Médiatrices et hauteurs

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שני יישובים, AA ו-BB, רוצים מגדל מים משותף, במרחק שווה משניהם. איפה אפשר להציב אותו? לא בנקודה אחת: יש קו שלם של מקומות אפשריים, וכולם על ישר אחד, שעובר באמצע הדרך בין היישובים ומאונך לה.

ABMPQ
MM אמצע ABAB, והישר MPMP מאונך ל-ABAB: זה האנך האמצעי. לכל נקודה עליו, PP או QQ, המרחקים משני הקצוות שווים.

למה PA=PBPA = PB בשרטוט? נסו לנמק בעזרת חפיפת משולשים.

Voir la réponse et le corrigé

המשולשים PMAPMA ו-PMBPMB חופפים לפי צ.ז.צ: AM=MBAM = MB (אמצע), ∠PMA=∠PMB=90∘\angle PMA = \angle PMB = 90^\circ (אנך), ו-PMPM צלע משותפת. לכן PA=PBPA = PB. וזה נכון לכל נקודה על הישר.

הגדרה ומקום גאומטרי

אנך אמצעי לקטע הוא ישר המאונך לקטע ועובר דרך אמצעו. שימו לב: התיכון, הגובה וחוצה הזווית יוצאים מקודקוד; האנך האמצעי לא חייב לעבור דרך אף קודקוד.

PA=PBPA = PB

משפט: כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע. וההפך: נקודה שנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע נמצאת על האנך האמצעי שלו.

כמו חוצה הזווית, גם האנך האמצעי הוא מקום גאומטרי: קבוצת כל הנקודות שמקיימות תנאי. חוצה הזווית אוסף את הנקודות ששוות-מרחק משתי שוקיים; האנך האמצעי אוסף את הנקודות ששוות-מרחק משתי נקודות.

ABCDN
האנך האמצעי לצלע BCBC עובר דרך אמצע הצלע, DD, ובדרך כלל לא דרך הקודקוד AA.

במשולש ABCABC שבשרטוט, האם האנך האמצעי לצלע BCBC עובר דרך AA? מתי כן?

Voir la réponse et le corrigé

בדרך כלל לא. הוא עובר דרך AA רק כש-AB=ACAB = AC, כי אז AA שוות-מרחק מ-BB ומ-CC, ולפי המשפט ההפוך היא על האנך האמצעי. במשולש שווה שוקיים האנך האמצעי לבסיס הוא גם הגובה, התיכון וחוצה זווית הראש.

שלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת

ABCDEFO
DD, EE, FF אמצעי הצלעות. שלושת האנכים האמצעיים נפגשים ב-OO, ו-OA=OB=OCOA = OB = OC.

משפט: שלושת האנכים האמצעיים של צלעות המשולש נחתכים בנקודה אחת. ההסבר בא מהמקום הגאומטרי: הנקודה שבה נפגשים האנכים האמצעיים של ABAB ושל BCBC מקיימת OA=OBOA = OB וגם OB=OCOB = OC, ולכן OA=OCOA = OC, ולכן היא גם על האנך האמצעי של ACAC. נקודת המפגש נמצאת במרחק שווה משלושת הקודקודים.

α,β,γ<90∘\alpha, \beta, \gamma < 90^\circ

משולש חד זוויות: נקודת המפגש בתוך המשולש

γ=90∘\gamma = 90^\circ

משולש ישר זווית: נקודת המפגש על אמצע היתר

γ>90∘\gamma > 90^\circ

משולש קהה זווית: נקודת המפגש מחוץ למשולש

ABCO
במשולש ישר זווית נקודת המפגש של האנכים האמצעיים היא אמצע היתר.

במשולש ישר זווית נקודת המפגש של האנכים האמצעיים היא אמצע היתר. איזה משפט מהיחידה הקודמת אומר את אותו דבר?

Voir la réponse et le corrigé

התיכון ליתר שווה למחצית היתר. אמצע היתר OO מקיים OA=OCOA = OC (חצי היתר) וגם OB=OB = חצי היתר, לפי המשפט. שלושת המרחקים שווים, ולכן OO על שלושת האנכים האמצעיים.

גבהים

גובה במשולש הוא קטע היוצא מקודקוד ומאונך לצלע שממול, או להמשכה. משפט: שלושת הגבהים של משולש, או המשכיהם, נחתכים בנקודה אחת. כאן ההבדל בין שלושת סוגי המשולשים בולט ביותר:

α,β,γ<90∘\alpha, \beta, \gamma < 90^\circ

חד זוויות: שלושת הגבהים בתוך המשולש, ונקודת המפגש בפנים

γ=90∘\gamma = 90^\circ

ישר זווית: שני הניצבים הם גבהים, ונקודת המפגש היא קודקוד הזווית הישרה

γ>90∘\gamma > 90^\circ

קהה זווית: שני גבהים נופלים על המשכי הצלעות, ונקודת המפגש מחוץ למשולש

הגובה ליתר במשולש ישר זווית

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=6AC = 6 ו-BC=8BC = 8. CHCH הגובה ליתר. מצאו את CHCH.

AB=62+82=10\begin{aligned}AB &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס

S=AC⋅BC2=6⋅82=24\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BC}{2} \\ &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח בעזרת שני הניצבים: כל ניצב הוא גובה לניצב השני

S=AB⋅CH2 ⇒ 10⋅CH2=24 ⇒ CH=4.8\begin{aligned}S &= \frac{AB \cdot CH}{2} \ \Rightarrow \ \frac{10 \cdot CH}{2} \\ &= 24 \ \Rightarrow \ CH \\ &= 4.8\end{aligned}

אותו שטח בעזרת היתר והגובה אליו

«שטח בשתי דרכים» הוא הכלי לכל גובה במשולש ישר זווית: הניצבים נותנים את השטח, והיתר עם הגובה אליו נותן אותו שטח.

שלוש טעויות של האנך האמצעי והגובה.

AH⊥BC ⇒ BH=HCAH \perp BC \ \Rightarrow \ BH = HC
BH=HC ⇔ AB=AC\begin{aligned}BH &= HC \ \Leftrightarrow \ AB \\ &= AC\end{aligned}

גובה יוצא מקודקוד ומאונך לצלע; אנך אמצעי מאונך לצלע ועובר באמצעה, ובדרך כלל לא מגיע לקודקוד. הם מתלכדים רק במשולש שווה שוקיים.

∠B>90∘ ⇒ H בפנים\angle B > 90^\circ \ \Rightarrow \ H \ \text{בפנים}
∠B>90∘ ⇒ H בחוץ\angle B > 90^\circ \ \Rightarrow \ H \ \text{בחוץ}

במשולש קהה זווית הגבהים עצמם לא נפגשים; המשכיהם נפגשים, מחוץ למשולש.

OA=OB=OC ⇒ O=G\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC \ \Rightarrow \ O \\ &= G\end{aligned}
OA=OB=OC ⇒ O≠G\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC \ \Rightarrow \ O \neq G\end{aligned}

GG היא נקודת מפגש התיכונים. הנקודה ששוות-מרחק מהקודקודים היא מפגש האנכים האמצעיים, ובדרך כלל היא נקודה אחרת: מרחקי GG מהקודקודים שונים זה מזה.

Exercices

Exercice 1

ABMP

PP נקודה על האנך האמצעי של הקטע ABAB. נתון PA=7PA = 7. מהו PBPB?

  1. 1414
  2. לא ניתן לדעת בלי ABAB
  3. 77
  4. 3.53.5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 77

Corrigé :

PA=PB=7\begin{aligned}PA &= PB \\ &= 7\end{aligned}

נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע

הנכונה: 77. אורך ABAB לא נחוץ: המשפט מדבר על שני המרחקים בלבד, והם שווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABCDN
האנך האמצעי לצלע BCBC עובר דרך אמצע הצלע, DD, ובדרך כלל לא דרך הקודקוד AA.

הוכיחו או הפריכו: בכל משולש, האנך האמצעי לצלע עובר דרך הקודקוד שממול לצלע.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

AB≠ACAB \neq AC

דוגמה נגדית: במשולש שבו AB=5AB = 5 ו-AC=8AC = 8 הקודקוד AA אינו שווה-מרחק מ-BB ומ-CC

AB≠AC ⇒ A∉ℓAB \neq AC \ \Rightarrow \ A \notin \ell

ℓ\ell האנך האמצעי של BCBC: לפי המקום הגאומטרי, AA נמצאת עליו רק אם AB=ACAB = AC

הטענה לא נכונה. האנך האמצעי לצלע BCBC עובר דרך AA רק כש-AB=ACAB = AC. זו טעות של ערבוב בין אנך אמצעי לגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABC

במשולש ישר זווית, איפה נמצאת נקודת המפגש של שלושת האנכים האמצעיים?

  1. באמצע הניצב הארוך
  2. באמצע היתר
  3. בקודקוד הזווית הישרה
  4. מחוץ למשולש
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B באמצע היתר

Corrigé :

OA=OB=OC=AC2\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC \\ &= \frac{AC}{2}\end{aligned}

אמצע היתר נמצא במרחק שווה משלושת הקודקודים: התיכון ליתר שווה למחצית היתר

הנכונה: באמצע היתר. בקודקוד הזווית הישרה נפגשים הגבהים, לא האנכים האמצעיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABCO
במשולש ישר זווית נקודת המפגש של האנכים האמצעיים היא אמצע היתר.

במשולש ABCABC הזווית BB ישרה, AB=9AB = 9 ו-BC=12BC = 12. OO נקודת המפגש של האנכים האמצעיים. מצאו את OAOA.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.5

Corrigé :

AC=92+122=15\begin{aligned}AC &= \sqrt{9^2 + 12^2} \\ &= 15\end{aligned}

משפט פיתגורס

OA=OCOA = OC

OO אמצע היתר: במשולש ישר זווית האנכים האמצעיים נפגשים באמצע היתר

OA=AC2=7.5\begin{aligned}OA &= \frac{AC}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

חצי היתר

OA=7.5OA = 7.5, וכך גם OBOB ו-OCOC. שני צעדים: היתר, ואז חצי ממנו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABC

במשולש קהה זווית, איפה נפגשים שלושת הגבהים או המשכיהם?

  1. מחוץ למשולש
  2. בתוך המשולש
  3. על הצלע הארוכה
  4. בקודקוד הזווית הקהה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מחוץ למשולש

Corrigé :

∠B>90∘\angle B > 90^\circ

הגבהים מ-AA ומ-CC נופלים על המשכי הצלעות, מחוץ למשולש

⇒\Rightarrow

המשכי הגבהים נפגשים מחוץ למשולש

הנכונה: מחוץ למשולש. בקודקוד הזווית נפגשים הגבהים רק כשהזווית ישרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCH
CHCH הגובה ליתר. שני הניצבים ACAC ו-BCBC הם גם הם גבהים של המשולש.

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=6AC = 6 ו-BC=8BC = 8. CHCH הגובה ליתר ABAB. מצאו את CHCH.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.8

Corrigé :

AB=36+64=10\begin{aligned}AB &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס

S=6⋅82=24\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח בעזרת הניצבים

10⋅CH2=24 ⇒ CH=4.8\begin{aligned}\frac{10 \cdot CH}{2} &= 24 \ \Rightarrow \ CH \\ &= 4.8\end{aligned}

אותו שטח בעזרת היתר והגובה ליתר

CH=4.8CH = 4.8. הגובה ליתר קצר משני הניצבים, וזה תמיד כך: הוא הקטע הקצר ביותר מ-CC אל ABAB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

התאימו לכל סוג משולש את מיקום נקודת המפגש של הגבהים (או המשכיהם).

  • חד זוויות
  • ישר זווית
  • קהה זווית
  • בקודקוד הזווית הישרה
  • בתוך המשולש
  • מחוץ למשולש
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : חד זוויות — בתוך המשולש · ישר זווית — בקודקוד הזווית הישרה · קהה זווית — מחוץ למשולש

Corrigé :

∠C=90∘ ⇒ AC⊥BC\angle C = 90^\circ \ \Rightarrow \ AC \perp BC

במשולש ישר זווית שני הניצבים הם גבהים, ושניהם עוברים דרך CC

שלושה סוגים, שלושה מקומות. הכלל לזכור: ככל שהזווית הגדולה גדלה, נקודת המפגש «נדחפת» מהפנים אל הקודקוד ואז החוצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCD

במשולש ABCABC נתון AB=AC=10AB = AC = 10 ו-BC=12BC = 12. ADAD הגובה לבסיס BCBC. השלימו.

BD=BD = ____ , AD=AD = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : BD=BD = 6 , AD=AD = 8

Corrigé :

BD=DC=6\begin{aligned}BD &= DC \\ &= 6\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

AD2=102−62=64 ⇒ AD=8\begin{aligned}AD^2 &= 10^2 - 6^2 \\ &= 64 \ \Rightarrow \ AD \\ &= 8\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש ABDABD

BD=6BD = 6 ו-AD=8AD = 8. הגובה ADAD הוא כאן גם התיכון, גם חוצה זווית הראש וגם האנך האמצעי ל-BCBC. ארבעה שמות, קטע אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABMP

PP נקודה על האנך האמצעי של הקטע ABAB. נתון PA=2x+1PA = 2x + 1 ו-PB=3x−4PB = 3x - 4. מצאו את xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

PA=PBPA = PB

נקודה על האנך האמצעי שוות-מרחק מקצות הקטע

2x+1=3x−4 ⇒ x=5\begin{aligned}2x + 1 &= 3x - 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

On résout

PA=PB=11\begin{aligned}PA &= PB \\ &= 11\end{aligned}

בדיקה ✓

x=5x = 5. המשפט הופך שרטוט למשוואה: שוויון מרחקים, ואז אלגברה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABPQ

נתון: PA=PBPA = PB ו-QA=QBQA = QB. הוכיחו: הישר PQPQ הוא האנך האמצעי של הקטע ABAB.

  • PA=PBPA = PB
  • QA=QBQA = QB

PQPQ הוא האנך האמצעי של ABAB

Voir la réponse et le corrigé
  1. PP נמצאת על האנך האמצעי של ABAB — נקודה שנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע נמצאת על האנך האמצעי שלו (המשפט ההפוך)
  2. QQ נמצאת על האנך האמצעי של ABAB — אותו נימוק: QA=QBQA = QB
  3. PQPQ הוא האנך האמצעי של ABAB — דרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד, ושתיהן על האנך האמצעי

Corrigé :

PA=PB QA=QB ⇒ PQ∈ℓ\begin{aligned}PA &= PB \\ \ QA &= QB \ \Rightarrow \ P \\ Q \in \ell\end{aligned}

ℓ\ell האנך האמצעי של ABAB: המשפט ההפוך, פעמיים

PQ=ℓPQ = \ell

דרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד

בלי חפיפת משולשים בכלל. המקום הגאומטרי עושה את העבודה: כל נקודה ששוות-מרחק מ-AA ומ-BB נמצאת על אותו ישר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe