בגרות 35572 — חורף 2026

Exercice 1

א. מצאו את משוואת האליפסה.

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ : $a^2 =$ ____ , $b^2 =$ ____

Exercice 2

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־$x$. דרך הנקודה $A$ העבירו ישר העובר דרך ראשית הצירים, הנקודה $O$. הנקודה $C$ היא נקודה כלשהי על הישר $AO$. הנקודה $P$ היא אמצע הקטע $BC$. ב. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$.

$y =$ ____ $x +$ ( ____ )

Exercice 3

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־$x$. דרך הנקודה $A$ העבירו ישר העובר דרך ראשית הצירים, הנקודה $O$. הנקודה $C$ היא נקודה כלשהי על הישר $AO$. הנקודה $P$ היא אמצע הקטע $BC$. ג. מצאו את משוואת המעגל המשיק למקום הגאומטרי שמצאתם, ומשיק לישר $AO$ בנקודה $O$.

$(x -$ ____ $)^2 + (y -$ ( ____ ) $)^2 =$ ____

Exercice 4

א. מצאו את אורך המקצוע $BB'$.

Exercice 5

נתון כי הצגה פרמטרית של הישר $AB$ היא $\underline{x} = (0, 7, 6) + t(0, 2, 1)$. אורך המקצוע $AB$ הוא $5\sqrt{5}$, ושיעור ה־$y$ של הקודקוד $A$ הוא שלילי. ב. מצאו את שיעורי הקודקוד $A$.

$A($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

Exercice 6

נתון כי הצגה פרמטרית של הישר $AB$ היא $\underline{x} = (0, 7, 6) + t(0, 2, 1)$. אורך המקצוע $AB$ הוא $5\sqrt{5}$, ושיעור ה־$y$ של הקודקוד $A$ הוא שלילי. ג. מצאו את משוואת המישור $ABB'A'$.

____ $x - y +$ ____ $z =$ ____

Exercice 7

נתון כי הצגה פרמטרית של הישר $AB$ היא $\underline{x} = (0, 7, 6) + t(0, 2, 1)$. אורך המקצוע $AB$ הוא $5\sqrt{5}$, ושיעור ה־$y$ של הקודקוד $A$ הוא שלילי. נתונה נקודה $M(k, 1, 3)$ , $k$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי גודל הזווית שבין הישר $AM$ ובין הישר $AB$ הוא $60^\circ$. ד. מצאו את הערך של $k$ (בבחינה אפשר להשאיר שורש בתשובה; כאן יש לכתוב מספר עשרוני).

Exercice 8

נתון כי הצגה פרמטרית של הישר $AB$ היא $\underline{x} = (0, 7, 6) + t(0, 2, 1)$. אורך המקצוע $AB$ הוא $5\sqrt{5}$, ושיעור ה־$y$ של הקודקוד $A$ הוא שלילי. נתונה נקודה $M(k, 1, 3)$ , $k$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי גודל הזווית שבין הישר $AM$ ובין הישר $AB$ הוא $60^\circ$. נתון כי הנקודה $M$ נמצאת על המישור $DCC'D'$. ה. מצאו את נפח התיבה. (יש לכתוב בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Exercice 9

א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z = x + iy$ במישור גאוס המקיימות $|z - 2i| = \frac{z - \bar{z}}{2i} + 2$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

$x^2 =$ ____ $y$

Exercice 10

נתון מספר מרוכב $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ , $0^\circ < \theta < 90^\circ$ , $r > 0$. נתון מצולע קמור $I$, שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $z^4 = \frac{1}{r^4} \cdot (\cos(4\theta) + i\sin(4\theta))$ , $z$ הוא משתנה מרוכב. ב. הביעו באמצעות $r$ ו־$\theta$ הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע $I$.

1. A$\frac{1}{r^4}\,\text{cis}(\theta + 90^\circ k)$ , $k = 0, 1, 2, 3$
2. B$\frac{1}{r}\,\text{cis}(4\theta + 90^\circ k)$ , $k = 0, 1, 2, 3$
3. C$r\,\text{cis}(\theta + 90^\circ k)$ , $k = 0, 1, 2, 3$
4. D$\frac{1}{r}\,\text{cis}(\theta + 90^\circ k)$ , $k = 0, 1, 2, 3$

Exercice 11

נתון מספר מרוכב $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ , $0^\circ < \theta < 90^\circ$ , $r > 0$. נתון מצולע קמור $I$, שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $z^4 = \frac{1}{r^4} \cdot (\cos(4\theta) + i\sin(4\theta))$ , $z$ הוא משתנה מרוכב. נתון מצולע $II$, שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $w$ , $-w$ , $\frac{1}{w}$ , $-\frac{1}{w}$. ג. הביעו באמצעות $r$ ו־$\theta$ הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע $II$.

1. A$r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}\,\theta$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$
2. B$r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$ , $r\,\text{cis}(-\theta)$ , $r\,\text{cis}(180^\circ - \theta)$
3. C$r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(180^\circ - \theta)$
4. D$r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(-\theta)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}\,\theta$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)$

Exercice 12

נתון מספר מרוכב $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ , $0^\circ < \theta < 90^\circ$ , $r > 0$. נתון מצולע קמור $I$, שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $z^4 = \frac{1}{r^4} \cdot (\cos(4\theta) + i\sin(4\theta))$ , $z$ הוא משתנה מרוכב. נתון מצולע $II$, שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $w$ , $-w$ , $\frac{1}{w}$ , $-\frac{1}{w}$. נתון כי מצולע $II$ הוא מעוין. ד. מצאו את הערך של $\theta$ (במעלות).

Exercice 13

נתון מספר מרוכב $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ , $0^\circ < \theta < 90^\circ$ , $r > 0$. נתון מצולע קמור $I$, שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $z^4 = \frac{1}{r^4} \cdot (\cos(4\theta) + i\sin(4\theta))$ , $z$ הוא משתנה מרוכב. נתון מצולע $II$, שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $w$ , $-w$ , $\frac{1}{w}$ , $-\frac{1}{w}$. נתון כי מצולע $II$ הוא מעוין. נתון כי הנקודה המייצגת את $w$ נמצאת על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א. ה. מצאו את היחס בין שטח מצולע $II$ ובין שטח מצולע $I$.

Exercice 14

א. כתבו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $g(x)$ (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם.

1. A$g(x) > 0$ בכל תחום ההגדרה: $e^{f(x)} > 0$
2. B$g(x) < 0$ בכל תחום ההגדרה: $f'(x) < 0$
3. C$g(x) > 0$ ב־$x < 0$ ו־$g(x) < 0$ ב־$x > 0$
4. Dאי אפשר לדעת בלי לדעת את $f(x)$

Exercice 15

נתון כי $f(x) = \frac{1}{x}$. ב (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $g(x)$.

1. A$x = 0$ בלבד
2. B$x = 0$ , $y = 0$
3. C$x = 0$ , $y = -1$
4. D$y = 0$ בלבד

Exercice 16

נתון כי $f(x) = \frac{1}{x}$. ב (2). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $g(x)$, וקבעו את סוגה. (יש לכתוב את $y$ בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$

Exercice 17

נתון כי $f(x) = \frac{1}{x}$. ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$. בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

1. Aגרף IV
2. Bגרף III
3. Cגרף II
4. Dגרף I

Exercice 18

נתון כי $f(x) = \frac{1}{x}$. $a$ הוא פרמטר גדול מ־$1$. נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$, על ידי ציר ה־$x$ ועל ידי הישרים $x = \frac{1}{\ln a}$ ו־$x = \frac{1}{\ln(4a)}$ הוא $5$. ד. מצאו את הערך של $a$.

Exercice 19

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

$x > 0$ , $x \neq$ ____

Exercice 20

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$. ב. מצאו את הערך של $a$.

Exercice 21

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$. הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$, וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$. תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־$x$. ג. מצאו פונקציה $g(x)$ המקיימת תנאים אלה.

1. A$g(x) = \ln x - \frac{1}{\ln x} + 1$
2. B$g(x) = \ln x - \frac{1}{\ln x}$
3. C$g(x) = \ln x + \frac{1}{\ln x}$
4. D$g(x) = \ln x - \frac{1}{(\ln x)^3}$

Exercice 22

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$. הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$, וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$. תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־$x$. בעבור הפונקציה $g(x)$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ו. ד (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $g(x)$ (אם יש כאלה).