בגרות 35472 — קיץ 2025, מועד ב׳

Sur elev, cette leçon vient avec :

  • Chaque exercice corrigé dès la réponse
  • Un indice au moment où il le faut
  • Le suivi des progrès, chapitre après chapitre
Pratiquer sur elev

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : La fonction exponentielle

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35472 (4 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), קיץ תשפ״ה, 2025, מועד ב׳. משך הבחינה: שעתיים ורבע. ענו על שלוש מן השאלות 1–5, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – 331333\frac{1}{3} נקודות). פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה: שאלות 1–3. פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־4 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־29 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר או לנמק הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercices

שאלה 1 — סדרות: פיקדונות לחיסכון

Exercice 1

א. מצאו את גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש הראשון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 840

Corrigé :

a1+a2=2a1+d=2100\begin{aligned}a_1 + a_2 &= 2a_1 + d \\ &= 2100\end{aligned}

סדרה חשבונית: הפרש קבוע dd

a5=a1+4d=3a1⇒d=a12\begin{aligned}a_5 &= a_1 + 4d \\ &= 3a_1 \Rightarrow d \\ &= \frac{a_1}{2}\end{aligned}
2a1+a12=2100⇒a1=840d=420\begin{aligned}2a_1 + \frac{a_1}{2} &= 2100 \Rightarrow a_1 \\ &= 840 \\ \quad d &= 420\end{aligned}

הפיקדון בחודש הראשון: 840840 שקלים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 1

Exercice 2

ב. מצאו לאחר כמה חודשים היה סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל 22,68022{,}680 שקלים סך הכול.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

Sn=n2(2⋅840+(n−1)⋅420)=22680\begin{aligned}S_n &= \frac{n}{2}\left(2 \cdot 840 + (n - 1) \cdot 420\right) \\ &= 22680\end{aligned}

סכום של סדרה חשבונית

210n2+630n=22680⇒n2+3n−108=0\begin{aligned}210n^2 + 630n &= 22680 \Rightarrow n^2 + 3n - 108 \\ &= 0\end{aligned}
(n+12)(n−9)=0⇒n=9\begin{aligned}(n + 12)(n - 9) &= 0 \Rightarrow n \\ &= 9\end{aligned}

nn חיובי

לאחר 99 חודשים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 2

Exercice 3

בחודש ה־1212, במקום להפקיד כסף לחיסכון, החליטה מיכל לקנות מקרר שמחירו שווה לגובה הפיקדון שהייתה אמורה להעביר בחודש זה. מיכל שילמה בעבור המקרר בארבעה תשלומים. כל תשלום גדול פי 33 מן התשלום שלפניו. ג. מצאו את התשלום הראשון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 136.5

Corrigé :

a12=840+11⋅420=5460\begin{aligned}a_{12} &= 840 + 11 \cdot 420 \\ &= 5460\end{aligned}

מחיר המקרר

b1+3b1+9b1+27b1=40b1=5460\begin{aligned}b_1 + 3b_1 + 9b_1 + 27b_1 &= 40b_1 \\ &= 5460\end{aligned}

התשלומים: סדרה הנדסית שמנתה 33

b1=136.5b_1 = 136.5

התשלום הראשון: 136.5136.5 שקלים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 3

Votre enfant a-t-il compris ?

Sur elev, chaque exercice est corrigé dès qu'il répond, et un indice arrive au moment où il bloque.

Pratiquer sur elev

שאלה 2 — פירמידה משולשת, וקטורים

Exercice 4

א. הביעו באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו־w‾\underline{w} את הווקטורים SF→\overrightarrow{SF}, BC→\overrightarrow{BC} ו־SE→\overrightarrow{SE}.

  1. ASF→=34v‾+34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} + \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u} , SE→=34u‾+34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{w}
  2. BSF→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u} , SE→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}
  3. CSF→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=u‾−v‾\overrightarrow{BC} = \underline{u} - \underline{v} , SE→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}
  4. DSF→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u} , SE→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B SF→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u} , SE→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}

Corrigé :

SC→=SA→+AC→=−w‾+v‾\begin{aligned}\overrightarrow{SC} &= \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC} \\ &= -\underline{w} + \underline{v}\end{aligned}

מסלול דרך AA

SF→=34SC→=34v‾−34w‾\begin{aligned}\overrightarrow{SF} &= \frac{3}{4}\overrightarrow{SC} \\ &= \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}\end{aligned}
BC→=BA→+AC→=−u‾+v‾\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \\ &= -\underline{u} + \underline{v}\end{aligned}
SE→=34(SA→+AB→)=34u‾−34w‾\begin{aligned}\overrightarrow{SE} &= \frac{3}{4}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB}) \\ &= \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}\end{aligned}

SF→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u} , SE→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 4

Exercice 5

ב (1). הביעו באמצעות u‾\underline{u} ו־v‾\underline{v} את הווקטור EF→\overrightarrow{EF}.

EF→=\overrightarrow{EF} = ____ u‾+\underline{u} + ____ v‾\underline{v}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : EF→=\overrightarrow{EF} = -0.75 u‾+\underline{u} + 0.75 v‾\underline{v}

Corrigé :

EF→=ES→+SF→=−SE→+SF→\begin{aligned}\overrightarrow{EF} &= \overrightarrow{ES} + \overrightarrow{SF} \\ &= -\overrightarrow{SE} + \overrightarrow{SF}\end{aligned}
=−34u‾+34w‾+34v‾−34w‾= -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{w} + \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}

סעיף א

=−34u‾+34v‾= -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}

EF→=−34u‾+34v‾\overrightarrow{EF} = -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 5

Exercice 6

ב (2). הסבירו מדוע EFEF מקביל ל־BCBC.

  • EF→=−34u‾+34v‾\overrightarrow{EF} = -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}
  • BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}
  • EE על SBSB ו־FF על SCSC, ושתיהן שונות מ־BB ומ־CC

EF∥BCEF \parallel BC

Voir la réponse et le corrigé
  1. EF→=34(v‾−u‾)\overrightarrow{EF} = \frac{3}{4}(\underline{v} - \underline{u}) — הוצאת גורם משותף
  2. EF→=34BC→\overrightarrow{EF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} — סעיף א: BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}
  3. EF∥BCEF \parallel BC — וקטור שהוא כפולה של וקטור אחר מקביל לו, ו־EE אינה על הישר BCBC

Corrigé :

EF→=34(v‾−u‾)=34BC→\begin{aligned}\overrightarrow{EF} &= \frac{3}{4}(\underline{v} - \underline{u}) \\ &= \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\end{aligned}

הווקטור EF→\overrightarrow{EF} הוא כפולה של BC→\overrightarrow{BC}, ולכן EF∥BCEF \parallel BC (הנקודה EE אינה על BCBC, כך שהישרים אינם מתלכדים).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 6

Exercice 7

נתון: C(13,15,3)C(13, 15, 3) , B(1,−1,3)B(1, -1, 3). ג. מצאו את ההצגה האלגברית של הווקטור BC→\overrightarrow{BC} ושל הווקטור EF→\overrightarrow{EF}.

BC→=(\overrightarrow{BC} = ( ____ ,, ____ ,, ____ )) , EF→=(\overrightarrow{EF} = ( ____ ,, ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : BC→=(\overrightarrow{BC} = ( 12 ,, 16 ,, 0 )) , EF→=(\overrightarrow{EF} = ( 9 ,, 12 ,, 0 ))

Corrigé :

BC→=C−B=(13−1,15+1,3−3)=(12,16,0)\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= C - B \\ &= (13 - 1, 15 + 1, 3 - 3) \\ &= (12, 16, 0)\end{aligned}
EF→=34BC→=(9,12,0)\begin{aligned}\overrightarrow{EF} &= \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} \\ &= (9, 12, 0)\end{aligned}

סעיף ב

BC→=(12,16,0)\overrightarrow{BC} = (12, 16, 0) , EF→=(9,12,0)\overrightarrow{EF} = (9, 12, 0).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 7

Exercice 8

נתון: C(13,15,3)C(13, 15, 3) , B(1,−1,3)B(1, -1, 3). נתון: E(5,1,6)E(5, 1, 6). ד. מצאו את שיעורי הנקודה FF.

F(F( ____ ,, ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : F(F( 14 ,, 13 ,, 6 ))

Corrigé :

F=E+EF→=(5+9,1+12,6+0)\begin{aligned}F &= E + \overrightarrow{EF} \\ &= (5 + 9, 1 + 12, 6 + 0)\end{aligned}
F=(14,13,6)F = (14, 13, 6)

F(14,13,6)F(14, 13, 6).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 8

Exercice 9

נתון: C(13,15,3)C(13, 15, 3) , B(1,−1,3)B(1, -1, 3). נתון: E(5,1,6)E(5, 1, 6). נתון: A(4,12,3)A(4, 12, 3). ה (1). מצאו את גודל הזווית EAFEAF. (במעלות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 86.18

Corrigé :

AE→=(1,−11,3)AF→=(10,1,3)\begin{aligned}\overrightarrow{AE} &= (1, -11, 3) \\ \quad \overrightarrow{AF} &= (10, 1, 3)\end{aligned}
AE→⋅AF→=10−11+9=8\begin{aligned}\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} &= 10 - 11 + 9 \\ &= 8\end{aligned}

מכפלה סקלרית

∣AE→∣=131∣AF→∣=110\begin{aligned}|\overrightarrow{AE}| &= \sqrt{131} \\ \quad |\overrightarrow{AF}| &= \sqrt{110}\end{aligned}
cos⁡∠EAF=8131⋅110≈0.0666⇒∠EAF≈86.18∘\cos\angle EAF = \frac{8}{\sqrt{131} \cdot \sqrt{110}} \approx 0.0666 \Rightarrow \angle EAF \approx 86.18^\circ

∠EAF≈86.18∘\angle EAF \approx 86.18^\circ.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 9

Exercice 10

נתון: C(13,15,3)C(13, 15, 3) , B(1,−1,3)B(1, -1, 3). נתון: E(5,1,6)E(5, 1, 6). נתון: A(4,12,3)A(4, 12, 3). ה (2). חשבו את שטח המשולש EAFEAF. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 59.89

Corrigé :

S=12⋅131⋅110⋅sin⁡86.18∘S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{131} \cdot \sqrt{110} \cdot \sin 86.18^\circ

Aire (שטח) d'un triangle (משולש) : la moitié (חצי) du produit (מכפלת) de deux côtés (צלעות) par le sinus (סינוס) de l'angle compris (זווית שביניהן)

=12131⋅110−82=1214346≈59.89= \frac{1}{2}\sqrt{131 \cdot 110 - 8^2} = \frac{1}{2}\sqrt{14346} \approx 59.89

שטח המשולש EAFEAF: 315942≈59.89\frac{3\sqrt{1594}}{2} \approx 59.89.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 10

שאלה 3 — גדילה ודעיכה: האזנות לשני שירים

Exercice 11

א. מבין הגרפים II–IIII קבעו איזה גרף מתאים לשיר AA. נמקו את קביעתכם.

  1. Aגרף I: האחוז של BB גדול יותר, וגרף II משיג את גרף I
  2. Bגרף II: הוא מתחיל נמוך יותר, כי האחוז של AA קטן יותר
  3. Cאי אפשר לדעת בלי לדעת את מספר ההאזנות ההתחלתי
  4. Dגרף I: הוא מתחיל גבוה יותר, ולכן הוא תמיד יהיה מעל
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף I: האחוז של BB גדול יותר, וגרף II משיג את גרף I

Corrigé :

NA(t)=NA(0)⋅qAtNB(t)=NB(0)⋅qBtqB>qA\begin{aligned}N_A(t) &= N_A(0) \cdot q_A^t \\ \quad N_B(t) &= N_B(0) \cdot q_B^t \\ \quad q_B > q_A\end{aligned}

האחוז של BB גדול פי 22

NB(t)NA(t)=NB(0)NA(0)⋅(qBqA)t\frac{N_B(t)}{N_A(t)} = \frac{N_B(0)}{N_A(0)} \cdot \left(\frac{q_B}{q_A}\right)^t

היחס גדל עם הזמן

גרף I מתאר את שיר AA: גרף II מתחיל נמוך יותר, אבל עולה מהר יותר ומשיג את גרף I, ולכן הוא מתאר את שיר BB, שאחוז הגדילה שלו גדול יותר.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 11

Exercice 12

נתון כי לאחר 55 ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר AA היה 7,3507{,}350. ב. מצאו בכמה אחוזים גדל מספר ההאזנות לשיר AA בכל יום.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

5000⋅q5=73505000 \cdot q^5 = 7350

גרף I מתחיל ב־5,0005{,}000 (סעיף א)

q5=1.47⇒q=1.475≈1.08\begin{aligned}q^5 &= 1.47 \Rightarrow q \\ &= \sqrt[5]{1.47} \approx 1.08\end{aligned}
1.08−1=0.081.08 - 1 = 0.08

מספר ההאזנות לשיר AA גדל ב־8%8\% בכל יום.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 12

Exercice 13

נתון כי לאחר 55 ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר AA היה 7,3507{,}350. ג. מצאו בכמה היה גדול מספר ההאזנות לשיר AA ממספר ההאזנות לשיר BB, לאחר 55 ימים מיום העלאת השירים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 981.76

Corrigé :

qB=1+2⋅0.08=1.16\begin{aligned}q_B &= 1 + 2 \cdot 0.08 \\ &= 1.16\end{aligned}

האחוז של BB: 16%16\%

NB(5)=3032⋅1.165≈6368.24N_B(5) = 3032 \cdot 1.16^5 \approx 6368.24

גרף II מתחיל ב־3,0323{,}032

7350−6368.24≈981.767350 - 6368.24 \approx 981.76

מספר ההאזנות לשיר AA היה גדול בכ־982982 (התשובה תלויה מעט בעיגול של האחוז).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 13

Exercice 14

נתון כי לאחר 55 ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר AA היה 7,3507{,}350. ד. מצאו לאחר כמה זמן מיום העלאת השירים, היה מספר ההאזנות לשיר AA שווה למספר ההאזנות לשיר BB.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

5000⋅1.08t=3032⋅1.16t5000 \cdot 1.08^t = 3032 \cdot 1.16^t
(1.161.08)t=50003032\left(\frac{1.16}{1.08}\right)^t = \frac{5000}{3032}
t=log⁡50003032log⁡1.161.08≈7t = \frac{\log \frac{5000}{3032}}{\log \frac{1.16}{1.08}} \approx 7

לאחר 77 ימים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 14

Exercice 15

נתון כי לאחר 55 ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר AA היה 7,3507{,}350. כאשר מספר ההאזנות לשיר AA היה שווה למספר ההאזנות לשיר BB, החלה ירידה במספר ההאזנות לשיר AA. בכל יום קטן מספר ההאזנות לשיר AA באותו האחוז שבו הוא גדל לפני כן. ה. מצאו לאחר כמה זמן מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר AA היה 2,4502{,}450. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 22.02

Corrigé :

NA(7)=5000⋅1.087≈8569.15N_A(7) = 5000 \cdot 1.08^7 \approx 8569.15

השיא, אחרי 77 ימים (סעיף ד)

8569.15⋅0.92s=24508569.15 \cdot 0.92^s = 2450

ירידה של 8%8\% בכל יום

s=log⁡24508569.15log⁡0.92≈15.02s = \frac{\log \frac{2450}{8569.15}}{\log 0.92} \approx 15.02
7+15.02=22.027 + 15.02 = 22.02

לאחר כ־22.0222.02 ימים מיום העלאת השירים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 15

שאלה 4 — פונקציה מעריכית ושבר

Exercice 16

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). (התחום הוא x≠ln⁡kx \neq \ln k.)

k=k = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : k=k = 4

Corrigé :

ex−4≠0e^x - 4 \neq 0

המכנה שונה מאפס

ex≠4⇒x≠ln⁡4e^x \neq 4 \Rightarrow x \neq \ln 4

תחום ההגדרה: x≠ln⁡4x \neq \ln 4.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 16

Exercice 17

א (2). מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־xx של הפונקציה f(x)f(x).

  1. Ax=ln⁡8x = \ln 8
  2. Bx=4x = 4
  3. Cx=e4x = e^4
  4. Dx=ln⁡4x = \ln 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x=ln⁡4x = \ln 4

Corrigé :

x→ln⁡4: ex−4→0,e2x→16x \to \ln 4: \ e^x - 4 \to 0, \quad e^{2x} \to 16

המונה אינו מתאפס

האסימפטוטה המאונכת: x=ln⁡4x = \ln 4.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 17

Exercice 18

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

  1. A(0,−14)\left(0, -\frac{1}{4}\right) בלבד
  2. B(0,−13)\left(0, -\frac{1}{3}\right) ו־(ln⁡4,0)(\ln 4, 0)
  3. C(0,−13)\left(0, -\frac{1}{3}\right) בלבד
  4. D(0,13)\left(0, \frac{1}{3}\right) בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (0,−13)\left(0, -\frac{1}{3}\right) בלבד

Corrigé :

f(0)=e0e0−4=11−4=−13\begin{aligned}f(0) &= \frac{e^0}{e^0 - 4} \\ &= \frac{1}{1 - 4} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה־yy

e2x>0⇒f(x)≠0e^{2x} > 0 \Rightarrow f(x) \neq 0

אין חיתוך עם ציר ה־xx

נקודת חיתוך אחת בלבד: (0,−13)\left(0, -\frac{1}{3}\right).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 18

Exercice 19

xf'(x)B

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד – הנקודה BB. ג. מצאו את שיעור ה־xx של הנקודה BB. (השיעור הוא x=ln⁡kx = \ln k.)

k=k = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : k=k = 8

Corrigé :

f′(x)=2e2x(ex−4)−e2x⋅ex(ex−4)2=e2x(ex−8)(ex−4)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2e^{2x}(e^x - 4) - e^{2x} \cdot e^x}{(e^x - 4)^2} \\ &= \frac{e^{2x}(e^x - 8)}{(e^x - 4)^2}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

f′(x)=0⇒ex=8⇒x=ln⁡8\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 8 \Rightarrow x \\ &= \ln 8\end{aligned}

xB=ln⁡8≈2.08x_B = \ln 8 \approx 2.08.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 19

Exercice 20

xf'(x)B

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד – הנקודה BB. ד (1). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. Aיורדת ב־x<ln⁡8x < \ln 8, כולל ב־x=ln⁡4x = \ln 4; עולה ב־x>ln⁡8x > \ln 8
  2. Bיורדת ב־x<ln⁡4x < \ln 4 וב־x>ln⁡8x > \ln 8; עולה ב־ln⁡4<x<ln⁡8\ln 4 < x < \ln 8
  3. Cעולה ב־x<ln⁡4x < \ln 4; יורדת ב־ln⁡4<x<ln⁡8\ln 4 < x < \ln 8; עולה ב־x>ln⁡8x > \ln 8
  4. Dיורדת ב־x<ln⁡4x < \ln 4 וב־ln⁡4<x<ln⁡8\ln 4 < x < \ln 8; עולה ב־x>ln⁡8x > \ln 8
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D יורדת ב־x<ln⁡4x < \ln 4 וב־ln⁡4<x<ln⁡8\ln 4 < x < \ln 8; עולה ב־x>ln⁡8x > \ln 8

Corrigé :

x<ln⁡4: f′(x)<0x < \ln 4: \ f'(x) < 0

הגרף של f′f' מתחת לציר

ln⁡4<x<ln⁡8: f′(x)<0,x>ln⁡8: f′(x)>0\ln 4 < x < \ln 8: \ f'(x) < 0, \quad x > \ln 8: \ f'(x) > 0

BB היא נקודת החיתוך היחידה

f(ln⁡8)=648−4=16\begin{aligned}f(\ln 8) &= \frac{64}{8 - 4} \\ &= 16\end{aligned}

מינימום

ff יורדת ב־x<ln⁡4x < \ln 4 וב־ln⁡4<x<ln⁡8\ln 4 < x < \ln 8, ועולה ב־x>ln⁡8x > \ln 8; מינימום ב־(ln⁡8,16)(\ln 8, 16).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 20

Exercice 21

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד – הנקודה BB. ד (2). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. Aגרף III
  2. Bגרף I
  3. Cגרף II
  4. Dגרף IV
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C גרף II

Corrigé :

x→−∞:f→0−,x→ln⁡4−:f→−∞x \to -\infty: f \to 0^-, \quad x \to \ln 4^-: f \to -\infty

משמאל לאסימפטוטה המכנה שלילי

x→ln⁡4+:f→∞,min⁡(ln⁡8,16)x \to \ln 4^+: f \to \infty, \quad \min(\ln 8, 16)

סעיף ד (1)

(0,−13)(0, -\tfrac{1}{3})

סעיף ב

גרף II: משמאל לאסימפטוטה x=ln⁡4x = \ln 4 הגרף שלילי, עובר ב־(0,−13)\left(0, -\frac{1}{3}\right) ויורד; מימין לה הוא יורד למינימום (ln⁡8,16)(\ln 8, 16) ועולה. גרף I הוא −f-f, גרף III הוא ∣f∣|f|, וגרף IV הוא השיקוף של ff ביחס לציר ה־yy.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 21

Exercice 22

xf'(x)B

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד – הנקודה BB. ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), על ידי ציר ה־xx ועל ידי הישר x=ln⁡12x = \ln 12.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

ln⁡8<x<ln⁡12: f′(x)>0\ln 8 < x < \ln 12: \ f'(x) > 0

השטח בין BB לישר

S=∫ln⁡8ln⁡12f′(x) dx=f(ln⁡12)−f(ln⁡8)\begin{aligned}S &= \int_{\ln 8}^{\ln 12} f'(x)\,dx \\ &= f(\ln 12) - f(\ln 8)\end{aligned}

ff קדומה ל־f′f'

14412−4−648−4=18−16=2\begin{aligned}\frac{144}{12 - 4} - \frac{64}{8 - 4} &= 18 - 16 \\ &= 2\end{aligned}

השטח: 22.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 22

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

Exercice 23

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. Ax>e2x > e^2
  2. Bכל xx
  3. Cx>0x > 0
  4. Dx≠0x \neq 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x>0x > 0

Corrigé :

ln⁡x: x>0\ln x: \ x > 0

תחום ההגדרה של הלוגריתם

תחום ההגדרה: x>0x > 0.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 23

Exercice 24

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (הנקודה היא (ek,0)(e^k, 0).)

k=k = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : k=k = 2

Corrigé :

x=0x = 0

מחוץ לתחום: אין חיתוך עם ציר ה־yy

x2(−2+ln⁡x)=0 x>0⇒ln⁡x=2⇒x=e2\begin{aligned}x^2(-2 + \ln x) &= 0 \\ \ x > 0 \Rightarrow \ln x &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}

נקודת חיתוך אחת: (e2,0)(e^2, 0), עם ציר ה־xx.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 24

Exercice 25

ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה. (הנקודה היא (ek,y0)(e^k, y_0); כתבו את y0y_0 בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

k=k = ____ , y0=y_0 = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : k=k = 1.5 , y0=y_0 = -10.04

Corrigé :

f′(x)=2x(−2+ln⁡x)+x2⋅1x=x(2ln⁡x−3)\begin{aligned}f'(x) &= 2x(-2 + \ln x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} \\ &= x(2\ln x - 3)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(x)=0 x>0⇒ln⁡x=1.5⇒x=e1.5\begin{aligned}f'(x) &= 0 \\ \ x > 0 \Rightarrow \ln x &= 1.5 \Rightarrow x \\ &= e^{1.5}\end{aligned}
0<x<e1.5:f′<0,x>e1.5:f′>00 < x < e^{1.5}: f' < 0, \quad x > e^{1.5}: f' > 0

מינימום

f(e1.5)=e3(−2+1.5)=−e32≈−10.04\begin{aligned}f(e^{1.5}) &= e^3(-2 + 1.5) \\ &= -\frac{e^3}{2} \approx -10.04\end{aligned}

מינימום ב־(e1.5,−e32)≈(4.48,−10.04)\left(e^{1.5}, -\frac{e^3}{2}\right) \approx (4.48, -10.04).

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 25

Exercice 26

ד. קבעו איזה מן הגרפים II–IVIV שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה f(x)f(x). נמקו את קביעתכם.

  1. Aגרף III
  2. Bגרף IV
  3. Cגרף II
  4. Dגרף I
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף I

Corrigé :

x→0+: f(x)→0x \to 0^+: \ f(x) \to 0

הנקודה (0,0)(0, 0) אינה בתחום: עיגול ריק

min⁡(e1.5,−10.04),(e2,0)\min\left(e^{1.5}, -10.04\right), \quad (e^2, 0)

סעיפים ב–ג

גרף I: יוצא מעיגול ריק בראשית, יורד למינימום מתחת לציר ה־xx, וחותך את הציר ב־e2e^2. בגרף II ובגרף III הגרף אינו מתקרב לראשית, ובגרף IV יש מקסימום.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 26

Exercice 27

נתונה הפונקציה g(x)=a⋅f(x)g(x) = a \cdot f(x). aa הוא פרמטר שונה מ־00. הפונקציות g(x)g(x) ו־f(x)f(x) מוגדרות באותו התחום. נתון כי שיעור ה־yy של נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x) הוא 0.6⋅e30.6 \cdot e^3. ה (1). מצאו את הערך של aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1.2

Corrigé :

g′(x)=a⋅f′(x)=0⇒x=e1.5\begin{aligned}g'(x) &= a \cdot f'(x) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^{1.5}\end{aligned}

הקיצון של gg באותו xx

g(e1.5)=a⋅(−e32)=0.6e3\begin{aligned}g(e^{1.5}) &= a \cdot \left(-\frac{e^3}{2}\right) \\ &= 0.6e^3\end{aligned}
a=−1.2a = -1.2

a=−1.2a = -1.2.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 27

Exercice 28

נתונה הפונקציה g(x)=a⋅f(x)g(x) = a \cdot f(x). aa הוא פרמטר שונה מ־00. הפונקציות g(x)g(x) ו־f(x)f(x) מוגדרות באותו התחום. נתון כי שיעור ה־yy של נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x) הוא 0.6⋅e30.6 \cdot e^3. ה (2). מהו סוג נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)? נמקו את תשובתכם.

  1. Aמינימום: שיעור ה־yy של הקיצון חיובי
  2. Bמקסימום: a<0a < 0 הופך את המינימום של ff
  3. Cמקסימום: a>0a > 0 מגדיל את ערכי ff
  4. Dמינימום: ל־gg ול־ff יש קיצון באותו xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מקסימום: a<0a < 0 הופך את המינימום של ff

Corrigé :

g′(x)=−1.2⋅f′(x)g'(x) = -1.2 \cdot f'(x)

סימן הנגזרת מתהפך

0<x<e1.5:g′>0,x>e1.5:g′<00 < x < e^{1.5}: g' > 0, \quad x > e^{1.5}: g' < 0

מקסימום: a=−1.2<0a = -1.2 < 0, ולכן gg עולה לפני e1.5e^{1.5} ויורדת אחריו.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 28

Exercice 29

נתונה הפונקציה g(x)=a⋅f(x)g(x) = a \cdot f(x). aa הוא פרמטר שונה מ־00. הפונקציות g(x)g(x) ו־f(x)f(x) מוגדרות באותו התחום. נתון כי שיעור ה־yy של נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x) הוא 0.6⋅e30.6 \cdot e^3. ה (3). קבעו איזה מן הגרפים II–IVIV שלפניכם מתאר את הפונקציה g(x)g(x). נמקו את קביעתכם.

  1. Aגרף III
  2. Bגרף IV
  3. Cגרף II
  4. Dגרף I
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף IV

Corrigé :

g(x)=−1.2⋅f(x)g(x) = -1.2 \cdot f(x)

שיקוף של ff ביחס לציר ה־xx ומתיחה

max⁡(e1.5,0.6e3)≈(4.48,12.05),(e2,0)\max\left(e^{1.5}, 0.6e^3\right) \approx (4.48, 12.05), \quad (e^2, 0)

גרף IV: יוצא מעיגול ריק בראשית, עולה למקסימום וחותך את ציר ה־xx ב־e2e^2. גרף II מתחיל רחוק מהראשית.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 29

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe

Cette leçon fait partie de l’abonnement. Un chapitre entier gratuit : La fonction exponentielle