בגרות 35472 — חורף 2026

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35472 (4 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), חורף תשפ״ו, 2026. משך הבחינה: שעתיים. ענו על שלוש מן השאלות 1–5, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – 331333\frac{1}{3} נקודות). פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה: שאלות 1–3. פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־4 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־27 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercices

שאלה 1 — סדרות: יריד ספרים

Exercice 1

א. מצאו כמה ספרים נמכרו ביום הראשון של היריד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

a1+2a1+4a1=7a1=420\begin{aligned}a_1 + 2a_1 + 4a_1 &= 7a_1 \\ &= 420\end{aligned}

סדרה הנדסית שמנתה 22

a1=60a_1 = 60

ביום הראשון נמכרו 6060 ספרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

כל ספר ביריד נמכר ב־5050 שקלים. ב. מצאו את סך כל ההכנסות ממכירת הספרים במשך 77 ימי היריד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 381000

Corrigé :

S7=60 (27−1)2−1=60⋅127=7620\begin{aligned}S_7 &= \frac{60\,(2^7 - 1)}{2 - 1} \\ &= 60 \cdot 127 \\ &= 7620\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית

7620⋅50=3810007620 \cdot 50 = 381000

ההכנסות: 381,000381{,}000 שקלים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

כל ספר ביריד נמכר ב־5050 שקלים. לאחר שהסתיים יריד הספרים החליט מנהל היריד לתרום מחצית מכל ההכנסות שהתקבלו ביריד. מנהל היריד פרס את התרומה לכמה חודשים. בחודש הראשון הוא תרם 4,3154{,}315 שקלים, ובכל חודש שלאחר מכן הוא תרם 315315 שקלים יותר מבחודש שלפניו. ג. מצאו לכמה חודשים פרס מנהל היריד את התרומה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

Sn=3810002=190500\begin{aligned}S_n &= \frac{381000}{2} \\ &= 190500\end{aligned}

מחצית ההכנסות

n2(2⋅4315+(n−1)⋅315)=190500\frac{n}{2}\left(2 \cdot 4315 + (n - 1) \cdot 315\right) = 190500

סכום סדרה חשבונית

315n2+8315n−381000=0315n^2 + 8315n - 381000 = 0
n=−8315+83152+4⋅315⋅3810002⋅315=−8315+23435630=24\begin{aligned}n &= \frac{-8315 + \sqrt{8315^2 + 4 \cdot 315 \cdot 381000}}{2 \cdot 315} \\ &= \frac{-8315 + 23435}{630} \\ &= 24\end{aligned}

nn טבעי וחיובי

התרומה נפרסה על 2424 חודשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

כל ספר ביריד נמכר ב־5050 שקלים. לאחר שהסתיים יריד הספרים החליט מנהל היריד לתרום מחצית מכל ההכנסות שהתקבלו ביריד. מנהל היריד פרס את התרומה לכמה חודשים. בחודש הראשון הוא תרם 4,3154{,}315 שקלים, ובכל חודש שלאחר מכן הוא תרם 315315 שקלים יותר מבחודש שלפניו. ד. מצאו מהו סכום הכסף שתרם מנהל היריד סך הכול בשני החודשים האמצעיים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15875

Corrigé :

החודשים האמצעיים: 12 ו־13\text{החודשים האמצעיים: } 12 \text{ ו־} 13

מתוך 2424 חודשים

b12+b13=(4315+11⋅315)+(4315+12⋅315)=7780+8095\begin{aligned}b_{12} + b_{13} &= (4315 + 11 \cdot 315) + (4315 + 12 \cdot 315) \\ &= 7780 + 8095\end{aligned}
=15875= 15875

בשני החודשים האמצעיים נתרמו 15,87515{,}875 שקלים.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — מנסרה ישרה, וקטורים

Exercice 5

א. הביעו באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו־w‾\underline{w} את הווקטורים CM→\overrightarrow{CM} ו־PM→\overrightarrow{PM}.

  1. CM→=w‾+12u‾\overrightarrow{CM} = \underline{w} + \frac{1}{2}\underline{u} , PM→=12u‾+v‾+14w‾\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}
  2. CM→=w‾−12v‾\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{v} , PM→=u‾+12v‾+14w‾\overrightarrow{PM} = \underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}
  3. CM→=w‾−12u‾\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u} , PM→=12u‾+v‾+34w‾\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{3}{4}\underline{w}
  4. CM→=w‾−12u‾\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u} , PM→=12u‾+v‾+14w‾\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D CM→=w‾−12u‾\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u} , PM→=12u‾+v‾+14w‾\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}

Corrigé :

CM→=CC′→+C′M→=w‾+12C′D′→=w‾−12u‾\begin{aligned}\overrightarrow{CM} &= \overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{C'M} \\ &= \underline{w} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C'D'} \\ &= \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}\end{aligned}

C′D′→=BA→=−u‾\overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{BA} = -\underline{u}

PM→=PA′→+A′D′→+D′M→=14w‾+v‾+12u‾\begin{aligned}\overrightarrow{PM} &= \overrightarrow{PA'} + \overrightarrow{A'D'} + \overrightarrow{D'M} \\ &= \frac{1}{4}\underline{w} + \underline{v} + \frac{1}{2}\underline{u}\end{aligned}

PA′→=14w‾\overrightarrow{PA'} = \frac{1}{4}\underline{w}

CM→=w‾−12u‾\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u} , PM→=12u‾+v‾+14w‾\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון: ∣u‾∣=8|\underline{u}| = 8 , ∣v‾∣=10|\underline{v}| = 10 , ∠DAB=60∘\angle DAB = 60^\circ. ב. מצאו את הערך של כל אחת מן המכפלות הסקלריות האלה: u‾⋅w‾\underline{u} \cdot \underline{w} , v‾⋅w‾\underline{v} \cdot \underline{w} , u‾⋅v‾\underline{u} \cdot \underline{v}.

u‾⋅w‾=\underline{u} \cdot \underline{w} = ____ , v‾⋅w‾=\underline{v} \cdot \underline{w} = ____ , u‾⋅v‾=\underline{u} \cdot \underline{v} = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : u‾⋅w‾=\underline{u} \cdot \underline{w} = 0 , v‾⋅w‾=\underline{v} \cdot \underline{w} = 0 , u‾⋅v‾=\underline{u} \cdot \underline{v} = 40

Corrigé :

w‾⊥u‾,w‾⊥v‾\underline{w} \perp \underline{u}, \quad \underline{w} \perp \underline{v}

מנסרה ישרה: המקצוע הצדדי מאונך לבסיס

u‾⋅v‾=8⋅10⋅cos⁡60∘=40\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= 8 \cdot 10 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 40\end{aligned}

u‾⋅w‾=0\underline{u} \cdot \underline{w} = 0 , v‾⋅w‾=0\underline{v} \cdot \underline{w} = 0 , u‾⋅v‾=40\underline{u} \cdot \underline{v} = 40.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון: ∣u‾∣=8|\underline{u}| = 8 , ∣v‾∣=10|\underline{v}| = 10 , ∠DAB=60∘\angle DAB = 60^\circ. נתון: נפח המנסרה הוא 4803480\sqrt{3}. ג. מצאו את הערך של ∣w‾∣|\underline{w}|.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

SABCD=8⋅10⋅sin⁡60∘=403\begin{aligned}S_{ABCD} &= 8 \cdot 10 \cdot \sin 60^\circ \\ &= 40\sqrt{3}\end{aligned}

שטח מקבילית

403⋅∣w‾∣=4803⇒∣w‾∣=12\begin{aligned}40\sqrt{3} \cdot |\underline{w}| &= 480\sqrt{3} \Rightarrow |\underline{w}| \\ &= 12\end{aligned}

נפח מנסרה ישרה: שטח הבסיס כפול הגובה

∣w‾∣=12|\underline{w}| = 12.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון: ∣u‾∣=8|\underline{u}| = 8 , ∣v‾∣=10|\underline{v}| = 10 , ∠DAB=60∘\angle DAB = 60^\circ. נתון: נפח המנסרה הוא 4803480\sqrt{3}. ד. הוכיחו כי PM→\overrightarrow{PM} מאונך ל־CM→\overrightarrow{CM}.

  • PM→=12u‾+v‾+14w‾\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w} , CM→=w‾−12u‾\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}
  • ∣u‾∣=8|\underline{u}| = 8 , ∣w‾∣=12|\underline{w}| = 12 , u‾⋅v‾=40\underline{u} \cdot \underline{v} = 40 , u‾⋅w‾=v‾⋅w‾=0\underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0

PM→⊥CM→\overrightarrow{PM} \perp \overrightarrow{CM}

Voir la réponse et le corrigé
  1. PM→⋅CM→=−14∣u‾∣2−12u‾⋅v‾+14∣w‾∣2\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{CM} = -\frac{1}{4}|\underline{u}|^2 - \frac{1}{2}\underline{u} \cdot \underline{v} + \frac{1}{4}|\underline{w}|^2 — פתיחת סוגריים; המכפלות עם w‾\underline{w} של u‾\underline{u} ו־v‾\underline{v} מתאפסות
  2. PM→⋅CM→=−16−20+36=0\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{CM} = -16 - 20 + 36 = 0 — מציבים ∣u‾∣2=64|\underline{u}|^2 = 64 , u‾⋅v‾=40\underline{u} \cdot \underline{v} = 40 , ∣w‾∣2=144|\underline{w}|^2 = 144
  3. PM→⊥CM→\overrightarrow{PM} \perp \overrightarrow{CM} — מכפלה סקלרית אפס של וקטורים שונים מאפס

Corrigé :

PM→⋅CM→=−14u‾2+12u‾⋅w‾−12u‾⋅v‾+v‾⋅w‾−18u‾⋅w‾+14w‾2\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{CM} = -\tfrac{1}{4}\underline{u}^2 + \tfrac{1}{2}\underline{u} \cdot \underline{w} - \tfrac{1}{2}\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v} \cdot \underline{w} - \tfrac{1}{8}\underline{u} \cdot \underline{w} + \tfrac{1}{4}\underline{w}^2
=−16+0−20+0−0+36=0= -16 + 0 - 20 + 0 - 0 + 36 = 0

המכפלה הסקלרית היא 00: PM→⊥CM→\overrightarrow{PM} \perp \overrightarrow{CM}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון: ∣u‾∣=8|\underline{u}| = 8 , ∣v‾∣=10|\underline{v}| = 10 , ∠DAB=60∘\angle DAB = 60^\circ. נתון: נפח המנסרה הוא 4803480\sqrt{3}. ה (1). הראו כי ∣PM→∣=165\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165}.

  • PM→=12u‾+v‾+14w‾\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}
  • ∣u‾∣=8|\underline{u}| = 8 , ∣v‾∣=10|\underline{v}| = 10 , ∣w‾∣=12|\underline{w}| = 12 , u‾⋅v‾=40\underline{u} \cdot \underline{v} = 40 , u‾⋅w‾=v‾⋅w‾=0\underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0

∣PM→∣=165\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165}

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∣PM→∣2=14∣u‾∣2+∣v‾∣2+116∣w‾∣2+u‾⋅v‾\left|\overrightarrow{PM}\right|^2 = \frac{1}{4}|\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2 + \frac{1}{16}|\underline{w}|^2 + \underline{u} \cdot \underline{v} — ריבוע של סכום וקטורים; המכפלות עם w‾\underline{w} מתאפסות
  2. ∣PM→∣2=16+100+9+40=165\left|\overrightarrow{PM}\right|^2 = 16 + 100 + 9 + 40 = 165 — מציבים את הנתונים
  3. ∣PM→∣=165\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165} — אורך הוא מספר חיובי

Corrigé :

∣PM→∣2=14⋅64+100+116⋅144+2⋅12 u‾⋅v‾\left|\overrightarrow{PM}\right|^2 = \tfrac{1}{4} \cdot 64 + 100 + \tfrac{1}{16} \cdot 144 + 2 \cdot \tfrac{1}{2}\,\underline{u} \cdot \underline{v}
=16+100+9+40=165= 16 + 100 + 9 + 40 = 165

∣PM→∣=165\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון: ∣u‾∣=8|\underline{u}| = 8 , ∣v‾∣=10|\underline{v}| = 10 , ∠DAB=60∘\angle DAB = 60^\circ. נתון: נפח המנסרה הוא 4803480\sqrt{3}. ה (2). חשבו את שטח המשולש PMCPMC. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 81.24

Corrigé :

∣CM→∣2=144+14⋅64=160⇒CM=410\begin{aligned}\left|\overrightarrow{CM}\right|^2 &= 144 + \tfrac{1}{4} \cdot 64 \\ &= 160 \Rightarrow CM \\ &= 4\sqrt{10}\end{aligned}

u‾⊥w‾\underline{u} \perp \underline{w}

S=PM⋅CM2=165⋅4102=1066≈81.24\begin{aligned}S &= \frac{PM \cdot CM}{2} \\ &= \frac{\sqrt{165} \cdot 4\sqrt{10}}{2} \\ &= 10\sqrt{66} \approx 81.24\end{aligned}

הזווית PMCPMC ישרה (סעיף ד)

שטח המשולש PMCPMC: 1066≈81.2410\sqrt{66} \approx 81.24.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — דעיכה: טמפרטורת ריבות

Exercice 11

א. האם האחוז שבו ירדה בכל דקה הטמפרטורה של ריבת התות היה גדול מן האחוז שבו ירדה בכל דקה הטמפרטורה של ריבת השזיפים? נמקו את תשובתכם.

  1. כן: ריבת התות התחילה חמה יותר והפכה לקרה יותר
  2. לא: ריבת התות חמה יותר, ולכן היא מתקררת לאט יותר
  3. אי אפשר לדעת בלי לדעת את הטמפרטורות ההתחלתיות
  4. לא: שתי הריבות יורדות באותו מספר מעלות בכל דקה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כן: ריבת התות התחילה חמה יותר והפכה לקרה יותר

Corrigé :

T1(t)=T1q1tT2(t)=T2q2tT1>T2\begin{aligned}T_1(t) &= T_1 q_1^t \\ \quad T_2(t) &= T_2 q_2^t \\ \quad T_1 > T_2\end{aligned}

11: תות, 22: שזיפים

q1≥q2⇒T1q1t>T2q2t לכל tq_1 \ge q_2 \Rightarrow T_1 q_1^t > T_2 q_2^t \ \text{לכל } t

אחוז ירידה קטן או שווה שומר על הסדר

⇒q1<q2\Rightarrow q_1 < q_2

בזמן מסוים ריבת השזיפים חמה יותר

כן: אחוז הירידה של ריבת התות גדול יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתון שהטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה 4242 מעלות, ובכל דקה היא ירדה ב־4%4\%. ב. מצאו כעבור כמה זמן מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת התות 1515 מעלות. (בדקות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25.22

Corrigé :

42⋅0.96t=1542 \cdot 0.96^t = 15
t=log⁡(15/42)log⁡0.96≈25.22t = \frac{\log(15 / 42)}{\log 0.96} \approx 25.22

כעבור כ־25.2225.22 דקות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

נתון שהטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה 4242 מעלות, ובכל דקה היא ירדה ב־4%4\%. לאחר 66 דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים 88%88\% מן הטמפרטורה ההתחלתית שלה. ג. מצאו בכמה אחוזים ירדה הטמפרטורה של ריבת השזיפים בכל דקה. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.11

Corrigé :

q6=0.88⇒q=0.886≈0.97892\begin{aligned}q^6 &= 0.88 \Rightarrow q \\ &= \sqrt[6]{0.88} \approx 0.97892\end{aligned}
(1−0.97892)⋅100≈2.11(1 - 0.97892) \cdot 100 \approx 2.11

הטמפרטורה של ריבת השזיפים ירדה בכ־2.11%2.11\% בכל דקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

נתון שהטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה 4242 מעלות, ובכל דקה היא ירדה ב־4%4\%. לאחר 66 דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים 88%88\% מן הטמפרטורה ההתחלתית שלה. לאחר 1010 דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים 3131 מעלות. ד. מצאו כעבור כמה זמן מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של שתי הריבות זהה. (בדקות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.64

Corrigé :

T2⋅0.9789210=31⇒T2≈38.36T_2 \cdot 0.97892^{10} = 31 \Rightarrow T_2 \approx 38.36

הטמפרטורה ההתחלתית של ריבת השזיפים

42⋅0.96t=38.36⋅0.97892t42 \cdot 0.96^t = 38.36 \cdot 0.97892^t
t=log⁡(42/38.36)log⁡(0.97892/0.96)≈4.64t = \frac{\log(42 / 38.36)}{\log(0.97892 / 0.96)} \approx 4.64

כעבור כ־4.644.64 דקות.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — פונקציה מעריכית זוגית

Exercice 15

א. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). נמקו את קביעתכם.

  1. גרף I: שני מעברים מחיובי לשלילי ואחד משלילי לחיובי
  2. גרף II: הוא עובר משלילי לחיובי פעמיים
  3. שני הגרפים מתאימים: לשניהם שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה־xx
  4. גרף II: הוא עובר דרך ראשית הצירים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף I: שני מעברים מחיובי לשלילי ואחד משלילי לחיובי

Corrigé :

f′:+→−f' : + \to -

מקסימום של ff

f′:−→+f' : - \to +

מינימום של ff

+→−→+→−+ \to - \to + \to -

שני מקסימומים ומינימום אחד: הסימנים של גרף I משמאל לימין

גרף I. בגרף II הסימנים הפוכים: הוא מתאר שני מינימומים ומקסימום אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

נתון: f(x)=6x2ex2+2f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}. ב. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx.

(( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 0 ,, 0 ))

Corrigé :

6x2=0⇒x=0\begin{aligned}6x^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד

נקודת החיתוך: (0,0)(0, 0).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

נתון: f(x)=6x2ex2+2f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}. ג. הוכיחו כי הפונקציה f(x)f(x) היא זוגית.

  • f(x)=6x2ex2+2f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}} מוגדרת לכל xx

f(x)f(x) זוגית

Voir la réponse et le corrigé
  1. (−x)2=x2(-x)^2 = x^2 — חזקה זוגית של מספר נגדי
  2. f(−x)=6(−x)2e(−x)2+2=6x2ex2+2f(-x) = \frac{6(-x)^2}{e^{(-x)^2 + 2}} = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}} — הצבה של −x-x
  3. f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) לכל xx — השוואה לנוסחת הפונקציה
  4. f(x)f(x) זוגית — הגדרת פונקציה זוגית, ותחום ההגדרה סימטרי

Corrigé :

f(−x)=6(−x)2e(−x)2+2=6x2ex2+2=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= \frac{6(-x)^2}{e^{(-x)^2 + 2}} \\ &= \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}} \\ &= f(x)\end{aligned}

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) לכל xx: הפונקציה זוגית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

נתון: f(x)=6x2ex2+2f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}. ד. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן. (מהקטנה ל־xx לגדולה; את yy בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

(( ____ ,, ____ )) , (( ____ ,, ____ )) , (( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( -1 ,, 0.299 )) , (( 0 ,, 0 )) , (( 1 ,, 0.299 ))

Corrigé :

f′(x)=12x−12x3ex2+2=12x(1−x)(1+x)ex2+2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{12x - 12x^3}{e^{x^2 + 2}} \\ &= \frac{12x(1 - x)(1 + x)}{e^{x^2 + 2}}\end{aligned}

(ex2+2)′=2x ex2+2\left(e^{x^2 + 2}\right)' = 2x\,e^{x^2 + 2}

f′=0⇒x=−101\begin{aligned}f' &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ 0 \\ 1\end{aligned}
(±1,6e−3)≈(±1,0.299): max⁡,(0,0): min⁡(\pm 1, 6e^{-3}) \approx (\pm 1, 0.299): \ \max, \qquad (0, 0): \ \min

הסימנים: +,−,+,−+, -, +, -

מקסימום ב־(±1,6e3)\left(\pm 1, \frac{6}{e^3}\right), מינימום ב־(0,0)(0, 0).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

נתון: f(x)=6x2ex2+2f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}. ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. גרף I
  2. גרף III
  3. גרף II
  4. גרף IV
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף III

Corrigé :

f≥0f(−x)=f(x)\begin{aligned}f \ge 0 \\ \quad f(-x) &= f(x)\end{aligned}

סעיפים ב–ג

max⁡(±1,0.299), min⁡(0,0)\max(\pm 1, 0.299), \ \min(0, 0)

סעיף ד

x→±∞:f→0x \to \pm\infty: f \to 0

האסימפטוטה y=0y = 0

גרף III: סימטרי, נוגע בראשית, שתי פסגות ב־x=±1x = \pm 1, ומתקרב לציר ה־xx בשני הצדדים. גרף I הפוך, בגרף II הפסגות רחוקות, וגרף IV אינו סימטרי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

נתון: f(x)=6x2ex2+2f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}. ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) ועל ידי ציר ה־xx. (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.597

Corrigé :

f′=0 ב־ x=−101\begin{aligned}f' &= 0 \ \text{ב־} \ x \\ &= -1 \\ 0 \\ 1\end{aligned}

השטחים הסגורים: בין −1-1 ל־00 ובין 00 ל־11

∫01f′(x) dx=f(1)−f(0)=6e3\begin{aligned}\int_0^1 f'(x)\,dx &= f(1) - f(0) \\ &= \frac{6}{e^3}\end{aligned}

f′>0f' > 0 בקטע

∫−10∣f′(x)∣ dx=f(−1)−f(0)=6e3\begin{aligned}\int_{-1}^0 |f'(x)|\,dx &= f(-1) - f(0) \\ &= \frac{6}{e^3}\end{aligned}

f′<0f' < 0 בקטע, והפונקציה זוגית

S=12e3≈0.597S = \frac{12}{e^3} \approx 0.597

השטח: 12e3≈0.597\frac{12}{e^3} \approx 0.597.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

Exercice 21

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

x>x > ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x>x > 0

Corrigé :

x>0x > 0

תחום ההגדרה של ln⁡x\ln x

תחום ההגדרה: x>0x > 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

א (2). מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx. (הנקודה היא (ek,0)(e^k, 0).)

k=k = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : k=k = 2

Corrigé :

ax≠0 (x>0, a≠0)ax \neq 0 \ (x > 0, \ a \neq 0)
2−ln⁡x=0⇒x=e2\begin{aligned}2 - \ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}

נקודת החיתוך: (e2,0)(e^2, 0).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

נתון כי בנקודה שבה x=e3x = e^3 , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x) הוא −8-8. ב. מצאו את הערך של aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f′(x)=a(2−ln⁡x)+ax⋅(−1x)=a(1−ln⁡x)\begin{aligned}f'(x) &= a(2 - \ln x) + ax \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) \\ &= a(1 - \ln x)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(e3)=a(1−3)=−2a=−8⇒a=4\begin{aligned}f'(e^3) &= a(1 - 3) \\ &= -2a \\ &= -8 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

a=4a = 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

נתון כי בנקודה שבה x=e3x = e^3 , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x) הוא −8-8. הציבו a=4a = 4 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ד. ג (1). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה. (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

(( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 2.718 ,, 10.873 ))

Corrigé :

f′(x)=4(1−ln⁡x)=0⇒x=e\begin{aligned}f'(x) &= 4(1 - \ln x) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}
x<e:f′>0,x>e:f′<0x < e: f' > 0, \quad x > e: f' < 0

מקסימום

f(e)=4e(2−1)=4e≈10.873\begin{aligned}f(e) &= 4e(2 - 1) \\ &= 4e \approx 10.873\end{aligned}

מקסימום ב־(e,4e)≈(2.718,10.873)(e, 4e) \approx (2.718, 10.873).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

נתון כי בנקודה שבה x=e3x = e^3 , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x) הוא −8-8. הציבו a=4a = 4 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ד. ג (2). קבעו איזה מן הגרפים II–IVIV שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה f(x)f(x). נמקו את קביעתכם.

  1. גרף I: יש לו מקסימום, והוא מתקרב לציר ה־xx מימין
  2. גרף II: מקסימום ב־(e,4e)(e, 4e), ויורד אל −∞-\infty
  3. גרף IV: יוצא מהראשית ויורד אל נקודת מינימום
  4. גרף III: יש לו מינימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף II: מקסימום ב־(e,4e)(e, 4e), ויורד אל −∞-\infty

Corrigé :

x→0+: 4x(2−ln⁡x)→0x \to 0^+: \ 4x(2 - \ln x) \to 0

xln⁡x→0x\ln x \to 0

max⁡(e,4e),(e2,0)\max(e, 4e), \quad (e^2, 0)

סעיפים א, ג (1)

x>e2:f<0, f→−∞x > e^2: f < 0, \ f \to -\infty

גרף I נפסל: אינו חוצה את ציר ה־xx

גרף II. גרף I אינו חוצה את הציר, וגרפים III ו־IV הם בעלי מינימום (שליליים ליד הראשית).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

נתון כי בנקודה שבה x=e3x = e^3 , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x) הוא −8-8. הציבו a=4a = 4 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ד. נתונה הפונקציה g(x)=−2f(x)+37g(x) = -2f(x) + 37. ד (1). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x), וקבעו את סוגה. (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

(( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 2.718 ,, 15.254 ))

Corrigé :

g′(x)=−2f′(x)=0  ⟺  x=e\begin{aligned}g'(x) &= -2f'(x) \\ &= 0 \iff x \\ &= e\end{aligned}
g(e)=−8e+37≈15.254g(e) = -8e + 37 \approx 15.254
x<e:g′<0,x>e:g′>0x < e: g' < 0, \quad x > e: g' > 0

הכפל ב־−2-2 הופך את המקסימום למינימום

מינימום ב־(e,37−8e)≈(2.718,15.254)(e, 37 - 8e) \approx (2.718, 15.254).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 27

נתון כי בנקודה שבה x=e3x = e^3 , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x) הוא −8-8. הציבו a=4a = 4 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ד. נתונה הפונקציה g(x)=−2f(x)+37g(x) = -2f(x) + 37. ד (2). האם גרף הפונקציה f(x)f(x) חותך את גרף הפונקציה g(x)g(x)? נמקו את תשובתכם.

  1. כן: ff מקבלת את כל הערכים, ולכן יש פתרון ל־f=gf = g
  2. כן: בנקודה x=ex = e, שבה לשתי הפונקציות יש קיצון
  3. לא: gg חיובית ו־ff שלילית בכל התחום
  4. לא: הערך הגדול ביותר של ff הוא 4e<3734e < \frac{37}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D לא: הערך הגדול ביותר של ff הוא 4e<3734e < \frac{37}{3}

Corrigé :

f(x)=−2f(x)+37  ⟺  f(x)=373≈12.33\begin{aligned}f(x) &= -2f(x) + 37 \iff f(x) \\ &= \frac{37}{3} \approx 12.33\end{aligned}
f(x)≤4e≈10.87<12.33f(x) \le 4e \approx 10.87 < 12.33

המקסימום של ff (סעיף ג (1))

לא. הגרפים אינם נחתכים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe