מבחן לדוגמא — שליש ראשון

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבחן לדוגמא — שליש ראשון. 5 שאלות עם סעיפים, 18 סעיפים בסך הכול, 75 דקות. החומר: גאומטריה אנליטית, דמיון משולשים, טריגונומטריה במשולש ישר זווית, טכניקה אלגברית, הפונקציה הריבועית וסטטיסטיקה תיאורית.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה, ובסטטיסטיקה ספרו תלמידים, לא עמודות.

Exercices

שאלה 1 — גאומטריה אנליטית

Exercice 1

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית. נתונים שלושה מקודקודיה: A(−1,1)A(-1, 1), B(3,−1)B(3, -1) ו-C(5,3)C(5, 3). א. מצאו את שיעורי הקודקוד DD.

D=D = ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D=D = ( 1 , 5 )

Corrigé :

MAC=(−1+52,1+32)=(2,2)\begin{aligned}M_{AC} &= \left(\frac{-1+5}{2}, \frac{1+3}{2}\right) \\ &= (2, 2)\end{aligned}

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן MM הוא גם אמצע BDBD

3+xD2=2−1+yD2=2\begin{aligned}\frac{3 + x_D}{2} &= 2 \\ \quad \frac{-1 + y_D}{2} &= 2\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע, עם BB ו-DD

D=(1,5)D = (1, 5)

פותרים כל משוואה

D(1,5)D(1, 5). המלכודת: לחשב את אמצע ABAB או את אמצע BCBC. הנקודה המשותפת לשני האלכסונים היא אמצע ACAC, ו-DD נמצא בקצה השני של האלכסון BDBD.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית. נתונים שלושה מקודקודיה: A(−1,1)A(-1, 1), B(3,−1)B(3, -1) ו-C(5,3)C(5, 3). הקודקוד הרביעי הוא D(1,5)D(1, 5). ב. איזה מרובע הוא ABCDABCD? היעזרו בשיפועים ובאורכי הצלעות.

  1. ריבוע
  2. מלבן שאינו ריבוע
  3. מעוין שאינו ריבוע
  4. מקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A ריבוע

Corrigé :

mAB=−1−13−(−1)=−12mBC=3−(−1)5−3=2\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{-1-1}{3-(-1)} \\ &= -\frac{1}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{3-(-1)}{5-3} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע: הפרש ה-yy חלקי הפרש ה-xx

−12⋅2=−1⇒AB⊥BC-\frac{1}{2} \cdot 2 = -1 \Rightarrow AB \perp BC

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1. מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן

AB=42+22=20BC=22+42=20\begin{aligned}AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{20} \\ \quad BC &= \sqrt{2^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק בין שתי נקודות

AB=BCAB = BC

מלבן ששתי צלעות סמוכות בו שוות הוא ריבוע

ABCDABCD ריבוע. המלכודת: לעצור אחרי הזווית הישרה ולענות «מלבן». צריך לבדוק גם את אורכי הצלעות הסמוכות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית. נתונים שלושה מקודקודיה: A(−1,1)A(-1, 1), B(3,−1)B(3, -1) ו-C(5,3)C(5, 3). הקודקוד הרביעי הוא D(1,5)D(1, 5), ו-ABCDABCD ריבוע. ג. חשבו את שטח ABCDABCD.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

AB=20AB = \sqrt{20}

אורך הצלע, מסעיף ב

S=AB2=(20)2=20\begin{aligned}S &= AB^2 \\ &= (\sqrt{20})^2 \\ &= 20\end{aligned}

שטח ריבוע: צלע בריבוע

AC=BD=40⇒S=AC⋅BD2=402=20\begin{aligned}AC &= BD \\ &= \sqrt{40} \Rightarrow S \\ &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{40}{2} \\ &= 20\end{aligned}

בדיקה: שטח ריבוע הוא חצי מכפלת האלכסונים

השטח 2020. המלכודת: לכתוב 20\sqrt{20} — זה אורך הצלע, לא השטח.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — דמיון משולשים וטריגונומטריה

Exercice 4

CABDE

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=8AC = 8 ו-BC=6BC = 6. הנקודה DD היא אמצע ACAC. דרך DD העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ABAB בנקודה EE. א. הוכיחו כי △ADE∼△ACB\triangle ADE \sim \triangle ACB, וחשבו את DEDE.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

∠A=∠A\angle A = \angle A

זווית משותפת לשני המשולשים

∠ADE=∠ACB=90∘\begin{aligned}\angle ADE &= \angle ACB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים DE∥CBDE \parallel CB

△ADE∼△ACB\triangle ADE \sim \triangle ACB

משולשים דומים לפי ז.ז

DECB=ADAC=48⇒DE=3\begin{aligned}\frac{DE}{CB} &= \frac{AD}{AC} \\ &= \frac{4}{8} \Rightarrow DE \\ &= 3\end{aligned}

במשולשים דומים הצלעות המתאימות פרופורציוניות

DE=3DE = 3: יחס הדמיון 12\frac{1}{2}. המלכודת: להתאים צלעות לפי המיקום בשרטוט במקום לפי הזוויות — DEDE מול ∠A\angle A מתאימה ל-CBCB מול ∠A\angle A.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

CABDE

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=8AC = 8 ו-BC=6BC = 6. הנקודה DD היא אמצע ACAC. דרך DD העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ABAB בנקודה EE. המשולשים ADEADE ו-ACBACB דומים ביחס 12\frac{1}{2}. ב. חשבו את שטח הטרפז DCBEDCBE.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

SACB=8⋅62=24\begin{aligned}S_{ACB} &= \frac{8 \cdot 6}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: חצי מכפלת הניצבים

SADESACB=(12)2=14⇒SADE=6\begin{aligned}\frac{S_{ADE}}{S_{ACB}} &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{4} \Rightarrow S_{ADE} \\ &= 6\end{aligned}

Le rapport des aires (יחס השטחים) de triangles semblables (משולשים דומים) est égal au carré (ריבוע) du rapport de similitude (יחס הדמיון)

SDCBE=24−6=18\begin{aligned}S_{DCBE} &= 24 - 6 \\ &= 18\end{aligned}

שטח הטרפז: המשולש הגדול פחות הקטן

שטח הטרפז 1818. המלכודת: לקחת את יחס השטחים 12\frac{1}{2} כמו יחס הצלעות, ולקבל 1212.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

CABDE

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=8AC = 8 ו-BC=6BC = 6. הנקודה DD היא אמצע ACAC. דרך DD העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ABAB בנקודה EE. מסעיף א: DE=3DE = 3. ג. חשבו את הזווית ∠AED\angle AED. עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 53.1

Corrigé :

∠ADE=90∘\angle ADE = 90^\circ

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים: ∠ADE=∠ACB\angle ADE = \angle ACB

tan⁡∠AED=ADDE=43\begin{aligned}\tan \angle AED &= \frac{AD}{DE} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

במשולש ישר זווית: טנגנס = ניצב מול הזווית חלקי ניצב ליד הזווית

∠AED=tan⁡−1(43)≈53.1∘\angle AED = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ

במחשבון

∠AED≈53.1∘\angle AED \approx 53.1^\circ. המלכודת: לחשב tan⁡−1(34)≈36.9∘\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \approx 36.9^\circ — זו הזווית AA. הניצב שמול ∠AED\angle AED הוא ADAD.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — טכניקה אלגברית ומשוואות

Exercice 7

א. צמצמו את השבר x2−9x2+x−6\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6}.

  1. x+3x−2\dfrac{x+3}{x-2}
  2. x−3x+2\dfrac{x-3}{x+2}
  3. x−3x−2\dfrac{x-3}{x-2}
  4. −9x−6\dfrac{-9}{x-6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x−3x−2\dfrac{x-3}{x-2}

Corrigé :

x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

הפרש ריבועים

x2+x−6=(x+3)(x−2)x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)

טרינום: מכפלה −6-6, סכום 11

(x−3)(x+3)(x+3)(x−2)=x−3x−2x≠−3 x≠2\begin{aligned}\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x-2)} &= \frac{x-3}{x-2} \\ \quad x \neq -3 \\ \ x \neq 2\end{aligned}

מצמצמים את הגורם המשותף, ותחום ההצבה נשאר של השבר המקורי

המלכודת: «לצמצם» את x2x^2 עם x2x^2 ולקבל −9x−6\frac{-9}{x-6}. מצמצמים רק גורמים של מכפלה, אחרי פירוק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ב. פתרו את המשוואה xx−2−3x+2=1\dfrac{x}{x-2} - \dfrac{3}{x+2} = 1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

x≠2,x≠−2x \neq 2 ,\quad x \neq -2

תחום ההצבה: המכנים שונים מאפס

x(x+2)−3(x−2)=(x−2)(x+2)x(x+2) - 3(x-2) = (x-2)(x+2)

כופלים במכנה המשותף (x−2)(x+2)(x-2)(x+2)

x2+2x−3x+6=x2−4⇒−x=−10\begin{aligned}x^2 + 2x - 3x + 6 &= x^2 - 4 \Rightarrow -x \\ &= -10\end{aligned}

פותחים סוגריים; x2x^2 מתבטל

x=10x = 10

בתחום ההצבה. בדיקה: 108−312=1.25−0.25=1\frac{10}{8} - \frac{3}{12} = 1.25 - 0.25 = 1 ✓

x=10x = 10. המלכודת: לכפול רק את השברים במכנה המשותף ולשכוח את אגף ימין — גם ה-11 נכפל ב-(x−2)(x+2)(x-2)(x+2).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ג. בשרטוט הגרפים של y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 ושל y=x+1y = x + 1. מצאו את נקודות החיתוך שלהם בדרך אלגברית.

הנקודה עם xx הקטן: ( ____ , ____ ) ; הנקודה עם xx הגדול: ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הנקודה עם xx הקטן: ( -1 , 0 ) ; הנקודה עם xx הגדול: ( 4 , 5 )

Corrigé :

x2−2x−3=x+1x^2 - 2x - 3 = x + 1

בנקודת חיתוך שני ה-yy שווים

x2−3x−4=0⇒(x−4)(x+1)=0\begin{aligned}x^2 - 3x - 4 &= 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים אגף ומפרקים

x=−1⇒y=0x=4⇒y=5\begin{aligned}x &= -1 \Rightarrow y \\ &= 0 \\ \quad x &= 4 \Rightarrow y \\ &= 5\end{aligned}

מציבים במשוואת הישר, שהיא הפשוטה

(−1,0)(-1, 0) ו-(4,5)(4, 5). שני פתרונות למערכת: הישר חותך את הפרבולה פעמיים. המלכודת: לעצור אחרי ה-xx ולא למצוא את ה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — הפונקציה הריבועית

Exercice 10

נתונה הפונקציה f(x)=−x2+2x+8f(x) = -x^2 + 2x + 8. א. מצאו את קודקוד הפרבולה.

הקודקוד: ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הקודקוד: ( 1 , 9 )

Corrigé :

x=−b2a=−22⋅(−1)=1\begin{aligned}x &= -\frac{b}{2a} \\ &= -\frac{2}{2 \cdot (-1)} \\ &= 1\end{aligned}

שיעור ה-xx של הקודקוד

f(1)=−1+2+8=9\begin{aligned}f(1) &= -1 + 2 + 8 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים בפונקציה

f(x)=−(x−1)2+9f(x) = -(x-1)^2 + 9

בדיקה בצורת הקודקוד

הקודקוד (1,9)(1, 9), והוא נקודת מקסימום כי a=−1<0a = -1 < 0. המלכודת: לשכוח את המינוס של aa ולקבל x=−1x = -1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה הפונקציה f(x)=−x2+2x+8f(x) = -x^2 + 2x + 8. הקודקוד הוא (1,9)(1, 9). ב. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

x=x = ____ (הקטן) ו-x=x = ____ (הגדול)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = -2 (הקטן) ו-x=x = 4 (הגדול)

Corrigé :

−x2+2x+8=0⇒x2−2x−8=0\begin{aligned}-x^2 + 2x + 8 &= 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 \\ &= 0\end{aligned}

על ציר ה-xx: f(x)=0f(x) = 0; כופלים ב-−1-1

(x−4)(x+2)=0⇒x=4 x=−2\begin{aligned}(x-4)(x+2) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4 \\ \ x &= -2\end{aligned}

טרינום: מכפלה −8-8, סכום −2-2

−2+42=1\frac{-2 + 4}{2} = 1

בדיקה: הקודקוד באמצע בין נקודות האפס ✓

x=−2x = -2 ו-x=4x = 4. המלכודת: לקחת את המספרים שבתוך הסוגריים עם הסימן שלהם, ולקבל −4-4 ו-22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתונה הפונקציה f(x)=−x2+2x+8f(x) = -x^2 + 2x + 8. נקודות האפס שלה x=−2x = -2 ו-x=4x = 4. ג. פתרו את אי-השוויון f(x)>0f(x) > 0.

  1. x<−2x < -2 או x>4x > 4
  2. −2≤x≤4-2 \le x \le 4
  3. −2<x<4-2 < x < 4
  4. x>4x > 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −2<x<4-2 < x < 4

Corrigé :

a=−1<0a = -1 < 0

הפרבולה פתוחה כלפי מטה

f(x)>0  ⟺  −2<x<4f(x) > 0 \iff -2 < x < 4

פרבולת מקסימום חיובית בין נקודות האפס

f(0)=8>0f(0) = 8 > 0

בדיקה בנקודה x=0x = 0 שבקטע ✓

הפתרון −2<x<4-2 < x < 4. המלכודת: להעתיק את התבנית של פרבולה פתוחה כלפי מעלה — «מחוץ לשורשים». כאן a<0a < 0, ולכן להפך. ואי-שוויון חזק: הקצוות לא בפנים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

נתונה הפונקציה f(x)=−x2+2x+8f(x) = -x^2 + 2x + 8. הקודקוד שלה הוא (1,9)(1, 9). ד. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x) = k בדיוק שני פתרונות?

  1. k=9k = 9
  2. k<8k < 8
  3. k<9k < 9
  4. k>9k > 9
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C k<9k < 9

Corrigé :

y=ky = k

פתרונות המשוואה הם נקודות החיתוך של הפרבולה עם הישר האופקי y=ky = k

k<9k < 9

מתחת לקודקוד הישר חותך את פרבולת המקסימום בשתי נקודות

k=9⇒x=1\begin{aligned}k &= 9 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

בגובה הקודקוד — פתרון אחד; מעליו — אין פתרון

k<9k < 9. המלכודת: לענות k<8k < 8 כי f(0)=8f(0) = 8. חיתוך עם ציר ה-yy לא משנה כאן — רק הגובה של הקודקוד.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — סטטיסטיקה תיאורית

Exercice 14

מספר התשובות הנכונות בבוחן — 20 תלמידים
567891001234567מספר תשובות נכונותמספר תלמידים

בבוחן של 1010 שאלות השתתפו 2020 תלמידים. בדיאגרמה: כמה תלמידים ענו נכון על כל מספר של שאלות. א. חשבו את הממוצע של מספר התשובות הנכונות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.65

Corrigé :

5⋅1+6⋅3+7⋅5+8⋅6+9⋅3+10⋅2=1535 \cdot 1 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 6 + 9 \cdot 3 + 10 \cdot 2 = 153

ערך כפול שכיחות, לכל עמודה

xˉ=15320=7.65\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{153}{20} \\ &= 7.65\end{aligned}

מחלקים במספר התלמידים

הממוצע 7.657.65. המלכודת: לחלק ב-66 — מספר העמודות. מחלקים במספר התלמידים, 2020.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

מספר התשובות הנכונות בבוחן — 20 תלמידים
567891001234567מספר תשובות נכונותמספר תלמידים

בבוחן של 1010 שאלות השתתפו 2020 תלמידים. בדיאגרמה: כמה תלמידים ענו נכון על כל מספר של שאלות. ב. מצאו את החציון של מספר התשובות הנכונות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

n=20n = 20

מספר זוגי של נתונים: החציון הוא ממוצע הנתון ה-1010 והנתון ה-1111

1, 4, 9, 15, 18, 201,\ 4,\ 9,\ 15,\ 18,\ 20

שכיחויות מצטברות

x10=x11=8⇒Me=8\begin{aligned}x_{10} &= x_{11} \\ &= 8 \Rightarrow \text{Me} \\ &= 8\end{aligned}

הנתונים 1010 עד 1515 שווים ל-88

החציון 88. המלכודת: לבחור את העמודה האמצעית בדיאגרמה (77 או 88) בלי לספור תלמידים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

מספר התשובות הנכונות בבוחן — 20 תלמידים
567891001234567מספר תשובות נכונותמספר תלמידים

בבוחן של 1010 שאלות השתתפו 2020 תלמידים. בדיאגרמה: כמה תלמידים ענו נכון על כל מספר של שאלות. ג. כמה אחוזים מהתלמידים ענו נכון על 99 שאלות לפחות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

3+2=53 + 2 = 5

«לפחות 99»: 99 או 1010 תשובות נכונות

520⋅100=25%\frac{5}{20} \cdot 100 = 25\%

שכיחות יחסית באחוזים

25%25\%. המלכודת: לספור רק את מי שענו על 99 בדיוק (15%15\%). «לפחות 99» כולל גם את ה-1010.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

מספר התשובות הנכונות בבוחן — 20 תלמידים
567891001234567מספר תשובות נכונותמספר תלמידים

בבוחן של 1010 שאלות השתתפו 2020 תלמידים. בדיאגרמה: כמה תלמידים ענו נכון על כל מספר של שאלות. הממוצע של מספר התשובות הנכונות הוא 7.657.65. הציון בבוחן מחושב כך: 88 נקודות לכל תשובה נכונה, ועוד 2020 נקודות לכל תלמיד. ד. מהו ממוצע הציונים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 81.2

Corrigé :

y=8x+20y = 8x + 20

כל ציון מתקבל ממספר התשובות: כפל ב-88, ואחר כך חיבור 2020

yˉ=8⋅7.65+20=81.2\begin{aligned}\bar{y} &= 8 \cdot 7.65 + 20 \\ &= 81.2\end{aligned}

הממוצע עובר את אותן פעולות

8⋅5+20=608⋅10+20=100\begin{aligned}8 \cdot 5 + 20 &= 60 \\ \quad 8 \cdot 10 + 20 &= 100\end{aligned}

בדיקה: הציונים בין 6060 ל-100100 ✓

ממוצע הציונים 81.281.2. המלכודת: לחבר את 2020 ואז לכפול ב-88. סדר הפעולות על הממוצע הוא סדר הפעולות על כל ציון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

מספר התשובות הנכונות בבוחן — 20 תלמידים
567891001234567מספר תשובות נכונותמספר תלמידים

בבוחן של 1010 שאלות השתתפו 2020 תלמידים. בדיאגרמה: כמה תלמידים ענו נכון על כל מספר של שאלות. הציון: 88 נקודות לכל תשובה נכונה ועוד 2020. ה. הוכיחו או הפריכו: הטווח של הציונים שווה לטווח של מספר התשובות הנכונות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

10−5=510 - 5 = 5

טווח מספר התשובות: הגדול פחות הקטן

100−60=40=8⋅5\begin{aligned}100 - 60 &= 40 \\ &= 8 \cdot 5\end{aligned}

טווח הציונים

+20+20

חיבור קבוע לא משנה את הטווח; כפל ב-88 מכפיל אותו ב-88

לא נכון: הטווח גדל מ-55 ל-4040. המלכודת: לחשוב שמדד פיזור לא משתנה בכלל. רק ה-+20+20 לא משנה אותו; ה-×8\times 8 כן.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe