מבחן לדוגמא — סוף שנה

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבחן לדוגמא — סוף שנה. 7 שאלות עם סעיפים, 24 סעיפים בסך הכול, 120 דקות. החומר: כל החומר של השנה — גאומטריה אנליטית, דמיון וטריגונומטריה, פונקציית השורש, בעיית ערך קיצון, משוואות, עץ הסתברויות וסטיית תקן.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה, ובחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון.

Exercices

שאלה 1 — גאומטריה אנליטית

Exercice 1

נתון המשולש $ABC$ : $A(1, 5)$ , $B(5, 1)$ , $C(-1, 1)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . א. מצאו את משוואת הישר $AB$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $y =$ -1 $x +$ 6

Corrigé :

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1-5}{5-1} \\ &= -1\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

\begin{aligned}y - 5 &= -1(x - 1) \Rightarrow y \\ &= -x + 6\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

-5 + 6 = 1

בדיקה עם $B$ ✓

$y = -x + 6$ . השיפוע $-1$ : הישר יורד בזווית של $45^\circ$ עם ציר ה- $x$ . המלכודת: להחליף מונה ומכנה בשיפוע — כאן זה לא משנה, ולכן בודקים עם נקודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון המשולש $ABC$ : $A(1, 5)$ , $B(5, 1)$ , $C(-1, 1)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . משוואת $AB$ היא $y = -x + 6$ . ב. מצאו את שיעורי הנקודה $H$ .

$H$ ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $H =$ ( 2 , 4 )

Corrigé :

\begin{aligned}m_{CH} \cdot (-1) &= -1 \Rightarrow m_{CH} \\ &= 1\end{aligned}

הגובה מאונך לצלע: מכפלת השיפועים $-1$

\begin{aligned}y - 1 &= 1 \cdot (x + 1) \Rightarrow y \\ &= x + 2\end{aligned}

ישר דרך $C$ בשיפוע $1$

\begin{aligned}-x + 6 &= x + 2 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ y &= 4\end{aligned}

$H$ היא נקודת החיתוך של $CH$ עם $AB$

$H(2, 4)$ . המלכודת: לקחת את אמצע $AB$ , $(3, 3)$ — זה עקב התיכון, לא עקב הגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון המשולש $ABC$ : $A(1, 5)$ , $B(5, 1)$ , $C(-1, 1)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . עקב הגובה הוא $H(2, 4)$ . ג. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= \sqrt{4^2 + 4^2} \\ &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

אורך הבסיס, בנוסחת המרחק

\begin{aligned}CH &= \sqrt{3^2 + 3^2} \\ &= 3\sqrt{2}\end{aligned}

אורך הגובה, בנוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \frac{4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{24}{2} \\ &= 12\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה; $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$

השטח $12$ . בדיקה: הצלע $12$ אופקית באורך $6$ , והגובה אליה $4$ , ו- $4$ ✓. המלכודת: לכפול את $AB$ ב- $CA$ — גובה חייב להיות מאונך לבסיס.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — דמיון וטריגונומטריה במשולש ישר זווית

Exercice 4

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $CD$ הוא הגובה ליתר, ו- $CM$ הוא התיכון ליתר. א. מדוע $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ ?

צ.ז.צ — $AC$ משותפת, והזווית $A$ משותפת
המשולשים חופפים, ולכן גם דומים
צ.צ.צ — שלוש הצלעות פרופורציוניות, לפי הנתונים
ז.ז — הזווית $A$ משותפת, ו- $\angle ADC = \angle ACB = 90^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D ז.ז — הזווית $A$ משותפת, ו- $\angle ADC = \angle ACB = 90^\circ$

Corrigé :

\angle A = \angle A

זווית משותפת לשני המשולשים

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ACB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

$CD$ גובה, ו- $C$ זווית ישרה בנתון

\triangle ACD \sim \triangle ABC

משולשים דומים לפי ז.ז

ז.ז. המלכודת: צ.ז.צ דורש יחס שווה בין שני זוגות צלעות, ו- $AC$ אינה «משותפת» באותו תפקיד בשני המשולשים: בגדול היא ניצב, בקטן היא יתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $CD$ הוא הגובה ליתר, ו- $CM$ הוא התיכון ליתר. $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ . ב. חשבו את $AD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.6

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$

\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}

משולשים דומים: $AD$ מול $\angle ACD$ מתאימה ל- $AC$ מול $\angle B$

\begin{aligned}AD &= \frac{6^2}{10} \\ &= 3.6\end{aligned}

On résout

$AD = 3.6$ . המלכודת: $\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{BC}$ , כלומר $4.5$ — התאמה לפי מיקום ולא לפי הזוויות. היתר של הקטן ( $4.5$ ) מתאים ליתר של הגדול ( $AB$ ).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $CD$ הוא הגובה ליתר, ו- $CM$ הוא התיכון ליתר. מסעיף ב: $AB = 10$ . ג. חשבו את $CM$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

CM = \frac{1}{2} AB

במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}CM &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

On remplace (מציבים)

$CM = 5$ , ולכן גם $MA = MB = MC = 5$ . המלכודת: לחשב את $CM$ בפיתגורס בלי ניצב מתאים — המשפט נותן אותו מיד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $CD$ הוא הגובה ליתר, ו- $CM$ הוא התיכון ליתר. $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ , ויחס הדמיון $\frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$ . ד. חשבו את שטח המשולש $ACD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8.64

Corrigé :

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים

\begin{aligned}\frac{S_{ACD}}{S_{ABC}} &= \left(\frac{3}{5}\right)^2 \\ &= \frac{9}{25}\end{aligned}

Le rapport des aires (יחס השטחים) de triangles semblables (משולשים דומים) est égal au carré (ריבוע) du rapport de similitude (יחס הדמיון)

\begin{aligned}S_{ACD} &= 24 \cdot \frac{9}{25} \\ &= 8.64\end{aligned}

On remplace (מציבים)

\begin{aligned}CD &= \frac{6 \cdot 8}{10} \\ &= 4.8 \\ \quad \frac{3.6 \cdot 4.8}{2} &= 8.64\end{aligned}

בדיקה: הגובה ליתר, ואז חצי בסיס כפול גובה ✓

$S_{ACD} = 8.64$ . המלכודת: לכפול ב- $\frac{3}{5}$ ולקבל $14.4$ — יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $CD$ הוא הגובה ליתר, ו- $CM$ הוא התיכון ליתר. מהסעיפים הקודמים: $AD = 3.6$ ו- $AM = 5$ . נתון גם: $CD = 4.8$ . ה. חשבו את הזווית $\angle DCM$ . עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16.3

Corrigé :

\begin{aligned}DM &= AM - AD \\ &= 5 - 3.6 \\ &= 1.4\end{aligned}

$D$ בין $A$ ל- $M$

\begin{aligned}\tan \angle DCM &= \frac{DM}{CD} \\ &= \frac{1.4}{4.8}\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $CDM$ : ניצב מול חלקי ניצב ליד

\angle DCM = \tan^{-1}\left(\frac{1.4}{4.8}\right) \approx 16.3^\circ

במחשבון

\begin{aligned}\angle MCA &= \angle A \approx 53.1^\circ \\ \quad \angle ACD &= 90^\circ - 53.1^\circ \\ &= 36.9^\circ\end{aligned}

בדיקה: $MA = MC$ (משולש שווה שוקיים) — וההפרש $53.1^\circ - 36.9^\circ \approx 16.3^\circ$ ✓

$\angle DCM \approx 16.3^\circ$ . המלכודת: לחשב $\tan^{-1}\left(\frac{4.8}{1.4}\right)$ — זו הזווית $\angle CMD$ .

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — פונקציית השורש

Exercice 9

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = x\sqrt{12 - x}$ . א. מהו תחום ההגדרה של $f$ ?

$x < 12$
$x \ge 0$
$x \ge 12$
$x \le 12$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $x \le 12$

Corrigé :

12 - x \ge 0

ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי-שלילי

x \le 12

On résout

\begin{aligned}f(12) &= 12 \cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

הקצה $x = 12$ בתחום: שורש של אפס מוגדר

$x \le 12$ . המלכודת: לכתוב $x < 12$ — השורש של $0$ מוגדר. ו- $x \ge 0$ שגוי: ה- $x$ שמחוץ לשורש יכול להיות שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = x\sqrt{12 - x}$ . ב. מהי הנגזרת $f'(x)$ , בתחום $x < 12$ ?

$\dfrac{1}{2\sqrt{12 - x}}$
$\dfrac{-x}{2\sqrt{12 - x}}$
$\sqrt{12 - x} + \dfrac{x}{2\sqrt{12 - x}}$
$\dfrac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}$

Corrigé :

(\sqrt{12 - x})' = \frac{-1}{2\sqrt{12 - x}}

נגזרת של $\sqrt{g(x)}$ היא $\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ , ו- $g'(x) = -1$

f'(x) = 1 \cdot \sqrt{12 - x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{12 - x}}

נגזרת של מכפלה

= \frac{2(12 - x) - x}{2\sqrt{12 - x}} = \frac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}

מכנה משותף

המלכודת: לשכוח את נגזרת הפנים, $-1$ , ולקבל סימן $+$ באיבר השני. ובקצה $x = 12$ הנגזרת לא מוגדרת — מכנה אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = x\sqrt{12 - x}$ . הנגזרת: $f'(x) = \dfrac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}$ . ג. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של $f$ . (בקצה התחום, $(12, 0)$ , יש נקודת קיצון נוספת.)

נקודת מקסימום: ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נקודת מקסימום: ( 8 , 16 )

Corrigé :

\begin{aligned}24 - 3x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 8\end{aligned}

$f'(x) = 0$ : המונה אפס

f'(7) > 0 ,\quad f'(10) < 0

טבלת סימנים: המכנה חיובי, והסימן הוא סימן המונה

\begin{aligned}f(8) &= 8\sqrt{4} \\ &= 16\end{aligned}

מציבים ב- $f$

מקסימום $(8, 16)$ ; בקצה $(12, 0)$ יש מינימום מקומי, כי $f$ יורדת אליו. המלכודת: להציב $x = 8$ בנגזרת או לשכוח שהשורש של $4$ הוא $4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = x\sqrt{12 - x}$ . הנגזרת: $f'(x) = \dfrac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}$ . ד. מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f$ בנקודה שבה $f$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $y =$ 2.5 $x +$ 1.5

Corrigé :

\begin{aligned}f(3) &= 3\sqrt{9} \\ &= 9\end{aligned}

נקודת ההשקה $(3, 9)$

\begin{aligned}f'(3) &= \frac{24 - 9}{2 \cdot 3} \\ &= \frac{15}{6} \\ &= 2.5\end{aligned}

שיפוע המשיק

\begin{aligned}y - 9 &= 2.5(x - 3) \Rightarrow y \\ &= 2.5x + 1.5\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

$y = 2.5x + 1.5$ . המלכודת: לחשב $\sqrt{12 - 3}$ כ- $\sqrt{12} - \sqrt{3}$ . מחשבים קודם את מה שבתוך השורש: $\sqrt{9} = 3$ .

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — בעיית ערך קיצון

Exercice 13

הקודקודים $A$ ו- $B$ של המלבן $ABCD$ נמצאים על ציר ה- $x$ , והקודקודים $x$ ו- $D$ על הפרבולה $D$ . המלבן סימטרי ביחס לציר ה- $y$ , ו- $y$ הוא שיעור ה- $x$ של $B$ ( $B$ ). א. הביעו את שטח המלבן בעזרת $x$ .

$S(x) = 2x + 2(12 - x^2)$
$S(x) = 2x^2(12 - x)$
$S(x) = 12x - x^3$
$S(x) = 24x - 2x^3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $S(x) = 24x - 2x^3$

Corrigé :

AB = 2x

המלבן סימטרי: $A(-x, 0)$ ו- $B(x, 0)$

BC = 12 - x^2

הגובה הוא ה- $y$ של $C$ על הפרבולה

\begin{aligned}S(x) &= 2x(12 - x^2) \\ &= 24x - 2x^3\end{aligned}

שטח: אורך כפול רוחב

המלכודת: לקחת $x$ בתור הבסיס כולו ולקבל $12x - x^3$ — זה רק חצי המלבן. $x$ הוא חצי הבסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

הקודקודים $A$ ו- $B$ של המלבן $ABCD$ נמצאים על ציר ה- $x$ , והקודקודים $x$ ו- $D$ על הפרבולה $D$ . המלבן סימטרי ביחס לציר ה- $y$ , ו- $y$ הוא שיעור ה- $x$ של $B$ ( $B$ ). שטח המלבן: $S(x) = 24x - 2x^3$ . ב. לאיזה ערך של $x$ השטח מקסימלי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

S'(x) = 24 - 6x^2

גוזרים

\begin{aligned}24 - 6x^2 &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= 4 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

$x = -2$ מחוץ לתחום $0 < x < \sqrt{12}$

\begin{aligned}S'(1) &= 18 > 0 \\ \quad S'(3) &= -30 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עולה ואחר כך יורדת — מקסימום

$x = 2$ . המלכודת: לא לבדוק את סוג הקיצון. בבעיית קיצון צריך להראות שזה מקסימום, בטבלה או בקצוות התחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

הקודקודים $A$ ו- $B$ של המלבן $ABCD$ נמצאים על ציר ה- $x$ , והקודקודים $x$ ו- $D$ על הפרבולה $D$ . המלבן סימטרי ביחס לציר ה- $y$ , ו- $y$ הוא שיעור ה- $x$ של $B$ ( $B$ ). השטח מקסימלי כאשר $x = 2$ . ג. מהו השטח המקסימלי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 32

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 2 \\ &= 4 \\ \quad BC &= 12 - 2^2 \\ &= 8\end{aligned}

מציבים $x = 2$ בצלעות

\begin{aligned}S &= 4 \cdot 8 \\ &= 32\end{aligned}

אורך כפול רוחב

\begin{aligned}S(2) &= 48 - 16 \\ &= 32\end{aligned}

בדיקה בפונקציית השטח ✓

השטח המקסימלי $32$ . המלכודת: לענות $32$ — זה ה- $x$ שבו מתקבל המקסימום, לא ערך המקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — משוואות

Exercice 16

א. פתרו את המשוואה $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ . היעזרו בהצבה $t = x^2$ .

הפתרונות, מהקטן לגדול: ____ , ____ , ____ , ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הפתרונות, מהקטן לגדול: -2 , -1 , 1 , 2

Corrigé :

\begin{aligned}t &= x^2 \Rightarrow t^2 - 5t + 4 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה: משוואה ממעלה שנייה ב- $t$

\begin{aligned}(t - 1)(t - 4) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 1 \\ \ t &= 4\end{aligned}

מפרקים

\begin{aligned}x^2 &= 1 \Rightarrow x \\ &= \pm 1 \\ \quad x^2 &= 4 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

חוזרים ל- $x$ : לכל $x$ שני פתרונות

ארבעה פתרונות: $-2, -1, 1, 2$ . המלכודת: לעצור ב- $t = 1$ ו- $t = 4$ — אלה ערכי $t$ , ומכל אחד יוצאים שני ערכי $x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

ב. פתרו את המשוואה $\sqrt{x + 7} = x + 1$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}x + 7 &= (x + 1)^2 \\ &= x^2 + 2x + 1\end{aligned}

מעלים את שני האגפים בריבוע

\begin{aligned}x^2 + x - 6 &= 0 \Rightarrow (x + 3)(x - 2) \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים אגף ומפרקים

\begin{aligned}x &= 2: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= 2 + 1\end{aligned}

בדיקה במשוואה המקורית: מתקיים

\begin{aligned}x &= -3: \ \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2\end{aligned}

פתרון זר: שורש ריבועי אינו שלילי

$x = 2$ בלבד. המלכודת: להשאיר את $x = -3$ . העלאה בריבוע מוסיפה פתרונות, ולכן בודקים כל פתרון במשוואה המקורית.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 6 — עץ הסתברויות

Exercice 18

בחירת קופסה ואחר כך כדור

בקופסה לבנה $3$ כדורים אדומים ו- $2$ כחולים; בקופסה שחורה כדור אדום אחד ו- $3$ כחולים. מטילים קובייה: אם יוצא $1$ או $2$ בוחרים בקופסה הלבנה, אחרת בשחורה. מוציאים מהקופסה שנבחרה כדור אחד. א. מה ההסתברות שהכדור אדום?

$\dfrac{11}{30}$
$\dfrac{2}{5}$
$\dfrac{1}{5}$
$\dfrac{17}{20}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{11}{30}$

Corrigé :

\begin{aligned}P(W) &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

$W$ — בוחרים בקופסה הלבנה: שתי תוצאות מתוך שש בקובייה

\begin{aligned}\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} &= \frac{1}{5} \\ \quad \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} &= \frac{1}{6}\end{aligned}

כופלים לאורך כל מסלול שמסתיים באדום

\begin{aligned}P(R) &= \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \\ &= \frac{11}{30}\end{aligned}

נוסחת ההסתברות השלמה: מחברים את המסלולים

$\frac{11}{30}$ . המלכודת: לחבר $\frac{3}{5} + \frac{1}{4} = \frac{17}{20}$ בלי לכפול בהסתברות לבחור כל קופסה. לאורך מסלול כופלים; בין מסלולים מחברים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

בחירת קופסה ואחר כך כדור

בקופסה לבנה $3$ כדורים אדומים ו- $2$ כחולים; בקופסה שחורה כדור אדום אחד ו- $3$ כחולים. מטילים קובייה: אם יוצא $1$ או $2$ בוחרים בקופסה הלבנה, אחרת בשחורה. מוציאים מהקופסה שנבחרה כדור אחד. ההסתברות שהכדור אדום היא $2$ . ב. הכדור שהוצא אדום. מה ההסתברות שהוא בא מהקופסה הלבנה?

$\dfrac{3}{5}$
$\dfrac{5}{11}$
$\dfrac{1}{5}$
$\dfrac{6}{11}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{6}{11}$

Corrigé :

P(W \mid R) = \frac{P(W \cap R)}{P(R)}

$W$ — הקופסה הלבנה, $R$ — כדור אדום. הסתברות מותנית (נוסחת בייס)

\begin{aligned}\frac{1/5}{11/30} &= \frac{1}{5} \cdot \frac{30}{11} \\ &= \frac{6}{11}\end{aligned}

המונה: המסלול לבנה-אדום מסעיף א

$\frac{6}{11}$ . המלכודת: לענות $\frac{3}{5}$ — זו $P(R \mid W)$ , ההסתברות ההפוכה. ו- $\frac{1}{5}$ היא החיתוך, בלי לחלק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

שני כדורים מהקופסה הלבנה, בלי החזרה

בקופסה לבנה $3$ כדורים אדומים ו- $2$ כחולים. מוציאים ממנה שני כדורים, בזה אחר זה, בלי החזרה. $R_1$ — הראשון אדום, $R_2$ — השני אדום, $B_1$ ו- $B_2$ — כחול. ג. מה ההסתברות ששני הכדורים בצבעים שונים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.6

Corrigé :

\begin{aligned}P(R_1 \cap B_2) &= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \\ &= \frac{3}{10}\end{aligned}

אדום ואחר כך כחול. בלי החזרה: בהוצאה השנייה נשארו $4$ כדורים

\begin{aligned}P(B_1 \cap R_2) &= \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \\ &= \frac{3}{10}\end{aligned}

כחול ואחר כך אדום: המסלול השני

\frac{3}{10} + \frac{3}{10} = 0.6

שני מסלולים זרים: מחברים

$0.6$ . המלכודת: לחשב רק «אדום ואחר כך כחול». «צבעים שונים» הם שני מסלולים בעץ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

שני כדורים מהקופסה הלבנה, בלי החזרה

בקופסה לבנה $3$ כדורים אדומים ו- $2$ כחולים. מוציאים ממנה שני כדורים, בזה אחר זה, בלי החזרה. $R_1$ — הראשון אדום, $R_2$ — השני אדום, $B_1$ ו- $B_2$ — כחול. ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «הכדור הראשון אדום» ו«הכדור השני אדום» בלתי תלויים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}P(R_2) &= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

ההסתברות שהשני אדום, בשני המסלולים

\begin{aligned}P(R_2 \mid R_1) &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

אחרי אדום נשארו $2$ אדומים מתוך $4$

\frac{1}{2} \neq \frac{3}{5}

בלתי תלויים אם ורק אם $P(R_2 \mid R_1) = P(R_2)$

לא נכון: המאורעות תלויים — ההוצאה הראשונה משנה את תוכן הקופסה. עם החזרה הם היו בלתי תלויים. המלכודת: להסיק מ- $P(R_2) = P(R_1) = \frac{3}{5}$ שאין תלות.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 7 — פיזור וסטיית תקן

Exercice 22

הטמפרטורה בצהריים בחמישה ימים

בדיאגרמה: הטמפרטורה בצהריים בירושלים בחמישה ימים של חורף, במעלות צלזיוס: $14, 16, 17, 18, 20$ . א. חשבו את הטמפרטורה הממוצעת.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 17

Corrigé :

14 + 16 + 17 + 18 + 20 = 85

סכום הנתונים

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{85}{5} \\ &= 17\end{aligned}

מחלקים במספר הימים

הממוצע $17^\circ$ . כאן הוא שווה גם לחציון — הנתונים סימטריים סביב $17$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

הטמפרטורה בצהריים בחמישה ימים

בדיאגרמה: הטמפרטורה בצהריים בירושלים בחמישה ימים של חורף, במעלות צלזיוס: $14, 16, 17, 18, 20$ . הממוצע $17$ . ב. חשבו את סטיית התקן.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

-3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3

הסטייה של כל נתון מהממוצע

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{9 + 1 + 0 + 1 + 9}{5} \\ &= 4\end{aligned}

השונות: ממוצע ריבועי הסטיות

\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

סטיית התקן: שורש השונות

סטיית התקן $2^\circ$ . המלכודת: לעצור בשונות, $4$ . ומי שמחבר את הסטיות בלי ריבוע מקבל $4$ תמיד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

הטמפרטורה בצהריים בחמישה ימים

בדיאגרמה: הטמפרטורה בצהריים בירושלים בחמישה ימים של חורף, במעלות צלזיוס: $14, 16, 17, 18, 20$ . הממוצע $17$ וסטיית התקן $17$ . ממירים כל נתון למעלות פרנהייט לפי $F = 1.8C + 32$ . ג. מהי סטיית התקן של הטמפרטורות בפרנהייט?

$2$
$34$
$35.6$
$3.6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $3.6$

Corrigé :

+32

הוספת קבוע מזיזה את כל הנתונים יחד: הפיזור לא משתנה

\times 1.8

כפל בקבוע חיובי מכפיל את סטיית התקן באותו קבוע

\begin{aligned}\sigma_F &= 1.8 \cdot 2 \\ &= 3.6 \\ \quad \bar{x}_F &= 1.8 \cdot 17 + 32 \\ &= 62.6\end{aligned}

והממוצע עובר את שתי הפעולות

$3.6$ . המלכודת: להפעיל על סטיית התקן את הנוסחה כולה ולקבל $35.6$ . ה- $35.6$ משנה את הממוצע בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Les mots de la leçon

שנה: shana an, année
סעיף: se’if question (a, b, c…)
סך הכול: sakh ha-kol au total
דקה: daka minute
דמיון: dimyon similitude
טריגונומטריה: trigonometria trigonométrie
פונקציה: funktsia fonction
שורש: shoresh racine carrée
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
משוואה: mishva’a équation
עץ הסתברויות: ets histabruyot arbre de probabilités
סטיית תקן: stiyat teken écart type
כתבו: kitvu écrivez
משפט: mishpat théorème
חקירת פונקציה: ḥakirat funktsia étude de fonction
טבלת סימנים: tavlat simanim tableau de signes (de variations)
נתון: natun on donne ; donnée (hypothèse)
משולש: meshulash triangle
גובה: gova hauteur
צלע: tsela côté
מצאו: mits’u trouvez, déterminez
משוואת ישר: mishva’at yashar équation de droite
שיפוע: shipua pente
נקודה: nekuda point
ישר: yashar droite
פונקציה יורדת: funktsia yoredet fonction (ou suite) décroissante
זווית: zavit angle
ציר: tsir axe
מלכודת: malkodet piège
מונה: moneh numérateur
מכנה: mekhane dénominateur
שיעורים (של נקודה): shiurim coordonnées
מאונכים: me’unakhim perpendiculaires
מכפלה: makhpela produit
נקודת חיתוך: nekudat khitukh point d’intersection
תיכון: tikhon médiane
חשבו: ḥishvu calculez
שטח: shetaḥ aire
אורך: orekh longueur
בסיס: basis base
נוסחת המרחק: nusḥat ha-merḥak formule de la distance
חצי: ḥetsi demi, moitié
כפול: kaful fois
אופקי: ofki horizontal
יתר: yeter hypoténuse
זווית ישרה: zavit yeshara angle droit
משולשים דומים: meshulashim domim triangles semblables
יחס: yaḥas rapport
ניצב: nitsav côté de l’angle droit
משפט פיתגורס: mishpat Pitagoras théorème de Pythagore
משולש ישר זווית: meshulash yeshar zavit triangle rectangle
להציב: lehatsiv substituer / remplacer
יחס הדמיון: yaḥas ha-dimyon rapport de similitude
יחס השטחים: yaḥas ha-shetaḥim rapport des aires
ריבוע: ribua carré
עגלו: agelu arrondissez
ספרה: sifra chiffre
חלקי: ḥalkei divisé par
משולש שווה שוקיים: meshulash shve shokayim triangle isocèle
הפרש: hefresh différence
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domaine de définition
ביטוי אלגברי: bitui algebri expression algébrique
שלילי: shlili négatif
מוגדרת: mugderet définie
שגוי: shagui erroné, faux
נגזרת: nigzeret dérivée
כלל המכפלה: klal ha-makhpela dérivée d’un produit
מכנה משותף: mekhane meshutaf dénominateur commun
איבר: ever terme
חיובי: ḥiyuvi positif
מקסימום: maksimum maximum
מינימום: minimum minimum
משוואת המשיק: mishva’at ha-mashik équation de la tangente
גרף: graf graphe, courbe représentative
נקודת השקה: nekudat hashaka point de tangence (de contact)
שיפוע המשיק: shipua ha-mashik pente de la tangente
קודקוד: kodkod sommet
מלבן: malben rectangle
פרבולה: parabola parabole
סימטריה: simetria symétrie
הביעו: habi’u exprimez
רוחב: roḥav largeur
גזירה: gzira dérivation (dériver)
בדקו: bidku vérifiez
בעיית קיצון: ba’ayat kitson problème d’optimisation
הראו: har’u montrez
טבלה: tavla tableau
פתרו: pitru résolvez
היעזרו: he’azru aidez-vous de
הצבה: hatsava substitution
מעלה (של פולינום): ma’ala degré
פתרון: pitaron solution
אגף: agaf membre (d’une équation)
מעבירים אגף: ma’avirim agaf passer de l’autre côté (du signe =)
מתקיים: mitkayem est vérifié(e), on a
פתרון זר: pitaron zar solution parasite
הטלה: hatala lancer
קובייה: kubiya cube (ou dé)
הסתברות: histabrut probabilité
מתוך: mitokh sur (3 sur 5) ; à partir de
נוסחת ההסתברות השלמה: nusḥat ha-histabrut ha-shlema formule des probabilités totales
הסתברות מותנית: histabrut mutnit probabilité conditionnelle
נוסחת בייס: nusḥat bayes formule de Bayes
בלי החזרה: bli ḥazara sans remise
הוכיחו: hokhiḥu démontrez
הפריכו: hafrikhu réfutez
מאורע: me’ora événement
בלתי תלויים: bilti tluyim indépendants
אם ורק אם: im ve-rak im si et seulement si
לא נכון: lo nakhon faux
מאורעות תלויים: me’orot tluyim événements dépendants
עם החזרה: im ḥazara avec remise
להסיק: lehasik déduire, conclure
דיאגרמה: diagrama diagramme
טמפרטורה: temperatura température
צהריים: tsohorayim midi
יום: yom jour
מעלות צלזיוס: ma’alot tselzyus degrés Celsius
ממוצע: memutsa moyenne
סכום: skhum somme
נתונים: netunim données
חציון: ḥetsyon médiane
סטייה: stiya écart (à la moyenne)
מעלה: ma’ala degré
קבוע: kavua constante
פיזור: pizur dispersion
כפל: kefel multiplication
נוסחה: nusḥa formule

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elev Découvrir elev pour cette classe