בגרות 35572 — חורף 2025 · Questionnaire 35572 — hiver 2025, Kita יב — leçon et exercices corrigés

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35572 (5 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), חורף תשפ״ה, 2025. משך הבחינה: שעתיים וארבעים וחמש דקות. ענו על שלוש מן השאלות 1–5, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – $33\frac{1}{3}$ נקודות). פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים: שאלות 1–3. פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־29 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercices

שאלה 1 — מקום גאומטרי, מעגל ופרבולה

Exercice 1

א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ המתקבלות באופן זה נמצא על מעגל, ומצאו את משוואתו. הביעו את תשובתכם באמצעות $a$ .

$(x -$ ____ $a)^2 + y^2 =$ ____ $a^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $(x -$ 16 $a)^2 + y^2 =$ 625 $a^2$

Corrigé :

\angle APB = 90^\circ

זווית היקפית שנשענת על קוטר היא ישרה: $P$ נמצאת על המעגל שקוטרו $AB$

M\left(\frac{-9a + 41a}{2}, 0\right) = (16a, 0)

מרכז המעגל: אמצע $AB$

\begin{aligned}R &= \frac{AB}{2} \\ &= \frac{41a - (-9a)}{2} \\ &= 25a\end{aligned}

רדיוס: חצי הקוטר

(x - 16a)^2 + y^2 = 625a^2

המקום הגאומטרי: המעגל $(x - 16a)^2 + y^2 = 625a^2$ , בלי הנקודות $A$ ו־ $B$ עצמן.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 1

Exercice 2

נתון כי השטח הגדול ביותר של המשולש $APB$ הוא $156.25$ . ב. מצאו את הערך של $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

S = \frac{AB \cdot h}{2}

הבסיס $AB$ קבוע; השטח גדול ביותר כשהגובה $h$ מ־ $P$ אל $AB$ גדול ביותר

\begin{aligned}h_{\max} &= R \\ &= 25a\end{aligned}

הנקודה $P$ בקצה הקוטר המאונך ל־ $AB$

\begin{aligned}S_{\max} &= \frac{50a \cdot 25a}{2} \\ &= 625a^2 \\ &= 156.25\end{aligned}

\begin{aligned}a^2 &= 0.25 \Rightarrow a \\ &= 0.5\end{aligned}

$a$ חיובי

$a = \frac{1}{2}$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 2

Exercice 3

הציבו $a = \frac{1}{2}$ וענו על סעיפים ג–ד. אמצע הקטע $AB$ הוא מוקד של פרבולה שמשוואתה קנונית. הפרבולה והמעגל שמצאתם נחתכים ברביע הראשון בנקודה $C$ . ג. מצאו את שיעורי הנקודה $C$ .

$C($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $C($ 4.5 $,$ 12 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}A(-4.5, 0) \\ \ B(20.5, 0): \quad (x - 8)^2 + y^2 &= 156.25\end{aligned}

מציבים $a = \frac{1}{2}$ במשוואת המעגל

\begin{aligned}\frac{p}{2} &= 8 \Rightarrow y^2 \\ &= 32x\end{aligned}

המוקד $(8, 0)$ של הפרבולה $y^2 = 2px$

\begin{aligned}(x - 8)^2 + 32x &= 156.25 \Rightarrow x^2 + 16x - 92.25 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $y^2 = 32x$ במשוואת המעגל

\begin{aligned}x &= \frac{-16 \pm 25}{2} \Rightarrow x \\ &= 4.5 \ (x = -20.5 < 0)\end{aligned}

על הפרבולה $x \geq 0$

\begin{aligned}y^2 &= 144 \Rightarrow y \\ &= 12\end{aligned}

ברביע הראשון $y > 0$

$C(4.5, 12)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 3

Exercice 4

הציבו $a = \frac{1}{2}$ וענו על סעיפים ג–ד. אמצע הקטע $AB$ הוא מוקד של פרבולה שמשוואתה קנונית. הפרבולה והמעגל שמצאתם נחתכים ברביע הראשון בנקודה $C$ . הישר $\ell$ משיק לפרבולה בנקודה $C$ . מעבירים משיק למעגל שמצאתם. נתון כי משיק זה מקביל לישר $\ell$ . ד. מצאו את המרחק בין הישר $\ell$ ובין המשיק למעגל (מצאו את שתי האפשרויות). (כתבו קודם את המרחק הקטן.)

$d_1 =$ ____ , $d_2 =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $d_1 =$ 2.5 , $d_2 =$ 22.5

Corrigé :

\begin{aligned}12y &= 16(x + 4.5) \Rightarrow \ell: \ 4x - 3y + 18 \\ &= 0\end{aligned}

משוואת משיק לפרבולה $y y_0 = p(x + x_0)$ בנקודה $C(4.5, 12)$ , $p = 16$

\begin{aligned}d(M, \ell) &= \frac{|4 \cdot 8 - 0 + 18|}{\sqrt{16 + 9}} \\ &= \frac{50}{5} \\ &= 10\end{aligned}

המרחק ממרכז המעגל $M(8, 0)$ אל $\ell$

R = 12.5

כל משיק למעגל נמצא במרחק $R$ מהמרכז

\begin{aligned}d_1 &= 12.5 - 10 \\ &= 2.5 \\ \quad d_2 &= 12.5 + 10 \\ &= 22.5\end{aligned}

משיק באותו צד של המרכז כמו $\ell$ , או בצד השני

המרחקים: $2.5$ ו־ $22.5$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 4

Votre enfant a-t-il compris ?

Sur elev, chaque exercice est corrigé dès qu'il répond, et un indice arrive au moment où il bloque.

Pratiquer sur elev

שאלה 2 — פירמידה משולשת ווקטורים

Exercice 5

א. הוכיחו כי $\overrightarrow{AE}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{BC}$ .

$\overrightarrow{EC} = \underline{v}$ , $\overrightarrow{AE} = \underline{u}$
$\left|\underline{u} + \underline{v}\right| = \left|\underline{u} - \underline{v}\right|$
$E$ אמצע המקצוע $BC$

$\overrightarrow{AE}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{BC}$

Voir la réponse et le corrigé

$\left|\underline{u} + \underline{v}\right|^2 = \left|\underline{u} - \underline{v}\right|^2$ — מעלים בריבוע את שני האגפים, ששניהם אי־שליליים
$\underline{u}^2 + 2\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v}^2 = \underline{u}^2 - 2\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v}^2$ — $\left|\underline{a}\right|^2 = \underline{a} \cdot \underline{a}$ , ופתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
$\underline{u} \cdot \underline{v} = 0$ — מצמצמים: $4\underline{u} \cdot \underline{v} = 0$
$\overrightarrow{BC} = 2\underline{v}$ — $E$ אמצע $BC$ , ולכן $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{EC}$
$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ — מציבים: $\underline{u} \cdot 2\underline{v} = 2 \cdot 0$
$\overrightarrow{AE}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{BC}$ — מכפלה סקלרית של שני וקטורים שאינם וקטור האפס שווה לאפס

Corrigé :

|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u} - \underline{v}|^2

\begin{aligned}\underline{u}^2 + 2\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v}^2 &= \underline{u}^2 - 2\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v}^2 \Rightarrow \underline{u} \cdot \underline{v} \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BC} &= \underline{u} \cdot 2\underline{v} \\ &= 0\end{aligned}

$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{EC}$

המכפלה הסקלרית היא $0$ , ולכן $\overrightarrow{AE}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{BC}$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 5

Exercice 6

נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא $16$ . $A(0, 0, 0)$ , $B(6, 8, 0)$ . הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , ושיעור ה־ $z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי. ב. מצאו את שיעורי הקודקודים $C$ ו־ $S$ .

$C($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $S($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $C($ 10 $,$ 0 $,$ 0 $)$ , $S($ 8 $,$ 4 $,$ 16 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}AE \perp BC \\ \ BE &= EC \Rightarrow AC \\ &= AB\end{aligned}

סעיף א: $AE$ תיכון וגם גובה במשולש $ABC$ , ולכן המשולש שווה שוקיים

\begin{aligned}AB &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10 \Rightarrow C(10, 0, 0)\end{aligned}

$C$ על החלק החיובי של ציר ה־ $x$

\begin{aligned}E &= \frac{B + C}{2} \\ &= (8, 4, 0)\end{aligned}

\begin{aligned}SE \perp ABC \\ \ ABC: \ z &= 0 \Rightarrow S \\ &= (8, 4, \pm 16)\end{aligned}

הבסיס במישור $xy$ , והגובה מאונך לו

S(8, 4, 16)

שיעור ה־ $z$ חיובי

$C(10, 0, 0)$ , $S(8, 4, 16)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 6

Exercice 7

נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא $16$ . $A(0, 0, 0)$ , $B(6, 8, 0)$ . הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , ושיעור ה־ $z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש־ $\overrightarrow{SF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$ . דרך הנקודה $F$ מעבירים ישר המקביל לישר $AC$ , וחותך את המישור $ABS$ בנקודה $M$ . ג (1). מצאו הצגה פרמטרית של הישר $FM$ . (כתבו את ההצגה דרך הנקודה $F$ , עם וקטור הכיוון $(1, 0, 0)$ .)

$\underline{x} = ($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $) + t(1, 0, 0)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\underline{x} = ($ 8.5 $,$ 3 $,$ 12 $) + t(1, 0, 0)$

Corrigé :

\begin{aligned}\overrightarrow{SC} &= (10, 0, 0) - (8, 4, 16) \\ &= (2, -4, -16)\end{aligned}

\begin{aligned}F &= S + \frac{1}{4}\overrightarrow{SC} \\ &= (8, 4, 16) + (0.5, -1, -4) \\ &= (8.5, 3, 12)\end{aligned}

\overrightarrow{AC} = (10, 0, 0) \parallel (1, 0, 0)

הישר מקביל ל־ $AC$

FM: \ \underline{x} = (8.5, 3, 12) + t(1, 0, 0)

$FM: \ \underline{x} = (8.5, 3, 12) + t(1, 0, 0)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 7

Exercice 8

נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא $16$ . $A(0, 0, 0)$ , $B(6, 8, 0)$ . הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , ושיעור ה־ $z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש־ $\overrightarrow{SF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$ . דרך הנקודה $F$ מעבירים ישר המקביל לישר $AC$ , וחותך את המישור $ABS$ בנקודה $M$ . ג (2). מצאו את שיעורי הנקודה $M$ .

$M($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $M($ 6 $,$ 3 $,$ 12 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AS} &= (6, 8, 0) \times (8, 4, 16) \\ &= (128, -96, -40)\end{aligned}

וקטור נורמל למישור $ABS$

ABS: \ 16x - 12y - 5z = 0

מחלקים ב־ $8$ ; המישור עובר דרך $A(0, 0, 0)$

\begin{aligned}16(8.5 + t) - 36 - 60 &= 0 \Rightarrow t \\ &= -2.5\end{aligned}

מציבים את נקודת הישר $FM$

\begin{aligned}M &= (8.5 - 2.5, 3, 12) \\ &= (6, 3, 12)\end{aligned}

$M(6, 3, 12)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 8

Exercice 9

נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא $16$ . $A(0, 0, 0)$ , $B(6, 8, 0)$ . הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , ושיעור ה־ $z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש־ $\overrightarrow{SF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$ . דרך הנקודה $F$ מעבירים ישר המקביל לישר $AC$ , וחותך את המישור $ABS$ בנקודה $M$ . ד. מצאו פי כמה גדול נפח הפירמידה $MABC$ מנפח הפירמידה $FAEC$ . נמקו את תשובתכם.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}z_M &= z_F \\ &= 12\end{aligned}

הישר $FM$ מקביל ל־ $AC$ , שנמצא במישור הבסיס $z = 0$

\begin{aligned}h_M &= h_F \\ &= 12\end{aligned}

הגובה של שתי הפירמידות אל מישור $ABC$ הוא שיעור ה־ $z$

S_{AEC} = \frac{1}{2}S_{ABC}

$AE$ תיכון במשולש $ABC$

\begin{aligned}\frac{V_{MABC}}{V_{FAEC}} &= \frac{\frac{1}{3}S_{ABC} \cdot 12}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}S_{ABC} \cdot 12} \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}V_{MABC} &= 160 \\ \quad V_{FAEC} &= 80\end{aligned}

בדיקה: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40$

פי $2$ : גבהים שווים, ובסיס $AEC$ הוא חצי מבסיס $ABC$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 9

שאלה 3 — מספרים מרוכבים ומצולע

Exercice 10

א. הביעו באמצעות $r$ ו־ $\theta$ הצגה קוטבית של המספר $\frac{1}{w}$ .

A $\frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$
B $\frac{1}{r}(\cos\theta + i\sin\theta)$
C $\frac{1}{r}(\cos(180^\circ - \theta) + i\sin(180^\circ - \theta))$
D $r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

Corrigé :

1 = 1 \cdot (\cos 0^\circ + i\sin 0^\circ)

\frac{1}{w} = \frac{1}{r}(\cos(0^\circ - \theta) + i\sin(0^\circ - \theta))

בחילוק מחלקים את הערכים המוחלטים ומחסרים את הזוויות

= \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))

או, באותו ערך: $\frac{1}{r}(\cos(360^\circ - \theta) + i\sin(360^\circ - \theta))$

$\frac{1}{w} = \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 10

Exercice 11

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 157.5

Corrigé :

\begin{aligned}OA &= r \\ \quad OB &= \frac{1}{r}\end{aligned}

סעיף א

\angle AOB = 360^\circ - 2\theta

הזוויות של $A$ ו־ $B$ הן $\theta$ ו־ $-\theta$ ; $180^\circ < 2\theta < 360^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot r \cdot \frac{1}{r} \cdot \sin\angle AOB \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \sin\angle AOB \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

\angle AOB = 45^\circ

הזווית חדה

\begin{aligned}360^\circ - 2\theta &= 45^\circ \Rightarrow \theta \\ &= 157.5^\circ\end{aligned}

$\theta = 157.5^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 11

Exercice 12

הנקודה $A$ במישור גאוס מייצגת את המספר $w$ , והנקודה $B$ מייצגת את המספר $\frac{1}{w}$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון כי שטח המשולש $AOB$ הוא $\frac{\sqrt{2}}{4}$ והזווית $AOB$ היא זווית חדה. נתונות שתי משוואות: I. $z^8 = w^8$ ; II. $z^8 = (w \cdot \bar{w})^4$ . $z$ הוא מספר מרוכב. נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה I וכל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה II. ג (1). מצאו כמה קודקודים יש למצולע.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

\begin{aligned}z &= r\,\text{cis}(157.5^\circ + 45^\circ k) \\ \quad k &= 0 \\ \dots \\ 7\end{aligned}

משוואה I: $z^8 = r^8\,\text{cis}(8\theta)$

\begin{aligned}w \cdot \bar{w} &= r^2 \Rightarrow z^8 \\ &= r^8 \Rightarrow z \\ &= r\,\text{cis}(45^\circ k) \\ \quad k &= 0 \\ \dots \\ 7\end{aligned}

משוואה II

157.5^\circ + 45^\circ k = 22.5^\circ + 45^\circ(k + 3)

הזוויות של משוואה I הן $22.5^\circ, 67.5^\circ, \dots$ : אין פתרון משותף

8 + 8 = 16

כל הזוויות $22.5^\circ \cdot m$ , $m = 0, \dots, 15$

למצולע $16$ קודקודים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 12

Exercice 13

הנקודה $A$ במישור גאוס מייצגת את המספר $w$ , והנקודה $B$ מייצגת את המספר $\frac{1}{w}$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון כי שטח המשולש $AOB$ הוא $\frac{\sqrt{2}}{4}$ והזווית $AOB$ היא זווית חדה. נתונות שתי משוואות: I. $z^8 = w^8$ ; II. $z^8 = (w \cdot \bar{w})^4$ . $z$ הוא מספר מרוכב. נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה I וכל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה II. ג (2). האם כל קודקודי המצולע נמצאים על מעגל אחד שמרכזו בראשית הצירים? נמקו את תשובתכם.

Aכן: כל מצולע קמור חסום במעגל שמרכזו בראשית הצירים
Bלא: הפתרונות של משוואה II נמצאים על מעגל שהרדיוס שלו $r^2$
Cכן: לכל הפתרונות של שתי המשוואות אותו ערך מוחלט, $r$
Dלא: לשתי המשוואות יש פתרונות משותפים, ולכן אין מעגל אחד

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כן: לכל הפתרונות של שתי המשוואות אותו ערך מוחלט, $r$

Corrigé :

\begin{aligned}|z|^8 &= |w|^8 \\ &= r^8 \Rightarrow |z| \\ &= r\end{aligned}

משוואה I

\begin{aligned}|z|^8 &= (r^2)^4 \\ &= r^8 \Rightarrow |z| \\ &= r\end{aligned}

משוואה II

|z| = r

כל הקודקודים במרחק $r$ מהראשית

כן. כל הקודקודים נמצאים על המעגל שמרכזו בראשית והרדיוס שלו $r$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 13

Exercice 14

הנקודה $A$ במישור גאוס מייצגת את המספר $w$ , והנקודה $B$ מייצגת את המספר $\frac{1}{w}$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון כי שטח המשולש $AOB$ הוא $\frac{\sqrt{2}}{4}$ והזווית $AOB$ היא זווית חדה. נתונות שתי משוואות: I. $z^8 = w^8$ ; II. $z^8 = (w \cdot \bar{w})^4$ . $z$ הוא מספר מרוכב. נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה I וכל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה II. נתון כי שטח המצולע הוא $62$ . ד. מצאו את הערך של $r$ . (בבחינה אפשר להשאיר שורש בתשובה; כאן יש לכתוב מספר עשרוני בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.5002

Corrigé :

22.5^\circ

הזווית המרכזית בין שני קודקודים סמוכים: $\frac{360^\circ}{16}$

\begin{aligned}S &= 16 \cdot \frac{1}{2} r^2 \sin 22.5^\circ \\ &= 8r^2 \sin 22.5^\circ\end{aligned}

המצולע מחולק ל־ $16$ משולשים שווי שוקיים שקודקודם בראשית

\begin{aligned}8r^2 \sin 22.5^\circ &= 62 \Rightarrow r^2 \\ &= \frac{62}{8\sin 22.5^\circ} \approx 20.25\end{aligned}

r \approx 4.5

$r \approx 4.5$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 14

שאלה 4 — פונקציה מעריכית

Exercice 15

א (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ .

A $x = 0$ , $y = 1$
B $x = 0$ , $y = -1$
C $x = 1$ , $y = -1$
D $x = 0$ , $y = -1$ , $y = 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $x = 0$ , $y = -1$

Corrigé :

f(x) = e^x + \frac{1}{e^x - 1}

x \to 0: \ e^x - 1 \to 0 \Rightarrow f \to \pm\infty

אסימפטוטה אנכית $x = 0$

x \to -\infty: \ e^x \to 0 \Rightarrow f \to 0 + \frac{1}{-1} = -1

אסימפטוטה אופקית $y = -1$

x \to \infty: \ f \to \infty

אין אסימפטוטה אופקית מימין

אסימפטוטות: $x = 0$ , $y = -1$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 15

Exercice 16

א (2). האם לגרף הפונקציה $f(x)$ יש נקודות חיתוך עם הצירים? נמקו את תשובתכם.

Aכן: חיתוך עם ציר ה־ $y$ בנקודה $(0, -1)$
Bכן: חיתוך אחד עם ציר ה־ $x$ , בנקודה שבה $x = \ln 2$
Cלא: $f(x) > 0$ לכל $x$ בתחום ההגדרה, ו־ $x = 0$ אינו בתחום
Dלא: $x = 0$ אינו בתחום, ול־ $f(x) = 0$ אין פתרון

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D לא: $x = 0$ אינו בתחום, ול־ $f(x) = 0$ אין פתרון

Corrigé :

x \neq 0

אין חיתוך עם ציר ה־ $y$

\begin{aligned}t &= e^x > 0: \ t + \frac{1}{t - 1} \\ &= 0 \Rightarrow t^2 - t + 1 \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}\Delta &= 1 - 4 \\ &= -3 < 0\end{aligned}

אין פתרון: אין חיתוך עם ציר ה־ $x$

לא. אין נקודות חיתוך עם הצירים.

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 16

Exercice 17

א (3). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (הנקודה היא $(\ln k, y_0)$ .)

$k =$ ____ , $y_0 =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $k =$ 2 , $y_0 =$ 3

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= e^x - \frac{e^x}{(e^x - 1)^2} \\ &= e^x \cdot \frac{(e^x - 1)^2 - 1}{(e^x - 1)^2}\end{aligned}

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow (e^x - 1)^2 \\ &= 1 \Rightarrow e^x \\ &= 2\end{aligned}

$e^x - 1 = -1$ נותן $e^x = 0$ , שאין לו פתרון

\begin{aligned}x &= \ln 2 \\ \quad f(\ln 2) &= 2 + \frac{1}{1} \\ &= 3\end{aligned}

0 < x < \ln 2: f' < 0, \quad x > \ln 2: f' > 0

מינימום

מינימום בנקודה $(\ln 2, 3)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 17

Exercice 18

הגרפים I–IV

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף I
Bגרף III
Cגרף IV
Dגרף II

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף II

Corrigé :

x < 0: \ -1 \searrow -\infty

$f' < 0$ ; משמאל מתקרב ל־ $y = -1$

x > 0: \ +\infty \searrow \min(\ln 2, 3) \nearrow +\infty

סעיף א (3)

f(x) \neq 0

סעיף א (2): הגרף אינו חותך את הצירים

גרף II. גרף I הוא $-f$ , גרף III הוא השיקוף $f(-x)$ , ובגרף IV האסימפטוטה האופקית היא $y = 0$ ולא $y = -1$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 18

Exercice 19

נתונה הפונקציה $g(x) = -x + \ln(e^x - 1)$ . ג (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ .

$x >$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x >$ 0

Corrigé :

e^x - 1 > 0 \Rightarrow e^x > 1 \Rightarrow x > 0

הביטוי בתוך $\ln$ חיובי

תחום ההגדרה: $x > 0$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 19

Exercice 20

נתונה הפונקציה $g(x) = -x + \ln(e^x - 1)$ . ג (2). הראו כי $g'(x) = f(x) - e^x$ לכל $x$ בתחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ .

$f(x) = e^x - \frac{1}{1 - e^x}$
$g(x) = -x + \ln(e^x - 1)$ , $x > 0$

$g'(x) = f(x) - e^x$

Voir la réponse et le corrigé

$g'(x) = -1 + \frac{e^x}{e^x - 1}$ — נגזרת של $\ln(h(x))$ היא $\frac{h'(x)}{h(x)}$
$g'(x) = \frac{1}{e^x - 1}$ — מכנה משותף: $\frac{-(e^x - 1) + e^x}{e^x - 1}$
$f(x) - e^x = \frac{1}{e^x - 1}$ — מחסרים $e^x$ : $-\frac{1}{1 - e^x} = \frac{1}{e^x - 1}$
$g'(x) = f(x) - e^x$ — שני האגפים שווים לאותו ביטוי

Corrigé :

\begin{aligned}g'(x) &= -1 + \frac{e^x}{e^x - 1} \\ &= \frac{-e^x + 1 + e^x}{e^x - 1} \\ &= \frac{1}{e^x - 1}\end{aligned}

\begin{aligned}f(x) - e^x &= -\frac{1}{1 - e^x} \\ &= \frac{1}{e^x - 1}\end{aligned}

שני הביטויים שווים, ולכן $g'(x) = f(x) - e^x$ לכל $x > 0$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 20

Exercice 21

נתונה הפונקציה $g(x) = -x + \ln(e^x - 1)$ . בנקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מעבירים אנך לציר ה־ $x$ . ד. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ , על ידי האנך ועל ידי הישר $x = \ln(b)$ . $b > 2$ הוא פרמטר. הביעו את תשובתכם באמצעות $b$ .

$S = b + ($ ____ $) + \ln(b - 1) - \ln b + \ln$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $S = b + ($ -2 $) + \ln(b - 1) - \ln b + \ln$ 2

Corrigé :

\begin{aligned}f(x) &= e^x + g'(x) \Rightarrow \int f(x)\,dx \\ &= e^x + g(x) \\ &= e^x - x + \ln(e^x - 1)\end{aligned}

סעיף ג (2)

f > 0 \ (x > 0)

המינימום של $f$ בתחום הוא $3$ : הגרף מעל ציר ה־ $x$

S = \left[e^x - x + \ln(e^x - 1)\right]_{\ln 2}^{\ln b}

האנך הוא $x = \ln 2$ , ו־ $\ln b > \ln 2$

= (b - \ln b + \ln(b - 1)) - (2 - \ln 2 + \ln 1)

= b - 2 + \ln(b - 1) - \ln b + \ln 2

$S = b - 2 + \ln\frac{2(b - 1)}{b}$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 21

Exercice 22

נתונה הפונקציה $g(x) = -x + \ln(e^x - 1)$ . בנקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מעבירים אנך לציר ה־ $x$ . נתון כי השטח שמצאתם בסעיף ד שווה ל־ $b - 2 + \ln(1.5)$ . ה. מצאו את הערך של $b$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\ln\frac{2(b - 1)}{b} = \ln 1.5

סעיף ד

\begin{aligned}2(b - 1) &= 1.5b \Rightarrow 0.5b \\ &= 2\end{aligned}

b = 4

$b > 2$

$b = 4$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 22

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

Exercice 23

בתת־סעיפים (1)–(3) הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. א (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ .

A $y = 0$ בלבד
B $x = 0$ , $y = 0$
C $x = 0$ , $y = a$
D $x = 0$ , $x = e^{-a}$ , $y = 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $x = 0$ , $y = 0$

Corrigé :

x \to 0^+: \ a + \ln x \to -\infty, \ \frac{1}{x} \to \infty \Rightarrow f \to -\infty

אסימפטוטה אנכית $x = 0$

x \to \infty: \ \frac{\ln x}{x} \to 0, \ \frac{a}{x} \to 0 \Rightarrow f \to 0

אסימפטוטה אופקית $y = 0$

אסימפטוטות: $x = 0$ , $y = 0$ , לכל ערך של $a$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 23

Exercice 24

בתת־סעיפים (1)–(3) הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. א (2). מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . (הנקודה היא $(e^{ka}, 0)$ .)

$k =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $k =$ -1

Corrigé :

\begin{aligned}f(x) &= 0 \Rightarrow a + \ln x \\ &= 0\end{aligned}

המונה מתאפס

\begin{aligned}\ln x &= -a \Rightarrow x \\ &= e^{-a}\end{aligned}

נקודת החיתוך: $(e^{-a}, 0)$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 24

Exercice 25

בתת־סעיפים (1)–(3) הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. א (3). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (הנקודה היא $(e^{m + na}, e^{p + qa})$ .)

$m =$ ____ , $n =$ ____ , $p =$ ____ , $q =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $m =$ 1 , $n =$ -1 , $p =$ -1 , $q =$ 1

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (a + \ln x)}{x^2} \\ &= \frac{1 - a - \ln x}{x^2}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 1 - a \Rightarrow x \\ &= e^{1 - a}\end{aligned}

\begin{aligned}f(e^{1 - a}) &= \frac{a + 1 - a}{e^{1 - a}} \\ &= e^{a - 1}\end{aligned}

x < e^{1 - a}: f' > 0, \quad x > e^{1 - a}: f' < 0

מקסימום

מקסימום בנקודה $(e^{1 - a}, e^{a - 1})$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 25

Exercice 26

הגרפים I–IV

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף I
Bגרף III
Cגרף II
Dגרף IV

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף IV

Corrigé :

x \to 0^+: \ f \to -\infty; \quad x \to \infty: \ f \to 0

סעיף א (1)

0 < x < e^{1 - a}: \ f \nearrow, \quad x > e^{1 - a}: \ f \searrow

סעיף א (3): מקסימום אחד

f(e^{-a}) = 0

סעיף א (2): חיתוך אחד עם ציר ה־ $x$ , לפני המקסימום

גרף IV: עולה מ־ $-\infty$ , חותך את ציר ה־ $x$ , מגיע למקסימום ויורד אל $y = 0$ . גרף I הוא $-f$ (מינימום), בגרף II האסימפטוטה האופקית אינה ציר ה־ $x$ , וגרף III מוגדר רק בעבור $x < 0$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 26

Exercice 27

נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{x}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 0$ . נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ וגרף הפונקציה $g(x)$ נחתכים בנקודה שבה $x = e^2$ . ג. מצאו את הערך של $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

\begin{aligned}f(e^2) &= g(e^2) \Rightarrow \frac{a + 2}{e^2} \\ &= \frac{1}{e^2}\end{aligned}

\begin{aligned}a + 2 &= 1 \Rightarrow a \\ &= -1\end{aligned}

$a = -1$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 27

Exercice 28

נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{x}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 0$ . נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ וגרף הפונקציה $g(x)$ נחתכים בנקודה שבה $x = e^2$ . הציבו את הערך של $a$ שמצאתם וענו על סעיפים ד–ה. נתונה הפונקציה $h(x)$ , המוגדרת בתחום $x > 0$ . גרף הפונקציה $h(x)$ עובר בנקודה $(e^5, 2.5)$ . נגזרת הפונקציה $h(x)$ מקיימת $h'(x) = f(x) - g(x)$ . ד. מצאו את הפונקציה $h(x)$ .

$h(x) =$ ____ $\ln^2 x + ($ ____ $) \ln x +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $h(x) =$ 0.5 $\ln^2 x + ($ -2 $) \ln x +$ 0

Corrigé :

\begin{aligned}h'(x) &= \frac{\ln x - 1}{x} - \frac{1}{x} \\ &= \frac{\ln x - 2}{x}\end{aligned}

מציבים $a = -1$

h(x) = \frac{1}{2}\ln^2 x - 2\ln x + c

$\left(\ln^2 x\right)' = \frac{2\ln x}{x}$

\begin{aligned}h(e^5) &= \frac{25}{2} - 10 + c \\ &= 2.5 \Rightarrow c \\ &= 0\end{aligned}

הגרף עובר בנקודה $(e^5, 2.5)$

$h(x) = \frac{1}{2}\ln^2 x - 2\ln x$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 28

Exercice 29

הגרפים I–IV

Aגרף III
Bגרף II
Cגרף I
Dגרף IV

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C גרף I

Corrigé :

\begin{aligned}h(x) &= \frac{1}{2}\ln x(\ln x - 4) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= e^4\end{aligned}

$|h|$ נוגע בציר ה־ $x$ בשתי הנקודות

\begin{aligned}1 < x < e^4: \ h < 0 \\ \quad h(e^2) &= -2\end{aligned}

$|h(e^2)| = 2$

x \to 0^+: \ |h| \to \infty; \quad x \to \infty: \ |h| \to \infty

$\ln^2 x$ גדל מהר יותר מ־ $\ln x$

גרף I. גרף II נוגע בציר ה־ $x$ רק פעם אחת ושואף ל־ $0$ כאשר $x \to \infty$ , גרף III נוגע בציר ה־ $x$ רק ב־ $x = 1$ , וגרף IV שואף ל־ $0$ כאשר $x \to \infty$ .

Vérifier la réponse sur elev — Exercice 29

Exercices

שאלה 1 — מקום גאומטרי, מעגל ופרבולה

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

שאלה 2 — פירמידה משולשת ווקטורים

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

שאלה 3 — מספרים מרוכבים ומצולע

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

שאלה 4 — פונקציה מעריכית

Exercice 15

Exercice 16

Exercice 17

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20

Exercice 21

Exercice 22

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

Exercice 23

Exercice 24

Exercice 25

Exercice 26

Exercice 27

Exercice 28

Exercice 29

La suite se pratique sur elev