מבחן סוף שנה — חזרה 1

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבחן סוף שנה — חזרה 1. 5 שאלות עם סעיפים, 26 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה אחת לכל נושא: הסתברות (טבלה דו-ממדית והסתברות מותנית), סטטיסטיקה, גאומטריה אנליטית משולבת, חקירת פונקציה עם שורש, ובעיית ערך קיצון.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בהסתברות מותנית שאלו קודם מהו התנאי: הוא המכנה. בחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון.

Exercices

שאלה 1 — הסתברות

Exercice 1

במכון כושר גדול 40%40\% מהמנויים הם גברים והשאר נשים. כל מנוי מתאמן רק בבוקר או רק בערב. 70%70\% מהגברים מתאמנים בערב, ו-32%32\% מכלל המנויים הן נשים שמתאמנות בערב. בוחרים באקראי מנוי אחד. נסמן: MM — גבר, WW — אישה, EE — מתאמן בערב. א. השלימו את טבלת ההסתברויות, באחוזים מכלל המנויים.

בוקרערבסה״כ
גברים________4040
נשים____32326060
סה״כ________100100
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : גברים: 12, 28 · נשים: 28 · סה״כ: 40, 60

Corrigé :

0.4⋅0.7=0.280.4 \cdot 0.7 = 0.28

גברים שמתאמנים בערב: 70%70\% מהגברים, לא מכלל המנויים

40−28=1260−32=28\begin{aligned}40 - 28 &= 12 \\ \quad 60 - 32 &= 28\end{aligned}

כל שורה מסתכמת בסך הכול שלה

12+28=4028+32=60\begin{aligned}12 + 28 &= 40 \\ \quad 28 + 32 &= 60\end{aligned}

וכל עמודה בסך הכול שלה; בדיקה: 40+60=10040 + 60 = 100 ✓

בוקר: 12%12\% גברים ו-28%28\% נשים; ערב: 28%28\% גברים ו-32%32\% נשים. המלכודת: לכתוב 7070 בתא «גברים–ערב». 70%70\% הוא אחוז מתוך הגברים, וצריך להכפיל אותו ב-0.40.4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במכון כושר גדול 40%40\% מהמנויים הם גברים והשאר נשים. כל מנוי מתאמן רק בבוקר או רק בערב. 70%70\% מהגברים מתאמנים בערב, ו-32%32\% מכלל המנויים הן נשים שמתאמנות בערב. בוחרים באקראי מנוי אחד. נסמן: MM — גבר, WW — אישה, EE — מתאמן בערב. בטבלה (באחוזים מכלל המנויים): גברים — בוקר 1212, ערב 2828; נשים — בוקר 2828, ערב 3232. ב. ידוע שהמנוי שנבחר מתאמן בערב. מה ההסתברות שזו אישה? (אפשר לענות בשבר.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5333333333333333

Corrigé :

P(E)=0.28+0.32=0.6\begin{aligned}P(E) &= 0.28 + 0.32 \\ &= 0.6\end{aligned}

EE — מתאמן בערב: סכום עמודת הערב

P(W∣E)=P(W∩E)P(E)=0.320.6\begin{aligned}P(W \mid E) &= \frac{P(W \cap E)}{P(E)} \\ &= \frac{0.32}{0.6}\end{aligned}

הסתברות מותנית: מצמצמים את המרחב לעמודת הערב

0.320.6=815≈0.533\frac{0.32}{0.6} = \frac{8}{15} \approx 0.533

מצמצמים

815≈0.533\frac{8}{15} \approx 0.533. המלכודת: לענות 0.320.32 — זו ההסתברות ל«אישה וגם ערב» מתוך כל המנויים, לא מתוך המתאמנים בערב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במכון כושר גדול 40%40\% מהמנויים הם גברים והשאר נשים. כל מנוי מתאמן רק בבוקר או רק בערב. 70%70\% מהגברים מתאמנים בערב, ו-32%32\% מכלל המנויים הן נשים שמתאמנות בערב. בוחרים באקראי מנוי אחד. נסמן: MM — גבר, WW — אישה, EE — מתאמן בערב. בטבלה (באחוזים מכלל המנויים): גברים — בוקר 1212, ערב 2828; נשים — בוקר 2828, ערב 3232. ג. ידוע שנבחרה אישה. מה ההסתברות שהיא מתאמנת בבוקר? (אפשר לענות בשבר.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.4666666666666666

Corrigé :

P(W)=0.6P(W) = 0.6

שורת הנשים כולה

P(E‾∣W)=0.280.6=715\begin{aligned}P(\overline{E} \mid W) &= \frac{0.28}{0.6} \\ &= \frac{7}{15}\end{aligned}

«בוקר» הוא המאורע המשלים E‾\overline{E}; מצמצמים את המרחב לשורת הנשים

715≈0.467\frac{7}{15} \approx 0.467

715≈0.467\frac{7}{15} \approx 0.467. שימו לב: התנאי הפעם הוא שורה («אישה»), ובסעיף ב הוא היה עמודה («ערב»). המכנה הוא תמיד ההסתברות של התנאי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במכון כושר גדול 40%40\% מהמנויים הם גברים והשאר נשים. כל מנוי מתאמן רק בבוקר או רק בערב. 70%70\% מהגברים מתאמנים בערב, ו-32%32\% מכלל המנויים הן נשים שמתאמנות בערב. בוחרים באקראי מנוי אחד. נסמן: MM — גבר, WW — אישה, EE — מתאמן בערב. בטבלה (באחוזים מכלל המנויים): גברים — בוקר 1212, ערב 2828; נשים — בוקר 2828, ערב 3232. ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «המנוי גבר» ו«המנוי מתאמן בערב» בלתי תלויים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

P(M)⋅P(E)=0.4⋅0.6=0.24\begin{aligned}P(M) \cdot P(E) &= 0.4 \cdot 0.6 \\ &= 0.24\end{aligned}

מכפלת ההסתברויות

P(M∩E)=0.28P(M \cap E) = 0.28

מהטבלה

0.28≠0.240.28 \neq 0.24

בלתי תלויים אם ורק אם P(M∩E)=P(M)⋅P(E)P(M \cap E) = P(M) \cdot P(E)

לא נכון: המאורעות תלויים. דרך שקולה: P(E∣M)=0.7P(E \mid M) = 0.7, אבל P(E)=0.6P(E) = 0.6 — הידיעה שהמנוי גבר משנה את הסיכוי שהוא מתאמן בערב.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — סטטיסטיקה

Exercice 5

0123456123456מספר ספריםמספר תלמידים

בדיאגרמה: מספר הספרים שקרא כל אחד מתלמידי כיתה י׳ בחופשת הקיץ. א. כמה תלמידים בכיתה, ומהו השכיח?

בכיתה ____ תלמידים, והשכיח הוא ____ ספרים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : בכיתה 20 תלמידים, והשכיח הוא 3 ספרים.

Corrigé :

2+4+6+5+2+1=202 + 4 + 6 + 5 + 2 + 1 = 20

מספר התלמידים: סכום גובהי העמודות

max⁡f=6⇒Mo=3\begin{aligned}\max f &= 6 \Rightarrow Mo \\ &= 3\end{aligned}

השכיח: הערך שהעמודה שלו הגבוהה ביותר

2020 תלמידים, השכיח 33 ספרים. המלכודת: לענות 66 — זו השכיחות של השכיח (גובה העמודה), לא השכיח עצמו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

0123456123456מספר ספריםמספר תלמידים

בדיאגרמה: מספר הספרים שקרא כל אחד מתלמידי כיתה י׳ בחופשת הקיץ. בכיתה 2020 תלמידים. ב. חשבו את מספר הספרים הממוצע לתלמיד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.2

Corrigé :

1⋅2+2⋅4+3⋅6+4⋅5+5⋅2+6⋅1=641 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1 = 64

סכום כל הנתונים: כל ערך כפול השכיחות שלו

xˉ=6420=3.2\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{64}{20} \\ &= 3.2\end{aligned}

מחלקים במספר התלמידים

3.23.2 ספרים. המלכודת: לחשב את ממוצע הערכים 1,2,…,61, 2, \ldots, 6 בלי שכיחויות ולקבל 3.53.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

0123456123456מספר ספריםמספר תלמידים

בדיאגרמה: מספר הספרים שקרא כל אחד מתלמידי כיתה י׳ בחופשת הקיץ. בכיתה 2020 תלמידים. ג. מצאו את החציון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

202=10\frac{20}{2} = 10

מספר הנתונים זוגי: החציון הוא ממוצע הנתון ה-1010 והנתון ה-1111, בסדר עולה

2, 6, 122 ,\ 6 ,\ 12

שכיחויות מצטברות: הנתונים 77 עד 1212 שווים 33

Me=3+32=3\begin{aligned}Me &= \frac{3 + 3}{2} \\ &= 3\end{aligned}

הנתון ה-1010 וה-1111 שניהם 33

החציון 33. המלכודת: לקחת את הערך האמצעי על הציר (3.53.5) — החציון נקבע לפי התלמידים, לא לפי הערכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

0123456123456מספר ספריםמספר תלמידים

בדיאגרמה: מספר הספרים שקרא כל אחד מתלמידי כיתה י׳ בחופשת הקיץ. בכיתה 2020 תלמידים, והממוצע 3.23.2 ספרים. לכיתה הצטרף תלמיד חדש, שקרא בקיץ 66 ספרים. ד. חשבו את הממוצע החדש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.3333333333333335

Corrigé :

3.2⋅20=643.2 \cdot 20 = 64

הסכום המקורי: ממוצע כפול מספר הנתונים

64+6=7064 + 6 = 70

הסכום החדש

xˉ′=7021≈3.33\bar{x}' = \frac{70}{21} \approx 3.33

עכשיו יש 2121 תלמידים

3.333.33 בקירוב. הממוצע עלה, כי הנתון שנוסף, 66, גדול מהממוצע הקודם. המלכודת: לחלק שוב ב-2020.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

0123456123456מספר ספריםמספר תלמידים

בדיאגרמה: מספר הספרים שקרא כל אחד מתלמידי כיתה י׳ בחופשת הקיץ. בכיתה 2020 תלמידים, והחציון 33. לכיתה הצטרף תלמיד חדש, שקרא בקיץ 66 ספרים. ה. מה קרה לחציון?

  1. הוא עלה ל-3.53.5
  2. הוא לא השתנה: גם עכשיו הוא 33
  3. הוא עלה ל-44
  4. הוא עלה, כי הממוצע עלה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B הוא לא השתנה: גם עכשיו הוא 33

Corrigé :

n=21⇒Me=x(11)\begin{aligned}n &= 21 \Rightarrow Me \\ &= x_{(11)}\end{aligned}

מספר הנתונים אי-זוגי: החציון הוא הנתון ה-1111 בסדר עולה

2, 6, 122 ,\ 6 ,\ 12

השכיחויות המצטברות לא השתנו עד הערך 33: הנתון ה-1111 הוא 33

החציון נשאר 33. נתון קיצוני משפיע על הממוצע, אבל כמעט לא על החציון: הוא רק מזיז את מקום האמצע בחצי מקום.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — גאומטריה אנליטית משולבת

Exercice 10

במערכת צירים נתון המשולש ABCABC: A(0,6)A(0, 6), B(−3,0)B(-3, 0), C(12,0)C(12, 0). OO היא ראשית הצירים. א. מדוע הזווית BACBAC ישרה?

  1. mAB=2m_{AB} = 2 ו-mAC=−12m_{AC} = -\frac{1}{2}, ומכפלת השיפועים היא −1-1
  2. AB=ACAB = AC, ולכן המשולש שווה שוקיים וישר זווית
  3. mAB=2m_{AB} = 2 ו-mAC=−2m_{AC} = -2, והשיפועים נגדיים
  4. AO⊥BCAO \perp BC, ולכן גם AB⊥ACAB \perp AC
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A mAB=2m_{AB} = 2 ו-mAC=−12m_{AC} = -\frac{1}{2}, ומכפלת השיפועים היא −1-1

Corrigé :

mAB=6−00−(−3)=2\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{6 - 0}{0 - (-3)} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

mAC=6−00−12=−12\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{6 - 0}{0 - 12} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}
2⋅(−12)=−1⇒AB⊥AC2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \Rightarrow AB \perp AC

ישרים מאונכים אם ורק אם מכפלת השיפועים −1-1

∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ. המלכודת: שיפועים נגדיים (22 ו-−2-2) אינם מאונכים; צריך שיפוע נגדי והפכי. ו-AB=45AB = \sqrt{45} אבל AC=180AC = \sqrt{180} — המשולש לא שווה שוקיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

במערכת צירים נתון המשולש ABCABC: A(0,6)A(0, 6), B(−3,0)B(-3, 0), C(12,0)C(12, 0). OO היא ראשית הצירים. ב. מצאו את משוואת הישר ACAC.

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = -0.5 x+x + 6

Corrigé :

mAC=0−612−0=−12\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{0 - 6}{12 - 0} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

n=6n = 6

A(0,6)A(0, 6) על ציר ה-yy: זו נקודת החיתוך עם הציר

y=−12x+6y = -\frac{1}{2}x + 6

בדיקה עם CC: −6+6=0-6 + 6 = 0 ✓

y=−12x+6y = -\frac{1}{2}x + 6. כאשר אחת הנקודות על ציר ה-yy, המספר החופשי נקרא ישר ממנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

במערכת צירים נתון המשולש ABCABC: A(0,6)A(0, 6), B(−3,0)B(-3, 0), C(12,0)C(12, 0). OO היא ראשית הצירים. נתון: ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ, ו-AOAO הוא הגובה ליתר BCBC. ג. מדוע △AOB∼△COA\triangle AOB \sim \triangle COA?

  1. צ.ז.צ — BO=COBO = CO, והזוויות ב-OO שוות
  2. ז.ז — ∠AOB=∠COA=90∘\angle AOB = \angle COA = 90^\circ, ו-∠BAO=∠ACO\angle BAO = \angle ACO, כי כל אחת מהן משלימה את ∠B\angle B ל-90∘90^\circ
  3. צ.צ.צ — AOAO צלע משותפת לשני המשולשים
  4. ז.ז — הזווית AA משותפת לשני המשולשים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ז.ז — ∠AOB=∠COA=90∘\angle AOB = \angle COA = 90^\circ, ו-∠BAO=∠ACO\angle BAO = \angle ACO, כי כל אחת מהן משלימה את ∠B\angle B ל-90∘90^\circ

Corrigé :

∠AOB=∠COA=90∘\begin{aligned}\angle AOB &= \angle COA \\ &= 90^\circ\end{aligned}

AOAO על ציר ה-yy ו-BCBC על ציר ה-xx

∠BAO=90∘−∠B\angle BAO = 90^\circ - \angle B

במשולש AOBAOB: סכום הזוויות 180∘180^\circ

∠ACO=90∘−∠B\angle ACO = 90^\circ - \angle B

במשולש ABCABC, שבו ∠A=90∘\angle A = 90^\circ

△AOB∼△COA\triangle AOB \sim \triangle COA

ז.ז — שתי זוויות שוות בהתאמה

ז.ז. ההתאמה: A↔CA \leftrightarrow C, O↔OO \leftrightarrow O, B↔AB \leftrightarrow A. המלכודת: «זווית משותפת» — לשני המשולשים אין זווית AA משותפת, כי AOAO חוצה את הזווית AA לשני חלקים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

במערכת צירים נתון המשולש ABCABC: A(0,6)A(0, 6), B(−3,0)B(-3, 0), C(12,0)C(12, 0). OO היא ראשית הצירים. נתון: △AOB∼△COA\triangle AOB \sim \triangle COA (בהתאמה A↔CA \leftrightarrow C, O↔OO \leftrightarrow O, B↔AB \leftrightarrow A). ד. חשבו את יחס השטחים S△AOBS△COA\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle COA}}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

k=AOCO=612=12\begin{aligned}k &= \frac{AO}{CO} \\ &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון: צלעות מתאימות

S△AOBS△COA=k2=14\begin{aligned}\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle COA}} &= k^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון

3⋅6212⋅62=936=14\begin{aligned}\frac{\frac{3 \cdot 6}{2}}{\frac{12 \cdot 6}{2}} &= \frac{9}{36} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

בדיקה ישירה: שני המשולשים ישרי זווית ב-OO

14\frac{1}{4}. המלכודת: לענות 12\frac{1}{2} — זה יחס הצלעות. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

במערכת צירים נתון המשולש ABCABC: A(0,6)A(0, 6), B(−3,0)B(-3, 0), C(12,0)C(12, 0). OO היא ראשית הצירים. נתון: ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ. ה. חשבו את הזווית ∠ACB\angle ACB. עגלו לעשירית מעלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 26.56505117707799

Corrigé :

tan⁡∠ACO=AOOC=612=0.5\begin{aligned}\tan \angle ACO &= \frac{AO}{OC} \\ &= \frac{6}{12} \\ &= 0.5\end{aligned}

במשולש ישר הזווית AOCAOC: ניצב מול חלקי ניצב ליד

∠ACB=tan⁡−1(0.5)≈26.6∘\angle ACB = \tan^{-1}(0.5) \approx 26.6^\circ

∠ACB≈26.6∘\angle ACB \approx 26.6^\circ. בדיקה: ∠ABC=tan⁡−1(2)≈63.4∘\angle ABC = \tan^{-1}(2) \approx 63.4^\circ, ו-26.6∘+63.4∘=90∘26.6^\circ + 63.4^\circ = 90^\circ ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

במערכת צירים נתון המשולש ABCABC: A(0,6)A(0, 6), B(−3,0)B(-3, 0), C(12,0)C(12, 0). OO היא ראשית הצירים. נתון: ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ. MM היא אמצע הצלע BCBC. ו. חשבו את אורך התיכון AMAM.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.5

Corrigé :

M=(−3+122,0)=(4.5,0)\begin{aligned}M &= \left(\frac{-3 + 12}{2}, 0\right) \\ &= (4.5, 0)\end{aligned}

אמצע קטע

AM=4.52+62=56.25=7.5\begin{aligned}AM &= \sqrt{4.5^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{56.25} \\ &= 7.5\end{aligned}

נוסחת המרחק

BC2=152=7.5\begin{aligned}\frac{BC}{2} &= \frac{15}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

בדיקה: במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר

AM=7.5AM = 7.5. המשפט «התיכון ליתר שווה למחצית היתר» נותן את התשובה בלי נוסחת המרחק — שימו לב לזה כשרואים זווית ישרה.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה

Exercice 16

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)xf(x) = (x - 3)\sqrt{x}. א. מהו תחום ההגדרה של ff?

  1. x>0x > 0
  2. x≥0x \ge 0
  3. כל xx
  4. x≥3x \ge 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x≥0x \ge 0

Corrigé :

x≥0x \ge 0

הביטוי שבתוך השורש אי-שלילי

f(0)=(0−3)⋅0=0\begin{aligned}f(0) &= (0 - 3) \cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

הקצה x=0x = 0 בתחום

x≥0x \ge 0. המלכודת: x≥3x \ge 3 — הגורם x−3x - 3 יכול להיות שלילי; רק מה שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)xf(x) = (x - 3)\sqrt{x}. ב. מהי הנגזרת f′(x)f'(x), בתחום x>0x > 0?

  1. f′(x)=12xf'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
  2. f′(x)=3x−62xf'(x) = \dfrac{3x - 6}{2\sqrt{x}}
  3. f′(x)=3x−32xf'(x) = \dfrac{3x - 3}{2\sqrt{x}}
  4. f′(x)=x+x−3xf'(x) = \sqrt{x} + \dfrac{x - 3}{\sqrt{x}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C f′(x)=3x−32xf'(x) = \dfrac{3x - 3}{2\sqrt{x}}

Corrigé :

(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'

נגזרת של מכפלה: u=x−3u = x - 3, v=xv = \sqrt{x}

f′(x)=1⋅x+(x−3)⋅12xf'(x) = 1 \cdot \sqrt{x} + (x - 3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}

(x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

=2x+x−32x=3x−32x= \frac{2x + x - 3}{2\sqrt{x}} = \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}}

מכנה משותף: x=2x2x\sqrt{x} = \frac{2x}{2\sqrt{x}}

f′(x)=3x−32xf'(x) = \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}}. המלכודת: לגזור כל גורם לבד ולכפול, 1⋅12x1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — נגזרת של מכפלה היא לא מכפלת הנגזרות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)xf(x) = (x - 3)\sqrt{x}. הנגזרת: f′(x)=3x−32xf'(x) = \dfrac{3x - 3}{2\sqrt{x}}. ג. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של ff. (בקצה התחום, (0,0)(0, 0), יש נקודת קיצון נוספת.)

נקודת מינימום: ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נקודת מינימום: ( 1 , -2 )

Corrigé :

3x−3=0⇒x=1\begin{aligned}3x - 3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

מאפסים את המונה; המכנה חיובי בתחום

f′(0.25)<0,f′(4)>0f'(0.25) < 0 ,\quad f'(4) > 0

טבלת סימנים: יורדת ואחר כך עולה — מינימום

f(1)=(1−3)⋅1=−2\begin{aligned}f(1) &= (1 - 3) \cdot 1 \\ &= -2\end{aligned}

מינימום ב-(1,−2)(1, -2). ובקצה, (0,0)(0, 0), יש מקסימום קצה: הפונקציה יורדת מיד אחריו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)xf(x) = (x - 3)\sqrt{x}. הנגזרת: f′(x)=3x−32xf'(x) = \dfrac{3x - 3}{2\sqrt{x}}. ד. מהם תחומי העלייה והירידה של ff?

  1. יורדת ב-0<x<10 < x < 1, ועולה ב-x>1x > 1
  2. יורדת ב-0<x<30 < x < 3, ועולה ב-x>3x > 3
  3. עולה בכל תחום ההגדרה
  4. עולה ב-0<x<10 < x < 1, ויורדת ב-x>1x > 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A יורדת ב-0<x<10 < x < 1, ועולה ב-x>1x > 1

Corrigé :

2x>02\sqrt{x} > 0

סימן הנגזרת הוא סימן המונה 3x−33x - 3

0<x<1⇒f′(x)<00 < x < 1 \Rightarrow f'(x) < 0

יורדת

x>1⇒f′(x)>0x > 1 \Rightarrow f'(x) > 0

עולה

יורדת ב-0<x<10 < x < 1 ועולה ב-x>1x > 1. המלכודת: לבלבל בין נקודת אפס של הפונקציה, x=3x = 3, ובין נקודת אפס של הנגזרת, x=1x = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)xf(x) = (x - 3)\sqrt{x}. ה. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

x1=x_1 = ____ , x2=x_2 = ____ (כאשר x1<x2x_1 < x_2)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x1=x_1 = 0 , x2=x_2 = 3 (כאשר x1<x2x_1 < x_2)

Corrigé :

(x−3)x=0(x - 3)\sqrt{x} = 0

מכפלה שווה לאפס אם ורק אם אחד הגורמים אפס

x−3=0⇒x=3x=0⇒x=0\begin{aligned}x - 3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \\ \quad \sqrt{x} &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

שני הפתרונות בתחום

(0,0)(0, 0) ו-(3,0)(3, 0). בין שתי הנקודות הגרף שלילי, ושם נמצא המינימום (1,−2)(1, -2).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)xf(x) = (x - 3)\sqrt{x}. הנגזרת: f′(x)=3x−32xf'(x) = \dfrac{3x - 3}{2\sqrt{x}}. ו. מצאו את משוואת המשיק לגרף של ff בנקודה שבה x=4x = 4. (מספר שלילי כתבו עם סימן מינוס.)

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = 2.25 x+x + -7

Corrigé :

f(4)=(4−3)⋅2=2\begin{aligned}f(4) &= (4 - 3) \cdot 2 \\ &= 2\end{aligned}

נקודת ההשקה: (4,2)(4, 2)

f′(4)=12−32⋅2=94=2.25\begin{aligned}f'(4) &= \frac{12 - 3}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{9}{4} \\ &= 2.25\end{aligned}

שיפוע המשיק

y−2=2.25(x−4)⇒y=2.25x−7\begin{aligned}y - 2 &= 2.25(x - 4) \Rightarrow y \\ &= 2.25x - 7\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

y=2.25x−7y = 2.25x - 7. המלכודת: להציב x=4x = 4 בפונקציה במקום בנגזרת כדי למצוא את השיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — בעיית ערך קיצון

Exercice 22

ABCDEF

חקלאי מגדר חלקה מלבנית ABCDABCD הצמודה לקיר ארוך: הצלע ABAB היא הקיר, ולאורכה אין צורך בגדר. גדר נוספת, EFEF, מקבילה ל-ADAD ומחלקת את החלקה לשתי חלקות. אורך הגדר כולה (ADAD, DCDC, CBCB ו-EFEF) הוא 120120 מטר. נסמן ב-xx את האורך של כל אחת מהגדרות ADAD, EFEF ו-BCBC, במטרים. א. הביעו בעזרת xx את אורך הצלע DCDC.

  1. DC=120−3x2DC = \frac{120 - 3x}{2}
  2. DC=120−3xDC = 120 - 3x
  3. DC=60−xDC = 60 - x
  4. DC=120−2xDC = 120 - 2x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B DC=120−3xDC = 120 - 3x

Corrigé :

3x+DC=1203x + DC = 120

שלוש גדרות באורך xx ועוד הצלע DCDC

DC=120−3xDC = 120 - 3x

DC=120−3xDC = 120 - 3x. המלכודת: לשכוח את הגדר EFEF ולקבל 120−2x120 - 2x. ו-120−3x2\frac{120 - 3x}{2} שייך למלבן שמגודר משני צדדיו — כאן צד אחד הוא קיר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

ABCDEF

חקלאי מגדר חלקה מלבנית ABCDABCD הצמודה לקיר ארוך: הצלע ABAB היא הקיר, ולאורכה אין צורך בגדר. גדר נוספת, EFEF, מקבילה ל-ADAD ומחלקת את החלקה לשתי חלקות. אורך הגדר כולה (ADAD, DCDC, CBCB ו-EFEF) הוא 120120 מטר. נסמן ב-xx את האורך של כל אחת מהגדרות ADAD, EFEF ו-BCBC, במטרים. DC=120−3xDC = 120 - 3x. ב. הביעו בעזרת xx את שטח החלקה כולה, S(x)S(x).

  1. S(x)=2x+(120−3x)S(x) = 2x + (120 - 3x)
  2. S(x)=3x(120−x)S(x) = 3x(120 - x)
  3. S(x)=120x−3x2S(x) = 120x - 3x^2
  4. S(x)=120x−2x2S(x) = 120x - 2x^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C S(x)=120x−3x2S(x) = 120x - 3x^2

Corrigé :

S=AD⋅DCS = AD \cdot DC

שטח מלבן: אורך כפול רוחב

S(x)=x(120−3x)=120x−3x2\begin{aligned}S(x) &= x(120 - 3x) \\ &= 120x - 3x^2\end{aligned}
0<x<400 < x < 40

האורכים חיוביים: x>0x > 0 ו-120−3x>0120 - 3x > 0

S(x)=120x−3x2S(x) = 120x - 3x^2, בתחום 0<x<400 < x < 40. הגדר EFEF לא משנה את השטח — היא רק נכנסת לחשבון האורך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

ABCDEF

חקלאי מגדר חלקה מלבנית ABCDABCD הצמודה לקיר ארוך: הצלע ABAB היא הקיר, ולאורכה אין צורך בגדר. גדר נוספת, EFEF, מקבילה ל-ADAD ומחלקת את החלקה לשתי חלקות. אורך הגדר כולה (ADAD, DCDC, CBCB ו-EFEF) הוא 120120 מטר. נסמן ב-xx את האורך של כל אחת מהגדרות ADAD, EFEF ו-BCBC, במטרים. שטח החלקה: S(x)=120x−3x2S(x) = 120x - 3x^2, בתחום 0<x<400 < x < 40. ג. עבור איזה ערך של xx השטח מקסימלי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

S′(x)=120−6xS'(x) = 120 - 6x

גוזרים

120−6x=0⇒x=20\begin{aligned}120 - 6x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 20\end{aligned}

מאפסים את הנגזרת

S′(10)=60>0S′(30)=−60<0\begin{aligned}S'(10) &= 60 > 0 \\ \quad S'(30) &= -60 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עולה ואחר כך יורדת — מקסימום

x=20x = 20 מטר. תמיד מוודאים שהנקודה בתחום (0<20<400 < 20 < 40 ✓) ושהיא אכן מקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

ABCDEF

חקלאי מגדר חלקה מלבנית ABCDABCD הצמודה לקיר ארוך: הצלע ABAB היא הקיר, ולאורכה אין צורך בגדר. גדר נוספת, EFEF, מקבילה ל-ADAD ומחלקת את החלקה לשתי חלקות. אורך הגדר כולה (ADAD, DCDC, CBCB ו-EFEF) הוא 120120 מטר. נסמן ב-xx את האורך של כל אחת מהגדרות ADAD, EFEF ו-BCBC, במטרים. שטח החלקה: S(x)=120x−3x2S(x) = 120x - 3x^2, והוא מקסימלי כאשר x=20x = 20. ד. מהו השטח המקסימלי, במ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1200

Corrigé :

DC=120−3⋅20=60\begin{aligned}DC &= 120 - 3 \cdot 20 \\ &= 60\end{aligned}

הצלע לאורך הקיר

S(20)=20⋅60=1200\begin{aligned}S(20) &= 20 \cdot 60 \\ &= 1200\end{aligned}

12001200 מ״ר. בדיקה: 120⋅20−3⋅400=2400−1200=1200120 \cdot 20 - 3 \cdot 400 = 2400 - 1200 = 1200 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

ABCDEF

חקלאי מגדר חלקה מלבנית ABCDABCD הצמודה לקיר ארוך: הצלע ABAB היא הקיר, ולאורכה אין צורך בגדר. גדר נוספת, EFEF, מקבילה ל-ADAD ומחלקת את החלקה לשתי חלקות. אורך הגדר כולה (ADAD, DCDC, CBCB ו-EFEF) הוא 120120 מטר. נסמן ב-xx את האורך של כל אחת מהגדרות ADAD, EFEF ו-BCBC, במטרים. השטח מקסימלי כאשר x=20x = 20 ו-DC=60DC = 60. הגדר EFEF עומדת באמצע DCDC. ה. הוכיחו או הפריכו: בשטח המקסימלי, כל אחת משתי החלקות הקטנות היא ריבוע.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

602=30\frac{60}{2} = 30

כל חלקה קטנה: רוחב 3030 לאורך הקיר

20≠3020 \neq 30

והצלע האחרת x=20x = 20

לא נכון: כל חלקה היא מלבן 20×3020 \times 30 מטר. האינטואיציה «הכי טוב זה ריבוע» נכונה למלבן שמגודר מכל הצדדים, לא כשיש קיר וגדר פנימית.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe