Pourcentages et problèmes financiers

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

זה הפרק השימושי ביותר במסלול, והוא גם החוזר ביותר בבגרות. הכול נשען על מושג אחד: מקדם ההכפלה.

×1.2\times 1.2

התייקרות ב-20%.

×0.8\times 0.8

הנחה של 20%.

×1.05\times 1.05

ריבית של 5%.

שינויים רצופים

כששני שינויים באים זה אחרי זה — מכפילים את המקדמים. אף פעם לא מחברים אחוזים.

למה לא מחברים

מחיר עלה ב-20% ואז ירד ב-20%. מה קרה בסך הכול?

1.2×0.8=0.961.2 \times 0.8 = 0.96

מכפילים את שני המקדמים

ירידה של 4%\text{ירידה של 4\%}

ולא חזרה למחיר המקורי

הסיבה: ההנחה של 20% חושבה על מחיר גדול יותר. האחוזים לא מתבטלים כי הם נמדדים מבסיסים שונים.

ריבית דריבית

כסף בבנק לכמה שנים: כל שנה מכפילה שוב באותו מקדם. ולכן —

S=S0⋅(1+p)nS = S_0 \cdot (1 + p)^n

כאשר S0S_0 הוא הסכום ההתחלתי, pp הריבית כשבר עשרוני, ו-nn מספר השנים.

למצוא את המחיר המקורי מתוך המחיר אחרי שינוי: מחלקים במקדם. אחרי הנחה של 20% שילמו 160 — המקורי הוא 160:0.8=200160 : 0.8 = 200.

הטעות המובילה של האחוזים.

+20% ואז−20%⇒חזרה למקור+20\% \ \text{ואז} -20\% \Rightarrow \text{חזרה למקור}
×1.2×0.8=0.96\times 1.2 \times 0.8 = 0.96

ירידה של 4%. האחוזים נמדדים מבסיסים שונים ולכן לא מתבטלים.

מחיר עלה ב-20% ואז ירד ב-20%. האם חזר למקור?

Voir la réponse et le corrigé

לא — נשארים על 96%: 1.2×0.8=0.961.2 \times 0.8 = 0.96. הירידה נמדדה ממחיר גבוה יותר, ולכן היא גדולה יותר בשקלים.

אחרי הנחה של 25% שילמו 150 ₪. מה היה המחיר המקורי?

Voir la réponse et le corrigé

200 ₪: שילמו 75%, ולכן 0.75x=1500.75x = 150. מוסיפים 25% ל-150 — וטועים.

Exercices

Exercice 1

מוצר ב-200 ש״ח מקבל הנחה של 20%. מהו המחיר החדש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 160

Corrigé :

200×0.8=160200 \times 0.8 = 160

מקדם ההנחה

שני שלבים בפעולה אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

אחרי הנחה של 20% שילמו 160 ש״ח. מהו המחיר המקורי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 200

Corrigé :

160:0.8=200160 : 0.8 = 200

הכיוון ההפוך — חילוק

מהמחיר החדש למקורי — מחלקים במקדם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מחיר עלה ב-20% ואז ירד ב-20%. בכמה אחוזים הוא ירד בסך הכול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

1.2×0.8=0.961.2 \times 0.8 = 0.96

מכפילים מקדמים

ירידה של 4%\text{ירידה של 4\%}

לא חזרה למקור

האחוזים נמדדים מבסיסים שונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

1000 ש״ח בריבית 5% לשנתיים. כמה יהיה בסוף? (עגלו לשקל)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1103

Corrigé :

1000×1.0521000 \times 1.05^2

ריבית דריבית

=1102.5≈1103= 1102.5 \approx 1103

On calcule

לא 1000×1.11000 \times 1.1 — השנה השנייה מחושבת על סכום גדול יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מוצר נקנה ב-150 ונמכר ב-180. מהו אחוז הרווח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

30150=0.2\frac{30}{150} = 0.2

הרווח חלקי מחיר הקנייה

=20%= 20\%

באחוזים

הבסיס הוא תמיד מחיר הקנייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

חשבו: 15% מתוך 240 שקלים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

240⋅0.15=36240 \cdot 0.15 = 36

אחוז — כפל ב-0.15

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חולצה עולה 150 שקלים וקיבלה הנחה של 20%. מה המחיר החדש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 120

Corrigé :

150⋅0.8=120150 \cdot 0.8 = 120

הדרך המהירה: כפל ב-0.8

הנחה של 20% משאירה 80% — כפל אחד במקום שני שלבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מחיר של 90 שקלים עלה ב-10%:

התוספת ____ שקלים, והמחיר החדש ____ שקלים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : התוספת 9 שקלים, והמחיר החדש 99 שקלים.

Corrigé :

90⋅1.1=9990 \cdot 1.1 = 99

עלייה — כפל ב-1.1

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בכיתה 120 תלמידים, ומהם 30 שמאליים. כמה אחוזים זה?

  1. 30%
  2. 25%
  3. 20%
  4. 40%
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 25%

Corrigé :

30120=14=25%\begin{aligned}\frac{30}{120} &= \frac{1}{4} \\ &= 25\%\end{aligned}

החלק מתוך השלם

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

שתי הנחות רצופות של 50% מוזילות את המוצר ב-100% — כלומר הוא חינם.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

0.5⋅0.5=0.250.5 \cdot 0.5 = 0.25

הנחות מוכפלות, לא מחוברות

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

הפקידו 8000 ש״ח בתוכנית חיסכון בריבית דריבית של 3% לשנה. כמה כסף יהיה בתוכנית אחרי 4 שנים? (עגלו לשקל)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9004

Corrigé :

8000⋅1.0348000 \cdot 1.03^4

ארבע שנים — מכפילים ארבע פעמים במקדם 1.03

=9004.07≈9004= 9004.07 \approx 9004

מחשבים ומעגלים לשקל

הריבית של כל שנה מחושבת על הסכום שהצטבר עד אז, ולכן הרווח (1004 ש״ח) גדול מ-4⋅240=9604 \cdot 240 = 960 ש״ח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מכונית נקנתה ב-120000 ש״ח. בכל שנה ערכה יורד ב-15% מהערך שהיה לה בתחילת השנה. מה יהיה ערך המכונית אחרי 3 שנים (בש״ח)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 73695

Corrigé :

1−0.15=0.851 - 0.15 = 0.85

ירידה של 15% — מקדם 0.85

120000⋅0.853120000 \cdot 0.85^3

שלוש שנים — שלוש הכפלות

=73695= 73695

הערך אחרי 3 שנים

זו אותה נוסחה של ריבית דריבית, עם מקדם קטן מ-1. לא מורידים 3⋅15%=45%3 \cdot 15\% = 45\% — כל ירידה נמדדת מערך קטן יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

מחיר של מעיל היה 400 ש״ח. בתחילת החורף המחיר עלה ב-15%, ובסוף העונה המחיר החדש ירד ב-30%. מהו המחיר הסופי של המעיל (בש״ח)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 322

Corrigé :

1.15⋅0.7=0.8051.15 \cdot 0.7 = 0.805

מכפילים את שני המקדמים

400⋅0.805=322400 \cdot 0.805 = 322

מחילים את המקדם הכולל על המחיר

המחיר הסופי הוא 80.5% מהמקורי, כלומר ירידה כוללת של 19.5% — לא 15%.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

אחרי הנחה של 35% שילמה דנה על מחשב נייד 2600 ש״ח. מה היה מחיר המחשב לפני ההנחה (בש״ח)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4000

Corrigé :

1−0.35=0.651 - 0.35 = 0.65

דנה שילמה 65% מהמחיר המקורי

0.65x=26000.65x = 2600

המשוואה

x=2600:0.65=4000\begin{aligned}x &= 2600 : 0.65 \\ &= 4000\end{aligned}

מחלקים במקדם

מהמחיר אחרי השינוי אל המחיר המקורי — מחלקים במקדם. הוספה של 35% ל-2600 נותנת 3510, וזו טעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

סכום כסף הופקד בריבית דריבית של 10% לשנה. אחרי כמה שנים שלמות הסכום בחשבון יהיה לראשונה גדול פי 1.6 לפחות מהסכום ההתחלתי?

  1. 4 שנים
  2. 6 שנים
  3. 3 שנים
  4. 5 שנים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 5 שנים

Corrigé :

1.14=1.4641<1.61.1^4 = 1.4641 < 1.6

אחרי 4 שנים — עדיין פחות מפי 1.6

1.15=1.61051≥1.61.1^5 = 1.61051 \geq 1.6

אחרי 5 שנים — עוברים את פי 1.6

הסכום ההתחלתי לא משנה: בודקים רק את המקדם 1.1n1.1^n. מי שמחבר 10% בכל שנה מגיע ל-60% רק אחרי 6 שנים — אבל הריבית דריבית מגיעה לשם כבר אחרי 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

מחיר של 500 ש״ח עלה ב-10%, ואחר כך המחיר החדש עלה עוד ב-20%. שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה:

מקדם ראשון: 1.1\text{מקדם ראשון: } 1.1
מקדם שני: 1.2\text{מקדם שני: } 1.2
מקדם כולל: 1.1+1.2−1=1.3\text{מקדם כולל: } 1.1 + 1.2 - 1 = 1.3
500⋅1.32=660500 \cdot 1.32 = 660
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקדם כולל: 1.1+1.2−1=1.3\text{מקדם כולל: } 1.1 + 1.2 - 1 = 1.3 → מקדם כולל: 1.1⋅1.2=1.32\text{מקדם כולל: } 1.1 \cdot 1.2 = 1.32

Corrigé :

1.1⋅1.2=1.321.1 \cdot 1.2 = 1.32

שינויים רצופים — מכפילים מקדמים

500⋅1.32=660500 \cdot 1.32 = 660

המחיר הסופי

חיבור האחוזים (10% ועוד 20%) מתעלם מכך שה-20% נמדדים מהמחיר שכבר עלה. העלייה הכוללת היא 32%, לא 30%.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

אחרי הנחה של 20% שילמו על מעיל 240 ש״ח. מה היה המחיר המקורי? שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה:

שילמו 80% מהמחיר המקורי\text{שילמו } 80\% \text{ מהמחיר המקורי}
0.8x=2400.8x = 240
x=240⋅1.2=288\begin{aligned}x &= 240 \cdot 1.2 \\ &= 288\end{aligned}
בדיקה: 300⋅0.8=240\text{בדיקה: } 300 \cdot 0.8 = 240
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=240⋅1.2=288x = 240 \cdot 1.2 = 288 → x=240:0.8=300x = 240 : 0.8 = 300

Corrigé :

0.8x=2400.8x = 240

המחיר ששילמו הוא 80% מהמקורי

x=240:0.8=300\begin{aligned}x &= 240 : 0.8 \\ &= 300\end{aligned}

מחלקים במקדם

הוספה של 20% ל-240 היא הטעות הקלאסית: ה-20% של ההנחה נמדדו מהמחיר המקורי, לא מ-240. הבדיקה בשורה האחרונה מראה שהמחיר המקורי הוא 300.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

סוחר קנה טלפון ב-1200 ש״ח ומכר אותו ב-1500 ש״ח. מהו אחוז הרווח? שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה:

1500−1200=3001500 - 1200 = 300
3001500=0.2\frac{300}{1500} = 0.2
אחוז הרווח: 25%\text{אחוז הרווח: } 25\%
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3001500=0.2\frac{300}{1500} = 0.2 → 3001200=0.25\frac{300}{1200} = 0.25

Corrigé :

1500−1200=3001500 - 1200 = 300

הרווח בשקלים

3001200=0.25=25%\begin{aligned}\frac{300}{1200} &= 0.25 \\ &= 25\%\end{aligned}

מחלקים במחיר הקנייה

אחוז הרווח נמדד תמיד ביחס למחיר הקנייה, כלומר למחיר שלפני השינוי. חלוקה במחיר המכירה נותנת 20%, וזו טעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

הפקידו 2000 ש״ח בבנק בריבית דריבית של 5% לשנה. השלימו:

אחרי שנה אחת יהיו בחשבון ____ ש״ח, ואחרי שנתיים ____ ש״ח.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אחרי שנה אחת יהיו בחשבון 2100 ש״ח, ואחרי שנתיים 2205 ש״ח.

Corrigé :

2000⋅1.05=21002000 \cdot 1.05 = 2100

השנה הראשונה

2100⋅1.05=22052100 \cdot 1.05 = 2205

השנה השנייה — הריבית על 2100, לא על 2000

בשנה השנייה הריבית היא 105 ש״ח ולא 100: היא מחושבת על הסכום שכבר גדל. זה ההבדל בין ריבית דריבית לריבית רגילה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

המחיר של כרטיס נסיעה עלה מ-80 ש״ח ל-92 ש״ח. השלימו:

המחיר עלה ב-____ ש״ח, שהם ____% מהמחיר המקורי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : המחיר עלה ב-12 ש״ח, שהם 15% מהמחיר המקורי.

Corrigé :

92−80=1292 - 80 = 12

השינוי בשקלים

1280=0.15=15%\begin{aligned}\frac{12}{80} &= 0.15 \\ &= 15\%\end{aligned}

השינוי חלקי המחיר המקורי

אחוז השינוי נמדד מהמחיר שלפני השינוי. אפשר לבדוק גם במקדם: 9280=1.15\frac{92}{80} = 1.15.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

כל מקדם הכפלה מתאר שינוי של מחיר. מיינו את המקדמים לפי סוג השינוי.

  • התייקרות
  • הוזלה
  • ×0.6\times 0.6
  • ×0.93\times 0.93
  • ×0.99\times 0.99
  • ×1.07\times 1.07
  • ×1.5\times 1.5
  • ×2\times 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ×1.07\times 1.07 — התייקרות · ×0.93\times 0.93 — הוזלה · ×1.5\times 1.5 — התייקרות · ×0.6\times 0.6 — הוזלה · ×2\times 2 — התייקרות · ×0.99\times 0.99 — הוזלה

Corrigé :

מקדם>1\text{מקדם} > 1

מקדם גדול מ-1 — התייקרות: 1.07 הוא 7%, 1.5 הוא 50%, 2 הוא 100%

מקדם<1\text{מקדם} < 1

מקדם קטן מ-1 — הוזלה: 0.93 הוא 7%, 0.6 הוא 40%, 0.99 הוא 1%

משווים את המקדם ל-1. המרחק מ-1 הוא אחוז השינוי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

בכל שורה שני שינויים רצופים של אותו מחיר. מיינו לפי המחיר הסופי, בהשוואה למחיר המקורי.

  • גבוה מהמקורי
  • נמוך מהמקורי
  • ירידה של 10% ואז עלייה של 10%
  • ירידה של 20% ואז עלייה של 30%
  • ירידה של 50% ואז עלייה של 80%
  • עלייה של 20% ואז ירידה של 20%
  • עלייה של 40% ואז ירידה של 25%
  • עלייה של 50% ואז ירידה של 30%
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : עלייה של 20% ואז ירידה של 20% — נמוך מהמקורי · עלייה של 50% ואז ירידה של 30% — גבוה מהמקורי · ירידה של 10% ואז עלייה של 10% — נמוך מהמקורי · עלייה של 40% ואז ירידה של 25% — גבוה מהמקורי · ירידה של 20% ואז עלייה של 30% — גבוה מהמקורי · ירידה של 50% ואז עלייה של 80% — נמוך מהמקורי

Corrigé :

1.5⋅0.7=1.05 1.4⋅0.75=1.05 0.8⋅1.3=1.04\begin{aligned}1.5 \cdot 0.7 &= 1.05 \\ \ 1.4 \cdot 0.75 &= 1.05 \\ \ 0.8 \cdot 1.3 &= 1.04\end{aligned}

מקדם כולל גדול מ-1 — גבוה מהמקורי

1.2⋅0.8=0.96 0.9⋅1.1=0.99 0.5⋅1.8=0.9\begin{aligned}1.2 \cdot 0.8 &= 0.96 \\ \ 0.9 \cdot 1.1 &= 0.99 \\ \ 0.5 \cdot 1.8 &= 0.9\end{aligned}

מקדם כולל קטן מ-1 — נמוך מהמקורי

לא משווים את האחוזים — מכפילים את המקדמים ומשווים את התוצאה ל-1. ירידה של 50% ואז עלייה של 80% עדיין משאירה את המחיר נמוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

לכל אחד מהשינויים הבאים מתחילים מסכום של 1000 ש״ח. סדרו את השינויים מהסכום הסופי הקטן ביותר לגדול ביותר.

  • הנחה של 20%
  • עלייה של 20% ואז ירידה של 20%
  • ריבית דריבית של 5% לשנה, במשך שנתיים
  • שתי הנחות רצופות של 10%
  • שתי עליות רצופות של 10%
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הנחה של 20% · שתי הנחות רצופות של 10% · עלייה של 20% ואז ירידה של 20% · ריבית דריבית של 5% לשנה, במשך שנתיים · שתי עליות רצופות של 10%

Corrigé :

1000⋅0.8=8001000 \cdot 0.8 = 800

הנחה של 20%

1000⋅0.92=8101000 \cdot 0.9^2 = 810

שתי הנחות של 10%

1000⋅1.2⋅0.8=9601000 \cdot 1.2 \cdot 0.8 = 960

עלייה ואז ירידה

1000⋅1.052=1102.51000 \cdot 1.05^2 = 1102.5

ריבית דריבית

1000⋅1.12=12101000 \cdot 1.1^2 = 1210

שתי עליות של 10%

שתי הנחות של 10% אינן הנחה של 20%: ההנחה השנייה קטנה יותר, כי היא נמדדת ממחיר נמוך יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

התאימו לכל שינוי את מקדם ההכפלה שלו.

  • הנחה של 30%
  • התייקרות של 30%
  • הנחה של 3%
  • התייקרות של 3%
  • 0.70.7
  • 0.970.97
  • 1.031.03
  • 1.31.3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הנחה של 30% — 0.70.7 · התייקרות של 30% — 1.31.3 · הנחה של 3% — 0.970.97 · התייקרות של 3% — 1.031.03

Corrigé :

1−0.3=0.7 1+0.3=1.3\begin{aligned}1 - 0.3 &= 0.7 \\ \ 1 + 0.3 &= 1.3\end{aligned}

30% — מורידים מ-1 או מוסיפים ל-1

1−0.03=0.97 1+0.03=1.03\begin{aligned}1 - 0.03 &= 0.97 \\ \ 1 + 0.03 &= 1.03\end{aligned}

3% הם 0.03, לא 0.3

התייקרות מוסיפה את האחוז ל-1, והנחה מורידה אותו מ-1. שימו לב ש-3% הם 0.030.03.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe