בגרות 35572 — קיץ 2026, מועד ב׳

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35572 (5 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), קיץ תשפ״ו, 2026, מועד ב׳. משך הבחינה: שעתיים וחמישים וחמש דקות. ענו על שלוש מן השאלות 1–5 (לכל שאלה – $33\frac{1}{3}$ נקודות). פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים: שאלות 1–3. פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־28 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercices

שאלה 1 — פרבולה, משיק ומעגל

Exercice 1

א. הביעו באמצעות $p$ את שיעורי הנקודה $p$ .

$A$ ____ $p ,$ ____ $p)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $A($ 2 $p ,$ 2 $p)$

Corrigé :

x^2 = 2px

מציבים $y = x$ במשוואת הפרבולה

\begin{aligned}x(x - 2p) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 2p\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

A(2p, 2p)

ברביע הראשון $x > 0$ , ו־ $y = x$

$A(2p, 2p)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נסמן ב־ $\ell$ את המשיק לפרבולה בנקודה $\ell$ . הנקודה $A$ היא מוקד הפרבולה. מעגל $I$ שמרכזו בנקודה $F$ משיק לישר $\ell$ בנקודה $\ell$ . ב. הביעו באמצעות $p$ את משוואת מעגל $p$ .

$I$ ____ $p)^2 + y^2 =$ ____ $p^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $(x -$ 0.5 $p)^2 + y^2 =$ 1.25 $p^2$

Corrigé :

\begin{aligned}y \cdot 2p &= p(x + 2p) \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}x + p\end{aligned}

משוואת משיק לפרבולה $y y_0 = p(x + x_0)$ בנקודה $A(2p, 2p)$

\ell: \ x - 2y + 2p = 0

כותבים את המשיק בצורה כללית

F\left(\frac{p}{2}, 0\right)

מוקד הפרבולה $y^2 = 2px$

\begin{aligned}R &= \frac{\left|\frac{p}{2} - 0 + 2p\right|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} \\ &= \frac{\frac{5p}{2}}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{\sqrt{5}}{2}p\end{aligned}

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז $F$ אל המשיק $\ell$

\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{5}{4}p^2

$R^2 = \frac{5}{4}p^2$

מעגל $I$ : $\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{5}{4}p^2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נסמן ב־ $\ell$ את המשיק לפרבולה בנקודה $\ell$ . הנקודה $A$ היא מוקד הפרבולה. מעגל $I$ שמרכזו בנקודה $F$ משיק לישר $\ell$ בנקודה $\ell$ . ג. הראו כי הנקודה $B$ נמצאת על ציר ה־ $B$ .

$\ell$ משיק לפרבולה $y^2 = 2px$ בנקודה $A(2p, 2p)$
$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ מרכז מעגל $I$
מעגל $I$ משיק ל־ $\ell$ בנקודה $B$

הנקודה $B$ נמצאת על ציר ה־ $y$

Voir la réponse et le corrigé

$\ell: \ y = \frac{1}{2}x + p$ — משוואת משיק לפרבולה בנקודה $(x_0, y_0)$ : $y y_0 = p(x + x_0)$
$FB \perp \ell$ — רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה
שיפוע $FB$ הוא $-2$ — מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$
$FB: \ y = -2x + p$ — ישר ששיפועו $-2$ ועובר דרך $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$
$B(0, p)$ — נקודת החיתוך של $\ell$ ו־ $\ell$ : $\frac{1}{2}x + p = -2x + p$
הנקודה $B$ נמצאת על ציר ה־ $y$ — שיעור ה־ $x$ של $B$ הוא $0$

Corrigé :

\ell: \ y = \frac{1}{2}x + p

סעיף ב

FB \perp \ell \Rightarrow m_{FB} = -2

רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה

\begin{aligned}FB: \ y &= -2\left(x - \frac{p}{2}\right) \\ &= -2x + p\end{aligned}

ישר דרך $F$

\begin{aligned}\frac{1}{2}x + p &= -2x + p \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

נקודת החיתוך $B$

B(0, p)

$B(0, p)$ : שיעור ה־ $x$ שלה הוא $x$ , ולכן היא על ציר ה־ $y$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נסמן ב־ $\ell$ את המשיק לפרבולה בנקודה $\ell$ . הנקודה $A$ היא מוקד הפרבולה. מעגל $I$ שמרכזו בנקודה $F$ משיק לישר $\ell$ בנקודה $\ell$ . נתון: $AB = 4\sqrt{5}$ . ד. מצאו את הערך של $p$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= \sqrt{(2p - 0)^2 + (2p - p)^2} \\ &= \sqrt{5p^2} \\ &= \sqrt{5}\,p\end{aligned}

מרחק בין $A(2p, 2p)$ ל־ $B(0, p)$

\sqrt{5}\,p = 4\sqrt{5}

נתון

p = 4

$p = 4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נסמן ב־ $\ell$ את המשיק לפרבולה בנקודה $\ell$ . הנקודה $A$ היא מוקד הפרבולה. מעגל $I$ שמרכזו בנקודה $F$ משיק לישר $\ell$ בנקודה $\ell$ . נתון: $AB = 4\sqrt{5}$ . ה. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים המשיקים מבפנים למעגל $I$ ואורך הרדיוס שלהם הוא $I$ .

$(x -$ ____ $)^2 + y^2 =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $(x -$ 2 $)^2 + y^2 =$ 9

Corrigé :

\begin{aligned}F(2, 0) \\ \quad R_I &= \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 4 \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

מציבים $p = 4$ בסעיף ב

2\sqrt{5} - 3 < 2\sqrt{5}

הרדיוס קטן מרדיוס מעגל $I$ : המעגלים נמצאים בתוכו

\begin{aligned}d &= R_I - r \\ &= 2\sqrt{5} - (2\sqrt{5} - 3) \\ &= 3\end{aligned}

מעגלים המשיקים מבפנים: המרחק בין המרכזים שווה להפרש הרדיוסים

(x - 2)^2 + y^2 = 9

כל המרכזים במרחק $3$ מ־ $3$ : מעגל

המקום הגאומטרי: $(x - 2)^2 + y^2 = 9$ , מעגל שמרכזו $F(2, 0)$ ורדיוסו $3$ .

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — פירמידה ווקטורים

Exercice 6

א. הביעו באמצעות $\underline{w}$ , $\underline{v}$ , $\underline{u}$ ו־ $k$ את הווקטור $k$ .

$\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + \left(k - \frac{3}{4}\right)\underline{u} + \left(\frac{3}{4} - k\right)\underline{w}$
$\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + k\underline{u} + (1 - k)\underline{w}$
$\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + \left(\frac{3}{4} - k\right)\underline{u} + \left(k - \frac{3}{4}\right)\underline{w}$
$\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + \left(k + \frac{3}{4}\right)\underline{u} - \left(k + \frac{3}{4}\right)\underline{w}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + \left(k - \frac{3}{4}\right)\underline{u} + \left(\frac{3}{4} - k\right)\underline{w}$

Corrigé :

\begin{aligned}\overrightarrow{SC} &= \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \\ &= -\underline{w} + \underline{v} + \underline{u}\end{aligned}

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \underline{u}$ בריבוע

\begin{aligned}\overrightarrow{SD} &= \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AD} \\ &= \underline{u} - \underline{w}\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{EN} &= \overrightarrow{ES} + \overrightarrow{SN} \\ &= -\frac{3}{4}\overrightarrow{SD} + k\overrightarrow{SC}\end{aligned}

= -\frac{3}{4}(\underline{u} - \underline{w}) + k(\underline{u} + \underline{v} - \underline{w})

On remplace (מציבים)

= k\underline{v} + \left(k - \frac{3}{4}\right)\underline{u} + \left(\frac{3}{4} - k\right)\underline{w}

מכנסים איברים

$\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + \left(k - \frac{3}{4}\right)\underline{u} + \left(\frac{3}{4} - k\right)\underline{w}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון: $\left|\overrightarrow{EN}\right| = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \left|\underline{w}\right|$ . ב. מצאו את הערך של $k$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

\begin{aligned}|\underline{u}| &= |\underline{v}| \\ &= |\underline{w}| \\ &= a \\ \quad \underline{u} \cdot \underline{v} &= \underline{u} \cdot \underline{w} \\ &= \underline{v} \cdot \underline{w} \\ &= 0\end{aligned}

ריבוע, ו־ $AS$ גובה שאורכו כאורך הצלע

\left|\overrightarrow{EN}\right|^2 = k^2a^2 + \left(k - \frac{3}{4}\right)^2a^2 + \left(\frac{3}{4} - k\right)^2a^2

סעיף א: שלושה וקטורים מאונכים זה לזה

k^2 + 2\left(k - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{6}{16}

נתון, מחלקים ב־ $a^2$

\begin{aligned}3k^2 - 3k + \frac{9}{8} &= \frac{3}{8} \Rightarrow k^2 - k + \frac{1}{4} \\ &= 0\end{aligned}

פותחים סוגריים

\begin{aligned}\left(k - \frac{1}{2}\right)^2 &= 0 \Rightarrow k \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$k = \frac{1}{2}$ : הנקודה $N$ היא אמצע המקצוע $N$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון: $\left|\overrightarrow{EN}\right| = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \left|\underline{w}\right|$ . הציבו $k = \frac{1}{2}$ , וענו על הסעיפים ג–ד. ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש־ $A(0, 0, 0)$ , $B(0, 12, 0)$ . הקודקוד $D$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $D$ , והקודקוד $x$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $S$ . ג (1). מצאו את שיעורי הנקודות $N$ ו־ $N$ .

$E$ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $E($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $N($ 6 $,$ 6 $,$ 6 $)$ , $E($ 9 $,$ 0 $,$ 3 $)$

Corrigé :

D(12, 0, 0), \quad S(0, 0, 12), \quad C(12, 12, 0)

צלע הריבוע $12$ , ו־ $AS = 12$ ; $C = B + \overrightarrow{AD}$

\begin{aligned}N &= S + \frac{1}{2}\overrightarrow{SC} \\ &= \frac{S + C}{2} \\ &= (6, 6, 6)\end{aligned}

אמצע $SC$

\begin{aligned}E &= S + \frac{3}{4}\overrightarrow{SD} \\ &= (0, 0, 12) + \frac{3}{4}(12, 0, -12) \\ &= (9, 0, 3)\end{aligned}

$N(6, 6, 6)$ , $E(9, 0, 3)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון: $\left|\overrightarrow{EN}\right| = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \left|\underline{w}\right|$ . הציבו $k = \frac{1}{2}$ , וענו על הסעיפים ג–ד. ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש־ $A(0, 0, 0)$ , $B(0, 12, 0)$ . הקודקוד $D$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $D$ , והקודקוד $x$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $S$ . ג (2). מצאו את משוואת המישור $ENB$ .

____ $x +$ ____ $y - z =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3 $x +$ 2 $y - z =$ 24

Corrigé :

\begin{aligned}\overrightarrow{EN} &= (-3, 6, 3) \\ \quad \overrightarrow{EB} &= (-9, 12, -3)\end{aligned}

שני וקטורים במישור

\begin{aligned}\underline{n} &= \overrightarrow{EN} \times \overrightarrow{EB} \\ &= (-54, -36, 18) \parallel (3, 2, -1)\end{aligned}

וקטור נורמל: מכפלה וקטורית, או פתרון $\underline{n} \cdot \overrightarrow{EN} = \underline{n} \cdot \overrightarrow{EB} = 0$

\begin{aligned}3x + 2y - z &= d \\ \quad B(0, 12, 0): \ d &= 24\end{aligned}

מציבים נקודה

\begin{aligned}E: 27 + 0 - 3 &= 24 \\ \quad N: 18 + 12 - 6 &= 24\end{aligned}

בדיקה

המישור $ENB$ : $3x + 2y - z = 24$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון: $\left|\overrightarrow{EN}\right| = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \left|\underline{w}\right|$ . הציבו $k = \frac{1}{2}$ , וענו על הסעיפים ג–ד. ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש־ $A(0, 0, 0)$ , $B(0, 12, 0)$ . הקודקוד $D$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $D$ , והקודקוד $x$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $S$ . ד. האם נפח הפירמידה $SENB$ גדול מנפח הפירמידה $CENB$ , קטן ממנו או שווה לו? נמקו את תשובתכם.

גדול: הנקודה $S$ רחוקה מהמישור $ENB$ יותר מהנקודה $C$
אי אפשר לדעת: הנקודות $S$ ו־ $C$ נמצאות משני צדי המישור $ENB$
שווה: בסיס משותף $ENB$ , ו־ $S$ ו־ $C$ באותו מרחק מהמישור $ENB$
קטן: הנקודה $C$ רחוקה מהמישור $ENB$ יותר מהנקודה $S$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C שווה: בסיס משותף $ENB$ , ו־ $S$ ו־ $C$ באותו מרחק מהמישור $ENB$

Corrigé :

V = \frac{1}{3} \cdot S_{ENB} \cdot h

לשתי הפירמידות הבסיס $ENB$ ; הגובה הוא המרחק של הקודקוד הרביעי מהמישור

\begin{aligned}d(S) &= \frac{|0 + 0 - 12 - 24|}{\sqrt{14}} \\ &= \frac{36}{\sqrt{14}}\end{aligned}

מרחק $S(0, 0, 12)$ מהמישור $3x + 2y - z - 24 = 0$

\begin{aligned}d(C) &= \frac{|36 + 24 - 0 - 24|}{\sqrt{14}} \\ &= \frac{36}{\sqrt{14}}\end{aligned}

מרחק $C(12, 12, 0)$

\begin{aligned}V_{SENB} &= V_{CENB} \\ &= 108\end{aligned}

בדיקה: $\frac{1}{6}\left|\det\right|$ של שלושה וקטורים מכל קודקוד

הנפחים שווים. דרך קצרה: המישור $ENB$ עובר דרך $N$ , אמצע הקטע $SC$ , ולכן $S$ ו־ $C$ נמצאות משני צדיו באותו מרחק. שהן משני צדי המישור אינו משנה את הגובה.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — מספרים מרוכבים

Exercice 11

א. מצאו את הערך של $\alpha$ (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

\begin{aligned}z_1 \cdot z_2 &= r \cdot \frac{1}{r}\,\text{cis}(2\alpha + 90^\circ) \\ &= -\sin 2\alpha + i\cos 2\alpha\end{aligned}

במכפלה: כופלים את הגדלים ומחברים את הזוויות

\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= r^2\,\text{cis}(-90^\circ) \\ &= -r^2 i\end{aligned}

במנה: מחלקים את הגדלים ומחסירים את הזוויות

w = -\sin 2\alpha + i(\cos 2\alpha - r^2)

מחברים

\begin{aligned}-\sin 2\alpha &= -1 \Rightarrow \sin 2\alpha \\ &= 1\end{aligned}

שיעור ה־ $x$ של $A$ הוא החלק הממשי

\begin{aligned}2\alpha &= 90^\circ \Rightarrow \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

$0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$

$\alpha = 45^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתון כי הנקודה $A$ נמצאת על הישר $A$ . ב. מצאו את הערך של $r$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

\begin{aligned}w &= -1 + i(\cos 90^\circ - r^2) \\ &= -1 - r^2 i\end{aligned}

מציבים $\alpha = 45^\circ$

\begin{aligned}-r^2 &= -1 \Rightarrow r \\ &= 1\end{aligned}

החלק המדומה הוא שיעור ה־ $y$ ; $y$

$r = 1$ , ולכן $w = -1 - i$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

נתון כי הנקודה $A$ נמצאת על הישר $A$ . נתונה המשוואה $z^4 = 128 \cdot (z_1 \cdot w)^2$ . $z$ הוא משתנה מרוכב. ג. מצאו את ארבעת הפתרונות של המשוואה.

$4\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)$ ו־ $\pm 4$
$4\,\text{cis}(90^\circ k)$
$2\sqrt{2}\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)$
$4\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $4\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)$

Corrigé :

\begin{aligned}z_1 &= \text{cis}\,45^\circ \\ \quad w &= -1 - i \\ &= \sqrt{2}\,\text{cis}\,225^\circ\end{aligned}

סעיפים א–ב

\begin{aligned}z_1 \cdot w &= \sqrt{2}\,\text{cis}\,270^\circ \\ &= -\sqrt{2}\,i\end{aligned}

\begin{aligned}128 \cdot (z_1 w)^2 &= 128 \cdot (-2) \\ &= -256 \\ &= 256\,\text{cis}\,180^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}z &= \sqrt[4]{256}\,\text{cis}\frac{180^\circ + 360^\circ k}{4} \\ &= 4\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)\end{aligned}

משפט דה מואבר, $k = 0, 1, 2, 3$

\begin{aligned}z &= 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i \\ \ -2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i \\ \ -2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i \\ \ 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i\end{aligned}

$4\cos 45^\circ = 2\sqrt{2}$

ארבעת הפתרונות: $4\,\text{cis}\,45^\circ$ , $4\,\text{cis}\,135^\circ$ , $4\,\text{cis}\,225^\circ$ , $4\,\text{cis}\,315^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

נתון כי הנקודה $A$ נמצאת על הישר $A$ . נתונה המשוואה $z^4 = 128 \cdot (z_1 \cdot w)^2$ . $z$ הוא משתנה מרוכב. הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. כל אחת מן הנקודות $B$ ו־ $C$ מייצגת פתרון אחד מבין הפתרונות שמצאתם בסעיף ג. הנקודה $B$ נמצאת ברביע הראשון והנקודה $C$ נמצאת ברביע השני. המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z = x + iy$ במישור גאוס המקיימות $|z| = b$ חותך את החלק החיובי של ציר ה־ $y$ בנקודה $y$ . $K$ הוא מספר ממשי חיובי. נתון כי שטח המרובע $CKBO$ הוא $7\sqrt{2}$ . ד. מצאו את הערך של $b$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.5

Corrigé :

B(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}), \quad C(-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})

סעיף ג

|z| = b: \ \text{מעגל שמרכזו } O \text{ ורדיוסו } b \Rightarrow K(0, b)

\begin{aligned}CB &= 4\sqrt{2} \\ \quad OK &= b \\ \quad CB \perp OK\end{aligned}

$CB$ מקביל לציר ה־ $x$ , ו־ $x$ על ציר ה־ $y$

\begin{aligned}S_{CKBO} &= \frac{OK \cdot CB}{2} \\ &= \frac{b \cdot 4\sqrt{2}}{2} \\ &= 2\sqrt{2}\,b\end{aligned}

מרובע שאלכסוניו מאונכים: מחצית מכפלת האלכסונים

\begin{aligned}2\sqrt{2}\,b &= 7\sqrt{2} \Rightarrow b \\ &= 3.5\end{aligned}

$b = 3.5$ .

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

Exercice 15

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \neq$ ____ , $x \neq \ln$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x \neq$ 0 , $x \neq \ln$ 5

Corrigé :

e^x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0

מכנה שונה מאפס

e^x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq \ln 5

תחום ההגדרה: $x \neq 0$ , $x \neq \ln 5$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

א (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ . הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.

$x = 0$ , $x = \ln 5$ , $y = a$ , $y = a + 2$
$x = 0$ , $x = \ln 5$ , $y = a$ , $y = a - 2$
$x = 0$ , $x = \ln 5$ , $y = a$ בלבד
$x = 1$ , $x = 5$ , $y = a$ , $y = a - 2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $x = 0$ , $x = \ln 5$ , $y = a$ , $y = a - 2$

Corrigé :

\begin{aligned}x &= 0 \\ \quad x &= \ln 5\end{aligned}

המכנים מתאפסים והמונים לא: אסימפטוטות אנכיות

x \to \infty: \ e^x \to \infty \Rightarrow f(x) \to 0 + 0 + a = a

x \to -\infty: \ e^x \to 0 \Rightarrow f(x) \to \frac{1}{-1} + \frac{5}{-5} + a = a - 2

אנכיות: $x = 0$ , $x = \ln 5$ . אופקיות: $y = a$ (ב־ $+\infty$ ) ו־ $y = a - 2$ (ב־ $-\infty$ ).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

ב. הוכיחו כי פונקציית הנגזרת $f'(x)$ שלילית בכל תחום הגדרתה.

$f(x) = \frac{1}{e^x - 1} + \frac{5}{e^x - 5} + a$
תחום ההגדרה: $x \neq 0$ , $x \neq \ln 5$

$f'(x) < 0$ לכל $x$ בתחום ההגדרה

Voir la réponse et le corrigé

$f'(x) = -\frac{e^x}{(e^x - 1)^2} - \frac{5e^x}{(e^x - 5)^2}$ — נגזרת של $\frac{c}{g(x)}$ היא $-\frac{c \cdot g'(x)}{g^2(x)}$ , ו־ $(e^x)' = e^x$
$e^x > 0$ לכל $x$ — תכונת הפונקציה המעריכית
$(e^x - 1)^2 > 0$ ו־ $(e^x - 5)^2 > 0$ בתחום ההגדרה — ריבוע של מספר שונה מאפס
$\frac{e^x}{(e^x - 1)^2} > 0$ ו־ $\frac{5e^x}{(e^x - 5)^2} > 0$ — מנה של מספרים חיוביים
$f'(x) < 0$ לכל $x$ בתחום ההגדרה — סכום של שני מספרים שליליים

Corrigé :

f'(x) = -\frac{e^x}{(e^x - 1)^2} - \frac{5e^x}{(e^x - 5)^2}

הנגזרת של $a$ היא $0$

e^x > 0, \quad (e^x - 1)^2 > 0, \quad (e^x - 5)^2 > 0

בתחום ההגדרה

f'(x) < 0

שני מחוברים שליליים

כל אחד משני המחוברים שלילי, ולכן $f'(x) < 0$ בכל תחום ההגדרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

נתון כי הישר $y = 2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$ . ג. מצאו את שני הערכים האפשריים של $a$ .

$a$ ____ , $a_2 =$ ____ ( $a_1 < a_2$ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $a_1 =$ 2 , $a_2 =$ 4 ( $a_1 < a_2$ )

Corrigé :

\begin{aligned}y &= a \ \text{או} \ y \\ &= a - 2\end{aligned}

סעיף א (2): האסימפטוטות האופקיות

\begin{aligned}a &= 2 \quad \text{או} \quad a - 2 \\ &= 2 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

$a = 2$ או $a = 4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

נתון כי הישר $y = 2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$ . הציבו $a = 2$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ו. ד. הראו כי $f(x) = \frac{2e^{2x} - 6e^x}{e^{2x} - 6e^x + 5}$ .

$f(x) = \frac{1}{e^x - 1} + \frac{5}{e^x - 5} + 2$

$f(x) = \frac{2e^{2x} - 6e^x}{e^{2x} - 6e^x + 5}$

Voir la réponse et le corrigé

$(e^x - 1)(e^x - 5) = e^{2x} - 6e^x + 5$ — פתיחת סוגריים: $e^x \cdot e^x = e^{2x}$
$\frac{1}{e^x - 1} + \frac{5}{e^x - 5} = \frac{(e^x - 5) + 5(e^x - 1)}{e^{2x} - 6e^x + 5} = \frac{6e^x - 10}{e^{2x} - 6e^x + 5}$ — מכנה משותף
$f(x) = \frac{6e^x - 10 + 2(e^{2x} - 6e^x + 5)}{e^{2x} - 6e^x + 5}$ — כותבים את $2$ עם אותו מכנה
$2$ — מכנסים איברים דומים במונה

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{1}{e^x - 1} + \frac{5}{e^x - 5} &= \frac{e^x - 5 + 5e^x - 5}{(e^x - 1)(e^x - 5)} \\ &= \frac{6e^x - 10}{e^{2x} - 6e^x + 5}\end{aligned}

מכנה משותף

\begin{aligned}f(x) &= \frac{6e^x - 10 + 2e^{2x} - 12e^x + 10}{e^{2x} - 6e^x + 5} \\ &= \frac{2e^{2x} - 6e^x}{e^{2x} - 6e^x + 5}\end{aligned}

קיבלנו את הביטוי הנדרש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

נתון כי הישר $y = 2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$ . הציבו $a = 2$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ו. ה (1). מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$x$ ____ $, \ 0)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $(\ln$ 3 $, \ 0)$

Corrigé :

\begin{aligned}2e^{2x} - 6e^x &= 2e^x(e^x - 3) \\ &= 0\end{aligned}

מונה שווה לאפס (סעיף ד)

\begin{aligned}e^x > 0 \Rightarrow e^x &= 3 \Rightarrow x \\ &= \ln 3\end{aligned}

$\ln 3$ בתחום ההגדרה: $0 < \ln 3 < \ln 5$

נקודת החיתוך: $(\ln 3, 0)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

הגרפים I–IV

נתון כי הישר $y = 2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$ . הציבו $a = 2$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ו. ה (2). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

גרף II
גרף III
גרף I
גרף IV

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף II

Corrigé :

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= \ln 5 \\ \ y &= 0 \ (x \to -\infty) \\ \ y &= 2 \ (x \to \infty)\end{aligned}

האסימפטוטות (סעיף א, $a = 2$ )

f'(x) < 0

הפונקציה יורדת בכל קטע של תחום ההגדרה (סעיף ב)

(\ln 3, 0)

חיתוך יחיד עם ציר ה־ $x$ , בין $x$ ל־ $\ln 5$ (סעיף ה (1))

גרף II: בכל אחד משלושת הקטעים הגרף יורד; משמאל מתחת לאסימפטוטה $y = 0$ , באמצע מ־ $+\infty$ ל־ $-\infty$ דרך $(\ln 3, 0)$ , ומימין מ־ $+\infty$ אל $y = 2$ . גרף I עולה, גרף III יורד מתחת ל־ $y = -2$ , וגרף IV שיקוף שבו הקטע השמאלי מתחיל מעל ציר ה־ $x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

נתון כי הישר $y = 2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$ . הציבו $a = 2$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ו. ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישר $x$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2877

Corrigé :

\begin{aligned}f(\ln 2) &= 1 - \frac{5}{3} + 2 \\ &= \frac{4}{3} > 0\end{aligned}

בין $\ln 2$ ל־ $\ln 3$ הגרף מעל ציר ה־ $x$

\int \frac{c}{e^x - c}\,dx = \ln|e^x - c| - x

גוזרים: $\frac{e^x}{e^x - c} - 1 = \frac{c}{e^x - c}$

\begin{aligned}F(x) &= \ln|e^x - 1| - x + \ln|e^x - 5| - x + 2x \\ &= \ln|(e^x - 1)(e^x - 5)|\end{aligned}

פונקציה קדומה של $f$

\begin{aligned}S &= F(\ln 3) - F(\ln 2) \\ &= \ln|2 \cdot (-2)| - \ln|1 \cdot (-3)| \\ &= \ln 4 - \ln 3\end{aligned}

S = \ln\frac{4}{3} \approx 0.288

השטח: $\ln\frac{4}{3} \approx 0.288$ .

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית

Exercice 23

א. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן. (יש לכתוב את הנקודה שבה $x$ קטן יותר ראשונה, ואת $y$ בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

$y$ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $($ 1 $,$ 14.64 $)$ , $($ 7 $,$ 18.2 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{16x}{x^2 + 7} - 2 \\ &= \frac{-2x^2 + 16x - 14}{x^2 + 7} \\ &= \frac{-2(x - 1)(x - 7)}{x^2 + 7}\end{aligned}

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= 7\end{aligned}

x < 1: f' < 0 \quad 1 < x < 7: f' > 0 \quad x > 7: f' < 0

סימן המונה: פרבולה הפוכה

(1, \ 8\ln 8 - 2) \approx (1, 14.64): \ \min

יורדת ואחר כך עולה

(7, \ 8\ln 56 - 14) \approx (7, 18.20): \ \max

עולה ואחר כך יורדת

מינימום ב־ $(1, 8\ln 8 - 2) \approx (1, 14.64)$ , מקסימום ב־ $(7, 8\ln 56 - 14) \approx (7, 18.20)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

ב. מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה והקעירות כלפי מטה של הפונקציה $f(x)$ . (יש לכתוב את הקצוות כמספרים עשרוניים.)

קעירות כלפי מעלה: ____ $< x <$ ____ ; קעירות כלפי מטה: $x <$ ____ או $x >$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : קעירות כלפי מעלה: -2.6458 $< x <$ 2.6458 ; קעירות כלפי מטה: $x <$ -2.6458 או $x >$ 2.6458

Corrigé :

\begin{aligned}f''(x) &= \frac{16(x^2 + 7) - 16x \cdot 2x}{(x^2 + 7)^2} \\ &= \frac{16(7 - x^2)}{(x^2 + 7)^2}\end{aligned}

נגזרת של $\frac{16x}{x^2 + 7}$

f''(x) > 0 \iff -\sqrt{7} < x < \sqrt{7}

המכנה חיובי

\sqrt{7} \approx 2.646

קעירות כלפי מעלה ב־ $-\sqrt{7} < x < \sqrt{7}$ ; קעירות כלפי מטה ב־ $x < -\sqrt{7}$ או $x > \sqrt{7}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

הגרפים I–IV

ידוע כי הפונקציה $f(x)$ חותכת את ציר ה־ $x$ בנקודה אחת בלבד. ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

גרף III
גרף II
גרף IV
גרף I

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף III

Corrigé :

x \to -\infty: f \to \infty, \quad x \to \infty: f \to -\infty

האיבר $-2x$ גדל מהר מ־ $8\ln(x^2 + 7)$

\min(1, 14.64), \quad \max(7, 18.20)

סעיף א

x = \pm\sqrt{7}

נקודות פיתול (סעיף ב)

גרף III: יורד עד המינימום ב־ $x = 1$ , עולה עד המקסימום ב־ $x = 7$ , ויורד אל $-\infty$ וחוצה את ציר ה־ $x$ פעם אחת (ליד $x$ ). גרף II הוא שיקופו, בגרף I הקיצונים מתחלפים, ובגרף IV הפונקציה אינה חותכת את ציר ה־ $x$ בתחום המוצג.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

ידוע כי הפונקציה $f(x)$ חותכת את ציר ה־ $x$ בנקודה אחת בלבד. נתונה הפונקציה $g(x) = \ln(f(x) - 18)$ , המוגדרת בתחום שבו $f(x) > 18$ . ד (1). כמה אסימפטוטות מאונכות לציר ה־ $x$ יש לפונקציה $x$ ? נמקו את תשובתכם.

שתיים: משני צדי המקסימום $x = 7$ , שבו $f(7) \approx 18.2 > 18$
אחת: רק בקטע $x < 1$ מתקיים $f(x) > 18$
אין: $g(x)$ מוגדרת לכל $x$
שלוש: הישר $y = 18$ חותך את גרף $f$ בשלוש נקודות

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D שלוש: הישר $y = 18$ חותך את גרף $f$ בשלוש נקודות

Corrigé :

x < 1: \ f \searrow \text{ מ־}\infty \text{ עד } 14.64 \Rightarrow f = 18 \text{ פעם אחת } (x \approx -0.84)

סעיף א

1 < x < 7: \ f \nearrow \text{ עד } 18.20 > 18 \Rightarrow \text{ פעם אחת } (x \approx 5.67)

x > 7: \ f \searrow \text{ אל } -\infty \Rightarrow \text{ פעם אחת } (x \approx 8.43)

f(x) \to 18^+ \Rightarrow \ln(f(x) - 18) \to -\infty

בקצות תחום ההגדרה של $g$

יש שלוש אסימפטוטות אנכיות, אחת בכל נקודה שבה $f(x) = 18$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 27

ידוע כי הפונקציה $f(x)$ חותכת את ציר ה־ $x$ בנקודה אחת בלבד. נתונה הפונקציה $g(x) = \ln(f(x) - 18)$ , המוגדרת בתחום שבו $f(x) > 18$ . ד (2). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $g(x)$ , וקבעו את סוגה. (יש לכתוב את $y$ בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

$y$ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $($ 7 $,$ -1.6 $)$

Corrigé :

g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x) - 18}

נגזרת של $\ln$ של פונקציה

\begin{aligned}g'(x) &= 0 \iff f'(x) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 7\end{aligned}

f(1) \approx 14.64 < 18

$x = 1$ אינו בתחום ההגדרה של $g$

g(7) = \ln(8\ln 56 - 32) \approx \ln 0.2028 \approx -1.60

\text{ליד } x = 7: \ g' \text{ עוברת מחיובית לשלילית}

$f - 18 > 0$ , והסימן של $g'$ הוא הסימן של $f'$

מקסימום ב־ $(7, \ln(8\ln 56 - 32)) \approx (7, -1.60)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 28

הגרפים I–IV

ידוע כי הפונקציה $f(x)$ חותכת את ציר ה־ $x$ בנקודה אחת בלבד. נתונה הפונקציה $g(x) = \ln(f(x) - 18)$ , המוגדרת בתחום שבו $f(x) > 18$ . ד (3). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

גרף I
גרף IV
גרף III
גרף II

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף IV

Corrigé :

x < -0.84 \ \text{או} \ 5.67 < x < 8.43

תחום ההגדרה (סעיף ד (1))

x \to -\infty: g \to \infty

$f \to \infty$

\max(7, -1.60)

סעיף ד (2)

גרף IV: ענף שמאלי שיורד מ־ $+\infty$ אל $-\infty$ ליד $x \approx -0.84$ , וקשת קטנה בין שתי אסימפטוטות סביב $x = 7$ , שכולה מתחת לציר ה־ $x$ (המקסימום $x$ ). גרף I הפוך, בגרף II הקשת חסרה אסימפטוטות, ובגרף III אין קשת.

Vérifier la réponse sur elev

Les mots de la leçon

משך: meshekh durée
דקה: daka minute
מספר מרוכב: mispar murkav nombre complexe
גדילה: gdila croissance (exponentielle)
דעיכה: de’ikha décroissance (exponentielle)
פונקציה: funktsia fonction
נוסחה: nusḥa formule
סעיף: se’if question (a, b, c…)
הסבירו: hasbiru expliquez
הראו: har’u montrez
הוכיחו: hokhiḥu démontrez
הוכחה: hokhaḥa démonstration
ביטוי אלגברי: bitui algebri expression algébrique
מקדם: mekadem coefficient
פתרון: pitaron solution
הביעו: habi’u exprimez
שיעורים (של נקודה): shiurim coordonnées
להציב: lehatsiv substituer / remplacer
משוואה: mishva’a équation
פרבולה: parabola parabole
גורם משותף: gorem meshutaf facteur commun
רביע: revi’a quadrant
משיק: mashik tangente
נקודה: nekuda point
מעגל: ma’agal cercle
מרכז: merkaz centre
ישר: yashar droite
משוואת מעגל: mishva’at ma’agal équation de cercle
משוואת המשיק: mishva’at ha-mashik équation de la tangente
רדיוס: radius rayon
מרחק: merḥak distance
ציר: tsir axe
מאונכים: me’unakhim perpendiculaires
נקודת השקה: nekudat hashaka point de tangence (de contact)
נקודת חיתוך: nekudat khitukh point d’intersection
נתון: natun on donne ; donnée (hypothèse)
מצאו: mits’u trouvez, déterminez
מקום גאומטרי: makom ge’ometri lieu géométrique
עיגול: igul arrondi
אורך: orekh longueur
הפרש: hefresh différence
כינוס איברים: kinus evarim réduire (regrouper les termes semblables)
ריבוע: ribua carré
גובה: gova hauteur
צלע: tsela côté
פתיחת סוגריים: ptiḥat sograyim développer (supprimer les parenthèses)
מקצוע: miktsoa arête
פירמידה: piramida pyramide
מערכת צירים: ma’arekhet tsirim repère
קודקוד: kodkod sommet
חיובי: ḥiyuvi positif
מישור: mishor plan
מכפלה: makhpela produit
נפח: nefaḥ volume
נמקו: namku justifiez
בסיס: basis base
אמצע קטע: emtsa keta milieu (d’un segment)
מעלה: ma’ala degré
זווית: zavit angle
מנה: mana quotient
חלק ממשי: ḥelek mamashi partie réelle
חלק מדומה: ḥelek medume partie imaginaire
משפט: mishpat théorème
ראשית הצירים: reshit ha-tsirim origine (du repère)
חותך: khotekh coupe ; sécante
מספר ממשי: mispar mamashi nombre réel
שטח: shetaḥ aire
מרובע: meruba quadrilatère
מקבילים: makbilim parallèles
אלכסון: alakhson diagonale
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domaine de définition
מכנה: mekhane dénominateur
אסימפטוטה: asimptota asymptote
מתאפס: mitapes s’annule
מונה: moneh numérateur
אסימפטוטה אנכית: asimptota anakhit asymptote verticale
אופקי: ofki horizontal
נגזרת: nigzeret dérivée
שלילי: shlili négatif
מחובר: meḥubar terme (d’une somme)
מכנה משותף: mekhane meshutaf dénominateur commun
גרף: graf graphe, courbe représentative
סקיצה: skitsa esquisse (allure du graphe)
בחרו: baḥaru choisissez
פונקציה יורדת: funktsia yoredet fonction (ou suite) décroissante
קטע: keta segment
שיקוף: shikuf symétrie axiale (réflexion)
חשבו: ḥishvu calculez
גזירה: gzira dérivation (dériver)
פונקציה קדומה: funktsia kduma primitive
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
קבעו: kiv’u déterminez, décidez
ספרות אחרי הנקודה: sfarot aḥarei ha-nekuda chiffres après la virgule (décimales)
מינימום: minimum minimum
מקסימום: maksimum maximum
קעורה: ke’ura concave (vers le haut ou vers le bas), concavité
מספר עשרוני: mispar esroni nombre décimal
איבר: ever terme
נקודת פיתול: nekudat pitul point d’inflexion
חוצה: ḥotse coupe en deux parts égales
מוגדרת: mugderet définie
קשת: keshet arc

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elev Découvrir elev pour cette classe