}$ מאונך למישור $BEC$

Voir la réponse et le corrigé

$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}|\underline{v}|^2 - \frac{1}{3}|\underline{u}|^2$ — פתיחת סוגריים; המכפלות המעורבות מתאפסות
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = 48 - 48 = 0$ — מציבים $|\underline{u}|^2 = |\underline{v}|^2 = 144$
$\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{BC}$ — מכפלה סקלרית אפס של וקטורים שונים מאפס
$ED$ ו־ $BC$ הם שני ישרים נחתכים במישור $BEC$ — הנקודה $D$ נמצאת על $BC$ , והנקודה $E$ במישור $BEC$
$\overrightarrow{AM}$ מאונך למישור $BEC$ — ישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור מאונך למישור

Corrigé :

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} &= \frac{1}{3}\left(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}\right) \cdot \left(\underline{v} - \underline{u}\right) \\ &= \frac{1}{3}\left(144 - 144\right) \\ &= 0\end{aligned}

\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}, \quad \overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{BC}

סעיף ב (1), ו־ $ED$ , $BC$ נחתכים ב־ $D$

$\overrightarrow{AM}$ מאונך לשני ישרים נחתכים במישור $BEC$ , ולכן הוא מאונך למישור $BEC$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 6

Exercice 7

נתון: $|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$ . נתון: $A(0 , 0 , 0)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ , והקודקוד $E$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ג (1). מה הם שיעורי הנקודות $B$ , $C$ ו־ $E$ ?

$B($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $C($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $E($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $B($ 12 $,$ 0 $,$ 0 $)$ , $C($ 0 $,$ 12 $,$ 0 $)$ , $E($ 0 $,$ 0 $,$ 12 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= AC \\ &= AE \\ &= 12\end{aligned}

אורכי המקצועות

B(12, 0, 0), \quad C(0, 12, 0), \quad E(0, 0, 12)

כל קודקוד על החלק החיובי של ציר אחר

$B(12, 0, 0)$ , $C(0, 12, 0)$ , $E(0, 0, 12)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 7

Exercice 8

נתון: $|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$ . נתון: $A(0 , 0 , 0)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ , והקודקוד $E$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ג (2). מצאו את שיעורי הנקודות $D$ ו־ $M$ .

$D($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $M($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $D($ 6 $,$ 6 $,$ 0 $)$ , $M($ 4 $,$ 4 $,$ 4 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}D &= \frac{B + C}{2} \\ &= (6, 6, 0)\end{aligned}

$D$ אמצע $BC$

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} &= \frac{1}{3}\left(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}\right) \\ &= \frac{1}{3}(12, 12, 12) \\ &= (4, 4, 4)\end{aligned}

סעיף א

M(4, 4, 4)

$D(6, 6, 0)$ , $M(4, 4, 4)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 8

Exercice 9

נתון: $|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$ . נתון: $A(0 , 0 , 0)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ , והקודקוד $E$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ד. חשבו את שטח המשולש $AMD$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16.97

Corrigé :

\angle AMD = 90^\circ

$\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}$ (סעיף ב (1)), ו־ $M$ על $ED$

\begin{aligned}AM &= \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} \\ &= 4\sqrt{3} \\ \quad MD &= \sqrt{2^2 + 2^2 + (-4)^2} \\ &= 2\sqrt{6}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6}}{2} \\ &= 4\sqrt{18} \\ &= 12\sqrt{2} \approx 16.97\end{aligned}

שטח המשולש $AMD$ הוא $12\sqrt{2} \approx 16.97$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 9

שאלה 3 — גדילה ודעיכה: צמחים בשתי משתלות

Exercice 10

א. לפניכם שתי טענות, $I$ – $II$ . קבעו איזו טענה נכונה. נמקו את קביעתכם. I. $a < 600$ II. $a > 600$

Aטענה II נכונה: כדי שהמספרים ישתוו, ב׳ צריכה להתחיל גבוה יותר
Bטענה II נכונה: משתלה ב׳ גדלה מהר יותר, ולכן התחילה גבוה יותר
Cאי אפשר לקבוע בלי לדעת כעבור כמה שבועות המספרים השתוו
Dטענה I נכונה: משתלה ב׳ גדלה מהר יותר, ולכן התחילה נמוך יותר

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D טענה I נכונה: משתלה ב׳ גדלה מהר יותר, ולכן התחילה נמוך יותר

Corrigé :

a \cdot 1.1^t = 600 \cdot 1.05^t

השוויון כעבור $t > 0$ שבועות

a = 600 \cdot \left(\frac{1.05}{1.1}\right)^t < 600

$\frac{1.05}{1.1} < 1$

טענה I נכונה: $a < 600$ , כי משתלה ב׳ גדלה מהר יותר, ולכן היא השיגה את משתלה א׳ רק אם התחילה עם פחות צמחים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 10

Exercice 11

כעבור $17$ שבועות מתחילת השתילה היה מספר הצמחים במשתלה ב׳ גדול פי $2$ ממספר הצמחים במשתלה א׳. ב. מצאו את הערך של $a$ . (עגלו למספר שלם.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 544

Corrigé :

a \cdot 1.1^{17} = 2 \cdot 600 \cdot 1.05^{17}

a = 1200 \cdot \left(\frac{1.05}{1.1}\right)^{17} \approx 544.16

$a \approx 544$ צמחים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 11

Exercice 12

כעבור $17$ שבועות מתחילת השתילה היה מספר הצמחים במשתלה ב׳ גדול פי $2$ ממספר הצמחים במשתלה א׳. כעבור $17$ שבועות מתחילת השתילה, בשתי המשתלות הפסיקו את השתילה והחלו למכור את הצמחים. מאותו היום שבו החלו למכור, קטן מספר הצמחים במשתלה ב׳ בכל שבוע באחוז קבוע. כעבור $5$ שבועות מן היום שבו החלו למכור, היה מספר הצמחים במשתלה ב׳ $53\%$ ממספר הצמחים בתחילת המכירה. ג. מצאו בכמה אחוזים קטן מספר הצמחים במשתלה ב׳ בכל שבוע. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11.92

Corrigé :

q^5 = 0.53

q = \sqrt[5]{0.53} \approx 0.88076

(1 - 0.88076) \cdot 100 \approx 11.92

מספר הצמחים במשתלה ב׳ קטן בכ־ $11.92\%$ בכל שבוע.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 12

Exercice 13

כעבור $17$ שבועות מתחילת השתילה היה מספר הצמחים במשתלה ב׳ גדול פי $2$ ממספר הצמחים במשתלה א׳. כעבור $17$ שבועות מתחילת השתילה, בשתי המשתלות הפסיקו את השתילה והחלו למכור את הצמחים. מאותו היום שבו החלו למכור, קטן מספר הצמחים במשתלה ב׳ בכל שבוע באחוז קבוע. כעבור $5$ שבועות מן היום שבו החלו למכור, היה מספר הצמחים במשתלה ב׳ $53\%$ ממספר הצמחים בתחילת המכירה. מאותו היום שבו החלו למכור, קטן מספר הצמחים במשתלה א׳ בכל שבוע ב־ $8\%$ . ד. מצאו כעבור כמה זמן מן היום שבו החלו למכור, היה מספר הצמחים במשתלה א׳ שווה למספר הצמחים במשתלה ב׳. (בשבועות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15.9

Corrigé :

N_B(0) = 2 N_A(0)

בתחילת המכירה (סעיף ב)

N_A(0) \cdot 0.92^t = 2 N_A(0) \cdot 0.88076^t

\begin{aligned}\left(\frac{0.92}{0.88076}\right)^t &= 2 \Rightarrow t \\ &= \frac{\log 2}{\log(0.92 / 0.88076)} \approx 15.90\end{aligned}

כעבור כ־ $15.90$ שבועות מן היום שבו החלו למכור.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 13

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

Exercice 14

א. מצאו את הערך של $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}2^2 - 4 \cdot 2 + a &= 0 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

המכנה מתאפס ב־ $x = 2$

e^{4} \neq 0

המונה אינו מתאפס ב־ $x = 2$

$a = 4$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 14

Exercice 15

הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ד. ב (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \neq$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x \neq$ 2

Corrigé :

x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2

תחום ההגדרה: $x \neq 2$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 15

Exercice 16

הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ד. ב (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה).

A $\left(0, -\frac{1}{4}\right)$ בלבד
B $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ ו־ $(2, 0)$
C $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ בלבד
Dאין נקודות חיתוך עם הצירים

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ בלבד

Corrigé :

\begin{aligned}f(0) &= \frac{e^0}{4} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

e^{2x} > 0

אין חיתוך עם ציר ה־ $x$

חיתוך עם ציר ה־ $y$ : $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ ; אין חיתוך עם ציר ה־ $x$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 16

Exercice 17

הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ד. ב (3). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (את $y$ בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $($ 3 $,$ 403.43 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2e^{2x}(x - 2)^2 - e^{2x} \cdot 2(x - 2)}{(x - 2)^4} \\ &= \frac{2e^{2x}(x - 3)}{(x - 2)^3}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

2 < x < 3: f' < 0, \quad x > 3: f' > 0

מינימום

\begin{aligned}f(3) &= \frac{e^6}{1} \\ &= e^6 \approx 403.43\end{aligned}

מינימום ב־ $(3, e^6) \approx (3, 403.43)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 17

Exercice 18

הגרפים I–IV

הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ד. ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף III
Bגרף II
Cגרף I
Dגרף IV

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C גרף I

Corrigé :

f(x) > 0

מונה חיובי ומכנה $(x - 2)^2$ חיובי

x \to -\infty: f \to 0^+, \quad x \to 2: f \to +\infty

אסימפטוטות $y = 0$ ו־ $x = 2$

x < 2: f' > 0, \quad \min(3, 403.43)

סעיף ב

גרף I: עולה מעל ציר ה־ $x$ מ־ $y = 0$ אל האסימפטוטה $x = 2$ , ומימינה יורד מ־ $+\infty$ אל המינימום $(3, 403.43)$ ועולה שוב. גרף II הוא $-f(x)$ , גרף III הוא שיקופו סביב $x = 2$ (המינימום משמאל לאסימפטוטה), ובגרף IV הפונקציה שלילית משמאל ל־ $x = 2$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 18

Exercice 19

הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ד. נתונה הפונקציה $h(x) = -f(x) + e^8$ שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ד. כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה $h(x)$ עם ציר ה־ $x$ ? נמקו את תשובתכם.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}h(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= e^8 \approx 2981\end{aligned}

x < 2: \quad 0 \nearrow +\infty

$f$ עולה: פתרון אחד משמאל ל־ $x = 2$

x > 2: \quad +\infty \searrow e^6 \nearrow +\infty, \quad e^6 \approx 403 < e^8

$f$ יורדת עד המינימום ועולה: שני פתרונות מימין ל־ $x = 2$

לגרף $h(x)$ יש $3$ נקודות חיתוך עם ציר ה־ $x$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 19

שאלה 5 — גרף הנגזרת, פונקציה לוגריתמית

Exercice 20

א. אחד מן הגרפים $I$ – $IV$ שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

Aגרף II: הנגזרת חיובית, שלילית ושוב חיובית
Bגרף I: הנגזרת שלילית, חיובית ושוב שלילית
Cגרף III: הנגזרת מחליפה סימן שלוש פעמים
Dגרף IV: הנגזרת אינה שלילית בכל התחום

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף II: הנגזרת חיובית, שלילית ושוב חיובית

Corrigé :

f' > 0 \ \to \ f' < 0

מעבר ראשון: מקסימום של $f$

f' < 0 \ \to \ f' > 0

מעבר שני, מימין: מינימום של $f$

גרף II: הנגזרת מחליפה סימן פעמיים, מחיובי לשלילי ואחר כך משלילי לחיובי, ולכן המקסימום משמאל והמינימום מימין. בגרף I המינימום משמאל, בגרף III יש שלוש נקודות קיצון, ובגרף IV אין אף אחת.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 20

Exercice 21

נתון כי $f(x) = 3x \cdot (\ln x)^2$ . ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה).

$($ ____ $, 0)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $($ 1 $, 0)$

Corrigé :

\begin{aligned}3x(\ln x)^2 &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

$x > 0$

x = 0 \notin D

אין חיתוך עם ציר ה־ $y$

נקודת חיתוך אחת: $(1, 0)$ , עם ציר ה־ $x$ בלבד.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 21

Exercice 22

נתון כי $f(x) = 3x \cdot (\ln x)^2$ . ב (2). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן. (הנקודה שבה $x$ קטן יותר ראשונה; מספרים עשרוניים בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $($ 0.135 $,$ 1.624 $)$ , $($ 1 $,$ 0 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 3(\ln x)^2 + 3x \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x} \\ &= 3\ln x\,(\ln x + 2)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= -2 \ \vee \ \ln x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^{-2} \\ \ x &= 1\end{aligned}

\left(e^{-2}, \tfrac{12}{e^2}\right) \approx (0.135, 1.624): \ \max, \qquad (1, 0): \ \min

סימני הנגזרת: $+, -, +$

מקסימום ב־ $\left(e^{-2}, \frac{12}{e^2}\right) \approx (0.135, 1.624)$ , מינימום ב־ $(1, 0)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 22

Exercice 23

נתון כי $f(x) = 3x \cdot (\ln x)^2$ . ג. קבעו איזה מן הגרפים $I$ – $IV$ שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה $f(x)$ .

Aגרף III
Bגרף I
Cגרף IV
Dגרף II

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C גרף IV

Corrigé :

f(x) = 3x(\ln x)^2 \ge 0

בתחום $x > 0$

x \to 0^+: f \to 0

\max(0.135, 1.624), \ \min(1, 0)

סעיף ב

גרף IV: יוצא מ־ $(0, 0)$ (נקודה ריקה), עולה עד המקסימום, יורד ומשיק לציר ה־ $x$ ב־ $(1, 0)$ , ועולה. בגרפים I , II ו־III יש ערכים שליליים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 23

Exercice 24

נתון כי $f(x) = 3x \cdot (\ln x)^2$ . ד. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.62

Corrigé :

e^{-2} < x < 1: f'(x) < 0

השטח הסגור היחיד הוא בין שתי נקודות האפס של $f'$

\begin{aligned}S &= -\int_{e^{-2}}^{1} f'(x)\,dx \\ &= f\left(e^{-2}\right) - f(1)\end{aligned}

$f$ est une primitive (פונקציה קדומה) de $f'$

= \frac{12}{e^2} - 0 \approx 1.62

השטח: $\frac{12}{e^2} \approx 1.62$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 24

Exercices

שאלה 1 — סדרות: סדרה חשבונית וסדרה הנדסית

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

שאלה 2 — פירמידה, וקטורים

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

שאלה 3 — גדילה ודעיכה: צמחים בשתי משתלות

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

Exercice 14

Exercice 15

Exercice 16

Exercice 17

Exercice 18

Exercice 19

שאלה 5 — גרף הנגזרת, פונקציה לוגריתמית

Exercice 20

Exercice 21

Exercice 22

Exercice 23

Exercice 24

La suite se pratique sur elev